Przykładami są funkcje odwrotne, ich własności i wykresy. Pojęcie funkcji odwrotnej. Przykład: funkcje kwadratowe i pierwiastkowe

Cele Lekcji:

Edukacyjny:

budować wiedzę na nowy temat zgodnie z materiałem programowym;
studiować własność odwracalności funkcji i uczyć znajdowania funkcji odwrotnej do danej;

Rozwój:

rozwijać umiejętności samokontroli, mowę przedmiotową;
opanować koncepcję funkcji odwrotnej i poznać metody znajdowania funkcji odwrotnej;

Edukacyjne: kształtowanie kompetencji komunikacyjnych.

Sprzęt: komputer, rzutnik, ekran, tablica interaktywna SMART Board, materiały informacyjne ( niezależna praca) do pracy w grupach.

Podczas zajęć.

1. Moment organizacyjny.

Cel – przygotowanie studentów do pracy na zajęciach:

Definicja nieobecny,

Stosunek uczniów do pracy, organizacja uwagi;

Wiadomość o temacie i celu lekcji.

2. Aktualizacja podstawowej wiedzy studentów. ankieta przednia.

Cel - ustalenie poprawności i świadomości przerabianego materiału teoretycznego, powtarzalność przerobionego materiału.<Приложение 1 >

Dla studentów na tablica interaktywna pokazany jest wykres funkcji. Nauczyciel formułuje zadanie - rozważenie wykresu funkcji i wypisanie zbadanych właściwości funkcji. Studenci wymieniają właściwości funkcji zgodnie z projektem badawczym. Nauczyciel, po prawej stronie wykresu funkcji, zapisuje na tablicy interaktywnej nazwane właściwości markerem.

Właściwości funkcji:

Pod koniec zajęć nauczyciel informuje, że dzisiaj na lekcji zapozna się z jeszcze jedną właściwością funkcji – odwracalnością. W celu sensownego przestudiowania nowego materiału nauczyciel zaprasza dzieci do zapoznania się z głównymi pytaniami, na które uczniowie muszą odpowiedzieć na koniec lekcji. Pytania są zapisywane na zwykłej tablicy, a każdy uczeń ma ulotkę (rozdawana przed lekcją)

Co to jest funkcja odwracalna?
Czy każda funkcja jest odwracalna?
Co to jest odwrotna dana funkcja?
W jaki sposób powiązana jest dziedzina definicji i zbiór wartości funkcji oraz jej funkcji odwrotnej?
Jeśli funkcja jest podana analitycznie, jak zdefiniować funkcję odwrotną za pomocą wzoru?
Jeśli funkcja jest podana graficznie, jak wykreślić jej funkcję odwrotną?

3. Wyjaśnienie nowego materiału.

Cel - kształtować wiedzę na nowy temat zgodnie z materiałem programowym; studiować własność odwracalności funkcji i uczyć znajdowania funkcji odwrotnej do danej; rozwinąć temat.

Nauczyciel przeprowadza prezentację materiału zgodnie z materiałem akapitu. Na tablicy interaktywnej nauczyciel porównuje wykresy dwóch funkcji, których dziedziny definicji i zbiory wartości są takie same, ale jedna z funkcji jest monotoniczna, a druga nie, wprowadzając tym samym uczniów w pojęcie funkcji odwracalnej .

Następnie nauczyciel formułuje definicję funkcji odwracalnej i udowadnia twierdzenie o funkcji odwracalnej za pomocą wykresu funkcji monotonicznej na tablicy interaktywnej.

Definicja 1: Funkcja y=f(x), x X jest wywoływana odwracalny, jeśli przyjmuje dowolną ze swoich wartości tylko w jednym punkcie zbioru X.

Twierdzenie: Jeśli funkcja y=f(x) jest monotoniczna na zbiorze X , to jest odwracalna.

Dowód:

Niech funkcja y=f(x) wzrasta o X Odpuść sobie x 1 ≠ x 2- dwa punkty zestawu X.
Dla pewności niech x 1< x2.
W takim razie od czego x 1< x2 wynika z tego f(x 1) < f(x2).
Zatem różnym wartościom argumentu odpowiadają różne wartości funkcji, tj. funkcja jest odwracalna.

(Podczas dowodu twierdzenia nauczyciel dokonuje wszystkich niezbędnych wyjaśnień na rysunku mazakiem)

Przed sformułowaniem definicji funkcji odwrotnej nauczyciel prosi uczniów o określenie, która z proponowanych funkcji jest odwracalna? Tablica interaktywna pokazuje wykresy funkcji i zapisano kilka zdefiniowanych analitycznie funkcji:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Nauczyciel wprowadza definicję funkcji odwrotnej.

