Na ciągłym pochylaniu się nad nimi. Rozwiązywanie typowych problemów z wytrzymałości materiałów. Przykład zadania dla prostego zakrętu - schemat projektowy

Hipoteza płaskich przekrojów przy zginaniu można wyjaśnić na przykładzie: załóżmy siatkę na bocznej powierzchni belki nieodkształconej, składającą się z prostych podłużnych i poprzecznych (prostopadłych do osi). W wyniku wygięcia belki linie podłużne przybiorą kształt krzywoliniowy, natomiast linie poprzeczne praktycznie pozostaną proste i prostopadłe do osi wygiętej belki.

Sformułowanie hipotezy przekroju płaskiego: przekroje, płaska i prostopadła do osi belki przed , pozostaje płaska i prostopadła do osi krzywej po jej odkształceniu.

Ta okoliczność wskazuje, że kiedy hipoteza przekroju płaskiego, jak z i

Oprócz hipotezy płaskich przekrojów przyjmuje się założenie, że podłużne włókna belki nie naciskają na siebie podczas jej zginania.

Hipoteza przekrojów płaskich i założenie to tzw przypuszczenie Bernoulliego.

Rozważmy belkę o przekroju prostokątnym doświadczającą czystego zginania (). Wybierzmy element belki o długości (rys. 7.8. a). W wyniku zginania przekroje poprzeczne belki obrócą się, tworząc kąt. Górne włókna są ściskane, a dolne włókna są naprężane. Promień krzywizny neutralnego włókna jest oznaczony przez .

Warunkowo uważamy, że włókna zmieniają swoją długość, pozostając prostymi (ryc. 7.8. b). Wtedy bezwzględne i względne wydłużenie włókna w odległości y od włókna obojętnego:

Pokażmy, że włókna podłużne, które nie ulegają rozciąganiu ani ściskaniu podczas zginania belki, przechodzą przez główną oś środkową x.

Ponieważ długość belki nie zmienia się podczas zginania, siła wzdłużna (N) powstająca w przekroju musi wynosić zero. Elementarna siła wzdłużna.

Biorąc pod uwagę wyrażenie :

Mnożnik można wyjąć ze znaku całki (nie zależy od zmiennej całkowej).

Wyrażenie przedstawia przekrój poprzeczny belki względem neutralnej osi x. Jest zero, gdy oś neutralna przechodzi przez środek ciężkości przekroju. W konsekwencji oś neutralna (linia zerowa) przy zginaniu belki przechodzi przez środek ciężkości przekroju poprzecznego.

Oczywiście: moment zginający jest związany z naprężeniami normalnymi występującymi w punktach przekroju poprzecznego pręta. Elementarny moment zginający wywołany siłą elementarną:

gdzie jest osiowym momentem bezwładności przekroju poprzecznego względem osi obojętnej x, a stosunek to krzywizna osi belki.

Sztywność belki w zginaniu(im większy, tym mniejszy promień krzywizny).

Wynikowa formuła reprezentuje Prawo Hooke'a w zginaniu dla pręta: moment zginający występujący w przekroju poprzecznym jest proporcjonalny do krzywizny osi belki.

Wyrażanie ze wzoru prawa Hooke'a dla pręta przy zginaniu promienia krzywizny () i podstawienie jego wartości we wzorze , otrzymujemy wzór na naprężenia normalne () w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego belki, oddalonym o y od osi neutralnej x: .

We wzorze na naprężenia normalne () w dowolnym punkcie przekroju belki należy podstawić bezwzględne wartości momentu zginającego () oraz odległość od punktu do osi neutralnej (współrzędne y) . To, czy naprężenie w danym punkcie będzie rozciągające, czy ściskające, można łatwo ustalić na podstawie charakteru odkształcenia belki lub wykresu momentów zginających, których rzędne są wykreślane od strony ściśniętych włókien belki.

Ze wzoru widać: normalne naprężenia() zmiana wzdłuż wysokości przekroju belki zgodnie z prawem liniowym. na ryc. 7.8, pokazana jest fabuła. Największe naprężenia podczas zginania belki występują w punktach najbardziej oddalonych od osi neutralnej. Jeśli w przekroju poprzecznym belki zostanie narysowana linia równoległa do osi neutralnej x, wówczas we wszystkich jej punktach pojawią się te same naprężenia normalne.

