الدوال المعكوسة وخصائصها والرسوم البيانية هي أمثلة. مفهوم الدالة العكسية. مثال: وظائف التربيع والجذر

أهداف الدرس:

التعليمية:

• بناء المعرفة على موضوع جديدوفقًا لمواد البرنامج ؛
• لدراسة خاصية انعكاس الدالة وتعليم كيفية إيجاد دالة معكوسة لوظيفة معينة ؛

النامية:

• تطوير مهارات ضبط النفس ، والكلام الموضوع ؛
• إتقان مفهوم الدالة العكسية وتعلم طرق إيجاد دالة عكسية ؛

التعليمية: لتكوين الكفاءة الاتصالية.

معدات:كمبيوتر ، جهاز عرض ، شاشة ، السبورة التفاعلية SMART Board ، نشرة ( عمل مستقل) للعمل الجماعي.

خلال الفصول.

1. لحظة تنظيمية.

هدف – تحضير الطلاب للعمل في الفصل:

تعريف الغائب

موقف الطلاب من العمل ، وتنظيم الاهتمام ؛

رسالة حول موضوع الدرس والغرض منه.

2. تحديث المعارف الأساسية للطلاب.الاستطلاع الأمامي.

هدف - لإثبات صحة وإدراك المادة النظرية المدروسة ، وتكرار المادة التي تمت تغطيتها.<Приложение 1 >

للطلاب في ألواح الكتابة التفاعليةيظهر الرسم البياني للوظيفة. يقوم المعلم بصياغة المهمة - للنظر في الرسم البياني للوظيفة وسرد الخصائص المدروسة للوظيفة. يسرد الطلاب خصائص الوظيفة وفقًا لتصميم البحث. يقوم المدرس ، على يمين الرسم البياني للوظيفة ، بكتابة الخصائص المسماة بعلامة على السبورة التفاعلية.

خصائص الوظيفة:

في نهاية الدراسة ، أفاد المعلم أنه اليوم في الدرس سيتعرف على خاصية أخرى للوظيفة - قابلية الانعكاس. للحصول على دراسة هادفة للمواد الجديدة ، يدعو المعلم الأطفال للتعرف على الأسئلة الرئيسية التي يجب على الطلاب الإجابة عليها في نهاية الدرس. تتم كتابة الأسئلة على لوحة عادية ولكل طالب نشرة (يتم توزيعها قبل الدرس)

1. ما هي الوظيفة العكسية؟
2. هل كل وظيفة قابلة للعكس؟
3. ما هي الدالة المعكوسة المعطاة؟
4. كيف يرتبط مجال التعريف ومجموعة قيم الدالة ودالتها العكسية؟
5. إذا أعطيت الدالة بشكل تحليلي ، فكيف تحدد الدالة العكسية باستخدام صيغة؟
6. إذا أعطيت الدالة بيانياً ، فكيف نرسم الدالة العكسية؟

3. شرح المواد الجديدة.

هدف - لتكوين المعرفة حول موضوع جديد وفقًا لمواد البرنامج ؛ لدراسة خاصية انعكاس الدالة وتعليم كيفية إيجاد دالة معكوسة لوظيفة معينة ؛ تطوير الموضوع.

يقوم المعلم بإجراء عرض تقديمي للمادة وفقًا لمادة الفقرة. على السبورة التفاعلية ، يقارن المعلم الرسوم البيانية لوظيفتين تتشابه مجالات تعريفهما ومجموعات القيم ، لكن إحداهما رتيبة والأخرى ليست كذلك ، مما يضع الطلاب تحت مفهوم الوظيفة العكسية .

يقوم المعلم بعد ذلك بصياغة تعريف الوظيفة العكسية وإثبات نظرية الدالة العكسية باستخدام الرسم البياني للوظيفة الرتيبة على السبورة التفاعلية.

التعريف 1: الوظيفة y = f (x) ، x X تسمى تفريغ، إذا كان يأخذ أيًا من قيمه عند نقطة واحدة فقط من المجموعة X.

النظرية: إذا كانت الدالة y = f (x) رتيبة في المجموعة X ، فإنها تكون قابلة للعكس.

دليل:

1. دع الوظيفة ص = و (س)يزيد بنسبة Xدعها تذهب × 1 × 2- نقطتان من المجموعة X.
2. من أجل التحديد ، اسمحوا × 1< × 2.
   ثم من ماذا × 1< × 2يتبع ذلك و (× 1) < و (× 2).
3. وبالتالي ، تتوافق قيم الوسيطة المختلفة مع قيم مختلفة للوظيفة ، أي الوظيفة قابلة للعكس.

(أثناء إثبات النظرية ، يقدم المعلم جميع التفسيرات اللازمة على الرسم بعلامة)

قبل صياغة تعريف الوظيفة العكسية ، يطلب المعلم من الطلاب تحديد أي من الوظائف المقترحة قابلة للعكس؟ تعرض السبورة التفاعلية رسومًا بيانية للوظائف وتتم كتابة العديد من الوظائف المحددة تحليليًا:

ب)

ز) ص = 2 س + 5

د) ص = -x 2 + 7

يقدم المعلم تعريف الدالة العكسية.