Definicja 2: Niech funkcja odwracalna y=f(x) zdefiniowany na planie X I E(f)=Y. Dopasujmy do siebie y z Y wtedy jedyny sens X, w którym f(x)=y. Otrzymujemy wtedy funkcję, która jest zdefiniowana na Y, A X jest zakresem funkcji

Ta funkcja jest oznaczona x=f -1 (y) i nazywa się odwrotnością funkcji y=f(x).

Studenci są proszeni o wyciągnięcie wniosków na temat związku między dziedziną definicji a zbiorem wartości funkcji odwrotnych.

Aby zastanowić się, jak znaleźć funkcję odwrotną danej wartości, nauczyciel zaangażował dwóch uczniów. Dzień wcześniej dzieci otrzymały od nauczyciela zadanie samodzielnego przeanalizowania analitycznych i graficznych metod znajdowania danej funkcji odwrotnej. Nauczyciel pełnił rolę konsultanta w przygotowaniu uczniów do lekcji.

Wiadomość od pierwszego ucznia.

Uwaga: monotoniczność funkcji wynosi wystarczający warunek istnienia funkcji odwrotnej. Ale to nie jest warunek konieczny.

Student podał przykłady różnych sytuacji, gdy funkcja nie jest monotoniczna, ale odwracalna, gdy funkcja nie jest monotoniczna i nieodwracalna, gdy jest monotoniczna i odwracalna

Następnie student zapoznaje studentów z metodą znajdowania funkcji odwrotnej podanej analitycznie.

Algorytm znajdowania

Upewnij się, że funkcja jest monotoniczna.
Wyraź x przez y.
Zmień nazwy zmiennych. Zamiast x \u003d f -1 (y) piszą y \u003d f -1 (x)

Następnie rozwiązuje dwa przykłady, aby znaleźć funkcję odwrotności danego.

Przykład 1: Wykaż, że dla funkcji y=5x-3 istnieje funkcja odwrotna i znajdź jej wyrażenie analityczne.

Rozwiązanie. Funkcja liniowa y=5x-3 jest zdefiniowana na R, rośnie na R, a jej zakres wynosi R. Zatem funkcja odwrotna istnieje na R. Aby znaleźć jej analityczne wyrażenie, rozwiązujemy równanie y=5x-3 względem X; otrzymujemy To jest pożądana funkcja odwrotna. Jest zdefiniowany i zwiększa się o R.

Przykład 2: Pokaż, że istnieje funkcja odwrotna dla funkcji y=x 2 , x≤0 i znajdź jej wyrażenie analityczne.

Funkcja jest ciągła, monotoniczna w swojej dziedzinie definicji, dlatego jest odwracalna. Po przeanalizowaniu dziedzin definicji i zestawu wartości funkcji wyciągnięto odpowiedni wniosek na temat wyrażenia analitycznego dla funkcji odwrotnej.

Drugi uczeń przedstawia prezentację nt graficzny jak znaleźć funkcję odwrotną. W trakcie swojego wyjaśnienia uczeń korzysta z możliwości tablicy interaktywnej.

Aby otrzymać wykres funkcji y=f -1 (x), odwrotny do funkcji y=f(x), należy przekształcić wykres funkcji y=f(x) symetrycznie względem prostej y=x.

Podczas wyjaśnienia na tablicy interaktywnej wykonywane jest następujące zadanie:

Skonstruować wykres funkcji i wykres jej funkcji odwrotnej w tym samym układzie współrzędnych. Zapisz wyrażenie analityczne dla funkcji odwrotnej.

4. Pierwotne utrwalenie nowego materiału.

Cel - ustalać poprawność i świadomość zrozumienia przerabianego materiału, identyfikować luki w podstawowym zrozumieniu materiału, korygować je.

Uczniowie dzielą się na pary. Otrzymują arkusze z zadaniami, nad którymi pracują w parach. Czas na wykonanie pracy jest ograniczony (5-7 minut). Jedna para uczniów pracuje na komputerze, projektor jest w tym czasie wyłączony, a pozostałe dzieci nie mogą zobaczyć, jak uczniowie pracują na komputerze.

Po upływie czasu (zakłada się, że większość uczniów wykonała pracę) tablica interaktywna (projektor włącza się ponownie) pokazuje pracę uczniów, gdzie podczas testu wyjaśnia się, że zadanie zostało wykonane w pary. W razie potrzeby nauczyciel przeprowadza prace korygujące, wyjaśniające.

