Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego lekcja. Co to jest radian
Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcja trygonometryczna argumentu kątowego, miara stopnia kąta i radiany”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.
Instrukcje i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania budowlane
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w kosmosie
Co będziemy studiować:
1. Pamiętajmy o geometrii.
2. Definicja argumentu kątowego.
3. Stopniowa miara kąta.
4. Radianowa miara kąta.
5. Co to jest radian?
6. Przykłady i zadania do samodzielnego rozwiązania.
Powtórzenie geometrii
Chłopaki, w naszych funkcjach:
y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)
Zmienna t może przyjmować nie tylko wartości liczbowe, czyli być argumentem liczbowym, ale może być również traktowana jako miara kąta – argument kątowy.
Spójrzmy na geometrię!
Jak tam zdefiniowaliśmy sinus, cosinus, tangens, cotangens?
Sinus kąta to stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej
Cosinus kąta - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej
Tangens kąta to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej.
Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwległej.
Definicja funkcji trygonometrycznej argumentu kątowego
Zdefiniujmy funkcje trygonometryczne jako funkcje argumentu kąta na kole liczbowym:Za pomocą koła numerycznego i układu współrzędnych zawsze możemy łatwo znaleźć sinus, cosinus, styczną i cotangens kąta:
Wierzchołek naszego kąta α umieszczamy w środku okręgu, tj. do środka osi współrzędnych i umieść jeden z boków tak, aby pokrywał się z dodatnim kierunkiem osi x (OA)
Następnie drugi bok przecina koło liczbowe w punkcie M.
Rzędna punkty M: sinus kąta α
Odcięta punkty M: cosinus kąta α
Zauważ, że długość łuku AM jest tą samą częścią koła jednostkowego, co nasz kąt α od 360 stopni: 
gdzie t jest długością łuku AM.
Stopniowa miara kąta
1) Chłopaki, mamy wzór na określenie miary stopnia kąta na długości łuku koła numerycznego, przyjrzyjmy się mu bliżej:Następnie zapisujemy funkcje trygonometryczne w postaci:
Na przykład:
Radianowa miara kątów
Przy obliczaniu stopnia lub miary kąta w radianach pamiętaj! : Na przykład:
Przy okazji! Oznaczenie rad. możesz rzucić!
Co to jest radian?
Drodzy przyjaciele, natrafiliśmy na nową koncepcję - Radian. Więc co to jest?Istnieć różne środki długość, czas, waga np.: metr, kilometr, sekunda, godzina, gram, kilogram i inne. Radian jest więc jedną z miar kąta. Warto wziąć pod uwagę kąty środkowe, czyli znajdujące się w środku koła numerycznego.
Kąt 1 stopień jest kątem środkowym opartym na łuku równym 1/360 obwodu.
Kąt 1 radiana jest kątem środkowym opartym na łuku równym 1 w okręgu jednostkowym oraz w dowolnym okręgu na łuku równym promieniowi koła.
Przykłady:
Przykłady zamiany miary kąta w stopniach na radiany i odwrotnie
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1. Znajdź radianową miarę kątów:a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°
2. Znajdź:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)
3. Znajdź miarę stopni kątów: 
Niezależnie od liczby rzeczywistej t można jej przypisać jednoznacznie zdefiniowaną liczbę sin t. To prawda, że reguła zgodności jest dość skomplikowana; jak widzieliśmy powyżej, składa się z następujących elementów.
Aby znaleźć wartość sin t według liczby t, potrzebujesz:
1) ustawić okrąg liczbowy na płaszczyźnie współrzędnych tak, aby środek okręgu pokrywał się z początkiem współrzędnych, a punkt początkowy A okręgu trafił w punkt (1; 0);
2) znaleźć punkt na okręgu odpowiadający liczbie t;
3) znajdź rzędną tego punktu.
Ten rzędny to grzech t.
W rzeczywistości mówimy o funkcji u = sin t, gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Wszystkie te funkcje są wywoływane funkcje trygonometryczne argumentu numerycznego t.
