Które zagięcie nazywa się poprzecznym. Archiwum kategorii: Zakręt. Ruchy zginające

Podczas budowania wykresy momentów zginającychM Na budowniczowie akceptowane: rzędne wyrażające się w określonej skali pozytywny wartości momentów zginających odłożyć na bok rozciągnięty włókna, tj. - w dół, A negatywny - w górę od osi belki. Dlatego mówią, że budowniczowie budują diagramy na rozciągniętych włóknach. Mechanika Wykreślono dodatnie wartości zarówno siły ścinającej, jak i momentu zginającego w górę. Mechanicy budują schematy na podstawie sprężony włókna.

Główne naprężenia podczas zginania. Napięcia równoważne.

W ogólnym przypadku zginania bezpośredniego w przekrojach belki, normalna I styczneNapięcie. Te napięcia różnią się zarówno długością, jak i wysokością belki.

Zatem w przypadku zginania stan naprężenia płaskiego.

Rozważmy schemat, w którym belka jest obciążona siłą P

Największy normalny występują naprężenia skrajny, punkty znajdujące się najdalej od linii neutralnej oraz nie występują w nich naprężenia ścinające. Więc dla skrajny włókna niezerowe naprężenia główne są naprężeniami normalnymi w przekroju.

Na poziomie linii neutralnej w przekroju belki powstają największe naprężenia ścinające, A normalne naprężenia wynoszą zero. oznacza we włóknach neutralny warstwa naprężenia główne są określone przez wartości naprężeń ścinających.

W tym schemat obliczeń górne włókna belki będą rozciągane, a dolne włókna ściskane. Aby określić naprężenia główne, używamy dobrze znanego wyrażenia:

Pełny analiza stanu naprężenia obecny na rysunku.

Analiza stanu naprężenia przy zginaniu

Największe naprężenie główne σ 1 jest usytuowany górny ekstremalne włókna i jest równa zero na dolnych skrajnych włóknach. Naprężenie główne σ 3 To ma największa wartość bezwzględna na dolnych włóknach.

Główna trajektoria naprężenia zależy od typ obciążenia I sposób naprawić belkę.

Przy rozwiązywaniu problemów to wystarczy osobno sprawdzać normalna I oddzielne naprężenia ścinające. Jednak czasami najbardziej stresujące okazać się mediator włókna poddawane zarówno naprężeniom normalnym, jak i ścinającym. Dzieje się tak w sekcjach, w których jednocześnie zarówno moment zginający, jak i siła poprzeczna osiągają duże wartości- może to mieć miejsce przy osadzaniu belki wspornikowej, na podparciu belki ze wspornikiem, w odcinkach pod działaniem siły skupionej lub w odcinkach o gwałtownie zmieniającej się szerokości. Na przykład w sekcji I, najbardziej niebezpieczne połączenie ściany z półką- tam są naprężenia znaczące i normalne oraz ścinające.

Materiał znajduje się w stanie naprężenia płaskiego i wymaga równoważny test napięcia.

Warunki wytrzymałościowe belek z materiałów ciągliwych Przez trzeci(teorie największych naprężeń stycznych) I czwarty(teoria energii zmian formy) teorie siły.

Z reguły w belkach walcowanych naprężenia zastępcze nie przekraczają normalne naprężenia w ekstremalnych włóknach i nie jest wymagana żadna specjalna kontrola. Inna rzecz - kompozytowe belki metalowe, Który cieńsza ściana niż w przypadku profili walcowanych na tej samej wysokości. Coraz częściej stosuje się spawane belki zespolone z blach stalowych. Obliczanie wytrzymałości takich belek: a) dobór przekroju – wysokość, grubość, szerokość i grubość cięciw belki; b) badanie wytrzymałości na naprężenia normalne i ścinające; c) sprawdzenie wytrzymałości za pomocą naprężeń zastępczych.

Wyznaczanie naprężeń stycznych w przekroju dwuteowym. Rozważ sekcję Promiennie się uśmiecham. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

Aby określić naprężenie ścinające, stosuje się je formuła, gdzie Q jest siłą poprzeczną w przekroju, S x 0 jest momentem statycznym części Przekrój znajduje się po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia styczne, I x jest momentem bezwładności całego przekroju, b jest szerokością przekroju w miejscu wyznaczania naprężeń stycznych

Obliczać maksymalny naprężenie ścinające:

Obliczmy moment statyczny dla Górna półka:

Teraz obliczmy naprężenia ścinające:

Budujemy wykres naprężenia ścinającego:

Rozważ sekcję standardowego profilu w formularzu Promiennie się uśmiecham i zdefiniować naprężenia ścinające działając równolegle do siły poprzecznej:

Oblicz momenty statyczne proste figury:

Wartość tę można również obliczyć W przeciwnym razie, korzystając z faktu, że dla belki dwuteowej i przekroju niecki moment statyczny połowy przekroju podany jest jednocześnie. W tym celu należy odjąć od znanej wartości momentu statycznego wartość momentu statycznego do linii A 1 B 1:

Naprężenia ścinające na styku kołnierza ze ścianą ulegają zmianie spazmatycznie, ponieważ ostry grubość ścianki zmienia się od ul zanim B.

Wykresy naprężeń stycznych w ścianach o przekroju nieckowym, pustym prostokątnym i innych mają taką samą postać jak w przypadku przekroju dwuteowego. Wzór uwzględnia moment statyczny zacienionej części przekroju względem osi X, a mianownikiem jest szerokość przekroju (netto) w warstwie, w której wyznaczane jest naprężenie styczne.

Wyznaczmy naprężenia ścinające dla przekroju kołowego.

Ponieważ naprężenia styczne na konturze przekroju muszą być skierowane styczna do konturu, potem w punktach A I W na końcach dowolnego cięciwy równoległych do średnicy AB, naprężenia ścinające są skierowane prostopadle do promieni OA I OW. Stąd, kierunki naprężenia ścinające w punktach A, VC w pewnym momencie zbiegają się H na osi Y.

Moment statyczny części odciętej:

Oznacza to, że naprężenia ścinające zmieniają się w zależności od paraboliczny prawa i będzie maksymalna na poziomie linii neutralnej, gdy y 0 = 0

Wzór na wyznaczanie naprężeń ścinających (wzór)

Rozważmy przekrój prostokątny

Na odległość o 0 rysuj od osi środkowej sekcja 1-1 i określić naprężenia ścinające. Moment statyczny obszar odcięta część:

Warto o tym pamiętać zasadniczo obojętny, weź moment statyczny obszaru w cieniu lub odpocząć Przekrój. Oba momenty statyczne równe i przeciwne w znaku, więc oni suma, które reprezentuje moment statyczny obszaru całego przekroju względem linii neutralnej, a mianowicie osi środkowej x, będzie równa zero.

Moment bezwładności przekroju prostokątnego:

Następnie naprężenia ścinające według formuły

Zmienna y 0 jest zawarta we wzorze podczas drugi stopnie, tj. naprężenia ścinające w przekroju prostokątnym różnią się w zależności od prawo paraboli kwadratowej.

Osiągnięto naprężenie ścinające maksymalny na poziomie linii neutralnej, tj. Gdy y 0 = 0:

, Gdzie A to obszar całej sekcji.

Warunek wytrzymałościowy na naprężenia ścinające wygląda jak:

, Gdzie S x 0 jest momentem statycznym części przekroju znajdującej się po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia styczne, ja x jest momentem bezwładności całego przekroju, B- szerokość przekroju w miejscu wyznaczania naprężeń stycznych, Q- siła poprzeczna, τ - naprężenie ścinające, [τ] — dopuszczalne naprężenie ścinające.

