Tangon poikittainen taivutus. Puhdas mutka Suora poikittaistaivutusliuos
Ulokepalkille, joka on kuormitettu hajautetulla kuormalla, jonka intensiteetti on kN / m ja keskitetty momentti kN m (kuva 3.12), vaaditaan: luodaksesi leikkausvoimien ja taivutusmomenttien kaaviot, valitse poikkileikkaukseltaan pyöreä palkki sallitulla arvolla. normaalijännitys kN / cm2 ja tarkasta palkin lujuus leikkausjännitysten mukaan sallitulla leikkausjännityksellä kN/cm2. Palkin mitat m; m; m.
Suunnittelukaavio suoran poikittaistaivutuksen ongelmalle
Riisi. 3.12
"Suoran poikittaistaivutuksen" ongelman ratkaiseminen
Tukireaktioiden määrittäminen
Vaakasuora reaktio upotuksessa on nolla, koska ulkoiset kuormat z-akselin suunnassa eivät vaikuta palkkiin.
Valitsemme upotuksessa syntyvien jäljellä olevien reaktiivisten voimien suunnat: suunnataan pystysuuntainen reaktio esimerkiksi alas ja hetki - myötäpäivään. Niiden arvot määritetään staattisen yhtälön perusteella:
Näitä yhtälöitä laadittaessa katsomme momentin olevan positiivinen pyörittäessä vastapäivään, ja voiman projektio on positiivinen, jos sen suunta osuu yhteen y-akselin positiivisen suunnan kanssa.
Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme hetken päätteestä:
Toisesta yhtälöstä - pystysuora reaktio:
Saamamme positiiviset arvot tällä hetkellä ja pystysuora reaktio lopetuksessa osoittavat, että olemme arvaaneet niiden suunnat.
Palkin kiinnityksen ja kuormituksen luonteen mukaisesti jaamme sen pituuden kahteen osaan. Näiden osien rajoilla piirretään neljä poikkileikkausta (katso kuva 3.12), joissa lasketaan leikkausvoimien ja taivutusmomenttien arvot leikkausmenetelmällä (ROZU).
Osa 1. Hylkäämme henkisesti säteen oikea puoli. Korvataan sen toiminta jäljellä olevalla vasemmalla puolella leikkausvoimalla ja taivutusmomentilla. Niiden arvojen laskemisen helpottamiseksi suljemme hylkäämämme palkin oikean puolen paperilla ja kohdistamme arkin vasemman reunan tarkasteltavan osan kanssa.
Muista, että missä tahansa poikkileikkauksessa syntyvän leikkausvoiman on tasapainotettava kaikki ulkoiset voimat (aktiiviset ja reaktiiviset), jotka vaikuttavat tarkasteltavana olevaan (eli näkyvään) palkin osaan. Siksi leikkausvoiman on oltava yhtä suuri kuin kaikkien näkemiemme voimien algebrallinen summa.
Annamme myös leikkausvoiman etumerkkisäännön: ulkoinen voima, joka vaikuttaa palkin tarkasteltavaan osaan ja pyrkii "kiertämään" tätä osaa suhteessa leikkuun myötäpäivään, aiheuttaa positiivisen leikkausvoiman leikkausvoimaan. Sellainen ulkoinen voima sisällytetään määritelmän algebralliseen summaan plusmerkillä.
Meidän tapauksessamme näemme vain tuen reaktion, joka pyörittää palkin näkyvää osaa suhteessa ensimmäiseen osaan (suhteessa paperin reunaan) vastapäivään. Siksi
kN.
Taivutusmomentin on missä tahansa osassa tasapainotettava ulkoisten voimien luoma momentti, jonka näemme tarkasteltavana olevan osan suhteen. Siksi se on yhtä suuri kuin kaikkien tarkasteltavaan säteen osaan vaikuttavien ponnistelujen momenttien algebrallinen summa suhteessa tarkasteltavaan osaan (toisin sanoen suhteessa paperin reunaan). Tässä tapauksessa ulkopuolinen kuorma, joka taivuttaa palkin tarkasteltavaa osaa kuperalla alaspäin, aiheuttaa positiivisen taivutusmomentin poikkileikkauksessa. Ja tällaisen kuorman luoma hetki sisällytetään määritelmän algebralliseen summaan plusmerkillä.
Näemme kaksi yritystä: reaktion ja lopettamisen hetken. Voiman käsi osion 1 suhteen on kuitenkin nolla. Siksi
kN m
Otimme plusmerkin, koska reaktiivinen momentti taivuttaa palkin näkyvää osaa kuperasti alaspäin.
Osa 2. Kuten ennenkin, peitämme palkin koko oikean puolen paperilla. Nyt, toisin kuin ensimmäisessä osassa, voimalla on olkapää: m. Siksi
kN; kN m
Osa 3. Sulkemalla palkin oikea puoli, löydämme
kN;
Osa 4. Suljetaan palkin vasen puoli lehdellä. Sitten
kN m
kN m
.
Löytyneiden arvojen perusteella rakennamme kaavioita leikkausvoimista (kuva 3.12, b) ja taivutusmomenteista (kuva 3.12, c).
Kuormittamattomissa osissa leikkausvoimien kaavio kulkee yhdensuuntaisesti palkin akselin kanssa ja jakautuneella kuormalla q kaltevaa suoraa ylöspäin. Kaavion tukireaktion alla on hyppy alas tämän reaktion arvon verran, eli 40 kN.
Taivutusmomenttien kaaviossa näemme katkoksen tukireaktion alla. Murtumakulma on suunnattu tuen reaktiota kohti. Hajautetulla kuormalla q kaavio muuttuu neliöparaabelia pitkin, jonka kupera on suunnattu kuormaa kohti. Kaavion kohdassa 6 on ääriarvo, koska leikkausvoiman diagrammi tässä paikassa kulkee nolla-arvon kautta.
Määritä palkin poikkileikkauksen vaadittu halkaisija
Normaalien jännitysten lujuusehto on seuraavanlainen:
,
missä on palkin vastus momentti taivutuksessa. Poikkileikkaukseltaan pyöreälle palkin se on yhtä suuri kuin:
.
Taivutusmomentti, jolla on suurin itseisarvo, esiintyy palkin kolmannessa osassa: 
kN cm
Sitten vaadittu palkin halkaisija määritetään kaavalla
cm.
Hyväksymme mm. Sitten
kN/cm2 kN/cm2.
"Ylijännite" on
,
mikä on sallittua.
Tarkistamme palkin lujuuden suurimmille tangentiaalisille jännityksille
Pyöreän palkin poikkileikkauksessa esiintyvät suurimmat leikkausjännitykset lasketaan kaavalla
,
missä on poikkileikkausala.
Kaavion mukaan leikkausvoiman suurin algebrallinen arvo on yhtä suuri kuin 
kN. Sitten
kN/cm2 kN/cm2,
eli lujuus- ja leikkausjännitysten ehto täyttyy, lisäksi suurella marginaalilla.
Esimerkki ongelman "suora poikittaistaivutus" nro 2 ratkaisemisesta
Ongelmaesimerkin ehto suoralle poikittaistaivutukselle
Saranoidulle palkille, joka on kuormitettu jakautuneella intensiteetillä kN / m, keskitetyllä voimalla kN ja keskitetyllä momentilla kN m (kuva 3.13), on piirrettävä leikkausvoimat ja taivutusmomentit ja valittava I-palkin poikkileikkaus sallittu normaalijännitys kN/cm2 ja sallittu leikkausjännitys kN/cm2. Palkin jänneväli m.
Esimerkki suoran mutkan tehtävästä - suunnittelukaavio
 |
Riisi. 3.13
Suoran mutkaongelman esimerkin ratkaisu
Tukireaktioiden määrittäminen
Tietylle kääntyvästi tuetulle palkkille on löydettävä kolme tukireaktiota: , ja . Koska palkkiin vaikuttavat vain pystysuorat kuormat, jotka ovat kohtisuorassa sen akseliin nähden, kiinteän saranoidun tuen A vaakasuora reaktio on yhtä suuri kuin nolla: .
Pystyreaktioiden suunnat ja valitaan mielivaltaisesti. Ohjataan esimerkiksi molemmat pystysuorat reaktiot ylöspäin. Laskeaksemme niiden arvojen muodostamme kaksi staattista yhtälöä:
Muista, että tuloksena oleva lineaarinen kuorma, joka jakautuu tasaisesti pituudeltaan l olevalle osalle, on yhtä suuri kuin tämän kuorman kaavion pinta-ala ja se kohdistuu tämän kaavion painopisteeseen, eli pituuden keskellä.
;
kN.