Istnieje szereg zależności łączących wartości różnych funkcji trygonometrycznych, niektóre z tych zależności już otrzymaliśmy:
grzech 2 t + sałata 2 t = 1
Z dwóch ostatnich wzorów łatwo otrzymać zależność łączącą tg t i ctg t:
Wszystkie te wzory są używane w przypadkach, gdy znając wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej, wymagane jest obliczenie wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych.
Terminy „sinus”, „cosinus”, „styczna” i „cotangens” były właściwie znane, jednak nadal były używane w nieco innej interpretacji: w geometrii i fizyce uważano je za sinus, cosinus, styczną i cotangens g l a(ale nie
numery, jak to było w poprzednich akapitach).
Z geometrii wiadomo, że sinus (cosinus) kąta ostrego to stosunek ramienia trójkąta prostokątnego do jego przeciwprostokątnej, a styczna (cotangens) kąta to stosunek ramion trójkąta prostokątnego. Inne podejście do pojęć sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa zostało przedstawione w poprzednich akapitach. W rzeczywistości te podejścia są ze sobą powiązane.
Weźmy kąt o mierze stopniowej b o i ułóżmy go w modelu „okrąg liczbowy w prostokątnym układzie współrzędnych” tak, jak pokazano na rys. 14
narożny blat kompatybilny ze środkiem
okręgi (z początkiem układu współrzędnych),
a jedna strona narożnika jest kompatybilna
dodatni promień osi x. punkt
przecięcie drugiego boku kąta z
okrąg będzie oznaczony literą M. Ordina-
Rysunek 14 b o , a odciętą tego punktu jest cosinus kąta b o .
Aby znaleźć sinus lub cosinus kąta b o, wcale nie trzeba za każdym razem wykonywać tych bardzo skomplikowanych konstrukcji.
Wystarczy zauważyć, że łuk AM jest taką samą częścią długości okręgu numerycznego, jak kąt b o od kąta 360°. Jeśli długość łuku AM jest oznaczona literą t, to otrzymujemy:
Zatem,
Na przykład,
Uważa się, że 30 ° jest miarą kąta w stopniach i jest miarą tego samego kąta w radianach: 30 ° = rad. W ogóle:
W szczególności cieszę się, skąd z kolei dostajemy.
Więc ile to jest 1 radian? Istnieją różne miary długości segmentów: centymetry, metry, jardy itp. Istnieją również różne miary wskazujące wielkość kątów. Rozważamy kąty środkowe koła jednostkowego. Kąt 1° to kąt środkowy oparty na łuku będącym częścią koła. Kąt 1 radiana jest kątem środkowym opartym na łuku o długości 1, tj. na łuku, którego długość jest równa promieniowi koła. Ze wzoru otrzymujemy, że 1 rad \u003d 57,3 °.
Biorąc pod uwagę funkcję u = sin t (lub dowolną inną funkcję trygonometryczną), możemy uznać zmienną niezależną t za argument numeryczny, tak jak to miało miejsce w poprzednich akapitach, ale możemy również uznać tę zmienną za miarę kąta, tj. kątowy argument. Dlatego mówiąc o funkcji trygonometrycznej, w pewnym sensie obojętne jest traktowanie jej jako funkcji argumentu liczbowego lub kątowego.
Funkcje trygonometryczne argumentu liczbowego przeanalizowaliśmy. Wzięliśmy punkt A na okręgu i szukaliśmy sinusów i cosinusów z wynikowego kąta β.
Oznaczyliśmy punkt jako A, ale w algebrze jest on często oznaczany jako t i wszystkie formuły/funkcje są z nim dane. Nie będziemy też odchodzić od kanonów. Te. t - będzie to pewna liczba, a zatem funkcja numeryczna(np. grzech)
Logiczne jest, że skoro mamy okrąg o promieniu jeden, to
Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego pomyślnie go przeanalizowaliśmy - zgodnie z kanonami napiszemy dla takich funkcji: sin α °, czyli przez α ° dowolny kąt o liczbie stopni, których potrzebujemy.
