Palkin poikkileikkausten kohdissa pituussuuntaisen poikittaistaivutuksen aikana, normaalit stressit pituussuuntaisten voimien aiheuttamasta puristamisesta ja poikittais- ja pitkittäiskuormituksen aiheuttamasta taivutuksesta (kuva 18.10).

Vaarallisen osan palkin ulkokuiduissa normaalijännitysten kokonaisarvot ovat suurimmat:

Yllä tarkastellun yhden poikittaisvoiman puristetun palkin esimerkissä (18.7) saamme seuraavat jännitykset ulkokuiduissa:

Jos vaarallinen osa on symmetrinen neutraaliakselinsa suhteen, jännitys uloimmissa puristetuissa kuiduissa on absoluuttisesti suurin:

Leikkauksessa, joka ei ole symmetrinen neutraaliakselin suhteen, sekä puristus- että vetojännitykset ulkokuiduissa voivat olla absoluuttisesti suurimmat.

Vaarallista kohtaa määritettäessä tulee ottaa huomioon ero materiaalin veto- ja puristuskestävyydessä.

Annettu lauseke (18.2), kaava (18.12) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Käyttämällä likimääräistä lauseketta saamme

Vaarallinen vakioleikkauksellisissa säteissä on se osa, jonka toisen termin osoittajalla on suurin arvo.

Mitat poikkileikkaus palkit on valittava niin, etteivät ne ylitä sallittua jännitystä

Tästä johtuva jännitysten ja poikkileikkauksen geometristen ominaisuuksien välinen suhde on kuitenkin vaikea suunnittelulaskennassa; osien mitat voidaan valita vain toistuvilla yrityksillä. Pitkittäis-poikittaistaivutuksella suoritetaan pääsääntöisesti tarkastuslaskenta, jonka tarkoituksena on määrittää osan turvallisuusmarginaali.

Pitkittäis-poikittaistaivutuksessa jännitysten ja pituussuuntaisten voimien välillä ei ole suhteellisuutta; jännitykset, joilla on muuttuva aksiaalinen voima, kasvavat nopeammin kuin itse voima, mikä näkyy esimerkiksi kaavasta (18.13). Siksi turvamarginaali pitkittäis-poikittaistaivutuksen tapauksessa ei tule määrittää jännitysten perusteella, eli ei suhteesta, vaan kuormista, ymmärtäen turvamarginaalin lukuna, joka osoittaa kuinka monta kertaa on tarpeen kasvattaa taivutusta. toimii kuormien avulla maksimi jännite lasketussa osassa on saavuttanut myötörajan.

Turvamarginaalin määritys liittyy transsendenttisten yhtälöiden ratkaisuun, koska voima sisältyy kaavoihin (18.12) ja (18.14) merkin alla trigonometrinen funktio. Esimerkiksi palkille, joka on puristettu voimalla ja kuormitettu yhdellä poikittaisvoimalla P, saadaan yhtälöstä kohdan (18.13) mukainen varmuuskerroin.

Tehtävän yksinkertaistamiseksi voit käyttää kaavaa (18.15). Sitten turvallisuusmarginaalin määrittämiseksi saamme toisen asteen yhtälön:

Huomaa, että siinä tapauksessa, että pitkittäisvoima pysyy vakiona ja vain poikittaiskuormat muuttuvat suuruudeltaan, turvamarginaalin määrittäminen on yksinkertaistettu, ja se on mahdollista määrittää ei kuorman, vaan jännitysten perusteella. Kaavasta (18.15) tälle tapaukselle löydämme

Esimerkki. I-palkin ohutseinämäisen osan kaksoistuettu duralumiinipalkki puristetaan voimalla P ja altistetaan tasaisesti jakautuneelle poikittaiskuormitukselle, jonka päihin kohdistuu voimakkuutta ja momentteja.

palkit, kuten kuvassa näkyy. 18.11. Määritä jännitys vaarallisessa kohdassa ja suurin taipuma pitkittäisvoiman P taivutusvaikutuksen kanssa ja ilman, ja selvitä myös palkin varmuusmarginaali myötörajan suhteen.

Ota laskelmissa I-säteen ominaisuudet:

Ratkaisu. Eniten kuormitettu on palkin keskiosa. Suurin taipuma ja taivutusmomentti pelkästä leikkauskuormasta:

Suurin taipuma poikittaiskuorman ja pituussuuntaisen voiman P yhteisvaikutuksesta määritetään kaavalla (18.10). Saada

Peruskonseptit. Leikkausvoima ja taivutusmomentti

Taivutuksen aikana tasaisina pysyneet poikkileikkaukset pyörivät suhteessa toisiinsa joidenkin tasoissaan olevien akselien ympäri. Palkit, akselit, akselit ja muut koneen osat ja rakenneosat toimivat taivutuksessa. Käytännössä on poikittaiset (suorat), vinot ja puhtaat näkymät taivutus.

Poikittainen (suora) (kuva 61, A) kutsutaan taivutukseksi, kun palkin pituusakseliin nähden kohtisuorassa olevat ulkoiset voimat vaikuttavat tasossa, joka kulkee palkin akselin ja sen poikkileikkauksen yhden pääkeskiakselin läpi.

Vino taivutus (Kuva 61, b) on mutka, jossa voimat vaikuttavat tasossa, joka kulkee palkin akselin läpi, mutta ei kulje minkään sen poikkileikkauksen pääkeskiakselin läpi.

Palkkien poikkileikkauksissa taivutuksen aikana syntyy kahta tyyppiä sisäisiä voimia- taivutusmomentti M ja ja leikkausvoimaa K. Erityistapauksessa, kun poikittaisvoima on nolla ja esiintyy vain taivutusmomentti, tapahtuu puhdas taivutus (kuva 61, c). Puhdasta taivutusta esiintyy kuormitettaessa jakautuneella kuormalla tai joissakin keskitetyillä voimilla kuormitetuilla, esimerkiksi kahdella symmetrisellä yhtä suurella voimalla kuormitettua palkkia.