Ten stan wytrzymałości umożliwia produkcję trzy rodzaj obliczeń (trzy rodzaje problemów w analizie wytrzymałościowej):

1. Obliczenia weryfikacyjne lub badanie wytrzymałościowe na naprężenia ścinające:

2. Wybór szerokości przekroju (dla przekroju prostokątnego):

3. Wyznaczenie dopuszczalnej siły poprzecznej (dla przekroju prostokątnego):

Do ustalenia styczne naprężenia, rozważ belkę obciążoną siłami.

Zadaniem określenia naprężeń jest zawsze statycznie niewyznaczalny i wymaga zaangażowania geometryczny I fizyczny równania. Można jednak wziąć hipotezy dotyczące natury rozkładu naprężeń jakim stanie się to zadanie zdeterminowane statycznie.

Wybierz dwa nieskończenie bliskie przekroje 1-1 i 2-2 element dz, narysuj go na dużą skalę, a następnie narysuj przekrój podłużny 3-3.

W sekcjach 1–1 i 2–2, normalne naprężenia σ 1 , σ 2, które wyznaczają znane wzory:

Gdzie M - moment zginający w przekroju dM - przyrost moment zginający na długości dz

Siła ścinająca w sekcjach 1–1 i 2–2 jest skierowany wzdłuż głównej osi środkowej Y i oczywiście reprezentuje suma składowych pionowych wewnętrznych naprężeń ścinających rozłożonych na przekroju. Zwykle jest to brane pod uwagę w wytrzymałości materiałów założenie ich równomiernego rozkładu na szerokości przekroju.

Aby określić wielkość naprężeń ścinających w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego znajdującym się w pewnej odległości o 0 od neutralnej osi X narysuj przez ten punkt płaszczyznę równoległą do warstwy neutralnej (3-3) i wyjmij odcięty element. Określimy napięcie działające na miejsce ABSD.

Rzućmy wszystkie siły na oś Z

Wypadkowa wewnętrznych sił wzdłużnych wzdłuż prawej strony będzie równa:

Gdzie A 0 to powierzchnia lica fasady, S x 0 to moment statyczny części odciętej względem osi X. Podobnie po lewej stronie:

Obydwa wypadki nakierowane nawzajem, ponieważ element jest w środku sprężony strefa belek. Ich różnicę równoważą siły styczne na dolnej powierzchni 3-3.

Udawajmy, że naprężenia ścinające τ rozłożone na szerokości przekroju poprzecznego belki b równomiernie. Założenie to jest tym bardziej prawdopodobne, im mniejsza jest szerokość w porównaniu do wysokości przekroju. Następnie wypadkowa sił stycznych dT jest równa wartości naprężenia pomnożonej przez powierzchnię ściany:

Utwórz teraz równanie równowagi Σz=0:

lub skąd

Zapamiętajmy zależności różnicowe, według którego Następnie otrzymujemy formułę:

Ta formuła nazywa się formuły. Formułę tę uzyskano w 1855 r. Tutaj S x 0 - moment statyczny części przekroju, zlokalizowane po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia styczne, I x - moment bezwładności cały przekrój b - szerokość przekroju gdzie wyznacza się naprężenie ścinające, Q - siła poprzeczna w sekcji.

jest warunkiem wytrzymałości na zginanie, Gdzie

- maksymalny moment (modulo) z wykresu momentów zginających; - moduł przekroju osiowego, geometryczny Charakterystyka; - dopuszczalne naprężenie (σadm)

- maksymalny normalny stres.

Jeżeli obliczenia opierają się na metoda stanu granicznego, wówczas w obliczeniach zamiast dopuszczalnego naprężenia wprowadza się nośność obliczeniowa materiału R.

Rodzaje obliczeń wytrzymałości na zginanie

1. Kontrola obliczenie lub weryfikacja wytrzymałości na naprężenia normalne

2. Projekt obliczenie lub wybór sekcji

3. Definicja dozwolony obciążenia (definicja udźwig i/lub operacyjne przewoźnik możliwości)

Wyprowadzając wzór na obliczenie naprężeń normalnych należy uwzględnić taki przypadek zginania, gdy siły wewnętrzne w przekrojach belki redukują się jedynie do moment zginający, A siła poprzeczna wynosi zero. Ten przypadek zginania nazywa się czyste zginanie. Rozważmy środkową część belki poddawaną czystemu zginaniu.

Po obciążeniu belka wygina się tak, że dolne włókna wydłużają się, a górne skracają.

Ponieważ niektóre włókna belki są rozciągane, a niektóre ściskane, następuje przejście od rozciągania do ściskania płynnie, bez skoków, V środek część belki jest warstwa, której włókna jedynie się wyginają, ale nie ulegają rozciąganiu ani ściskaniu. Taka warstwa nazywa się neutralny warstwa. Nazywa się linię, wzdłuż której warstwa neutralna przecina się z przekrojem belki linia neutralna Lub Oś neutralna Sekcje. Linie neutralne są nawleczone na osi belki. linia neutralna to linia, w której normalne naprężenia wynoszą zero.

Linie narysowane na bocznej powierzchni belki prostopadle do osi pozostają płaski podczas zginania. Te dane eksperymentalne umożliwiają oparcie wyprowadzeń wzorów hipoteza przekrojów płaskich (hipoteza). Zgodnie z tą hipotezą odcinki belki są płaskie i prostopadłe do jej osi przed zginaniem, pozostają płaskie, a po zgięciu stają się prostopadłe do osi zginanej belki.

Założenia do wyprowadzenia wzorów na naprężenia normalne: 1) Hipoteza o przekrojach płaskich jest spełniona. 2) Włókna podłużne nie naciskają na siebie (hipoteza bezciśnieniowa), w związku z czym każde z włókien znajduje się w stanie jednoosiowego rozciągania lub ściskania. 3) Odkształcenia włókien nie zależą od ich położenia na szerokości przekroju. W rezultacie naprężenia normalne, zmieniające się wzdłuż wysokości przekroju, pozostają takie same na całej szerokości. 4) Belka ma co najmniej jedną płaszczyznę symetrii i wszystkie siły zewnętrzne leżą w tej płaszczyźnie. 5) Materiał belki jest zgodny z prawem Hooke'a, a moduł sprężystości przy rozciąganiu i ściskaniu jest taki sam. 6) Stosunki wymiarów belki są takie, że działa ona w warunkach zginania płaskiego, bez wypaczeń i skręcania.

Rozważmy belkę o dowolnym przekroju, ale posiadającą oś symetrii. Moment zginający reprezentuje wypadkowy moment wewnętrznych sił normalnych powstające na nieskończenie małych obszarach i można je wyrazić w kategoriach całka formularz: (1), gdzie y jest ramieniem siły elementarnej względem osi x

Formuła (1) wyraża statyczny stronie problemu zginania belka prosta, ale zgodnie z nim, zgodnie ze znanym momentem zginającym nie da się określić naprężeń normalnych, dopóki nie zostanie ustalone prawo ich rozkładu.

Wybierz belki w środkowej części i rozważ odcinek długości dz, podlega zginaniu. Powiększmy to.

Przekroje ograniczające przekrój dz, równolegle do siebie przed odkształceniem i po przyłożeniu obciążenia obróć swoje neutralne linie pod kątem . Długość odcinka włókien warstwy neutralnej nie ulegnie zmianie. i będzie równe: , gdzie to jest promień krzywizny zakrzywiona oś belki. Ale każde inne włókno leży poniżej lub powyżej warstwa neutralna, zmieni swoją długość. Obliczać wydłużenie względne włókien znajdujących się w odległości y od warstwy neutralnej. Wydłużenie względne to stosunek odkształcenia bezwzględnego do długości pierwotnej, wówczas:

Zmniejszamy przez i redukujemy wyrazy podobne, a następnie otrzymujemy: (2) Ta formuła wyraża geometryczny strona czystego problemu zginania: odkształcenia włókien są wprost proporcjonalne do ich odległości od warstwy neutralnej.

