Poprzeczne zginanie pręta. Czyste gięcie Rozwiązanie prostego gięcia poprzecznego
Dla belki wspornikowej obciążonej obciążeniem rozłożonym o natężeniu kN/m i momencie skupionym kNm (rys. 3.12) należy: skonstruować wykresy sił tnących i momentów zginających, wybrać belkę o przekroju kołowym o dopuszczalne naprężenie normalne kN/cm2 i sprawdzić wytrzymałość belki zgodnie z naprężeniami stycznymi przy dopuszczalnym naprężeniu stycznym kN/cm2. Wymiary belki m; M; M.
Schemat obliczeniowy problemu bezpośredniego zginania poprzecznego
Ryż. 3.12
Rozwiązanie problemu „prostego zginania poprzecznego”
Wyznaczanie reakcji podporowych
Reakcja pozioma w osadzeniu wynosi zero, ponieważ obciążenia zewnętrzne w kierunku osi Z nie działają na belkę.
Wybieramy kierunki pozostałych sił reakcji powstających w osadzeniu: reakcję pionową skierujemy np. w dół, a moment – zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ich wartości wyznaczane są z równań statycznych:
Tworząc te równania, uważamy, że moment jest dodatni przy obrocie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a rzut siły za dodatni, jeśli jej kierunek pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi Y.
Z pierwszego równania znajdujemy moment na pieczęci:
Z drugiego równania - reakcja pionowa:
Dodatnie wartości, które uzyskaliśmy dla chwili oraz reakcja pionowa w zakorzenieniu wskazują, że odgadliśmy ich kierunki.
Zgodnie z charakterem mocowania i obciążenia belki jej długość dzielimy na dwie części. Wzdłuż granic każdego z tych przekrojów nakreślimy cztery przekroje (patrz rys. 3.12), w których wykorzystamy metodę przekrojów (ROZU) do obliczenia wartości sił tnących i momentów zginających.
Sekcja 1. Odrzućmy mentalnie prawą stronę belki. Zastąpmy jego działanie na pozostałą lewą stronę siłą tnącą i momentem zginającym. Dla wygody obliczenia ich wartości zakryjmy odrzuconą prawą stronę belki kartką papieru, wyrównując lewą krawędź arkusza z rozważanym przekrojem.
Przypomnijmy, że siła tnąca powstająca w dowolnym przekroju musi równoważyć wszystkie siły zewnętrzne (czynne i reaktywne), które działają na rozważaną przez nas (czyli widoczną) część belki. Dlatego siła ścinająca musi być równa sumie algebraicznej wszystkich sił, które widzimy.
Przedstawmy jeszcze regułę znaków siły tnącej: zewnętrzna siła działająca na rozważaną część belki, dążąca do „obrócenia” tej części względem przekroju w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, powoduje dodatnią siłę ścinającą w przekroju. Taka siła zewnętrzna jest uwzględniana w sumie algebraicznej definicji ze znakiem plus.
W naszym przypadku widzimy jedynie reakcję podpory, która obraca widoczną dla nas część belki względem pierwszego odcinka (względem krawędzi kartki papieru) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Dlatego
kN.
Moment zginający w dowolnym przekroju musi równoważyć moment wytworzony przez widoczne dla nas siły zewnętrzne w stosunku do danego przekroju. W związku z tym jest on równy sumie algebraicznej momentów wszystkich sił działających na rozważaną przez nas część belki w stosunku do rozpatrywanego przekroju (czyli względem krawędzi kartki papieru). W tym przypadku obciążenie zewnętrzne, wyginając rozpatrywaną część belki wypukłością w dół, powoduje dodatni moment zginający w przekroju. A moment wytworzony przez takie obciążenie jest uwzględniany w sumie algebraicznej do określenia ze znakiem „plus”.
Widzimy dwa wysiłki: reakcję i moment końcowy. Jednakże dźwignia siły w stosunku do sekcji 1 wynosi zero. Dlatego
kNm.
Przyjęliśmy znak „plus”, ponieważ moment reaktywny ugina widoczną dla nas część belki wypukłą w dół.
Sekcja 2. Tak jak poprzednio, zakrywamy całą prawą stronę belki kartką papieru. Teraz, w przeciwieństwie do pierwszej sekcji, siła ma ramię: m. Dlatego
kN; kNm.
Sekcja 3. Zamykając prawą stronę belki, znajdujemy
kN;
Sekcja 4. Przykryj lewą stronę belki prześcieradłem. Następnie
kNm.
kNm.
.
Korzystając ze znalezionych wartości, konstruujemy wykresy sił ścinających (ryc. 3.12, b) i momentów zginających (ryc. 3.12, c).
W obszarach nieobciążonych wykres sił ścinających przebiega równolegle do osi belki, a pod obciążeniem rozłożonym q - wzdłuż nachylonej linii prostej w górę. Pod reakcją podporową na wykresie znajduje się skok w dół o wartość tej reakcji, czyli o 40 kN.
Na wykresie momentów zginających widzimy przerwanie pod reakcją podporową. Kąt zgięcia jest skierowany w stronę reakcji podporowej. Pod rozłożonym obciążeniem q wykres zmienia się wzdłuż paraboli kwadratowej, której wypukłość jest skierowana w stronę obciążenia. W punkcie 6 na wykresie znajduje się ekstremum, ponieważ wykres siły tnącej w tym miejscu przechodzi przez wartość zerową.
Określ wymaganą średnicę przekroju poprzecznego belki
Normalny warunek wytrzymałości na naprężenia ma postać:
,
gdzie jest moment oporu belki podczas zginania. Dla belki o przekroju kołowym jest ona równa:
.
Największa wartość bezwzględna momentu zginającego występuje w trzecim odcinku belki: 
kNcm
Następnie wymaganą średnicę belki określa się ze wzoru
cm.
Akceptujemy mm. Następnie
kN/cm2 kN/cm2.
„Przepięcie” jest
,
co jest dozwolone.
Wytrzymałość belki sprawdzamy przy największych naprężeniach ścinających
Największe naprężenia styczne powstające w przekroju belki o przekroju kołowym oblicza się ze wzoru
,
gdzie jest pole przekroju poprzecznego.
Zgodnie ze schematem największa algebraiczna wartość siły ścinającej jest równa 
kN. Następnie
kN/cm2 kN/cm2,
oznacza to, że warunek wytrzymałości na naprężenia styczne jest również spełniony i to z dużym marginesem.
Przykład rozwiązania problemu „prostego zginania poprzecznego” nr 2
Stan przykładowego problemu na prostym zginaniu poprzecznym
Dla belki swobodnie podpartej obciążonej obciążeniem rozłożonym o natężeniu kN/m, sile skupionej kN i momencie skupionym kN m (rys. 3.13) należy skonstruować wykresy sił tnących i momentów zginających oraz wybrać belkę dwuteową przekrój poprzeczny przy dopuszczalnym naprężeniu normalnym kN/cm2 i dopuszczalnym naprężeniu stycznym kN/cm2. Rozpiętość belek m.
Przykład problemu zginania prostego - schemat obliczeniowy
 |
Ryż. 3.13
Rozwiązanie przykładowego problemu dotyczącego zginania prostego
Wyznaczanie reakcji podporowych
Dla danej belki swobodnie podpartej należy znaleźć trzy reakcje podporowe: , i . Ponieważ na belkę działają tylko obciążenia pionowe, prostopadłe do jej osi, reakcja pozioma nieruchomej podpory przegubowej A wynosi zero: .
Kierunki reakcji pionowych dobierane są dowolnie. Skierujmy na przykład obie reakcje pionowe w górę. Aby obliczyć ich wartości, utwórzmy dwa równania statyczne:
Przypomnijmy, że wypadkowa obciążenia liniowego równomiernie rozłożonego na odcinku o długości l jest równa polu wykresu tego obciążenia i jest przyłożona w środku ciężkości tego obciążenia schemat, czyli w środku długości.
;
kN.
Sprawdźmy: .
Przypomnijmy, że siły, których kierunek pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi Y, są rzutowane (rzutowane) na tę oś ze znakiem plus:
to prawda.