Riisi. 61. Taivutus: a - poikittainen (suora) mutka; b - vino mutka; c - puhdas mutka

Taivutusmuodonmuutoksia tutkittaessa esitetään henkisesti, että palkki koostuu äärettömästä määrästä pitkittäisakselin suuntaisia ​​kuituja. Puhtaalla taivutuksella hypoteesi litteistä osista pätee: kuidut makaavat kuperalla puolella venytetty makaa koveralla kyljellä - kutistua, ja niiden välisellä rajalla on neutraali kuitukerros (pituusakseli), jotka ovat vain loimi, muuttamatta sen pituutta; palkin pituussuuntaiset kuidut eivät kohdista painetta toisiinsa ja siksi ne kokevat vain jännitystä ja puristusta.

Sisäiset voimatekijät palkin osissa - poikittaisvoima K ja taivutusmomentti M ja(Kuva 62) riippuvat ulkoisista voimista ja vaihtelevat palkin pituuden mukaan. Poikittaisvoimien ja taivutusmomenttien muutoslakeja edustavat eräät yhtälöt, joissa koordinaatit ovat argumentteja z palkkien poikkileikkaukset ja toiminnot - K Ja M i. Sisäisten voimatekijöiden määrittämiseksi käytämme leikkausmenetelmää.

Riisi. 62.

Leikkausvoima K on sisäisten tangentiaalisten voimien resultantti palkin poikkileikkauksessa. Se on syytä pitää mielessä poikittaisvoimalla on vastakkainen suunta palkin vasemmalle ja oikealle osalle, mikä osoittaa staattisten merkkien säännön sopimattomuuden.

Taivutusmomentti M ja on palkin poikkileikkauksessa vaikuttavien sisäisten normaalivoimien neutraaliakselin ympärillä syntynyt momentti. Taivutusmomentilla, samoin kuin poikittaisvoimalla, on eri suunta palkin vasemmalle ja oikealle osalle. Tämä osoittaa staattisten merkkien säännön sopimattomuuden taivutusmomentin määrittämisessä.

Poikkileikkauksen vasemmalla ja oikealla puolella olevien palkin osien tasapainoa huomioiden voidaan nähdä, että poikkileikkauksissa tulee vaikuttaa taivutusmomentin M ja ja leikkausvoimaa K. Tarkasteltavana olevassa tapauksessa poikkileikkausten kohdissa ei siis vaikuta vain taivutusmomenttia vastaavat normaalit jännitykset, vaan myös tangentiaaliset jännitykset, jotka vastaavat poikkisuuntaista voimaa.

Visuaalinen esitys poikittaisvoimien jakaumasta säteen akselilla K ja taivutusmomentit M ja on kätevää esittää ne kaavioina, joiden ordinaatit mille tahansa abskissan arvolle z anna vastaavat arvot K Ja M i. Kaaviot muodostetaan samalla tavalla kuin pitkittäisvoimat (katso 4.4) ja vääntömomentit (katso 4.6.1.).

Riisi. 63. Poikittaisvoimien suunta: a - positiivinen; b - negatiivinen

Koska staattisten merkkien sääntöjä ei voida hyväksyä poikittaisvoimien ja taivutusmomenttien merkkien määrittämiseen, määritämme niille muita merkkisääntöjä, nimittäin:

• - jos ulkoinen siemaile (kuva.
• 63, a), jotka makaavat osan vasemmalla puolella, pyrkivät nostamaan palkin vasenta puolta tai, makaamalla osan oikealla puolella, laskemaan palkin oikeaa puolta, jolloin poikittaisvoima Q on positiivinen;
• - Jos ulkoiset voimat (kuva.
• 63, b), jotka makaavat osan vasemmalla puolella, pyrkivät laskemaan palkin vasenta puolta tai, makaamalla osan oikealla puolella, nostamaan palkin oikeaa puolta, sitten poikittaisvoima (Z on negatiivinen;

Riisi. 64. Taivutusmomenttien suunta: a - positiivinen; b - negatiivinen

• - jos ulkoinen kuorma (voima ja momentti) (kuva 64, a), joka sijaitsee lohkon vasemmalla puolella, antaa momentin, joka on suunnattu myötäpäivään tai joka sijaitsee osan oikealla, suunnattu vastapäivään, niin taivutusmomentti M katsotaan positiiviseksi ;
• - jos lohkon vasemmalla puolella oleva ulkoinen kuorma (kuva 64, b) antaa momentin, joka on suunnattu vastapäivään tai osan oikealla puolella myötäpäivään, niin taivutusmomenttia M pidetään negatiivisena.

Taivutusmomenttien merkkisääntö liittyy palkin muodonmuutoksen luonteeseen. Taivutusmomentti katsotaan positiiviseksi, jos palkki on taivutettu kuperaksi alaspäin (venyneet kuidut sijaitsevat pohjassa). Taivutusmomentti katsotaan negatiiviseksi, jos palkki taivutetaan kuperasti ylöspäin (venyneet kuidut sijaitsevat ylhäällä).

Merkkien sääntöjä käyttäen tulisi henkisesti kuvitella palkin poikkileikkaus jäykästi puristettuna ja sidokset hylättyinä ja korvattuina niiden reaktioilla. Reaktioiden määrittämiseen käytetään staattisten merkkien sääntöjä.

Kaavion rakentaminen K.

Rakennetaan kaavio M menetelmä tyypillisiä pisteitä. Järjestämme pisteet palkkiin - nämä ovat säteen alun ja lopun pisteet ( D,A ), keskittynyt hetki ( B ), ja huomioi myös tunnusomaisena pisteenä tasaisesti jakautuneen kuorman keskikohta ( K ) on lisäpiste parabolisen käyrän muodostamiseksi.

Määritä pisteiden taivutusmomentit. Merkkien sääntö cm -.

Hetki sisään SISÄÄN määritellään seuraavasti. Ensin määritellään:

kohta TO otetaan mukaan keskellä alue, jossa kuorma jakautuu tasaisesti.

Kaavion rakentaminen M . Juoni AB – parabolinen käyrä("sateenvarjon" sääntö), juoni BD – suora vino viiva.

Määritä palkin tukireaktiot ja piirrä taivutusmomenttikaaviot ( M) ja leikkausvoimat ( K).

1. Nimeämme tukee kirjaimet A Ja SISÄÄN ja ohjaa tukireaktioita R A Ja R B .

Kokoaminen tasapainoyhtälöt.

Tutkimus

Kirjoita arvot muistiin R A Ja R B päällä laskentakaavio.

