Kulma-argumenttitunnin trigonometriset funktiot. Mikä on radiaani

Oppitunti ja esitys aiheesta: "Kulma-argumentin trigonometrinen funktio, kulman astemitta ja radiaanit"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Ohjekirjat ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 10 alkaen 1C
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiiviset rakennustehtävät
Ratkaisemme geometrian tehtäviä. Interaktiivisia tehtäviä avaruudessa rakentamiseen

Mitä opiskelemme:
1. Muistetaan geometria.
2. Kulma-argumentin määritelmä.
3. Kulman astemitta.
4. Kulman radiaanimitta.
5. Mikä on radiaani?
6. Esimerkkejä ja tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun.

Geometrian toisto

Kaverit, tehtävissämme:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Muuttuja t ei voi ottaa vain numeerisia arvoja eli olla numeerinen argumentti, vaan sitä voidaan pitää myös kulman mittana - kulma-argumenttina.

Muistetaan geometria!
Miten määrittelimme siellä sinin, kosinin, tangentin, kotangentin?

Kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan

Kulman kosini - viereisen jalan suhde hypotenuusaan

Kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen.

Kulman kotangentti on viereisen jalan suhde vastakkaiseen.

Kulma-argumentin trigonometrisen funktion määritelmä

Määritellään trigonometriset funktiot lukuympyrän kulma-argumentin funktioiksi:
Numeerisen ympyrän ja koordinaattijärjestelmän avulla voimme aina helposti löytää kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin:

Asetamme kulmamme α kärjen ympyrän keskelle, ts. koordinaattiakselin keskelle ja aseta toinen sivuista niin, että se osuu yhteen x-akselin positiivisen suunnan (OA) kanssa
Sitten toinen puoli leikkaa numeroympyrän pisteessä M.

Ordinate pisteet M: kulman α sini
Abskissa pisteet M: kulman α kosini

Huomaa, että kaaren AM pituus on sama osa yksikköympyrää kuin kulmamme α 360 astetta: missä t on kaaren AM pituus.

Kulman astemitta

1) Kaverit, saimme kaavan kulman astemitan määrittämiseksi numeerisen ympyrän kaaren pituuden kautta, katsotaanpa sitä tarkemmin:

Sitten kirjoitamme trigonometriset funktiot muodossa:

Esimerkiksi:

Kulmien radiaanimitta

Kun lasket kulman aste- tai radiaanimitta, muista! :
Esimerkiksi:

Muuten! Nimitys rad. voit pudota!

Mikä on radiaani?

Hyvät ystävät, olemme törmänneet uuteen konseptiin - Radian. Eli mikä se on?

Olla olemassa erilaisia ​​toimenpiteitä pituus, aika, paino esimerkiksi: metri, kilometri, sekunti, tunti, gramma, kilogramma ja muut. Radiaani on siis yksi kulman mitoista. On syytä ottaa huomioon keskikulmat, eli ne sijaitsevat numeerisen ympyrän keskellä.
1 asteen kulma on keskikulma, joka perustuu kaareen, joka on yhtä suuri kuin 1/360 kehästä.

1 radiaanin kulma on keskikulma, joka perustuu kaareen, joka on yhtä suuri kuin yksi yksikköympyrässä, ja mielivaltaisessa ympyrässä kaarella, joka on yhtä suuri kuin ympyrän säde.

Esimerkkejä:

Esimerkkejä kulman astemitan muuntamisesta radiaaniksi ja päinvastoin

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

1. Etsi kulmien radiaanimitta:
a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°

2. Etsi:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)

3. Etsi kulmien astemitta:

Riippumatta siitä, mikä reaaliluku t otetaan, sille voidaan antaa yksilöllisesti määritelty luku sin t. Totta, vastaavuussääntö on melko monimutkainen; kuten edellä näimme, se koostuu seuraavista.

Jotta voit löytää sin t:n arvon luvun t perusteella, tarvitset:

1) sijoita numeroympyrä koordinaattitasoon siten, että ympyrän keskipiste osuu koordinaattien alkupisteeseen ja ympyrän aloituspiste A osuu pisteeseen (1; 0);

2) etsi ympyrältä piste, joka vastaa lukua t;

3) etsi tämän pisteen ordinaatit.

Tämä ordinaatti on sin t.

