الانحدارالخطي. باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM). تقريب البيانات التجريبية. طريقة المربعات الصغرى طريقة المربعات الصغرى في حالة وجود 3 متغيرات

والذي يجد التطبيق الأوسع في مختلف مجالات العلوم والممارسة. يمكن أن تكون الفيزياء والكيمياء والأحياء والاقتصاد وعلم الاجتماع وعلم النفس وما إلى ذلك وما إلى ذلك. بإرادة القدر، غالبًا ما أضطر إلى التعامل مع الاقتصاد، ولذلك سأرتب لك اليوم تذكرة سفر إلى بلد رائع يسمى الاقتصاد القياسي=) … كيف لا تريد ذلك؟! إنه جيد جدًا هناك - عليك فقط أن تقرر! …ولكن ما تريده بالتأكيد هو أن تتعلم كيفية حل المشكلات المربعات الصغرى. وسيتعلم القراء المجتهدون بشكل خاص حلها ليس بدقة فحسب، بل أيضًا بسرعة كبيرة ؛-) ولكن أولاً بيان عام للمشكلة+ مثال ذو صلة:

دع المؤشرات تدرس في بعض المجالات الموضوعية التي لها تعبير كمي. وفي الوقت نفسه، هناك كل الأسباب للاعتقاد بأن المؤشر يعتمد على المؤشر. يمكن أن يكون هذا الافتراض فرضية علمية ويستند إلى الفطرة السليمة الأولية. ومع ذلك، دعونا نترك العلم جانبًا، ونستكشف المزيد من المجالات الشهية - وهي متاجر البقالة. للدلالة به:

– مساحة التجزئة لمتجر بقالة، متر مربع،
- حجم مبيعات محل البقالة السنوي مليون روبل.

ومن الواضح تمامًا أنه كلما زادت مساحة المتجر، زادت مبيعاته في معظم الحالات.

لنفترض أنه بعد إجراء الملاحظات / التجارب / الحسابات / الرقص بالدف، لدينا بيانات رقمية تحت تصرفنا:

مع محلات البقالة، أعتقد أن كل شيء واضح: - هذه هي مساحة المتجر الأول، - حجم مبيعاتها السنوي، - مساحة المتجر الثاني، - حجم مبيعاتها السنوي، وما إلى ذلك. بالمناسبة، ليس من الضروري على الإطلاق الوصول إلى المواد السرية - يمكن الحصول على تقييم دقيق إلى حد ما لحجم التداول باستخدام الإحصائيات الرياضية. ومع ذلك، لا تشتت انتباهك، فإن دورة التجسس التجاري مدفوعة بالفعل =)

يمكن أيضًا كتابة البيانات الجدولية على شكل نقاط وتصويرها بالطريقة المعتادة بالنسبة لنا. النظام الديكارتي .

لنجيب على سؤال مهم: كم عدد النقاط اللازمة للدراسة النوعية؟

الأكبر، كلما كان ذلك أفضل. يتكون الحد الأدنى المسموح به من 5-6 نقاط. بالإضافة إلى ذلك، مع وجود كمية صغيرة من البيانات، لا ينبغي تضمين النتائج "غير الطبيعية" في العينة. لذلك، على سبيل المثال، يمكن لمتجر نخبة صغير أن يساعد في تقديم طلبات كبيرة الحجم أكثر من "زملائهم"، وبالتالي تشويه النمط العام الذي يجب العثور عليه!

إذا كان الأمر بسيطًا جدًا، فنحن بحاجة إلى اختيار وظيفة، جدولالذي يمر أقرب ما يمكن إلى النقاط . تسمى هذه الوظيفة تقريب (تقريب - تقريب)أو الوظيفة النظرية . بشكل عام، هنا يظهر على الفور "مدعي" واضح - متعدد الحدود ذو درجة عالية، والذي يمر الرسم البياني الخاص به عبر جميع النقاط. لكن هذا الخيار معقد، وغالبًا ما يكون غير صحيح. (لأن الرسم البياني سوف "يتأرجح" طوال الوقت ويعكس الاتجاه الرئيسي بشكل سيئ).

وبالتالي، يجب أن تكون الوظيفة المطلوبة بسيطة بما فيه الكفاية وفي نفس الوقت تعكس التبعية بشكل مناسب. كما قد تتخيل، يتم استدعاء إحدى الطرق للعثور على مثل هذه الوظائف المربعات الصغرى. أولا، دعونا نحلل جوهرها بطريقة عامة. دع بعض الوظائف تقريبية للبيانات التجريبية:

كيفية تقييم دقة هذا التقريب؟ دعونا أيضًا نحسب الاختلافات (الانحرافات) بين القيم التجريبية والوظيفية (ندرس الرسم). أول فكرة تتبادر إلى ذهني هي تقدير حجم المبلغ، لكن المشكلة هي أن الاختلافات يمكن أن تكون سلبية. (على سبيل المثال، ) والانحرافات نتيجة لهذا الجمع سوف تلغي بعضها البعض. لذلك، كتقدير لدقة التقريب، يقترح نفسه أن يأخذ المبلغ وحداتالانحرافات:

أو في شكل مطوي: (فجأة من لا يعرف: هي أيقونة المجموع، وهي متغير مساعد-"العداد" الذي يأخذ القيم من 1 إلى ).

ومن خلال تقريب النقاط التجريبية بدوال مختلفة، سنحصل على قيم مختلفة لـ، ومن الواضح أنه عندما يكون هذا المجموع أصغر، تكون تلك الدالة أكثر دقة.

هذه الطريقة موجودة وتسمى طريقة المعامل الأقل. ومع ذلك، في الممارسة العملية أصبح أكثر انتشارا. طريقة المربعات الصغرى، حيث يتم التخلص من القيم السلبية المحتملة ليس عن طريق المعامل، ولكن عن طريق تربيع الانحرافات:

، وبعد ذلك يتم توجيه الجهود لاختيار مثل هذه الوظيفة بحيث يكون مجموع الانحرافات المربعة كانت صغيرة قدر الإمكان. في الواقع، ومن هنا اسم الطريقة.

والآن نعود إلى نقطة أخرى مهمة: كما ذكرنا أعلاه، يجب أن تكون الوظيفة المحددة بسيطة للغاية - ولكن هناك أيضًا العديد من هذه الوظائف: خطي , القطعي, متسارع, لوغاريتمي, من الدرجة الثانية إلخ. وبالطبع، هنا أود على الفور "تقليل مجال النشاط". ما فئة الوظائف التي يجب اختيارها للبحث؟ تقنية بدائية ولكنها فعالة:

- أسهل طريقة لرسم النقاط على الرسم وتحليل موقعهم. إذا كانت تميل إلى أن تكون في خط مستقيم، فعليك أن تبحث عنها معادلة الخط المستقيم مع القيم المثلى و. بمعنى آخر، المهمة هي العثور على مثل هذه المعاملات - بحيث يكون مجموع الانحرافات المربعة هو الأصغر.

إذا كانت النقاط موجودة، على سبيل المثال، على طول مقارنة مبالغ فيهافمن الواضح أن الدالة الخطية ستعطي تقديرًا تقريبيًا سيئًا. في هذه الحالة، نحن نبحث عن المعاملات الأكثر "تفضيلاً" لمعادلة القطع الزائد - تلك التي تعطي الحد الأدنى من مجموع المربعات .

لاحظ الآن أننا نتحدث عن كلتا الحالتين وظائف اثنين من المتغيرات، والتي هي الحجج خيارات التبعية التي تم البحث عنها:

وفي جوهرها، نحن بحاجة إلى حل المشكلة القياسية - للعثور عليها الحد الأدنى من وظيفة من متغيرين.

تذكر مثالنا: لنفترض أن نقاط "المتجر" تميل إلى أن تكون موجودة في خط مستقيم وأن هناك كل الأسباب للاعتقاد بوجودها الاعتماد الخطيحجم التداول من منطقة التداول. دعونا نجد هذه المعاملات "أ" و"كن" بحيث يكون مجموع الانحرافات المربعة كان الأصغر. كل شيء كالمعتاد - أولا المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. وفق القاعدة الخطيةيمكنك التمييز مباشرة تحت أيقونة المجموع:

إذا كنت ترغب في استخدام هذه المعلومات في مقال أو ورقة بحثية، سأكون ممتنًا جدًا للرابط الموجود في قائمة المصادر، فلن تجد مثل هذه الحسابات التفصيلية في أي مكان:

لنقم بإنشاء نظام قياسي:

نقوم بتبسيط كل معادلة بمقدار "اثنين"، بالإضافة إلى "تقسيم" المجاميع:

ملحوظة : تحليل بشكل مستقل لماذا يمكن إزالة "a" و "be" من أيقونة المجموع. بالمناسبة، رسميا يمكن القيام بذلك مع المبلغ

لنعد كتابة النظام في شكل "مطبق":

وبعد ذلك يبدأ رسم خوارزمية حل مشكلتنا:

هل نعرف إحداثيات النقاط؟ نعلم. مسائل حسابية يمكن أن نجد؟ بسهولة. نحن نؤلف أبسط نظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين("أ" و"به"). نقوم بحل النظام مثلا طريقة كريمرمما أدى إلى نقطة ثابتة. تدقيق حالة كافية للأقصى، يمكننا التحقق من أن الوظيفة عند هذه النقطة يصل بدقة الحد الأدنى. يرتبط التحقق بحسابات إضافية وبالتالي سنتركه وراء الكواليس. (إذا لزم الأمر، يمكن عرض الإطار المفقود). نستخلص النتيجة النهائية:

وظيفة أفضل طريقة (على الأقل بالمقارنة مع أي وظيفة خطية أخرى)يجعل النقاط التجريبية أقرب . بشكل تقريبي، يمر الرسم البياني الخاص به بالقرب من هذه النقاط قدر الإمكان. في التقليد الاقتصاد القياسيوتسمى أيضًا وظيفة التقريب الناتجة معادلة الانحدار الخطي المقترنة .

