الدوال المثلثية لدرس الحجة الزاوية. ما هو راديان

درس وعرض حول موضوع: "الوظيفة المثلثية للوسيطة الزاوية ودرجة قياس الزاوية والراديان"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم. يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الكتيبات وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف 10 من 1C
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام البناء التفاعلي
نحن نحل المشاكل في الهندسة. مهام تفاعلية للبناء في الفضاء

ماذا سوف ندرس:
1. لنتذكر الهندسة.
2. تعريف الحجة الزاوية.
3. درجة قياس الزاوية.
4. راديان قياس زاوية.
5. ما هو راديان؟
6. أمثلة ومهام لحل مستقل.

التكرار الهندسي

يا رفاق ، في وظائفنا:

y = sin (t) ، y = cos (t) ، y = tg (t) ، y = ctg (t)

لا يمكن أن يأخذ المتغير t القيم الرقمية فقط ، أي أن يكون وسيطة رقمية ، ولكن يمكن أيضًا اعتباره مقياسًا للزاوية - وسيطة زاوية.

لنتذكر الهندسة!
كيف عرفنا الجيب وجيب التمام والظل والظل هناك؟

جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابلة إلى الوتر

جيب التمام لزاوية - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر

ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابلة إلى المجاورة.

ظل التمام لزاوية هو نسبة الضلع المجاورة إلى الأخرى.

تعريف الوظيفة المثلثية للحجة الزاوية

دعنا نحدد الدوال المثلثية كوظائف وسيطة زاوية على دائرة رقم:
بمساعدة الدائرة الرقمية ونظام الإحداثيات ، يمكننا دائمًا العثور بسهولة على الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية:

نضع رأس الزاوية α في مركز الدائرة ، أي إلى مركز محور الإحداثيات ، ووضع أحد الجانبين بحيث يتزامن مع الاتجاه الإيجابي للمحور السيني (OA)
ثم يتقاطع الضلع الثاني مع دائرة الأرقام عند النقطة M.

تنسيقالنقاط M: جيب الزاوية α
الإحداثي السينيالنقاط M: جيب تمام الزاوية α

لاحظ أن طول القوس AM هو نفس جزء دائرة الوحدة مثل الزاوية α من 360 درجة: حيث t هو طول القوس AM.

قياس درجة الزاوية

1) يا رفاق ، لقد حصلنا على صيغة لتحديد درجة قياس الزاوية عبر طول قوس دائرة عددية ، دعنا نلقي نظرة فاحصة عليها:

ثم نكتب الدوال المثلثية بالشكل:

على سبيل المثال:

قياس الزوايا الراديان

عند حساب الدرجة أو قياس الراديان لزاوية ، تذكر! :
على سبيل المثال:

بالمناسبة! راد التعيين. يمكنك إسقاط!

ما هو الراديان؟

أصدقائي الأعزاء ، لقد توصلنا إلى مفهوم جديد - راديان. إذا ما هو؟

يخرج تدابير مختلفةالطول والوقت والوزن على سبيل المثال: متر ، كيلومتر ، ثانية ، ساعة ، جرام ، كيلوجرام وغيرها. إذن ، الراديان هو أحد قياسات الزاوية. يجدر النظر في الزوايا المركزية ، أي الموجودة في وسط الدائرة العددية.
الزاوية 1 درجة هي زاوية مركزية تعتمد على قوس يساوي 1/360 من المحيط.

الزاوية 1 راديان هي زاوية مركزية تستند إلى قوس يساوي 1 في دائرة وحدة ، وفي دائرة عشوائية على قوس يساوي نصف قطر الدائرة.