Tarkistamme: .
Muista, että voimat, joiden suunta on sama kuin y-akselin positiivinen suunta, projisoidaan (projisoidaan) tälle akselille plusmerkillä:
se on oikein.
Rakennamme kaavioita leikkausvoimista ja taivutusmomenteista
Jaamme palkin pituuden erillisiin osiin. Näiden alueiden rajat ovat keskittyneiden voimien (aktiivisten ja / tai reaktiivisten) kohdistamispisteet sekä pisteet, jotka vastaavat jakautuneen kuorman alkua ja loppua. Ongelmassamme on kolme tällaista aluetta. Näiden osien rajoilla hahmotellaan kuusi poikkileikkaukset, jossa lasketaan leikkausvoimien ja taivutusmomenttien arvot (kuva 3.13, a).
Osa 1. Hylkäämme henkisesti säteen oikea puoli. Tässä osiossa syntyvän leikkausvoiman ja taivutusmomentin laskemisen helpottamiseksi suljemme hylkäämämme palkin osan paperilla ja kohdistamme paperin vasemman reunan itse osan kanssa.
Leikkausvoima palkin osassa on yhtä suuri kuin kaikkien näkemiemme ulkoisten voimien (aktiivisten ja reaktiivisten) algebrallinen summa. Tässä tapauksessa näemme tuen ja lineaarisen kuorman q reaktion jakautuneena äärettömän pienelle pituudelle. Tuloksena oleva lineaarinen kuorma on nolla. Siksi
kN.
Plus-merkki otetaan, koska voima pyörittää palkin näkyvää osaa ensimmäiseen osaan (paperin reunaan) nähden myötäpäivään.
Taivutusmomentti palkin osassa on yhtä suuri kuin kaikkien nähmiemme voimien momenttien algebrallinen summa suhteessa tarkasteltavaan osaan (eli suhteessa paperin reunaan). Näemme tuen ja lineaarisen kuorman q reaktion jakautuneena äärettömän pienelle pituudelle. Voiman vipuvaikutus on kuitenkin nolla. Tuloksena oleva lineaarinen kuorma on myös nolla. Siksi
Osa 2. Kuten ennenkin, peitämme palkin koko oikean puolen paperilla. Nyt näemme reaktion ja kuorman q vaikuttavan pituusosaan . Tuloksena oleva lineaarinen kuorma on yhtä suuri kuin . Se on kiinnitetty osan keskelle, jonka pituus on . Siksi
Muista, että taivutusmomentin merkkiä määritettäessä vapautamme henkisesti näkemämme palkin osan kaikista varsinaisista tukikiinnikkeistä ja kuvittelemme sen olevan puristuksissa tarkasteltavassa osassa (eli kappaleen vasemmassa reunassa). me edustamme paperia henkisesti jäykkä sinetti).
Osa 3. Suljetaan oikea osa. Saada
Osa 4. Suljemme palkin oikean puolen lehdellä. Sitten
Nyt laskelmien oikeellisuuden valvomiseksi peitetään palkin vasen puoli paperilla. Näemme keskittyneen voiman P, oikean tuen reaktion ja lineaarisen kuorman q jakautuneena äärettömän pienelle pituudelle. Tuloksena oleva lineaarinen kuorma on nolla. Siksi
kN m
Eli kaikki on oikein.
Osa 5. Sulje silti palkin vasen puoli. Tulee olemaan
kN;
kN m
Osa 6. Suljetaan palkin vasen puoli uudelleen. Saada
kN;
Löytyneiden arvojen perusteella rakennamme kaavioita leikkausvoimista (kuva 3.13, b) ja taivutusmomenteista (kuva 3.13, c).
Olemme vakuuttuneita siitä, että kuormittamattoman osan alla leikkausvoimien kaavio kulkee yhdensuuntaisesti palkin akselin kanssa ja jakautuneella kuormalla q - pitkin suoraa linjaa, jonka kaltevuus on alaspäin. Kaaviossa on kolme hyppyä: reaktion alla - ylös 37,5 kN, reaktion alla - ylös 132,5 kN ja voiman P alla - alas 50 kN.
Taivutusmomenttien kaaviossa näemme murtumia keskittyneen voiman P ja tukireaktioiden alla. Murtumiskulmat on suunnattu näitä voimia kohti. Hajautetun intensiteetin q kuorman alaisena kaavio muuttuu neliöparaabelia pitkin, jonka kupera on suunnattu kuormaa kohti. Keskitetyn momentin alla tapahtuu 60 kN m hyppy, eli itse hetken suuruuden mukaan. Kaavion osiossa 7 on ääriarvo, koska tämän osan leikkausvoiman diagrammi kulkee nolla-arvon () kautta. Määritetään etäisyys osiosta 7 vasempaan tukeen.
Suora mutka. Tasainen poikittainen mutka Palkkien sisäisten voimakertoimien piirroskaaviot Q- ja M-kaavioiden piirtäminen yhtälöiden avulla Q- ja M-kaavioiden piirtäminen ominaisleikkauksilla (pisteillä) Lujuuden laskelmat suora mutka palkit Pääjännitykset taivutuksessa. Palkkien lujuuden täydellinen tarkastus Taivutuskeskuksen ymmärtäminen Palkkien siirtymien määrittäminen taivutuksen aikana. Palkkien muodonmuutoskäsitteet ja niiden jäykkyyden ehdot Palkin taivutetun akselin differentiaaliyhtälö Suoran integroinnin menetelmä Esimerkkejä palkkien siirtymien määrittämisestä suoran integroinnin menetelmällä Integrointivakioiden fyysinen merkitys Alkuparametrien menetelmä (yleinen yhtälö palkin taivutettu akseli). Esimerkkejä säteen siirtymien määrittämisestä alkuparametrien menetelmällä Siirtymien määritys Mohrin menetelmällä. A.K:n sääntö Vereshchagin. Mohrin integraalin laskenta A.K. Vereshchagin Esimerkkejä siirtymien määrittämisestä Mohrin integraalin bibliografian avulla Suora taivutus. Tasainen poikittainen mutka. 1.1. Palkkien sisäisten voimakertoimien piirroskaaviot Suorataivutus on muodonmuutostyyppi, jossa tangon poikkileikkauksiin syntyy kaksi sisäistä voimatekijää: taivutusmomentti ja poikittaisvoima. Tietyssä tapauksessa poikittaisvoima voi olla yhtä suuri kuin nolla, jolloin taivutusta kutsutaan puhtaaksi. Tasaisella poikittaistaivutuksella kaikki voimat sijaitsevat yhdellä tangon päähitaustasoista ja ovat kohtisuorassa sen pituusakseliin nähden, momentit sijaitsevat samassa tasossa (kuva 1.1, a, b). Riisi. 1.1 Poikittaisvoima palkin mielivaltaisessa poikkileikkauksessa on numeerisesti yhtä suuri kuin kaikkien tarkasteltavana olevan poikkileikkauksen toisella puolella vaikuttavien ulkoisten voimien säteen normaaliakseliin kohdistuvien projektioiden algebrallinen summa. Leikkausvoima leikkauksessa m-n säteet (Kuva 1.2, a) katsotaan positiiviseksi, jos ulkoisten voimien resultantti osan vasemmalla puolella on suunnattu ylöspäin ja oikealle - alaspäin ja negatiivinen - päinvastaisessa tapauksessa (Kuva 1.2, b). Riisi. 1.2 Laskettaessa poikittaisvoimaa tietyllä osuudella, osuuden vasemmalla puolella olevat ulkoiset voimat otetaan plusmerkillä, jos ne suunnataan ylöspäin, ja miinusmerkillä, jos ne suuntautuvat alaspäin. Palkin oikealle puolelle - päinvastoin. 5 Taivutusmomentti palkin mielivaltaisessa poikkileikkauksessa on numeerisesti yhtä suuri kuin kaikkien tarkasteltavan poikkileikkauksen toiselle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien poikkileikkauksen keskiakselin z ympärillä olevien momenttien algebrallinen summa. Taivutusmomentti palkin m-n-osassa (kuva 1.3, a) katsotaan positiiviseksi, jos ulkoisten voimien resultanttimomentti suunnataan myötäpäivään osan vasemmalle puolelle ja vastapäivään oikealle ja negatiivinen - sisään. päinvastainen tapaus (kuva 1.3, b). Riisi. 