المشكلة قيد النظر لها أهمية عملية كبيرة. في الحالة مع مثالنا، المعادلة يسمح لك بالتنبؤ بنوع التداول ("ييج")سيكون في المتجر بقيمة معينة لمنطقة البيع (واحد أو آخر من معنى "x"). نعم، ستكون التوقعات الناتجة مجرد توقعات، ولكن في كثير من الحالات ستكون دقيقة تمامًا.

سأقوم بتحليل مشكلة واحدة فقط بالأرقام "الحقيقية"، حيث لا توجد صعوبات فيها - جميع الحسابات على مستوى المناهج المدرسية في الصفوف 7-8. في 95 بالمائة من الحالات، سيُطلب منك العثور على دالة خطية فقط، ولكن في نهاية المقالة سأوضح أنه لم يعد من الصعب العثور على معادلات القطع الزائد الأمثل، والأس، وبعض الدوال الأخرى.

في الواقع، يبقى توزيع الأشياء الجيدة الموعودة - حتى تتعلم كيفية حل هذه الأمثلة ليس بدقة فحسب، بل بسرعة أيضًا. نحن ندرس المعيار بعناية:

مهمة

ونتيجة لدراسة العلاقة بين مؤشرين تم الحصول على أزواج الأرقام التالية:

باستخدام طريقة المربعات الصغرى، أوجد الدالة الخطية الأقرب للدالة التجريبية (ذوي الخبرة)بيانات. أنشئ رسمًا ترسم عليه النقاط التجريبية ورسمًا بيانيًا للدالة التقريبية في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل . أوجد مجموع الانحرافات التربيعية بين القيم التجريبية والنظرية. معرفة ما إذا كانت الوظيفة أفضل (من حيث طريقة المربعات الصغرى)نقاط تجريبية تقريبية

لاحظ أن قيم "x" هي قيم طبيعية، وهذا له معنى مميز ذو معنى، والذي سأتحدث عنه بعد قليل؛ لكنها، بالطبع، يمكن أن تكون كسرية. بالإضافة إلى ذلك، اعتمادًا على محتوى مهمة معينة، يمكن أن تكون قيم "X" و"G" سالبة كليًا أو جزئيًا. حسنًا، لقد تم تكليفنا بمهمة "مجهولة الهوية"، ونحن نبدأها حل:

نجد معاملات الدالة المثلى كحل للنظام:

لأغراض تدوين أكثر إحكاما، يمكن حذف المتغير "العداد"، لأنه من الواضح بالفعل أن الجمع يتم من 1 إلى .

من الأنسب حساب المبالغ المطلوبة في شكل جدول:

يمكن إجراء الحسابات على آلة حاسبة صغيرة، ولكن من الأفضل استخدام Excel - بشكل أسرع وبدون أخطاء؛ شاهد فيديو قصير:

وهكذا نحصل على ما يلي نظام:

هنا يمكنك ضرب المعادلة الثانية بـ 3 و اطرح الثاني من حد المعادلة الأول بمصطلح. ولكن هذا هو الحظ - في الممارسة العملية، غالبا ما لا تكون الأنظمة موهوبة، وفي مثل هذه الحالات يتم حفظها طريقة كريمر:
، وبالتالي فإن النظام لديه حل فريد من نوعه.

دعونا نفعل الاختيار. أفهم أنني لا أريد ذلك، ولكن لماذا تخطي الأخطاء حيث لا يمكنك تفويتها على الإطلاق؟ عوّض بالحل الموجود في الجانب الأيسر من كل معادلة من معادلة النظام:

تم الحصول على الأجزاء الصحيحة من المعادلات المقابلة، مما يعني أنه تم حل النظام بشكل صحيح.

وبالتالي فإن وظيفة التقريب المطلوبة: - من جميع الوظائف الخطيةومن الأفضل تقريب البيانات التجريبية بها.

على عكس مستقيم اعتماد حجم مبيعات المتجر على منطقته، والاعتماد الموجود هو يعكس (مبدأ "الأكثر - الأقل")، وهذه الحقيقة تكشفها السلبية على الفور معامل الزاوي. وظيفة يعلمنا أنه مع زيادة مؤشر معين بمقدار وحدة واحدة، تنخفض قيمة المؤشر التابع متوسطبنسبة 0.65 وحدة. وكما يقولون، كلما ارتفع سعر الحنطة السوداء، قل بيعها.

لرسم الدالة التقريبية نجد قيمتين لها:

وتنفيذ الرسم:

الخط المبني يسمى خط الاتجاه (أي خط الاتجاه الخطي، أي في الحالة العامة، الاتجاه ليس بالضرورة خطًا مستقيمًا). الجميع على دراية بتعبير "أن تكون في الاتجاه"، وأعتقد أن هذا المصطلح لا يحتاج إلى تعليقات إضافية.

حساب مجموع الانحرافات التربيعية بين القيم التجريبية والنظرية. هندسيًا، هذا هو مجموع مربعات أطوال الأجزاء "القرمزية". (اثنان منها صغيران جدًا ولا يمكنك حتى رؤيتهما).

دعونا نلخص الحسابات في الجدول:

يمكن تنفيذها يدويًا مرة أخرى، فقط في حالة تقديم مثال للنقطة الأولى:

ولكن من الأكثر فعالية القيام بالطريقة المعروفة بالفعل:

دعونا نكرر: ما هو معنى النتيجة ؟من جميع الوظائف الخطيةفي الوظيفة الأس هو الأصغر، أي أنه أفضل تقريب في عائلته. وهنا، بالمناسبة، السؤال الأخير للمشكلة ليس عرضيًا: ماذا لو كانت الدالة الأسية المقترحة هل سيكون من الأفضل تقريب النقاط التجريبية؟

دعونا نجد المبلغ المقابل للانحرافات التربيعية - لتمييزها، سأقوم بتعيينها بالحرف "إبسيلون". التقنية هي نفسها تمامًا:

ومرة أخرى لكل حساب نار للنقطة الأولى:

في Excel، نستخدم الدالة القياسية خبرة (يمكن العثور على بناء الجملة في تعليمات Excel).

خاتمة: ، وبالتالي فإن الدالة الأسية تقرب النقاط التجريبية بشكل أسوأ من الخط المستقيم .

ولكن تجدر الإشارة هنا إلى أن "الأسوأ" هو لا يعني بعد، ما الخطأ. لقد قمت الآن ببناء رسم بياني لهذه الدالة الأسية - وهي تمر أيضًا بالقرب من النقاط - لدرجة أنه بدون دراسة تحليلية يصعب تحديد الوظيفة الأكثر دقة.

وبهذا يكتمل الحل، وأعود إلى مسألة القيم الطبيعية للحجّة. في الدراسات المختلفة، كقاعدة عامة، اقتصادية أو اجتماعية، يتم ترقيم الأشهر أو السنوات أو فترات زمنية متساوية أخرى بعلامة "X" الطبيعية. النظر، على سبيل المثال، مثل هذه المشكلة.

مثال.

بيانات تجريبية عن قيم المتغيرات Xو فيوترد في الجدول.

ونتيجة لمواءمتها، وظيفة

استخدام طريقة المربعات الصغرى، قم بتقريب هذه البيانات من خلال الاعتماد الخطي ص=الفأس+ب(ابحث عن الخيارات أو ب). اكتشف أي الخطين هو الأفضل (بمعنى طريقة المربعات الصغرى) في محاذاة البيانات التجريبية. جعل الرسم.

جوهر طريقة المربعات الصغرى (LSM).

المشكلة هي إيجاد معاملات الاعتماد الخطية التي دالة فيها متغيرين أو ب يأخذ أصغر قيمة. وهذا هو، نظرا للبيانات أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية عن الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذا هو بيت القصيد من طريقة المربعات الصغرى.

وبالتالي، فإن حل المثال يقتصر على إيجاد الحد الأقصى لدالة لمتغيرين.

اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.

تم تجميع وحل نظام من معادلتين بمجهولين. إيجاد المشتقات الجزئية للدوال بواسطة المتغيرات أو ب، نحن نساوي هذه المشتقات بالصفر.

نقوم بحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (على سبيل المثال طريقة الاستبدالأو طريقة كريمر) واحصل على صيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM).

مع البيانات أو بوظيفة يأخذ أصغر قيمة. تم تقديم الدليل على هذه الحقيقة أسفل النص في نهاية الصفحة.

هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة للعثور على المعلمة أيحتوي على المبالغ،،، والمعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. يوصى بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.

حان الوقت لتذكر المثال الأصلي.

حل.

في مثالنا ن = 5. نقوم بملء الجدول لتسهيل حساب المبالغ المضمنة في صيغ المعاملات المطلوبة.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الرابع من الجدول عن طريق ضرب قيم الصف الثاني في قيم الصف الثالث لكل رقم أنا.

يتم الحصول على القيم الموجودة في الصف الخامس من الجدول عن طريق تربيع قيم الصف الثاني لكل رقم أنا.

قيم العمود الأخير من الجدول هي مجموع القيم عبر الصفوف.

نستخدم صيغ طريقة المربعات الصغرى لإيجاد المعاملات أو ب. نستبدل فيها القيم المقابلة من العمود الأخير في الجدول:

لذلك، ص=0.165س+2.184هو الخط المستقيم التقريبي المطلوب.

يبقى لمعرفة أي من الخطوط ص=0.165س+2.184أو تقريب البيانات الأصلية بشكل أفضل، أي إجراء تقدير باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

تقدير الخطأ بطريقة المربعات الصغرى.

للقيام بذلك، تحتاج إلى حساب مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات الأصلية من هذه الخطوط و ، تتوافق القيمة الأصغر مع السطر الذي يقارب البيانات الأصلية بشكل أفضل من حيث طريقة المربعات الصغرى.

منذ , ثم الخط ص=0.165س+2.184يقترب من البيانات الأصلية بشكل أفضل.