التعريف 2: دع دالة قابلة للعكس ص = و (س)المحددة في المجموعة Xو ه (و) = ص. دعونا نتطابق مع كل منهما ذمن صثم المعنى الوحيد X، الذي و (س) = ص.ثم نحصل على دالة معرفة على ص، أ Xهو نطاق الوظيفة

يتم الإشارة إلى هذه الوظيفة س = و -1 (ص)ويسمى معكوس الوظيفة ص = و (س).

الطلاب مدعوون لاستخلاص استنتاج حول العلاقة بين مجال التعريف ومجموعة قيم الوظائف العكسية.

للنظر في مسألة كيفية العثور على الوظيفة العكسية لمعطى ، أشرك المعلم اثنين من الطلاب. في اليوم السابق ، تلقى الأطفال مهمة من المعلم لتحليل الأساليب التحليلية والرسومية بشكل مستقل لإيجاد الوظيفة المعكوسة المعينة. عمل المدرس كمستشار في إعداد الطلاب للدرس.

رسالة من الطالب الأول.

ملاحظة: رتابة الوظيفة هي كافٍشرط وجود دالة عكسية. لكن ذلك ليسشرط ضروري.

قدم الطالب أمثلة لمواقف مختلفة عندما لا تكون الوظيفة رتيبة ، ولكنها قابلة للعكس ، عندما لا تكون الوظيفة رتيبة وغير قابلة للعكس ، عندما تكون رتيبة وقابلة للانعكاس

ثم يقوم الطالب بتعريف الطلاب على طريقة إيجاد الدالة العكسية المعطاة تحليليًا.

إيجاد الخوارزمية

1. تأكد من أن الوظيفة رتيبة.
2. اكتب س بدلالة ص.
3. إعادة تسمية المتغيرات. بدلاً من x \ u003d f -1 (y) يكتبون y \ u003d f -1 (x)

ثم يحل مثالين لإيجاد دالة معكوس المعطى.

مثال 1:بيّن أن هناك دالة عكسية للدالة y = 5x-3 وابحث عن التعبير التحليلي الخاص بها.

حل. يتم تعريف الدالة الخطية y = 5x-3 على R ، وتزداد على R ، ومداها هو R. ومن ثم ، توجد الدالة العكسية على R. للعثور على تعبيرها التحليلي ، نحل المعادلة y = 5x-3 فيما يتعلق بـ العاشر ؛ نحصل على هذه هي الوظيفة العكسية المطلوبة. يتم تعريفه ويزيد بواسطة R.

المثال الثاني:بيّن أن هناك دالة عكسية للدالة y = x 2 ، x≤0 ، وابحث عن التعبير التحليلي الخاص بها.

الوظيفة مستمرة ، رتيبة في مجال تعريفها ، لذلك فهي قابلة للعكس. بعد تحليل مجالات التعريف ومجموعة قيم الوظيفة ، يتم التوصل إلى نتيجة مقابلة حول التعبير التحليلي للدالة العكسية.

يقدم الطالب الثاني عرضًا تقديميًا حول رسم بيانيكيفية إيجاد الدالة العكسية. في سياق شرحه يستخدم الطالب قدرات السبورة التفاعلية.

للحصول على الرسم البياني للدالة y = f -1 (x) ، معكوسًا للدالة y = f (x) ، من الضروري تحويل الرسم البياني للدالة y = f (x) بشكل متماثل فيما يتعلق بالخط المستقيم ص = س.

أثناء الشرح على السبورة التفاعلية ، يتم تنفيذ المهمة التالية:

أنشئ رسمًا بيانيًا لوظيفة ورسمًا بيانيًا لوظيفتها العكسية في نفس نظام الإحداثيات. اكتب تعبيرًا تحليليًا للدالة العكسية.

4. التثبيت الأولي للمادة الجديدة.

هدف - لإثبات صحة وإدراك فهم المواد المدروسة ، لتحديد الثغرات في الفهم الأساسي للمادة ، وتصحيحها.

يتم تقسيم الطلاب إلى أزواج. يتم إعطاؤهم أوراقًا بها مهام يعملون فيها في أزواج. الوقت المحدد لإنجاز العمل محدود (5-7 دقائق). يعمل زوج واحد من الطلاب على الكمبيوتر ، ويتم إيقاف تشغيل جهاز العرض لهذه المرة ولا يمكن لبقية الأطفال رؤية كيفية عمل الطلاب على الكمبيوتر.

في نهاية الوقت (يفترض أن غالبية الطلاب أكملوا العمل) ، تعرض السبورة التفاعلية (يتم تشغيل جهاز العرض مرة أخرى) عمل الطلاب ، حيث يتم توضيح أثناء الاختبار أن المهمة قد اكتملت في أزواج. إذا لزم الأمر ، يقوم المعلم بعمل تصحيحي وتوضيحي.

عمل مستقل في أزواج<الملحق 2 >

5. نتيجة الدرس.حول الأسئلة التي طرحت قبل المحاضرة. اعلان الدرجات للدرس.