1.3 Laskettaessa taivutusmomenttia tietyllä osuudella katsotaan osan vasemmalla puolella olevien ulkoisten voimien momentit positiivisiksi, jos ne suunnataan myötäpäivään. Palkin oikealle puolelle - päinvastoin. Taivutusmomentin merkki on kätevää määrittää palkin muodonmuutoksen luonteen perusteella. Taivutusmomentti katsotaan positiiviseksi, jos palkin leikkausosa taipuu tarkasteltavana olevassa osiossa kuperasti alaspäin, eli alemmat kuidut venyvät. Muutoin osan taivutusmomentti on negatiivinen. Taivutusmomentin M, poikittaisvoiman Q ja kuorman q voimakkuuden välillä on eroriippuvuuksia. 1. Poikittaisvoiman ensimmäinen derivaatta poikkileikkauksen abskissaa pitkin on yhtä suuri kuin jakautuneen kuorman intensiteetti, ts. . (1.1) 2. Ensimmäinen taivutusmomentin derivaatta poikkileikkauksen abskissaa pitkin on yhtä suuri kuin poikittaisvoima, eli . (1.2) 3. Toinen derivaatta poikkileikkauksen abskissan suhteen on yhtä suuri kuin jakautuneen kuorman intensiteetti, eli . (1.3) Pidämme ylöspäin suunnattua jakautunutta kuormaa positiivisena. M, Q, q välisistä differentiaalisista riippuvuuksista seuraa useita tärkeitä johtopäätöksiä: 1. Jos palkkiosuudella: a) poikittaisvoima on positiivinen, taivutusmomentti kasvaa; b) poikittaisvoima on negatiivinen, jolloin taivutusmomentti pienenee; c) poikittaisvoima on nolla, silloin taivutusmomentilla on vakioarvo (puhdas taivutus); 6 d) poikittaisvoima kulkee nollan läpi, jolloin etumerkki muuttuu plussasta miinukseen, max M M, muuten M Mmin. 2. Jos palkkiosaan ei kohdistu hajautettua kuormitusta, poikittaisvoima on vakio ja taivutusmomentti muuttuu lineaarisesti. 3. Jos palkin poikkileikkauksessa on tasaisesti jakautunut kuorma, niin poikittaisvoima muuttuu lineaarisen lain mukaan ja taivutusmomentti - neliöparaabelin lain mukaan, kupera kuormituksen suunnassa (in tapaus, jossa M piirretään venytettyjen kuitujen puolelta). 4. Keskitetyn voiman alla olevassa osassa kaaviossa Q on hyppy (voiman suuruuden mukaan), kaaviossa M on katkeaminen voiman suunnassa. 5. Kohdassa, jossa käytetään keskitettyä momenttia, kaaviossa M on hyppy, joka on yhtä suuri kuin tämän momentin arvo. Tämä ei näy Q-kaaviossa. Monimutkaisessa kuormituksessa palkit muodostavat kaavioita poikittaisvoimista Q ja taivutusmomenteista M. Piirrä Q (M) on käyrä, joka esittää poikittaisvoiman (taivutusmomentin) muutoslakia palkin pituudella. Kaavioiden M ja Q analyysin perusteella palkin vaaralliset osat määritetään. Q-kaavion positiiviset ordinaatit piirretään ylöspäin ja negatiiviset ordinaatit alaspäin säteen pituusakselin suuntaisesti piirretystä perusviivasta. Kaavion M positiiviset ordinaatit asetetaan ja negatiiviset ordinaatit piirretään ylöspäin, eli kaavio M rakennetaan venytettyjen kuitujen sivulta. Kaavioiden Q ja M rakentaminen palkkeille tulisi aloittaa tukireaktioiden määrittelystä. Säteelle, jossa on yksi kiinteä pää ja toinen vapaa pää, voidaan Q:n ja M:n piirtäminen aloittaa vapaasta päästä ilman, että määritetään upotuksen reaktioita. 1.2. Kaavioiden Q ja M rakentaminen Balkin yhtälöiden mukaan on jaettu osiin, joissa taivutusmomentin ja leikkausvoiman funktiot pysyvät vakioina (ei epäjatkuvuuksia). Osuuksien rajat ovat keskittyneiden voimien kohdistamispisteet, voimien parit ja jakautuneen kuorman intensiteetin muutospaikat. Jokaisesta leikkauksesta otetaan mielivaltainen leikkaus etäisyydeltä x origosta ja tälle osuudelle laaditaan yhtälöt Q:lle ja M. Kaaviot Q ja M muodostetaan käyttämällä näitä yhtälöitä Esimerkki 1.1 Muodosta leikkausvoimien Q ja taivutuskäyrät momentit M tietylle säteelle (kuva 1.4a). Ratkaisu: 1. Kantajien reaktioiden määrittäminen. Laadimme tasapainoyhtälöt: joista saamme Kantajien reaktiot on määritelty oikein. Palkki koostuu neljästä osasta Kuva. 1.4-lataukset: CA, AD, DB, BE. 2. Piirustus Q. Plot SA. Leikkaa CA 1 piirretään mielivaltainen leikkaus 1-1 etäisyydelle x1 palkin vasemmasta päästä. Määrittelemme Q:n kaikkien osan 1-1 vasemmalle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien algebralliseksi summaksi: Miinusmerkki otetaan, koska osan vasemmalle puolelle vaikuttava voima on suunnattu alaspäin. Q:n lauseke ei riipu muuttujasta x1. Tämän osan kuvaaja Q esitetään x-akselin suuntaisena suorana. Juoni AD. Piirrämme sivustolle mielivaltaisen osan 2-2 etäisyydelle x2 palkin vasemmasta päästä. Määrittelemme Q2:n kaikkien osan 2-2 vasemmalla puolella vaikuttavien ulkoisten voimien algebralliseksi summaksi: 8 Q:n arvo on leikkauksella vakio (ei riipu muuttujasta x2). Piirrä Q kuvaajalla on x-akselin suuntainen suora viiva. DB-sivusto. Piirrämme sivustolle mielivaltaisen osan 3-3 etäisyydelle x3 palkin oikeasta päästä. Määrittelemme Q3:n kaikkien osan 3-3 oikealla puolella vaikuttavien ulkoisten voimien algebralliseksi summaksi: Tuloksena oleva lauseke on kaltevan suoran yhtälö. Tontti B.E. Työmaalla piirrämme osan 4-4 etäisyydelle x4 palkin oikeasta päästä. Määrittelemme Q:n kaikkien osan 4-4 oikealla puolella vaikuttavien ulkoisten voimien algebralliseksi summaksi: 4 Tässä otetaan plusmerkki, koska osan 4-4 oikealla puolella oleva resultanttikuorma on suunnattu alaspäin. Saatujen arvojen perusteella rakennamme kaaviot Q (kuva 1.4, b). 3. Piirustus M. Plot m1. Määritämme taivutusmomentin osassa 1-1 osan 1-1 vasemmalla puolella vaikuttavien voimien momenttien algebrallisena summana. on suoran yhtälö. Osa A 3 Määrittele osan 2-2 taivutusmomentti osan 2-2 vasemmalla puolella vaikuttavien voimien momenttien algebrallisena summana. on suoran yhtälö. Piirros DB 4 Määrittelemme osan 3-3 taivutusmomentin osan 3-3 oikealla puolella vaikuttavien voimien momenttien algebrallisena summana. on neliöparaabelin yhtälö. 9 Etsi kolme arvoa leikkauksen päistä ja pisteestä, jonka koordinaatti on xk , jossa Leikkaus BE 1 Määritä taivutusmomentti osassa 4-4 osan 4- oikealla puolella olevien voimien momenttien algebrallisena summana. 