Przejdźmy teraz do podkreśla, tj. rozważymy fizyczny stronę zadania. zgodnie z założenie bezciśnieniowe włókna stosuje się w osiowym rozciąganiu-ściskaniu: następnie biorąc pod uwagę wzór (2) mamy (3), te. normalne naprężenia podczas zginania wzdłuż wysokości sekcji rozkładają się według prawa liniowego. Na skrajnych włóknach naprężenia normalne osiągają maksymalną wartość, a w środku ciężkości przekroje są równe zeru. Zastąpić (3) w równanie (1) i weź ułamek ze znaku całki jako wartość stałą, wtedy mamy . Ale wyrażenie jest osiowy moment bezwładności przekroju względem osi x - ja x. Jego wymiar cm 4, m 4

Następnie ,Gdzie (4) , gdzie jest krzywizna osi zginanej belki, a jest sztywnością przekroju belki podczas zginania.

Zastąp powstałe wyrażenie krzywizna (4) w wyrażenie (3) i dostać wzór na obliczenie naprężeń normalnych w dowolnym punkcie przekroju: (5)

To. maksymalny pojawiają się stresy w punktach najbardziej oddalonych od linii neutralnej. Postawa (6) zwany moduł przekroju osiowego. Jego wymiar cm 3, m 3. Moment oporu charakteryzuje wpływ kształtu i wymiarów przekroju poprzecznego na wielkość naprężeń.

Następnie maksymalne napięcia: (7)

Stan wytrzymałości na zginanie: (8)

Podczas zginania poprzecznego nie tylko naprężenia normalne, ale także naprężenia ścinające, ponieważ dostępny siła ścinająca. Naprężenia ścinające skomplikować obraz deformacji, prowadzą do krzywizna w wyniku czego przekroje poprzeczne belki hipoteza o przekrojach płaskich zostaje naruszona. Badania wykazują jednak, że odkształcenia wprowadzane są przez naprężenia ścinające nieznacznie wpływają na naprężenia normalne obliczone ze wzoru (5) . Zatem przy określaniu naprężeń normalnych w przypadku zginanie poprzeczne teoria czystego zginania jest całkiem odpowiednia.

Linia neutralna. Pytanie o położenie linii neutralnej.

Żadnego zginania siła wzdłużna, więc możemy pisać Zastąp tutaj wzór na naprężenia normalne (3) i dostać Ponieważ moduł sprężystości materiału belki nie jest równy zeru, a oś zgięcia belki ma skończony promień krzywizny, pozostaje założyć, że całka ta jest równa moment statyczny powierzchni przekrój poprzeczny belki względem osi linii neutralnej x , i od jest równa zeru, wówczas linia neutralna przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Stan (brak chwili siły wewnętrzne stosunkowo linia pola) da lub biorąc pod uwagę (3) . Z tych samych powodów (patrz wyżej) . W całce - odśrodkowy moment bezwładności przekroju wokół osi x i y wynosi zero, więc te osie są główny i centralny i makijaż prosty narożnik. Stąd, linie zasilania i neutralny na prostym zakręcie są wzajemnie prostopadłe.

Przez ustawienie położenie linii neutralnej, łatwy w budowie normalny diagram naprężeń według wysokości przekroju. Jej liniowy charakter jest określony równanie pierwszego stopnia.

Charakter wykresu σ dla przekrojów symetrycznych względem linii neutralnej, M<0

Rozdział 1

1.1. Podstawowe zależności teorii zginania belki

Belki Zwyczajowo nazywa się pręty pracujące w zginaniu pod działaniem obciążenia poprzecznego (normalnego do osi pręta). Belki są najczęstszym elementem konstrukcji statków. Oś belki jest miejscem położenia środków ciężkości jej przekrojów w stanie nieodkształconym. Belkę nazywamy prostą, jeśli jej oś jest linią prostą. Geometryczne położenie środków ciężkości przekrojów belki w stanie zgiętym nazywa się linią sprężystą belki. Przyjmowany jest następujący kierunek osi współrzędnych: oś WÓŁ wyrównane z osią belki i osią OJ I uncja- z głównymi środkowymi osiami bezwładności przekroju (ryc. 1.1).

Teoria zginania belki opiera się na następujących założeniach.

1. Przyjmuje się hipotezę przekrojów płaskich, zgodnie z którą przekroje belki, początkowo płaskie i prostopadłe do osi belki, po jej zgięciu pozostają płaskie i normalne do linii sprężystej belki. Dzięki temu można uwzględnić odkształcenie zginające belki niezależnie od odkształcenia ścinającego, które powoduje zniekształcenie płaszczyzn przekroju poprzecznego belki i ich obrót względem linii sprężystości (rys. 1.2, A).

2. Naprężenia normalne w obszarach równoległych do osi belki są pomijane ze względu na ich małą wielkość (rys. 1.2, B).

3. Belki uważa się za wystarczająco sztywne, tj. ich ugięcia są małe w porównaniu z wysokością belek, a kąty obrotu przekrojów są małe w porównaniu do jedności (ryc. 1.2, V).

4. Naprężenia i odkształcenia są powiązane zależnością liniową, tj. Obowiązuje prawo Hooke'a (ryc. 1.2, G).

Ryż. 1.2. Założenia teorii zginania belek

Rozważymy momenty zginające i siły ścinające, które pojawiają się podczas zginania belki w jej przekroju w wyniku działania części belki mentalnie odrzuconej wzdłuż przekroju na pozostałą jej część.

Moment wszystkich sił działających w przekroju względem jednej z głównych osi nazywany jest momentem zginającym. Moment zginający jest równy sumie momentów wszystkich sił (w tym reakcji i momentów podporowych) działających na odrzuconą część belki, względem określonej osi rozpatrywanego przekroju.

Rzut na płaszczyznę przekroju wektora głównego sił działających w przekroju nazywany jest siłą ścinającą. Jest równa sumie rzutów na płaszczyznę przekroju wszystkich sił (w tym reakcji podporowych) działających na odrzuconą część belki.

Ograniczamy się do rozważenia zginania belki, które zachodzi w płaszczyźnie XOZ. Zginanie takie będzie miało miejsce w przypadku, gdy obciążenie poprzeczne będzie działać w płaszczyźnie równoległej do tej płaszczyzny XOZ, a jego wypadkowa w każdym przekroju przechodzi przez punkt zwany środkiem zagięcia przekroju. Należy pamiętać, że dla przekrojów belek o dwóch osiach symetrii środek zgięcia pokrywa się ze środkiem ciężkości, a dla przekrojów z jedną osią symetrii leży na osi symetrii, ale nie pokrywa się ze środkiem ciężkości.

Obciążenie belek wchodzących w skład kadłuba statku może być rozłożone (najczęściej równomiernie wzdłuż osi belki lub zmieniać się zgodnie z prawem liniowym) lub przyłożone w postaci skupionych sił i momentów.

Oznaczmy intensywność obciążenia rozłożonego (obciążenie na jednostkę długości osi belki) przez Q(X), zewnętrzna siła skupiona - as R, a zewnętrzny moment zginający jako M. Rozłożone obciążenie i siła skupiona są dodatnie, jeśli ich kierunki działania pokrywają się z dodatnim kierunkiem osi uncja(ryc. 1.3, A,B). Zewnętrzny moment zginający jest dodatni, jeśli jest skierowany w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara (ryc. 1.3, V).