2. Piirustus poikittaisvoimat menetelmä osiot. Asetamme osat päälle ominaisia ​​alueita(muutosten välillä). Mittalangan mukaan - 4 osaa, 4 osaa.

sek. 1-1 liikkua vasemmalle.

Osio kulkee osion läpi tasaisesti jakautunut kuorma, huomioi koko z 1 osion vasemmalla puolella ennen osan alkua. Tontin pituus 2 m. Merkkien sääntö varten K - cm.

Rakennamme löydetyn arvon varaan kaavioK.

sek. 2-2 siirrä oikealle.

Osuus kulkee jälleen alueen läpi tasaisesti jakautuneella kuormalla, huomioi koko z 2 osion oikealta puolelta osion alkuun. Tontin pituus 6 m.

Kaavion rakentaminen K.

sek. 3-3 siirrä oikealle.

sek. 4-4 siirry oikealle.

Rakennamme kaavioK.

3. Rakentaminen kaaviot M menetelmä tyypillisiä pisteitä.

ominaista kohtaa- piste, mikä tahansa havaittavissa palkissa. Nämä ovat pisteitä A, SISÄÄN, KANSSA, D , samoin kuin kohta TO , jossa K=0 Ja taivutusmomentilla on ääripää. myös sisällä keskellä konsoli laittaa lisäpisteen E, koska tällä alueella tasaisesti jakautuneen kuorman alla kaavio M kuvattu kiero linjaa, ja se on rakennettu ainakin sen mukaan 3 pisteitä.

Joten pisteet on sijoitettu, jatketaan niiden arvojen määrittämisessä taivutusmomentit. Merkkien sääntö - katso..

Tontteja NA, AD – parabolinen käyrä("sateenvarjo" sääntö mekaanisten erikoisuuksien tai "purjesääntö" rakentamiseen), osat DC, SW – suorat vinot linjat.

Hetki jossain pisteessä D olisi määritettävä sekä vasemmalle että oikealle pisteestä D . Hetki näissä ilmaisuissa Ulkopuolelle. Pisteessä D saamme kaksi arvot alkaen ero määrän mukaan m – hypätä kokoonsa.

Nyt meidän on määritettävä pisteen hetki TO (K=0). Ensin kuitenkin määritellään pisteen sijainti TO , joka ilmaisee etäisyyden siitä osan alkuun tuntemattomalla X .

T. TO kuuluu toinen ominaista aluetta, leikkausvoimayhtälö(Katso edellä)

Mutta poikittaisvoima t. TO on yhtä suuri kuin 0 , A z 2 vastaa tuntematonta X .

Saamme yhtälön:

Nyt tietää X, määrittää hetken tietyssä pisteessä TO oikealla puolella.

Kaavion rakentaminen M . Rakentaminen on toteutettavissa mekaaninen erikoisuuksia, lykkäämällä positiivisia arvoja ylös nollariviltä ja käyttämällä "sateenvarjo"-sääntöä.

Tietylle ulokepalkin kaaviolle on piirrettävä poikittaisvoiman Q ja taivutusmomentin M kaaviot, suoritettava suunnittelulaskenta valitsemalla pyöreä leikkaus.

Materiaali - puu, materiaalin mitoituskestävyys R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

On kaksi tapaa rakentaa kaavioita ulokepalkissa, jossa on jäykkä upottaminen - tavallinen, kun tukireaktiot on aiemmin määritetty, ja ilman tukireaktioiden määrittelyä, jos tarkastellaan poikkileikkauksia, mennään palkin vapaasta päästä ja hylätään vasen puoli upotettuna. Rakennetaan kaavioita tavallinen tapa.

1. Määrittele tukireaktioita.

Tasaisesti jakautunut kuorma q korvaa ehdollinen voima Q = q 0,84 = 6,72 kN

Jäykässä upotuksessa on kolme tukireaktiota - pystysuora, vaaka ja momentti, meidän tapauksessamme vaakasuuntainen reaktio on 0.

Etsitään pystysuora tukireaktio R A Ja referenssihetki M A tasapainoyhtälöistä.

Kahdessa ensimmäisessä osassa oikealla ei ole poikittaisvoimaa. Tasaisesti jakautuneen kuorman osuuden alussa (oikealla) Q = 0, takana - reaktion suuruus R.A.
3. Rakentamista varten laadimme lausekkeita niiden määrittelyä varten osioihin. Piirrämme kuiduille momenttikaavion, ts. alas.

(puristetut alemmat kuidut).

Juoni DC: (ylemmät kuidut puristuvat).

Käyrä SC: (pakatut vasen kuidut)

(puristetut vasen kuidut)

Kuvassa - kaavioita normaali (pitkittäinen) voimat - (b), poikittaisvoimat - (c) ja taivutusmomentit - (d).

Solmun C tasapainon tarkistaminen:

Tehtävä 2 Muodosta kaavioita rungon sisäisistä voimista (kuva a).

Annettu: F=30kN, q=40kN/m, M=50kNm, a=3m, h=2m.

Määritellään tukireaktioita kehykset:

Näistä yhtälöistä löydämme:

Koska reaktioarvot R K on merkki miinus, kuvassa A muutoksia suunta annettu vektori päinvastoin, kirjoittaessaan RK = 83,33 kN.

Määritetään sisäisten voimien arvot N, Q Ja M kehyksen ominaisissa osissa:

Aurinko-osio:

(puristetut oikeat kuidut).

Juoni-CD:

(oikeat kuidut puristetaan);

(puristetut oikeat kuidut).

Juoni DE:

(alemmat kuidut puristetaan);

(puristetut alemmat kuidut).

CS-osio

(puristetut vasen kuidut).

Rakennetaan kaaviot normaalivoimista (pitkittäissuuntaisista) voimista (b), poikittaisvoimista (c) ja taivutusmomenteista (d).

Harkitse solmujen tasapainoa D Ja E

Solmujen huomioimisesta D Ja E on selvää, että he ovat mukana tasapaino.

Tehtävä 3. Muodosta saranoidun rungon sisäisten voimien kaaviot.

Annettu: F=30kN, q=40kN/m, M=50kNm, a=2m, h=2m.

Ratkaisu. Määritellään tukireaktioita. On huomattava, että molemmissa saranoiduissa tuissa kaksi reaktiot. Tästä syystä sinun tulee käyttää saranan ominaisuus C — hetki siinä sekä vasemmalta että oikealta voimista nolla. Katsotaanpa vasenta puolta.

