Teoria funkcji jednej zmiennej. Analiza matematyczna. Teoria funkcji jednej zmiennej Analiza matematyczna wykłady 1 kurs 1 semestr online

Pytania na egzamin z „Analizy matematycznej”, I rok, I semestr.

1. Zestawy. Podstawowe operacje na zbiorach. Przestrzenie metryczne i arytmetyczne.

2. Zestawy numeryczne. Zbiory na osi liczbowej: odcinki, przedziały, półosie, sąsiedztwa.

3. Definicja zbioru ograniczonego. Górna i dolna granica zbiorów liczbowych. Postulaty dotyczące górnej i dolnej granicy zbiorów liczbowych.

4. Metoda indukcji matematycznej. Nierówności Bernoulliego i Cauchy'ego.

5. Definicja funkcji. Wykres funkcji. Funkcje parzyste i nieparzyste. Funkcje okresowe. Sposoby ustawiania funkcji.

6. Limit sekwencji. Własności ciągów zbieżnych.

7. ograniczone sekwencje. Twierdzenie o warunku wystarczającym rozbieżności ciągu.

8. Definicja ciągu monotonicznego. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach monotonicznych.

9. Numer mi.

10. Granica funkcji w punkcie. Granica funkcji w nieskończoności. Limity jednostronne.

11. Nieskończenie małe funkcje. Granica funkcji sumy, iloczynu i ilorazu.

12. Twierdzenia o stabilności nierówności. Przejście do granicy nierówności. Twierdzenie o trzech funkcjach.

13. Pierwsze i drugie cudowne limity.

14. Bez końca świetne funkcje i ich związek z funkcjami nieskończenie małymi.

15. Porównanie funkcji nieskończenie małych. Własności równoważnych nieskończenie małych. Twierdzenie o zamianie nieskończenie małych na równoważne. Podstawowe równoważności.

16. Ciągłość funkcji w punkcie. Działania o funkcjach ciągłych. Ciągłość podstawowych funkcji elementarnych.

17. Klasyfikacja punktów przerwania funkcji. Rozszerzenie poprzez ciągłość

18. Definicja funkcji złożonej. Granica funkcji zespolonej. Ciągłość funkcji zespolonej. Funkcje hiperboliczne

19. Ciągłość funkcji na segmencie. Twierdzenia Cauchy'ego o zanikaniu funkcji ciągłej na przedziale i o wartości pośredniej funkcji.

20. Własności funkcji ciągłych na segmencie. Twierdzenie Weierstrassa o ograniczeniu funkcji ciągłej. Twierdzenie Weierstrassa o największej i najmniejszej wartości funkcji.

21. Definicja funkcji monotonicznej. Twierdzenie Weierstrassa o granicy funkcji monotonicznej. Twierdzenie o zbiorze wartości funkcji monotonicznej i ciągłej na pewnym przedziale.

22. Funkcja odwrotna. Harmonogram funkcja odwrotna. Twierdzenie o istnieniu i ciągłości funkcji odwrotnej.

23. Odwrotne funkcje trygonometryczne i hiperboliczne.

24. Definicja pochodnej funkcji. Pochodne podstawowych funkcji elementarnych.

25. Definicja funkcji różniczkowalnej. Warunek konieczny i wystarczający różniczkowalności funkcji. Ciągłość funkcji różniczkowalnej.

26. Znaczenie geometryczne pochodnej. Równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji.

27. Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji

28. Pochodna funkcji złożonej i funkcji odwrotnej.

29. Różniczkowanie logarytmiczne. Pochodna funkcji danej parametrycznie.

30. Główna część przyrostu funkcji. Wzór na linearyzację funkcji. Geometryczne znaczenie różniczki.

31. Różniczka funkcji złożonej. Niezmienniczość postaci różniczkowej.

32. Twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego o własnościach funkcji różniczkowalnych. Formuła skończonych przyrostów.

33. Zastosowanie instrumentu pochodnego do ujawnienia niepewności. Reguła de l'Hopitala.

34. Definicja pochodnej n-te zamówienie. Zasady znajdowania pochodnej n-tego rzędu. Formuła Leibniza. Różnice wyższego rzędu.