رسم توضيحي لطريقة المربعات الصغرى (LSM).

كل شيء يبدو رائعًا على الرسوم البيانية. الخط الأحمر هو الخط الموجود ص=0.165س+2.184، الخط الأزرق هو النقاط الوردية هي البيانات الأصلية.

في الممارسة العملية، عند نمذجة العمليات المختلفة - على وجه الخصوص، الاقتصادية والفيزيائية والتقنية والاجتماعية - يتم استخدام طريقة أو أخرى لحساب القيم التقريبية للوظائف من قيمها المعروفة في بعض النقاط الثابتة على نطاق واسع.

غالبًا ما تنشأ مشاكل تقريب الوظائف من هذا النوع:

عند بناء صيغ تقريبية لحساب قيم الكميات المميزة للعملية قيد الدراسة وفقا للبيانات الجدولية التي تم الحصول عليها نتيجة للتجربة؛

في التكامل العددي، والتمايز، وحل المعادلات التفاضلية، وما إلى ذلك؛

إذا كان من الضروري حساب قيم الدوال عند النقاط المتوسطة للفاصل الزمني المدروس؛

عند تحديد قيم الكميات المميزة للعملية خارج الفترة قيد النظر، على وجه الخصوص، عند التنبؤ.

إذا تم، من أجل نمذجة عملية معينة محددة بواسطة جدول، إنشاء دالة تصف تقريبًا هذه العملية بناءً على طريقة المربعات الصغرى، فسوف تسمى دالة تقريبية (انحدار)، وستكون مهمة إنشاء الدوال التقريبية نفسها تكون مشكلة تقريبية.

تتناول هذه المقالة إمكانيات حزمة MS Excel لحل مثل هذه المشكلات، بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم طرق وتقنيات إنشاء (إنشاء) الانحدارات للوظائف المحددة بشكل جدولي (والتي هي أساس تحليل الانحدار).

هناك خياران لبناء الانحدارات في Excel.

إضافة الإنحدارات (خطوط الإتجاه) المختارة إلى الرسم البياني المبني على أساس جدول بيانات لخاصية العملية المدروسة (متاح فقط في حالة بناء الرسم البياني)؛

استخدام الوظائف الإحصائية المضمنة في ورقة عمل Excel، والتي تتيح لك الحصول على الانحدارات (خطوط الاتجاه) مباشرة من جدول البيانات المصدر.

إضافة خطوط الاتجاه إلى الرسم البياني

للحصول على جدول بيانات يصف عملية معينة ويمثلها رسم تخطيطي، يحتوي برنامج Excel على أداة فعالة لتحليل الانحدار تسمح لك بما يلي:

البناء على أساس طريقة المربعات الصغرى وإضافة إلى الرسم البياني خمسة أنواع من الانحدارات التي تمثل العملية قيد الدراسة بدرجات متفاوتة من الدقة؛

إضافة معادلة الانحدار المبني إلى الرسم التخطيطي؛

تحديد درجة توافق الانحدار المحدد مع البيانات المعروضة على الرسم البياني.

استنادًا إلى بيانات المخطط، يتيح لك Excel الحصول على أنواع الانحدارات الخطية ومتعددة الحدود واللوغاريتمية والأسية والأسية، والتي يتم تقديمها بواسطة المعادلة:

ص = ص(س)

حيث x هو متغير مستقل، وغالباً ما يأخذ قيم سلسلة من الأعداد الطبيعية (1؛ 2؛ 3؛ ...) وينتج مثلاً عداً تنازلياً لزمن العملية قيد الدراسة (الخصائص) .

1 . يعتبر الانحدار الخطي جيدًا في نمذجة الميزات التي تزيد أو تنقص بمعدل ثابت. هذا هو أبسط نموذج للعملية قيد الدراسة. يتم بناؤه وفقا للمعادلة:

ص=مx+ب

حيث m هو ظل ميل الانحدار الخطي إلى المحور السيني؛ ب - إحداثيات نقطة تقاطع الانحدار الخطي مع المحور الصادي.

2 . يعد خط الاتجاه متعدد الحدود مفيدًا في وصف الخصائص التي لها عدة حدود متطرفة (ارتفاعات وأدنى مستويات). يتم تحديد اختيار درجة كثير الحدود من خلال عدد الحدود القصوى للخاصية قيد الدراسة. وبالتالي، فإن كثير الحدود من الدرجة الثانية يمكن أن يصف جيدًا عملية لها حد أقصى أو أدنى واحد فقط؛ متعدد الحدود من الدرجة الثالثة - لا يزيد عن حدين متطرفين؛ متعدد الحدود من الدرجة الرابعة - لا يزيد عن ثلاثة حدود قصوى، وما إلى ذلك.

في هذه الحالة، يتم بناء خط الاتجاه وفقًا للمعادلة:

ص = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

حيث المعاملات c0، c1، c2،... c6 هي ثوابت يتم تحديد قيمها أثناء الإنشاء.

3 . يتم استخدام خط الاتجاه اللوغاريتمي بنجاح في نمذجة الخصائص، حيث تتغير قيمها بسرعة في البداية، ثم تستقر تدريجياً.

ص = ج قانون الجنسية (س) + ب

4 . ويعطي خط اتجاه القوة نتائج جيدة إذا اتسمت قيم الاعتماد المدروسة بالتغير المستمر في معدل النمو. مثال على هذا الاعتماد يمكن أن يكون بمثابة رسم بياني لحركة السيارة المتسارعة بشكل موحد. إذا كانت هناك قيم صفرية أو سلبية في البيانات، فلا يمكنك استخدام خط اتجاه الطاقة.

تم بناؤه وفقًا للمعادلة:

ذ = cxb

حيث المعاملات ب، ج هي الثوابت.

5 . وينبغي استخدام خط الاتجاه الأسي إذا كان معدل التغير في البيانات يتزايد باستمرار. بالنسبة للبيانات التي تحتوي على قيم صفرية أو سلبية، لا ينطبق هذا النوع من التقريب أيضًا.

تم بناؤه وفقًا للمعادلة:

y=cebx

حيث المعاملات ب، ج هي الثوابت.

عند تحديد خط الاتجاه، يقوم برنامج Excel تلقائيًا بحساب قيمة R2، التي تميز دقة التقريب: كلما كانت قيمة R2 أقرب إلى الواحد، كلما كان خط الاتجاه أكثر موثوقية لتقريب العملية قيد الدراسة. إذا لزم الأمر، يمكن دائمًا عرض قيمة R2 على الرسم التخطيطي.

يتم تحديده بواسطة الصيغة:

لإضافة خط اتجاه إلى سلسلة بيانات:

قم بتنشيط المخطط المبني على أساس سلسلة البيانات، أي انقر داخل منطقة المخطط. سيظهر عنصر المخطط في القائمة الرئيسية؛

بعد النقر على هذا العنصر، ستظهر قائمة على الشاشة، حيث يجب عليك تحديد أمر إضافة خط الاتجاه.

يتم تنفيذ نفس الإجراءات بسهولة إذا قمت بالتمرير فوق الرسم البياني المطابق لإحدى سلاسل البيانات والنقر بزر الماوس الأيمن؛ في قائمة السياق التي تظهر، حدد الأمر إضافة خط الاتجاه. سيظهر مربع الحوار خط الاتجاه على الشاشة مع فتح علامة التبويب "النوع" (الشكل 1).

بعد ذلك تحتاج إلى:

في علامة التبويب النوع، حدد نوع خط الاتجاه المطلوب (يتم تحديد الخطي بشكل افتراضي). بالنسبة لنوع كثير الحدود، في حقل الدرجة، حدد درجة كثير الحدود المحدد.

1 . يسرد الحقل "مبني على السلسلة" كافة سلاسل البيانات في المخطط المعني. لإضافة خط اتجاه إلى سلسلة بيانات محددة، حدد اسمه في الحقل المبني على السلسلة.

إذا لزم الأمر، بالانتقال إلى علامة التبويب "المعلمات" (الشكل 2)، يمكنك تعيين المعلمات التالية لخط الاتجاه:

قم بتغيير اسم خط الاتجاه في اسم حقل المنحنى التقريبي (الملس).

تعيين عدد الفترات (للأمام أو للخلف) للتنبؤ في حقل التنبؤ؛

عرض معادلة خط الاتجاه في منطقة الرسم البياني، والتي يجب عليك تمكين مربع الاختيار الخاص بها لإظهار المعادلة على الرسم البياني؛

عرض قيمة موثوقية التقريب R2 في منطقة الرسم البياني، والتي يجب عليك تمكين خانة الاختيار من وضع قيمة موثوقية التقريب (R ^ 2) على الرسم التخطيطي؛

قم بتعيين نقطة تقاطع خط الاتجاه مع المحور Y، والتي يجب عليك تمكين مربع الاختيار الخاص بها لتقاطع المنحنى مع المحور Y عند نقطة ما؛

انقر فوق الزر "موافق" لإغلاق مربع الحوار.

هناك ثلاث طرق لبدء تحرير خط الاتجاه الذي تم إنشاؤه بالفعل:

استخدم أمر خط الاتجاه المحدد من قائمة التنسيق، بعد تحديد خط الاتجاه؛

حدد أمر تنسيق خط الاتجاه من قائمة السياق، والذي يتم استدعاؤه بالنقر بزر الماوس الأيمن على خط الاتجاه؛

عن طريق النقر المزدوج على خط الاتجاه.

سيظهر مربع الحوار تنسيق خط الاتجاه على الشاشة (الشكل 3)، ويحتوي على ثلاث علامات تبويب: عرض، ونوع، ومعلمات، ويتزامن محتوى الأخيرين تمامًا مع علامات التبويب المشابهة لمربع حوار خط الاتجاه (الشكل 1-2). ). في علامة التبويب عرض، يمكنك ضبط نوع الخط ولونه وسمكه.

لحذف خط اتجاه تم إنشاؤه بالفعل، حدد خط الاتجاه المراد حذفه واضغط على مفتاح الحذف.