Tarkastelun kehyksen tasapainoyhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Näiden yhtälöiden ratkaisusta seuraa:

Kehyskaaviossa voiman suunta H B muuttuu vastapäätä (NB = 15 kN).

Määritellään ponnisteluja kehyksen ominaisissa osissa.

Juoni BZ:

(puristetut vasen kuidut).

Tontti ZC:

(puristetut vasen kuidut);

Juoni KD:

(puristetut vasen kuidut);

(puristetut vasen kuidut).

Juoni DC:

(alemmat kuidut puristetaan);

Määritelmä äärimmäinen arvo taivutusmomentti osassa CD:

1. Poikittaisvoimien kaavion rakentaminen. Ulokepalkkiin (kuva. A ) ominaispiirteet: A – tukireaktion sovelluskohta VA; KANSSA on keskittyneen voiman sovelluskohta; D, B – hajautetun kuorman alku ja loppu. Ulokeelle poikittaisvoima määritetään samalla tavalla kuin kaksilaakeripalkissa. Joten siirryttäessä vasemmalle:

Poikittaisvoiman määrityksen oikeellisuuden tarkistamiseksi osissa ohjaa palkki samalla tavalla, mutta oikeasta päästä. Sitten palkin oikeat osat leikataan pois. Muista, että merkkien sääntö muuttuu tässä tapauksessa. Tuloksen pitäisi olla sama. Rakennamme kaavion poikittaisvoimasta (kuva 1). b).

2. Hetkien piirtäminen

Ulokepalkille taivutusmomenttien kaavio on rakennettu samalla tavalla kuin edellisessä rakenteessa. Tämän palkin ominaispisteet (katso kuva. A) ovat seuraavat: A - tuki; KANSSA - keskittyneen momentin ja voiman sovelluskohta F; D Ja SISÄÄN- tasaisesti jakautuneen kuorman toiminnan alku ja loppu. Juoneesta lähtien K x hajautetun kuorman toiminta-alueella ei ylitä nollaviivaa, jos haluat piirtää momenttidiagrammin tietyssä osassa (parabolinen käyrä), sinun tulee valita mielivaltaisesti lisäpiste käyrän piirtämistä varten, esimerkiksi leikkausosan keskelle.

Siirry vasemmalle:

Menemme oikealle löydämme M B = 0.

Löytyneiden arvojen perusteella rakennamme kaavion taivutusmomenteista (ks. V ).

Viesti julkaistu kirjoittaja admin rajoitettu vino viiva, A osassa, jossa ei ole jakautunutta kuormaa - akselin suuntainen suora viiva, siksi poikittaisten voimien kaavion muodostamiseksi riittää, että määritetään arvot Kklo jokaisen jakson alussa ja lopussa. Keskitetyn voiman kohdistamispistettä vastaavassa osiossa poikittaisvoima on laskettava hieman tämän pisteen vasemmalla puolella (äärettömän lähellä sitä) ja hieman oikealle puolelle; poikittaisvoimat tällaisissa paikoissa on merkitty vastaavasti .

Kaavion rakentaminen Kklo ominaispisteiden menetelmällä, liikkuen vasemmalta. Selvyyden vuoksi on suositeltavaa peittää palkin poistettu osa paperiarkilla. Kaksilaakerisen palkin ominaispisteet (kuva 1). A ) tulee pisteitä C Ja D - jaetun kuorman alku ja loppu sekä A Ja B – tukireaktioiden käyttökohteet, E on keskittyneen voiman sovelluskohta. Piirretään henkisesti akseli y kohtisuorassa säteen akseliin nähden pisteen läpi KANSSA emmekä muuta sen sijaintia ennen kuin ohitamme koko säteen C ennen E. Ottaen huomioon palkin vasemmat osat, jotka on leikattu pois ominaispisteistä, projisoidaan akselille y tässä osiossa vaikuttavat voimat vastaavilla merkeillä. Tuloksena saamme:

Voit tarkistaa osien leikkausvoiman määrityksen oikeellisuuden ohjaamalla säteen samalla tavalla, mutta oikeasta päästä. Sitten palkin oikeat osat leikataan pois. Tuloksen pitäisi olla sama. Tulosten yhteensattuma voi toimia kontrollikaaviona Kklo. Piirrämme nollaviivan palkin kuvan alle ja asetamme siitä hyväksytyssä mittakaavassa sivuun poikittaisvoimien löydetyt arvot ottaen huomioon vastaavien pisteiden merkit. Hanki juoni Kklo(riisi. b ).

Kun olet rakentanut kaavion, kiinnitä huomiota seuraavaan: kaavio hajautetun kuorman alla on kuvattu kaltevana suorana, kuormittamattomien osien alla - segmentit, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​nollaviivan kanssa, keskitetyllä voimalla, kaavioon muodostuu hyppy, yhtä suuri voiman arvoon. Jos kalteva viiva jaetun kuormituksen alaisena ylittää nollaviivan, merkitse tämä piste, sitten tämä ääripiste, ja se on nyt meille tyypillistä välisen erosuhteen mukaan Kklo Ja Mx, tässä vaiheessa momentilla on ääriarvo ja se on määritettävä taivutusmomentteja piirrettäessä. Meidän ongelmassamme tämä on pointti TO . Keskittynyt hetki juoneeseen Kklo ei ilmene millään tavalla, koska parin muodostavien voimien projektioiden summa on nolla.