الواجب المنزلي §10. №№ 10.6 (أ ، ج) 10.8-10.9 (ب) 10.12 (ب)

الجبر وبدايات التحليل. الصف العاشر في جزأين للمؤسسات التعليمية (مستوى الملف الشخصي) / A.G. Mordkovich ، L.O. Denishcheva ، T.A. Koreshkova وآخرون ؛ إد. إيه جي مردكوفيتش ، إم: منيموسين ، 2007

التعبيرات المتوافقة التي تتحول إلى بعضها البعض. لفهم ما يعنيه هذا ، يجدر النظر مثال محدد. لنفترض أن لدينا y = cos (x). إذا أخذنا جيب التمام من السعة ، فيمكننا إيجاد قيمة y. من الواضح ، لهذا يجب أن يكون لديك x. ولكن ماذا لو أعطيت اللعبة في البداية؟ هذا هو المكان الذي يصل فيه إلى قلب الأمر. لحل المشكلة ، يلزم استخدام دالة عكسية. في حالتنا ، هذا هو قوس القوس.

بعد كل التحولات ، نحصل على: x = arccos (y).

أي ، لإيجاد دالة معكوسة لواحدة معينة ، يكفي التعبير ببساطة عن وسيطة منها. لكن هذا لا يعمل إلا إذا كان للنتيجة قيمة واحدة (المزيد عن ذلك لاحقًا).

بشكل عام ، يمكن كتابة هذه الحقيقة على النحو التالي: f (x) = y ، g (y) = x.

تعريف

لنفترض أن f دالة تم تعيين مجالها X ومجالها محدد Y. ثم إذا كان هناك g التي تؤدي مجالاتها مهام معاكسة ، فإن f تكون قابلة للعكس.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن g في هذه الحالة فريدة ، مما يعني أن هناك وظيفة واحدة تفي بهذه الخاصية (لا أكثر ولا أقل). ثم تسمى الوظيفة العكسية ، وكتابتها يشار إليها على النحو التالي: g (x) \ u003d f -1 (x).

بمعنى آخر ، يمكن اعتبارها علاقة ثنائية. يحدث الانعكاس فقط عندما يتطابق عنصر واحد من المجموعة مع قيمة من أخرى.

لا توجد دائما دالة عكسية. للقيام بذلك ، يجب أن يتوافق كل عنصر y є Y مع واحد على الأكثر x є X. ثم تسمى f واحد لواحد أو الحقن. إذا كانت f -1 تنتمي إلى Y ، فيجب أن يتوافق كل عنصر من هذه المجموعة مع بعض x ∈ X. تسمى الوظائف التي لها هذه الخاصية Surjections. إنها تحمل بحكم التعريف إذا كانت Y هي صورة f ، لكن هذا ليس هو الحال دائمًا. لكي تكون معكوسًا ، يجب أن تكون الوظيفة عبارة عن حقنة وفرض. هذه التعبيرات تسمى bijections.

مثال: وظائف التربيع والجذر

يتم تعريف الوظيفة على. في هذه الحالة ، مشتقها

قسم الرياضيات والمعلوماتية التحليل الرياضي مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب HPE الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد الوحدة 4 تطبيقات المشتق من إعداد: أستاذ مشارك

الفصل 1. الحدود والاستمرارية 1. المجموعات العددية 1 0. الأعداد الحقيقية من رياضيات المدرسة تعرف الأعداد الصحيحة N الطبيعية Z المنطقية Q والأرقام الحقيقية R الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة

المحاضرة 19 المشتقة وتطبيقاتها. تعريف المشتقات. لنحصل على دالة y = f (x) مُعرَّفة في بعض الفترات. لكل قيمة من قيمة الوسيطة x من هذه الفترة ، الدالة y = f (x)

حساب التفاضل والتكامل المفاهيم الأساسية والصيغ التعريف 1 يسمى مشتق دالة عند نقطة حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة ، بشرط أن تكون الزيادة في الوسيطة

موضوع 8. الدوال الأسية واللوغاريتمية. 1. الدالة الأسية ورسمها البياني وخصائصها بالصيغة y = a x ،

44 مثال أوجد المشتق الكلي لدالة معقدة = sin v cos w حيث v = ln + 1 w = 1 وفقًا للصيغة (9) d v w v w = v w d sin cos + cos + 1 sin sin 1 الآن نجد المشتق الكلي للدالة المعقدة و

مهام لـ حل مستقل. أوجد مجال دالة 6x. أوجد ظل زاوية الميل إلى المحور x للماس المار عبر النقطة M (؛) في الرسم البياني للوظيفة. أوجد ظل الزاوية

موضوع الوظيفة العددية وخصائصها والرسم البياني مفهوم الوظيفة العددية مجال التعريف ومجموعة قيم الدالة دع مجموعة عددية X تُعطى قاعدة تطابق كل رقم X مع فريد

المحاضرة 23 محدب وإقلاع الرسم البياني لوظيفة نقطة الحبر يسمى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) محدب على الفاصل الزمني (أ ؛ ب) إذا كان موجودًا أسفل أي من ظلها في هذا الفاصل الزمني رسم بياني

موضوع نظرية الحدود تمرين عملي المتواليات العددية تعريف التسلسل العددي التسلسل المحدود وغير المحدود التسلسلات أحادية اللون صغيرة بلا حدود

الدوال العددية والتتابعات العددية DV Lytkina NPP ، I الفصل الدراسي DV Lytkina (SibSUTI) التحليل الرياضي لـ NPP ، الفصل الدراسي الأول 1/35 المحتويات 1 الوظيفة الرقمية مفهوم الوظيفة الوظائف العددية.