4. - neliöparaabelin yhtälöstä löydämme kolme M4:n arvoa: Saatujen arvojen perusteella rakennamme käyrän M (kuva 1.4, c). Osissa CA ja AD kuvaajaa Q rajoittavat abskissa-akselin suuntaiset suorat viivat ja osioissa DB ja BE vinot suorat. Kaavion Q osioissa C, A ja B on hyppyjä vastaavien voimien suuruuden mukaan, mikä toimii kaavion Q rakenteen oikeellisuuden tarkistuksena. Leikkauksissa, joissa Q 0, momentit kasvavat alkaen vasemmalta oikealle. Osissa, joissa Q 0, momentit pienenevät. Keskittyneiden voimien alla on mutkia voimien toiminnan suunnassa. Keskitetyn hetken alla tapahtuu hetken arvon hyppy. Tämä osoittaa M-kuvaajan oikeellisuuden. Esimerkki 1.2 Muodosta käyrät Q ja M palkille kahdelle tuelle, jotka on kuormitettu jakautuneella kuormalla, jonka intensiteetti vaihtelee lineaarisesti (kuva 1.5, a). Ratkaisu Tukireaktioiden määrittäminen. Jaetun kuorman resultantti on yhtä suuri kuin kuormituskaaviota edustavan kolmion pinta-ala ja se kohdistetaan tämän kolmion painopisteeseen. Lasketaan kaikkien voimien momenttien summat pisteisiin A ja B: Piirrä Q. Piirretään mielivaltainen leikkaus etäisyydelle x vasemmasta tuesta. Leikkausta vastaavan kuormituskaavion ordinaatin määritetään kolmioiden samankaltaisuudesta. Leikkauksen vasemmalla puolella olevan kuorman osan resultantti Leikkausvoima on yhtä suuri kuin nolla: Kaavio Q on esitetty kuva 1,5, b. Taivutusmomentti mielivaltaisessa osassa on yhtä suuri kuin Taivutusmomentti muuttuu kuutioparaabelin lain mukaan: Taivutusmomentin maksimiarvo on leikkauksessa, jossa 0 eli at. 1,5, c. 1.3. Kaavioiden Q ja M rakentaminen ominaisosien (pisteiden) mukaan Käyttämällä M:n, Q:n, q:n välisiä differentiaalisuhteita ja niistä johtuvia johtopäätöksiä, on suositeltavaa rakentaa kaaviot Q ja M tunnusosien mukaan (ilman yhtälöiden muotoilua). Tällä menetelmällä Q:n ja M:n arvot lasketaan ominaisosissa. Tunnusosat ovat osien rajaosuudet sekä osuudet, joissa annetulla sisäisellä voimakertoimella on ääriarvo. Kaavion ääriviivat 12 määritetään ominaisosien välisissä rajoissa M:n, Q:n ja q:n välisten differentiaalisten riippuvuuksien ja niistä johtuvien johtopäätösten perusteella. Esimerkki 1.3 Muodosta kaaviot Q ja M kuvassa 2 esitetylle palkille. 1.6, a. Riisi. 1.6. Ratkaisu: Aloitamme Q- ja M-kaavioiden piirtämisen säteen vapaasta päästä, kun taas upotuksen reaktiot voidaan jättää pois. Palkissa on kolme kuormitusaluetta: AB, BC, CD. Osilla AB ja BC ei ole hajautettua kuormaa. Poikittaisvoimat ovat vakioita. Kuvaaja Q on rajattu x-akselin suuntaisilla suorilla viivoilla. Taivutusmomentit muuttuvat lineaarisesti. Kuvaaja M on rajoitettu suorille viivoille, jotka ovat vinossa x-akseliin nähden. CD-osalla on tasaisesti jakautunut kuorma. Poikittaisvoimat muuttuvat lineaarisesti ja taivutusmomentit muuttuvat neliömäisen paraabelin lain mukaan, jonka kupera on jakautuneen kuorman suunnassa. Osuuksien AB ja BC rajalla poikittaisvoima muuttuu äkillisesti. Leikkausten BC ja CD rajalla taivutusmomentti muuttuu äkillisesti. 1. Piirustus Q. Laskemme poikittaisvoimien Q arvot osien rajaosuuksille: Laskennan tulosten perusteella rakennamme palkin kaavion Q (kuva 1, b). Kaaviosta Q seuraa, että poikittaisvoima poikkileikkauksessa CD on yhtä suuri kuin nolla leikkauksessa, joka on etäisyyden qa a q päässä tämän osan alusta. Tässä osiossa taivutusmomentilla on maksimiarvo. 2. Kaavion M rakentaminen. Laskemme taivutusmomenttien arvot osien rajaosuuksille: Esimerkki 1.4 Palkin (Kuva 1.7, b) taivutusmomenttikaavion mukaisesti (kuva 1.7, b) määritetään vaikuttavat kuormat ja piirrä Q. Ympyrä osoittaa neliömäisen paraabelin kärjen. Ratkaisu: Määritä palkkiin vaikuttavat kuormat. Osio AC on kuormitettu tasaisesti jakautuneella kuormalla, koska kaavio M tässä osassa on neliöparaabeli. Vertailuosassa B palkkiin kohdistetaan keskitetty momentti, joka vaikuttaa myötäpäivään, koska kaaviossa M saamme hyppyä ylöspäin hetken suuruuden verran. NE-osassa palkkia ei kuormiteta, koska kaaviota M tässä osassa rajoittaa kalteva suora viiva. Tuen B reaktio määräytyy ehdosta, että taivutusmomentti osassa C on yhtä suuri kuin nolla, eli jakautuneen kuorman intensiteetin määrittämiseksi muodostetaan lauseke osan A taivutusmomentille osan A momenttien summana. oikealla puolella olevat voimat ja nolla. Nyt määritetään tuen A reaktio. Tätä varten laaditaan lausekkeen taivutusmomentit vasemmalla olevien voimien summana. Palkin laskentakaavio kuormalla on esitetty kuvassa. 1.7, c. Palkin vasemmasta päästä alkaen laskemme poikittaisvoimien arvot osien rajaosuuksilla: Piirros Q on esitetty kuvassa. 1.7, d. Tarkasteltu ongelma voidaan ratkaista kääntämällä funktionaaliset riippuvuudet M, Q jokaiseen jaksoon. Valitaan koordinaattien origo säteen vasemmasta päästä. Leikkauksella AC kuvaaja M ilmaistaan neliöparaabelilla, jonka yhtälö on muotoa Vakiot a, b, c, saamme ehdosta, että paraabeli kulkee kolmen pisteen läpi, joilla on tunnetut koordinaatit: Korvaamalla pisteet paraabelin yhtälöön, saamme: Taivutusmomentin lauseke on , saamme poikittaisen voiman riippuvuuden Kun funktio Q on erotettu, saadaan lauseke jakautuneen kuorman intensiteetille Leikkauksessa NE , taivutusmomentin lauseke esitetään lineaarifunktiona Vakioiden a ja b määrittämiseksi käytämme ehtoja, että tämä suora kulkee kahden pisteen läpi, joiden koordinaatit tunnetaan. Saamme kaksi yhtälöä: ,b joista meillä on 20. Taivutusmomentin yhtälö osassa NE tulee olemaan M2:n kaksinkertaisen differentioinnin jälkeen löydämme M:n ja Q:n löydettyjen arvojen perusteella rakennamme palkin taivutusmomenttien ja leikkausvoimien kaaviot. Jaetun kuorman lisäksi palkkiin kohdistetaan keskitettyjä voimia kolmessa osiossa, joissa on hyppyjä Q-kaaviossa ja keskittyneitä momentteja kohdassa, jossa on hyppy M-kaaviossa. Esimerkki 1.5 Palkin (Kuva 1.8, a) osalta määritä saranan C rationaalinen asento, jossa suurin taivutusmomentti jännevälissä on yhtä suuri kuin taivutusmomentti upotuksessa (absoluuttisessa arvossa). Rakenna kaaviot Q ja M. Ratkaisu Kantajien reaktioiden määrittäminen. Huolimatta siitä, että tukilinkkien kokonaismäärä on neljä, säde on staattisesti määrätty. Saranan C taivutusmomentti on yhtä suuri kuin nolla, jolloin voimme tehdä lisäyhtälön: kaikkien tämän saranan toiselle puolelle vaikuttavien ulkoisten voimien saranaan liittyvien momenttien summa on nolla. Laske kaikkien saranan C oikealla puolella olevien voimien momenttien summa. Palkin kaavio Q on rajoitettu kaltevalla suoralla, koska q = const. Määritämme poikittaisvoimien arvot palkin rajaosissa: Leikkauksen abskissa xK, jossa Q = 0, määritetään yhtälöstä, josta palkin kuvaaja M on rajoitettu neliöparaabelilla. Taivutusmomenttien lausekkeet osissa, joissa Q = 0, ja upotuksessa kirjoitetaan vastaavasti seuraavasti: Momenttien yhtäläisyyden ehdosta saadaan toisen asteen yhtälö suhteessa haluttuun parametriin x: Todellinen arvo x2x 1 .029 m. palkin tunnusomaisissa osissa Kuva 1.8, b esittää kaaviota Q ja kuvassa. 1.8, c - kaavio M. Tarkasteltu ongelma voitaisiin ratkaista jakamalla saranoitu palkki sen rakenneosiin, kuten kuvassa 1 on esitetty. 1.8, d. Alussa määritetään kantajien VC ja VB reaktiot. Kaaviot Q ja M on rakennettu ripustuspalkille SV siihen kohdistuvan kuorman vaikutuksesta. Sitten ne siirtyvät pääpalkkiin AC kuormiten sitä lisävoimalla VC, joka on palkin CB painevoima palkkiin AC. Tämän jälkeen AC-palkille rakennetaan kaaviot Q ja M. 1.4. Lujuuslaskelmat palkkien suoralle taivutukselle Lujuuslaskenta normaali- ja leikkausjännityksille. Palkin suorassa taivutuksessa sen poikkileikkauksiin syntyy normaali- ja leikkausjännitys (kuva 1.9). 