2. Hetkien piirtäminen. Rakennamme kaavion taivutusmomenteista sekä poikittaisvoimista ominaispisteiden menetelmällä, liikkuen vasemmalta. Tiedetään, että palkin osassa, jossa kuormitus jakautuu tasaisesti, taivutusmomenttien kaavio piirtyy kaarevalla viivalla (neliöparaabeli), jonka rakentamista varten on oltava vähintään kolme pistettä ja siksi on laskettava taivutusmomenttien arvot osan alussa, lopussa ja yhdessä väliosuudessa. On parasta ottaa tällainen välipiste osaksi, jossa kaavio Kklo ylittää nollaviivan, ts. Missä Kklo= 0. Kaaviossa M tämän osan tulee sisältää paraabelin kärki. Jos juoni K klo ei ylitä nollaviivaa, niin rakentaa kaavio M seuraa eteenpäin ota tässä osiossa lisäpiste esimerkiksi osan keskeltä (jakauman alku ja loppu) muistaen, että paraabelin kupera suuntautuu aina alaspäin, jos kuorma vaikuttaa ylhäältä alas (esim. rakentamisen erikoisalat). On olemassa "sade"-sääntö, joka on erittäin hyödyllinen, kun rakennetaan juonen parabolinen osa M. Rakentajille tämä sääntö näyttää tältä: kuvittele, että jaettu kuorma on sadetta, vaihda sen alle sateenvarjo ylösalaisin, jotta sade ei valu alas, vaan kerääntyy siihen. Silloin sateenvarjon pullistuma on alaspäin. Juuri tältä hajautetun kuormituksen alaisten hetkien kaavion ääriviivat näyttävät. Mekaniikoille on olemassa niin kutsuttu "sateenvarjo" -sääntö. Jaettua kuormaa edustaa sade, ja kaavion ääriviivat tulee muistuttaa sateenvarjon ääriviivoja. Tässä esimerkissä tontti on rakennettu rakentajia varten.

Jos tarvitaan tarkempaa piirtämistä, on laskettava taivutusmomenttien arvot useissa väliosissa. Sovitaan, että jokainen tällainen osio määrittää ensin taivutusmomentin mielivaltaisessa osassa ilmaistamalla se etäisyyden avulla X mistä tahansa pisteestä. Sitten etäisyyden ilmoittaminen X arvosarjan, saamme taivutusmomenttien arvot osan vastaavissa osissa. Osissa, joissa ei ole jakautunutta kuormaa, taivutusmomentit määritetään kahdessa osassa, jotka vastaavat osan alkua ja loppua, koska kaavio M näillä alueilla on rajoitettu suoralle viivalle. Jos palkkiin kohdistetaan ulkoinen keskitetty momentti, on taivutusmomentti laskettava hieman keskitetyn momentin kohdistamispaikan vasemmalle puolelle ja hieman oikealle siitä.

Kahden tukipalkin ominaispisteet ovat seuraavat: C Ja D - hajautetun kuorman alku ja loppu; A – palkki tuki; SISÄÄN – palkin toinen tuki ja keskittyneen momentin sovelluskohta; E – palkin oikea pää; piste TO , joka vastaa palkin osaa, jossa Kklo= 0.

Vasen liike. Hylkäämme henkisesti oikean puolen tarkasteltavana olevaan osioon asti (ota paperiarkki ja peitä palkin hävitetty osa sillä). Löydämme kaikkien leikkauksen vasemmalla puolella vaikuttavien voimien momenttien summan suhteessa tarkasteltavaan pisteeseen. Niin,

Ennen hetken määrittämistä osiossa TO, sinun on löydettävä etäisyys x=AK. Tehdään lauseke tämän osan poikittaisvoimalle ja rinnastetaan se nollaan (veto vasemmalla):

Tämä etäisyys löytyy myös kolmioiden samankaltaisuudesta KLN Ja KIG kaaviossa Kklo(riisi. b) .

Määritä hetki tietyssä pisteessä TO :

Mennään oikeanpuoleisen säteen läpi.

Kuten näette, hetki pisteessä D liikuttaessa vasemmalle ja oikealle, se osoittautui samaksi - juoni suljettiin. Löytyneiden arvojen perusteella rakennamme kaavion. Positiiviset arvot jätetään sivuun nollaviivasta alaspäin ja negatiiviset arvot ylös (katso kuva. V ).

Pituussuunnassa poikittainen mutka kutsutaan yhdistelmäksi poikittaista taivutusta ja palkin puristusta tai jännitystä.

Pitkittäis-poikittaistaivutusta laskettaessa taivutusmomentit palkin poikkileikkauksissa lasketaan ottaen huomioon sen akselin taipumat.

Tarkastellaan saranoitujen päiden palkkia, joka on kuormitettu jonkin verran poikittaiskuormalla ja puristusvoimalla 5, joka vaikuttaa palkin akselia pitkin (kuva 8.13, a). Merkitään palkin akselin taipuma poikkileikkauksessa abskissalla (otamme y-akselin positiivisen suunnan alaspäin, ja siksi katsomme palkin taipumia positiivisiksi, kun ne on suunnattu alaspäin). Taivutusmomentti M, joka vaikuttaa tässä osassa,

(23.13)

tässä on taivutusmomentti poikittaiskuorman vaikutuksesta; - ylimääräinen taivutusmomentti voimasta

Kokonaispoikkeutuksen y voidaan katsoa koostuvan vain poikittaiskuorman vaikutuksesta syntyvästä taipumasta ja voiman aiheuttamasta lisäpoikkeamasta.

Kokonaispoikkeama y on suurempi kuin poikittaiskuorman ja voiman S erillisestä vaikutuksesta syntyvien taipumien summa, koska jos vain voima S vaikuttaa palkkiin, sen taipumat ovat nolla. Siten pitkittäis-poikittaistaivutuksen tapauksessa voimien vaikutuksen riippumattomuuden periaatetta ei voida soveltaa.

Kun vetovoima S vaikuttaa palkkiin (kuva 8.13, b), taivutusmomentti abskissalla

(24.13)

Vetovoima S johtaa palkin taipumien pienenemiseen, eli kokonaispoikkeamat y ovat tässä tapauksessa pienemmät kuin vain poikittaiskuorman vaikutuksesta aiheutuvat taipumat.

Teknisten laskelmien käytännössä pitkittäis-poikittaistaivutus tarkoittaa yleensä puristusvoiman ja poikittaiskuormituksen vaikutusta.

Jäykällä palkilla, kun lisätaivutusmomentit ovat pienet momenttiin verrattuna, poikkeamat y poikkeavat vain vähän taipumuksista . Näissä tapauksissa on mahdollista jättää huomiotta voiman S vaikutus taivutusmomenttien suuruuteen ja palkin taipumiin ja laskea se keskipuristukselle (tai jännitykselle) poikittaistaivutuksella, kuten kohdassa § 2.9 on kuvattu.