Konstruujemy wykresy sił ścinających i momentów zginających
Długość belki dzielimy na osobne sekcje. Granice tych odcinków stanowią punkty przyłożenia sił skupionych (czynnych i/lub reaktywnych) oraz punkty odpowiadające początkowi i końcowi obciążenia rozłożonego. W naszym problemie są trzy takie sekcje. Wzdłuż granic tych obszarów zarysujemy sześć przekroje, w którym obliczymy wartości sił ścinających i momentów zginających (ryc. 3.13, a).
Sekcja 1. Odrzućmy mentalnie prawą stronę belki. Dla wygody obliczenia siły ścinającej i momentu zginającego powstającego w tej sekcji, wyrzuconą przez nas część belki zakryjemy kartką papieru, wyrównując lewą krawędź kartki papieru z samą sekcją.
Siła tnąca w przekroju belki jest równa sumie algebraicznej wszystkich sił zewnętrznych (czynnych i reaktywnych), które widzimy. W tym przypadku widzimy reakcję podpory i obciążenia liniowego q rozłożonego na nieskończenie małej długości. Wynikowe obciążenie liniowe wynosi zero. Dlatego
kN.
Znak plus jest brany, ponieważ siła obraca widoczną dla nas część belki względem pierwszego odcinka (krawędź kartki papieru) w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
Moment zginający w przekroju belki jest równy sumie algebraicznej momentów wszystkich sił, które widzimy w odniesieniu do rozpatrywanego przekroju (to znaczy względem krawędzi kartki papieru). Widzimy reakcję podporową i obciążenie liniowe q rozłożone na nieskończenie małej długości. Jednakże siła ma dźwignię zerową. Wynikowe obciążenie liniowe również wynosi zero. Dlatego
Sekcja 2. Tak jak poprzednio, zakrywamy całą prawą stronę belki kartką papieru. Teraz widzimy reakcję i obciążenie q działające na odcinek długości. Wynikowe obciążenie liniowe jest równe . Mocuje się go pośrodku odcinka długości. Dlatego
Przypomnijmy, że wyznaczając znak momentu zginającego, uwalniamy w myślach widzianą przez nas część belki ze wszystkich rzeczywistych zamocowań nośnych i wyobrażamy sobie ją tak, jakby była ściśnięta w rozpatrywanym przekroju (to znaczy wyobrażamy sobie w myślach lewą krawędź kartki papieru jako sztywne osadzenie).
Sekcja 3. Zamknijmy prawą stronę. Dostajemy
Sekcja 4. Przykryj prawą stronę belki prześcieradłem. Następnie
Teraz, aby sprawdzić poprawność obliczeń, zakryjmy lewą stronę belki kartką papieru. Widzimy siłę skupioną P, reakcję prawej podpory i obciążenie liniowe q rozłożone na nieskończenie małej długości. Wynikowe obciążenie liniowe wynosi zero. Dlatego
kNm.
Oznacza to, że wszystko jest w porządku.
Sekcja 5. Podobnie jak poprzednio, zamknij lewą stronę belki. Będzie miał
kN;
kNm.
Sekcja 6. Zamknijmy ponownie lewą stronę belki. Dostajemy
kN;
Korzystając ze znalezionych wartości, konstruujemy wykresy sił ścinających (ryc. 3.13, b) i momentów zginających (ryc. 3.13, c).
Dbamy o to, aby pod obszarem nieobciążonym wykres sił tnących przebiegał równolegle do osi belki, a pod obciążeniem rozłożonym q - po linii prostej opadającej w dół. Na wykresie występują trzy skoki: pod reakcją w górę o 37,5 kN, pod reakcją w górę o 132,5 kN i pod siłą P w dół o 50 kN.
Na wykresie momentów zginających widzimy pęknięcia pod wpływem siły skupionej P oraz pod reakcjami podporowymi. Kąty złamania są skierowane w stronę tych sił. Pod rozproszonym obciążeniem o natężeniu q wykres zmienia się wzdłuż paraboli kwadratowej, której wypukłość jest skierowana w stronę obciążenia. Pod momentem skupionym następuje skok o 60 kN m, to znaczy o wielkość samego momentu. W sekcji 7 na wykresie znajduje się ekstremum, ponieważ wykres siły ścinającej dla tej sekcji przechodzi przez wartość zerową (). Wyznaczmy odległość odcinka 7 od lewej podpory.
Zakręt prosty. Płaski zginanie poprzeczne Konstruowanie wykresów współczynników siły wewnętrznej dla belek Konstruowanie wykresów Q i M za pomocą równań Konstruowanie wykresów Q i M za pomocą charakterystycznych przekrojów (punktów) Obliczenia wytrzymałościowe dla bezpośredniego zginania belek Naprężenia główne podczas zginania. Pełne sprawdzenie wytrzymałości belek.Pojęcie środka zginania.Wyznaczanie przemieszczeń belek podczas zginania. Pojęcia odkształcenia belek i warunki ich sztywności Równanie różniczkowe zakrzywionej osi belki Metoda całkowania bezpośredniego Przykłady wyznaczania przemieszczeń belek metodą całkowania bezpośredniego Fizyczne znaczenie stałych całkowania Metoda parametrów początkowych (uniwersalne równanie zakrzywionej oś belki). Przykłady wyznaczania przemieszczeń w belce metodą parametrów początkowych Wyznaczanie przemieszczeń metodą Mohra. Zasada A.K. Wiereszchagin. Obliczanie całki Mohra zgodnie z regułą A.K. Vereshchagina Przykłady wyznaczania przemieszczeń przy użyciu całki Mohra Bibliografia Zginanie bezpośrednie. Płaskie zagięcie poprzeczne. 1.1. Konstruowanie wykresów współczynników siły wewnętrznej dla belek Zginanie bezpośrednie to rodzaj odkształcenia, w którym w przekrojach pręta powstają dwa współczynniki siły wewnętrznej: moment zginający i siła poprzeczna. W szczególnym przypadku siła ścinająca może wynosić zero, wówczas zginanie nazywa się czystym. Przy płaskim zginaniu poprzecznym wszystkie siły znajdują się w jednej z głównych płaszczyzn bezwładności pręta i prostopadle do jego osi podłużnej, a momenty znajdują się w tej samej płaszczyźnie (ryc. 1.1, a, b). Ryż. 1.1 Siła poprzeczna w dowolnym przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej rzutów na normalną do osi belki wszystkich sił zewnętrznych działających na jedną stronę rozpatrywanego przekroju. Siła ścinająca w przekroju m-n belek(Rys. 1.2, a) uważa się za dodatnią, jeśli wypadkowa sił zewnętrznych po lewej stronie przekroju jest skierowana w górę, a w prawo - w dół i ujemna - w przeciwnym przypadku (ryc. 1.2, b). Ryż. 1.2 Przy obliczaniu siły poprzecznej w danym przekroju siły zewnętrzne leżące po lewej stronie przekroju przyjmuje się ze znakiem plus, jeśli są skierowane do góry, i ze znakiem minus, jeśli są skierowane w dół. Dla prawej strony belki - odwrotnie. 