Samodzielna praca w parach<Załącznik 2 >

5. Wynik lekcji. Na pytania zadane przed wykładem. Ogłoszenie ocen z lekcji.

Praca domowa §10. №№ 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra i początki analizy. Klasa 10 W 2 częściach dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova i inni; wyd. AG Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Odpowiednie wyrażenia, które zamieniają się w siebie. Aby zrozumieć, co to oznacza, warto się nad tym zastanowić konkretny przykład. Powiedzmy, że mamy y = cos(x). Jeśli weźmiemy cosinus z argumentu, możemy znaleźć wartość y. Oczywiście do tego trzeba mieć x. Ale co, jeśli gra jest początkowo dana? W tym miejscu dochodzi do sedna sprawy. Aby rozwiązać problem, wymagane jest użycie funkcji odwrotnej. W naszym przypadku jest to arcus cosinus.

Po wszystkich przekształceniach otrzymujemy: x = arccos(y).

Oznacza to, że aby znaleźć funkcję odwrotną do danej, wystarczy po prostu wyrazić z niej argument. Ale działa to tylko wtedy, gdy wynik będzie miał jedną wartość (więcej o tym później).

W ogólności fakt ten można zapisać następująco: f(x) = y, g(y) = x.

Definicja

Niech f będzie funkcją, której dziedziną jest zbiór X, a dziedziną zbiór Y. Wtedy, jeśli istnieje g, którego dziedziny wykonują przeciwne zadania, to f jest odwracalna.

Dodatkowo w tym przypadku g jest unikalne, co oznacza, że istnieje dokładnie jedna funkcja spełniająca tę właściwość (nie więcej, nie mniej). Wtedy nazywa się to funkcją odwrotną, a na piśmie jest oznaczone w następujący sposób: g (x) \u003d f -1 (x).

Innymi słowy, można je postrzegać jako relację binarną. Odwracalność ma miejsce tylko wtedy, gdy jednemu elementowi zbioru odpowiada jedna wartość z drugiego.

Nie zawsze istnieje funkcja odwrotna. Aby to zrobić, każdy element y є Y musi odpowiadać co najwyżej jednemu x є X. Wtedy f nazywa się jeden do jednego lub wtryskiem. Jeśli f -1 należy do Y, to każdy element tego zbioru musi odpowiadać jakiemuś x ∈ X. Funkcje o tej własności nazywane są surjekcjami. Z definicji obowiązuje, jeśli Y jest obrazem f, ale nie zawsze tak jest. Aby funkcja była odwrotna, musi być zarówno iniekcją, jak i surjekcją. Takie wyrażenia nazywamy bijekcjami.

Przykład: funkcje kwadratowe i pierwiastkowe

Funkcja jest zdefiniowana na . W tym przypadku jego pochodna

Katedra Matematyki i Informatyki Analiza matematyczna Kompleks dydaktyczno-metodyczny dla studentów HPE studiujących z wykorzystaniem technologii zdalnych Moduł 4 Zastosowania pochodnej Opracował: prof.

Rozdział 1. Granice i ciągłość 1. Zbiory liczbowe 1 0. Liczby rzeczywiste Ze szkolnej matematyki znasz naturalne N liczby całkowite Z wymierne Q i rzeczywiste R liczby naturalne i całkowite

Wykład 19 POCHODNA I JEJ ZASTOSOWANIA. DEFINICJA POCHODNEJ. Niech jakaś funkcja y=f(x) zdefiniowana jest na pewnym przedziale. Dla każdej wartości argumentu x z tego przedziału funkcja y=f(x)

Rachunek różniczkowy Podstawowe pojęcia i wzory Definicja 1. Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że przyrost argumentu

Temat 8. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne. 1. Funkcja wykładnicza, jej wykres i własności postaci y=a x,

44 Przykład Znajdź całkowitą pochodną funkcji zespolonej = sin v cos w gdzie v = ln + 1 w= 1 Zgodnie ze wzorem (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Teraz znajdujemy całkowitą różniczkę funkcji zespolonej f

Zadania dla samodzielna decyzja. Znajdź dziedzinę funkcji 6x. Znajdź tangens kąta nachylenia do osi x stycznej przechodzącej przez punkt M (;) wykresu funkcji. Znajdź tangens kąta

Temat Funkcja numeryczna, jej właściwości i wykres Pojęcie funkcji numerycznej Dziedzina definicji i zbiór wartości funkcji Niech dany będzie zbiór liczbowy X Reguła, która dopasowuje każdą liczbę X do unikalnego

Wykład 23 WYPUKŁY I WKŁĘSNY WYKRESU FUNKCJI PUNKTU ATRAMENTU Wykres funkcji y \u003d f (x) nazywa się wypukłym w przedziale (a; b), jeśli znajduje się poniżej którejkolwiek ze stycznych w tym przedziale Wykres

Temat Teoria granic Ćwiczenie praktyczne Ciągi liczbowe Definicja ciągu liczbowego Ciągi ograniczone i nieograniczone Ciągi monotoniczne Nieskończenie małe

Funkcje numeryczne i ciągi numeryczne DV Lytkina NPP, I semestr DV Lytkina (SibSUTI) Analiza matematyczna NPP, I semestr 1 / 35 Spis treści 1 Funkcja numeryczna Pojęcie funkcji Funkcje numeryczne.