بنك المهام حول موضوع فئة الرياضيات "المنشقة" (الملف الشخصي) يجب أن يعرف الطلاب / يفهموا: مفهوم المشتق. تعريف المشتق. النظريات والقواعد لإيجاد مشتقات المجموع ، والفرق ، والمنتج

أ. أ. رياضيات Dalinger: وظيفة المثلث المساعدة التربوية لتطوير المشكلات للـ SPO - إصدارها وتصحيحها وتكميلها المهني

أ. Zemlyanko الرياضيات. الجبر وبدايات التحليل فورونيج محتويات الموضوع 1. الخصائص الرئيسية للوظيفة 6 1.1. دالة رقمية ... 6 1.2. الرسم البياني للوظيفة 9 1.3. جاري تحويل الرسوم البيانية للوظائف ...

موضوع. وظيفة. طرق المهمة. وظيفة ضمنية. وظيفة عكسية. تصنيف الوظائف عناصر نظرية المجموعات. المفاهيم الأساسية أحد المفاهيم الأساسية للرياضيات الحديثة هو مفهوم المجموعة.

دعونا نعطي مجموعة عددية D R. إذا تم تخصيص رقم واحد y لكل رقم x D ، فإننا نقول أن دالة رقمية معطاة في المجموعة D: y = f (x) ، x D. تسمى المجموعة D

وظائف من عدة متغيرات 11. تعريف دالة من عدة متغيرات. حد واستمرارية FNP 1. تعريف دالة من عدة متغيرات تعريف. دع X = (1 n i X i R) U R. الوظيفة

الرياضيات لجميع محتويات Yu.L.Kalinovskiy 1 رسوم بيانية للوظائف. الجزء الأول .............................. 5 1.1 مقدمة 5 1.1.1 مفهوم المجموعة ... ... ............................................ 5 1.1.

العمل التطبيقي 6 الموضوع: "دراسة كاملة للوظائف. بناء الرسوم البيانية "الغرض من العمل: تعلم كيفية استكشاف الوظائف من خلال المخطط العاموبناء الرسوم البيانية. نتيجة العمل يجب على الطالب:

الفصل 8 الوظائف والرسوم البيانية المتغيرات والتبعيات فيما بينها. كميتين وتسمى متناسبة مباشرة إذا كانت نسبتها ثابتة ، أي إذا كانت = ، حيث هي رقم ثابت لا يتغير مع التغيير

المحاضرة 2. العمليات مع المساحات الفرعية ، عدد القواعد ، عدد القواعد وعدد المساحات الفرعية للبعد k. النتائج الرئيسية للمحاضرة 2. 1) U V، U + V، dim (u + V). 2) حساب عدد المستويات في F 4 2.

السؤال 5. وظيفة وطرق الإعداد. أمثلة على الوظائف الأولية ورسوماتها. دعونا نعطي مجموعتين تعسفيتين X و Y. الوظيفة هي قاعدة يمكن بموجبها إيجاد كل عنصر من المجموعة X

المحاضرة 4 وظائف عددية لمتغير حقيقي مفهوم دالة طرق تعريف دالة الخصائص الأساسية للوظائف وظيفة معقدة 4 دالة عكسية مفهوم دالة طرق تعريف دالة دع D

المحاضرات الفصل وظائف المتغيرات المتعددة المفاهيم الأساسية بعض الوظائف للعديد من المتغيرات معروفة جيداً دعنا نعطي بعض الأمثلة لحساب مساحة المثلث ، صيغة هيرون S معروفة

استمرارية الوظائف استمرارية وظيفة عند نقطة حدود من جانب واحد التعريف يسمى الرقم A بالحد الأيسر للدالة f (x) حيث أن x تميل إلى إذا كان هذا الرقم موجودًا لأي رقم

العمل البحثي الرياضيات "تطبيق الخصائص القصوى لدالة لحل المعادلات" من: Elena Gudkova ، طالبة الصف 11 "G" MBOU الثانوية "Anninsky Lyceum" p.g.t. آنا هيد:

الوكالة الفيدرالية للتعليم ----- جامعة سانت بيترسبرغ البوليتكنيكال AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATHEMATICS الوظائف الابتدائية والرسوم البيانية الخاصة بهم تعليمي

وظائف المتغيرات المتعددة لا تغطي وظائف متغير مستقل كل التبعيات الموجودة في الطبيعة. لذلك ، من الطبيعي توسيع المفهوم المعروف للاعتماد الوظيفي وتقديمه

الوظيفة تعريف الوظيفة طرق تعريف الوظيفة خصائص الوظيفة الوظيفة العكسية حد الوظيفة حد الوظيفة عند نقطة حدود الجانب الواحد حد الوظيفة عند x لانهائي وظيفة عظيمة 4 محاضرة

قسم حساب التفاضل والتكامل لدالة واحدة وأكثر المتغيرات وظيفةالحجة الحقيقية الأعداد الحقيقية تسمى الأعداد الصحيحة الموجبة الأعداد الطبيعية إضافة إلى الأعداد الطبيعية

