تعد طريقة المربعات الصغرى واحدة من أكثر الطرق شيوعًا وأكثرها تطورًا نظرًا لخصائصها بساطة وكفاءة طرق تقدير المعلمات الخطية. في الوقت نفسه، يجب مراعاة بعض الحذر عند استخدامه، لأن النماذج المبنية باستخدامه قد لا تفي بعدد من المتطلبات الخاصة بجودة معلماتها، ونتيجة لذلك، لا تعكس "بشكل جيد" أنماط تطوير العملية.

دعونا نفكر في إجراء تقدير معلمات نموذج الاقتصاد القياسي الخطي باستخدام طريقة المربعات الصغرى بمزيد من التفصيل. ويمكن تمثيل هذا النموذج بشكله العام بالمعادلة (1.2):

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t .

البيانات الأولية عند تقدير المعلمات a 0 , a 1 ,..., n هي متجه قيم المتغير التابع ذ= (y 1 , y 2 , ... , y T)" ومصفوفة قيم المتغيرات المستقلة

حيث يتوافق العمود الأول المكون من الآحاد مع معامل النموذج.

حصلت طريقة المربعات الصغرى على اسمها بناءً على المبدأ الأساسي الذي يجب أن تفي به تقديرات المعلمات التي تم الحصول عليها على أساسها: يجب أن يكون مجموع مربعات خطأ النموذج في حده الأدنى.

أمثلة على حل المسائل بطريقة المربعات الصغرى

مثال 2.1.تمتلك المؤسسة التجارية شبكة تتكون من 12 متجرًا، وترد معلومات عن أنشطتها في الجدول. 2.1.

تود إدارة الشركة معرفة مدى اعتماد الحجم السنوي على مساحة مبيعات المتجر.

الجدول 2.1

رقم المحل	حجم التداول السنوي مليون روبل	المساحة التجارية ألف م2

حل المربعات الصغرى.دعونا نحدد - حجم المبيعات السنوي للمتجر، مليون روبل؛ - مساحة البيع للمحل الرابع ألف م2 .

الشكل 2.1. مخطط التشتت على سبيل المثال 2.1

لتحديد شكل العلاقة الوظيفية بين المتغيرات وبناء مخطط التشتت (الشكل 2.1).

استنادا إلى الرسم البياني المبعثر، يمكننا أن نستنتج أن حجم المبيعات السنوي يعتمد بشكل إيجابي على منطقة البيع (أي، سوف تزيد مع نمو ). الشكل الأنسب للاتصال الوظيفي هو - خطي.

يتم عرض المعلومات الخاصة بالحسابات الإضافية في الجدول. 2.2. باستخدام طريقة المربعات الصغرى، قمنا بتقدير معلمات النموذج الاقتصادي القياسي الخطي ذو العامل الواحد

الجدول 2.2

هكذا،

لذلك، مع زيادة مساحة التداول بمقدار 1 ألف م 2، مع تساوي العوامل الأخرى، يزيد متوسط ​​\u200b\u200bحجم التداول السنوي بمقدار 67.8871 مليون روبل.

مثال 2.2.لاحظت إدارة المؤسسة أن حجم المبيعات السنوي لا يعتمد فقط على مساحة مبيعات المتجر (انظر المثال 2.1)، ولكن أيضًا على متوسط ​​عدد الزوار. يتم عرض المعلومات ذات الصلة في الجدول. 2.3.

الجدول 2.3

حل.للإشارة إلى - متوسط ​​عدد زوار المتجر يوميًا ألف شخص.

لتحديد شكل العلاقة الوظيفية بين المتغيرات وبناء مخطط التشتت (الشكل 2.2).

استنادًا إلى الرسم البياني المبعثر، يمكننا أن نستنتج أن حجم المبيعات السنوي يرتبط بشكل إيجابي بمتوسط ​​عدد الزوار يوميًا (أي، سوف يزيد مع نمو ). شكل الاعتماد الوظيفي خطي.

أرز. 2.2. مخطط التشتت على سبيل المثال 2.2

الجدول 2.4

بشكل عام، من الضروري تحديد معالم النموذج الاقتصادي القياسي ثنائي العامل

ذ ر \u003d أ 0 + أ 1 × 1 ر + أ 2 × 2 ر + ε ر

يتم عرض المعلومات المطلوبة لمزيد من الحسابات في الجدول. 2.4.

دعونا نقدر معلمات نموذج الاقتصاد القياسي الخطي ثنائي العامل باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

هكذا،

يوضح تقييم المعامل = 61.6583 أنه، مع تساوي الأمور الأخرى، مع زيادة مساحة التداول بمقدار ألف م 2، سيزداد حجم التداول السنوي بمتوسط ​​61.6583 مليون روبل.

مثال.

بيانات تجريبية عن قيم المتغيرات Xو فيوترد في الجدول.

ونتيجة لمواءمتها، وظيفة

استخدام طريقة المربعات الصغرى، قم بتقريب هذه البيانات من خلال الاعتماد الخطي ص=الفأس+ب(ابحث عن المعلمات أو ب). اكتشف أي الخطين هو الأفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) في محاذاة البيانات التجريبية. جعل الرسم.

جوهر طريقة المربعات الصغرى (LSM).

المشكلة هي إيجاد معاملات الاعتماد الخطية التي دالة فيها متغيرين أو ب يأخذ أصغر قيمة. وهذا هو، نظرا للبيانات أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية عن الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذا هو بيت القصيد من طريقة المربعات الصغرى.

وبالتالي، فإن حل المثال يقتصر على إيجاد الحد الأقصى لدالة لمتغيرين.

اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.

تم تجميع وحل نظام من معادلتين بمجهولين. إيجاد المشتقات الجزئية للدالة بالنسبة للمتغيرات أو ب، نحن نساوي هذه المشتقات بالصفر.

نقوم بحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (على سبيل المثال طريقة الاستبدالأو ) واحصل على صيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM).

مع البيانات أو بوظيفة يأخذ أصغر قيمة. تم تقديم الدليل على هذه الحقيقة.

هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة للعثور على المعلمة أيحتوي على المبالغ و و و المعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. يوصى بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.

حان الوقت لتذكر المثال الأصلي.

حل.

في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لتسهيل حساب المبالغ المضمنة في صيغ المعاملات المطلوبة.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول عن طريق ضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول عن طريق تربيع قيم الصف الثاني لكل رقم أنا.

قيم العمود الأخير من الجدول هي مجموع القيم عبر الصفوف.

نستخدم صيغ طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل فيها القيم المقابلة من العمود الأخير في الجدول:

لذلك، ص=0.165س+2.184هو الخط المستقيم التقريبي المطلوب.

يبقى لمعرفة أي من الخطوط ص=0.165س+2.184أو تقريب البيانات الأصلية بشكل أفضل، أي إجراء تقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

تقدير الخطأ بطريقة المربعات الصغرى.

للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات الأصلية من هذه الخطوط و ، تتوافق القيمة الأصغر مع السطر الذي يقارب البيانات الأصلية بشكل أفضل من حيث طريقة المربعات الصغرى.

منذ , ثم الخط ص=0.165س+2.184يقترب من البيانات الأصلية بشكل أفضل.

رسم توضيحي لطريقة المربعات الصغرى (LSM).

كل شيء يبدو رائعًا على الرسوم البيانية. الخط الأحمر هو الخط الموجود ص=0.165س+2.184، الخط الأزرق هو النقاط الوردية هي البيانات الأصلية.

ما الهدف من كل هذه التقريبات؟

أنا شخصيا أستخدمه لحل مشاكل تجانس البيانات، ومشاكل الاستيفاء والاستقراء (في المثال الأصلي، يمكن أن يُطلب منك إيجاد قيمة القيمة المرصودة ذفي س = 3أو متى س=6وفق طريقة MNC). لكننا سنتحدث أكثر عن هذا لاحقًا في قسم آخر من الموقع.

دليل.

بحيث عندما وجدت أو بتأخذ الدالة أصغر قيمة، فمن الضروري عند هذه النقطة أن تكون مصفوفة الشكل التربيعي للتفاضل من الدرجة الثانية للدالة كان إيجابيا واضحا. دعونا نظهر ذلك.

اختيار نوع دالة الانحدار، أي. نوع النموذج المدروس لاعتماد Y على X (أو X على Y)، على سبيل المثال، النموذج الخطي y x = a + bx، من الضروري تحديد القيم المحددة لمعاملات النموذج.

بالنسبة لقيم مختلفة لـ a وb، من الممكن بناء عدد لا نهائي من التبعيات على الشكل y x =a+bx، أي أن هناك عددًا لا حصر له من الخطوط على المستوى الإحداثي، لكننا نحتاج إلى مثل هذا التبعية يتوافق مع القيم المرصودة بأفضل طريقة. وبالتالي، فإن المشكلة تقتصر على اختيار أفضل المعاملات.

نحن نبحث عن دالة خطية a + bx، بناءً على عدد معين من الملاحظات المتاحة فقط. للعثور على الدالة الأكثر ملائمة للقيم المرصودة، نستخدم طريقة المربعات الصغرى.

تشير إلى: Y i - القيمة المحسوبة بالمعادلة Y i =a+bx i . y i - القيمة المقاسة، ε i =y i -Y i - الفرق بين القيم المقاسة والمحسوبة، ε i =y i -a-bx i .

تتطلب طريقة المربعات الصغرى أن يكون ε i ، الفرق بين y i المقاسة وقيم Y i المحسوبة من المعادلة، في حده الأدنى. ولذلك نجد المعاملين a وb بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية للقيم المرصودة عن القيم الموجودة على خط الانحدار المستقيم هو الأصغر:

من خلال دراسة دالة الوسيطات a وبمساعدة المشتقات إلى أقصى الحدود، يمكننا إثبات أن الدالة تأخذ قيمة دنيا إذا كان المعاملان a وb هما حلين للنظام:

(2)

إذا قسمنا طرفي المعادلات العادية على n نحصل على:

بشرط (3)

يحصل ومن هنا بالتعويض بقيمة a في المعادلة الأولى نحصل على:

في هذه الحالة، ب يسمى معامل الانحدار؛ a يسمى العضو الحر في معادلة الانحدار ويتم حسابه بالصيغة:

الخط المستقيم الناتج هو تقدير لخط الانحدار النظري. لدينا:

لذا، هي معادلة الانحدار الخطي.

يمكن أن يكون الانحدار مباشرًا (b>0) ومعكوسًا (b مثال 1. وترد في الجدول نتائج قياس قيم X و Y:

× ط	-2	0	1	2	4
ذ ط	0.5	1	1.5	2	3

بافتراض أن هناك علاقة خطية بين X وY y=a+bx، حدد المعاملين a وb باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

حل. هنا ن = 5
س ط =-2+0+1+2+4=5;
س ط 2 =4+0+1+4+16=25
س ط ص ط =-2 0.5+0 1+1 1.5+2 2+4 3=16.5
ص ط =0.5+1+1.5+2+3=8

والنظام العادي (2) له الشكل

وبحل هذا النظام نحصل على: ب=0.425، أ=1.175. وبالتالي ص=1.175+0.425x.