Itse asiassa puhumme funktiosta u = sin t, jossa t on mikä tahansa reaaliluku.

Kaikkia näitä toimintoja kutsutaan numeerisen argumentin t trigonometriset funktiot.

On olemassa useita suhteita, jotka yhdistävät eri trigonometristen funktioiden arvot, olemme jo saaneet joitain näistä suhteista:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Kahdesta viimeisestä kaavasta on helppo saada relaatio, joka yhdistää tg t:n ja ctg t:n:

Kaikkia näitä kaavoja käytetään niissä tapauksissa, joissa minkä tahansa trigonometrisen funktion arvon tunteessa on laskettava jäljellä olevien trigonometristen funktioiden arvot.

Termit "sini", "kosini", "tangentti" ja "kotangentti" olivat itse asiassa tuttuja, mutta niitä käytettiin silti hieman eri tulkinnassa: geometriassa ja fysiikassa käsiteltiin siniä, kosini, tangentti ja kotangentti. g l a(mutta ei

numerot, kuten edellisissä kappaleissa).

Geometriasta tiedetään, että terävän kulman sini (kosini) on suorakulmaisen kolmion haaran suhde sen hypotenuusaan ja kulman tangentti (kotangentti) on suorakulmaisen kolmion jalkojen suhde. Edellisissä kappaleissa kehitettiin erilainen lähestymistapa sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin käsitteisiin. Itse asiassa nämä lähestymistavat liittyvät toisiinsa.

Otetaan kulma astemitalla b o ja järjestetään se malliin "numeerinen ympyrä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa" kuvan 2 mukaisesti. 14

kulman yläosa yhteensopiva keskustan kanssa

ympyrät (koordinaattijärjestelmän origolla),

ja kulman yksi puoli on yhteensopiva

x-akselin positiivinen säde. Kohta

kulman toisen puolen leikkauspisteen kanssa

ympyrä merkitään kirjaimella M. Ordina-

Kuva 14 b o , ja tämän pisteen abskissa on kulman b o kosini.

Kulman b o sinin tai kosinin löytämiseksi ei ole ollenkaan tarpeen tehdä näitä erittäin monimutkaisia ​​rakenteita joka kerta.

Riittää, kun huomataan, että kaari AM on sama osa numeerisen ympyrän pituutta kuin kulma b o on 360° kulmasta. Jos kaaren AM pituus on merkitty kirjaimella t, niin saamme:

Täten,

Esimerkiksi,

Uskotaan, että 30 ° on kulman astemitta, ja se on saman kulman radiaanimitta: 30 ° = rad. Ollenkaan:

Erityisesti olen iloinen, mistä me puolestaan ​​tulemme.

Joten mikä on 1 radiaani? Segmenttien pituuksia on useita: senttimetrejä, metrejä, jaardeja jne. Kulmien suuruuden osoittamiseksi on myös erilaisia ​​toimenpiteitä. Otamme huomioon yksikköympyrän keskikulmat. 1°:n kulma on ympyrän osana olevaan kaareen perustuva keskikulma. 1 radiaanin kulma on keskikulma, joka perustuu kaareen, jonka pituus on 1, ts. kaarella, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde. Kaavasta saamme, että 1 rad \u003d 57,3 °.

Kun otetaan huomioon funktio u = sin t (tai mikä tahansa muu trigonometrinen funktio), voimme pitää riippumatonta muuttujaa t numeerisena argumenttina, kuten edellisissä kappaleissa, mutta voimme myös pitää tätä muuttujaa kulman mittana, eli kulmikas argumentti. Siksi trigonometrisesta funktiosta puhuttaessa on tietyssä mielessä välinpitämätöntä pitää sitä numeerisen tai kulma-argumentin funktiona.

Numeerisen argumentin trigonometriset funktiot jäsensimme. Otimme ympyrän pisteen A ja etsimme sinejä ja kosineja tuloksena olevasta kulmasta β.

Merkitsimme pisteen A:na, mutta algebrassa sitä merkitään usein t:llä ja kaikki kaavat/funktiot annetaan sen kanssa. Emme myöskään poikkea kanoneista. Nuo. t - se on tietty luku, ja siksi numeerinen toiminto(esim. sint)

On loogista, että koska meillä on ympyrä, jonka säde on yksi, niin

Kulma-argumentin trigonometriset funktiot jäsentimme sen myös onnistuneesti - kanonien mukaan kirjoitamme sellaisille funktioille: sin α °, mikä tarkoittaa α °:lla mitä tahansa kulmaa tarvitsemamme asteiden lukumäärällä.