Bank zadań z tematu "MATEMATYKA DEERYWACYJNA" klasa (profil) Student powinien znać/rozumieć: Pojęcie pochodnej. Definicja pochodnej. Twierdzenia i reguły znajdowania pochodnych sumy, różnicy, iloczynu

A. A. Matematyka Dalingera: funkcja trójkąta Podręcznik do sporu, wydanie, poprawione i uzupełnione i uzupełnione jest następujące

AV Matematyka Zemlyanko. Algebra i początki analizy Woroneż SPIS TREŚCI TEMAT 1. GŁÓWNE WŁAŚCIWOŚCI FUNKCJI... 6 1.1. Funkcja numeryczna... 6 1.2. Wykres funkcji... 9 1.3. Konwersja wykresów funkcji...

Temat. Funkcjonować. Metody zadań. Funkcja niejawna. Funkcja odwrotna. Klasyfikacja funkcji Elementy teorii zbiorów. Podstawowe pojęcia Jednym z podstawowych pojęć współczesnej matematyki jest pojęcie zbioru.

Niech dany będzie zbiór liczbowy D R. Jeżeli każdej liczbie x D przyporządkujemy pojedynczą liczbę y, to mówimy, że na zbiorze D dana jest funkcja liczbowa: y = f (x), x D. Zbiór D nazywamy

Funkcje wielu zmiennych 11. Definicja funkcji wielu zmiennych. Granica i ciągłość FNP 1. Definicja funkcji wielu zmiennych DEFINICJA. Niech X = ( 1 n ja X i R ) U R. Funkcja

MATEMATYKA DLA WSZYSTKICH Yu.L.Kalinovskiy Spis treści 1 Wykresy funkcji. Część I........................................... 5 1.1 Wstęp 5 1.1.1 Pojęcie zbioru... ... ............................................. 5 1.1.

Praktyczna praca 6 Temat: „Pełne badanie funkcji. Konstruowanie wykresów „Cel pracy: nauka poznawania funkcji wg schemat ogólny i budować wykresy. W wyniku pracy student musi:

Rozdział 8 Funkcje i wykresy Zmienne i zależności między nimi. Dwie wielkości i nazywane są wprost proporcjonalnymi, jeśli ich stosunek jest stały, tj. jeśli =, gdzie jest stałą liczbą, która nie zmienia się wraz ze zmianą

WYKŁAD 2. Działania na podprzestrzeniach, liczbie podstaw, liczbie podstaw i liczbie podprzestrzeni o wymiarze k. Główne wyniki wykładu 2. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) Liczenie samolotów w F 4 2.

Pytanie 5. Funkcja, sposoby ustawienia. Przykłady funkcji elementarnych i ich grafiki. Niech będą dane dwa dowolne zbiory X i Y. Funkcja jest regułą, według której każdy element ze zbioru X może znaleźć

Wykład 4 FUNKCJE LICZBOWE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ Pojęcie funkcji Sposoby definiowania funkcji Podstawowe własności funkcji Funkcja zespolona 4 Funkcja odwrotna Pojęcie funkcji Sposoby definiowania funkcji Niech D

Wykłady Rozdział Funkcje kilku zmiennych Podstawowe pojęcia Niektóre funkcje kilku zmiennych są dobrze znane Podajmy kilka przykładów Aby obliczyć pole trójkąta, znany jest wzór Herona S

Ciągłość funkcji Ciągłość funkcji w punkcie Granice jednostronne Definicja Liczbę A nazywamy lewą granicą funkcji f(x), gdyż x dąży do a, jeśli taka liczba istnieje dla dowolnej liczby

Praca badawcza Matematyka „Zastosowanie właściwości ekstremalnych funkcji do rozwiązywania równań” Ukończyli: Elena Gudkova, uczennica klasy 11 „G” Liceum MBOU „Anninsky Lyceum” p.g.t. Anna Głowa:

Federalna Agencja ds. Edukacji ----- UNIWERSYTET POLITECHNICZNY PAŃSTWA W SEKPETERSBURGU AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATEMATYKA Funkcje elementarne i ich wykresy Edukacyjne

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Funkcje jednej zmiennej niezależnej nie obejmują wszystkich zależności występujących w przyrodzie. Dlatego naturalne jest rozszerzenie i wprowadzenie dobrze znanej koncepcji zależności funkcjonalnej