مثال 2. هناك عينة مكونة من 10 ملاحظات للمؤشرات الاقتصادية (X) و(Y).

× ط	180	172	173	169	175	170	179	170	167	174
ذ ط	186	180	176	171	182	166	182	172	169	177

مطلوب العثور على نموذج لمعادلة الانحدار Y على X. قم بإنشاء نموذج لخط الانحدار Y على X.

حل. 1. دعونا نفرز البيانات حسب القيم x i و y i . نحصل على جدول جديد:

× ط	167	169	170	170	172	173	174	175	179	180
ذ ط	169	171	166	172	180	176	177	182	182	186

لتبسيط الحسابات، سنقوم بتجميع جدول حسابي سندخل فيه القيم العددية اللازمة.

× ط	ذ ط	س ط 2	س ط ص ط
167	169	27889	28223
169	171	28561	28899
170	166	28900	28220
170	172	28900	29240
172	180	29584	30960
173	176	29929	30448
174	177	30276	30798
175	182	30625	31850
179	182	32041	32578
180	186	32400	33480
∑س ط = 1729	∑ ص ط = 1761	∑س ط 2 299105	∑س ط ص ط =304696
س=172.9	ص=176.1	س ط 2 = 29910.5	ص ص=30469.6

وفقا للصيغة (4)، نحسب معامل الانحدار

وبالصيغة (5)

وبالتالي، تبدو معادلة الانحدار النموذجية مثل y=-59.34+1.3804x.
دعونا نرسم النقاط (x i ; y i) على المستوى الإحداثي ونضع علامة على خط الانحدار.

الشكل 4

يوضح الشكل 4 كيفية تحديد موقع القيم المرصودة بالنسبة لخط الانحدار. لتقدير انحرافات y i عن Y i عدديًا، حيث y i عبارة عن قيم ملحوظة، وY i هي قيم يحددها الانحدار، سنقوم بإنشاء جدول:

× ط	ذ ط	ص ط	Y i -y i
167	169	168.055	-0.945
169	171	170.778	-0.222
170	166	172.140	6.140
170	172	172.140	0.140
172	180	174.863	-5.137
173	176	176.225	0.225
174	177	177.587	0.587
175	182	178.949	-3.051
179	182	184.395	2.395
180	186	185.757	-0.243

يتم حساب قيم Y i وفقًا لمعادلة الانحدار.

يتم تفسير الانحراف الملحوظ لبعض القيم المرصودة عن خط الانحدار من خلال قلة عدد الملاحظات. عند دراسة درجة الاعتماد الخطي لـ Y على X، يتم أخذ عدد الملاحظات في الاعتبار. يتم تحديد قوة الاعتماد من خلال قيمة معامل الارتباط.

أنا مبرمج الكمبيوتر. لقد حققت أكبر قفزة في مسيرتي المهنية عندما تعلمت أن أقول: "أنا لا أفهم شيئا!"الآن أنا لا أخجل من إخبار نجم العلم بأنه يلقي محاضرة لي وأنني لا أفهم ما الذي يتحدث عنه النجم معي. وهذا صعب للغاية. نعم، من الصعب والمحرج أن تعترف بأنك لا تعرف. من يحب أن يعترف بأنه لا يعرف أساسيات شيء ما-هناك. بحكم مهنتي، لا بد لي من حضور عدد كبير من العروض والمحاضرات، حيث أعترف، في الغالبية العظمى من الحالات، أشعر بالنعاس، لأنني لا أفهم أي شيء. وأنا لا أفهم لأن المشكلة الكبرى في الوضع الحالي للعلوم تكمن في الرياضيات. يفترض أن جميع الطلاب على دراية بجميع مجالات الرياضيات (وهو أمر سخيف). الاعتراف بأنك لا تعرف ما هو المشتق (أن هذا بعد قليل) هو عار.

لكنني تعلمت أن أقول إنني لا أعرف ما هو الضرب. نعم، لا أعرف ما هو الجبر الفرعي فوق جبر الكذب. نعم، لا أعرف لماذا هناك حاجة إلى المعادلات التربيعية في الحياة. بالمناسبة، إذا كنت متأكدًا من أنك تعرف، فلدينا شيء نتحدث عنه! الرياضيات هي سلسلة من الحيل. يحاول علماء الرياضيات إرباك وترهيب الجمهور؛ حيث لا يوجد ارتباك ولا سمعة ولا سلطة. نعم، إنه لأمر مرموق أن تتحدث بأكثر اللغات تجريدية، وهو هراء كامل في حد ذاته.

هل تعرف ما هو المشتق؟ على الأرجح ستخبرني عن حدود علاقة الاختلاف. في السنة الأولى من الرياضيات في جامعة ولاية سانت بطرسبرغ، فيكتور بتروفيتش خافين لي مُعرفالمشتقة هي معامل الحد الأول من سلسلة تايلور للدالة عند النقطة (كانت جمبازًا منفصلاً لتحديد سلسلة تايلور بدون مشتقات). لقد ضحكت على هذا التعريف لفترة طويلة، حتى فهمت أخيرا ما كان عليه. المشتق ليس أكثر من مجرد مقياس لمدى تشابه الدالة التي نقوم بتفريقها مع الدالة y=x, y=x^2, y=x^3.