أمثلة:

أمثلة على التحويل من قياس درجة لزاوية إلى راديان ، والعكس صحيح

مهام الحل المستقل

1. أوجد قياس الراديان للزوايا:
أ) 55 درجة ب) 450 درجة مئوية) 15 درجة د) 302 درجة

2. البحث عن:
أ) الخطيئة (150 درجة) ب) كوس (45 درجة) ج) tg (120 درجة)

3. أوجد درجة قياس الزوايا:

مهما كان الرقم الحقيقي t المأخوذ ، يمكن تخصيص رقم معرف بشكل فريد sin t. صحيح أن قاعدة المراسلات معقدة نوعًا ما ؛ كما رأينا أعلاه ، فهي تتكون مما يلي.

لإيجاد قيمة sin t بالرقم t ، تحتاج إلى:

1) ضع دائرة الأرقام في مستوى الإحداثيات بحيث يتزامن مركز الدائرة مع أصل الإحداثيات ، وتصل نقطة البداية A للدائرة إلى النقطة (1 ؛ 0) ؛

2) ابحث عن نقطة على الدائرة تقابل الرقم t ؛

3) أوجد إحداثيات هذه النقطة.

هذا الإحداثي هو sin t.

في الواقع ، نحن نتحدث عن الدالة u = sin t ، حيث t هو أي عدد حقيقي.

كل هذه الوظائف تسمى الدوال المثلثية للحجة العددية t.

هناك عدد من العلاقات التي تربط قيم الدوال المثلثية المختلفة ، وقد تلقينا بالفعل بعض هذه العلاقات:

sin 2 t + cos 2 t = 1

من الصيغتين الأخيرتين ، من السهل الحصول على علاقة تربط بين tg t و ctg t:

يتم استخدام كل هذه الصيغ في تلك الحالات عندما يكون من الضروري معرفة قيمة أي دالة مثلثية لحساب قيم الدوال المثلثية المتبقية.

كانت المصطلحات "جيب" و "جيب التمام" و "الظل" و "ظل التمام" مألوفة بالفعل ، ومع ذلك ، كانت لا تزال تستخدم في تفسير مختلف قليلاً: في الهندسة والفيزياء ، اعتبروا الجيب وجيب التمام والظل والظل ز ل أ(لكن لا

الأرقام كما في الفقرات السابقة).

من المعروف من علم الهندسة أن جيب (جيب التمام) للزاوية الحادة هو نسبة ضلع المثلث القائم إلى الوتر ، والظل (ظل التمام) للزاوية هو نسبة أرجل المثلث القائم. تم تطوير نهج مختلف لمفاهيم الجيب وجيب التمام والظل والظل في الفقرات السابقة. في الواقع ، هذه الأساليب مترابطة.

لنأخذ زاوية بقياس درجة b o ونرتبها في نموذج "الدائرة الرقمية في نظام إحداثيات مستطيل" كما هو موضح في الشكل. 14

زاوية أعلى متوافقة مع المركز

الدوائر (مع أصل نظام الإحداثيات) ،

وجانب واحد من الزاوية متوافق مع

شعاع إيجابي للمحور السيني. نقطة

تقاطع الجانب الآخر للزاوية مع

سيتم الإشارة إلى الدائرة بالحرف M. Ordina-

الشكل 14 b o ، ومحيط هذه النقطة هو جيب تمام الزاوية b o.

لإيجاد جيب الزاوية أو جيب التمام للزاوية b o ، ليس من الضروري على الإطلاق إنشاء هذه التركيبات المعقدة للغاية في كل مرة.

يكفي أن نلاحظ أن القوس AM هو نفس الجزء من طول الدائرة العددية حيث تكون الزاوية b o من الزاوية 360 درجة. إذا تم الإشارة إلى طول القوس AM بالحرف t ، فإننا نحصل على:

هكذا،

على سبيل المثال،

يُعتقد أن 30 درجة هي مقياس درجة لزاوية ، وهو قياس راديان للزاوية نفسها: 30 درجة = راديان. على الاطلاق:

على وجه الخصوص ، أنا سعيد من المكان الذي نحصل عليه بدوره.