5 Moment zginający w dowolnym przekroju belki jest liczbowo równy sumie algebraicznej momentów wokół środkowej osi z przekroju wszystkich sił zewnętrznych działających na jedną stronę rozpatrywanego przekroju. Moment zginający przy przekrój poprzeczny m-n belki (ryc. 1.3, a) uważa się za dodatnie, jeśli wypadkowy moment sił zewnętrznych na lewo od przekroju jest skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a na prawo - przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i ujemny - w przeciwnym przypadku (ryc. 1.3, b). Ryż. 1.3 Przy obliczaniu momentu zginającego w danym przekroju momenty sił zewnętrznych leżących po lewej stronie przekroju uważa się za dodatnie, jeżeli są skierowane w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Dla prawej strony belki - odwrotnie. Wygodnie jest określić znak momentu zginającego na podstawie charakteru odkształcenia belki. Moment zginający uważa się za dodatni, jeśli w rozpatrywanym przekroju odcięta część belki wygina się wypukłie w dół, tj. Dolne włókna są rozciągane. W przeciwnym przypadku moment zginający w przekroju jest ujemny. Istnieją zróżnicowane zależności pomiędzy momentem zginającym M, siłą ścinającą Q i intensywnością obciążenia q. 1. Pierwsza pochodna siły ścinającej wzdłuż odciętej przekroju jest równa intensywności obciążenia rozłożonego, tj. . (1.1) 2. Pierwsza pochodna momentu zginającego wzdłuż odciętej przekroju jest równa sile poprzecznej, tj. (1.2) 3. Druga pochodna po odciętej przekroju jest równa natężeniu rozłożonego obciążenia, tj. . (1.3) Rozłożone obciążenie skierowane w górę uważamy za dodatnie. Z zależności różniczkowych pomiędzy M, Q, q wynika szereg ważnych wniosków: 1. Jeżeli na przekroju belki: a) siła poprzeczna jest dodatnia, to moment zginający wzrasta; b) siła ścinająca jest ujemna, wówczas moment zginający maleje; c) siła poprzeczna wynosi zero, wówczas moment zginający ma stałą wartość (czyste zginanie); 6 d) siła poprzeczna przechodzi przez zero, zmieniając znak z plusa na minus, max M M, w przeciwnym przypadku M Mmin. 2. Jeżeli na przekroju belki nie ma rozłożonego obciążenia, siła poprzeczna jest stała, a moment zginający zmienia się zgodnie z prawem liniowym. 3. Jeżeli na odcinku belki obciążenie jest równomiernie rozłożone, wówczas siła poprzeczna zmienia się zgodnie z prawem liniowym, a moment zginający - zgodnie z prawem paraboli kwadratowej, wypukłej skierowanej w kierunku obciążenia ( w przypadku konstruowania diagramu M od strony rozciągniętych włókien). 4. W przekroju pod działaniem siły skupionej na wykresie Q występuje skok (o wielkość siły), na wykresie M załamanie w kierunku siły. 5. Na odcinku, w którym zastosowano moment skupiony, na wykresie M występuje skok równy wartości tego momentu. Nie jest to odzwierciedlone na diagramie Q. Gdy belki obciążone są złożonym obciążeniem, wykreślane są wykresy sił poprzecznych Q i momentów zginających M. Wykres Q(M) jest wykresem przedstawiającym prawo zmiany siły poprzecznej (momentu zginającego) wzdłuż długości belki. Na podstawie analizy wykresów M i Q wyznaczane są niebezpieczne przekroje belki. Dodatnie rzędne diagramu Q układane są w górę, a ujemne rzędne w stosunku do linii bazowej narysowanej równolegle do osi podłużnej belki. Dodatnie rzędne diagramu M układane są, a ujemne rzędne do góry, czyli diagram M jest budowany od strony rozciągniętych włókien. Konstrukcję wykresów Q i M dla belek należy rozpocząć od określenia reakcji podporowych. W przypadku belki, która ma jeden koniec zaciśnięty, a drugi koniec swobodny, konstrukcję wykresów Q i M można rozpocząć od końca swobodnego, bez określania reakcji w osadzeniu. 1.2. Konstrukcja wykresów Q i M za pomocą równań belki jest podzielona na sekcje, w ramach których funkcje momentu zginającego i siły ścinającej pozostają stałe (nie mają nieciągłości). Granicami przekrojów są punkty przyłożenia sił skupionych, pary sił oraz miejsca zmiany natężenia obciążenia rozłożonego. Na każdym odcinku w odległości x od początku współrzędnych pobierany jest dowolny przekrój i dla tego odcinka sporządzane są równania dla Q i M. Za pomocą tych równań konstruowane są diagramy Q i M. Przykład 1.1 Konstruowanie diagramów poprzecznych siły Q i momenty zginające M dla danej belki (rys. 1.4, a). Rozwiązanie: 1. Wyznaczanie reakcji podporowych. Układamy równania równowagi: z których otrzymujemy Reakcje podpór są określone prawidłowo. Belka ma cztery sekcje Rys. 1,4 ładunku: CA, AD, DB, BE. 2. Konstrukcja diagramu Q. Sekcja CA. W przekroju CA 1 rysujemy dowolny przekrój 1-1 w odległości x1 od lewego końca belki. Definiujemy Q jako sumę algebraiczną wszystkich sił zewnętrznych działających na lewo od przekroju 1-1: Znak minus jest brany, ponieważ siła działająca na lewo od przekroju jest skierowana w dół. Wyrażenie Q nie zależy od zmiennej x1. Diagram Q w tej części zostanie przedstawiony jako linia prosta równoległa do osi odciętej. Sekcja AD. Na przekroju rysujemy dowolny przekrój 2-2 w odległości x2 od lewego końca belki. Definiujemy Q2 jako sumę algebraiczną wszystkich sił zewnętrznych działających na lewo od sekcji 2-2: 8 Wartość Q jest w przekroju stała (nie zależy od zmiennej x2). Wykres Q na przekroju jest linią prostą równoległą do osi odciętej. Działka DB. Na stronie rysujemy dowolny przekrój 3-3 w odległości x3 od prawego końca belki. Definiujemy Q3 jako sumę algebraiczną wszystkich sił zewnętrznych działających na prawo od sekcji 3-3: Otrzymanym wyrażeniem jest równanie nachylonej linii prostej. Sekcja BE. Na stronie rysujemy przekrój 4-4 w odległości x4 od prawego końca belki. Definiujemy Q jako sumę algebraiczną wszystkich sił zewnętrznych działających na prawo od sekcji 4-4: 4 Tutaj bierzemy znak plus, ponieważ wynikowe obciążenie po prawej stronie sekcji 4-4 jest skierowane w dół. Na podstawie uzyskanych wartości konstruujemy diagramy Q (ryc. 1.4, b). 3. Konstrukcja diagramu M. Przekrój m1. Definiujemy moment zginający w sekcji 1-1 jako algebraiczną sumę momentów sił działających na lewo od sekcji 1-1. – równanie prostej. Przekrój A 3 Moment zginający wyznaczamy w przekroju 2-2 jako sumę algebraiczną momentów sił działających na lewo od przekroju 2-2. – równanie prostej. Sekcja DB 4 Moment zginający wyznaczamy w sekcji 3-3 jako sumę algebraiczną momentów sił działających na prawo od sekcji 3-3. – równanie paraboli kwadratowej. 9 Znajdujemy trzy wartości na końcach przekroju oraz w punkcie o współrzędnej xk, gdzie Przekrój BE 1 Moment zginający wyznaczamy w przekroju 4-4 jako sumę algebraiczną momentów sił działających na prawo od przekroju 4-4. – równanie paraboli kwadratowej znajdujemy trzy wartości M4: Korzystając z uzyskanych wartości, konstruujemy diagram M (ryc. 1.4, c). Na odcinkach CA i AD wykres Q ograniczony jest liniami prostymi równoległymi do osi odciętych, a na odcinkach DB i BE - liniami ukośnymi. W odcinkach C, A i B na wykresie Q występują skoki wielkości odpowiednich sił, co służy sprawdzeniu poprawności wykresu Q. Na odcinkach, gdzie Q 0 momenty rosną od lewej do prawej. W obszarach, gdzie Q 0, momenty maleją. Pod wpływem sił skoncentrowanych powstają załamania w kierunku działania sił. Pod wpływem skoncentrowanego momentu następuje skok wielkości momentu. Wskazuje to na poprawność konstrukcji diagramu M. Przykład 1.2 Skonstruuj diagramy Q i M dla belki na dwóch podporach obciążonej obciążeniem rozłożonym, którego intensywność zmienia się zgodnie z prawem liniowym (ryc. 1.5, a). Rozwiązanie Wyznaczanie reakcji podporowych. Wynikowa rozłożonego obciążenia jest równa powierzchni trójkąta, która jest wykresem obciążenia i jest przyłożona w środku ciężkości tego trójkąta. Zestawiamy sumy momentów wszystkich sił względem punktów A i B: Konstruowanie diagramu Q. Narysujmy dowolny przekrój w odległości x