Sergei A Belyaev page 1 الحد الأدنى من الرياضيات الجزء 1 النظري 1 هل التعريف صحيح المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو أصغر رقم يقبل القسمة على كل رقم من الأرقام المعطاة

القسم 2 نظرية الحدود موضوع المتتاليات العددية تعريف التسلسل العددي 2 متواليات محدودة وغير محدودة 3 متواليات أحادية اللون 4 صغيرة بشكل غير محدود و

تمايز دالة ضمنية ضع في اعتبارك الوظيفة (،) = C (C = const) تحدد هذه المعادلة وظيفة ضمنية () لنفترض أننا حللنا هذه المعادلة ووجدنا تعبيرًا صريحًا = () الآن يمكننا

مهام الاختبار للتحضير للامتحان في تخصص "الرياضيات" لطلاب قسم المراسلات يسمى مشتق الوظيفة y \ u003d f (): f A) B) f C) f f إذا كان في بعض المناطق المجاورة للنقطة وظيفة

المتغيرات والثوابت نتيجة القياس كميات فيزيائية(الوقت والمساحة والحجم والكتلة والسرعة وما إلى ذلك) يتم تحديد قيمها العددية. الرياضيات تتعامل مع الكميات المشتتة

قسم التحليل الرياضي: مقدمة في التحليل الموضوع: مفهوم الوظيفة (التعريفات الأساسية ، التصنيف ، الخصائص الرئيسية للسلوك) المحاضر Rozhkova S.V. 2012 الأدب Piskunov N.S. التفاضلي

الدرس 7 متوسط ​​القيمة النظريات. قاعدة L'Hôpital 7. نظريات القيمة المتوسطة نظريات القيمة المتوسطة هي ثلاث نظريات: Rolle و Lagrange و Cauchy ، كل منها يعمم النظريات السابقة. تسمى هذه النظريات أيضًا

محاضرة أعدها Assoc.

تمايز وظائف متغير واحد مفهوم المشتق ، معناه الهندسي والمادي المشاكل التي تؤدي إلى مفهوم تعريف مشتق للماس S إلى السطر y f (x) عند النقطة A x ؛ F(

13. المشتقات الجزئية للأوامر العليا Let = have ومُعرَّفة على D O. الوظائف وتسمى أيضًا مشتقات جزئية من الدرجة الأولى لوظيفة أو مشتقات جزئية أولى للدالة. وبشكل عام

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا المؤسسة التعليمية "تسمية جامعة ولاية غرودنو بعد يانكا كوبالا" Yu.Yu. جينيزدوفسكي ، في.ن. جوربوزوف ، ب. Pronevich الأسي واللوغاريتمي

مجموعات فصول المحاضرة والعمليات عليها مفهوم المجموعة يشير مفهوم المجموعة إلى المفاهيم الأساسية للرياضيات التي لم يتم تحديدها من خلال أبسط منها.

المحاضرة 8 اشتقاق دالة معقدة انظر في دالة معقدة t t t f حيث ϕ t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t

المحاضرة 3 Extremum لدالة من عدة متغيرات دع دالة من عدة متغيرات u = f (x، x) تحدد في المجال D ، والنقطة x (x، x) = تنتمي إلى هذا المجال الوظيفة u = f ( س ، س) لديها

سؤال. عدم المساواة ، نظام المتباينات الخطية ضع في اعتبارك التعبيرات التي تحتوي على علامة متباينة ومتغير: > ، - + x متباينات خطية بمتغير واحد x .. 0 - متباينة مربعة.

قسم المهام مع معلمات التعليق المهام ذات المعلمات هي مهام معقدة تقليديًا في هيكل الاستخدام ، مما يتطلب من مقدم الطلب ليس فقط إتقان جميع الأساليب والتقنيات لحل مختلف

2.2.7. تطبيق التفاضل لتقريب الحسابات. يعتمد تفاضل الدالة y = على x وهو الجزء الرئيسيزيادات س. يمكنك أيضًا استخدام الصيغة: dy d ثم الخطأ المطلق:

الفصل السادس حساب التفاضل لدالة ذات متغير واحد مسائل تؤدي إلى مفهوم المشتق مشكلة سرعة الحركة المستقيمة غير المنتظمة

خط مستقيم على مستو معادلة عامة للخط المستقيم. قبل إدخال المعادلة العامة للخط المستقيم في المستوى ، نقدمها تعريف عامخطوط. تعريف. تسمى معادلة النموذج F (x، y) = 0 (1) معادلة الخط L

لجنة التعليم العام والمهني لمنطقة لينينغراد

قواعد الاشتقاق والتمايز دع الدالة y = f تزداد y f 0 f 0 المقابلة لزيادة الوسيطة 0 التعريف إذا كان هناك حد لنسبة زيادة الدالة y إلى المتصل

جامعة موسكو التقنية الحكومية التي تحمل اسم N.E. كلية بومان للعلوم الأساسية قسم النمذجة الرياضية А.Н. كاناتنيكوف ، أ. كريشينكو

الدوال العكسية تحدث المشكلات التي تنطوي على وظائف عكسية في مختلف فروع الرياضيات وتطبيقاتها. منطقة مهمةيؤلف علماء الرياضيات مسائل عكسية في نظرية التكامل

نظام المهام حول موضوع "المعادلة المماسية" تحديد علامة منحدر الظل المرسوم على الرسم البياني للوظيفة y f () ، عند النقاط ذات الخطافات a ، b ، c a) b) حدد النقاط التي عندها المشتق

دع المجموعتين $ X $ و $ Y $ يتم تضمينهما في مجموعة الأرقام الحقيقية. دعونا نقدم مفهوم الوظيفة العكسية.