إذن ما هو 1 راديان؟ توجد مقاييس مختلفة لأطوال المقطع: سم ، أمتار ، ياردات ، إلخ. هناك أيضًا مقاييس مختلفة للإشارة إلى حجم الزوايا. نعتبر الزوايا المركزية لدائرة الوحدة. الزاوية 1 ° هي زاوية مركزية تعتمد على قوس يمثل جزءًا من دائرة. الزاوية 1 راديان هي زاوية مركزية تعتمد على قوس بطول 1 ، أي على قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة. من الصيغة ، نحصل على 1 راد \ u003d 57.3 درجة.

بالنظر إلى الدالة u = sin t (أو أي دالة مثلثية أخرى) ، يمكننا اعتبار المتغير المستقل t كحجة عددية ، كما كان الحال في الفقرات السابقة ، ولكن يمكننا أيضًا اعتبار هذا المتغير مقياسًا للزاوية ، أي. حجة الزاوية. لذلك ، عند الحديث عن دالة مثلثية ، بمعنى ما ، من غير المبال اعتبارها دالة في حجة عددية أو زاوية.

الدوال المثلثية لوسيطة رقميةحللنا. أخذنا النقطة A على الدائرة وبحثنا عن الجيب وجيب التمام من الزاوية الناتجة β.

لقد أشرنا إلى النقطة على أنها A ، ولكن في الجبر غالبًا ما يشار إليها بالرمز t ويتم إعطاء جميع الصيغ / الوظائف معها. كما أننا لن نحيد عن الشرائع. أولئك. ر - سيكون رقمًا معينًا ، وبالتالي دالة رقمية(مثل سينت)

من المنطقي إذن أنه بما أن لدينا دائرة نصف قطرها واحد

الدوال المثلثية للحجة الزاويةلقد قمنا أيضًا بتحليلها بنجاح - وفقًا للشرائع ، سنكتب لمثل هذه الوظائف: sin α ° ، بمعنى α ° أي زاوية مع عدد الدرجات التي نحتاجها.

سيعطينا شعاع هذه الزاوية النقطة الثانية على الدائرة (OA - النقطة A) والنقطتان المناظرتان C و B لوظيفة الوسيطة العددية ، إذا احتجنا إليها: الخطيئة ر = الخطيئة α °

خطوط الجيب وجيب التمام والظل والظل

لا تنسى ذلك ابدا المحور الصادي هو خط الجيب, المحور السيني هو خط جيب التمام! يتم تمييز النقاط التي تم الحصول عليها من الدائرة على هذه المحاور.

أ خطوط الظلال و cotangents موازية لها وتمر عبر النقطتين (1 ؛ 0) و (0 ؛ 1)على التوالى.

درس الفيديو "الدوال المثلثية للحجة الزاوية" هو مادة مرئية لإجراء درس رياضيات حول الموضوع ذي الصلة. يتكون الفيديو بطريقة يتم فيها تقديم المادة المدروسة بشكل ملائم قدر الإمكان للطلاب لفهمها ، ويسهل تذكرها ، ويكشف جيدًا العلاقة بين المعلومات المتاحة حول الدوال المثلثية من القسم الخاص بدراسة المثلثات وتعريفها باستخدام دائرة الوحدة. يمكن أن يصبح جزءًا مستقلاً من الدرس ، لأنه يغطي بالكامل هذا الموضوع، مدعومة بتعليقات مهمة في سياق التهديف.

لإظهار الاتصال بوضوح تعاريف مختلفةالدوال المثلثية ، يتم استخدام تأثيرات الرسوم المتحركة. يساعد إبراز النص بالألوان ، والتركيبات الواضحة القابلة للفهم ، والتكميل بالتعليقات على إتقان المادة وتذكرها بسرعة وتحقيق أهداف الدرس بشكل أسرع. يتم توضيح العلاقة بين تعريفات الدوال المثلثية بوضوح باستخدام تأثيرات الرسوم المتحركة وإبراز الألوان ، مما يساهم في فهم المادة وحفظها. يهدف الدليل إلى تحسين فعالية التدريب.