Tämän kulman säde antaa meille ympyrän toisen pisteen (OA - piste A) ja vastaavat pisteet C ja B numeeriselle argumenttifunktiolle, jos tarvitsemme sitä: sin t = sin α°

Sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien rivit

Älä koskaan unohda sitä y-akseli on siniviiva, x-akseli on kosiniviiva! Näille akseleille on merkitty ympyrästä saadut pisteet.

A tangenttien ja kotangenttien suorat ovat samansuuntaiset niiden kanssa ja kulkevat pisteiden (1; 0) ja (0; 1) kautta. vastaavasti.

Videotunti "Kulma-argumentin trigonometriset funktiot" on visuaalinen materiaali matematiikan oppitunnin suorittamiseen asiaankuuluvasta aiheesta. Video on koottu siten, että tutkittu materiaali esitetään mahdollisimman helposti opiskelijoiden ymmärtää, on helppo muistaa, paljastaa hyvin yhteyden kolmioiden tutkimista käsittelevästä osiosta trigonometrisista funktioista saatavilla olevan tiedon ja niiden määritelmän välillä. käyttämällä yksikköympyrää. Siitä voi tulla itsenäinen osa oppituntia, koska se kattaa kokonaan Tämä aihe, täydennettynä tärkeillä kommenteilla pisteytyksen aikana.

Osoittaaksesi yhteyden selkeästi erilaisia ​​määritelmiä trigonometrisiä toimintoja, animaatiotehosteita käytetään. Tekstin värillinen korostaminen, selkeät ymmärrettävät rakenteet, täydentäminen kommenteilla auttaa hallitsemaan, muistamaan materiaalin nopeasti ja saavuttamaan oppitunnin tavoitteet nopeammin. Trigonometristen funktioiden määritelmien välinen yhteys on havainnollistettu selkeästi animaatiotehosteilla ja värikorostuksilla, mikä edistää materiaalin ymmärtämistä ja muistamista. Oppaan tarkoituksena on parantaa koulutuksen tehokkuutta.

Oppitunti alkaa aiheen esittelyllä. Sitten muistutetaan suorakulmaisen kolmion terävän kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmät. Laatikossa korostettu määritelmä muistuttaa, että sini ja kosini muodostuvat jalan suhteeksi hypotenuusaan, tangentin ja kotangentin muodostavat jalkojen suhde. Opiskelijoita muistutetaan myös äskettäin tutkitusta aineistosta, että yksikköympyrään kuuluvaa pistettä tarkasteltaessa pisteen abskissa on kosini ja ordinaatta tätä pistettä vastaavan luvun sini. Näiden käsitteiden yhteys on havainnollistettu konstruktion avulla. Yksikköympyrä näytetään näytöllä, sijoitettuna siten, että sen keskipiste osuu origon kanssa. Säde muodostetaan koordinaattien origosta ja muodostaa kulman α abskissan positiivisen puoliakselin kanssa. Tämä säde leikkaa yksikköympyrän pisteessä O. Perpendikulaarit laskeutuvat pisteestä abskissalle ja y-akselille osoittaen, että tämän pisteen koordinaatit määräävät kulman α kosinin ja sinin. On huomattava, että kaaren AO pituus yksikköympyrän leikkauspisteestä abskissa-akselin positiivisen suunnan kanssa pisteeseen O on sama osa koko kaaresta kuin kulma α 360°:sta. Tämän avulla voit tehdä suhteeksi α/360=t/2π, joka näkyy siellä ja korostetaan punaisella muistiin tallentamista varten. Arvo t=πα/180° on johdettu tästä suhteesta. Kun tämä otetaan huomioon, määritetään sinin ja kosinin määritelmien välinen suhde sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Esimerkiksi sin60 °:n löytäminen on annettu. Korvaamalla kulman astemitan kaavaan saadaan sin π 60°/180°. Pienentämällä murtolukua 60:llä saadaan sin π/3, joka on yhtä suuri kuin √3/2. On huomattava, että jos 60° on kulman astemitta, niin π/3:a kutsutaan kulman radiaanimittaksi. Kulman astemitan suhteesta radiaaniin on kaksi mahdollista tietuetta: 60°=π/3 ja 60°=π/3 rad.