35. Wzór Taylora z resztą w postaci Peano. Wyrazy resztowe w postaci Lagrange'a i Cauchy'ego.

36. Funkcje rosnące i malejące. punkty ekstremalne.

37. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia.

38. Niekończące się przerwy w działaniu. Asymptoty.

39. Schemat wykreślania wykresu funkcji.

40. Definicja funkcji pierwotnej. Główne właściwości funkcji pierwotnej. Najprostsze zasady integracji. Tabela całek prostych.

41. Całkowanie przez zmianę zmiennej i wzór na całkowanie przez części w całce nieoznaczonej.

42. Integracja wyrażeń formy e ax cos bx i e ax sin bx przy użyciu relacji rekurencyjnych.

44. Całka nieoznaczona funkcji wymiernej. Całkowanie ułamków prostych.

45. Całka nieoznaczona funkcji wymiernej. Rozkład ułamków właściwych na proste.

46. Całka nieoznaczona funkcji niewymiernej. Integracja wyrażeń

47. Całka nieoznaczona funkcji niewymiernej. Całkowanie wyrażeń postaci R x , ax 2 bx c . Podstawienia Eulera.

49. Całka nieoznaczona funkcji niewymiernej. Całkowanie różniczków dwumianowych.

50. Całkowanie wyrażeń trygonometrycznych. Uniwersalne podstawienie trygonometryczne.

51. Całkowanie wymiernych wyrażeń trygonometrycznych w przypadku, gdy całka jest nieparzysta ze względu na grzech x (lub cos x ) lub nawet w odniesieniu do sin x i cos x .

52. Integracja wyrażeń grzech n x cos m x i grzech n x cos mx .

53. Integracja wyrażeń tg m x i ctg m x .

54. Integracja wyrażeń R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 i R x , x 2 a 2 przy użyciu podstawień trygonometrycznych.

55. Określona całka. Problem obliczania pola trapezu krzywoliniowego.

56. sumy całkowe. Sumy Darboux. Twierdzenie o warunku istnienia całki oznaczonej. Klasy funkcji całkowalnych.

57. Własności całki oznaczonej. Twierdzenia o wartości średniej.

58. Całka oznaczona jako funkcja górnej granicy. Formuła Newtona-Leibniza.

59. Zmiana wzoru na zmienną i wzoru na całkowanie przez części w całce oznaczonej.

60. Zastosowanie rachunku całkowego do geometrii. Objętość figury. Objętość figur obrotowych.

61. Zastosowanie rachunku całkowego do geometrii. Powierzchnia figury płaskiej. Obszar sektora krzywoliniowego. Długość krzywej.

62. Definicja całki niewłaściwej pierwszego rodzaju. Formuła Newtona-Leibniza dla całek niewłaściwych pierwszego rodzaju. Najprostsze właściwości.

63. Zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju dla funkcji dodatniej. 1. i 2. twierdzenie porównawcze.

64. Zbieżność bezwzględna i warunkowa całek niewłaściwych pierwszego rodzaju funkcji przemiennej. Kryteria zbieżności dla Abela i Dirichleta.

65. Definicja całki niewłaściwej drugiego rodzaju. Formuła Newtona-Leibniza dla całek niewłaściwych drugiego rodzaju.

66. Połączenie całek niewłaściwych I i II rodzaj. Całki niewłaściwe w sensie wartości głównej.

Niech zmienna X N przyjmuje nieskończony ciąg wartości

X 1 , X 2 , ..., X N , ..., (1)

i znane jest prawo zmiany zmiennej X N, tj. dla każdej liczby naturalnej N możesz określić odpowiednią wartość X N. Zakłada się zatem, że zmienna X N jest funkcją N:

X N = f(n)

Zdefiniujmy jedno z najważniejszych pojęć analizy matematycznej - granicę ciągu, czyli, co to samo, granicę zmiennej X N sekwencja biegu X 1 , X 2 , ..., X N , ... . .