يبدأ الدرس بمقدمة عن الموضوع. ثم يتم استدعاء تعريفات الجيب وجيب التمام والظل والظل للزاوية الحادة للمثلث القائم. يشير التعريف الموضح في المربع إلى أن الجيب وجيب التمام يتشكلان كنسبة من الساق إلى الوتر ، ويتشكل الظل والظل من نسبة الساقين. يتم تذكير الطلاب أيضًا بالمادة التي تمت دراستها مؤخرًا والتي تفيد بأنه عند التفكير في نقطة تنتمي إلى دائرة وحدة ، فإن إحداثيات النقطة هي جيب التمام ، والإحداثيات هي جيب الرقم المقابل لهذه النقطة. تم توضيح ارتباط هذه المفاهيم باستخدام البناء. يتم عرض دائرة الوحدة على الشاشة ، بحيث يتطابق مركزها مع الأصل. يتم إنشاء شعاع من أصل الإحداثيات ، مما يجعل الزاوية α مع المحور شبه الموجب للإحداثيات. يتقاطع هذا الشعاع مع دائرة الوحدة عند النقطة O. وتنخفض الخطوط العمودية من النقطة إلى الإحداثي ومحور y ، مما يدل على أن إحداثيات هذه النقطة تحدد جيب التمام وجيب الزاوية α. يُلاحظ أن طول القوس AO من نقطة تقاطع دائرة الوحدة مع الاتجاه الإيجابي لمحور الإحداثي إلى النقطة O هو نفس الجزء من القوس بأكمله مثل الزاوية α من 360 درجة. يسمح لك هذا بجعل النسبة α / 360 = t / 2π ، والتي يتم عرضها هناك ومظللة باللون الأحمر للحفظ. القيمة t = πα / 180 ° مشتق من هذه النسبة. مع أخذ ذلك في الاعتبار ، يتم تحديد العلاقة بين تعريفات الجيب وجيب التمام sinα ° = sint = sinπα / 180 ، cosα ° = التكلفة = cosπα / 180. على سبيل المثال ، يتم إيجاد قيمة sin60 °. بالتعويض عن قياس درجة الزاوية في الصيغة ، نحصل على sin π 60 ° / 180 °. بتقليل الكسر بمقدار 60 ، نحصل على sin π / 3 ، وهو ما يساوي √3 / 2. ويلاحظ أنه إذا كانت 60 درجة هي درجة قياس الزاوية ، فإن π / 3 يسمى قياس راديان للزاوية. يوجد سجلان محتملان لنسبة قياس درجة الزاوية إلى الراديان: 60 درجة = π / 3 و 60 درجة = π / 3 راديان.

يتم تعريف مفهوم الزاوية من درجة واحدة على أنها زاوية مركزية على أساس قوس يمثل طوله 1/360 جزءًا من المحيط. يكشف التعريف التالي عن مفهوم زاوية راديان واحد - زاوية مركزية تعتمد على قوس بطول واحد ، أو يساوي نصف قطر دائرة. يتم تمييز التعريفات على أنها مهمة ومميزة للحفظ.

لتحويل قياس درجة واحدة لزاوية إلى راديان والعكس صحيح ، يتم استخدام الصيغة α ° \ u003d πα / 180 rad. يتم تمييز هذه الصيغة في إطار على الشاشة. من هذه الصيغة يتبع ذلك 1 ° = π / 180 راد. في هذه الحالة ، يقابل راديان واحد زاوية مقدارها 180 درجة / -57.3 درجة. من الملاحظ أنه عند إيجاد قيم الدوال المثلثية للمتغير المستقل t ، يمكن اعتباره وسيطة عددية وزاوية.