18 Kuva. 1.9 Normaalit jännitykset liittyvät taivutusmomenttiin, leikkausjännitykset poikittaisvoimaan. Suorassa puhtaassa taivutuksessa leikkausjännitykset ovat nolla. Normaalit jännitykset palkin poikkileikkauksen mielivaltaisessa pisteessä määritetään kaavalla (1.4), jossa M on taivutusmomentti tietyssä poikkileikkauksessa; Iz on poikkileikkauksen hitausmomentti suhteessa neutraaliin akseliin z; y on etäisyys pisteestä, jossa normaalijännitys määritetään, neutraaliin z-akseliin. Normaalit jännitykset poikkileikkauksen korkeudella muuttuvat lineaarisesti ja saavuttavat suurimman arvon pisteissä, jotka ovat kauimpana neutraaliakselista, jos leikkaus on symmetrinen neutraaliakselin suhteen (kuva 1). 1.11), sitten kuva Fig. 1.11 suurimmat veto- ja puristusjännitykset ovat samat ja ne määritetään kaavalla, - taivutusresistanssin aksiaalinen momentti. Suorakaiteen muotoiselle poikkileikkaukselle, jonka leveys on b ja korkeus h: (1.7) Ympyränmuotoiselle osalle, jonka halkaisija on d: (1.8) Rengasmaiselle osalle ovat vastaavasti renkaan sisä- ja ulkohalkaisijat. Muovisista palkeista järkevimpiä ovat symmetriset 20 poikkileikkauksen muodot (I-palkki, laatikon muotoinen, rengasmainen). Hauraista materiaaleista valmistetuille palkkeille, jotka eivät kestä yhtäläisesti jännitystä ja puristusta, neutraaliakselin z suhteen epäsymmetriset osat (ta-br., U-muotoinen, epäsymmetrinen I-palkki) ovat järkeviä. Poikkileikkaukseltaan symmetrisiä muovimateriaaleista valmistettujen palkkien lujuusehto kirjoitetaan seuraavasti: (1.10) missä Mmax on suurin taivutusmomenttimoduuli; - materiaalin sallittu jännitys. Poikkileikkaukseltaan epäsymmetrisistä sitkeistä materiaaleista valmistetuille palkeille, joiden poikkileikkaus on vakio, lujuusehto kirjoitetaan seuraavassa muodossa: (1.11) lujuusolosuhteet - etäisyydet neutraalista akselista venytettyjen ja puristettujen vyöhykkeiden syrjäisimpiin pisteisiin. vaarallinen osa; P - sallitut jännitykset, vastaavasti, jännityksessä ja puristuksessa. Kuva 1.12. 21 Jos taivutusmomenttikaaviossa on erimerkkisiä poikkileikkauksia (kuva 1.13), niin kohdan 1-1 tarkistamisen lisäksi, jossa Mmax vaikuttaa, on tarpeen laskea osan 2-2 suurimmat vetojännitykset (kuva 1.13). vastakkaisen merkin suurin momentti). Riisi. 1.13 Normaalijännitysten peruslaskelman ohella on joissain tapauksissa tarpeen tarkistaa palkin lujuus leikkausjännityksille. Palkkien leikkausjännitykset lasketaan D. I. Zhuravskyn (1.13) kaavalla, jossa Q on poikittaisvoima palkin tarkastelussa poikkileikkauksessa; Szots on staattinen momentti neutraaliakselin ympärillä sen leikkauksen osan alueella, joka sijaitsee tietyn pisteen läpi vedetyn ja z-akselin suuntaisen suoran toisella puolella; b on leikkauksen leveys tarkasteltavan pisteen tasolla; Iz on koko leikkauksen hitausmomentti neutraaliakselin z ympärillä. Monissa tapauksissa suurimmat leikkausjännitykset esiintyvät palkin neutraalin kerroksen tasolla (suorakulmio, I-palkki, ympyrä). Tällaisissa tapauksissa leikkausjännityslujuusehto kirjoitetaan muodossa (1. 14) missä Qmax on poikittaisvoima, jolla on suurin moduuli; - materiaalin sallittu leikkausjännitys. Suorakaiteen muotoiselle palkkiosuudelle lujuusehto on muotoa (1.15) A on palkin poikkileikkausala. Ympyräleikkaukselle lujuusehto esitetään muodossa (1.16) I-leikkaukselle lujuusehto kirjoitetaan seuraavasti: (1.17) d on I-palkin seinämän paksuus. Yleensä palkin poikkileikkauksen mitat määritetään lujuusehdon perusteella normaaleille jännityksille. Palkkien lujuuden tarkastaminen leikkausjännityksen varalta on pakollista lyhyille ja minkä tahansa pituisille palkkeille, jos tukien läheisyydessä on suuria keskittyneitä voimia, sekä puisille, niitatuille ja hitsatuille palkkeille. Esimerkki 1.6 Tarkista laatikkoprofiilisen palkin (kuva 1.14) lujuus normaali- ja leikkausjännityksille, jos MPa. Rakenna kaavioita palkin vaaralliseen osaan. Riisi. 1.14 Päätös 23 1. Piirrä Q- ja M-kuvaajat tunnusomaisista osista. Palkin vasen puoli huomioon ottaen saadaan Poikittaisvoimien kaavio kuvassa 1. 1.14, c. Taivutusmomenttien käyrä on esitetty kuvassa. 5.14, g. 2. Poikkileikkauksen geometriset ominaisuudet 3. Leikkauksen C suurimmat normaalijännitykset, jossa Mmax vaikuttaa (modulo): MPa. Palkin suurimmat normaalijännitykset ovat käytännössä yhtä suuret kuin sallitut jännitykset. 4. Leikkauksen C (tai A) suurimmat tangentiaaliset jännitykset, jossa max Q vaikuttaa (modulo): Tässä on puolileikkauksen alueen staattinen momentti suhteessa neutraaliin akseliin; b2 cm on leikkauksen leveys neutraaliakselin tasolla. Kuva 5. Tangentiaaliset jännitykset pisteessä (seinässä) osassa C: Kuva. 1.15 Tässä Szomc 834.5 108 cm3 on pisteen K1 kautta kulkevan suoran yläpuolella sijaitsevan leikkauksen osan alueen staattinen momentti; b2 cm on seinämän paksuus pisteen K1 tasolla. Palkin osan C käyrät ja on esitetty kuvassa. 1.15. Esimerkki 1.7 Kuvan palkille. 1.16, a, vaaditaan: 1. Muodosta kaavioita poikittaisvoimista ja taivutusmomenteista ominaisleikkauksille (pisteille). 2. Määritä poikkileikkauksen mitat ympyrän, suorakulmion ja I-palkin muodossa lujuusehdosta normaalijännityksille, vertaa poikkileikkausalaa. 3. Tarkista valitut palkkiosien mitat leikkausjännityksen varalta. Annettu: Ratkaisu: 1. Selvitä palkin kannattimien reaktiot Tarkista: 2. Piirrä Q- ja M-diagrammit. Poikittaisvoimien arvot palkin tunnusomaisissa osissa 25 Kuva. 1.16 Osissa CA ja AD kuormituksen intensiteetti q = vakio. Siksi näissä osissa kaavio Q on rajoitettu suoriin, jotka ovat vinossa akseliin nähden. Osassa DB jaetun kuorman intensiteetti q \u003d 0, joten tässä osassa kaavio Q on rajoitettu x-akselin suuntaiseen suoraan viivaan. Palkin kaavio Q on esitetty kuvassa. 1.16b. Taivutusmomenttien arvot palkin ominaisosissa: Toisessa osassa määritetään poikkileikkauksen abskissa x2, jossa Q = 0: Toisen osan maksimimomentti Palkin kaavio M on esitetty kuvassa . 1.16, c. 2. Laadimme normaalijännitysten lujuusehdon, josta määritetään vaadittu aksiaalinen poikkileikkausmoduuli lausekkeesta, joka on määritetty ympyränmuotoisen palkin vaaditun halkaisijan d perusteella. GOST 8239-89:n taulukoiden mukaan löydämme aksiaalisen vastusmomentin lähimmän suuremman arvon 597 cm3, joka vastaa I-palkkia nro 33, jonka ominaisuudet ovat: A z 9840 cm4. Toleranssitarkistus: (alikuormitus 1 % sallitusta 5 %) lähin I-palkki nro 30 (L 2 cm3) johtaa merkittävään ylikuormitukseen (yli 5 %). Lopuksi hyväksymme I-palkin nro 33. Vertailemme pyöreän ja suorakaiteen muotoisten poikkileikkausten pinta-alaa I-palkin pienimpään pinta-alaan A: Kolmesta tarkasteltavasta osasta I-profiili on taloudellisin. 