od lewej podpory. Rzędną wykresu obciążenia odpowiadającą przekroju wyznacza się z podobieństwa trójkątów. Wypadkowa tej części obciążenia, która znajduje się po lewej stronie przekroju. Siła poprzeczna w przekroju jest równa. Siła poprzeczna zmienia się zgodnie z z prawem paraboli kwadratowej.Przyrównując równanie siły poprzecznej do zera, znajdujemy odciętą odcinka, w którym wykres Q przechodzi przez zero: Wykres Q pokazano na ryc. 1,5, ur. Moment zginający w dowolnym przekroju jest równy Moment zginający zmienia się zgodnie z prawem paraboli sześciennej: Moment zginający ma maksymalną wartość w przekroju, gdzie 0, tj. na wykresie M pokazanym na ryc. 1,5, ok. 1.3. Konstruowanie wykresów Q i M z charakterystycznych odcinków (punktów) Wykorzystując zależności różniczkowe pomiędzy M, Q, q i wynikające z nich wnioski, wskazane jest budowanie wykresów Q i M z charakterystycznych odcinków (bez układania równań). Za pomocą tej metody wartości Q i M są obliczane w charakterystycznych przekrojach. Przekroje charakterystyczne to przekroje graniczne przekrojów, a także przekroje, w których dany współczynnik siły wewnętrznej ma wartość ekstremalną. W granicach pomiędzy charakterystycznymi przekrojami zarys 12 diagramu ustala się w oparciu o zależności różnicowe pomiędzy M, Q, q i wynikające z nich wnioski. Przykład 1.3 Skonstruuj diagramy Q i M dla belki pokazanej na ryc. 1.6, A. Ryż. 1.6. Rozwiązanie: Konstrukcję wykresów Q i M zaczynamy od wolnego końca belki, przy czym nie ma potrzeby wyznaczania reakcji w osadzeniu. Belka posiada trzy sekcje obciążające: AB, BC, CD. Na odcinkach AB i BC nie ma rozłożonego obciążenia. Siły ścinające są stałe. Diagram Q ogranicza się do linii prostych równoległych do osi x. Momenty zginające zmieniają się liniowo. Wykres M ograniczony jest liniami prostymi nachylonymi do osi odciętych. Na odcinku CD obciążenie jest równomiernie rozłożone. Siły poprzeczne zmieniają się według prawa liniowego, a momenty zginające – według prawa kwadratowej paraboli z wypukłością w kierunku rozłożonego obciążenia. Na granicy odcinków AB i BC siła poprzeczna zmienia się gwałtownie. Na granicy odcinków BC i CD moment zginający zmienia się gwałtownie. 1. Konstrukcja wykresu Q. Obliczamy wartości sił poprzecznych Q w przekrojach granicznych przekrojów: Na podstawie wyników obliczeń konstruujemy wykres Q dla belki (ryc. 1, b). Z wykresu Q wynika, że siła poprzeczna działająca na odcinek CD jest równa zero w przekroju znajdującym się w odległości qa a q od początku tego odcinka. W tej sekcji moment zginający ma swoją maksymalną wartość. 2. Konstrukcja diagramu M. Obliczamy wartości momentów zginających w odcinkach granicznych przekrojów: W maksymalnym momencie w przekroju Na podstawie wyników obliczeń konstruujemy wykres M (ryc. 5.6, c). Przykład 1.4 Korzystając z podanego wykresu momentów zginających (rys. 1.7, a) dla belki (rys. 1.7, b), wyznacz działające obciążenia i skonstruuj wykres Q. Okrąg wskazuje wierzchołek paraboli kwadratowej. Rozwiązanie: Wyznaczmy obciążenia działające na belkę. Sekcja AC jest obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem, ponieważ wykres M w tej sekcji jest parabolą kwadratową. W odcinku referencyjnym B do belki przykładany jest moment skupiony, działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara, ponieważ na schemacie M mamy skok w górę o wielkość momentu. Na odcinku NE belka nie jest obciążona, ponieważ wykres M na tym odcinku jest ograniczony nachyloną linią prostą. Reakcję podpory B wyznaczamy z warunku, że moment zginający w przekroju C jest równy zeru, czyli w celu określenia intensywności obciążenia rozłożonego tworzymy wyrażenie na moment zginający w przekroju A jako sumę momentów sił po prawej stronie i przyrównujemy do zera.Teraz wyznaczamy reakcję podpory A. W tym celu utwórzmy wyrażenie na momenty zginające w przekroju jako sumę momentów sił po lewej stronie Schemat obliczeń belki z obciążeniem pokazano na rys. 1.7, ok. Zaczynając od lewego końca belki obliczamy wartości sił poprzecznych w przekrojach granicznych przekrojów: Schemat Q pokazano na ryc. 1.7, d. Rozważany problem można rozwiązać poprzez narysowanie zależności funkcjonalnych dla M, Q w każdym rozdziale. Wybierzmy początek współrzędnych na lewym końcu belki. W przekroju AC diagram M jest wyrażony przez parabolę kwadratową, której równanie ma postać Stałe a, b, c wynikają z warunku, że parabola przechodzi przez trzy punkty o znanych współrzędnych: Podstawianie współrzędnych punktów w równanie paraboli otrzymujemy: Wyrażenie na moment zginający będzie wyglądało Różniczkując funkcję M1 otrzymujemy zależność na siłę poprzeczną Po różniczku funkcji Q otrzymujemy wyrażenie na intensywność rozłożonego obciążenia. W rozdziale NE wyrażenie na moment zginający przedstawiono w postaci funkcji liniowej.Do wyznaczenia stałych aib wykorzystujemy warunek, że ta prosta przechodzi przez dwa punkty, których współrzędne są znane. otrzymujemy dwa równania: ,b z których mamy 20. Równanie momentu zginającego w przekroju NE będzie wynosić Po podwójnym różniczkowaniu M2 znajdziemy.Wykorzystując znalezione wartości M i Q, konstruujemy wykresy momenty zginające i siły ścinające belki. Oprócz obciążenia rozłożonego na belkę w trzech odcinkach przykładane są siły skupione, gdzie na wykresie Q występują skoki, a na wykresie M momenty skupione w odcinku, w którym występuje uderzenie. Przykład 1.5 Dla belki (ryc. 1.8, a) określ racjonalne położenie przegubu C, w którym największy moment zginający w przęśle jest równy momentowi zginającemu w osadzeniu (w wartości bezwzględnej). Konstruuj diagramy Q i M. Rozwiązanie Wyznaczanie reakcji podporowych. Pomimo tego, że całkowita liczba ogniw nośnych wynosi cztery, belka jest statycznie wyznaczalna. Moment zginający w zawiasie C wynosi zero, co pozwala na utworzenie dodatkowego równania: suma momentów wokół zawiasu wszystkich sił zewnętrznych działających na jedną stronę tego zawiasu jest równa zeru. Zestawmy sumę momentów wszystkich sił na prawo od zawiasu C. Wykres Q dla belki ograniczony jest nachyloną linią prostą, ponieważ q = const. Wyznaczamy wartości sił poprzecznych w granicznych odcinkach belki: Odciętą xK przekroju, gdzie Q = 0, wyznaczamy z równania, z którego wykres M dla belki ograniczony jest parabolą kwadratową. Wyrażenia na momenty zginające w przekrojach, gdzie Q = 0 i w osadzeniu zapisuje się odpowiednio w następujący sposób: Z warunku równości momentów otrzymujemy równanie kwadratowe dla żądanego parametru x: Wartość rzeczywista x2x 1.029 M. Wyznaczamy wartości liczbowe sił poprzecznych i momentów zginających w charakterystycznych przekrojach belki.Rysunek 1.8, b pokazuje wykres Q, a na ryc. 1.8, c – schemat M. Rozważany problem można rozwiązać dzieląc belkę przegubową na elementy składowe, jak pokazano na rys. 1.8, d. Na początku wyznacza się reakcje podpór VC i VB. Wykresy Q i M są konstruowane dla belki podwieszanej SV na podstawie działania przyłożonego do niej obciążenia. Następnie przesuwają się na belkę główną AC, obciążając ją dodatkową siłą VC, będącą siłą nacisku belki CB na belkę AC. Następnie budowane są diagramy Q i M dla belki AC. 1.4. Obliczenia wytrzymałościowe dla bezpośredniego zginania belek Obliczenia wytrzymałościowe na podstawie naprężeń normalnych i ścinających. Kiedy belka zgina się bezpośrednio w przekroju poprzecznym, powstają naprężenia normalne i styczne (ryc. 1.9). 18 Ryc. 1.9 Naprężenia normalne są związane z momentem zginającym, naprężenia styczne są związane z siłą ścinającą. Przy czystym zginaniu prostym naprężenia ścinające wynoszą zero. Naprężenia normalne w dowolnym punkcie przekroju belki wyznacza się ze wzoru (1.4), gdzie M jest momentem zginającym w danym przekroju; Iz – moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej z; y to odległość od punktu, w którym wyznaczane jest normalne napięcie, do neutralnej osi z. Naprężenia normalne na wysokości przekroju zmieniają się według prawa liniowego i osiągają największą wartość w punktach najbardziej oddalonych od osi obojętnej.Jeżeli przekrój jest symetryczny względem osi obojętnej (rys. 1.11), to rys. 1.11. 1.11 największe naprężenia rozciągające i ściskające są takie same i wyznaczane są ze wzoru: jest momentem osiowym oporu przekroju podczas zginania. Dla przekroju prostokątnego o szerokości b i wysokości h: (1,7) Dla przekroju kołowego o średnicy d: (1,8) Dla przekroju pierścieniowego – odpowiednio średnica wewnętrzna i zewnętrzna pierścienia. W przypadku belek wykonanych z tworzyw sztucznych najbardziej racjonalne są symetryczne kształty o 20 przekrojach (dwuteowniki, skrzynkowe, pierścieniowe). W przypadku belek wykonanych z kruchych materiałów, które nie są jednakowo odporne na rozciąganie i ściskanie, przekroje asymetryczne w stosunku do neutralnej osi Z (belka T, belka w kształcie litery U, asymetryczna belka dwuteowa) są racjonalne. Dla belek o stałym przekroju z tworzyw sztucznych o symetrycznych kształtach przekroju warunek wytrzymałościowy zapisuje się następująco: (1.10) gdzie Mmax jest maksymalnym momentem zginającym w module; – dopuszczalne naprężenia materiału. Dla belek o stałym przekroju z tworzyw sztucznych o niesymetrycznych kształtach przekroju warunek wytrzymałościowy zapisuje się w postaci: (1. 11) Dla belek z materiałów kruchych o przekrojach asymetrycznych względem osi obojętnej, jeżeli wykres M jest jednoznaczny (rys. 1.12), należy zapisać dwa warunki wytrzymałościowe - odległość od osi obojętnej do najdalszych punktów odpowiednio rozciągnięte i ściśnięte strefy sekcji niebezpiecznej; P - odpowiednio dopuszczalne naprężenia rozciągające i ściskające. Ryc.1.12. 21 Jeżeli wykres momentu zginającego ma przekroje o różnych znakach (ryc. 1.13), to oprócz sprawdzenia odcinka 1-1, w którym działa Mmax, należy obliczyć maksymalne naprężenia rozciągające dla odcinka 2-2 (z największy moment przeciwnego znaku). Ryż. 1.13 Oprócz podstawowych obliczeń naprężeń normalnych, w niektórych przypadkach konieczne jest sprawdzenie wytrzymałości belki na naprężenia ścinające. Naprężenia ścinające w belkach oblicza się według wzoru D. I. Zhuravsky'ego (1.13), gdzie Q jest siłą poprzeczną w rozważanym przekroju belki; Szots to moment statyczny względem osi neutralnej obszaru części przekroju znajdującej się po jednej stronie prostej poprowadzonej przez dany punkt i równoległej do osi z; b jest szerokością przekroju na poziomie rozpatrywanego punktu; Iz jest momentem bezwładności całego przekroju względem osi neutralnej z. W wielu przypadkach maksymalne naprężenia styczne występują na poziomie warstwy neutralnej belki (prostokąt, dwuteownik, okrąg). W takich przypadkach warunek wytrzymałości na naprężenia styczne zapisuje się jako (1.14) gdzie Qmax jest siłą poprzeczną o najwyższym module; - dopuszczalne naprężenie ścinające dla materiału. W przypadku prostokątnego przekroju belki warunek wytrzymałości ma postać (1.15) A jest polem przekroju poprzecznego belki. Dla przekroju kołowego warunek wytrzymałości jest reprezentowany jako (1.16). Dla przekroju I warunek wytrzymałości jest zapisywany w następujący sposób: (1.17) d jest grubością ścianki belki dwuteowej. Zwykle wymiary przekroju belki określa się na podstawie stanu wytrzymałości na naprężenia normalne. Sprawdzenie wytrzymałości belek na naprężenia ścinające jest obowiązkowe w przypadku belek krótkich i belek o dowolnej długości, jeśli w pobliżu podpór występują siły skupione o dużej wielkości, a także w przypadku belek drewnianych, nitowanych i spawanych. Przykład 1.6 Sprawdź wytrzymałość belki o przekroju skrzynkowym (rys. 1.14) na naprężenia normalne i ścinające, jeśli MPa. Zbuduj diagramy w niebezpiecznej części belki. Ryż. 1.14 Decyzja 23 1. Wykreśl wykresy Q i M z charakterystycznych przekrojów. Biorąc pod uwagę lewą stronę belki, otrzymujemy Wykres sił poprzecznych pokazano na ryc. 1.14, ok. Wykres momentów zginających pokazano na rys. 5.14, g. 2. Charakterystyka geometryczna przekroju 3. Największe naprężenia normalne w przekroju C, gdzie działa Mmax (modulo): MPa. Maksymalne naprężenia normalne w belce są prawie równe naprężeniom dopuszczalnym. 4. Największe naprężenia styczne w przekroju C (lub A), gdzie działa max Q (modulo): Oto moment statyczny pola połowy przekroju względem osi neutralnej; b2 cm – szerokość przekroju na poziomie osi neutralnej. 5. Naprężenia styczne w punkcie (w ścianie) przekroju C: Rys. 1.15 Tutaj Szomc 834,5 108 cm3 jest momentem statycznym pola przekroju znajdującego się nad linią przechodzącą przez punkt K1; b2 cm – grubość ściany na poziomie punktu K1. Schematy i dla przekroju C belki pokazano na ryc. 1,15. Przykład 1.7 Dla belki pokazanej na ryc. 1.16, a, wymagane: 1. Konstruować wykresy sił poprzecznych i momentów zginających na charakterystycznych przekrojach (punktach). 2. Wyznaczyć wymiary przekroju w postaci koła, prostokąta i dwuteownika ze stanu wytrzymałości pod naprężeniami normalnymi, porównać pola przekrojów. 3. Sprawdź wybrane wymiary odcinków belek pod kątem naprężeń stycznych. Dane: Rozwiązanie: 1. Wyznacz reakcje podpór belki Sprawdź: 2. Konstrukcja wykresów Q i M. Wartości sił poprzecznych w charakterystycznych przekrojach belki 25 Rys. 1.16 Na odcinkach CA i AD intensywność obciążenia q = const. W konsekwencji w tych obszarach wykres Q ogranicza się do linii prostych nachylonych do osi. Na odcinku DB natężenie obciążenia rozłożonego wynosi q = 0, zatem na tym odcinku wykres Q ogranicza się do prostej równoległej do osi x. Wykres Q belki pokazano na ryc. 1.16, ur. Wartości momentów zginających w charakterystycznych przekrojach belki: W drugim przekroju wyznaczamy odciętą x2 przekroju, w którym Q = 0: Maksymalny moment w drugim przekroju Wykres M dla belki pokazano na rys. 1.16, ok. 2. Tworzymy warunek wytrzymałościowy na podstawie naprężeń normalnych, z którego wyznaczamy wymagany osiowy moment oporu przekroju z wyrażenia określonego przez wymaganą średnicę d belki o przekroju kołowym.Powierzchnia przekroju kołowego. Dla belki o przekroju prostokątnym Wymagana wysokość przekroju Pole przekroju prostokątnego Określ wymaganą liczbę belek dwuteowych. Korzystając z tabel GOST 8239-89, znajdujemy najbliższą wyższą wartość osiowego momentu oporu 597 cm3, co odpowiada dwuteownikowi nr 33 o charakterystyce: A z 9840 cm4. Kontrola tolerancji: (niedociążenie o 1% z dopuszczalnych 5%) najbliższej belki dwuteowej nr 30 (W 2 cm3) prowadzi do znacznego przeciążenia (ponad 5%). Ostatecznie akceptujemy belkę dwuteową nr 33. Porównujemy pola przekrojów kołowych i prostokątnych z najmniejszą powierzchnią A belki dwuteowej: Z trzech rozważanych przekrojów przekrój dwuteowy jest najbardziej ekonomiczny. 3. Największe naprężenia normalne obliczamy w niebezpiecznym przekroju 27 belki dwuteowej (ryc. 1.17, a): Naprężenia normalne w ścianie w pobliżu kołnierza przekroju dwuteowego belki Schemat normalny stres w niebezpiecznym odcinku belki pokazano na ryc. 1.17, ur. 5. Wyznaczyć największe naprężenia styczne dla wybranych odcinków belki. a) prostokątny przekrój belki: b) okrągły przekrój belki: c) przekrój dwuteownika: Naprężenia styczne w ścianie w pobliżu pasa dwuteownika w niebezpiecznym przekroju A (po prawej) (w punkcie 2): schemat naprężeń stycznych w niebezpiecznych odcinkach belki dwuteowej pokazano na ryc. 1,17, ok. Maksymalne naprężenia styczne w belce nie przekraczają naprężeń dopuszczalnych Przykład 1.8 Określ dopuszczalne obciążenie belki (ryc. 1.18, a), jeśli 60 MPa, podane są wymiary przekroju poprzecznego (ryc. 1.19, a). Sporządzić wykres naprężeń normalnych w niebezpiecznym odcinku belki przy dopuszczalnym obciążeniu. Rysunek 1.18 1. Wyznaczanie reakcji podpór belek. Ze względu na symetrię układu 2. Konstrukcja diagramów Q i M z wykorzystaniem przekrojów charakterystycznych. Siły poprzeczne w charakterystycznych przekrojach belki: Wykres Q dla belki pokazano na rys. 5.18, ur. Momenty zginające w charakterystycznych przekrojach belki. Dla drugiej połowy belki rzędne M leżą na osiach symetrii. Schemat M dla belki pokazano na ryc. 1.18, ur. 3. Charakterystyka geometryczna przekroju (ryc. 1.19). Dzielimy figurę na dwa proste elementy: dwuteownik - 1 i prostokąt - 2. Ryc. 1.19 Zgodnie z asortymentem belki dwuteowej nr 20 dla prostokąta mamy: Moment statyczny pola przekroju względem osi z1 Odległość osi z1 od środka ciężkości przekroju Moment bezwładności przekroju względem do głównej osi środkowej z całego przekroju według wzorów na przejście do osi równoległych 4. Stan wytrzymałości na naprężenia normalne dla niebezpiecznego punktu „a” (rys. 1.19) w niebezpiecznym przekroju I (rys. 1.18): Po podstawieniu dane liczbowe 5. Przy dopuszczalnym obciążeniu odcinka niebezpiecznego naprężenia normalne w punktach „a” i „b” będą równe: Wykres naprężeń normalnych dla odcinka niebezpiecznego 1-1 pokazano na rys. 1.19, ur.
10.1. Ogólne pojęcia i definicje
Schylać się- jest to rodzaj obciążenia, w którym pręt obciążony jest momentami w płaszczyznach przechodzących przez oś podłużną pręta.
Pręt, który się wygina, nazywany jest belką (lub drewnem). W przyszłości rozważymy belki prostoliniowe, których przekrój ma co najmniej jedną oś symetrii.
Wytrzymałość materiałów dzieli się na zginanie płaskie, ukośne i złożone.
Płaski zakręt– zginanie, w którym wszystkie siły zginające belkę leżą w jednej z płaszczyzn symetrii belki (w jednej z płaszczyzn głównych).
Głównymi płaszczyznami bezwładności belki są płaszczyzny przechodzące przez główne osie przekrojów poprzecznych i oś geometryczną belki (oś x).
Ukośny zakręt- zginanie, w którym obciążenia działają w jednej płaszczyźnie, która nie pokrywa się z głównymi płaszczyznami bezwładności.
Skomplikowany zakręt- zginanie, w którym obciążenia działają w różnych (dowolnych) płaszczyznach.
10.2. Wyznaczanie wewnętrznych sił zginających
Rozważmy dwa charakterystyczne przypadki zginania: w pierwszym przypadku belka wspornikowa jest zginana momentem skupionym Mo; w drugim, przez siłę skupioną F.
Stosując metodę przekrojów mentalnych i zestawiając równania równowagi dla odciętych części belki, wyznaczamy siły wewnętrzne w obu przypadkach:
Pozostałe równania równowagi są oczywiście identyczne i równe zeru.
Zatem w ogólnym przypadku płaskiego zginania przekroju belki z sześciu sił wewnętrznych powstają dwie - moment zginający Mz i siła ścinająca Qy (lub przy zginaniu wokół innej osi głównej – moment zginający My i siła poprzeczna Qz).
W tym przypadku, zgodnie z dwoma rozpatrywanymi przypadkami obciążenia, zginanie płaskie można podzielić na czyste i poprzeczne.
Czysty zakręt- zginanie płaskie, podczas którego w odcinkach pręta powstaje tylko jedna z sześciu sił wewnętrznych - moment zginający (patrz przypadek pierwszy).
zakręt poprzeczny- zginanie, w którym oprócz wewnętrznego momentu zginającego w odcinkach pręta powstaje również siła poprzeczna (patrz drugi przypadek).
Ściśle mówiąc, do gatunki proste wytrzymałość dotyczy tylko czystego zginania; zginanie poprzeczne jest warunkowo określane jako proste rodzaje oporu, ponieważ w większości przypadków (w przypadku wystarczająco długich belek) działanie siły poprzecznej można pominąć w obliczeniach wytrzymałościowych.
Przy wyznaczaniu sił wewnętrznych będziemy się kierować następującą zasadą znaków:
1) siłę poprzeczną Qy uważa się za dodatnią, jeżeli ma ona tendencję do obracania rozpatrywanego elementu belki w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara;
2) moment zginający Mz uznaje się za dodatni, jeśli przy zginaniu elementu belkowego górne włókna elementu są ściskane, a dolne rozciągane (zasada parasola).
W ten sposób zbudujemy rozwiązanie problemu wyznaczania sił wewnętrznych podczas zginania według następującego planu: 1) w pierwszym etapie, biorąc pod uwagę warunki równowagi konstrukcji jako całości, wyznaczamy, jeśli to konieczne, nieznane reakcje podpór (należy pamiętać, że w przypadku belki wspornikowej reakcje w osadzeniu można znaleźć, ale nie można ich znaleźć, jeśli rozważymy belkę od wolnego końca); 2) w drugim etapie wybieramy charakterystyczne przekroje belki, przyjmując jako granice przekrojów punkty przyłożenia sił, punkty zmiany kształtu lub rozmiaru belki, punkty mocowania belki; 3) w trzecim etapie wyznaczamy siły wewnętrzne w przekrojach belki, uwzględniając warunki równowagi elementów belki w każdym przekroju.
10.3. Zależności różniczkowe podczas zginania
Ustalmy pewne zależności między siłami wewnętrznymi a zewnętrznymi obciążeniami zginającymi, a także cechy diagramy Q i M, których znajomość ułatwi budowę diagramów i pozwoli kontrolować ich poprawność. Dla wygody zapisu będziemy oznaczać: M≡Mz, Q≡Qy.
Wybierzmy mały element dx w przekroju belki pod dowolnym obciążeniem w miejscu, w którym nie występują siły i momenty skupione. Ponieważ cała belka znajduje się w równowadze, element dx będzie także w równowadze pod działaniem sił ścinających, momentów zginających i przyłożonego do niego obciążenia zewnętrznego. Ponieważ Q i M generalnie się różnią
osi belki, wówczas w przekrojach elementu dx wystąpią siły poprzeczne Q i Q+dQ oraz momenty zginające M i M+dM. Z warunku równowagi wybranego elementu otrzymujemy
Pierwsze z dwóch zapisanych równań daje warunek
Z drugiego równania, zaniedbując wyraz q dx (dx/2) jako nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu, znajdujemy
Biorąc pod uwagę wyrażenia (10.1) i (10.2) razem możemy otrzymać
Relacje (10.1), (10.2) i (10.3) nazywane są różniczkami zależności D.I. Żurawskiego podczas zginania.
Analiza powyższych zależności różniczkowych podczas zginania pozwala na ustalenie pewnych cech (zasad) konstruowania wykresów momentów zginających i sił poprzecznych: a - w obszarach, gdzie nie występuje obciążenie rozłożone q, wykresy Q ograniczają się do prostych równoległych do podstawy , a diagramy M ograniczają się do nachylonych linii prostych; b – w obszarach, w których na belkę działa obciążenie rozłożone q, wykresy Q ograniczają się ukośnymi liniami prostymi, a wykresy M – parabolami kwadratowymi.
W tym przypadku, jeśli zbudujemy diagram M „na rozciągniętym włóknie”, wówczas wypukłość paraboli będzie skierowana w kierunku działania q, a ekstremum będzie zlokalizowane w miejscu, gdzie wykres Q przecina podstawę linia; c - na odcinkach, gdzie na belkę działa siła skupiona, na wykresie Q wystąpią skoki o wartość i w kierunku tej siły, a na wykresie M występują załamania, wierzchołek skierowany w tę stronę siła; d - na odcinkach, gdzie na belkę przyłożony jest moment skupiony, na wykresie Q nie nastąpią zmiany, a na wykresie M wystąpią przeskoki o wartość tego momentu; e - na odcinkach, gdzie Q>0, moment M wzrasta, oraz na odcinkach, gdzie Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Naprężenia normalne przy czystym zginaniu belki prostej
Rozważmy przypadek czystego płaskiego zginania belki i wyprowadźmy wzór na określenie naprężeń normalnych dla tego przypadku.
Należy zauważyć, że w teorii sprężystości można otrzymać dokładną zależność na naprężenia normalne przy czystym zginaniu, jednak aby rozwiązać to zadanie metodami wytrzymałości materiałów, konieczne jest wprowadzenie pewnych założeń.
Istnieją trzy takie hipotezy dotyczące zginania:
a - hipoteza przekrojów płaskich (hipoteza Bernoulliego) - przekroje są płaskie przed odkształceniem i pozostają płaskie po odkształceniu, ale obracają się jedynie wokół określonej linii, która nazywa się osią obojętną przekroju belki. W takim przypadku włókna belki leżące po jednej stronie osi neutralnej zostaną rozciągnięte, a po drugiej ściśnięte; włókna leżące na osi neutralnej nie zmieniają swojej długości;
b - hipoteza stałości naprężeń normalnych - naprężenia działające w tej samej odległości y od osi neutralnej są stałe na całej szerokości belki;
c – hipoteza o braku nacisków bocznych – sąsiadujące ze sobą włókna podłużne nie naciskają na siebie.
Statyczna strona problemu
Aby określić naprężenia w przekrojach belki, bierzemy pod uwagę przede wszystkim statyczne strony problemu. Stosując metodę przekrojów mentalnych i zestawiając równania równowagi dla odciętej części belki, wyznaczamy siły wewnętrzne podczas zginania. Jak pokazano wcześniej, jedyną siłą wewnętrzną działającą w przekroju pręta przy czystym zginaniu jest wewnętrzny moment zginający, co oznacza, że będą tu powstawały naprężenia normalne z nim związane.
Zależność pomiędzy siłami wewnętrznymi a naprężeniami normalnymi w przekroju belki znajdujemy, uwzględniając naprężenia na elementarnym obszarze dA, wybranym w przekroju A belki w punkcie o współrzędnych y i z (oś y dla ułatwienia skierowana jest w dół) analizy):
Jak widzimy, problem jest wewnętrznie statycznie niewyznaczalny, ponieważ charakter rozkładu naprężeń normalnych w przekroju jest nieznany. Aby rozwiązać problem, rozważ geometryczny obraz odkształceń.
Geometryczna strona problemu
Rozważmy odkształcenie elementu belkowego o długości dx, oddzielonego od pręta zginanego w dowolnym punkcie o współrzędnej x. Biorąc pod uwagę wcześniej przyjętą hipotezę o przekrojach płaskich, po zgięciu odcinka belki obrócimy się względem osi obojętnej (n.o) o kąt dϕ, natomiast włókno ab oddalone od osi obojętnej o odległość y zamieni się w łuk okręgu a1b1, a jego długość zmieni się o pewien rozmiar. Przypomnijmy, że długość włókien leżących na osi neutralnej nie zmienia się, dlatego łuk a0b0 (którego promień krzywizny oznaczamy przez ρ) ma taką samą długość jak odcinek a0b0 przed odkształceniem a0b0=dx .
Znajdźmy względne odkształcenie liniowe εx włókna ab zakrzywionej belki.
Zakręt prosty- jest to rodzaj odkształcenia, w którym w przekrojach pręta powstają dwa czynniki siły wewnętrznej: moment zginający i siła poprzeczna.
Czysty zakręt- jest to szczególny przypadek zginania bezpośredniego, w którym w przekrojach pręta występuje tylko moment zginający, a siła poprzeczna wynosi zero.
Przykład czystego zakrętu - przekrój płyta CD na drążku AB. Moment zginający jest ilość Rocznie para sił zewnętrznych powodujących zginanie. Z równowagi części pręta znajdującej się na lewo od przekroju mn wynika z tego, że siły wewnętrzne rozłożone na tym przekroju są statycznie równoważne momentowi M, równy i przeciwny do momentu zginającego Rocznie.
Aby znaleźć rozkład tych sił wewnętrznych na przekroju, należy wziąć pod uwagę odkształcenie pręta.
W najprostszym przypadku pręt ma podłużną płaszczyznę symetrii i podlega działaniu zewnętrznych par sił zginających znajdujących się w tej płaszczyźnie. Następnie zginanie nastąpi w tej samej płaszczyźnie.
Oś pręta nn 1 jest linią przechodzącą przez środki ciężkości jej przekrojów.
Niech przekrój pręta będzie prostokątem. Narysujmy dwie pionowe linie na jego krawędziach mm I s. Podczas zginania linie te pozostają proste i obracają się tak, że pozostają prostopadłe do podłużnych włókien pręta.
Dalsza teoria zginania opiera się na założeniu, że nie tylko linie mm I s, ale cały płaski przekrój pręta po zgięciu pozostaje płaski i normalny do włókien podłużnych pręta. Dlatego podczas zginania przekroje poprzeczne mm I s obracać się względem siebie wokół osi prostopadłych do płaszczyzny zgięcia (płaszczyzny rysunku). W tym przypadku włókna podłużne po stronie wypukłej ulegają rozciąganiu, a włókna po stronie wklęsłej ulegają ściskaniu.
Neutralna powierzchnia- Jest to powierzchnia, która nie ulega odkształceniu podczas zginania. (Teraz znajduje się prostopadle do rysunku, zdeformowanej osi pręta nn 1 należy do tej powierzchni).
Neutralna oś przekroju- jest to przecięcie powierzchni neutralnej z dowolnym przekrojem poprzecznym (teraz także położonym prostopadle do rysunku).
Niech dowolne włókno będzie w pewnej odległości y z neutralnej powierzchni. ρ – promień krzywizny osi zakrzywionej. Kropka O– środek krzywizny. Narysujmy linię n 1 s 1 równoległy mm.ss 1– bezwzględne wydłużenie włókien.