مزايا أداة تحليل الانحدار المدروسة هي:

السهولة النسبية لرسم خط الاتجاه على الرسوم البيانية دون إنشاء جدول بيانات له؛

قائمة واسعة إلى حد ما من أنواع خطوط الاتجاه المقترحة، وتشمل هذه القائمة أنواع الانحدار الأكثر استخدامًا؛

إمكانية التنبؤ بسلوك العملية قيد الدراسة لعدد تعسفي (ضمن الحس السليم) من الخطوات للأمام وكذلك للخلف ؛

إمكانية الحصول على معادلة خط الاتجاه بشكل تحليلي.

إمكانية، إذا لزم الأمر، الحصول على تقييم لموثوقية التقريب.

تشمل العيوب النقاط التالية:

يتم إنشاء خط الاتجاه فقط في حالة وجود مخطط مبني على سلسلة من البيانات؛

إن عملية توليد سلاسل البيانات للخاصية قيد الدراسة بناءً على معادلات خط الاتجاه التي تم الحصول عليها لها تكون مزدحمة إلى حد ما: يتم تحديث معادلات الانحدار المطلوبة مع كل تغيير في قيم سلسلة البيانات الأصلية، ولكن فقط ضمن منطقة المخطط بينما تظل سلسلة البيانات المتكونة على أساس اتجاه معادلة الخط القديم دون تغيير؛

في تقارير PivotChart، عندما تقوم بتغيير طريقة عرض المخطط أو تقرير PivotTable المرتبط، لا يتم الاحتفاظ بخطوط الاتجاه الموجودة، لذا يجب عليك التأكد من أن تخطيط التقرير يلبي متطلباتك قبل رسم خطوط الاتجاه أو تنسيق تقرير PivotChart.

يمكن إضافة خطوط الاتجاه إلى سلسلة البيانات المعروضة على المخططات مثل الرسم البياني، والرسم البياني، والمخططات المسطحة غير المقيسة، والمخططات الشريطية، والمبعثرة، والفقاعية، والأسهم.

لا يمكنك إضافة خطوط اتجاه إلى سلاسل البيانات في المخططات ثلاثية الأبعاد والقياسية والرادارية والدائرية والدائرية.

استخدام وظائف Excel المضمنة

يوفر Excel أيضًا أداة تحليل الانحدار لتخطيط خطوط الاتجاه خارج منطقة المخطط. يمكن استخدام عدد من وظائف ورقة العمل الإحصائية لهذا الغرض، ولكن جميعها تسمح لك ببناء تراجعات خطية أو أسية فقط.

يحتوي برنامج Excel على عدة وظائف لبناء الانحدار الخطي، على وجه الخصوص:

اتجاه؛

المنحدر والقطع.

فضلا عن عدة وظائف لبناء خط الاتجاه الأسي، على وجه الخصوص:

LGRF تقريبا.

تجدر الإشارة إلى أن تقنيات إنشاء الانحدارات باستخدام دالتي TREND وGROWTH هي نفسها تقريبًا. ويمكن قول الشيء نفسه عن زوج الدالتين LINEST وLGRFPRIBL. بالنسبة لهذه الوظائف الأربع، عند إنشاء جدول قيم، يتم استخدام ميزات Excel مثل صيغ المصفوفة، مما يؤدي إلى تشويش عملية إنشاء الانحدارات إلى حد ما. ونلاحظ أيضًا أن بناء الانحدار الخطي، في رأينا، هو الأسهل في التنفيذ باستخدام الدالتين SLOPE و INTERCEPT، حيث تحدد الأولى منهما ميل الانحدار الخطي، والثانية تحدد القطعة المقطوعة بالانحدار على المحور y.

مزايا أداة الوظائف المضمنة لتحليل الانحدار هي:

عملية بسيطة إلى حد ما من نفس النوع من تكوين سلسلة البيانات الخاصة بالخاصية قيد الدراسة لجميع الوظائف الإحصائية المضمنة التي تحدد خطوط الاتجاه؛

تقنية قياسية لبناء خطوط الاتجاه استنادا إلى سلسلة البيانات التي تم إنشاؤها؛

القدرة على التنبؤ بسلوك العملية قيد الدراسة لعدد الخطوات المطلوبة للأمام أو للخلف.

وتشمل العيوب حقيقة أن Excel لا يحتوي على وظائف مضمنة لإنشاء أنواع أخرى (باستثناء الخطية والأسية) من خطوط الاتجاه. في كثير من الأحيان، لا يسمح هذا الظرف باختيار نموذج دقيق بما فيه الكفاية للعملية قيد الدراسة، وكذلك الحصول على توقعات قريبة من الواقع. بالإضافة إلى ذلك، عند استخدام الدالتين TREND وGROW، لا تكون معادلات خطوط الاتجاه معروفة.

تجدر الإشارة إلى أن المؤلفين لم يحددوا هدف المقال المتمثل في تقديم مسار تحليل الانحدار بدرجات متفاوتة من الاكتمال. وتتمثل مهمتها الرئيسية في إظهار إمكانيات حزمة Excel في حل مشاكل التقريب باستخدام أمثلة محددة؛ إظهار الأدوات الفعالة التي يمتلكها برنامج Excel لبناء الانحدارات والتنبؤ؛ توضيح مدى السهولة النسبية لحل هذه المشكلات حتى من قبل المستخدم الذي ليس لديه معرفة عميقة بتحليل الانحدار.

أمثلة على حل مشاكل محددة

فكر في حل مشكلات محددة باستخدام الأدوات المدرجة في حزمة Excel.

مهمة 1

مع جدول بيانات عن ربح مؤسسة النقل بالسيارات للفترة 1995-2002. عليك القيام بما يلي.

قم ببناء مخطط.

أضف خطوط الاتجاه الخطية ومتعددة الحدود (التربيعية والمكعبة) إلى المخطط.

باستخدام معادلات خط الاتجاه، احصل على بيانات جدولية عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2004.

قم بعمل توقعات للأرباح للشركة لعامي 2003 و 2004.

حل المشكلة

في نطاق الخلايا A4:C11 من ورقة عمل Excel، نقوم بإدخال ورقة العمل الموضحة في الشكل. 4.

بعد تحديد نطاق الخلايا B4:C11، نقوم بإنشاء مخطط.

نقوم بتنشيط المخطط الذي تم إنشاؤه، وباستخدام الطريقة الموضحة أعلاه، بعد تحديد نوع خط الاتجاه في مربع حوار خط الاتجاه (انظر الشكل 1)، نضيف خطوط الاتجاه الخطية والتربيعية والمكعبة بالتناوب إلى المخطط. في نفس مربع الحوار، افتح علامة التبويب المعلمات (انظر الشكل 2)، في حقل اسم المنحنى التقريبي (الملس)، أدخل اسم الاتجاه المراد إضافته، وفي حقل التوقعات المستقبلية لـ: الفترات، قم بتعيين القيمة 2، حيث أنه من المخطط وضع توقعات للأرباح لمدة عامين قادمين. لعرض معادلة الانحدار وقيمة موثوقية التقريب R2 في منطقة الرسم التخطيطي، قم بتمكين خانات الاختيار إظهار المعادلة على الشاشة ووضع قيمة موثوقية التقريب (R^2) على الرسم التخطيطي. للحصول على إدراك بصري أفضل، نقوم بتغيير نوع ولون وسمك خطوط الاتجاه المرسومة، والتي نستخدم من أجلها علامة التبويب "عرض" في مربع الحوار "تنسيق خط الاتجاه" (انظر الشكل 3). يظهر الرسم البياني الناتج مع خطوط الاتجاه المضافة في الشكل. 5.

للحصول على بيانات جدولية عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2004. دعونا نستخدم معادلات خطوط الاتجاه المعروضة في الشكل. 5. للقيام بذلك، في خلايا النطاق D3:F3، أدخل معلومات نصية حول نوع خط الاتجاه المحدد: الاتجاه الخطي، الاتجاه التربيعي، الاتجاه المكعب. بعد ذلك، أدخل صيغة الانحدار الخطي في الخلية D4، وباستخدام علامة التعبئة، انسخ هذه الصيغة مع المراجع النسبية لنطاق الخلايا D5:D13. تجدر الإشارة إلى أن كل خلية تحتوي على صيغة انحدار خطي من نطاق الخلايا D4:D13 لها خلية مقابلة من النطاق A4:A13 كوسيطة. وبالمثل، بالنسبة للانحدار التربيعي، يتم تعبئة نطاق الخلايا E4:E13، وبالنسبة للانحدار المكعب، يتم تعبئة نطاق الخلايا F4:F13. وهكذا تم التنبؤ بأرباح الشركة لعامي 2003 و 2004. مع ثلاثة اتجاهات. يظهر جدول القيم الناتج في الشكل. 6.

المهمة 2

قم ببناء مخطط.

أضف خطوط الاتجاه اللوغاريتمية والأسية والأسية إلى الرسم البياني.

اشتقاق معادلات خطوط الاتجاه التي تم الحصول عليها، وكذلك قيم موثوقية التقريب R2 لكل منها.

باستخدام معادلات خط الاتجاه، احصل على بيانات جدولية عن ربح المؤسسة لكل خط اتجاه للفترة 1995-2002.

قم بعمل توقع للأرباح للشركة لعامي 2003 و2004 باستخدام خطوط الاتجاه هذه.

حل المشكلة

باتباع المنهجية المقدمة في حل المشكلة 1، حصلنا على مخطط مع خطوط الاتجاه اللوغاريتمية والأسية والأسية المضافة (الشكل 7). علاوة على ذلك، باستخدام معادلات خط الاتجاه التي تم الحصول عليها، نقوم بملء جدول القيم لربح المؤسسة، بما في ذلك القيم المتوقعة لعامي 2003 و 2004. (الشكل 8).