3. Laskemme suurimmat normaalijännitykset I-palkin vaarallisessa osassa 27 (kuva 1.17, a): Normaalijännitykset seinässä lähellä palkin I-osan laippaa. normaalit stressit palkin vaarallisessa osassa on esitetty kuvassa. 1.17b. 5. Määritämme suurimmat leikkausjännitykset valituille palkin osille. a) palkin suorakaiteen muotoinen leikkaus: b) pyöreä osa palkit: c) I-palkin leikkaus: Leikkausjännitykset seinässä lähellä I-palkin laippaa vaarallisessa osassa A (oikealla) (pisteessä 2): Kaavio leikkausjännitykset I:n vaarallisissa osissa -palkki näkyy kuvassa. 1,17, tuumaa Palkin suurimmat leikkausjännitykset eivät ylitä sallittuja jännityksiä Esimerkki 1.8 Määritä palkin sallittu kuorma (kuva 1.18, a), jos 60MPa, poikkileikkausmitat on annettu (kuva 1.19, a). Muodosta kaavio normaaleista jännityksistä palkin vaarallisessa osassa sallitulla kuormalla. Kuva 1.18 1. Palkkien kannattimien reaktioiden määritys. Järjestelmän symmetria huomioon ottaen 2. Kaavioiden Q ja M rakentaminen ominaisleikkauksista. Leikkausvoimat palkin tunnusomaisissa osissa: Palkin kaavio Q on esitetty kuvassa. 5.18b. Taivutusmomentit palkin ominaisosissa Palkin toisella puoliskolla ordinaatit M ovat symmetria-akseleita pitkin. Palkin kaavio M on esitetty kuvassa. 1.18b. 3. Leikkauksen geometriset ominaisuudet (kuva 1.19). Jaamme kuvan kahteen yksinkertaiseen elementtiin: I-palkkiin - 1 ja suorakulmioon - 2. Kuva. 1.19 I-palkin nro 20 valikoiman mukaan meillä on Suorakulmiolle: Leikkausalueen staattinen momentti suhteessa z1-akseliin Etäisyys z1-akselista leikkauksen painopisteeseen Leikkauksen hitausmomentti suhteellinen koko osan pääkeskiakselille z yhdensuuntaisille akseleille siirtymisen kaavojen mukaisesti vaarallinen piste "a" (kuva 1.19) vaarallisessa osassa I (kuva 1.18): Numeeristen tietojen korvaamisen jälkeen 5. Sallitulla kuormitus vaarallisessa osassa, normaalit jännitykset kohdissa "a" ja "b" ovat yhtä suuret: vaarallinen osa 1-1 on esitetty kuvassa. 1.19b.
10.1. Yleiset käsitteet ja määritelmät
mutka- tämä on eräänlainen kuormitus, jossa tankoa kuormitetaan momenteilla tangon pituusakselin läpi kulkevissa tasoissa.
Taivutuksessa toimivaa sauvaa kutsutaan palkkiksi (tai palkkiksi). Tulevaisuudessa tarkastellaan suoria palkkeja, joiden poikkileikkauksessa on vähintään yksi symmetria-akseli.
Materiaalien kestävyydessä taivutus on tasaista, vinoa ja monimutkaista.
tasainen mutka- taivutus, jossa kaikki palkkia taivuttavat voimat sijaitsevat yhdessä palkin symmetriatasoista (yhdessä päätasoista).
Palkin päähitaustasot ovat poikkileikkausten pääakselien ja palkin geometrisen akselin (x-akseli) kautta kulkevat tasot.
vino mutka- taivutus, jossa kuormat vaikuttavat yhdessä tasossa, joka ei ole sama kuin inertian päätasot.
Monimutkainen mutka- taivutus, jossa kuormat vaikuttavat eri (mielivaltaisissa) tasoissa.
10.2. Sisäisten taivutusvoimien määritys
Tarkastellaan kahta ominaista taivutustapausta: ensimmäisessä tapauksessa ulokepalkki taivutetaan keskittyneen momentin Mo vaikutuksesta; toisessa keskitetyllä voimalla F.
Määritämme sisäiset voimat molemmissa tapauksissa käyttämällä mentaalileikkausten menetelmää ja laatimalla tasapainoyhtälöt säteen katkaisuosille:
Loput tasapainoyhtälöt ovat ilmeisesti identtisiä nollan kanssa.
Siten palkin osan tasaisen taivutuksen yleisessä tapauksessa kuudesta sisäisestä voimasta syntyy kaksi - taivutusmomentti Mz ja leikkausvoima Qy (tai taivutettaessa toisen pääakselin ympäri - taivutusmomentti My ja poikittaisvoima Qz).
Tässä tapauksessa kahden tarkastellun kuormitustapauksen mukaisesti tasainen taivutus voidaan jakaa puhtaaseen ja poikittaiseen.
Puhdas mutka- tasainen taivutus, jossa vain yksi kuudesta sisäisestä voimasta syntyy tangon osissa - taivutusmomentti (katso ensimmäinen tapaus).
poikittainen mutka- taivutus, jossa sisäisen taivutusmomentin lisäksi tangon osiin syntyy myös poikittaisvoima (katso toinen tapaus).
Tarkkaan ottaen yksinkertaisia lajeja vastus koskee vain puhdasta taivutusta; poikittaistaivutusta kutsutaan ehdollisesti yksinkertaisiksi vastustyypeiksi, koska useimmissa tapauksissa (riittävän pitkillä palkeilla) poikittaisvoiman vaikutus voidaan jättää huomiotta lujuuslaskelmissa.
Sisäisiä voimia määritettäessä noudatamme seuraavaa merkkisääntöä:
1) poikittaisvoimaa Qy pidetään positiivisena, jos se pyrkii pyörittämään tarkasteltavaa palkkielementtiä myötäpäivään;
2) taivutusmomenttia Mz pidetään positiivisena, jos palkkielementtiä taivutettaessa elementin yläkuidut puristuvat kokoon ja alemmat kuidut venyvät (sateenvarjo-sääntö).
Siten taivutusvaiheen sisäisten voimien määrittämisen ongelman ratkaisu rakennetaan seuraavan suunnitelman mukaan: 1) ensimmäisessä vaiheessa, ottaen huomioon rakenteen tasapainoolosuhteet kokonaisuutena, määritetään tarvittaessa tuntemattomat reaktiot tuista (huomaa, että ulokepalkissa reaktiot upotuksessa voivat olla mutta eivät löydetty, jos tarkastellaan palkkia vapaasta päästä); 2) toisessa vaiheessa valitsemme palkin tunnusomaiset osat ottamalla osien rajoihin voimien kohdistamispisteet, palkin muodon tai mittojen muutospisteet, palkin kiinnityskohdat; 3) Kolmannessa vaiheessa määritetään palkkiosien sisäiset voimat ottaen huomioon kunkin osan palkkielementtien tasapainoolosuhteet.
10.3. Differentiaaliset riippuvuudet taivutuksessa
Perustetaan joitain suhteita sisäisten voimien ja ulkoisten kuormien välillä taivutuksessa sekä ominaisuudet kaaviot Q ja M, joiden tunteminen helpottaa kaavioiden rakentamista ja antaa sinun hallita niiden oikeellisuutta. Merkinnän helpottamiseksi merkitsemme: M≡Mz, Q≡Qy.
Varataan pieni elementti dx palkin osaan mielivaltaisella kuormituksella paikkaan, jossa ei ole keskittyneitä voimia ja momentteja. Koska koko palkki on tasapainossa, elementti dx on tasapainossa myös siihen kohdistuvien poikittaisvoimien, taivutusmomenttien ja ulkoisen kuormituksen vaikutuksesta. Koska Q ja M yleensä vaihtelevat
Palkin akselilla, elementin dx osissa on poikittaisvoimat Q ja Q + dQ sekä taivutusmomentit M ja M + dM. Valitun elementin tasapainotilasta saadaan
Ensimmäinen kahdesta kirjoitetusta yhtälöstä antaa ehdon
Toisesta yhtälöstä saamme huomiotta termin q dx (dx/2) toisen kertaluvun äärettömänä suurena
Kun tarkastellaan lausekkeita (10.1) ja (10.2) yhdessä, saadaan
Relaatioita (10.1), (10.2) ja (10.3) kutsutaan differentiaaliksi D. I. Zhuravskyn riippuvuudet taivutuksessa.