Ryż. 1.3. Reguła znaku dla obciążeń zewnętrznych

Oznaczmy ugięcie belki prostej podczas jej zginania w płaszczyźnie XOZ Poprzez w i kąt obrotu przekroju przez θ. Przyjmujemy zasadę znaków dla gięcia elementów (ryc. 1.4):

1) ugięcie jest dodatnie, jeżeli pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi uncja(ryc. 1.4, A):

2) kąt obrotu przekroju jest dodatni, jeżeli w wyniku zginania sekcja obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (ryc. 1.4, B);

3) momenty zginające są dodatnie, jeśli belka pod ich wpływem wygina się wypukłością w górę (ryc. 1.4, V);

4) siły tnące są dodatnie, jeśli obracają wybrany element belki w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (rys. 1.4, G).

Ryż. 1.4. Reguła znaku dla elementów zgiętych

Bazując na hipotezie przekrojów płaskich można zauważyć (rys. 1.5), że wydłużenie względne włókna ε X, zlokalizowany w z od osi neutralnej będzie równa

ε X= −z/ρ ,(1.1)

Gdzie ρ jest promieniem krzywizny belki w rozpatrywanym przekroju.

Ryż. 1,5. Schemat zginania belki

Oś neutralna przekroju poprzecznego jest zbiorem punktów, dla których odkształcenie liniowe podczas zginania jest równe zeru. Między krzywizną a pochodnymi w(X) istnieje zależność

Na mocy przyjętego założenia o małości kątów obrotu dla wystarczająco sztywnych belek, wartośćmałe w porównaniu z jednością, więc możemy to założyć

Zastępowanie 1/ ρ z (1.2) do (1.1) otrzymujemy

Normalne naprężenia zginające σ X zgodnie z prawem Hooke’a będzie równa

Ponieważ z definicji belek wynika, że nie ma siły wzdłużnej skierowanej wzdłuż osi belki, główny wektor naprężeń normalnych musi zniknąć, tj.

Gdzie F jest polem przekroju poprzecznego belki.

Z (1.5) otrzymujemy, że moment statyczny pola przekroju poprzecznego belki jest równy zero. Oznacza to, że oś neutralna przekroju przechodzi przez jego środek ciężkości.

Moment sił wewnętrznych działających w przekroju poprzecznym względem osi neutralnej, Mój będzie

Jeśli weźmiemy pod uwagę moment bezwładności pola przekroju poprzecznego względem osi neutralnej OJ jest równe , i podstawiamy tę wartość do (1.6), to otrzymujemy zależność wyrażającą podstawowe równanie różniczkowe dla zginania belki

Moment sił wewnętrznych w przekroju względem osi uncja będzie

Od osi OJ I uncja według warunku są to główne osie środkowe przekroju .

Wynika z tego, że pod działaniem obciążenia w płaszczyźnie równoległej do głównej płaszczyzny zginania linia sprężysta belki będzie płaską krzywizną. Ten zakręt nazywa się płaski. Na podstawie zależności (1.4) i (1.7) otrzymujemy

Wzór (1.8) pokazuje, że normalne naprężenia zginające belek są proporcjonalne do odległości od osi neutralnej belki. Wynika to oczywiście z hipotezy o przekrojach płaskich. W obliczeniach praktycznych, w celu określenia najwyższych naprężeń normalnych, często wykorzystuje się wskaźnik przekroju belki

gdzie | z| max to wartość bezwzględna odległości najdalszego światłowodu od osi neutralnej.

Dalsze indeksy y pominięty dla uproszczenia.

Istnieje związek pomiędzy momentem zginającym, siłą ścinającą i natężeniem obciążenia poprzecznego, który wynika ze stanu równowagi elementu mentalnie izolowanego od belki.

Rozważmy element belkowy o długości dx (ryc. 1.6). Zakłada się przy tym, że odkształcenia elementu są pomijalne.

Jeśli moment działa w lewej części elementu M i siłę cięcia N, to w jego prawej części odpowiednie siły będą miały przyrosty. Rozważaj tylko przyrosty liniowe .

Ryc.1.6. Siły działające na element belkowy

Przyrównanie do zera rzutu na oś uncja wszystkich wysiłków działających na element i moment wszystkich wysiłków względem neutralnej osi prawego odcinka, otrzymujemy:

Z tych równań otrzymujemy wartości wyższego rzędu małości

Z (1.11) i (1.12) wynika, że

Zależności (1.11)–(1.13) znane są jako twierdzenie Żurawskiego–Schwedlera Z zależności tych wynika, że siłę ścinającą i moment zginający można wyznaczyć całkując obciążenie Q:

Gdzie N 0 i M 0 - siła ścinająca i moment zginający w przekroju odpowiadającymx=X 0 , które przyjmuje się za początek; ξ,ξ 1 – zmienne całkujące.

Stały N 0 i M Wartość 0 dla belek statycznie wyznaczalnych można wyznaczyć z warunków ich równowagi statycznej.

Jeżeli belka jest statycznie wyznaczalna, moment zginający w dowolnym przekroju można wyznaczyć z (1.14), a linię sprężystości wyznacza się poprzez dwukrotne całkowanie równania różniczkowego (1.7). Jednakże belki statycznie wyznaczalne są niezwykle rzadkie w konstrukcjach kadłubów statków. Większość belek wchodzących w skład konstrukcji statków tworzy układy wielokrotnie statycznie niewyznaczalne. W takich przypadkach do wyznaczenia linii sprężystości równanie (1.7) jest niewygodne i wskazane jest przejście do równania czwartego rzędu.

1.2. Równanie różniczkowe na zginanie belki

Równanie różniczkujące (1.7) dla przypadku ogólnego, gdy moment bezwładności przekroju jest funkcją X, biorąc pod uwagę (1.11) i (1.12), otrzymujemy:

gdzie kreski oznaczają zróżnicowanie ze względu na X.

Dla belek pryzmatycznych, tj. belek o stałym przekroju otrzymujemy następujące równania różniczkowe zginania:

Zwykłe niejednorodne liniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu (1.18) można przedstawić jako zbiór czterech równań różniczkowych pierwszego rzędu:

Następnie wykorzystujemy równanie (1.18) lub układ równań (1.19) do określenia ugięcia belki (jej linii sprężystości) i wszystkich nieznanych elementów zginających: w(X), θ (X), M(X), N(X).

Całkowanie (1.18) kolejno 4 razy (zakładając, że lewy koniec belki odpowiada przekrojowiX= x a ), otrzymujemy:

Łatwo zauważyć, że stałe całkowania Nie,MA,θ a , wa mają określone znaczenie fizyczne, a mianowicie:

Nie- siła skrawania na początku, tj. Na x=x a ;

MA- moment zginający na początku;

θ a – kąt obrotu w punkcie początkowym;

wa - ugięcie w tym samym przekroju.

Aby wyznaczyć te stałe, zawsze można postawić cztery warunki brzegowe – po dwa na każdy koniec belki jednoprzęsłowej. Oczywiście warunki brzegowe zależą od ułożenia końców belki. Najprostsze warunki odpowiadają podparciu przegubowemu na sztywnych podporach lub sztywnemu mocowaniu.