على الشكل. 5 والتين. يمكن ملاحظة أن النموذج ذو الاتجاه اللوغاريتمي يتوافق مع أدنى قيمة لموثوقية التقريب

R2 = 0.8659

تتوافق أعلى قيم R2 مع النماذج ذات الاتجاه متعدد الحدود: التربيعي (R2 = 0.9263) والمكعب (R2 = 0.933).

المهمة 3

باستخدام جدول البيانات الخاص بربح مؤسسة النقل بالسيارات للفترة 1995-2002، الوارد في المهمة 1، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية.

احصل على سلسلة بيانات لخطوط الاتجاه الخطية والأسية باستخدام الدالتين TREND وGROW.

باستخدام الدالتين TREND وGROWTH، قم بتنبؤ أرباح المؤسسة لعامي 2003 و2004.

بالنسبة للبيانات الأولية وسلسلة البيانات المستلمة، قم بإنشاء رسم تخطيطي.

حل المشكلة

دعونا نستخدم ورقة عمل المهمة 1 (انظر الشكل 4). لنبدأ بوظيفة TREND:

حدد نطاق الخلايا D4:D11، الذي يجب ملؤه بقيم دالة TREND المطابقة للبيانات المعروفة عن أرباح المؤسسة؛

استدعاء الأمر Function من القائمة "إدراج". في مربع الحوار معالج الوظائف الذي يظهر، حدد دالة TREND من الفئة الإحصائية، ثم انقر فوق الزر موافق. يمكن إجراء نفس العملية بالضغط على الزر (وظيفة الإدراج) الموجود على شريط الأدوات القياسي.

في مربع الحوار وسيطات الدالة الذي يظهر، أدخل نطاق الخلايا C4:C11 في الحقل Known_values_y؛ في الحقل Known_values_x - نطاق الخلايا B4:B11؛

لجعل الصيغة المدخلة صيغة مصفوفة، استخدم مجموعة المفاتيح + + .

ستبدو الصيغة التي أدخلناها في شريط الصيغة كما يلي: =(TREND(C4:C11;B4:B11)).

ونتيجة لذلك، يتم ملء نطاق الخلايا D4:D11 بالقيم المقابلة لوظيفة TREND (الشكل 9).

وضع توقعات لأرباح الشركة لعامي 2003 و 2004. ضروري:

حدد نطاق الخلايا D12:D13، حيث سيتم إدخال القيم التي تنبأت بها الدالة TREND.

استدعاء الدالة TREND وفي مربع الحوار وسيطات الدالة الذي يظهر، أدخل في الحقل Known_values_y - نطاق الخلايا C4:C11؛ في الحقل Known_values_x - نطاق الخلايا B4:B11؛ وفي الحقل New_values_x - نطاق الخلايا B12:B13.

قم بتحويل هذه الصيغة إلى صيغة صفيف باستخدام اختصار لوحة المفاتيح Ctrl + Shift + Enter.

ستبدو الصيغة المدخلة كما يلي: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)))، وسيتم ملء نطاق الخلايا D12:D13 بالقيم المتوقعة لدالة TREND (انظر الشكل 1). 9).

وبالمثل، تتم تعبئة سلسلة البيانات باستخدام الدالة GROWTH، والتي تُستخدم في تحليل التبعيات غير الخطية وتعمل تمامًا مثل نظيرتها الخطية TREND.

يوضح الشكل 10 الجدول في وضع عرض الصيغة.

بالنسبة للبيانات الأولية وسلسلة البيانات التي تم الحصول عليها، يظهر الرسم التخطيطي في الشكل. أحد عشر.

المهمة 4

مع جدول البيانات الخاص باستلام طلبات الخدمات من خلال خدمة الإرسال لمؤسسة النقل بالسيارات للفترة من اليوم الأول إلى اليوم الحادي عشر من الشهر الحالي، يجب تنفيذ الإجراءات التالية.

الحصول على سلسلة بيانات للانحدار الخطي: استخدام الدالتين SLOPE وINTERCEPT؛ باستخدام الدالة LINEST.

استرداد سلسلة بيانات للانحدار الأسي باستخدام الدالة LYFFPRIB.

باستخدام الوظائف المذكورة أعلاه، قم بالتنبؤ باستلام الطلبات إلى خدمة الإرسال للفترة من اليوم الثاني عشر إلى اليوم الرابع عشر من الشهر الحالي.

بالنسبة لسلسلة البيانات الأصلية والمستلمة، قم بإنشاء رسم تخطيطي.

حل المشكلة

لاحظ أنه، على عكس الدالتين TREND وGROW، لا تعتبر أي من الدالات المذكورة أعلاه (SLOPE، وINTERCEPTION، وLINEST، وLGRFPRIB) بمثابة تراجعات. تلعب هذه الوظائف دورًا مساعدًا فقط، حيث تحدد معلمات الانحدار الضرورية.

بالنسبة للانحدارات الخطية والأسية التي تم إنشاؤها باستخدام وظائف SLOPE وINTERCEPT وLINEST وLGRFINB، يكون مظهر معادلاتها معروفًا دائمًا، على عكس الانحدارات الخطية والأسية المقابلة للدالتين TREND وGROWTH.

1 . دعونا نبني الانحدار الخطي الذي يحتوي على المعادلة:

ص=مx+ب

باستخدام الدالتين SLOPE وINTERCEPT، مع تحديد ميل الانحدار m بواسطة دالة SLOPE، والمصطلح الثابت b - بواسطة دالة INTERCEPT.

للقيام بذلك، نقوم بالإجراءات التالية:

أدخل الجدول المصدر في نطاق الخلايا A4:B14؛

سيتم تحديد قيمة المعلمة m في الخلية C19. اختر من الفئة الإحصائية وظيفة المنحدر؛ أدخل نطاق الخلايا B4:B14 في الحقلknown_values_y ونطاق الخلايا A4:A14 في الحقلknown_values_x. سيتم إدخال الصيغة في الخلية C19: =SLOPE(B4:B14;A4:A14);

وباستخدام طريقة مشابهة، يتم تحديد قيمة المعلمة b في الخلية D19. وسيبدو محتواه كما يلي: = INTERCEPT(B4:B14;A4:A14). وبالتالي، سيتم تخزين قيم المعلمات m و b اللازمة لبناء الانحدار الخطي، على التوالي، في الخلايا C19، D19؛

ثم ندخل صيغة الانحدار الخطي في الخلية C4 بالصيغة: = $ C * A4 + $ D. في هذه الصيغة، تتم كتابة الخلايا C19 وD19 بمراجع مطلقة (يجب ألا يتغير عنوان الخلية عند النسخ المحتمل). يمكن كتابة العلامة المرجعية المطلقة $ إما من لوحة المفاتيح أو باستخدام المفتاح F4، بعد وضع المؤشر على عنوان الخلية. باستخدام مقبض التعبئة، انسخ هذه الصيغة إلى نطاق الخلايا C4:C17. نحصل على سلسلة البيانات المطلوبة (الشكل 12). نظرًا لأن عدد الطلبات هو عدد صحيح، فيجب عليك تعيين تنسيق الأرقام في علامة التبويب "الرقم" في نافذة "تنسيق الخلية" مع عدد المنازل العشرية على 0.

2 . الآن دعونا نبني الانحدار الخطي المعطى بالمعادلة:

ص=مx+ب

باستخدام الدالة LINEST.

لهذا:

أدخل الدالة LINEST كصيغة صفيف في نطاق الخلايا C20:D20: =(LINEST(B4:B14;A4:A14)). ونتيجة لذلك، نحصل على قيمة المعلمة m في الخلية C20، وقيمة المعلمة b في الخلية D20؛

أدخل الصيغة في الخلية D4: =$C*A4+$D;

انسخ هذه الصيغة باستخدام علامة التعبئة إلى نطاق الخلايا D4:D17 واحصل على سلسلة البيانات المطلوبة.

3 . نحن نبني الانحدار الأسي الذي يحتوي على المعادلة:

وبمساعدة الدالة LGRFPRIBL، يتم تنفيذها بالمثل:

في نطاق الخلايا C21:D21، أدخل الدالة LGRFPRIBL كصيغة صفيف: =( LGRFPRIBL (B4:B14;A4:A14)). في هذه الحالة، سيتم تحديد قيمة المعلمة m في الخلية C21، وسيتم تحديد قيمة المعلمة b في الخلية D21؛

يتم إدخال الصيغة في الخلية E4: =$D*$C^A4;

باستخدام علامة التعبئة، يتم نسخ هذه الصيغة إلى نطاق الخلايا E4:E17، حيث سيتم تحديد موقع سلسلة البيانات الخاصة بالانحدار الأسي (انظر الشكل 12).

على الشكل. يعرض الشكل 13 جدولاً يمكننا من خلاله رؤية الوظائف التي نستخدمها مع نطاقات الخلايا الضرورية، بالإضافة إلى الصيغ.

قيمة ر 2 مُسَمًّى معامل التحديد.

تتمثل مهمة بناء اعتماد الانحدار في العثور على متجه المعاملات m للنموذج (1) الذي يأخذ فيه المعامل R القيمة القصوى.

لتقييم أهمية R، يتم استخدام اختبار Fisher's F، ويتم حسابه بواسطة الصيغة

أين ن- حجم العينة (عدد التجارب)؛

k هو عدد معاملات النموذج.

إذا تجاوز F بعض القيمة الحرجة للبيانات نو كومستوى الثقة المقبول، فإن قيمة R تعتبر معنوية. ترد جداول القيم الحرجة لـ F في الكتب المرجعية حول الإحصاء الرياضي.

وبالتالي، يتم تحديد أهمية R ليس فقط من خلال قيمته، ولكن أيضًا من خلال النسبة بين عدد التجارب وعدد المعاملات (المعلمات) للنموذج. في الواقع، نسبة الارتباط لـ n=2 لنموذج خطي بسيط هي 1 (من خلال نقطتين على المستوى، يمكنك دائمًا رسم خط مستقيم واحد). ومع ذلك، إذا كانت البيانات التجريبية عبارة عن متغيرات عشوائية، فيجب الوثوق بقيمة R بعناية كبيرة. عادة، من أجل الحصول على R كبير وانحدار موثوق به، فإنه يهدف إلى ضمان أن عدد التجارب يتجاوز بشكل كبير عدد معاملات النموذج (n>k).