Promień tego kąta da nam drugi punkt na okręgu (OA - punkt A) oraz odpowiadające mu punkty C i B dla numerycznej funkcji argumentu, jeśli tego potrzebujemy: grzech t = grzech α°
Linie sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów
Nigdy tego nie zapomnij oś y to linia sinusoidalna, oś x to linia cosinusów! Punkty uzyskane z okręgu są zaznaczone na tych osiach.
A linie stycznych i cotangensów są do nich równoległe i przechodzą przez punkty (1; 0) i (0; 1) odpowiednio.
Lekcja wideo „Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego” to materiał wizualny do przeprowadzenia lekcji matematyki na odpowiedni temat. Film jest skomponowany w taki sposób, aby badany materiał był przedstawiony jak najbardziej dogodnie dla uczniów do zrozumienia, był łatwy do zapamiętania, dobrze ujawnia związek między dostępnymi informacjami o funkcjach trygonometrycznych z części dotyczącej badania trójkątów a ich definicją za pomocą koła jednostkowego. Może stać się samodzielną częścią lekcji, ponieważ w pełni obejmuje ten temat, uzupełnione ważnymi komentarzami w trakcie punktacji.
Aby wyraźnie pokazać połączenie różne definicje wykorzystywane są funkcje trygonometryczne, efekty animacji. Podkreślenie tekstu kolorem, czytelne, zrozumiałe konstrukcje, uzupełnienie komentarzami pomaga szybko opanować, zapamiętać materiał i szybciej osiągnąć cele lekcji. Związek między definicjami funkcji trygonometrycznych jest jasno pokazany za pomocą efektów animacji i podświetlania kolorami, co sprzyja zrozumieniu i zapamiętywaniu materiału. Podręcznik ma na celu poprawę efektywności szkolenia.
Lekcja rozpoczyna się wprowadzeniem do tematu. Następnie przywołuje się definicje sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa kąta ostrego trójkąta prostokątnego. Definicja zaznaczona w ramce przypomina, że sinus i cosinus są utworzone jako stosunek ramienia do przeciwprostokątnej, a styczna i cotangens są utworzone przez stosunek nóg. Przypomina się również studentom z niedawno przestudiowanego materiału, że rozważając punkt należący do okręgu jednostkowego, odciętą punktu jest cosinus, a rzędną sinus liczby odpowiadającej temu punktowi. Połączenie tych pojęć jest zademonstrowane za pomocą konstrukcji. Okrąg jednostkowy jest wyświetlany na ekranie, umieszczony tak, że jego środek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. Promień jest konstruowany z początku współrzędnych, tworząc kąt α z dodatnią półosią odciętych. Promień ten przecina okrąg jednostkowy w punkcie O. Prostopadłe schodzą od punktu do odciętych i osi y, wykazując, że współrzędne tego punktu określają cosinus i sinus kąta α. Należy zauważyć, że długość łuku AO od punktu przecięcia się okręgu jednostkowego z dodatnim kierunkiem osi odciętych do punktu O jest taką samą częścią całego łuku jak kąt α od 360°. Pozwala to na utworzenie proporcji α/360=t/2π, która jest wyświetlana w tym miejscu i podświetlana na czerwono w celu zapamiętania. Z tej proporcji wyprowadzana jest wartość t=πα/180°. Biorąc to pod uwagę, wyznacza się zależność między definicjami sinusa i cosinusa sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Na przykład podano znalezienie grzechu60 °. Podstawiając do wzoru miarę stopnia kąta, otrzymujemy sin π 60°/180°. Zmniejszając ułamek o 60, otrzymujemy sin π/3, co równa się √3/2. Należy zauważyć, że jeśli 60° jest miarą kąta w stopniach, to π/3 nazywa się radianową miarą kąta. Istnieją dwa możliwe zapisy stosunku miary kąta w stopniach do radiana: 60°=π/3 i 60°=π/3 rad.