Kiedy koniec belki jest zawieszony na sztywnym wsporniku (ryc. 1.7, A) ugięcie belki i moment zginający są równe zeru:

Ze sztywnym zakończeniem na sztywnym wsporniku (ryc. 1.7, B) ugięcie i kąt obrotu przekroju są równe zeru:

Jeśli koniec belki (konsola) jest wolny (ryc. 1.7, V), to w tym przekroju moment zginający i siła ścinająca są równe zeru:

Możliwa jest sytuacja związana z zakończeniem ślizgowym lub symetrycznym (rys. 1.7, G). Prowadzi to do następujących warunków brzegowych:

Należy pamiętać, że warunki brzegowe (1.26) dotyczące ugięć i kątów obrotu nazywane są kinematyczny i warunki (1.27) moc.

Ryż. 1.7. Rodzaje warunków brzegowych

W konstrukcjach okrętowych często mamy do czynienia z bardziej złożonymi warunkami brzegowymi, które odpowiadają podparciu belki na podporach sprężystych lub sprężystym zakończeniu końcówek.

Elastyczne wsparcie (ryc. 1.8, A) nazywa się podporą, której spadek jest proporcjonalny do reakcji działającej na podporę. Rozważymy reakcję podpory sprężystej R dodatni, jeśli oddziałuje na podporę w kierunku dodatniego kierunku osi uncja. Następnie możesz napisać:

w =AR,(1.29)

Gdzie A- współczynnik proporcjonalności, zwany współczynnikiem podatności podpory sprężystej.

Współczynnik ten jest równy opadowi sprężystego podłoża pod wpływem reakcji R= 1, tj. A=wR = 1 .

Podporami sprężystymi w konstrukcjach statków mogą być belki wzmacniające rozważaną belkę lub filary i inne konstrukcje pracujące na ściskanie.

Aby określić współczynnik podatności podpory sprężystej A należy obciążyć odpowiednią konstrukcję siłą jednostkową i znaleźć wartość bezwzględną osiadania (ugięcia) w miejscu przyłożenia siły. Podpora sztywna jest szczególnym przypadkiem podpory elastycznej A= 0.

Uszczelka elastyczna (ryc. 1.8, B) jest taką konstrukcją nośną, która uniemożliwia swobodny obrót przekroju i w której kąt obrotu θ w tym przekroju jest proporcjonalny do momentu, tj. istnieje zależność

θ = Â M.(1.30)

Mnożnik proporcjonalności Â nazywany jest współczynnikiem podatności uszczelki elastycznej i można go zdefiniować jako kąt obrotu uszczelki elastycznej przy M= 1, tj. Â = θ M= 1 .

Szczególny przypadek elastycznego osadzania przy Â = 0 to twarde zakończenie. W konstrukcjach okrętowych osadzaniami sprężystymi są zwykle belki normalne do rozpatrywanej i leżące w tej samej płaszczyźnie. Na przykład belki itp. można uznać za elastycznie osadzone na ramach.

Ryż. 1.8. Elastyczne wsparcie ( A) i elastyczne osadzenie ( B)

Jeśli końce belki są długie L wsparty na podporach sprężystych (rys. 1.9), wówczas reakcje podpór w przekrojach końcowych są równe siłom ścinającym i można zapisać warunki brzegowe:

Przyjmuje się znak minus w pierwszym warunku (1.31), ponieważ dodatnia siła tnąca w lewym przekroju odniesienia odpowiada reakcji działającej na belkę od góry do dołu i na podporę od dołu do góry.

Jeśli końce belki są długie Lelastycznie osadzony(Rys. 1.9), to dla przekrojów odniesienia, uwzględniając zasadę znaku dla kątów obrotu i momentów zginających, możemy napisać:

Przyjmuje się znak minus w drugim warunku (1.32), ponieważ przy dodatnim momencie w prawym odcinku odniesienia belki moment działający na mocowanie sprężyste jest skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a dodatni kąt obrotu w tym odcinku jest skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara , tj. kierunki momentu i kąt obrotu nie są zgodne.

Uwzględnienie równania różniczkowego (1.18) i wszystkich warunków brzegowych pokazuje, że są one liniowe zarówno w odniesieniu do zawartych w nich ugięć i ich pochodnych, jak i obciążeń działających na belkę. Liniowość jest konsekwencją założeń o obowiązywaniu prawa Hooke'a i małej wartości ugięcia belki.

Ryż. 1.9. Belka, której oba końce są elastycznie podparte i elastycznie osadzone ( A);

siły w elastycznych podporach i elastycznych uszczelkach odpowiadają dodatnim
kierunki momentu zginającego i siły ścinającej ( B)

Gdy na belkę działa kilka obciążeń, każdy element zginający belkę (ugięcie, kąt obrotu, moment i siła ścinająca) jest sumą elementów zginających z działania każdego z obciążeń z osobna. To bardzo ważne postanowienie, zwane zasadą superpozycji, czyli zasadą sumowania działania obciążeń, jest szeroko stosowane w obliczeniach praktycznych, a zwłaszcza w celu ujawnienia statycznej niewyznaczalności belek.

1.3. Metoda parametrów początkowych

Całkę ogólną z równania różniczkowego zginania belki można wykorzystać do wyznaczenia linii sprężystości belki jednoprzęsłowej, gdy obciążenie belki jest ciągłą funkcją współrzędnych w całym rozpiętości. Jeżeli obciążenie zawiera siły skupione, momenty lub obciążenie rozłożone działa na części długości belki (rys. 1.10), wówczas wyrażenia (1.24) nie można zastosować bezpośrednio. W tym przypadku byłoby to możliwe poprzez oznaczenie linii sprężystych w sekcjach 1, 2 i 3 do w 1 , w 2 , w 3 wypisz dla każdego z nich całkę w postaci (1.24) i znajdź wszystkie dowolne stałe z warunków brzegowych na końcach belki i warunków koniugacji na granicach przekrojów. Warunki koniugacji w rozpatrywanym przypadku wyrażają się następująco:

Na x=a 1

Na x=a 2

Na x=a 3

Łatwo zauważyć, że taki sposób rozwiązania problemu prowadzi do dużej liczby dowolnych stałych, równej 4 N, Gdzie N- liczba sekcji na długości belki.

Ryż. 1.10. Belka, na niektórych odcinkach przykładane są obciążenia różnego typu

O wiele wygodniej jest przedstawić w formie linię sprężystą belki

gdzie terminy stojące za podwójną linią są brane pod uwagę kiedy X³ A 1, X³ A 2 itd.

Oczywiście δ 1 w(X)=w 2 (X)−w 1 (X); δ2 w(X)=w 3 (X)−w 2 (X); itp.

Równania różniczkowe do wyznaczania poprawek na linię sprężystości δ Iw (X) na podstawie (1.18) i (1.32) można zapisać jako

Całka ogólna dla dowolnej poprawki δ Iw (X) do linii sprężystej można zapisać w postaci (1.24) dla x a = ja . Jednocześnie parametry Nie,MA,θ a , wa zmiany (skoki) mają sens odpowiednio: w sile tnącej, momencie zginającym, kącie obrotu i strzałce ugięcia na przejściu przez przekrój x=ja . Technika ta nazywana jest metodą parametrów początkowych. Można wykazać, że dla belki pokazanej na rys. 1.10, równanie linii sprężystości będzie miało postać

Zatem metoda parametrów początkowych pozwala, nawet w przypadku nieciągłości obciążeń, zapisać równanie prostej sprężystej w postaci zawierającej tylko cztery dowolne stałe N 0 , M 0 , θ 0 , w 0, które są wyznaczane na podstawie warunków brzegowych na końcach belki.

Należy pamiętać, że dla dużej liczby spotykanych w praktyce wariantów belek jednoprzęsłowych opracowano szczegółowe tabele zginania, które ułatwiają znalezienie ugięcia, kątów obrotu i innych elementów zginających.