لبناء نموذج الانحدار الخطي، يجب عليك:

1) قم بإعداد قائمة من الصفوف n والأعمدة m التي تحتوي على البيانات التجريبية (عمود يحتوي على قيمة الإخراج ييجب أن يكون الأول أو الأخير في القائمة)؛ على سبيل المثال، لنأخذ بيانات المهمة السابقة، ونضيف عمودًا يسمى "رقم الفترة"، مع ترقيم أرقام الفترات من 1 إلى 12. (ستكون هذه هي القيم X)

2) انتقل إلى القائمة البيانات/تحليل البيانات/الانحدار

إذا كان عنصر "تحليل البيانات" في قائمة "الأدوات" مفقودًا، فيجب عليك الانتقال إلى عنصر "الوظائف الإضافية" في نفس القائمة وتحديد مربع "حزمة التحليل".

3) في مربع الحوار "الانحدار"، قم بتعيين:

الفاصل الزمني للإدخال Y؛

الفاصل الزمني للإدخال X؛

الفاصل الزمني للإخراج - الخلية اليسرى العليا للفاصل الزمني الذي سيتم فيه وضع نتائج الحساب (يوصى بوضعها في ورقة عمل جديدة)؛

4) انقر فوق "موافق" وقم بتحليل النتائج.

إذا كانت بعض الكمية الفيزيائية تعتمد على كمية أخرى، فيمكن التحقق من هذا الاعتماد عن طريق قياس y عند قيم مختلفة لـ x. ونتيجة للقياسات يتم الحصول على سلسلة من القيم:

س 1 , س 2 , ..., س ط , ... , س ن ;

ذ 1 , ص 2 , ..., ذ ط , ... , ذ ن .

بناءً على بيانات مثل هذه التجربة، من الممكن رسم الاعتماد y = ƒ(x). يتيح المنحنى الناتج الحكم على شكل الدالة ƒ(x). ومع ذلك، فإن المعاملات الثابتة التي تدخل في هذه الدالة تظل مجهولة. ويمكن تحديدها باستخدام طريقة المربعات الصغرى. النقاط التجريبية، كقاعدة عامة، لا تقع بالضبط على المنحنى. تتطلب طريقة المربعات الصغرى أن يكون مجموع الانحرافات التربيعية للنقاط التجريبية من المنحنى، أي. 2 كان الأصغر.

من الناحية العملية، يتم استخدام هذه الطريقة في أغلب الأحيان (وببساطة) في حالة العلاقة الخطية، أي. متى

ص = ك سأو ص = أ + ب س.

الاعتماد الخطي واسع الانتشار في الفيزياء. وحتى عندما يكون الاعتماد غير خطي، فإنهم عادة ما يحاولون بناء رسم بياني بطريقة للحصول على خط مستقيم. على سبيل المثال، إذا افترض أن معامل انكسار الزجاج n يرتبط بالطول الموجي lect لموجة الضوء بالعلاقة n = a + b/lect 2 ، فإن اعتماد n على lect -2 يتم رسمه على الرسم البياني .

النظر في الاعتماد ص = ك س(خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل). دعونا نؤلف القيمة φ مجموع الانحرافات التربيعية لنقاطنا عن الخط المستقيم

تكون قيمة φ موجبة دائمًا وتبين أنها أصغر كلما اقتربت نقاطنا من الخط المستقيم. تنص طريقة المربعات الصغرى على أنه بالنسبة لـ k يجب على المرء أن يختار مثل هذه القيمة التي يكون عندها φ حدًا أدنى

أو
(19)

يظهر الحساب أن خطأ الجذر التربيعي في تحديد قيمة k يساوي

, (20)
حيث n هو عدد الأبعاد.

دعونا الآن نفكر في حالة أكثر صعوبة إلى حد ما، عندما يجب أن تلبي النقاط الصيغة ص = أ + ب س(خط مستقيم لا يمر بنقطة الأصل).

وتتمثل المهمة في العثور على أفضل قيم a و b من مجموعة القيم المحددة x i , y i .

مرة أخرى نقوم بتكوين شكل تربيعي φ يساوي مجموع الانحرافات المربعة للنقاط x i , y i من الخط المستقيم

وابحث عن القيمتين a وb اللتين يوجد لهما حد أدنى

;

الحل المشترك لهذه المعادلات يعطي

(21)

أخطاء الجذر التربيعي لتحديد a وb متساوية

(23)

. (24)

عند معالجة نتائج القياس بهذه الطريقة، يكون من المناسب تلخيص جميع البيانات في جدول يتم فيه حساب جميع المبالغ المضمنة في الصيغ (19)(24) بشكل مبدئي. وتظهر أشكال هذه الجداول في الأمثلة أدناه.

مثال 1تمت دراسة المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية ε = M/J (خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل). بالنسبة لقيم مختلفة للحظة M، تم قياس التسارع الزاوي ε لجسم معين. مطلوب تحديد لحظة القصور الذاتي لهذا الجسم. يتم سرد نتائج قياسات لحظة القوة والتسارع الزاوي في العمودين الثاني والثالث الجداول 5.

الجدول 5

ن	م، ن م	ε، ق-1	م2	م ε	ε - كم	(ε - كم) 2
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑			123.1886	41.1115		0.016436

بالصيغة (19) نحدد:

لتحديد خطأ الجذر المتوسط نستخدم الصيغة (20)

0.005775كلغ-1 · م -2 .

بالصيغة (18) لدينا

; .

SJ = (2.996 0.005775)/0.3337 = 0.05185 كجم م2.

بالنظر إلى الموثوقية P = 0.95، وفقًا لجدول معاملات الطالب لـ n = 5، نجد t = 2.78 ونحدد الخطأ المطلق ΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 كجم م2.

نكتب النتائج في النموذج:

ي = (3.0 ± 0.2) كجم م2;

مثال 2نحسب المعامل الحراري لمقاومة المعدن باستخدام طريقة المربعات الصغرى. تعتمد المقاومة على درجة الحرارة وفقا للقانون الخطي

R t \u003d R 0 (1 + α t °) \u003d R 0 + R 0 α t °.

يحدد المصطلح الحر المقاومة R 0 عند درجة حرارة 0 درجة مئوية، والمعامل الزاوي هو منتج معامل درجة الحرارة α والمقاومة R 0 .

وترد نتائج القياسات والحسابات في الجدول ( انظر الجدول 6).

الجدول 6

ن	ر°، ق	ص، أوم	ر-¯ر	(ر-¯ر) 2	(ر-¯ر)ص	ص-BT-أ	(ص - بت - أ) 2,10 -6
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑	515	8.403		8166.833	21.5985		746.804
∑/ن	85.83333	1.4005

بواسطة الصيغ (21)، (22) نحدد

R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 أوم.

دعونا نجد خطأ في تعريف α. وبما أن الصيغة (18) لدينا:

باستخدام الصيغ (23)، (24) لدينا

;

0.014126 أوم.

بالنظر إلى الموثوقية P = 0.95، وفقًا لجدول معاملات الطالب لـ n = 6، نجد t = 2.57 ونحدد الخطأ المطلق Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 درجة -1.

α = (23 ± 4) 10 -4 يشيد-1 عند P = 0.95.

مثال 3مطلوب تحديد نصف قطر انحناء العدسة من خلال حلقات نيوتن. تم قياس نصف قطر حلقات نيوتن r m وتم تحديد أعداد هذه الحلقات m. يرتبط نصف قطر حلقات نيوتن بنصف قطر انحناء العدسة R ورقم الحلقة بالمعادلة

ص 2 م = م LAR - 2 د 0 ر،

حيث d 0 سمك الفجوة بين العدسة واللوحة المتوازية (أو تشوه العدسة)،

α هو الطول الموجي للضوء الساقط.

ν = (600 ± 6) نانومتر؛
ص 2 م = ص؛
م = س؛
αR = ب؛
-2د 0 ر = أ،

ثم المعادلة سوف تأخذ الشكل ص = أ + ب س.

يتم إدخال نتائج القياسات والحسابات الجدول 7.

الجدول 7

ن	س = م	ص \u003d ص 2، 10 -2 مم 2	مم	(م-¯م) 2	(م-¯م)ص	ص-بكس-أ، 10-4	(ص - ب س - أ) 2، 10 -6
1	1	6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑	21	125.129		17.5	1.041175		3.12176
∑/ن	3.5	20.8548333

اختيار نوع دالة الانحدار، أي. نوع النموذج المدروس لاعتماد Y على X (أو X على Y)، على سبيل المثال، النموذج الخطي y x = a + bx، من الضروري تحديد القيم المحددة لمعاملات النموذج.

بالنسبة لقيم مختلفة لـ a وb، من الممكن بناء عدد لا نهائي من التبعيات على الشكل y x =a+bx، أي أن هناك عددًا لا حصر له من الخطوط على المستوى الإحداثي، لكننا نحتاج إلى مثل هذا التبعية يتوافق مع القيم المرصودة بأفضل طريقة. وبالتالي، فإن المشكلة تقتصر على اختيار أفضل المعاملات.

نحن نبحث عن دالة خطية a + bx، بناءً على عدد معين من الملاحظات المتاحة فقط. للعثور على الدالة الأكثر ملائمة للقيم المرصودة، نستخدم طريقة المربعات الصغرى.

تشير إلى: Y i - القيمة المحسوبة بالمعادلة Y i =a+bx i . y i - القيمة المقاسة، ε i =y i -Y i - الفرق بين القيم المقاسة والمحسوبة، ε i =y i -a-bx i .