Pojęcie kąta jednego stopnia definiuje się jako kąt środkowy oparty na łuku, którego długość 1/360 reprezentuje część obwodu. Poniższa definicja ujawnia pojęcie kąta jednego radiana - kąta środkowego opartego na łuku o długości jeden lub równej promieniowi koła. Definicje są oznaczone jako ważne i wyróżnione do zapamiętania.
Aby przeliczyć miarę kąta o jeden stopień na radian i odwrotnie, stosuje się wzór α ° \u003d πα / 180 rad. Ta formuła jest podświetlona w ramce na ekranie. Z tego wzoru wynika, że 1°=π/180 rad. W tym przypadku jeden radian odpowiada kątowi 180°/π≈57,3°. Należy zauważyć, że przy znajdowaniu wartości funkcji trygonometrycznych zmiennej niezależnej t można ją uznać zarówno za argument numeryczny, jak i kątowy.
Ponadto zademonstrowano przykłady wykorzystania zdobytej wiedzy w trakcie rozwiązywania problemów matematycznych. W przykładzie 1 wymagane jest przeliczenie wartości ze stopni na radiany 135° i 905°. Po prawej stronie ekranu znajduje się formuła przedstawiająca zależność między stopniem a radianem. Po podstawieniu wartości do wzoru otrzymujemy (π/180) 135. Po skróceniu tego ułamka o 45 otrzymujemy wartość 135°=3π/4. Aby przeliczyć kąt 905° na radiany, stosuje się ten sam wzór. Po podstawieniu do niej wartości okazuje się (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 rad.
W drugim przykładzie rozwiązuje się problem odwrotny - znajduje się miarę kątów wyrażoną w radianach π/12, -21π/20, 2,4π. Po prawej stronie ekranu przypomina się badany wzór na związek między stopniem a radianą miary kąta 1 rad \u003d 180 ° / π. Każdy przykład rozwiązuje się, podstawiając do wzoru miarę w radianach. Podstawiając π/12, otrzymujemy (180°/π)·(π/12)=15°. Podobnie znajdują się wartości pozostałych kątów -21π/20=-189° i 2,4π=432°.
Lekcja wideo „Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego” jest zalecana do wykorzystania na tradycyjnych lekcjach matematyki w celu zwiększenia efektywności uczenia się. Materiał pomoże zapewnić wizualizację uczenia się podczas nauczania na odległość na ten temat. Szczegółowe, zrozumiałe wyjaśnienie tematu, rozwiązywanie problemów na nim może pomóc uczniowi w samodzielnym opanowaniu materiału.
INTERPRETACJA TEKSTÓW:
„Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego”.
Wiemy już z geometrii, że sinus (cosinus) kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek ramienia do przeciwprostokątnej, a styczna (cotangens) to stosunek ramion. W algebrze odciętą punktu na okręgu jednostkowym nazywamy cosinusem, a rzędną tego punktu sinusem. Zadbamy o to, aby to wszystko było ze sobą ściśle powiązane.
Wstawmy kąt o mierze stopnia α° (stopnie alfa), jak pokazano na rysunku 1: wierzchołek kąta jest zgodny ze środkiem okręgu jednostkowego (z początkiem układu współrzędnych), a jeden bok kąt jest zgodny z dodatnim promieniem osi x. Drugi bok kąta przecina okrąg w punkcie O. Rzędna punktu O to sinus kąta alfa, a odcięta tego punktu to cosinus alfa.
Zauważ, że łuk AO jest taką samą częścią długości koła jednostkowego, jak kąt alfa od kąta trzystu sześćdziesięciu stopni. Oznaczmy długość łuku AO przez t(te), wtedy uzupełnimy proporcję =
(alfa odnosi się do trustów sześćdziesięciu jako te do dwóch pi). Stąd znajdujemy te: t = = (te równa się pi alfa podzielone przez sto osiemdziesiąt).