علاوة على ذلك ، يتم عرض أمثلة على استخدام المعرفة المكتسبة في سياق حل المشكلات الرياضية. في المثال 1 ، يلزم تحويل القيم من الدرجات إلى الراديان 135 درجة و 905 درجة. على الجانب الأيمن من الشاشة ، توجد معادلة تعرض العلاقة بين الدرجة والراديان. بعد التعويض بالقيمة في الصيغة ، نحصل على (π / 180) 135. بعد تقليل هذا الكسر بمقدار 45 ، نحصل على القيمة 135 ° = 3π / 4. يتم استخدام نفس الصيغة لتحويل زاوية قياسها 905 ° إلى راديان. بعد استبدال القيمة فيه ، يتضح (π / 180) 905 = 181π / 36 راد.

في المثال الثاني ، تم حل المسألة العكسية - تم إيجاد قياس درجة الزوايا المعبر عنها بالراديان π / 12 ، -21π / 20 ، 2.4π. على الجانب الأيمن من الشاشة ، يتم استدعاء الصيغة المدروسة للعلاقة بين الدرجة وقياس الراديان للزاوية 1 rad \ u003d 180 ° /. يتم حل كل مثال عن طريق استبدال قياس الراديان في الصيغة. باستبدال π / 12 ، نحصل على (180 درجة / π) · (π / 12) = 15 درجة. وبالمثل ، تم العثور على قيم الزوايا المتبقية -21π / 20 = -189 ° و 2.4π = 432 °.

يوصى باستخدام درس الفيديو "الدوال المثلثية للحجة الزاوية" في دروس الرياضيات التقليدية لزيادة فعالية التعلم. ستساعد المواد في توفير تصور للتعلم أثناء التعلم عن بعد حول هذا الموضوع. يمكن أن يساعد شرح مفصل ومفهوم للموضوع وحل المشكلات فيه الطالب على إتقان المادة بمفرده.

تفسير النص:

"الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية".

نعلم بالفعل من الهندسة أن الجيب (جيب التمام) للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية هو نسبة الساق إلى الوتر ، والظل (ظل التمام) هو نسبة الساقين. وفي الجبر ، نسمي إحداثيات نقطة على الوحدة الدائرة بجيب التمام ، وإحداثية هذه النقطة جيب الزاوية. سوف نتأكد من أن كل هذا مترابط بشكل وثيق.

لنضع زاوية بقياس درجة α ° (درجات ألفا) ، كما هو موضح في الشكل 1: رأس الزاوية متوافق مع مركز دائرة الوحدة (مع أصل نظام الإحداثيات) ، وجانب واحد من تتوافق الزاوية مع الشعاع الموجب للمحور السيني. يتقاطع الضلع الثاني من الزاوية مع الدائرة عند النقطة O. إحداثي النقطة O هو جيب الزاوية ألفا ، والإحداثيات الخارجية لهذه النقطة هي جيب التمام لألفا.

لاحظ أن القوس AO هو نفس الجزء من طول دائرة الوحدة حيث أن زاوية ألفا من زاوية ثلاثمائة وستين درجة. دعونا نشير إلى طول قوس AO خلال t (te) ، ثم سنكون النسبة =

(يشير alpha إلى الثقة من ستين كـ te إلى 2 pi). من هنا نجد te: t = = (te يساوي pi alpha مقسومًا على مائة وثمانين).

لذلك ، للعثور على جيب الزاوية أو جيب التمام لزاوية درجات ألفا ، يمكنك استخدام الصيغة:

sin α ° \ u003d sint \ u003d sin (جيب درجات ألفا تساوي جيب te وتساوي جيب ألفا pi الخاص حتى مائة وثمانين) ،

cosα ° \ u003d التكلفة \ u003d cos (جيب تمام درجات ألفا يساوي جيب التمام لـ te ويساوي جيب التمام الخاص بـ pi alpha حتى مائة وثمانين).