تتطلب طريقة المربعات الصغرى أن يكون ε i ، الفرق بين y i المقاسة وقيم Y i المحسوبة من المعادلة، في حده الأدنى. ولذلك نجد المعاملين a وb بحيث يكون مجموع الانحرافات التربيعية للقيم المرصودة عن القيم الموجودة على خط الانحدار المستقيم هو الأصغر:

من خلال دراسة دالة الوسيطات a وبمساعدة المشتقات إلى أقصى الحدود، يمكننا إثبات أن الدالة تأخذ قيمة دنيا إذا كان المعاملان a وb هما حلين للنظام:

(2)

إذا قسمنا طرفي المعادلات العادية على n نحصل على:

بشرط (3)

يحصل ومن هنا بالتعويض بقيمة a في المعادلة الأولى نحصل على:

في هذه الحالة، ب يسمى معامل الانحدار؛ a يسمى العضو الحر في معادلة الانحدار ويتم حسابه بالصيغة:

الخط المستقيم الناتج هو تقدير لخط الانحدار النظري. لدينا:

لذا، هي معادلة الانحدار الخطي.

يمكن أن يكون الانحدار مباشرًا (b>0) ومعكوسًا (b مثال 1. وترد في الجدول نتائج قياس قيم X و Y:

× ط	-2	0	1	2	4
ذ ط	0.5	1	1.5	2	3

بافتراض أن هناك علاقة خطية بين X وY y=a+bx، حدد المعاملين a وb باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

حل. هنا ن = 5
س ط =-2+0+1+2+4=5;
س ط 2 =4+0+1+4+16=25
س ط ص ط =-2 0.5+0 1+1 1.5+2 2+4 3=16.5
ص ط =0.5+1+1.5+2+3=8

والنظام العادي (2) له الشكل

وبحل هذا النظام نحصل على: ب=0.425، أ=1.175. وبالتالي ص=1.175+0.425x.

مثال 2. هناك عينة مكونة من 10 ملاحظات للمؤشرات الاقتصادية (X) و(Y).

× ط	180	172	173	169	175	170	179	170	167	174
ذ ط	186	180	176	171	182	166	182	172	169	177

مطلوب العثور على نموذج لمعادلة الانحدار Y على X. قم بإنشاء نموذج لخط الانحدار Y على X.

حل. 1. دعونا نفرز البيانات حسب القيم x i و y i . نحصل على جدول جديد:

× ط	167	169	170	170	172	173	174	175	179	180
ذ ط	169	171	166	172	180	176	177	182	182	186

لتبسيط الحسابات، سنقوم بتجميع جدول حسابي سندخل فيه القيم العددية اللازمة.

× ط	ذ ط	س ط 2	س ط ص ط
167	169	27889	28223
169	171	28561	28899
170	166	28900	28220
170	172	28900	29240
172	180	29584	30960
173	176	29929	30448
174	177	30276	30798
175	182	30625	31850
179	182	32041	32578
180	186	32400	33480
∑س ط = 1729	∑ ص ط = 1761	∑س ط 2 299105	∑س ط ص ط =304696
س=172.9	ص=176.1	س ط 2 = 29910.5	ص ص=30469.6

وفقا للصيغة (4)، نحسب معامل الانحدار

وبالصيغة (5)

وبالتالي، تبدو معادلة الانحدار النموذجية مثل y=-59.34+1.3804x.
دعونا نرسم النقاط (x i ; y i) على المستوى الإحداثي ونضع علامة على خط الانحدار.

الشكل 4

يوضح الشكل 4 كيفية تحديد موقع القيم المرصودة بالنسبة لخط الانحدار. لتقدير انحرافات y i عن Y i عدديًا، حيث y i عبارة عن قيم ملحوظة، وY i هي قيم يحددها الانحدار، سنقوم بإنشاء جدول:

× ط	ذ ط	ص ط	Y i -y i
167	169	168.055	-0.945
169	171	170.778	-0.222
170	166	172.140	6.140
170	172	172.140	0.140
172	180	174.863	-5.137
173	176	176.225	0.225
174	177	177.587	0.587
175	182	178.949	-3.051
179	182	184.395	2.395
180	186	185.757	-0.243

يتم حساب قيم Y i وفقًا لمعادلة الانحدار.

يتم تفسير الانحراف الملحوظ لبعض القيم المرصودة عن خط الانحدار من خلال قلة عدد الملاحظات. عند دراسة درجة الاعتماد الخطي لـ Y على X، يتم أخذ عدد الملاحظات في الاعتبار. يتم تحديد قوة الاعتماد من خلال قيمة معامل الارتباط.

المشكلة هي إيجاد معاملات الاعتماد الخطية التي دالة فيها متغيرين أو بيأخذ أصغر قيمة. وهذا هو، نظرا للبيانات أو بسيكون مجموع الانحرافات التربيعية للبيانات التجريبية عن الخط المستقيم الموجود هو الأصغر. هذا هو بيت القصيد من طريقة المربعات الصغرى.

وبالتالي، فإن حل المثال يقتصر على إيجاد الحد الأقصى لدالة لمتغيرين.

اشتقاق الصيغ لإيجاد المعاملات.تم تجميع وحل نظام من معادلتين بمجهولين. إيجاد المشتقات الجزئية للدوال بواسطة المتغيرات أو ب، نحن نساوي هذه المشتقات بالصفر.

نحن نحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (على سبيل المثال، طريقة الاستبدال أو طريقة كرامر) ونحصل على صيغ لإيجاد المعاملات باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM).

مع البيانات أو بوظيفة يأخذ أصغر قيمة.

هذه هي الطريقة الكاملة للمربعات الصغرى. صيغة للعثور على المعلمة أيحتوي على المبالغ و و و المعلمة ن- كمية البيانات التجريبية. يوصى بحساب قيم هذه المبالغ بشكل منفصل. معامل في الرياضيات او درجة بوجدت بعد الحساب أ.

المجال الرئيسي لتطبيق مثل هذه كثيرات الحدود هو معالجة البيانات التجريبية (بناء الصيغ التجريبية). والحقيقة هي أن الاستيفاء متعدد الحدود المبني من قيم الدالة التي تم الحصول عليها بمساعدة التجربة سوف يتأثر بشدة بـ "الضوضاء التجريبية"، علاوة على ذلك، أثناء الاستيفاء، لا يمكن تكرار عقد الاستيفاء، أي. ولا يمكنك استخدام نتائج التجارب المتكررة تحت نفس الظروف. يعمل متعدد الحدود الجذر المتوسط على تلطيف الضوضاء ويجعل من الممكن استخدام نتائج تجارب متعددة.

التكامل والتمايز العددي. مثال.

تكامل رقمي- حساب قيمة التكامل المحدد (عادة تقريبية). يُفهم التكامل العددي على أنه مجموعة من الطرق العددية للعثور على قيمة تكامل معين.

التمايز العددي- مجموعة من الطرق لحساب قيمة مشتق دالة معينة بشكل منفصل.

اندماج

صياغة المشكلة.بيان رياضي للمشكلة: من الضروري إيجاد قيمة تكامل معين

حيث a, b محدودة، f(x) مستمرة على [а, b].

عند حل المسائل العملية، غالبًا ما يحدث أن يكون التكامل غير مناسب أو من المستحيل تحليله: فقد لا يتم التعبير عنه في وظائف أولية، ويمكن تقديم التكامل في شكل جدول، وما إلى ذلك. في مثل هذه الحالات، يتم استخدام طرق التكامل العددي مستخدم. تستخدم طرق التكامل العددي استبدال مساحة شبه المنحرف المنحني بمجموع محدود من مساحات الأشكال الهندسية الأبسط التي يمكن حسابها بدقة. وبهذا المعنى يتحدث المرء عن استخدام صيغ التربيع.

تستخدم معظم الطرق تمثيل التكامل كمجموع محدود (صيغة التربيع):

تعتمد صيغ التربيع على فكرة استبدال الرسم البياني للتكامل على فترة التكامل بوظائف ذات شكل أبسط، والتي يمكن دمجها بسهولة من الناحية التحليلية، وبالتالي حسابها بسهولة. يتم تحقيق أبسط مهمة لبناء الصيغ التربيعية للنماذج الرياضية متعددة الحدود.

يمكن التمييز بين ثلاث مجموعات من الأساليب:

1. طريقة تقسيم قطعة التكامل إلى فترات متساوية. يتم التقسيم إلى فترات مسبقًا، وعادةً ما يتم اختيار الفترات متساوية (لتسهيل حساب الدالة في نهايات الفواصل الزمنية). حساب المساحات وجمعها (طرق المستطيلات، شبه المنحرف، سمبسون).

2. طرق تقسيم قطعة التكامل باستخدام نقاط خاصة (طريقة جاوس).

3. حساب التكاملات باستخدام الأعداد العشوائية (طريقة مونت كارلو).

طريقة المستطيل.لتتكامل الدالة ( الرسم ) عدديا على القطعة . نقسم القطعة إلى N فترات متساوية. يمكن استبدال مساحة كل من شبه المنحرف المنحني N بمساحة المستطيل.

عرض جميع المستطيلات هو نفسه ويساوي:

كاختيار لارتفاع المستطيلات، يمكنك اختيار قيمة الدالة على الحد الأيسر. في هذه الحالة، سيكون ارتفاع المستطيل الأول f(a)، والثاني سيكون f(x 1)،...، N-f(N-1).

إذا أخذنا قيمة الدالة على الحد الأيمن كاختيار ارتفاع المستطيل، ففي هذه الحالة سيكون ارتفاع المستطيل الأول f (x 1)، والثاني - f (x 2)، . ..، ن - و (س ن).

كما ترون، في هذه الحالة تعطي إحدى الصيغتين تقريبًا للتكامل مع وجود فائض، والثانية مع نقص. هناك طريقة أخرى - لاستخدام قيمة الدالة في منتصف مقطع التكامل للتقريب:

تقدير الخطأ المطلق لطريقة المستطيلات (الوسطى)

تقدير الخطأ المطلق لطرق المستطيل الأيمن والأيسر.