Funkcja Definicja funkcji Sposoby definiowania funkcji Charakterystyka funkcji Funkcja odwrotna Granica funkcji Granica funkcji w punkcie Granice jednostronne Granica funkcji w punkcie x Nieskończony świetna funkcja 4 Wykład

Sekcja Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych Funkcja argumentu rzeczywistego Liczby rzeczywiste Liczby całkowite dodatnie nazywane są liczbami naturalnymi Dodawanie do liczb naturalnych

Sergei A Belyaev strona 1 Minimum matematyczne Część 1 Teoretyczna 1 Czy definicja jest poprawna Najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch liczb całkowitych jest najmniejsza liczba podzielna przez każdą z podanych liczb

Część 2 Teoria granic Temat Sekwencje liczbowe Definicja sekwencji liczbowej 2 Sekwencje ograniczone i nieograniczone 3 Sekwencje monotoniczne 4 Nieskończenie małe i

Różniczkowanie funkcji uwikłanej Rozważmy funkcję (,) = C (C = const) To równanie definiuje funkcję uwikłaną () Załóżmy, że rozwiązaliśmy to równanie i znaleźliśmy wyrażenie jawne = () Teraz możemy

Zadania testowe przygotowujące do EGZAMINU z dyscypliny „Matematyka” dla studentów wydziału korespondencyjnego Pochodna funkcji y \u003d f () nazywa się: f A) B) f C) f f Jeśli w jakimś sąsiedztwie punktu funkcjonować

ZMIENNE I STAŁE W wyniku pomiaru wielkości fizyczne(czas, powierzchnia, objętość, masa, prędkość itp.) określa się ich wartości liczbowe. Matematyka zajmuje się ilościami, jest rozproszona

Analiza matematyczna Sekcja: Wprowadzenie do analizy Temat: Pojęcie funkcji (podstawowe definicje, klasyfikacja, główne cechy zachowania) Wykładowca Rozhkova S.V. 2012 Literatura Piskunov N.S. mechanizm różnicowy

Lekcja 7 Twierdzenia o wartości średniej. Reguła L'Hôpitala 7. Twierdzenia o wartości średniej Twierdzenia o wartości średniej to trzy twierdzenia: Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego, z których każde uogólnia poprzednie. Te twierdzenia są również nazywane

Wykład przygotowany przez doc.

RÓŻNICZKA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Pojęcie pochodnej, jej znaczenie geometryczne i fizyczne Zagadnienia prowadzące do pojęcia pochodnej Definicja stycznej S do prostej y f (x) w punkcie A x ; F(

13. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Let = have i zdefiniowane na D O. Funkcje i nazywane są również pochodnymi cząstkowymi funkcji pierwszego rzędu lub pierwszymi pochodnymi cząstkowymi funkcji. i na ogół

Ministerstwo Edukacji Republiki Białoruś INSTYTUCJA EDUKACYJNA „GRODZIEŃSKI PAŃSTWOWY UNIWERSYTET IMIENIA JANKI KUPAŁY” Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich WYKŁADNICZOŚĆ I LOGARYTM

Wykład Rozdział Zbiory i działania na nich Pojęcie zbioru Pojęcie zbioru odnosi się do najbardziej podstawowych pojęć matematycznych, których nie definiują prostsze pojęcia.

Wykład 8 Różniczkowanie funkcji zespolonej Rozważ funkcję zespoloną t t t f gdzie ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t

Wykład 3 Ekstremum funkcji wielu zmiennych Niech funkcję kilku zmiennych u = f (x, x) zdefiniujemy w dziedzinie D, a punkt x (x, x) = należy do tej dziedziny Funkcja u = f ( x, x) ma

Pytanie. Nierówności, układ nierówności liniowych Rozważmy wyrażenia zawierające znak nierówności i zmienną:. >, - + x to nierówności liniowe z jedną zmienną x.. 0 - nierówność kwadratowa.