على سبيل المثال ، sin 60 ° \ u003d sin \ u003d sin \ u003d (جيب ستين درجة يساوي جيب pi بثلاثة ، وفقًا لجدول القيم الأساسية للجيب ، فهو يساوي الجذر من ثلاثة في اثنين).

يُعتقد أن 60 درجة هي مقياس درجة لزاوية ، و (باي بثلاثة) هو قياس راديان للزاوية نفسها ، أي 60 درجة = مسرور(ستون درجة تساوي باي في ثلاثة راديان). للإيجاز ، لقد اتفقنا على التدوين مسرورحذف ، أي أن الترميز التالي مسموح به: 60 ° = (عرض الاختصارات قياس راديان = rad.)

الزاوية التي تبلغ درجة واحدة هي زاوية مركزية يدعمها قوس يمثل (ثلاثمائة وستين) جزءًا من القوس. زاوية راديان واحد هي زاوية مركزية تقع على قوس طوله واحد ، أي على قوس طوله يساوي نصف قطر دائرة (نعتبر أن الزوايا المركزية لدائرة وحدة تُظهر زاوية في pi راديان على دائرة).

لنتذكر الصيغة المهمة لتحويل مقياس درجة إلى راديان:

α° = مسرور. (alpha يساوي pi alpha مقسومًا على مائة وثمانين راديان) على وجه الخصوص ، 1 ° = مسرور(الدرجة الواحدة تساوي باي مقسومة على مائة وثمانون راديان).

من هذا يمكننا أن نجد أن راديان واحد يساوي نسبة مائة وثمانين درجة إلى باي ويساوي تقريبًا سبعة وخمسين فاصلة وثلاثة أعشار درجة: 1 مسرور= ≈ 57.3 درجة.

مما سبق: عندما نتحدث عن أي دالة مثلثية ، على سبيل المثال ، عن الوظيفة s \ u003d sint (es تساوي sinus te) ، يمكن اعتبار المتغير المستقل t (te) كلاً من وسيطة عددية ووسيطة زاوية.

ضع في اعتبارك الأمثلة.

مثال 1. حوّل من الدرجات إلى الراديان: أ) 135 درجة ؛ ب) 905 درجة.

حل. لنستخدم صيغة تحويل الدرجات إلى الراديان:

أ) 135 درجة = 1 درجة × 135 = مسرور ∙ 135 = مسرور

(مائة وخمسة وثلاثون درجة تساوي pi في مائة وثمانون راديان ضرب مائة وخمسة وثلاثين ، وبعد التخفيض ثلاثة pi في أربعة راديان)

ب) وبالمثل ، باستخدام صيغة تحويل مقياس درجة إلى راديان ، نحصل عليها

905 درجة = مسرور ∙ 905 = مسرور.

(تسعمائة وخمس درجات تساوي مائة وواحد وثمانون بي في ستة وثلاثين راديان).

مثال 2. التعبير بالدرجات: أ) ; ب) -؛ ج) 2.4 درجة

(pi ضرب اثني عشر ؛ ناقص 21 pi ضرب عشرين ؛ اثنان فاصلة أربعة أعشار pi).

حل. أ) عبر بالدرجات pi بمقدار اثني عشر ، استخدم الصيغة لترجمة قياس الراديان للزاوية إلى قياس الدرجة في 1 مسرور= ، نحصل عليه

مسرور = 1 مسرور∙ = ∙ = 15 درجة

وبالمثل ب) - = 1 مسرور∙ (-) \ u003d ∙ (-) \ u003d - 189 درجة (ناقص واحد وعشرون باي في عشرين يساوي ناقص مائة وتسع وثمانين درجة) ،

ج) 2.4π = 1 مسرور∙ 2.4π = ∙ 2.4π = 432 درجة (نقطتان أربعة من pi تساوي أربعمائة واثنتين وثلاثين درجة).