والآن يشرفني إلقاء المحاضرات على الطلاب الذين خائفالرياضيات. إذا كنت تخاف من الرياضيات - فنحن في الطريق. بمجرد أن تحاول قراءة نص ما ويبدو لك أنه معقد للغاية، فاعلم أنه مكتوب بشكل سيء. أزعم أنه لا يوجد مجال واحد في الرياضيات لا يمكن التحدث عنه "على الأصابع" دون فقدان الدقة.

التحدي الذي يواجهنا في المستقبل القريب: لقد وجهت طلابي إلى فهم ماهية وحدة التحكم الخطية التربيعية. لا تخجل، تضيع ثلاث دقائق من حياتك، اتبع الرابط. إذا لم تفهم أي شيء، فنحن في الطريق. أنا (عالم رياضيات ومبرمج محترف) لم أفهم شيئًا أيضًا. وأنا أؤكد لكم أنه يمكن حل هذا الأمر "على الأصابع". في الوقت الحالي، لا أعرف ما هو، لكنني أؤكد لك أننا سنكون قادرين على اكتشافه.

لذا، فإن المحاضرة الأولى التي سألقيها لطلابي بعد أن يأتوا إلي مرعوبين بالكلمات التي تقول إن وحدة التحكم الخطية التربيعية هي خطأ رهيب لن تتقنه أبدًا في حياتك طرق المربعات الصغرى. هل يمكنك حل المعادلات الخطية؟ إذا كنت تقرأ هذا النص، فعلى الأرجح لا.

لذا، بمعلومية النقطتين (x0، y0)، (x1، y1)، على سبيل المثال، (1,1) و (3,2)، فإن المهمة هي إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بهاتين النقطتين:

توضيح

يجب أن يكون لهذا الخط المستقيم معادلة مثل ما يلي:

هنا ألفا وبيتا غير معروفين لنا، لكن نقطتين من هذا الخط معروفتان:

يمكنك كتابة هذه المعادلة على شكل مصفوفة:

هنا يجب أن نقوم باستطراد غنائي: ما هي المصفوفة؟ المصفوفة ليست سوى مصفوفة ثنائية الأبعاد. هذه طريقة لتخزين البيانات، ولا ينبغي إرفاق المزيد من القيم بها. الأمر متروك لنا لكيفية تفسير مصفوفة معينة بالضبط. بشكل دوري، سأفسرها على أنها رسم خرائط خطي، وبشكل دوري على أنها شكل تربيعي، وأحيانًا ببساطة على أنها مجموعة من المتجهات. سيتم توضيح كل هذا في السياق.

لنستبدل مصفوفات محددة بتمثيلها الرمزي:

ثم يمكن العثور على (alpha، beta) بسهولة:

وبشكل أكثر تحديدًا لبياناتنا السابقة:

مما يؤدي إلى المعادلة التالية لخط مستقيم يمر بالنقطتين (1،1) و (3،2):

حسنًا، كل شيء واضح هنا. ولنجد معادلة الخط المستقيم المار ثلاثةالنقاط: (x0,y0)، (x1,y1) و (x2,y2):

أوه أوه أوه، ولكن لدينا ثلاث معادلات لمجهولين! سيقول عالم الرياضيات القياسي أنه لا يوجد حل. ماذا سيقول المبرمج؟ وسيقوم أولاً بإعادة كتابة نظام المعادلات السابق بالشكل التالي:

في حالتنا، تكون المتجهات i، j، b ثلاثية الأبعاد، لذلك (في الحالة العامة) لا يوجد حل لهذا النظام. يقع أي متجه (alpha\*i + beta\*j) في المستوى الممتد بواسطة المتجهات (i, j). إذا كان b لا ينتمي إلى هذا المستوى، فلا يوجد حل (لا يمكن تحقيق المساواة في المعادلة). ما يجب القيام به؟ دعونا نبحث عن حل وسط. دعنا نشير بـ ه (ألفا، بيتا)كيف بالضبط لم نحقق المساواة:

وسنحاول تقليل هذا الخطأ:

لماذا مربع؟

نحن لا نبحث فقط عن الحد الأدنى من القاعدة، بل عن الحد الأدنى من مربع القاعدة. لماذا؟ النقطة الدنيا نفسها متطابقة، والمربع يعطي دالة سلسة (دالة تربيعية للوسائط (ألفا، بيتا))، في حين أن الطول فقط يعطي دالة على شكل مخروط، غير قابلة للتفاضل عند النقطة الدنيا. بر. المربع أكثر ملاءمة.

من الواضح أن الخطأ يتم تقليله عند المتجه همتعامد مع الطائرة التي تمتد بواسطة المتجهات أناو ي.

توضيح

بمعنى آخر: نحن نبحث عن خط يكون فيه مجموع الأطوال المربعة للمسافات من جميع النقاط إلى هذا الخط هو الحد الأدنى:

استكمال: هنا لدي عضادة، يجب قياس المسافة إلى الخط عموديًا، وليس إسقاطًا إملائيًا. المعلق على حق.

توضيح

بكلمات مختلفة تمامًا (بعناية، بشكل سيء، ولكن يجب أن تكون واضحة على الأصابع): نأخذ جميع الخطوط الممكنة بين جميع أزواج النقاط ونبحث عن الخط المتوسط ​​بين الكل:

توضيح

تفسير آخر على الأصابع: نعلق زنبركًا بين جميع نقاط البيانات (هنا لدينا ثلاث نقاط) والخط الذي نبحث عنه، وخط حالة التوازن هو بالضبط ما نبحث عنه.