SEKCJA ZADAŃ Z PARAMETRAMI Komentarz Zadania z parametrami są tradycyjnie złożonymi zadaniami w strukturze USE, wymagającymi od wnioskodawcy nie tylko opanowania wszystkich metod i technik rozwiązywania różnych

2.2.7. Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych. Różniczka funkcji y = zależy od x i jest Głównym elementem x przyrosty. Możesz także użyć wzoru: dy d Wtedy błąd bezwzględny:

Rozdział 6 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Zagadnienia prowadzące do pojęcia pochodnej Zagadnienie prędkości niejednostajnego ruchu prostoliniowego

Prosta na płaszczyźnie Ogólne równanie prostej. Przed wprowadzeniem ogólnego równania prostej w płaszczyźnie wprowadzamy ogólna definicja linie. Definicja. Równanie postaci F(x,y)=0 (1) nazywamy równaniem prostej L

KOMITET KSZTAŁCENIA OGÓLNEGO I ZAWODOWEGO REGIONU LENINGRADZKIEGO

Reguły różniczkowania i pochodnej Niech funkcja y = f będzie zwiększana y f 0 f 0 odpowiednio do przyrostu argumentu 0 Definicja Jeżeli istnieje granica stosunku przyrostu funkcji y do wywołującego

Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny im. N.E. Baumana Wydział Nauk Podstawowych Katedra Modelowania Matematycznego А.Н. Kanatnikow, A.P. Kryszenko

FUNKCJE ODWRÓCONE Problemy z funkcjami odwrotnymi pojawiają się w różnych gałęziach matematyki i jej zastosowaniach. ważny obszar matematycy układają problemy odwrotne w teorii całki

Układ zadań na temat „Równanie styczne” Określ znak nachylenia stycznej narysowanej na wykresie funkcji y f (), w punktach z odciętymi a, b, c a) b) Wskaż punkty, w których pochodna

Niech zbiory $X$ i $Y$ będą zawarte w zbiorze liczb rzeczywistych. Wprowadźmy pojęcie funkcji odwracalnej.

Definicja 1

Funkcję $f:X\to Y$ odwzorowującą zbiór $X$ na zbiór $Y$ nazywamy odwracalną, jeśli dla dowolnych elementów $x_1,x_2\in X$ wynika z tego, że $x_1\ne x_2$ że $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Teraz możemy wprowadzić pojęcie funkcji odwrotnej.

Definicja 2

Niech funkcja $f:X\to Y$ odwzorowująca zbiór $X$ na zbiór $Y$ będzie odwracalna. Następnie funkcja $f^(-1):Y\to X$ odwzorowująca zbiór $Y$ na zbiór $X$ i zdefiniowana przez warunek $f^(-1)\left(y\right)=x$ nazywamy odwrotnością dla $f(x)$.

Sformułujmy twierdzenie:

Twierdzenie 1

Niech funkcja $y=f(x)$ będzie zdefiniowana, monotonicznie rosnąca (malejąca) i ciągła w pewnym przedziale $X$. Wówczas w odpowiednim przedziale $Y$ wartości tej funkcji ma ona funkcję odwrotną, która również jest monotonicznie rosnąca (malejąca) i ciągła na przedziale $Y$.

Wprowadźmy teraz bezpośrednio pojęcie funkcji wzajemnie odwrotnych.

Definicja 3

W ramach Definicji 2 funkcje $f(x)$ i $f^(-1)\left(y\right)$ nazywane są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

Własności funkcji wzajemnie odwrotnych

Niech więc funkcje $y=f(x)$ i $x=g(y)$ będą wzajemnie odwrotne

$y=f(g\lewo(y\prawo))$ i $x=g(f(x))$

Dziedzina funkcji $y=f(x)$ jest równa dziedzinie wartości funkcji $\ x=g(y)$. A dziedzina funkcji $x=g(y)$ jest równa dziedzinie wartości funkcji $\ y=f(x)$.

Wykresy funkcji $y=f(x)$ i $x=g(y)$ są symetryczne względem prostej $y=x$.

Jeżeli jedna z funkcji rośnie (maleje), to druga funkcja również rośnie (maleje).

Znalezienie funkcji odwrotnej

Równanie $y=f(x)$ względem zmiennej $x$ jest rozwiązane.

Z otrzymanych pierwiastków znajdują się te, które należą do przedziału $X$.

Odnalezione $x$ są przypisane do liczby $y$.

Przykład 1

Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=x^2$ na przedziale $X=[-1,0]$

Ponieważ funkcja ta jest malejąca i ciągła na przedziale $X$, to na przedziale $Y=$, który również jest malejący i ciągły na tym przedziale (Twierdzenie 1).

Oblicz $x$:

\ \

Wybierz odpowiedni $x$:

Odpowiedź: funkcja odwrotna $y=-\sqrt(x)$.

Problemy ze znalezieniem funkcji odwrotnych

W tej części rozważymy funkcje odwrotne dla niektórych funkcji elementarnych. Zadania będą rozwiązywane według schematu podanego powyżej.

Przykład 2

Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=x+4$

Znajdź $x$ z równania $y=x+4$:

Przykład 3

Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=x^3$

Rozwiązanie.

Ponieważ funkcja jest rosnąca i ciągła w całej dziedzinie definicji, to zgodnie z Twierdzeniem 1 ma na sobie odwrotną ciągłą i rosnącą funkcję.