Palkin, jonka jäykkyys on pieni, voiman S vaikutus palkin taivutusmomenttien ja taipumien arvoihin voi olla erittäin merkittävä, eikä sitä voida jättää huomiotta laskennassa. Tässä tapauksessa palkki tulee laskea pitkittäis-poikittaistaivutukselle, mikä tarkoittaa tällä laskelmaa taivutuksen ja puristuksen (tai jännityksen) yhteisvaikutuksesta, joka suoritetaan ottaen huomioon aksiaalisen kuorman (voiman S) vaikutus taivutukseen. palkin muodonmuutos.

Harkitse tällaisen laskennan metodologiaa käyttämällä esimerkkiä päistä saranoidusta palkista, joka on kuormitettu yhteen suuntaan suuntautuvilla poikittaisvoimilla ja puristusvoimalla S (kuva 9.13).

Korvaa elastisen suoran (1.13) likimääräisessä differentiaaliyhtälössä taivutusmomentin M lauseke kaavan (23.13) mukaisesti:

[miinusmerkki yhtälön oikean puolen edessä otetaan, koska toisin kuin kaava (1.13), tässä alassuunta katsotaan poikkeamien osalta positiiviseksi] tai

Siten,

Ratkaisun yksinkertaistamiseksi oletetaan, että lisäpoikkeama vaihtelee sinimuotoisesti säteen pituudella, ts.

Tämä oletus mahdollistaa riittävän tarkkojen tulosten saamisen, kun palkkiin kohdistetaan poikittainen kuormitus, joka on suunnattu yhteen suuntaan (esimerkiksi ylhäältä alas). Korvataan kaavan (25.13) taipuma lausekkeella

Lauseke on yhtäpitävä Eulerin kaavan kanssa puristetun tangon kriittiselle voimalle, jossa on saranoidut päät. Siksi sitä merkitään ja kutsutaan Euler-voimaksi.

Siten,

Eulerin voima tulee erottaa Eulerin kaavan mukaan lasketusta kriittisestä voimasta. Arvo voidaan laskea Eulerin kaavalla vain, jos sauvan joustavuus on suurempi kuin raja; arvo korvataan kaavalla (26.13) palkin joustavuudesta riippumatta. Kriittisen voiman kaava sisältää pääsääntöisesti tangon poikkileikkauksen minimihitausmomentin ja Euler-voiman lauseke sisältää hitausmomentin poikkileikkauksen päähitausakselien suhteen, joka on kohtisuorassa poikittaiskuorman vaikutustasoon nähden.

Kaavasta (26.13) seuraa, että palkin kokonaispoikkeamien y ja vain poikittaiskuorman vaikutuksesta aiheutuvien taipumien välinen suhde riippuu suhteesta (puristusvoiman suuruus 5 Euler-voiman suuruuteen) .

Siten suhde on kriteeri palkin jäykkyydelle pitkittäis-poikittaistaivutuksessa; jos tämä suhde on lähellä nollaa, niin palkin jäykkyys on suuri, ja jos se on lähellä yhtä, niin palkin jäykkyys on pieni, eli palkki on joustava.

Siinä tapauksessa, että taipuma, eli ilman voimaa S, taipumat aiheutuvat vain poikittaiskuormituksen vaikutuksesta.

Kun puristusvoiman S arvo lähestyy Euler-voiman arvoa, palkin kokonaispoikkeamat kasvavat jyrkästi ja voivat olla monta kertaa suurempia kuin vain poikittaiskuorman vaikutuksesta aiheutuvat taipumat. Rajatapauksessa at kaavalla (26.13) lasketut taipumat y ovat yhtä suuret kuin ääretön.

On huomattava, että kaavaa (26.13) ei voida soveltaa palkin erittäin suuriin taipumiin, koska se perustuu likimääräiseen kaarevuuden lausekkeeseen. Tämä lauseke on sovellettavissa vain pienille taipumille, ja suurille taipumille se on korvattava sama kaarevuuslauseke (65.7). Tässä tapauksessa taipumat y at ei olisi yhtä suuria kuin ääretön, vaan ne olisivat, vaikkakin hyvin suuria, mutta äärellisiä.

Kun vetovoima vaikuttaa palkkiin, kaava (26.13) saa muodon.

Tästä kaavasta seuraa, että kokonaispoikkeamat ovat pienempiä kuin vain poikittaiskuorman vaikutuksesta aiheutuvat taipumat. Vetovoimalla S, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin Eulerin voiman arvo (eli kohdassa ), taipumat y ovat puolet taipumista

Suurin ja pienin normaalijännitys saranoidun pään palkin poikkileikkauksessa pitkittäis-poikittaistaivutuksessa ja puristusvoimassa S ovat yhtä suuret kuin

Tarkastellaan kaksilaakerista I-profiilista palkkia, jossa on jänneväli, jota kuormitetaan keskeltä pystyvoimalla P ja puristuu aksiaalivoimalla S = 600 (kuva 10.13). Palkin hitausmomentin, vastusmomentin ja kimmomoduulin poikkileikkauspinta-ala

Poikittaiskannattimet, jotka yhdistävät tämän palkin rakenteen vierekkäisiin palkkiin, sulkevat pois mahdollisuuden, että palkki muuttuu epävakaaksi vaakatasossa (eli vähiten jäykkyyden tasossa).

Taivutusmomentti ja taipuma palkin keskellä, laskettuna ottamatta huomioon voiman S vaikutusta, ovat yhtä suuria:

Eulerin voima määritetään lausekkeesta

Taipuma palkin keskellä, laskettuna ottaen huomioon voiman S vaikutus kaavan (26.13) perusteella,

Määritetään suurimmat normaalit (puristus)jännitykset palkin keskimääräisessä poikkileikkauksessa kaavan (28.13) mukaisesti:

mistä muutoksen jälkeen

Korvaamalla lausekkeeksi (29.13) erilaisia ​​P:n arvoja (in), saadaan vastaavat jännitysarvot. Graafisesti lausekkeen (29.13) määrittämä suhde on karakterisoitu kuvassa 2 esitetyllä käyrällä. 11.13.