الحد الأدنى من الشكل التربيعي

لذلك، نظرا للناقل بوالمستوى الممتد بواسطة أعمدة متجهات المصفوفة أ(في هذه الحالة (x0,x1,x2) و (1,1,1)) نحن نبحث عن متجه همع الحد الأدنى من مربع الطول. من الواضح أن الحد الأدنى لا يمكن تحقيقه إلا بالنسبة للمتجه ه، متعامد مع المستوى الممتد بواسطة أعمدة متجهات المصفوفة أ:

بمعنى آخر، نحن نبحث عن المتجه x=(alpha, beta) بحيث:

أذكرك أن هذا المتجه x=(alpha, beta) هو الحد الأدنى للدالة التربيعية ||e(alpha, beta)||^2:

من المفيد هنا أن نتذكر أنه يمكن تفسير المصفوفة وكذلك الصورة التربيعية، على سبيل المثال، يمكن تفسير مصفوفة الهوية ((1,0)،(0,1)) كدالة لـ x^2 + y ^2:

شكل تربيعي

تُعرف كل هذه الجمباز بالانحدار الخطي.

معادلة لابلاس مع شرط حدود ديريشليت

الآن أبسط مشكلة حقيقية: هناك سطح مثلث معين، فمن الضروري تنعيمه. على سبيل المثال، لنقم بتحميل نموذج وجهي:

الالتزام الأصلي متاح. لتقليل التبعيات الخارجية، أخذت الكود الخاص بعارض البرنامج الموجود بالفعل على حبري. لحل النظام الخطي، أستخدم OpenNL، وهو حل رائع، ولكن تثبيته صعب جدًا: تحتاج إلى نسخ ملفين (.h + .c) إلى مجلد مشروعك. تتم جميع عمليات التجانس عن طريق الكود التالي:

من أجل (int d = 0؛ d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = وجوه[i]; لـ (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

إحداثيات X وY وZ قابلة للفصل، وأنا أقوم بتنعيمها بشكل منفصل. وهذا يعني أنني أحل ثلاثة أنظمة من المعادلات الخطية، كل منها يحتوي على نفس عدد المتغيرات مثل عدد القمم في النموذج الخاص بي. تحتوي الصفوف n الأولى من المصفوفة A على 1 واحد فقط لكل صف، والصفوف n الأولى من المتجه b لها إحداثيات النموذج الأصلي. وهذا يعني أنني أقوم بالربط بين موضع القمة الجديد وموضع القمة القديم - ولا ينبغي أن تكون المواقع الجديدة بعيدة جدًا عن المواقع القديمة.

جميع الصفوف اللاحقة من المصفوفة A (faces.size()*3 = عدد حواف جميع المثلثات في الشبكة) لها تواجد واحد هو 1 وتواجد واحد هو -1، في حين أن المتجه b له صفر مكونات متقابلة. هذا يعني أنني أضع زنبركًا على كل حافة من شبكتنا المثلثة: تحاول جميع الحواف الحصول على نفس قمة نقطة البداية والنهاية.

مرة أخرى: جميع القمم متغيرة، ولا يمكنها أن تنحرف بعيدًا عن موضعها الأصلي، ولكنها في نفس الوقت تحاول أن تصبح متشابهة مع بعضها البعض.

وهنا النتيجة:

كل شيء سيكون على ما يرام، النموذج سلس حقا، لكنه ابتعد عن الحافة الأصلية. دعنا نغير الكود قليلاً:

من أجل (int i = 0؛ i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

في المصفوفة A، بالنسبة للقمم الموجودة على الحافة، لا أضيف صفًا من الفئة v_i = verts[i][d]، ولكن 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. ماذا يتغير؟ وهذا يغير الصورة التربيعية للخطأ. الآن لن يكلف انحراف واحد من الأعلى عند الحافة وحدة واحدة، كما كان من قبل، ولكن 1000 * 1000 وحدة. أي أننا علقنا زنبركًا أقوى على القمم القصوى، ويفضل الحل تمديد الآخرين بقوة أكبر. وهنا النتيجة:

دعونا نضاعف قوة الينابيع بين القمم:
nlCoefficiency(face[ j ], 2); nlCoefficiency(face[(j+1)%3], -2);

ومن المنطقي أن السطح أصبح أكثر سلاسة:

والآن أقوى مائة مرة:

ما هذا؟ تخيل أننا غمسنا حلقة سلكية في الماء والصابون. نتيجة لذلك، سيحاول فيلم الصابون الناتج أن يكون لديه أصغر انحناء قدر الإمكان، ولمس نفس الحدود - حلقة السلك لدينا. وهذا هو بالضبط ما حصلنا عليه من خلال تثبيت الحدود وطلب سطح أملس من الداخل. تهانينا، لقد قمنا للتو بحل معادلة لابلاس مع شروط ديريشليت الحدودية. يبدو جيدا؟ ولكن في الواقع، هناك نظام واحد فقط من المعادلات الخطية التي يتعين حلها.

معادلة بواسون

دعونا نحصل على اسم رائع آخر.

لنفترض أن لدي صورة مثل هذه:

الجميع جيدون، لكني لا أحب الكرسي.