Znajdź $x$ z równania $y=x^3$:

Znalezienie odpowiednich wartości $x$

Wartość w naszym przypadku jest odpowiednia (ponieważ zakres obejmuje wszystkie liczby)

Redefiniując zmienne, otrzymujemy, że funkcja odwrotna ma postać

Przykład 4

Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=cosx$ na przedziale $$

Rozwiązanie.

Rozważmy funkcję $y=cosx$ na zbiorze $X=\left$. Jest ciągła i malejąca na zbiorze $X$ i odwzorowuje zbiór $X=\left$ na zbiór $Y=[-1,1]$, więc z twierdzenia o istnieniu odwrotnej ciągłej funkcji monotonicznej, funkcja $y=cosx$ w zbiorze $ Y$ istnieje funkcja odwrotna, która również jest ciągła i rośnie w zbiorze $Y=[-1,1]$ i odwzorowuje zbiór $[-1,1]$ do zestawu $\left$.

Znajdź $x$ z równania $y=cosx$:

Znalezienie odpowiednich wartości $x$

Redefiniując zmienne, otrzymujemy, że funkcja odwrotna ma postać

Przykład 5

Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=tgx$ na przedziale $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Rozwiązanie.

Rozważmy funkcję $y=tgx$ na zbiorze $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Jest ciągła i rosnąca na zbiorze $X$ i odwzorowuje zbiór $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ na zbiór $Y =R$, więc z twierdzenia o istnieniu odwrotnej ciągłej funkcji monotonicznej funkcja $y=tgx$ w zbiorze $Y$ ma funkcję odwrotną, która również jest ciągła i rośnie w zbiorze $Y=R $ i odwzorowuje zbiór $R$ na zbiór $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Znajdź $x$ z równania $y=tgx$:

Znalezienie odpowiednich wartości $x$

Redefiniując zmienne, otrzymujemy, że funkcja odwrotna ma postać

2.Teoria funkcji odwrotnych

Odwracać funkcje trygonometryczne

Definicja funkcji odwrotnej

Definicja. Jeśli funkcja f(x) określa zgodność jeden-do-jednego między jej dziedziną X a dziedziną Y (innymi słowy, jeśli różne wartości argumentu odpowiadają różnym wartościom funkcji), to mówi się, że funkcja f(x) ma funkcja odwrotna albo co funkcjonowaćF(X) jest odwracalny.

Definicja. Funkcja odwrotna to reguła, że każda liczba Naє Na pasuje do liczby Xє X i y=f(x). Obszar definicji odwrotnej

funkcja ma zbiór Y, zakres - X.

Twierdzenie pierwiastkowe. Niech funkcja f wzrośnie (lub zmniejszy się) w przedziale I, liczba a - dowolna z wartości przyjętych przez f w tym przedziale. Wtedy równanie f(x)=a ma unikalny pierwiastek w przedziale I.

Dowód. Rozważmy rosnącą funkcję f (w przypadku malejącej funkcji rozumowanie jest podobne). Z założenia istnieje taka liczba b w przedziale I, że f(b)=a. Pokażmy, że b jest jedynym pierwiastkiem równania f(x)=a.

Załóżmy, że na przedziale I istnieje również liczba c≠ b, takie, że f(c)=a. Wtedy lub z B. Ale funkcja f rośnie na przedziale I, więc odpowiednio f(c) pełne wyżywienie). Jest to sprzeczne z równością f(c)= f(b)=a. Zatem przyjęte założenie jest błędne iw przedziale I oprócz liczby b nie ma innych pierwiastków równania f(x)=a.

Twierdzenie o funkcji odwrotnej. Jeśli funkcja f rośnie (lub maleje) w przedziale I, to jest odwracalna. Funkcja g odwrotna do f, zdefiniowana w przedziale f, również jest rosnąca (odpowiednio malejąca).

Dowód. Załóżmy dla pewności, że funkcja f jest rosnąca. Odwracalność funkcji f jest oczywistą konsekwencją twierdzenia o pierwiastku. Pozostaje zatem udowodnić, że funkcja g, odwrotna do f, jest rosnąca na zbiorze E(f).

Niech x 1 i x 2 będą dowolnymi wartościami z E(f), takimi że x 2 > x 1 i niech y 1 = g (x 1), y 2 = g ( x2 ). Z definicji funkcja odwrotna x 1 = f (y 1) i x 2 = f (y 2).

Korzystając z warunku, że f jest funkcją rosnącą, stwierdzamy, że założenie y 1 ≥ y 2 prowadzi do wniosku f (y 1) > f (y 2), czyli x 1 > x 2. Ten

przeczy założeniu x 2 > x 1 Zatem y 1 > y 2, czyli z warunku x 2 > x 1 wynika, że g (x 2)> g (x 1). co było do okazania

Oryginalna funkcja i jej odwrotność są wzajemnie odwracać.

Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych

Twierdzenie. Wykresy wzajemnie odwrotnych funkcji są symetryczne względem prostej y=x.

Dowód. Zauważ, że z wykresu funkcji f można znaleźć wartość liczbową funkcji g odwrotną do f w dowolnym punkcie a. Aby to zrobić, musisz wziąć punkt o współrzędnej nie na osi poziomej (jak to zwykle się robi), ale na osi pionowej. Z definicji funkcji odwrotnej wynika, że wartość g(a) jest równa b.

Aby zobrazować wykres g w zwykłym układzie współrzędnych, konieczne jest odzwierciedlenie wykresu f względem linii prostej y \u003d x.

Algorytm kompilacji funkcji odwrotnej dla funkcji y=f(x), X X.

1. Upewnij się, że funkcja y=f(x) jest odwracalna na X.

2. Z równania y \u003d fa (x) x wyrazić przez y, biorąc pod uwagę, że x є X .

Z. W wynikowej równości zamień x i y.

2.2 Definicja, własności i wykresy funkcji odwrotnej trygonometrycznej

Funkcje

Arcsine

Funkcja sinus rośnie w przedziale i przyjmuje wszystkie wartości od -1 do 1. Dlatego z twierdzenia o pierwiastku dla dowolnej liczby a, takiej, że
, istnieje jeden pierwiastek równania sin x = a w przedziale. Ta liczba jest nazywana arcus sinus liczby a i jest oznaczana jako arcsin a.

Definicja. Arcus sinus liczby a, gdzie , jest taką liczbą z odcinka, którego sinus jest równy a.

Nieruchomości.

D(y) = [ -1;1 ]

mi (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - funkcja nieparzysta, wykres jest symetryczny względem punktu O (0; 0).

arcsin x = 0 przy x = 0.

arcsin x > 0 przy x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x wzrasta dla dowolnego x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Cosinus łuku

Funkcja cosinus maleje na odcinku i przyjmuje wszystkie wartości od -1 do 1. Zatem dla dowolnej liczby a takiej, że |a|1, w równaniu cosx=a na odcinku występuje jeden pierwiastek. Ta liczba jest nazywana arcus cosinusem liczby a i jest oznaczana jako arcos a.

Definicja . Arcus cosinus liczby a, gdzie -1 a 1, jest liczbą z segmentu, którego cosinus jest równy a.

Nieruchomości.

E(y) =
y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
arccos x = 0 przy x = 1
arccos x > 0 w x є [-1; 1)

arcco x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x maleje dla dowolnego x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - malejący.

Arcus tangens

Funkcja styczna rośnie na odcinku -
, dlatego zgodnie z twierdzeniem o pierwiastku równanie tgx \u003d a, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą, ma unikalny pierwiastek x w przedziale -. Pierwiastek ten nazywany jest arcus tangensem liczby a i jest oznaczony przez arctga.

Definicja. Arc tangens liczby AR ta liczba nazywa się x , którego tangensem jest a.

Nieruchomości.

mi (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - funkcja jest nieparzysta, wykres jest symetryczny względem punktu O (0; 0).

arctg x = 0 przy x = 0

Funkcja rośnie dla dowolnego x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Łuk styczny

Funkcja cotangens w przedziale (0;) maleje i przyjmuje wszystkie wartości z R. Dlatego dla dowolnej liczby a w przedziale (0;) istnieje pojedynczy pierwiastek równania ctg x \u003d a. Ta liczba a nazywana jest arcus tangensem liczby a i jest oznaczana przez arcctg a.

Definicja. Arc tangens liczby a, gdzie R, jest taką liczbą z przedziału (0;) , którego cotangens to a.

Nieruchomości.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

arcctg x = 0- nie istnieje.

Funkcjonować y = arcctg x maleje dla każdego х є r

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funkcja jest ciągła dla dowolnego x є R.

2.3 Transformacje tożsamościowe wyrażeń zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne

Przykład 1 . Uprość wyrażenie:

A)
Gdzie

Rozwiązanie. Włóżmy
. Następnie
I
Znaleźć
, korzystamy z zależności
dostajemy
Ale . W tym segmencie cosinus przyjmuje tylko wartości dodatnie. Zatem,
, to jest
Gdzie
.

Rozwiązanie.

Rozwiązanie. Włóżmy
. Następnie
I
Najpierw znajdźmy, dla którego używamy wzoru
, Gdzie
Ponieważ cosinus przyjmuje tylko wartości dodatnie w tym przedziale
.