1.4. Wyznaczanie naprężeń stycznych podczas zginania belki

Hipoteza przekrojów płaskich przyjęta w teorii zginania belki prowadzi do tego, że odkształcenie ścinające w przekroju belki okazuje się równe zeru i nie mamy możliwości, korzystając z prawa Hooke'a, wyznaczyć naprężenia styczne. Ponieważ jednak w ogólnym przypadku w przekrojach belek działają siły ścinające, powinny powstać odpowiadające im naprężenia ścinające. Sprzeczności tej (będącej konsekwencją przyjętej hipotezy o przekrojach płaskich) można uniknąć, uwzględniając warunki równowagi. Zakładamy, że przy zginaniu belki złożonej z cienkich pasków naprężenia styczne w przekroju każdego z tych pasków rozkładają się równomiernie na grubości i są skierowane równolegle do długich boków jej obrysu. Stanowisko to praktycznie potwierdzają dokładne rozwiązania teorii sprężystości. Rozważmy belkę otwartej cienkościennej belki dwuteowej. Na ryc. Na rys. 1.11 przedstawiono dodatni kierunek naprężeń stycznych w pasach i ścianie profilu podczas zginania w płaszczyźnie ściany belki. Wybierz przekrój podłużny I-I i dwa przekroje długości elementu dx (ryc. 1.12).

Oznaczmy naprężenie styczne we wskazanym przekroju podłużnym jako τ, a siły normalne w początkowym przekroju jako T. Siły normalne w ostatnim odcinku będą miały przyrosty. W takim razie rozważaj tylko przyrosty liniowe.

Ryż. 1.12. Siły podłużne i naprężenia ścinające
w elemencie belki nośnej

Stan równowagi statycznej wybranego elementu z belki (równość zeru rzutów sił na oś WÓŁ) będzie

Gdzie ; F- obszar części profilu odcięty linią I-I; δ jest grubością profilu w miejscu przekroju.

Z (1.36) wynika:

Ponieważ naprężenia normalne σ X są określone wzorem (1.8), wówczas

W tym przypadku zakładamy, że belka ma przekrój stały na całej długości. Moment statyczny części profilu (linia odcięcia I-I) względem osi neutralnej przekroju belki OJ jest całką

Następnie z (1.37) dla wartości bezwzględnej naprężeń otrzymujemy:

Naturalnie otrzymany wzór na określenie naprężeń ścinających obowiązuje również na przykład dla dowolnego przekroju podłużnego II-II(patrz rys. 1.11) i moment statyczny S ots oblicza się dla odciętej części powierzchni profilu belki względem osi neutralnej, bez uwzględnienia znaku.

Wzór (1.38), zgodnie ze znaczeniem wyprowadzenia, określa naprężenia styczne w przekrojach podłużnych belki. Z twierdzenia o parowaniu naprężeń stycznych, znanego z przebiegu wytrzymałości materiałów, wynika, że w odpowiednich punktach przekroju belki działają te same naprężenia styczne. Naturalnie rzut głównego wektora naprężenia ścinającego na oś uncja musi być równa sile ścinającej N w tej części belki. Ponieważ w tego typu belkach wieńcowych, jak pokazano na rys. 1.11 naprężenia ścinające są skierowane wzdłuż osi OJ, tj. normalne do płaszczyzny działania obciążenia i zasadniczo zrównoważone, siła ścinająca musi być równoważona przez naprężenia ścinające w środniku belki. Rozkład naprężeń stycznych wzdłuż wysokości ściany podlega prawu zmiany momentu statycznego S odciąć część powierzchni względem osi neutralnej (przy stałej grubości ścianki δ).

Rozważmy symetryczny przekrój belki dwuteowej z obszarem pasa F 1 i obszar ściany ω = hδ (ryc. 1.13).

Ryż. 1.13. Sekcja dwuteownika

Moment statyczny odciętej części obszaru dla punktu oddzielonego przez z od osi neutralnej, will

Jak widać z zależności (1.39), moment statyczny zmienia się od z zgodnie z prawem paraboli kwadratowej. Najwyższa wartość S ots , a co za tym idzie, naprężenia ścinające τ , okaże się na osi neutralnej, gdzie z= 0:

Największe naprężenie ścinające w środniku belki w osi neutralnej

Ponieważ moment bezwładności przekroju rozważanej belki jest równy

wtedy będzie największe naprężenie ścinające

Postawa N/ω to nic innego jak średnie naprężenie ścinające w ścianie, obliczone przy założeniu równomiernego rozkładu naprężeń. Biorąc na przykład ω = 2 F 1 , ze wzoru (1.41) otrzymujemy

Zatem dla rozważanej belki największe naprężenie ścinające w ścianie w osi neutralnej wynosi zaledwie 12,5% przekracza średnią wartość tych naprężeń. Należy zauważyć, że dla większości profili belek stosowanych w kadłubie statku przekroczenie maksymalnych naprężeń stycznych ponad średnie wynosi 10–15%.

Jeśli weźmiemy pod uwagę rozkład naprężeń stycznych podczas zginania w przekroju poprzecznym belki pokazanym na ryc. 1.14 widać, że tworzą one moment względem środka ciężkości przekroju. W ogólnym przypadku zginanie takiej belki w płaszczyźnie XOZ towarzyszyć będzie skręcanie.

Zginaniu belki nie towarzyszy skręcanie, jeśli obciążenie działa w płaszczyźnie równoległej do XOZ przechodząc przez punkt zwany środkiem zakrętu. Punkt ten charakteryzuje się tym, że moment wszystkich sił stycznych w przekroju belki względem niego jest równy zero.

Ryż. 1.14. Naprężenia styczne podczas zginania belki ceowej (pkt A - zagięcie środka)

Oznacza odległość od środka zakrętu A od osi środnika belki przez mi, zapisujemy warunek równości do zera momentu sił stycznych względem punktu A:

Gdzie Q 2 - siła styczna w ścianie równa sile ścinającej, tj. Q 2 =N;

Q 1 =Q 3 - siła w pasie, określona na podstawie (1.38) z zależności

Odkształcenie ścinające (lub kąt ścinania) γ zmienia się wzdłuż wysokości środnika belki w taki sam sposób, jak naprężenia ścinające τ , osiągając największą wartość na osi neutralnej.

Jak pokazano, dla belek ze wspornikami zmiana naprężeń stycznych wzdłuż wysokości ściany jest bardzo niewielka. Pozwala to na dalsze rozważenie pewnego średniego kąta ścinania w środniku belki

Odkształcenie ścinające prowadzi do tego, że kąt prosty pomiędzy płaszczyzną przekroju belki a styczną do linii sprężystej zmienia się o wartość γ por. Uproszczony schemat odkształcenia elementu belkowego przy ścinaniu pokazano na ryc. 1,15.

Ryż. 1,15. Wykres ścinania elementu belki

Oznacza strzałkę ugięcia spowodowaną przecięciem w sdv, możemy napisać:

Uwzględnienie zasady znaku dla siły ścinającej N i znajdź kąt obrotu

Ponieważ ,

Całkując (1.47) otrzymujemy

Stały A, zawarty w (1.48), określa przemieszczenie belki jako bryły sztywnej i można przyjąć dowolną wartość, gdyż przy wyznaczaniu strzałki całkowitego odchylenia od zginania w zginać i ścinać w sdv

pojawi się suma stałych całkowania w 0 +A określone na podstawie warunków brzegowych. Tutaj w 0 - ugięcie od zgięcia na początku.

Wkładamy w przyszłość A=0. Wtedy ostateczne wyrażenie linii sprężystej spowodowanej ścinaniem przyjmie formę

Elementy zginające i ścinające linii sprężystej pokazano na rysunkach. 1.16.