Yhden asteen kulman käsite määritellään keskikulmaksi, joka perustuu kaareen, jonka pituus 1/360 edustaa osaa kehästä. Seuraava määritelmä paljastaa yhden radiaanin kulman käsitteen - keskikulman, joka perustuu kaareen, jonka pituus on yksi tai yhtä suuri kuin ympyrän säde. Määritelmät on merkitty tärkeiksi ja korostettu muistamista varten.

Kulman yhden asteen mittauksen muuttamiseksi radiaaniksi ja päinvastoin käytetään kaavaa α ° \u003d πα / 180 rad. Tämä kaava on korostettu ruudulla olevassa kehyksessä. Tästä kaavasta seuraa, että 1°=π/180 rad. Tässä tapauksessa yksi radiaani vastaa kulmaa 180°/π≈57,3°. On huomattava, että kun itsenäisen muuttujan t trigonometristen funktioiden arvot löydetään, sitä voidaan pitää sekä numeerisena että kulma-argumenttina.

Lisäksi esitetään esimerkkejä hankitun tiedon käyttämisestä matemaattisten ongelmien ratkaisussa. Esimerkissä 1 on muutettava arvot asteista radiaaneiksi 135° ja 905°. Näytön oikealla puolella on kaava, joka näyttää asteen ja radiaanin välisen suhteen. Kun arvo on korvattu kaavaan, saadaan (π/180) 135. Kun tätä murto-osaa on vähennetty 45:llä, saadaan arvo 135°=3π/4. 905°:n kulman muuntamiseen radiaaneiksi käytetään samaa kaavaa. Kun arvo on korvattu siihen, se osoittautuu (π ​​/ 180) 905 \u003d 181π / 36 rad.

Toisessa esimerkissä käänteinen ongelma on ratkaistu - löydetään kulmien astemitta radiaaneina π/12, -21π/20, 2,4π. Näytön oikealla puolella palautetaan tutkittu kaava kulman asteen ja radiaanimitan väliselle suhteelle 1 rad \u003d 180 ° / π. Jokainen esimerkki ratkaistaan ​​korvaamalla radiaanimitta kaavaan. Korvaamalla π/12, saadaan (180°/π)·(π/12)=15°. Vastaavasti löydetään jäljellä olevien kulmien arvot -21π/20=-189° ja 2,4π=432°.

Videotuntia "Kulma-argumentin trigonometriset funktiot" suositellaan käytettäväksi perinteisissä matematiikan tunneissa oppimisen tehokkuuden lisäämiseksi. Materiaali auttaa visualisoimaan oppimista tämän aiheen etäopetuksen aikana. Aiheen yksityiskohtainen, ymmärrettävä selitys, sen ongelmien ratkaiseminen voi auttaa opiskelijaa hallitsemaan materiaalin itse.

TEKSTIN TULKINTA:

"Kulma-argumentin trigonometriset funktiot".

Tiedämme jo geometriasta, että suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini (kosini) on jalan suhde hypotenuusaan ja tangentti (kotangentti) on jalkojen suhde. Ja algebrassa kutsumme yksikköympyrän pisteen abskissaa kosiniksi ja tämän pisteen ordinaattaa siniksi. Varmistamme, että kaikki tämä liittyy läheisesti toisiinsa.

Sijoitetaan kulma, jonka astemitta on α° (alfa-asteet), kuten kuvassa 1 näkyy: kulman kärki on yhteensopiva yksikköympyrän keskipisteen (koordinaattijärjestelmän origon kanssa) ja sen toisen sivun kanssa. kulma on yhteensopiva x-akselin positiivisen säteen kanssa. Kulman toinen sivu leikkaa ympyrän pisteessä O. Pisteen O ordinaatti on kulman alfa sini ja tämän pisteen abskissa on alfan kosini.

Huomaa, että kaari AO on sama osa yksikköympyrän pituutta kuin kulma alfa on kolmensadan kuudenkymmenen asteen kulmasta. Merkitään AO-kaaren pituus t(te:n kautta), niin muodostetaan suhde =

(alfa viittaa kuudenkymmenen rahastoihin, kuten te kahteen pi:ään.) Tästä saadaan te: t = = (te on pi alfa jaettuna sadallakahdeksallakymmenellä).