سأقطع الصورة إلى نصفين:

وسأختار الكرسي بيدي:

ثم سأسحب كل ما هو أبيض في القناع إلى الجانب الأيسر من الصورة، وفي نفس الوقت سأقول طوال الصورة بأكملها أن الفرق بين بيكسلين متجاورين يجب أن يكون مساوياً للفرق بين بيكسلين متجاورين من الصورة. الصورة الصحيحة:

من أجل (int i = 0؛ i

وهنا النتيجة:

مثال الحياة الحقيقية

أنا عمدا لم أفعل يمسح النتائج، لأنه. أردت فقط أن أوضح بالضبط كيف يمكنك تطبيق أساليب المربعات الصغرى، وهذا كود تدريبي. اسمحوا لي الآن أن أعطي مثالا واقعيا:

لدي عدد من الصور لعينات القماش مثل هذه:

مهمتي هي إنشاء مواد سلسة من صور بهذه الجودة. أولاً، أبحث (تلقائيًا) عن نمط متكرر:

إذا قمت بقطع هذا المربع هنا، فلن تتقارب الحواف بسبب التشوهات، وهنا مثال لنمط يتكرر أربع مرات:

النص المخفي

فيما يلي جزء حيث يكون التماس مرئيًا بوضوح:

ولذلك، لن أقطع على طول خط مستقيم، وهذا هو الخط المقطوع:

النص المخفي

وهنا يتكرر النمط أربع مرات:

النص المخفي

وجزء منه للتوضيح:

من الأفضل بالفعل أن القطع لم يسير في خط مستقيم، متجاوزًا جميع أنواع الضفائر، ولكن لا يزال التماس مرئيًا بسبب الإضاءة غير المستوية في الصورة الأصلية. هذا هو المكان الذي تنقذ فيه طريقة المربعات الصغرى لمعادلة بواسون. وهذه هي النتيجة النهائية بعد محاذاة الإضاءة:

أصبح الملمس سلسًا تمامًا، وكل هذا تلقائيًا من صورة ذات جودة متواضعة جدًا. لا تخف من الرياضيات، ابحث عن التفسيرات البسيطة، وستكون محظوظاً في الهندسة.

المشكلة هي إيجاد معاملات الاعتماد الخطية التي دالة فيها متغيرين أو بيأخذ أصغر قيمة. وهذا هو، نظرا للبيانات أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية عن الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذا هو بيت القصيد من طريقة المربعات الصغرى.

وبالتالي، فإن حل المثال يقتصر على إيجاد الحد الأقصى لدالة لمتغيرين.

اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.تم تجميع وحل نظام من معادلتين بمجهولين. إيجاد المشتقات الجزئية للدوال بواسطة المتغيرات أو ب، نحن نساوي هذه المشتقات بالصفر.

نحن نحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (على سبيل المثال، طريقة الاستبدال أو طريقة كرامر) ونحصل على صيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM).

مع البيانات أو بوظيفة يأخذ أصغر قيمة.

هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة للعثور على المعلمة أيحتوي على المبالغ و و و المعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. يوصى بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.

المجال الرئيسي لتطبيق مثل هذه كثيرات الحدود هو معالجة البيانات التجريبية (بناء الصيغ التجريبية). والحقيقة هي أن الاستيفاء متعدد الحدود المبني من قيم الدالة التي تم الحصول عليها بمساعدة التجربة سوف يتأثر بشدة بـ "الضوضاء التجريبية"، علاوة على ذلك، أثناء الاستيفاء، لا يمكن تكرار عقد الاستيفاء، أي. ولا يمكنك استخدام نتائج التجارب المتكررة تحت نفس الظروف. يعمل متعدد الحدود الجذر المتوسط ​​على تلطيف الضوضاء ويجعل من الممكن استخدام نتائج تجارب متعددة.

التكامل والتمايز العددي. مثال.

تكامل رقمي- حساب قيمة التكامل المحدد (عادة تقريبية). يُفهم التكامل العددي على أنه مجموعة من الطرق العددية للعثور على قيمة تكامل معين.

التمايز العددي- مجموعة من الطرق لحساب قيمة مشتق دالة معينة بشكل منفصل.

اندماج

صياغة المشكلة.بيان رياضي للمشكلة: من الضروري إيجاد قيمة تكامل معين

حيث a, b محدودة، f(x) مستمرة على [а, b].

عند حل المسائل العملية، غالبًا ما يحدث أن يكون التكامل غير مناسب أو من المستحيل تحليله: قد لا يتم التعبير عنه في وظائف أولية، ويمكن تقديم التكامل في شكل جدول، وما إلى ذلك. في مثل هذه الحالات، يتم استخدام طرق التكامل العددي مستخدم. تستخدم طرق التكامل العددي استبدال مساحة شبه المنحرف المنحني بمجموع محدود من مساحات الأشكال الهندسية الأبسط التي يمكن حسابها بدقة. وبهذا المعنى يتحدث المرء عن استخدام صيغ التربيع.

تستخدم معظم الطرق تمثيل التكامل كمجموع محدود (صيغة التربيع):

تعتمد صيغ التربيع على فكرة استبدال الرسم البياني للتكامل على فترة التكامل بوظائف ذات شكل أبسط، والتي يمكن دمجها بسهولة من الناحية التحليلية، وبالتالي حسابها بسهولة. يتم تحقيق أبسط مهمة لبناء الصيغ التربيعية للنماذج الرياضية متعددة الحدود.

يمكن التمييز بين ثلاث مجموعات من الأساليب:

1. طريقة تقسيم قطعة التكامل إلى فترات متساوية. يتم التقسيم إلى فترات مسبقًا، وعادةً ما يتم اختيار الفترات متساوية (لتسهيل حساب الدالة في نهايات الفواصل الزمنية). حساب المساحات وجمعها (طرق المستطيلات، شبه المنحرف، سمبسون).

2. طرق تقسيم قطعة التكامل باستخدام نقاط خاصة (طريقة جاوس).

3. حساب التكاملات باستخدام الأعداد العشوائية (طريقة مونت كارلو).

طريقة المستطيل.لتتكامل الدالة ( الرسم ) عدديا على القطعة . نقسم القطعة إلى N فترات متساوية. يمكن استبدال مساحة كل من شبه المنحرف المنحني N بمساحة المستطيل.