التعريف 1

دالة $ f: X \ to Y $ تعيين مجموعة $ X $ في مجموعة $ Y $ تسمى قابلة للعكس إذا كانت لأي عنصر $ x_1 ، x_2 \ في X $ يتبع ذلك من حقيقة أن $ x_1 \ ne x_2 $ ذلك $ f (x_1) \ ne f (x_2) $.

يمكننا الآن تقديم مفهوم الدالة العكسية.

التعريف 2

دع الدالة $ f: X \ to Y $ تعيين المجموعة $ X $ في المجموعة $ Y $ تكون قابلة للعكس. ثم الوظيفة $ f ^ (- 1): Y \ to X $ تعيين المجموعة $ Y $ في المجموعة $ X $ والمحددة بالشرط $ f ^ (- 1) \ left (y \ right) = x $ يسمى معكوس $ f (x) $.

لنصوغ النظرية:

نظرية 1

دع الدالة $ y = f (x) $ تُعرَّف ، وتتزايد (تناقصًا) بشكل رتيب ومتواصل في بعض الفترات $ X $. بعد ذلك ، في الفترة المقابلة $ Y $ لقيم هذه الوظيفة ، يكون لها دالة عكسية ، وهي أيضًا تتزايد (تناقصًا) بشكل رتيب ومستمر على الفاصل $ Y $.

دعونا الآن نقدم مباشرة مفهوم الوظائف المعكوسة المتبادلة.

التعريف 3

في إطار التعريف 2 ، تسمى الدالتان $ f (x) $ و $ f ^ (- 1) \ left (y \ right) $ الدوال المعكوسة المتبادلة.

خصائص الوظائف المعكوسة المتبادلة

اجعل الدالتين $ y = f (x) $ و $ x = g (y) $ معكوسين بشكل متبادل

$ y = f (g \ left (y \ right)) $ و $ x = g (f (x)) $

مجال الوظيفة $ y = f (x) $ يساوي مجال قيمة الدالة $ \ x = g (y) $. ومجال الدالة $ x = g (y) $ يساوي مجال قيمة الدالة $ \ y = f (x) $.

الرسوم البيانية للوظائف $ y = f (x) $ و $ x = g (y) $ متماثلة بالنسبة للخط المستقيم $ y = x $.

إذا زادت إحدى الوظائف (تقل) ، فإن الوظيفة الأخرى تزيد أيضًا (تنقص).

إيجاد الدالة العكسية

تم حل المعادلة $ y = f (x) $ فيما يتعلق بالمتغير $ x $.

من الجذور التي تم الحصول عليها ، تم العثور على تلك التي تنتمي إلى الفترة $ X $.

تم تعيين قيمة $ x $ التي تم العثور عليها إلى الرقم $ y $.

مثال 1

أوجد الدالة العكسية للدالة $ y = x ^ 2 $ في الفترة $ X = [- 1،0] $

نظرًا لأن هذه الوظيفة تتناقص وتستمر على الفاصل $ X $ ، ثم في الفاصل $ Y = $ ، وهو أيضًا متناقص ومستمر في هذه الفترة (النظرية 1).

احسب $ x $:

\ \

اختر $ x $ المناسب:

إجابة:دالة عكسية $ y = - \ sqrt (x) $.

مشاكل في إيجاد دوال عكسية

في هذا الجزء ، نأخذ في الاعتبار الدوال العكسية لبعض الوظائف الأولية. سيتم حل المهام وفقًا للمخطط الموضح أعلاه.

مثال 2

أوجد الدالة العكسية للدالة $ y = x + 4 $

أوجد $ x $ من المعادلة $ y = x + 4 $:

مثال 3

أوجد الدالة العكسية للدالة $ y = x ^ 3 $

حل.

نظرًا لأن الوظيفة تتزايد ومستمرة في مجال التعريف بالكامل ، إذن ، من خلال النظرية 1 ، لها وظيفة عكسية مستمرة ومتزايد عليها.

أوجد $ x $ من المعادلة $ y = x ^ 3 $:

إيجاد قيم مناسبة لـ $ x $

القيمة في حالتنا مناسبة (لأن النطاق عبارة عن أرقام كاملة)

بإعادة تعريف المتغيرات ، نحصل على صيغة الدالة العكسية

مثال 4

أوجد الدالة العكسية للدالة $ y = cosx $ على المجال $$

حل.

ضع في اعتبارك الدالة $ y = cosx $ في المجموعة $ X = \ left $. إنه مستمر ومتناقص على المجموعة $ X $ ويعين المجموعة $ X = \ left $ على المجموعة $ Y = [- 1،1] $ ، لذلك ، من خلال نظرية وجود دالة أحادية مستمرة عكسية ، الدالة $ y = cosx $ في المجموعة $ Y $ هناك دالة عكسية ، وهي أيضًا مستمرة وتزداد في المجموعة $ Y = [- 1،1] $ وتعيين المجموعة $ [- 1،1] $ إلى المجموعة $ \ left $.