Tak więc, aby znaleźć sinus lub cosinus kąta alfa stopni, możesz użyć wzoru:
grzech α ° \u003d sint \u003d grzech (sinus stopni alfa jest równy sinusowi te i jest równy sinusowi prywatnego pi alfa do stu osiemdziesięciu),
cosα° \u003d koszt \u003d cos (cosinus stopni alfa jest równy cosinusowi te i jest równy cosinusowi prywatnego pi alfa do stu osiemdziesięciu).
Na przykład grzech 60 ° \u003d grzech \u003d grzech \u003d (sinus sześćdziesięciu stopni jest równy sinusowi pi przez trzy, zgodnie z tabelą podstawowych wartości sinusów, jest równy pierwiastkowi trzy na dwa).
Uważa się, że 60 ° jest miarą kąta, a (pi przez trzy) jest radianą miarą tego samego kąta, to znaczy 60 ° = zadowolony(sześćdziesiąt stopni równa się pi razy trzy radiany). Dla zwięzłości uzgodniliśmy notację zadowolony pomiń, tzn. dozwolony jest następujący zapis: 60°= (pokaż skróty radian miara = rad.)
Kąt jednego stopnia to kąt środkowy oparty na łuku, który stanowi (jedną trzysta sześćdziesiątą) część łuku. Kąt jednego radiana to kąt środkowy oparty na łuku o długości jeden, to znaczy na łuku, którego długość jest równa promieniowi koła (rozważamy kąty środkowe okręgu jednostkowego, aby pokazać kąt w pi radiany na okręgu).
Przypomnijmy sobie ważny wzór na przeliczanie miary stopnia na radian:
α° = zadowolony. (alfa równa się pi alfa podzielone przez sto osiemdziesiąt radianów) W szczególności 1° = zadowolony(jeden stopień równa się liczbie pi podzielonej przez sto osiemdziesiąt radianów).
Z tego możemy wywnioskować, że jeden radian jest równy stosunkowi sto osiemdziesiąt stopni do pi i jest w przybliżeniu równy pięćdziesięciu siedmiu przecinek trzy dziesiąte stopnia: 1 zadowolony= ≈ 57,3°.
Z powyższego: kiedy mówimy o dowolnej funkcji trygonometrycznej, na przykład o funkcji s \u003d sint (es jest równe sinus te), zmienną niezależną t (te) można uznać zarówno za argument numeryczny, jak i argument kątowy.
Rozważ przykłady.
PRZYKŁAD 1. Zamień ze stopni na radiany: a) 135°; b) 905°.
Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru na konwersję stopni na radiany:
a) 135° = 1° ∙ 135 = zadowolony ∙ 135 = zadowolony
(sto trzydzieści pięć stopni równa się pi razy sto osiemdziesiąt radianów razy sto trzydzieści pięć, a po redukcji trzy pi razy cztery radiany)
b) Podobnie, korzystając ze wzoru na przeliczanie miary stopnia na radian, otrzymujemy
905° = zadowolony ∙ 905 = zadowolony.
(dziewięćset pięć stopni to sto osiemdziesiąt jeden pi razy trzydzieści sześć radianów).
PRZYKŁAD 2. Wyraź w stopniach: a) ; B) -; c) 2,4π
(pi razy dwanaście; minus dwadzieścia jeden pi razy dwadzieścia; dwie przecinek cztery dziesiąte liczby pi).
Rozwiązanie. a) Wyraź w stopniach pi przez dwanaście, użyj wzoru do przeliczenia radianowej miary kąta na miarę stopniową w 1 zadowolony=, otrzymujemy
zadowolony = 1 zadowolony∙ = ∙ = 15°
Podobnie b) - = 1 zadowolony∙ (-) = ∙ (-)= - 189°(minus dwadzieścia jeden pi razy dwadzieścia równa się minus sto osiemdziesiąt dziewięć stopni),
c) 2,4π = 1 zadowolony∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (dwa przecinek cztery liczby pi równa się czterysta trzydzieści dwa stopnie).