عرض جميع المستطيلات هو نفسه ويساوي:

كاختيار لارتفاع المستطيلات، يمكنك اختيار قيمة الدالة على الحد الأيسر. في هذه الحالة، سيكون ارتفاع المستطيل الأول f(a)، والثاني سيكون f(x 1)،...، N-f(N-1).

إذا أخذنا قيمة الدالة على الحد الأيمن كاختيار ارتفاع المستطيل، ففي هذه الحالة سيكون ارتفاع المستطيل الأول f (x 1)، والثاني - f (x 2)، . ..، ن - و (س ن).

كما ترون، في هذه الحالة تعطي إحدى الصيغتين تقريبًا للتكامل مع وجود فائض، والثانية مع نقص. هناك طريقة أخرى - لاستخدام قيمة الدالة في منتصف مقطع التكامل للتقريب:

تقدير الخطأ المطلق لطريقة المستطيلات (الوسطى)

تقدير الخطأ المطلق لطرق المستطيل الأيمن والأيسر.

مثال.احسب الفترة بأكملها وقسم الفترة إلى أربعة أقسام

حل.الحساب التحليلي لهذا التكامل يعطي I=arctg(1)–arctg(0)=0.7853981634. في حالتنا هذه:

1) ح = 1؛ س = 0; ×1 = 1؛

2) ح = 0.25 (1/4)؛ س0 = 0; ×1 = 0.25؛ ×2 = 0.5؛ ×3 = 0.75؛ ×4 = 1؛

نحسب بطريقة المستطيلات اليسرى:

نحسب بطريقة المستطيلات القائمة:

احسب بطريقة المستطيلات المتوسطة:

طريقة شبه منحرف.يؤدي استخدام كثير الحدود من الدرجة الأولى للاستيفاء (خط مستقيم مرسوم من خلال نقطتين) إلى صيغة شبه منحرف. يتم أخذ نهايات مقطع التكامل كعقد استيفاء. وبالتالي، يتم استبدال شبه منحرف منحني الأضلاع بشبه منحرف عادي، حيث يمكن العثور على مساحتها كمنتج لنصف مجموع القواعد والارتفاع

في حالة شرائح التكامل N لجميع العقد، باستثناء النقاط القصوى للقطعة، سيتم تضمين قيمة الدالة في المجموع الإجمالي مرتين (نظرًا لأن شبه المنحرف المجاور له جانب مشترك واحد)

يمكن الحصول على صيغة شبه المنحرف عن طريق أخذ نصف مجموع صيغ المستطيل على طول الحواف اليمنى واليسرى للقطعة:

التحقق من استقرار الحل.كقاعدة عامة، كلما كان طول كل فاصل زمني أقصر، أي. كلما زاد عدد هذه الفواصل، قل الفرق بين القيم التقريبية والدقيقة للتكامل. وهذا صحيح بالنسبة لمعظم الوظائف. في الطريقة شبه المنحرفة، يتناسب الخطأ في حساب التكامل ϭ تقريبًا مع مربع خطوة التكامل (ϭ ~ h 2)، وبالتالي، لحساب تكامل دالة معينة في الحدود a، b، من الضروري: قسّم القطعة إلى فترات N 0 وأوجد مجموع مساحات شبه المنحرف. ثم تحتاج إلى زيادة عدد الفواصل الزمنية N 1، وحساب مجموع شبه المنحرف مرة أخرى ومقارنة القيمة الناتجة بالنتيجة السابقة. وينبغي تكرار ذلك حتى (N i) حتى يتم الوصول إلى الدقة المحددة للنتيجة (معيار التقارب).

بالنسبة للطرق المستطيلة وشبه المنحرفة، عادة في كل خطوة تكرار، يزيد عدد الفواصل الزمنية بعامل 2 (N i +1 =2N i).

معيار التقارب:

الميزة الرئيسية لقاعدة شبه المنحرف هي بساطتها. ومع ذلك، إذا كان التكامل يتطلب دقة عالية، فقد تتطلب هذه الطريقة عددًا كبيرًا جدًا من التكرارات.

الخطأ المطلق للطريقة شبه المنحرفةتصنيفها على أنها
.

مثال.احسب التكامل المحدد تقريبًا باستخدام صيغة شبه المنحرف.

أ) تقسيم جزء التكامل إلى 3 أجزاء.
ب) تقسيم جزء التكامل إلى 5 أجزاء.

حل:
أ) بالشرط، يجب تقسيم قطعة التكامل إلى 3 أجزاء، أي.
احسب طول كل جزء من القسم: .

وبالتالي، يتم تقليل الصيغة العامة لشبه المنحرف إلى حجم لطيف:

أخيراً:

أذكرك أن القيمة الناتجة هي قيمة تقريبية للمنطقة.

ب) نقسم قطعة التكامل إلى 5 أجزاء متساوية، أي . من خلال زيادة عدد الشرائح، نزيد من دقة الحسابات.

إذا كانت صيغة شبه المنحرف تأخذ الشكل التالي:

لنجد خطوة التقسيم:
أي أن طول كل قطعة متوسطة هو 0.6.

عند الانتهاء من المهمة، من المناسب إجراء جميع الحسابات باستخدام جدول الحساب:

في السطر الأول نكتب "العداد"

نتيجة ل:

حسنًا، هناك بالفعل توضيح، وتوضيح جدي!
إذا كان لثلاثة أجزاء من القسم، ثم لخمسة أجزاء. إذا أخذت شريحة أكبر => فستكون أكثر دقة.