Ryż. 1.16. Elastyczny ( A) i ścinanie ( B) składowe linii sprężystej belki

W rozpatrywanym przypadku kąt obrotu przekrojów podczas ścinania jest równy zeru, zatem biorąc pod uwagę ścinanie, kąty obrotu przekrojów, momenty zginające i siły ścinające są skojarzone jedynie z pochodnymi linii sprężystości od zginania:

Nieco inaczej sytuacja wygląda w przypadku działania momentów skupionych na belce, które jak zostanie pokazane poniżej nie powodują ugięć ścinających, a jedynie powodują dodatkowy obrót przekrojów belki.

Rozważmy belkę swobodnie podpartą na sztywnych podporach, której lewą część moment aktorski M. Siła cięcia w tym przypadku będzie stałe i równe

Odpowiednio dla właściwej sekcji referencyjnej otrzymujemy

.(1.52)

Wyrażenia (1.51) i (1.52) można przepisać jako

Wyrażenia w nawiasach charakteryzują względny dodatek do kąta obrotu przekroju spowodowanego ścinaniem.

Jeśli weźmiemy pod uwagę na przykład swobodnie podpartą belkę obciążoną siłą w środku jej rozpiętości R(Rys. 1.18), wówczas ugięcie belki pod wpływem siły będzie równe

Ugięcie przy zginaniu można znaleźć w tabelach gięcia belek. Ugięcie przy ścinaniu określa się wzorem (1,50), biorąc pod uwagę fakt, że .

Ryż. 1.18. Schemat swobodnie podpartej belki obciążonej siłą skupioną

Jak widać ze wzoru (1.55), dodatek względny do ugięcia belki od ścinania ma taką samą strukturę jak dodatek względny do kąta obrotu, ale z innym współczynnikiem liczbowym.

Wprowadzamy notację

gdzie β jest współczynnikiem liczbowym zależnym od rozpatrywanego zadania, rozmieszczenia podpór i obciążenia belki.

Przeanalizujmy zależność współczynnika k od różnych czynników.

Jeśli to uwzględnimy , zamiast (1.56) otrzymamy

Moment bezwładności przekroju belki można zawsze przedstawić jako

,(1.58)

gdzie α jest współczynnikiem liczbowym zależnym od kształtu i charakterystyki przekroju. Zatem dla dwuteownika zgodnie ze wzorem (1.40) przy ω = 2 F 1 znalezisko ja= ωh 2/3, tj. α=1/3.

Należy pamiętać, że wraz ze wzrostem wymiarów wsporników belek współczynnik α będzie wzrastał.

Biorąc pod uwagę (1.58) zamiast (1.57) możemy napisać:

Zatem wartość współczynnika k w istotny sposób zależy od stosunku rozpiętości belki do jej wysokości, kształtu przekroju (poprzez współczynnik α), układu podpór i obciążenia belki (poprzez współczynnik β). Im stosunkowo dłuższa belka ( H/L małe), tym mniejszy jest efekt odkształcenia ścinającego. W przypadku walcowanych belek profilowych związanych z H/L mniejsza niż 1/10 1/8, korekta przesunięcia praktycznie nie może być brana pod uwagę.

Jednakże w przypadku belek o szerokich obwodach, takich jak na przykład stępki, podłużnice i denniki stanowiące część płyt dennych, wpływ ścinania i przy wskazanym H/L może być znaczące.

Należy zauważyć, że odkształcenia ścinające wpływają nie tylko na wzrost ugięcia belek, ale w niektórych przypadkach także na skutki ujawnienia statycznej niewyznaczalności belek i układów belek.

Zadanie. Zbuduj diagramy Q i M dla belki statycznie niewyznaczalnej. Belki obliczamy według wzoru:

N= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Belka raz jest statycznie niewyznaczalne, co oznacza jeden reakcji jest „dodatkowe” nieznane. Za „dodatkową” niewiadomą weźmiemy reakcję wsparcia W — RB.

Belkę statycznie wyznaczalną, którą uzyskuje się z danej belki poprzez usunięcie „dodatkowego” połączenia, nazywamy układem głównym. (B).

Teraz należy przedstawić ten system równowartość dany. Aby to zrobić, załaduj główny system dany obciążenie i w punkcie W stosować „ekstra” reakcja RB(Ryż. V).

Jednak dla równorzędność Ten niewystarczająco, ponieważ w takiej belce punkt W Może poruszać się pionowo, oraz w danej belce (ryc. A ) to nie może się zdarzyć. Dlatego dodajemy stan, Co ugięcie t. W w systemie głównym musi być równa 0. Ugięcie t. W składa się z ugięcie od działającego obciążenia Δ F i od odchylenie od „dodatkowej” reakcji Δ R.

Potem komponujemy warunek zgodności przemieszczenia:

Δ F + Δ R=0 (1)

Teraz pozostaje je obliczyć ruchy (odchylenia).

Ładowanie podstawowy system dane obciążenie(Ryż .G) i budować schemat ładunkuM. F (Ryż. D ).

W T. W zastosuj i zbuduj ep. (Ryż. jeż ).

Definiujemy według wzoru Simpsona ugięcie obciążenia.

Teraz zdefiniujmy odchylenie od działania „dodatkowej” reakcji RB , w tym celu ładujemy główny system RB (Ryż. H ) i nakreśl momenty jego akcji PAN (Ryż. I ).

Komponuj i decyduj równanie (1):

Zbudujmy odc. Q I M (Ryż. do, l ).

Budowanie diagramu Q.

Zbudujmy fabułę M metoda punkty charakterystyczne. Układamy punkty na belce - są to punkty początku i końca belki ( D, A ), moment skupiony ( B ), a także zanotuj jako charakterystyczny punkt środek równomiernie rozłożonego obciążenia ( K ) jest dodatkowym punktem do konstruowania krzywej parabolicznej.

Wyznaczanie momentów zginających w punktach. Zasada znaków cm. - .

Moment w W zostaną zdefiniowane w następujący sposób. Najpierw zdefiniujmy:

Punkt DO weźmy się środek obszar z równomiernie rozłożonym obciążeniem.

Budowanie diagramu M . Działka AB – krzywa paraboliczna(zasada „parasolki”), fabuła BD – prosta, ukośna linia.

Dla belki określ reakcje podporowe i wykreśl wykresy momentów zginających ( M) i siły ścinające ( Q).

Wyznaczamy obsługuje listy A I W i kieruj reakcjami podporowymi RA I RB .

Kompilowanie równania równowagi.

Badanie

Zapisz wartości RA I RB NA schemat obliczeń.

2. Kreślenie siły poprzeczne metoda Sekcje. Umieszczamy sekcje charakterystyczne obszary(pomiędzy zmianami). Według wątku wymiarowego - 4 sekcje, 4 sekcje.

sek. 1-1 przenosić lewy.

Sekcja przechodzi przez sekcję z równomiernie rozłożone obciążenie, zwróć uwagę na rozmiar z 1 po lewej stronie sekcji przed początkiem sekcji. Długość działki 2 m. Zasada znaków Dla Q - cm.

Bazujemy na znalezionej wartości diagramQ.

sek. 2-2 idź w prawo.

Sekcja ponownie przechodzi przez obszar z równomiernie rozłożonym obciążeniem, zwróć uwagę na rozmiar z 2 po prawej stronie sekcji na początek sekcji. Długość działki 6 m.

Budowanie diagramu Q.

sek. 3-3 idź w prawo.

sek. 4-4 idź w prawo.

Budujemy diagramQ.