Yllä olevien taivutuksen differentiaaliriippuvuuksien analyysi mahdollistaa joidenkin piirteiden (sääntöjen) määrittämisen taivutusmomenttien ja leikkausvoimien kaavioiden muodostamiseksi: a - alueilla, joilla ei ole jakautunutta kuormaa q, kaaviot Q rajoittuvat suoriin, jotka ovat samansuuntaisia taivutusvoimien kanssa. pohja ja kaaviot M ovat kaltevia suoria viivoja; b - osissa, joissa palkkiin kohdistuu jakautunut kuorma q, Q-kaavioita rajoittavat vinot suorat ja M-diagrammit neliöparaabelit.
Tässä tapauksessa, jos rakennamme kaavion M "venytetylle kuidulle", niin paraabelin kupera suuntautuu q:n toiminnan suuntaan ja ääripiste sijaitsee kohdassa, jossa kaavio Q leikkaa kantaa. linja; c - osissa, joissa palkkiin kohdistetaan keskitetty voima, Q-kaaviossa tapahtuu hyppyjä tämän voiman arvon verran ja suunnassa, ja M-kaaviossa on taitoksia, kärki suunnattu tähän suuntaan pakottaa; d - osissa, joissa palkkiin kohdistetaan keskittynyt momentti, Q-kaaviossa ei tapahdu muutoksia, ja M-kaaviossa tapahtuu hyppyjä tämän momentin arvon mukaan; e - osissa, joissa Q>0, momentti M kasvaa ja osissa, joissa Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4 Normaalit jännitykset suoran palkin puhtaassa taivutuksessa
Tarkastellaanpa palkin puhtaan tasomaisen taivutuksen tapausta ja johdetaan kaava normaalijännitysten määrittämiseksi tälle tapaukselle.
Huomaa, että kimmoisuusteoriassa on mahdollista saada tarkka riippuvuus normaaleille jännityksille puhtaassa taivutuksessa, mutta jos tämä ongelma ratkaistaan materiaalien kestävyysmenetelmillä, on tarpeen ottaa käyttöön joitain oletuksia.
Taivutukselle on olemassa kolme tällaista hypoteesia:
a - hypoteesi litteistä osista (Bernoullin hypoteesi) - osat ovat litteitä ennen muodonmuutosta ja pysyvät litteinä muodonmuutoksen jälkeen, mutta pyörivät vain tietyn linjan ympäri, jota kutsutaan palkin osan neutraaliksi akseliksi. Tässä tapauksessa neutraalin akselin toisella puolella sijaitsevat säteen kuidut venytetään ja toiselta puolelta puristetaan; neutraalilla akselilla olevat kuidut eivät muuta pituuttaan;
b - normaalijännitysten pysyvyyden hypoteesi - samalla etäisyydellä y neutraalista akselista vaikuttavat jännitykset ovat vakioita palkin leveydellä;
c – hypoteesi sivupaineiden puuttumisesta – vierekkäiset pituussuuntaiset kuidut eivät paina toisiaan.
Ongelman staattinen puoli
Palkin poikkileikkausten jännitysten määrittämiseksi tarkastelemme ensinnäkin ongelman staattisia puolia. Soveltamalla mentaalileikkauksen menetelmää ja laatimalla tasapainoyhtälöt säteen katkaisuosaan, löydämme sisäiset voimat taivutuksen aikana. Kuten aiemmin on esitetty, ainoa sisäinen voima, joka vaikuttaa tangon osaan puhtaassa taivutuksessa, on sisäinen taivutusmomentti, mikä tarkoittaa, että siihen liittyy normaaleja jännityksiä.
Sisävoimien ja normaalijännitysten välinen suhde palkin poikkileikkauksessa selviää ottamalla huomioon perusalueen dA jännitykset, jotka on valittu palkin poikkileikkaukseen A pisteessä, jonka koordinaatit ovat y ja z (y-akseli on suunnattu helpommin alaspäin analyysi):
Kuten näemme, ongelma on sisäisesti staattisesti määrittelemätön, koska normaalijännitysten jakautumisen luonnetta poikkileikkaukselle ei tunneta. Ongelman ratkaisemiseksi harkitse muodonmuutosten geometrista kuviota.
Ongelman geometrinen puoli
Tarkastellaan taivutustangosta valitun palkkielementin, jonka pituus on dx, muodonmuutosta mielivaltaisessa pisteessä, jonka koordinaatti on x. Ottaen huomioon aiemmin hyväksytty hypoteesi litteistä osista, palkin osan taivutuksen jälkeen käännytään neutraaliin akseliin (n.r.) nähden kulmalla dϕ, kun taas kuitu ab, joka on etäisyydellä y neutraaliakselista, kääntyy ympyrän kaari a1b1, ja sen pituus muuttuu jonkin verran. Tässä muistutetaan, että neutraaliakselilla olevien kuitujen pituus ei muutu, ja siksi kaari a0b0 (jonka kaarevuussäde merkitsee ρ) on yhtä pitkä kuin jana a0b0 ennen muodonmuutosta a0b0=dx.
Etsitään kaarevan palkin kuidun ab suhteellinen lineaarinen muodonmuutos εx.
suora mutka- tämä on eräänlainen muodonmuutos, jossa tangon poikkileikkauksissa syntyy kaksi sisäistä voimatekijää: taivutusmomentti ja poikittaisvoima.
Puhdas mutka- tämä on suoran taivutuksen erikoistapaus, jossa tangon poikkileikkauksissa esiintyy vain taivutusmomentti ja poikittaisvoima on nolla.
Pure Bend Esimerkki - Juoni CD tangon päällä AB. Taivutusmomentti on arvo Pa ulkoisten voimien pari, jotka aiheuttavat taivutusta. Tangon poikkileikkauksen vasemmalla puolella olevan osan tasapainosta mn tästä seuraa, että tälle osalle jakautuneet sisäiset voimat ovat staattisesti ekvivalentteja momentin kanssa M, yhtä suuri ja vastakkainen taivutusmomentin kanssa Pa.
Näiden sisäisten voimien jakautumisen selvittämiseksi poikkileikkauksen yli on otettava huomioon tangon muodonmuutos.
Yksinkertaisimmassa tapauksessa tangolla on pitkittäinen symmetriataso ja se on alttiina tässä tasossa olevien ulkoisten taivutusvoimaparien vaikutukselle. Silloin taivutus tapahtuu samassa tasossa.
tangon akseli nn 1 on viiva, joka kulkee sen poikkileikkausten painopisteiden kautta.
Olkoon tangon poikkileikkaus suorakulmio. Piirrä kaksi pystysuoraa viivaa sen pinnoille mm Ja s. Taivutettuna nämä linjat pysyvät suorina ja pyörivät siten, että ne pysyvät kohtisuorassa tangon pituussuuntaisiin kuituihin nähden.
Toinen taivutusteoria perustuu oletukseen, että ei vain viivoja mm Ja s, mutta tangon koko litteä poikkileikkaus pysyy tasaisena taivutuksen jälkeen ja kohtisuorassa tangon pitkittäisten kuitujen suhteen. Siksi taivutettaessa poikkileikkaukset mm Ja s pyörivät suhteessa toisiinsa taivutustasoon (piirustustasoon) nähden kohtisuorassa olevien akseleiden ympäri. Tässä tapauksessa kuperan puolen pitkittäiset kuidut kokevat jännitystä ja koveralla puolella olevat kuidut puristuvat.
neutraali pinta on pinta, joka ei aiheuta muodonmuutoksia taivutuksen aikana. (Nyt se sijaitsee kohtisuorassa piirustukseen nähden, sauvan epämuodostunut akseli nn 1 kuuluu tähän pintaan).
Neutraali poikkileikkausakseli- tämä on neutraalin pinnan leikkauspiste minkä tahansa poikkileikkauksen omaavan kanssa (sijaitsee nyt myös kohtisuorassa piirustukseen nähden).
Olkoon mielivaltainen kuitu etäisyyden päässä y neutraalilta pinnalta. ρ on kaarevan akselin kaarevuussäde. Piste O on kaarevuuden keskipiste. Piirretään viiva n 1 s 1 rinnakkain mm.ss 1 on kuidun absoluuttinen venymä.
Suhteellinen laajennus ε x kuidut
Seuraa, että pitkittäisten kuitujen muodonmuutos verrannollinen etäisyyteen y neutraalista pinnasta ja kääntäen verrannollinen kaarevuussäteeseen ρ .