أوجد $ x $ من المعادلة $ y = cosx $:

إيجاد قيم مناسبة لـ $ x $

بإعادة تعريف المتغيرات ، نحصل على صيغة الدالة العكسية

مثال 5

أوجد الدالة العكسية للدالة $ y = tgx $ على الفاصل $ \ left (- \ frac (\ pi) (2)، \ frac (\ pi) (2) \ right) $.

حل.

ضع في اعتبارك الوظيفة $ y = tgx $ في المجموعة $ X = \ left (- \ frac (\ pi) (2)، \ frac (\ pi) (2) \ right) $. إنها مستمرة وتتزايد على المجموعة $ X $ وتعيين المجموعة $ X = \ left (- \ frac (\ pi) (2)، \ frac (\ pi) (2) \ right) $ على المجموعة $ Y = R $ ، إذن ، من خلال نظرية وجود دالة أحادية مستمرة عكسية ، فإن الوظيفة $ y = tgx $ في المجموعة $ Y $ لها دالة عكسية ، وهي أيضًا متصلة وتزيد في المجموعة $ Y = R $ وتعيين المجموعة $ R $ على المجموعة $ \ left (- \ frac (\ pi) (2)، \ frac (\ pi) (2) \ right) $

أوجد $ x $ من المعادلة $ y = tgx $:

إيجاد قيم مناسبة لـ $ x $

بإعادة تعريف المتغيرات ، نحصل على صيغة الدالة العكسية

2- نظرية الدوال العكسية

يعكس الدوال المثلثية

تعريف الدالة العكسية

تعريف. إذا كانت الوظيفة f (x) تحدد مراسلات واحد لواحد بين مجالها X ومجالها Y (بمعنى آخر ، إذا كانت أي قيم مختلفة للوسيطة تتوافق مع قيم مختلفة للوظيفة) ، فعندئذٍ يقال أن الوظيفة f (x) لها وظيفة عكسيةأو ماذا وظيفةF(x) قابل للعكس.

تعريف. الدالة العكسية هي قاعدة أن كل رقم فيє فييطابق رقمًا Xє X، و y = f (x). منطقة التعريف العكسي

الوظيفة لديها مجموعة Y ، المدى - X.

نظرية الجذر. دع الدالة f تزيد (أو تنقص) على الفاصل الزمني I ، الرقم a - أي من القيم المأخوذة بواسطة f في هذه الفترة. ثم المعادلة f (x) = a لها جذر فريد في الفترة الأولى.

دليل. ضع في اعتبارك دالة متزايدة f (في حالة وجود وظيفة متناقصة ، يكون المنطق مشابهًا). من خلال الافتراض ، يوجد رقم ب في الفاصل الزمني I بحيث أن f (b) = a. دعونا نوضح أن ب هو الجذر الوحيد للمعادلة f (x) = a.

افترض أنه يوجد أيضًا رقم في الفاصل الزمني ج ≠ ب ، مثل أن و (ج) = أ. ثم أو مع ب. لكن الوظيفة f تزداد في الفترة I ، لذلك ، على التوالي ، إما f (c) و (ب). هذا يتعارض مع المساواة f (c) = f (b) = a. لذلك ، الافتراض الذي تم إجراؤه غير صحيح وفي الفترة I ، باستثناء الرقم b ، لا توجد جذور أخرى للمعادلة f (x) = a.

نظرية الدالة العكسية. إذا زادت دالة f (أو نقصت) في فترة I ، فإنها تكون قابلة للعكس. الدالة g العكسية لـ f ، المحددة في نطاق f ، تتزايد أيضًا (على التوالي ، تتناقص).

دليل. افترض من أجل التحديد أن الدالة f تتزايد. إن قابلية عكس الوظيفة f هي نتيجة واضحة لنظرية الجذر. لذلك ، يبقى إثبات أن الدالة g ، المعكوسة لـ f ، تتزايد في المجموعة E (f).

لنفترض أن x 1 و x 2 عبارة عن قيم عشوائية من E (f) ، بحيث تكون x 2> x 1 ودع y 1 = g (x 1) ، y 2 = g (× 2 ). بحكم التعريف ، الدالة العكسية x 1 = f (y 1) و x 2 = f (y 2).

باستخدام شرط أن f دالة متزايدة ، نجد أن الافتراض y 1≥ y 2 يؤدي إلى الاستنتاج f (y 1)> f (y 2) ، أي x 1> x 2. هذا

يتعارض مع الافتراض x 2> x 1 لذلك ، y 1> y 2 ، أي من الشرط x 2> x 1 يتبع ذلك g (x 2)> g (x 1). Q.E.D.

الوظيفة الأصلية وعكسها متبادلان يعكس.

الرسوم البيانية للدوال المعكوسة المتبادلة

نظرية. الرسوم البيانية للدوال العكسية متناظرة بالنسبة للخط المستقيم y = x.