Definicja. stała liczba A zwany limit sekwencji X 1 , X 2 , ..., X N , ... . lub granicę zmiennej X N, jeśli dla dowolnie małej liczby dodatniej e istnieje taka liczba naturalna N(tj. liczba N), że wszystkie wartości zmiennej X N, zaczynając od X N, różnią A mniejsza w wartości bezwzględnej niż e. Ta definicja krótko napisane tak:

| X N - A |< (2)

dla wszystkich N  N lub, co jest tym samym,

Definicja granicy Cauchy'ego. Liczbę A nazywamy granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeżeli funkcja ta jest określona w jakimś sąsiedztwie punktu a, być może z wyjątkiem samego punktu a, i dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taki, że dla wszystkich x spełnia warunek |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definicja granicy Heinego. Liczbę A nazywamy granicą funkcji f (x) w punkcie a, jeśli funkcja ta jest zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu a, być może z wyjątkiem samego punktu a i dowolnego ciągu takiego, że zbieżny do liczby a, odpowiednia sekwencja wartości funkcji zbiega się do liczby A.

Jeżeli funkcja f(x) ma granicę w punkcie a, to granica ta jest jednoznaczna.

Liczbę A 1 nazywamy lewą granicą funkcji f (x) w punkcie a jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ >

Liczbę A 2 nazywamy prawą granicą funkcji f (x) w punkcie a jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że nierówność

Granicę po lewej stronie oznaczamy jako granicę po prawej stronie - Granice te charakteryzują zachowanie funkcji po lewej i prawej stronie punktu a. Często określa się je mianem limitów jednokierunkowych. W zapisie granic jednostronnych jako x → 0 zwykle pomija się pierwsze zero: i . A więc dla funkcji

Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ-sąsiedztwo punktu a takie, że dla wszystkich x spełniających warunek |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, wówczas mówimy, że funkcja f (x) ma nieskończoną granicę w punkcie a:

Zatem funkcja ma nieskończoną granicę w punkcie x = 0. Często rozróżnia się granice równe +∞ i –∞. Więc,

Jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że dla dowolnego x > δ nierówność |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Twierdzenie o istnieniu dla najmniejszej górnej granicy

Definicja: AR mR, m - górna (dolna) powierzchnia A, jeśli аА аm (аm).

Definicja: Zbiór A jest ograniczony z góry (od dołu), jeśli istnieje m takie, że аА, to аm (аm) jest spełnione.

Definicja: SupA=m, jeśli 1) m - górna granica A

2) m’: m’ m' nie jest górną ścianą A

InfA = n jeśli 1) n jest końcem A

2) n’: n’>n => n’ nie jest infimum A

Definicja: SupA=m jest liczbą taką, że: 1)  aA am

2) >0 a  A, tak że a  a-

InfA = n nazywa się liczbą taką, że:

2) >0 a  A, tak że a E a+

Twierdzenie: Każdy niepusty zbiór АR ograniczony z góry ma najlepszą górną granicę i to wyjątkową.

Dowód:

Konstruujemy liczbę m na prostej rzeczywistej i udowadniamy, że jest to najmniejsza górna granica A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - górna powierzchnia A

Odcinek [[m],[m]+1] - podzielony na 10 części

m 1 =maks.:aA)]

m 2 = maks., m 1:aA)]

m do =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - górna ściana A

Udowodnimy, że m=[m],m 1 ...m K jest najmniejszą górną granicą i jest jednoznaczna:

do: .

Ryż. 11. Wykres funkcji y arcsin x.

Wprowadźmy teraz pojęcie funkcji zespolonej ( prezentować kompozycje). Niech dane będą trzy zbiory D, E, M oraz niech f: D → E, g: E → M. Oczywiście istnieje możliwość skonstruowania nowego odwzorowania h: D → M, zwanego złożeniem odwzorowań f i g lub funkcją zespoloną (rys. 12).

Funkcję zespoloną oznaczamy następująco: z =h(x)=g(f(x)) lub h = f o g.

Ryż. 12. Ilustracja koncepcji funkcji zespolonej.

Wywołuje się funkcję f (x). funkcja wewnętrzna i funkcja g ( y ) - funkcja zewnętrzna.

1. Funkcja wewnętrzna f (x) = x², zewnętrzna g (y) sin y. Funkcja zespolona z= g(f(x))=sin(x²)

2. Teraz odwrotnie. Funkcja wewnętrzna f (x)= sinx, zewnętrzna g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)