Rozciągnięcie względne ε x włókna
Wynika, że deformacja włókien podłużnych proporcjonalna do odległości y od powierzchni neutralnej i odwrotnie proporcjonalna do promienia krzywizny ρ .
Wydłużeniu podłużnemu włókien wypukłej strony pręta towarzyszy zwężenie boczne, a skrócenie wzdłużne strony wklęsłej wynosi ekspansja boczna, jak w przypadku prostego rozciągania i ściskania. Z tego powodu zmienia się wygląd wszystkich przekrojów, pionowe boki prostokąta stają się nachylone. Deformacja boczna z:
μ - Współczynnik Poissona.
Z powodu tego zniekształcenia wszystkie proste linie przekroju są równoległe do osi z, są wygięte w taki sposób, aby pozostały prostopadłe do bocznych boków przekroju. Promień krzywizny tej krzywej R będzie więcej niż ρ pod tym samym względem co ε x w wartości bezwzględnej jest większe niż ε z i otrzymujemy
Te odkształcenia włókien podłużnych odpowiadają naprężeniom
Napięcie w dowolnym włóknie jest proporcjonalne do jego odległości od osi neutralnej n 1 n 2. Neutralne położenie osi i promień krzywizny ρ – dwie niewiadome w równaniu dla σ x – można wyznaczyć z warunku, że siły rozłożone na dowolnym przekroju poprzecznym tworzą parę sił równoważących moment zewnętrzny M.
Wszystko powyższe zachodzi także wtedy, gdy pręt nie posiada podłużnej płaszczyzny symetrii, w której działa moment zginający, o ile moment zginający działa w płaszczyźnie osiowej, która zawiera jedną z dwóch główne osie Przekrój. Te samoloty nazywają się główne płaszczyzny zginania.
Gdy istnieje płaszczyzna symetrii i moment zginający działa w tej płaszczyźnie, to ugięcie następuje właśnie w niej. Momenty sił wewnętrznych względem osi z zrównoważyć moment zewnętrzny M. Momenty wysiłku wokół osi y ulegają wzajemnemu zniszczeniu.
Schylać się nazywa się odkształceniem, w którym oś pręta wraz ze wszystkimi jego włóknami, czyli liniami podłużnymi równoległymi do osi pręta, uginają się pod wpływem sił zewnętrznych. Najprostszy przypadek zginania ma miejsce, gdy siły zewnętrzne leżą w płaszczyźnie przechodzącej przez oś środkową pręta i nie wytwarzają rzutów na tę oś. Ten rodzaj zginania nazywany jest zginaniem poprzecznym. Istnieją płaskie zakręty i ukośne zakręty.
Płaski zakręt- taki przypadek, gdy zakrzywiona oś pręta znajduje się w tej samej płaszczyźnie, w której działają siły zewnętrzne.
Skośne (złożone) zagięcie– przypadek zginania, gdy oś zgięcia pręta nie leży w płaszczyźnie działania sił zewnętrznych.
Zwykle nazywany jest prętem do gięcia Belka.
Podczas płaskiego zginania poprzecznego belek w przekroju o układzie współrzędnych y0x mogą powstać dwie siły wewnętrzne - siła poprzeczna Q y i moment zginający M x; w dalszej części wprowadzimy dla nich oznaczenie Q I M. Jeżeli w przekroju lub przekroju belki nie występuje siła poprzeczna (Q = 0), a moment zginający nie jest zerowy lub M jest stałe, to takie zgięcie nazywa się zwykle czysty.
Siła boczna w dowolnym przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej rzutów na oś wszystkich sił (w tym reakcji podporowych) znajdujących się po jednej (dowolnej) stronie narysowanego przekroju.
Moment zginający w przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej momentów wszystkich sił (w tym reakcji podporowych) znajdujących się po jednej (dowolnej) stronie rysowanego przekroju względem środka ciężkości tego przekroju, a dokładniej względem osi przechodzący prostopadle do płaszczyzny rysunku przez środek ciężkości narysowanego przekroju.
Siła Q Jest wynikowy rozłożone na przekroju wewnętrznym naprężenie ścinające, A za chwilę M– suma chwil wokół osi środkowej przekroju X wewnętrznego normalny stres.
Istnieje zróżnicowana zależność pomiędzy siłami wewnętrznymi
który jest używany do konstruowania i sprawdzania diagramów Q i M.
Ponieważ część włókien belki jest rozciągana, a część ściskana, a przejście od rozciągania do ściskania następuje płynnie, bez skoków, w środkowej części belki znajduje się warstwa, której włókna tylko się zginają, ale też nie doświadczają napięcie lub ściskanie. Ta warstwa nazywa się warstwa neutralna. Nazywa się linię, wzdłuż której warstwa neutralna przecina przekrój poprzeczny belki linia neutralna th lub Oś neutralna Sekcje. Linie neutralne są nawleczone na osi belki.
Linie narysowane na bocznej powierzchni belki prostopadle do osi pozostają płaskie podczas zginania. Te dane eksperymentalne pozwalają oprzeć wnioski ze wzorów na hipotezie przekrojów płaskich. Zgodnie z tą hipotezą odcinki belki są płaskie i prostopadłe do jej osi przed zginaniem, pozostają płaskie, a po zgięciu okazują się prostopadłe do zakrzywionej osi belki. Przekrój poprzeczny belki ulega zniekształceniu podczas zginania. W wyniku odkształcenia poprzecznego wymiary przekroju poprzecznego w strefie ściskanej belki zwiększają się, a w strefie rozciągania ulegają ściskaniu.
Założenia do wyprowadzania wzorów. Normalne napięcia
1) Hipoteza o przekrojach płaskich jest spełniona.
2) Włókna podłużne nie naciskają na siebie i dlatego pod wpływem naprężeń normalnych następuje rozciąganie lub ściskanie liniowe.
3) Odkształcenia włókien nie zależą od ich położenia na szerokości przekroju. W rezultacie naprężenia normalne, zmieniające się wzdłuż wysokości przekroju, pozostają takie same na szerokości.
4) Belka ma co najmniej jedną płaszczyznę symetrii i wszystkie siły zewnętrzne leżą w tej płaszczyźnie.
5) Materiał belki jest zgodny z prawem Hooke'a, a moduł sprężystości przy rozciąganiu i ściskaniu jest taki sam.
6) Zależność między wymiarami belki jest taka, że działa ona w warunkach zginania płaskiego bez wypaczeń i skręcania.
Tylko w przypadku czystego zginania belki normalny stres, określone wzorem:
gdzie y jest współrzędną dowolnego punktu przekroju, mierzoną od linii neutralnej - głównej osi środkowej x.
Normalne naprężenia zginające wzdłuż wysokości przekroju rozkładają się na prawo liniowe. Na włóknach skrajnych naprężenia normalne osiągają wartość maksymalną, a w środku ciężkości przekroju są równe zeru.
Charakter wykresów naprężeń normalnych dla przekrojów symetrycznych względem linii neutralnej
Charakter diagramów naprężeń normalnych dla przekrojów, które nie mają symetrii względem linii neutralnej
Punkty niebezpieczne to punkty położone najdalej od linii neutralnej.
Wybierzmy jakąś sekcję
Dowolny punkt sekcji nazwijmy go punktem DO, warunek wytrzymałości belki dla naprężeń normalnych ma postać:
, gdzie nie - Ten Oś neutralna
Ten moduł przekroju osiowego względem osi neutralnej. Jego wymiar to cm 3, m 3. Moment oporu charakteryzuje wpływ kształtu i wymiarów przekroju poprzecznego na wielkość naprężeń.
Normalny stan wytrzymałości na naprężenia:
Naprężenie normalne jest równe stosunkowi maksymalnego momentu zginającego do osiowego momentu oporu przekroju względem osi neutralnej.
Jeżeli materiał nie wytrzymuje jednakowo rozciągania i ściskania, należy zastosować dwa warunki wytrzymałościowe: dla strefy rozciągania z dopuszczalnym naprężeniem rozciągającym; dla strefy ściskanej z dopuszczalnym naprężeniem ściskającym.
Podczas zginania poprzecznego belki na platformach w swoim przekroju działają jak normalna, Więc styczne Napięcie.