3. Budowa schematy m metoda punkty charakterystyczne.

charakterystyczny punkt- punkt, dowolny zauważalny na belce. To są kropki A, W, Z, D , a także o co chodzi DO , w której Q=0 I moment zginający ma ekstremum. także w środek konsola położyła dodatkowy punkt mi, ponieważ w tym obszarze pod równomiernie rozłożonym obciążeniem schemat M opisane krzywy linii i jest ona zbudowana przynajmniej wg 3 zwrotnica.

Tak więc punkty są umieszczone, przystępujemy do określania w nich wartości momenty zginające. Zasada znaków - patrz..

Działki NA, AD – krzywa paraboliczna(zasada „parasolowa” dla specjalności mechanicznych lub „zasada żagla” dla budownictwa), sekcje DC, SW – proste ukośne linie.

Chwila w punkcie D należy ustalić zarówno lewy, jak i prawy Z punktu D . Właśnie ten moment w tych wyrażeniach Wyłączony. W punkcie D dostajemy dwa wartości z różnica według kwoty M – skok do jego rozmiaru.

Teraz musimy określić moment w punkcie DO (Q=0). Najpierw jednak definiujemy pozycja punktowa DO , oznaczający odległość od niego do początku przekroju przez niewiadomą X .

T. DO należy drugi charakterystyczny obszar, równanie siły ścinającej(patrz wyżej)

Ale siła poprzeczna w t. DO jest równe 0 , A z 2 równa się nieznane X .

Otrzymujemy równanie:

Teraz wiedząc X, określić moment w punkcie DO po prawej stronie.

Budowanie diagramu M . Konstrukcja jest możliwa do wykonania mechaniczny specjalności, odkładając wartości pozytywne w górę od linii zerowej i stosując zasadę „parasolki”.

Dla danego schematu belki wspornikowej należy wykreślić wykresy siły poprzecznej Q i momentu zginającego M, wykonać obliczenia projektowe wybierając przekrój kołowy.

Materiał - drewno, wytrzymałość obliczeniowa materiału R=10MPa, M=14kNm, q=8kN/m

Istnieją dwa sposoby budowania diagramów w belce wspornikowej ze sztywnym osadzeniem - zwykły, po wcześniejszym określeniu reakcji podporowych i bez definiowania reakcji podporowych, jeśli weźmiemy pod uwagę przekroje, wychodząc od wolnego końca belki i odrzucając lewa strona z osadzeniem. Budujmy diagramy zwykły sposób.

1. Zdefiniuj reakcje wspierające.

Równomiernie rozłożone obciążenie Q zastąpić siłę warunkową Q= q 0,84=6,72 kN

W sztywnym osadzeniu występują trzy reakcje podporowe - pionowa, pozioma i momentowa, w naszym przypadku reakcja pozioma wynosi 0.

Znajdźmy pionowy reakcja wsparcia RA I moment odniesienia M A z równań równowagi.

W pierwszych dwóch sekcjach po prawej stronie nie ma siły poprzecznej. Na początku odcinka z równomiernie rozłożonym obciążeniem (po prawej) Q=0, z tyłu - wielkość reakcji RA
3. Aby zbudować, utworzymy wyrażenia dla ich definicji na sekcjach. Wykreślamy wykres momentów na włóknach, tj. w dół.

(fabuła pojedynczych chwil została już zbudowana wcześniej)

Rozwiązujemy równanie (1), zmniejszamy o EI

Ujawniono statyczną nieokreśloność, znaleziona zostanie wartość „dodatkowej” reakcji. Można przystąpić do wykreślania wykresów Q i M dla belki statycznie niewyznaczalnej... Szkicujemy podany schemat belki i wskazujemy wartość reakcji Rb. W tej belce nie można określić reakcji na zakończeniu, jeśli pójdziesz w prawo.

Budynek działki Q dla belki statycznie niewyznaczalnej

Fabuła Q.

Wykreślanie M

Definiujemy M w punkcie ekstremum – w punkcie DO. Najpierw określmy jego położenie. Odległość do niego oznaczamy jako nieznaną ” X„. Następnie

Wykreślamy M.

Wyznaczanie naprężeń stycznych w przekroju dwuteowym. Rozważ sekcję Promiennie się uśmiecham. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

Aby określić naprężenie ścinające, stosuje się je formuła, gdzie Q jest siłą poprzeczną w przekroju, S x 0 jest momentem statycznym części przekroju znajdującej się po jednej stronie warstwy, w której wyznaczane są naprężenia styczne, I x jest momentem bezwładności całego krzyża przekrój, b jest szerokością przekroju w miejscu wyznaczania naprężeń stycznych

Obliczać maksymalny naprężenie ścinające:

Obliczmy moment statyczny dla Górna półka:

Teraz obliczmy naprężenia ścinające:

Budujemy wykres naprężenia ścinającego:

Obliczenia projektowe i weryfikacyjne. Dla belki ze skonstruowanymi wykresami sił wewnętrznych należy wybrać przekrój w postaci dwóch kanałów z warunku wytrzymałości na naprężenia normalne. Sprawdź wytrzymałość belki, korzystając z warunku wytrzymałości na ścinanie i kryterium wytrzymałości energetycznej. Dany:

Pokażmy belkę ze zbudowaną belką działki Q i M

Według wykresu momentów zginających niebezpieczne jest sekcja C, w którym M C \u003d M maks. \u003d 48,3 kNm.

Stan wytrzymałościowy dla naprężeń normalnych bo ta belka ma postać σ max \u003d M C / W X ≤σ adm. Konieczne jest wybranie sekcji z dwóch kanałów.

Określ wymaganą obliczoną wartość moduł przekroju osiowego:

Dla sekcji w postaci dwóch kanałów, zgodnie z akceptacją dwa kanały nr 20a, moment bezwładności każdego kanału Ix=1670cm 4, Następnie osiowy moment oporu całego przekroju:

Przepięcie (podnapięcie) w niebezpiecznych punktach obliczamy według wzoru: Wtedy otrzymujemy pod napięciem:

Teraz sprawdźmy wytrzymałość belki na podstawie warunki wytrzymałościowe na naprężenia ścinające. Według wykres sił ścinających niebezpieczny są sekcje w sekcji BC i sekcji D. Jak widać z diagramu, Q max \u003d 48,9 kN.

Warunek wytrzymałościowy na naprężenia ścinające wygląda jak:

Dla kanału nr 20 a: moment statyczny powierzchni S x 1 \u003d 95,9 cm 3, moment bezwładności przekroju I x 1 \u003d 1670 cm 4, grubość ścianki d 1 \u003d 5,2 mm, średnia grubość półki t 1 \u003d 9,7 mm , wysokość kanału h 1 \u003d 20 cm, szerokość półki b 1 \u003d 8 cm.

Dla poprzecznego sekcje dwóch kanałów:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Ustalenie wartości maksymalne naprężenie ścinające:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Jak widać, τmaks<τ adm (27MPa<75МПа).

Stąd, warunek wytrzymałościowy jest spełniony.

Sprawdzamy wytrzymałość belki według kryterium energetycznego.

Nie do rozważenia diagramy Q i M wynika z tego sekcja C jest niebezpieczna, w którym M C =M maks. =48,3 kNm i Q C =Q maks. =48,9 kN.

Spędźmy analiza stanu naprężenia w punktach przekroju C

Zdefiniujmy naprężenia normalne i ścinające na kilku poziomach (zaznaczonych na schemacie przekroju)

Poziom 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normalne i styczne Napięcie:

Główny Napięcie:

Poziom 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Główne naprężenia:

Poziom 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Naprężenia normalne i ścinające: