نظرية وظائف متغير واحد. التحليل الرياضي. نظرية دوال متغير واحد محاضرات التحليل الرياضي 1 دورة 1 فصل دراسي عبر الإنترنت

أسئلة الامتحان في "التحليل الرياضي" السنة الأولى، الفصل الدراسي الأول.

1. مجموعات. العمليات الأساسية على المجموعات الفضاءات المترية والحسابية.

2. مجموعات رقمية. المجموعات على خط الأعداد: الأجزاء، الفواصل، المحاور، الأحياء.

3. تعريف المجموعة المحدودة. الحدود العليا والدنيا للمجموعات العددية. المسلمات حول الحدود العليا والدنيا للمجموعات العددية.

4. طريقة الاستقراء الرياضي. متباينة برنولي وكوشي.

5. تعريف الوظيفة. الرسم البياني الوظيفي. وظائف زوجية وغريبة. وظائف دورية. طرق ضبط الوظيفة.

6. حد التسلسل. خصائص المتتابعات المتقاربة.

7. تسلسلات محدودة. نظرية حول الشرط الكافي لاختلاف التسلسل.

8. تعريف التسلسل الرتيب. نظرية تسلسل Weierstrass الرتيبة.

9. الرقم ه.

10. نهاية الدالة عند نقطة ما. نهاية الدالة عند اللانهاية. الحدود الأحادية.

11. وظائف صغيرة بلا حدود. حد وظائف المجموع والمنتج والحاصل.

12. نظريات حول استقرار عدم المساواة. العبور إلى الحد الأقصى في عدم المساواة. نظرية حول ثلاث وظائف.

13. الحدود الأولى والثانية رائعة.

14. بلا نهاية ميزات رائعةوعلاقتها بالوظائف متناهية الصغر.

15. مقارنة الوظائف متناهية الصغر. خصائص متناهية الصغر المكافئة. نظرية استبدال المتناهية الصغر بما يعادلها. المعادلات الأساسية.

16. استمرارية الدالة عند نقطة ما. الإجراءات مع وظائف مستمرة. استمرارية الوظائف الأولية الأساسية.

17. تصنيف نقاط التوقف للدالة. التمديد بالاستمرارية

18. تعريف وظيفة معقدة. حدود وظيفة معقدة. استمرارية وظيفة معقدة. وظائف زائدية

19. استمرارية الدالة على القطعة. نظريات كوشي حول اختفاء دالة متصلة على فترة وعلى القيمة المتوسطة للدالة.

20. خصائص الدوال المستمرة على القطعة. نظرية فايرستراس حول حدود الدالة المستمرة. نظرية فايرستراس حول القيمة الأكبر والأصغر للدالة.

21. تعريف وظيفة رتيبة. نظرية فايرستراس حول نهاية الدالة الرتيبة. نظرية مجموعة قيم الدالة الرتيبة والمستمرة على فترة زمنية.

22. وظيفة عكسية. جدول وظيفة عكسية. نظرية وجود واستمرارية الدالة العكسية.

23. الدوال المثلثية العكسية والزائدية.

24. تعريف مشتقة الدالة. مشتقات الوظائف الأولية الأساسية.

25. تعريف دالة قابلة للتفاضل. شرط ضروري وكاف لتمييز الوظيفة. استمرارية دالة قابلة للتفاضل.

26. المعنى الهندسي للمشتق. معادلة الظل والعادي للرسم البياني للدالة.

27. مشتق من مجموع ومنتج وحاصل دالتين

28. مشتقة من دالة مركبة ودالة عكسية.

29. التمايز اللوغاريتمي. مشتق من وظيفة معينة حدوديا.

30. الجزء الرئيسي من وظيفة الزيادة. صيغة الخطية وظيفة. المعنى الهندسي للتفاضل.

31. تفاضل دالة معقدة. ثبات الشكل التفاضلي.

32. نظريات رول ولاغرانج وكوشي حول خواص الدوال القابلة للتفاضل. صيغة الزيادات المحدودة.

33. تطبيق المشتق على الكشف عن الشكوك داخل. قاعدة لوبيتال.

34. تعريف مشتقالترتيب التاسع. قواعد لإيجاد مشتق من الترتيب ن. صيغة لايبنتز. فروق ترتيب أعلى.

35. صيغة تايلور مع المدة المتبقية في شكل بيانو. المصطلحات المتبقية في شكل لاغرانج وكوشي.

36. زيادة ونقصان الوظائف. النقاط القصوى.

37. التحدب وتقعر الوظيفة. نقاط الانقلاب.

38. فواصل وظيفية لا نهاية لها. الخطوط المقاربة.

39. مخطط لرسم الرسم البياني وظيفة.

40. تعريف المشتق المضاد. الخصائص الرئيسية للمشتق المضاد. أبسط قواعد التكامل. جدول التكاملات البسيطة

41. التكامل بتغيير المتغير وصيغة التكامل بالأجزاء في التكامل غير المحدد.

42. تكامل تعبيرات النموذج e ax cos bx و e ax sin bx باستخدام العلاقات العودية.

44. التكامل غير المحدد للدالة العقلانية. تكامل الكسور البسيطة.

45. التكامل غير المحدد للدالة العقلانية. تحليل الكسور المناسبة إلى بسيطة.

46. التكامل غير المحدد للدالة غير المنطقية. تكامل التعبير

47. التكامل غير المحدد للدالة غير المنطقية. تكامل تعابير الشكل R x , ax 2 bx c . بدائل أويلر.

49. التكامل غير المحدد للدالة غير المنطقية. تكامل الفروق ذات الحدين.

50. تكامل التعبيرات المثلثية. الاستبدال المثلثي العالمي.

51. تكامل التعبيرات المثلثية العقلانية في الحالة التي يكون فيها التكامل فرديًا بالنسبة للخطيئة x (أو cos x ) أو حتى فيما يتعلق بـ sin x و cos x .

52. تكامل التعبيرالخطيئة n x cos m x و الخطيئة n x cos mx .

53. تكامل التعبيرتيراغرام م × و ctg م × .

54. تكامل التعبير R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 و R x , x 2 a 2 باستخدام البدائل المثلثية.

55. تكامل محدد. مشكلة حساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع.

56. مبالغ متكاملة. مبالغ داربوكس. نظرية شرط وجود تكامل محدد. فئات الوظائف التكاملية.

57. خصائص التكامل المحدد. نظريات حول القيمة المتوسطة.

58. التكامل المحدد كدالة للحد الأعلى. معادلةنيوتن لايبنتز.

59. تغيير صيغة المتغير وصيغة التكامل بالأجزاء في تكامل محدد.

60. تطبيق حساب التفاضل والتكامل في الهندسة. حجم هذا الرقم. حجم أرقام التناوب.

61. تطبيق حساب التفاضل والتكامل في الهندسة. مساحة الشكل المستوي. مساحة القطاع المنحني. طول المنحنى.

62. تعريف التكامل غير الصحيح من النوع الأول. معادلةنيوتن-لايبنتز للتكاملات غير الصحيحة من النوع الأول. أبسط الخصائص.

63. تقارب التكاملات غير الصحيحة من النوع الأول لدالة موجبة.نظريات المقارنة الأولى والثانية.

64. التقارب المطلق والشرطي للتكاملات غير الصحيحة من النوع الأول للدالة المتناوبة. معايير التقارب لهابيل وديريشليت.

65. تعريف التكامل غير الصحيح من النوع الثاني. معادلةنيوتن-لايبنتز للتكاملات غير الصحيحة من النوع الثاني.

66. ربط التكاملات غير الصحيحةالنوع الأول والثاني. التكاملات غير الصحيحة بمعنى القيمة الرئيسية.

دع المتغير س نيأخذ سلسلة لا نهائية من القيم

س 1 ، س 2 ، ...، خ ن , ..., (1)

وقانون تغير المتغير معروف س ن، أي. لكل عدد طبيعي نيمكنك تحديد القيمة المقابلة س ن. وبالتالي يفترض أن المتغير س نهي وظيفة ن:

س ن = و(ن)

دعونا نحدد أحد أهم مفاهيم التحليل الرياضي - نهاية المتتابعة، أو ما شابه ذلك، نهاية المتغير س نتسلسل التشغيل س 1 ، س 2 ، ...، خ ن , ... . .

تعريف.رقم ثابت أمُسَمًّى حد التسلسل س 1 ، س 2 ، ...، خ ن , ... . أو حد المتغير س ن، إذا كان هناك رقم موجب صغير بشكل تعسفي e يوجد مثل هذا الرقم الطبيعي ن(أي رقم ن) أن جميع قيم المتغير س ن، بدءًا من س ن، تختلف عن أأقل في القيمة المطلقة من e. هذا التعريفمكتوبة باختصار مثل هذا:

| س ن - أ |< (2)

للجميع ن  ن، أو الذي هو نفسه،

تعريف حد كوشي. يُطلق على الرقم A حد الدالة f (x) عند نقطة a إذا تم تعريف هذه الدالة في بعض المناطق المجاورة للنقطة a، ربما باستثناء النقطة a نفسها، ولكل ε > 0 يوجد δ > 0 بحيث يكون لجميع شروط x المُرضية |x - a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

تعريف حد هاين. يُطلق على الرقم A حد الدالة f (x) عند نقطة a إذا تم تعريف هذه الدالة في بعض المناطق المجاورة للنقطة a، ربما باستثناء النقطة a نفسها، ولأي تسلسل من هذا القبيل تتقارب مع الرقم أ، ويتقارب التسلسل المقابل لقيم الدالة مع الرقم أ.