صيغة سيمبسون.تعطي الصيغة شبه المنحرفة نتيجة تعتمد بشكل كبير على حجم الخطوة h، مما يؤثر على دقة حساب التكامل المحدد، خاصة في الحالات التي تكون فيها الدالة غير رتيبة. يمكن للمرء أن يفترض زيادة في دقة الحسابات إذا، بدلاً من قطع الخطوط المستقيمة التي تحل محل الأجزاء المنحنية للرسم البياني للدالة f(x)، نستخدم، على سبيل المثال، أجزاء القطع المكافئة المعطاة من خلال ثلاث نقاط مجاورة للرسم البياني . هناك تفسير هندسي مماثل يكمن وراء طريقة سيمبسون لحساب التكامل المحدد. يتم تقسيم فترة التكامل بأكملها a,b إلى مقاطع N، وسيكون طول المقطع أيضًا مساويًا لـ h=(b-a)/N.

صيغة سيمبسون هي:

المدة المتبقية

مع زيادة طول المقاطع، تنخفض دقة الصيغة، لذلك لزيادة الدقة، يتم استخدام صيغة Simpson المركبة. يتم تقسيم فترة التكامل بأكملها إلى عدد زوجي من المقاطع المتطابقة N، وسيكون طول القطعة أيضًا مساويًا لـ h=(b-a)/N. صيغة سمبسون المركبة هي:

في الصيغة، التعبيرات بين قوسين هي مجموع قيم التكامل، على التوالي، في نهايات الأجزاء الفردية والزوجية الداخلية.

الحد المتبقي من صيغة سيمبسون يتناسب بالفعل مع القوة الرابعة للخطوة:

مثال:احسب التكامل باستخدام قاعدة سيمبسون. (الحل الدقيق - 0.2)

طريقة غاوس

صيغة التربيع لغاوس. يمكن رؤية المبدأ الأساسي للصيغ التربيعية من النوع الثاني من الشكل 1.12: من الضروري وضع النقاط بهذه الطريقة X 0 و X 1 داخل المقطع [ أ;ب] بحيث تكون مساحات "المثلثات" إجمالاً مساوية لمساحة "القطعة". عند استخدام صيغة غاوس، الجزء الأولي [ أ;ب] يتم تقليله إلى الفاصل الزمني [-1;1] عن طريق تغيير المتغير Xعلى

0.5∙(ب– أ)∙ر+ 0.5∙(ب + أ).

ثم ، أين .

هذا الاستبدال ممكن إذا أو بمحدودة، والدالة F(س) مستمر على [ أ;ب]. صيغة غاوس ل ننقاط × ط, أنا=0,1,..,ن-1 داخل المقطع [ أ;ب]:

, (1.27)

أين ر طو أللاختلافات نوترد في الكتب المرجعية. على سبيل المثال، متى ن=2 أ 0 =أ 1=1; في ن=3: ر 0 = ر 2" 0.775، ر 1 =0, أ 0 =أ 2" 0.555، أ 1" 0.889.

صيغة التربيع لغاوس

تم الحصول عليها باستخدام دالة وزن تساوي واحدًا ع(س)= 1 والعقد × ط، والتي هي جذور كثيرات الحدود ليجيندر

احتمال أيتم حسابها بسهولة عن طريق الصيغ

أنا=0,1,2,...ن.

وترد في الجدول قيم العقد والمعاملات لـ n=2,3,4,5

طلب	عقدة	احتمال
ن=2	× 1=0 س 0 =-×2=0.7745966692	أ 1=8/9 أ 0 = أ 2=5/9
ن=3	× 2 =-× 1=0.3399810436 × 3 =-x0=0.8611363116	أ 1 = أ 2=0.6521451549 أ 0 = أ 3=0.6521451549
ن = 4	س 2 = 0 س 3 = -س 1 = 0.5384693101 س 4 =-س 0 =0.9061798459	أ 0 =0.568888899 أ 3 =أ 1 =0.4786286705 أ 0 =أ 4 =0.2869268851
ن=5	س 5 = -س 0 =0.9324695142 س 4 = -س 1 =0.6612093865 س 3 = -س 2 =0.2386191861	أ 5 =أ 0 =0.1713244924 أ 4 =أ 1 =0.3607615730 أ 3 =أ 2 =0.4679139346

مثال.احسب القيمة باستخدام صيغة غاوس لـ ن=2:

القيمة الدقيقة: .

لا توفر خوارزمية حساب التكامل وفقًا لصيغة غاوس مضاعفة عدد الأجزاء الدقيقة، ولكن زيادة عدد الإحداثيات بمقدار 1 ومقارنة القيم التي تم الحصول عليها للتكامل. ميزة صيغة غاوس هي الدقة العالية مع عدد صغير نسبيًا من الإحداثيات. العيوب: غير مريح للحسابات اليدوية. يجب أن يتم تخزينها في ذاكرة الكمبيوتر ر ط, أللاختلافات ن.

سيكون خطأ صيغة تربيع غاوس على القطعة في نفس الوقت بالنسبة لصيغة الحد المتبقي حيث يكون المعامل α نيتناقص بسرعة مع النمو ن. هنا

توفر صيغ غاوس دقة عالية بالفعل مع عدد صغير من العقد (من 4 إلى 10). في هذه الحالة، في الحسابات العملية، يتراوح عدد العقد من عدة مئات إلى عدة آلاف. ونلاحظ أيضًا أن أوزان التربيعات الغوسية تكون موجبة دائمًا، مما يضمن استقرار الخوارزمية لحساب المجاميع