Määritetään sallittu kuorma P, jos palkkimateriaalille ja vaadittu turvakerroin, siis materiaalin sallittu jännitys

Kuvasta 11.23 tästä seuraa, että jännitys esiintyy palkissa kuormitettuna ja jännitys - kuormituksen alaisena

Jos otamme kuorman sallituksi kuormitukseksi, niin jännitysvarmuuskerroin on sama kuin määritetty arvo, mutta tällöin palkin kuormitusvarmuuskerroin on merkityksetön, koska siinä syntyy jännityksiä, jotka ovat yhtä suuria kuin on. Rot

Näin ollen kuorman turvallisuuskerroin tässä tapauksessa on 1,06 (koska e. on selvästi riittämätön.

Jotta palkin turvallisuuskerroin olisi 1,5 kuormituksen suhteen, arvo tulee ottaa sallituksi arvoksi, kun taas palkin jännitykset ovat kuvan 1 mukaiset. 11.13, suunnilleen sama

Yllä lujuuslaskenta on suoritettu sallittujen jännitysten mukaan. Tämä antoi tarvittavan turvamarginaalin paitsi jännityksien, myös kuormien suhteen, koska lähes kaikissa edellisissä luvuissa käsitellyissä tapauksissa jännitykset ovat suoraan verrannollisia kuormien suuruuteen.

Jännityksen pitkittäis-poikittaisella taivutuksella, kuten kuvasta 13 seuraa. 11.13 eivät ole suoraan verrannollisia kuormaan, vaan muuttuvat nopeammin kuin kuorma (puristusvoiman S tapauksessa). Tässä suhteessa jopa pieni vahingossa tapahtuva kuormituksen lisäys, joka ylittää lasketun kuorman, voi aiheuttaa erittäin suuren jännitysten kasvun ja rakenteen tuhoutumisen. Siksi kokoon taivutettujen sauvojen laskenta pitkittäis-poikittaista taivutusta varten ei tulisi suorittaa sallittujen jännitysten, vaan sallitun kuormituksen mukaan.

Muodostetaan kaavan (28.13) mukaisesti lujuusehto laskettaessa pituus-poikittaistaivutus sallitun kuormituksen mukaan.

Puristetut-kaarevat tangot pitää laskea pitkittäis-poikittaistaivutuksen lisäksi myös vakautta varten.

UDC 539,52

RAJAKUORMITUS PITKÄSUUNTAISELLA VOIMALLA, EpäSYMMETRISTI JAKAUTETTUNA KUORMITUS- JA TUKIHETKEISSÄ KUORMITETTUlle PALKIlle

I.A. Monakhov1, Yu.K. Basso 2

rakennustuotannon laitos Rakennustiede Moscow State Machine-Building University st. Pavel Korchagin, 22, Moskova, Venäjä, 129626

2Rakennusrakenteiden laitos Teknillinen tiedekunta Kansojen ystävyyden yliopisto Venäjän yliopisto st. Ordzhonikidze, 3, Moskova, Venäjä, 115419

Artikkelissa kehitetään tekniikka ideaalista jäykästä muovimateriaalista valmistettujen palkkien pienten taipumien ongelmien ratkaisemiseksi epäsymmetrisesti jakautuneiden kuormien vaikutuksesta, ottaen huomioon alustava jännitys-puristus. Kehitetyllä tekniikalla tutkitaan yksijännepalkkien jännitys-venymätilaa sekä lasketaan palkkien murtokuormitus.

Avainsanat: palkki, epälineaarisuus, analyyttisyys.

SISÄÄN moderni rakentaminen, laivanrakennuksessa, konepajateollisuudessa, kemianteollisuudessa ja muilla tekniikan aloilla, yleisimmät rakennetyypit ovat tangot, erityisesti palkit. Luonnollisesti tankojärjestelmien (erityisesti palkkien) todellisen käyttäytymisen ja niiden lujuusresurssien määrittämiseksi on otettava huomioon plastiset muodonmuutokset.

Rakennejärjestelmien laskenta ottaen huomioon plastiset muodonmuutokset ihanteellisen jäykkä-muovikappaleen mallilla on toisaalta yksinkertaisin ja toisaalta suunnittelukäytännön vaatimusten kannalta varsin hyväksyttävä. Jos pidämme mielessä rakennejärjestelmien pienten siirtymien alueen, tämä johtuu siitä, että ihanteellisten jäykän muovin ja elastisen muovin kantokyky ("lopullinen kuorma") osoittautuu samaksi.

Lisävarat ja rakenteiden kantokyvyn tarkempi arviointi paljastuvat, kun geometrinen epälineaarisuus otetaan huomioon niiden muotoutuessa. Tällä hetkellä geometrisen epälineaarisuuden huomioon ottaminen rakennejärjestelmien laskelmissa on prioriteetti ei pelkästään laskentateorian kehittämisen, vaan myös rakenteiden suunnittelun käytännön kannalta. Ratkaisujen hyväksyttävyys rakenneanalyysin ongelmiin pienuuden olosuhteissa

siirtymät ovat melko epävarmoja, toisaalta käytännön tiedot ja deformoituvien järjestelmien ominaisuudet antavat olettaa, että suuret siirtymät ovat realistisesti saavutettavissa. Riittää, kun viitataan rakennus-, kemian-, laivanrakennus- ja koneenrakennustilojen rakenteisiin. Lisäksi jäykkä-plastisen kappaleen malli tarkoittaa, että elastiset muodonmuutokset jätetään huomioimatta, ts. plastiset muodonmuutokset ovat paljon suurempia kuin elastiset. Koska siirtymät vastaavat muodonmuutoksia, on tarkoituksenmukaista ottaa huomioon jäykän muovin järjestelmien suuret siirtymät.

Rakenteiden geometrisesti epälineaariset muodonmuutokset johtavat kuitenkin useimmissa tapauksissa väistämättä plastisten muodonmuutosten esiintymiseen. Siksi plastisten muodonmuutosten ja geometrisen epälineaarisuuden samanaikainen huomioon ottaminen rakennejärjestelmien ja tietysti sauvaisten laskelmissa on erityisen tärkeää.

Tämä artikkeli käsittelee pieniä poikkeamia. Samanlaisia ​​ongelmia ratkaistiin töissä.

Tarkastellaan palkkia, jossa on puristetut tuet, porrastetun kuorman, reunamomenttien ja ennalta kohdistetun pituussuuntaisen voiman vaikutuksesta (kuva 1).