Siten kulman alfa-asteiden sinin tai kosinin löytämiseksi voit käyttää kaavaa:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (alfa-asteiden sini on yhtä suuri kuin te:n sini ja yksityisen pi alfan sini sataan kahdeksankymmeneen),

cosα° \u003d cost \u003d cos (alfa-asteiden kosini on yhtä suuri kuin te:n kosini ja yksityisen pi-alfan kosini sataankahdeksaankymmeneen).

Esimerkiksi sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (60 asteen sini on yhtä kuin pi: n sini kolmella, sinien perusarvotaulukon mukaan se on yhtä suuri kuin juuri kolmesta kahdesta).

Uskotaan, että 60 ° on kulman astemitta ja (pi kolmella) on saman kulman radiaanimitta, eli 60 ° = iloinen(kuusikymmentä astetta on pi kertaa kolme radiaania). Lyhyyden vuoksi olemme sopineet merkinnöistä iloinen jättää pois, eli seuraava merkintä on sallittu: 60°= (näytä lyhenteet radiaanimitta = rad.)

Yhden asteen kulma on keskikulma, jota tukee kaari, joka on (kolmesataakuudeskymmenes) osa kaaresta. Yhden radiaanin kulma on keskikulma, joka lepää kaarella, jonka pituus on yksi, eli kaarella, jonka pituus on yhtä suuri kuin ympyrän säde (yksikköympyrän keskikulmien katsotaan osoittavan kulmaa pi:ssä radiaanit ympyrällä).

Muistakaamme tärkeä kaava astemitan muuntamiseksi radiaaniksi:

α° = iloinen. (alfa on yhtä kuin pi alfa jaettuna sadallakahdeksallakymmenellä radiaanilla) Erityisesti 1° = iloinen(yksi aste on pi jaettuna satakahdeksankymmenellä radiaanilla).

Tästä voimme päätellä, että yksi radiaani on yhtä suuri kuin satakahdeksankymmentä asteen suhde pi: hen ja on suunnilleen yhtä kuin viisikymmentäseitsemän pisteen kolme asteen kymmenesosaa: 1 iloinen= ≈ 57,3°.

Edellä olevasta: kun puhumme mistä tahansa trigonometrisesta funktiosta, esimerkiksi funktiosta s \u003d sint (es on yhtä suuri kuin sini te), riippumatonta muuttujaa t (te) voidaan pitää sekä numeerisena argumenttina että kulma-argumenttina.

Harkitse esimerkkejä.

ESIMERKKI 1. Muunna asteina radiaaneiksi: a) 135°; b) 905°.

Ratkaisu. Käytämme kaavaa asteiden muuntamiseen radiaaneiksi:

a) 135° = 1° ∙ 135 = iloinen ∙ 135 = iloinen

(satakolmekymmentäviisi astetta on yhtä kuin pi kertaa satakahdeksankymmentä radiaania kertaa satakolmekymmentäviisi, ja pelkistyksen jälkeen on kolme pi kertaa neljä radiaania)

b) Samalla tavalla saadaan kaavaa astemitan muuntamiseksi radiaaniksi

905° = iloinen ∙ 905 = iloinen.

(yhdeksänsataa viisi astetta on satakahdeksankymmentäyksi pi kertaa kolmekymmentäkuusi radiaania).

ESIMERKKI 2. Ilmaise asteina: a) ; b) -; c) 2,4π

(pi kertaa kaksitoista; miinus kaksikymmentäyksi pi kertaa kaksikymmentä; kaksi pistettä neljä kymmenesosaa pii).

Ratkaisu. a) Ilmaise asteina pi kahdellatoista, käytä kaavaa kulman radiaanimitan muuntamiseksi astemittaksi 1:ssä iloinen=, saamme

iloinen = 1 iloinen∙ = ∙ = 15°

Vastaavasti b) - = 1 iloinen∙ (-) \u003d ∙ (-) \u003d - 189 ° (miinus kaksikymmentäyksi pi kahdellakymmenellä on miinus satakahdeksankymmentäyhdeksän astetta),

c) 2,4π = 1 iloinen∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (pi:n kaksi pistettä neljä vastaa neljäsataakolmekymmentäkaksi astetta).