دليل. لاحظ أنه من الرسم البياني للدالة f ، يمكن للمرء أن يجد القيمة العددية للدالة g معكوسًا لـ f عند نقطة عشوائية a. للقيام بذلك ، يجب أن تأخذ نقطة مع إحداثيات ليس على المحور الأفقي (كما هو الحال عادة) ، ولكن على المحور الرأسي. ويترتب على تعريف الدالة العكسية أن قيمة g (a) تساوي b.

من أجل تصوير الرسم البياني g في نظام الإحداثيات المعتاد ، من الضروري عكس الرسم البياني f بالنسبة إلى الخط المستقيم y \ u003d x.

خوارزمية لتجميع الدالة العكسية للدالة y = f (x) ، x x.

1. تأكد من أن الدالة y = f (x) قابلة للعكس على X.

2. من المعادلة y \ u003d f (x) x عبر عن طريق y ، مع مراعاة أن x є X .

Z. في المساواة الناتجة ، مبادلة x و y.

2.2 تعريف وخواص ورسوم بيانية للمثلثية المعكوسة

المهام

أركسين

تزيد دالة الجيب على الفاصل الزمني وتأخذ جميع القيم من -1 إلى 1. لذلك ، من خلال نظرية الجذر لأي رقم أ ، مثل
، يوجد جذر واحد للمعادلة sin x = a في الفترة. يسمى هذا الرقم قوس الزاوية للرقم a ويشار إليه بـ arcsin a.

تعريف. قوس جيب الزاوية للرقم a ، حيث ، هو رقم من المقطع ، جيبه يساوي a.

ملكيات.

د (ص) = [-1 ؛ 1]

E (ص) \ u003d [-/ 2 ؛ π / 2]

y (-x) \ u003d arcsin (-x) \ u003d - arcsin x - دالة فردية ، الرسم البياني متماثل حول النقطة O (0 ؛ 0).

arcsin x = 0 عند x = 0.

arcsin x> 0 عند x є (0 ؛ 1]

أركسين x< 0 при х є [-1;0)

y \ u003d يزيد arcsin x لأي x є [-1 ؛ 1]

1 × 1< х 2 ≤ 1 <=>أركسين × 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.



قوس جيب التمام

تتناقص دالة جيب التمام على المقطع وتأخذ جميع القيم من -1 إلى 1. لذلك ، بالنسبة لأي رقم مثل | a | 1 ، يوجد جذر واحد في المعادلة cosx = a على المقطع. يسمى هذا الرقم في قوس جيب الزاوية للرقم أ ويشار إليه بـ arcos a.

تعريف . جيب التمام القوسي للرقم a ، حيث -1 a 1 ، هو رقم من المقطع الذي يساوي جيب تمامه a.

ملكيات.

1. ه (ص) =

   y (-x) \ u003d arccos (-x) \ u003d π - arccos x - الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

   arccos x = 0 عند x = 1

   arccos x> 0 عند x є [-1 ؛ 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \ u003d arccos x ينخفض ​​لأي x є [-1 ؛ 1]

1 × 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - تناقص.



قوس ظل

تزيد وظيفة الظل على المقطع -
، لذلك ، وفقًا لنظرية الجذر ، فإن المعادلة tgx \ u003d a ، حيث a هو أي رقم حقيقي ، لها جذر فريد x على الفترة -. يسمى هذا الجذر قوس الظل للرقم أ ويشار إليه بواسطة أركتغا.

تعريف. ظل القوس لرقم أص هذا الرقم يسمى x , الذي ظل هو أ.

ملكيات.

E (ص) \ u003d (-/ 2 ؛ π / 2)

y (-x) \ u003d y \ u003d arctg (-x) \ u003d - arctg x - الوظيفة غريبة ، الرسم البياني متماثل حول النقطة O (0 ؛ 0).

arctg x = 0 عند x = 0

تزيد الوظيفة لأي x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2



ظل القوس

تقل وظيفة ظل التمام على الفاصل الزمني (0 ؛) وتأخذ جميع القيم من R. لذلك ، لأي رقم أ في الفاصل الزمني (0 ؛) هناك جذر واحد للمعادلة ctg x \ u003d a. يسمى هذا الرقم a قوس الظل للرقم a ويشار إليه بواسطة arcctg a.

تعريف. ظل القوس للرقم a ، حيث يكون R هو رقم من الفاصل الزمني (0 ؛) , الذي ظل التمام هو أ.

ملكيات.

ه (ص) = (0 ؛ π)

y (-x) \ u003d arcctg (-x) \ u003d π - arcctg x - الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

أركتج س = 0- غير موجود.

وظيفة y = arcctg xينخفض ​​لأي х є ر

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>أركتج س 1 > arcctg x 2

الوظيفة متصلة لأي x є R.



2.3 تحويلات الهوية للتعبيرات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية

مثال 1 . تبسيط التعبير:

أ)
أين


حل. هيا نضع
. ثم
و
لايجاد
، نستخدم العلاقة
نحن نحصل
لكن . في هذا المقطع ، يأخذ جيب التمام القيم الموجبة فقط. هكذا،
، إنه
أين
.

ب)


حل.

الخامس)


حل. هيا نضع
. ثم
و
دعونا أولاً نجد ، التي نستخدم من أجلها الصيغة
، أين
نظرًا لأن جيب التمام يأخذ قيمًا موجبة فقط في هذه الفترة الزمنية ، إذن
.