Riisi. 1. Palkki hajautetun kuorman alaisena

Suurten poikkeamien säteen tasapainoyhtälöllä dimensiottomassa muodossa on muoto

d2 t / , h d2 w dn

-- + (n ± w)-- + p \u003d ^ - \u003d 0, dx ax ax

x 2w p12 M N,g,

missä x==, w=-, p=--, t=--, n=-, n ja m ovat sisäisiä normaaleja

I - 5xЪk b!!bk 25!!k

voima ja taivutusmomentti, p - poikittainen tasaisesti jakautunut kuorma, W - taipuma, x - pituuskoordinaatti (alkuperä vasemmasta tuesta), 2k - poikkileikkauksen korkeus, b - poikkileikkauksen leveys, 21 - palkin jänneväli, 5^ - myötöraja materiaali. Jos N on annettu, niin voima N on seuraus toiminnasta p at

käytettävissä olevat taipumat, 11 = = , kirjainten yläpuolella oleva viiva tarkoittaa arvojen mittaa.

Harkitse muodonmuutoksen ensimmäistä vaihetta - "pieniä" taipumia. Muovileikkaus syntyy kohdassa x = x2, siinä m = 1 - n2.

Taipumasuhteiden lausekkeet ovat muotoa - taipuma x = x2):

(2-x), (x > X2),

Tehtävän ratkaisu on jaettu kahteen tapaukseen: x2< 11 и х2 > 11.

Harkitse tapausta x2< 11.

Alueelle 0< х2 < 11 из (1) получаем:

Px 111 1 P11 k1p/1 m = + k1 p + p/1 -k1 p/1 -±4- + -^41

x - (1 - p2) ± a,

(, 1, p/2 k1 p12L

Px2 + k1 p + p11 - k1 p11 - + 1^

X2 = k1 +11 - k111 - + ^

Kun otetaan huomioon muovisen saranan esiintyminen kohdassa x = x2, saadaan:

tx \u003d x \u003d 1 - n2 \u003d - p

(12 k12 L k +/ - k1 - ^ + k "A

k, +/, - k, /, -L +

(/ 2 k/ 2 A k1 + /1 - k1/1 - ^ + M

Kun otetaan huomioon tapaus x2 > /1, saamme:

vyöhykkeelle 0< х < /1 выражение для изгибающих моментов имеет вид

k p-p2 + auto/1+p/1 -k1 p/1 ^ x-(1-P12)±

ja vyöhykkeelle 11< х < 2 -

^ p-rC + 1^ L

x - (1 - p-) ± a +

(. rg-k1 p1-L

Kx px2 + kx p+

0 ja sitten

I2 12 1 h h x2 = 1 -- + -.

Tasa-arvo seuraa plastisuusehdosta

mistä saamme kuorman lausekkeen:

k1 - 12 + M L2

K1/12 - k2 ¡1

pöytä 1

k1 = 011 = 0,66

taulukko 2

k1 = 0,11 = 1,33

0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44

0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2

Taulukko 3

k1 = 0,5 11 = 1,61

0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94

0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45

Taulukko 5 k1 = 0,8 11 = 0,94

0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73

0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61

0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59

0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33

Taulukko 3

k1 = 0,5 11 = 2,0

0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7

0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89

Taulukko 6 k1 \u003d 1 11 \u003d 1,33

0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Taulukko 7 Taulukko 8

k, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42

0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66

0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38

0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9

0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3

Asettamalla kuormituskerroin k1 arvosta 0 arvoon 1, taivutusmomentti a -1 arvosta 1, pituussuuntaisen voiman n1 arvo 0 - 1, etäisyys /1 0 - 2, saadaan muovisen saranan sijainti. kaavojen (3) ja (5) mukaan, ja sitten saadaan murtokuorman arvo kaavojen (4) tai (6) mukaan. Laskelmien numeeriset tulokset on koottu taulukoihin 1-8.

KIRJALLISUUS

Basov Yu.K., Monakhov I.A. Analyyttinen ratkaisu jäykän muovin puristetun palkin suurten taipumien ongelmaan paikallisen jakautuneen kuormituksen, tukimomenttien ja pituussuuntaisen voiman vaikutuksesta // Vestnik RUDN University. Sarja "Insinööritutkimus". - 2012. - nro 3. - S. 120-125.

Savchenko L.V., Monakhov I.A. Fysikaalisesti epälineaaristen pyöreiden levyjen suuret taipumat INGECON-tiedote. Sarja "Tekniset tieteet". - Ongelma. 8(35). - Pietari, 2009. - S. 132-134.

Galileev S.M., Salikhova E.A. Lasikuidusta, hiilikuidusta ja grafeenista valmistettujen rakenneosien luonnollisten värähtelytaajuuksien tutkimus // Bulletin of INGECON. Sarja "Tekniset tieteet". - Ongelma. 8. - Pietari, 2011. - P.102.

Erkhov M.I., Monakhov A.I. Esijännitetyn jäykän muovipalkin suuret taipumat saranoiduilla tuilla tasaisesti jakautuneen kuormituksen ja reunamomenttien alla // Venäjän arkkitehtuurin ja rakennustieteiden akatemian rakennustieteiden osaston tiedote. - 1999. - Numero. 2. - S. 151-154. .

AIEMMIN IHMISTEN IDEALISTEN MUOVIKÄSKEJEN PIENET TAITUMUKSET ALUEELLISIIN HETKEISIIN

I.A. Monakhov1, Iso-Britannia Basov2

"Rakennustuotannon laitos Rakennustiede Moskovan valtion koneenrakennusyliopisto Pavla Korchagina str., 22, Moskova, Venäjä, 129626

Rakennusrakenteiden ja laitteiden laitos Enqineering Faculty Peoples" Friendship University of Russia Ordzonikidze str., 3, Moskow, Russia, 115419

Työssä kehitetään tekniikkaa palkkien pienten taipumien ongelmien ratkaisemiseksi ihanteellisesta kovamuovimateriaalista erilaisilla kiinnityksillä epäsymmetrisesti jakautuneiden kuormien toiminnan puutteessa alustava venytys-puristus huomioon ottaen. Kehitettyä tekniikkaa sovelletaan palkkien jännitys-deformoituneen tilan tutkimukseen sekä palkkien taipuman laskemiseen geometrinen epälineaarisuus huomioon ottaen.

Avainsanat: säde, analyyttinen, epälineaarisuus.