إذا كانت الدالة f(x) لها نهاية عند النقطة a، فإن هذا الحد يكون فريدًا.

يُطلق على الرقم A 1 الحد الأيسر للدالة f (x) عند النقطة a إذا كان لكل ε > 0 δ >

يُطلق على الرقم A 2 الحد الأيمن للدالة f (x) عند النقطة a إذا كان لكل ε > 0 يوجد δ > 0 بحيث يكون عدم المساواة

يُشار إلى الحد الموجود على اليسار باعتباره الحد الموجود على اليمين - تميز هذه الحدود سلوك الوظيفة على يسار ويمين النقطة أ. وغالباً ما يشار إليها بالحدود ذات الاتجاه الواحد. في تدوين الحدود أحادية الجانب كـ x → 0، عادة ما يتم حذف الصفر الأول: و . لذلك، بالنسبة للوظيفة

إذا كان لكل ε > 0 يوجد حي δ لنقطة بحيث يكون لكل x استيفاء الشرط |x - a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε، فنقول أن الدالة f (x) لها نهاية لا نهائية عند النقطة a:

وبالتالي، فإن الدالة لها نهاية لا نهائية عند النقطة x = 0. وغالبًا ما يتم التمييز بين الحدود المساوية لـ +∞ و-∞. لذا،

إذا كان لكل ε > 0 يوجد δ > 0 بحيث يكون عدم المساواة لأي x > δ |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

نظرية الوجود للحد الأعلى الأصغر

تعريف: AR mR، m - الوجه العلوي (السفلي) لـ A، إذا аА аm (аm).

تعريف:المجموعة A محددة من الأعلى (من الأسفل)، إذا كان هناك m بحيث аА، فإن аm (аm) تكون محققة.

تعريف: SupA=m، إذا كان 1) m - الحد الأعلى لـ A

2) م': م' "m" ليس وجهًا علويًا لـ A

InfA = n إذا كان 1) n هو الحد الأدنى لـ A

2) n': n'>n => n' ليس أصغر من A

تعريف: SupA=m هو رقم مثل: 1)  aA am

2) >0 a  A، بحيث  a-

InfA = n يسمى رقماً كالتالي:

2) >0 a  A، بحيث يكون E a+

نظرية:أي مجموعة غير فارغة АR محصورة من الأعلى لها حد أعلى أفضل، وحد أعلى فريد من نوعه عند ذلك الحد.

دليل:

نبني عددًا m على الخط الحقيقي ونثبت أن هذا هو الحد الأعلى الأصغر لـ A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - الوجه العلوي لـ A

المقطع [[m],[m]+1] - مقسم إلى 10 أجزاء

م 1 = الحد الأقصى:أأ)]

م 2 = الحد الأقصى، م 1:أأ)]

م إلى = الحد الأقصى، م 1 ...م K-1:aA)]

[[م],م 1 ...م ك , [م],م 1 ...م ك + 1 /10 ك ]A=>[م],م 1 ...م ك + 1/ 10 ك - الوجه العلوي أ

دعونا نثبت أن m=[m],m 1 ...m K هو الحد الأعلى الأدنى وأنه فريد:

إلى : .

أرز. 11. رسم بياني للدالة y arcsin x.

دعونا الآن نقدم مفهوم الوظيفة المعقدة ( عرض التراكيب). دع ثلاث مجموعات D، E، M تعطى ودع f: D → E، g: E → M. من الواضح أنه من الممكن إنشاء تعيين جديد h: D → M، يسمى تكوين التعيينات f و g أو وظيفة معقدة (الشكل 12).

يتم الإشارة إلى دالة معقدة على النحو التالي: z =h(x)=g(f(x)) أو h = f o g.

أرز. 12. رسم توضيحي لمفهوم الوظيفة المعقدة.

يتم استدعاء الدالة f (x). وظيفة داخليةوالدالة ز ( ذ ) - وظيفة خارجية.

1. الوظيفة الداخلية f (x) = x²، الخارجية g (y) sin y. دالة مركبة z= g(f(x))=sin(x²)

2. الآن العكس. الوظيفة الداخلية f (x)= sinx, الخارجية g (y) y 2 . ش=و(ز(س))=خطيئة²(خ)