مثال.احسب الفترة بأكملها وقسم الفترة إلى أربعة أقسام

حل.الحساب التحليلي لهذا التكامل يعطي I=arctg(1)–arctg(0)=0.7853981634. في حالتنا هذه:

1) ح = 1؛ س = 0; ×1 = 1؛

2) ح = 0.25 (1/4)؛ س0 = 0; ×1 = 0.25؛ ×2 = 0.5؛ ×3 = 0.75؛ ×4 = 1؛

نحسب بطريقة المستطيلات اليسرى:

نحسب بطريقة المستطيلات القائمة:

احسب بطريقة المستطيلات المتوسطة:

طريقة شبه منحرف.يؤدي استخدام كثير الحدود من الدرجة الأولى للاستيفاء (خط مستقيم مرسوم من خلال نقطتين) إلى صيغة شبه منحرف. يتم أخذ نهايات مقطع التكامل كعقد استيفاء. وبالتالي، يتم استبدال شبه منحرف منحني الأضلاع بشبه منحرف عادي، حيث يمكن العثور على مساحتها كمنتج لنصف مجموع القواعد والارتفاع

في حالة شرائح التكامل N لجميع العقد، باستثناء النقاط القصوى للقطعة، سيتم تضمين قيمة الدالة في المجموع الإجمالي مرتين (نظرًا لأن شبه المنحرف المجاور له جانب مشترك واحد)

يمكن الحصول على صيغة شبه المنحرف عن طريق أخذ نصف مجموع صيغ المستطيل على طول الحواف اليمنى واليسرى للقطعة:

التحقق من استقرار الحل.كقاعدة عامة، كلما كان طول كل فاصل زمني أقصر، أي. كلما زاد عدد هذه الفواصل، قل الفرق بين القيم التقريبية والدقيقة للتكامل. وهذا صحيح بالنسبة لمعظم الوظائف. في الطريقة شبه المنحرفة، يتناسب الخطأ في حساب التكامل ϭ تقريبًا مع مربع خطوة التكامل (ϭ ~ h 2)، وبالتالي، لحساب تكامل دالة معينة في الحدود a، b، من الضروري: قسّم القطعة إلى فترات N 0 وأوجد مجموع مساحات شبه المنحرف. ثم تحتاج إلى زيادة عدد الفواصل الزمنية N 1، وحساب مجموع شبه المنحرف مرة أخرى ومقارنة القيمة الناتجة بالنتيجة السابقة. وينبغي تكرار ذلك حتى (N i) حتى يتم الوصول إلى الدقة المحددة للنتيجة (معيار التقارب).

بالنسبة للطرق المستطيلة وشبه المنحرفة، عادة في كل خطوة تكرار، يزيد عدد الفواصل الزمنية بعامل 2 (N i +1 =2N i).

معيار التقارب:

الميزة الرئيسية لقاعدة شبه المنحرف هي بساطتها. ومع ذلك، إذا كان التكامل يتطلب دقة عالية، فقد تتطلب هذه الطريقة عددًا كبيرًا جدًا من التكرارات.

الخطأ المطلق للطريقة شبه المنحرفةتصنيفها على أنها
.

مثال.احسب التكامل المحدد تقريبًا باستخدام صيغة شبه المنحرف.

أ) تقسيم جزء التكامل إلى 3 أجزاء.
ب) تقسيم جزء التكامل إلى 5 أجزاء.

حل:
أ) بالشرط، يجب تقسيم قطعة التكامل إلى 3 أجزاء، أي.
احسب طول كل جزء من القسم: .

وبالتالي، يتم تقليل الصيغة العامة لشبه المنحرف إلى حجم لطيف:

أخيراً:

أذكرك أن القيمة الناتجة هي قيمة تقريبية للمنطقة.

ب) نقسم قطعة التكامل إلى 5 أجزاء متساوية، أي . من خلال زيادة عدد الشرائح، نزيد من دقة الحسابات.

إذا كانت صيغة شبه المنحرف تأخذ الشكل التالي:

لنجد خطوة التقسيم:
أي أن طول كل قطعة متوسطة هو 0.6.

عند الانتهاء من المهمة، من المناسب إجراء جميع الحسابات باستخدام جدول الحساب:

في السطر الأول نكتب "العداد"

نتيجة ل:

حسنًا، هناك بالفعل توضيح، وتوضيح جدي!
إذا كان لثلاثة أجزاء من القسم، ثم لخمسة أجزاء. إذا أخذت شريحة أكبر => فستكون أكثر دقة.

صيغة سيمبسون.تعطي الصيغة شبه المنحرفة نتيجة تعتمد بشدة على حجم الخطوة h، مما يؤثر على دقة حساب التكامل المحدد، خاصة في الحالات التي تكون فيها الدالة غير رتيبة. يمكن للمرء أن يفترض زيادة في دقة الحسابات إذا، بدلاً من قطع الخطوط المستقيمة التي تحل محل الأجزاء المنحنية للرسم البياني للدالة f(x)، نستخدم، على سبيل المثال، أجزاء القطع المكافئة المعطاة من خلال ثلاث نقاط مجاورة للرسم البياني . هناك تفسير هندسي مماثل يكمن وراء طريقة سيمبسون لحساب التكامل المحدد. يتم تقسيم فترة التكامل بأكملها a,b إلى مقاطع N، وسيكون طول المقطع أيضًا مساويًا لـ h=(b-a)/N.

صيغة سيمبسون هي:

المدة المتبقية

مع زيادة طول المقاطع، تنخفض دقة الصيغة، لذلك لزيادة الدقة، يتم استخدام صيغة Simpson المركبة. يتم تقسيم فترة التكامل بأكملها إلى عدد زوجي من المقاطع المتطابقة N، وسيكون طول القطعة أيضًا مساويًا لـ h=(b-a)/N. صيغة سمبسون المركبة هي:

في الصيغة، التعبيرات بين قوسين هي مجموع قيم التكامل، على التوالي، في نهايات الأجزاء الفردية والزوجية الداخلية.

الحد المتبقي من صيغة سيمبسون يتناسب بالفعل مع القوة الرابعة للخطوة:

مثال:احسب التكامل باستخدام قاعدة سيمبسون. (الحل الدقيق - 0.2)

طريقة غاوس

صيغة التربيع لغاوس. يمكن رؤية المبدأ الأساسي للصيغ التربيعية من النوع الثاني من الشكل 1.12: من الضروري وضع النقاط بهذه الطريقة X 0 و X 1 داخل المقطع [ أ;ب] بحيث تكون مساحات "المثلثات" إجمالاً مساوية لمساحة "القطعة". عند استخدام صيغة غاوس، الجزء الأولي [ أ;ب] يتم تقليله إلى الفاصل الزمني [-1;1] عن طريق تغيير المتغير Xعلى

0.5∙(ب– أ)∙ر+ 0.5∙(ب + أ).

ثم ، أين .

هذا الاستبدال ممكن إذا أو بمحدودة، والدالة F(س) مستمر على [ أ;ب]. صيغة غاوس ل ننقاط × ط, أنا=0,1,..,ن-1 داخل المقطع [ أ;ب]:

, (1.27)

أين ر طو أللاختلافات نوترد في الكتب المرجعية. على سبيل المثال، متى ن=2 أ 0 =أ 1=1; في ن=3: ر 0 = ر 2" 0.775، ر 1 =0, أ 0 =أ 2" 0.555، أ 1" 0.889.

صيغة التربيع لغاوس

تم الحصول عليها باستخدام دالة وزن تساوي واحدًا ع(س)= 1 والعقد × ط، والتي هي جذور كثيرات الحدود ليجيندر

احتمال أيتم حسابها بسهولة عن طريق الصيغ

أنا=0,1,2,...ن.

وترد في الجدول قيم العقد والمعاملات لـ n=2,3,4,5

طلب	عقدة	احتمال
ن=2	× 1=0 س 0 =-×2=0.7745966692	أ 1=8/9 أ 0 = أ 2=5/9
ن=3	× 2 =-× 1=0.3399810436 × 3 =-x0=0.8611363116	أ1 = أ2=0.6521451549 أ 0 = أ 3=0.6521451549
ن = 4	س 2 = 0 س 3 = -س 1 = 0.5384693101 س 4 =-س 0 =0.9061798459	أ 0 =0.568888899 أ 3 =أ 1 =0.4786286705 أ 0 =أ 4 =0.2869268851
ن=5	س 5 = -س 0 =0.9324695142 س 4 = -س 1 =0.6612093865 س 3 = -س 2 =0.2386191861	أ 5 =أ 0 =0.1713244924 أ 4 =أ 1 =0.3607615730 أ 3 =أ 2 =0.4679139346

مثال.احسب القيمة باستخدام صيغة غاوس لـ ن=2:

القيمة الدقيقة: .

لا توفر خوارزمية حساب التكامل وفقًا لصيغة غاوس مضاعفة عدد الأجزاء الدقيقة، ولكن زيادة عدد الإحداثيات بمقدار 1 ومقارنة القيم التي تم الحصول عليها للتكامل. ميزة صيغة غاوس هي الدقة العالية مع عدد صغير نسبيًا من الإحداثيات. العيوب: غير مريح للحسابات اليدوية. يجب أن يتم تخزينها في ذاكرة الكمبيوتر ر ط, أللاختلافات ن.

سيكون خطأ صيغة تربيع غاوس على القطعة في نفس الوقت بالنسبة لصيغة الحد المتبقي حيث يكون المعامل α نيتناقص بسرعة مع النمو ن. هنا

توفر صيغ غاوس دقة عالية بالفعل مع عدد صغير من العقد (من 4 إلى 10). في هذه الحالة، في الحسابات العملية، يتراوح عدد العقد من عدة مئات إلى عدة آلاف. ونلاحظ أيضًا أن أوزان التربيعات الغوسية تكون موجبة دائمًا، مما يضمن استقرار الخوارزمية لحساب المجاميع