Tangon kuperan puolen kuitujen pitkittäinen venyminen liittyy lateraalinen supistuminen, ja koveran sivun pitkittäinen lyhennys - sivuttainen laajennus, kuten yksinkertaisen venytyksen ja supistuksen tapauksessa. Tämän vuoksi kaikkien poikkileikkausten ulkonäkö muuttuu, suorakulmion pystysuorat sivut muuttuvat vinoiksi. Sivusuuntainen muodonmuutos z:
μ - Poissonin luku.
Tämän vääristymän seurauksena kaikki suorat poikkileikkausviivat ovat yhdensuuntaisia akselin kanssa z, ovat taivutettuja niin, että ne pysyvät normaalina osan sivuilla. Tämän käyrän kaarevuussäde R tulee olemaan enemmän kuin ρ samalla tavalla kuin ε x on itseisarvoltaan suurempi kuin ε z ja saamme
Nämä pituussuuntaisten kuitujen muodonmuutokset vastaavat jännityksiä
Minkä tahansa kuidun jännite on verrannollinen sen etäisyyteen neutraaliakselista. n 1 n 2. Neutraaliakselin sijainti ja kaarevuussäde ρ ovat kaksi tuntematonta yhtälössä for σ x - voidaan määrittää ehdolla, että mille tahansa poikkileikkaukselle jakautuneet voimat muodostavat voimaparin, joka tasapainottaa ulkoista momenttia M.
Kaikki yllä oleva pätee myös, jos tangolla ei ole pitkittäistä symmetriatasoa, jossa taivutusmomentti vaikuttaa, kunhan taivutusmomentti vaikuttaa aksiaalisessa tasossa, joka sisältää toisen kahdesta pääakselit poikkileikkaus. Näitä lentokoneita kutsutaan päätaivutustasot.
Kun on olemassa symmetriataso ja taivutusmomentti vaikuttaa tässä tasossa, poikkeama tapahtuu siinä. Sisäisten voimien momentit akselin ympäri z tasapainottaa ulkoista momenttia M. Työn hetket suhteessa akseliin y tuhoutuvat keskenään.
mutka Sitä kutsutaan muodonmuutokseksi, jossa tangon akseli ja kaikki sen kuidut eli tangon akselin suuntaiset pituuslinjat taivutetaan ulkoisten voimien vaikutuksesta. Yksinkertaisin taivutustapaus saadaan, kun ulkoiset voimat ovat tasossa, joka kulkee tangon keskiakselin läpi eivätkä työnty tälle akselille. Tällaista taivutustapausta kutsutaan poikittaistaivutukseksi. Erottele tasainen mutka ja vino.
tasainen mutka- sellainen tapaus, jossa tangon taivutettu akseli sijaitsee samassa tasossa, jossa ulkoiset voimat vaikuttavat.
Vino (monimutkainen) mutka- sellainen taivutustapaus, jossa tangon taivutettu akseli ei ole ulkoisten voimien toimintatasossa.
Taivutustankoa kutsutaan yleisesti nimellä palkki.
Palkkien tasaisella poikittaisella taivutuksella osassa, jossa on koordinaattijärjestelmä y0x, voi esiintyä kaksi sisäistä voimaa - poikittaisvoima Q y ja taivutusmomentti M x; seuraavassa esittelemme merkinnän K Ja M. Jos palkin poikkileikkauksessa tai poikkileikkauksessa ei ole poikittaisvoimaa (Q = 0) ja taivutusmomentti ei ole nolla tai M on vakio, tällaista taivutusta kutsutaan yleisesti ns. puhdas.
Leikkausvoima missä tahansa palkin osassa on numeerisesti yhtä suuri kuin kaikkien leikkauksen toisella puolella (millä tahansa) olevien voimien (mukaan lukien tukireaktiot) akselille suuntautuvien projektioiden algebrallinen summa.
Taivutusmomentti palkkiosuudessa on numeerisesti yhtä suuri kuin kaikkien voimien (mukaan lukien tukireaktiot) momenttien algebrallinen summa, jotka sijaitsevat leikkauksen toisella puolella (millä tahansa) suhteessa tämän osan painopisteeseen, tarkemmin sanottuna suhteessa akseliin kulkee kohtisuorassa piirustuksen tasoon nähden piirretyn leikkauksen painopisteen kautta.
Q-voima On tuloksena jakautuu sisäpuolen poikkileikkaukselle leikkausjännitykset, A hetki M– hetkien summa osan X sisäinen keskiakselin ympäri normaalit stressit.
Sisäisten voimien välillä on erilainen suhde
jota käytetään kaavioiden Q ja M rakentamisessa ja todentamisessa.
Koska osa palkin kuiduista venytetään ja osa puristuu ja siirtyminen jännityksestä puristumiseen tapahtuu sujuvasti, ilman hyppyjä, palkin keskiosassa on kerros, jonka kuidut vain taipuvat, mutta eivät koe kumpaakaan. jännitystä tai puristusta. Tällaista kerrosta kutsutaan neutraali kerros. Viivaa, jota pitkin neutraali kerros leikkaa säteen poikkileikkauksen, kutsutaan neutraali viiva th tai neutraali akseli osiot. Neutraalit linjat on kiristetty palkin akselille.
Palkin sivupinnalle akseliin nähden kohtisuoraan piirretyt viivat pysyvät litteinä taivutettaessa. Nämä kokeelliset tiedot mahdollistavat kaavojen päätelmien perustamisen tasaisten poikkileikkausten hypoteeseihin. Tämän hypoteesin mukaan palkin osat ovat litteitä ja kohtisuorassa sen akseliin nähden ennen taivutusta, pysyvät litteinä ja muuttuvat kohtisuoraksi palkin taivutettuun akseliin nähden, kun sitä taivutetaan. Palkin poikkileikkaus vääristyy taivutettaessa. Poikittaisen muodonmuutoksen vuoksi poikkileikkauksen mitat palkin puristetulla vyöhykkeellä kasvavat ja jännitysvyöhykkeellä ne puristuvat.
Oletukset kaavojen johtamiseen. Normaalit stressit
1) Tasaisten osien hypoteesi täyttyy.
2) Pitkittäiset kuidut eivät paina toisiaan ja siksi normaalien jännitysten vaikutuksesta lineaariset jännitykset tai puristukset toimivat.
3) Kuitujen muodonmuutokset eivät riipu niiden sijainnista leikkauksen leveydellä. Näin ollen normaalit jännitykset, jotka muuttuvat osan korkeudella, pysyvät samoina koko leveydellä.
4) Säteellä on vähintään yksi symmetriataso ja kaikki ulkoiset voimat ovat tällä tasolla.
5) Palkin materiaali noudattaa Hooken lakia ja jännitys- ja puristuskimmomoduuli on sama.
6) Palkin mittojen väliset suhteet ovat sellaiset, että se toimii tasaisissa taivutusolosuhteissa ilman vääntymistä tai vääntymistä.
Pelkästään palkin taivutuksella lavoilla sen osassa normaalit stressit, määritetään kaavalla:
missä y on leikkauksen mielivaltaisen pisteen koordinaatti mitattuna neutraalista - pääkeskiakselista x.
Normaalit taivutusjännitykset osan korkeudella jakautuvat lineaarinen laki. Äärimmäisillä kuiduilla normaalijännitykset saavuttavat maksimiarvonsa ja painopisteessä poikkileikkaukset ovat nolla.
Normaalien jännityskaavioiden luonne symmetrisille poikkileikkauksille suhteessa neutraaliin viivaan
Normaalien jännityskaavioiden luonne osille, joilla ei ole symmetriaa neutraaliviivan suhteen
Vaaralliset pisteet ovat kauimpana neutraalista viivasta.
Valitaanpa jokin osa
Mitä tahansa osion kohtaa kutsutaan pisteeksi TO, palkin lujuusehto normaaleille jännityksille on muotoa:
, jossa i.d. - Tämä neutraali akseli
Tämä aksiaalisen poikkileikkauksen moduuli neutraaliakselin suhteen. Sen koko on cm 3, m 3. Vastusmomentti kuvaa poikkileikkauksen muodon ja mittojen vaikutusta jännitysten suuruuteen.
Voimatilanne normaaleille jännityksille:
Normaalijännitys on yhtä suuri kuin suurimman taivutusmomentin suhde aksiaalisen poikkileikkauksen moduuliin suhteessa neutraaliin akseliin.
Jos materiaali kestää epätasaisesti venymistä ja puristusta, on käytettävä kahta lujuusehtoa: venytysvyöhykkeelle, jossa on sallittu vetojännitys; puristusvyöhykkeelle, jossa on sallittu puristusjännitys.
Poikittaistaivutuksella lavojen palkit sen osassa toimivat kuten normaali, ja tangentit Jännite.