Prosta analiza diagramy naprężeń normalnych pokazuje, że gdy belka jest wygięta, materiał znajdujący się w pobliżu osi neutralnej praktycznie nie działa. Dlatego w celu zmniejszenia ciężaru belki zaleca się wybór kształtów przekrojów, w których większość materiału jest usunięta z osi obojętnej, jak na przykład dwuteownik.

Siły działające prostopadle do osi belki i znajdujące się w płaszczyźnie przechodzącej przez tę oś powodują odkształcenie zwane zgięcie poprzeczne. Jeśli płaszczyzna działania wspomnianych sił – płaszczyzny głównej, to następuje proste (płaskie) zagięcie poprzeczne. W przeciwnym razie zgięcie nazywa się ukośnym poprzecznym. Nazywa się belkę, która w przeważającej mierze podlega zginaniu Belka 1 .

Zasadniczo zginanie poprzeczne jest połączeniem czystego zginania i ścinania. W związku z zakrzywieniem przekrojów na skutek nierównomiernego rozkładu ścinania na wysokości powstaje pytanie o możliwość zastosowania wzoru naprężenia normalnego σ X wyprowadzone dla czyste gięcie w oparciu o hipotezę płaskich przekrojów.

1 Nazywa się belkę jednoprzęsłową, mającą na końcach odpowiednio jedną cylindryczną stałą podporę i jedną cylindryczną ruchomą w kierunku osi belki prosty. Nazywa się belkę, która ma jeden stały koniec, a drugi wolny koniec konsola. Nazywa się prostą belkę, której jedna lub dwie części zwisają nad podporą konsola.

Jeżeli dodatkowo przekroje zostaną pobrane daleko od punktów przyłożenia obciążenia (w odległości nie mniejszej niż połowa wysokości przekroju belki), to podobnie jak w przypadku czystego zginania można przyjąć, że włókna nie wywierają na siebie nacisku. Oznacza to, że każde włókno podlega jednoosiowemu rozciąganiu lub ściskaniu.

Pod działaniem rozłożonego obciążenia siły poprzeczne w dwóch sąsiednich sekcjach będą się różnić o wartość równą qdx. Dlatego krzywizna sekcji również będzie nieco inna. Ponadto włókna będą wywierać nacisk na siebie. Uważne przestudiowanie problemu pokazuje, że jeśli długość belki l dość duży w stosunku do swojej wysokości H (l/ H> 5), to nawet przy obciążeniu rozłożonym czynniki te nie mają istotnego wpływu na naprężenia normalne w przekroju i dlatego mogą nie być uwzględniane w obliczeniach praktycznych.

a B C

Ryż. 10.5 Ryc. 10.6

Na odcinkach pod obciążeniami skupionymi iw ich pobliżu rozkład σ X odbiega od prawa liniowego. To odchylenie, które ma charakter lokalny i nie towarzyszy mu wzrost największych naprężeń (w skrajnych włóknach), zwykle nie jest uwzględniane w praktyce.

Tak więc przy zginaniu poprzecznym (w płaszczyźnie hu) naprężenia normalne są obliczane według wzoru

σ X= – [Mz(X)/Iz]y.

Jeżeli na nieobciążonym odcinku pręta narysujemy dwa sąsiednie przekroje, to siła poprzeczna w obu przekrojach będzie taka sama, co oznacza, że krzywizna przekrojów będzie taka sama. W tym przypadku dowolny kawałek włókna Ab(Rys.10.5) przesunie się do nowej pozycji a"b", bez poddawania się dodatkowemu wydłużeniu, a zatem bez zmiany wielkości naprężenia normalnego.

Wyznaczmy naprężenia styczne w przekroju poprzez ich sparowane naprężenia działające w przekroju podłużnym belki.

Wybierz z paska element o długości dx(Rys. 10.7a). Narysujmy w pewnej odległości przekrój poziomy Na od osi neutralnej z, dzieląc element na dwie części (ryc. 10.7) i rozważ równowagę części górnej, która ma podstawę

szerokość B. Zgodnie z prawem parowania naprężeń stycznych, naprężenia działające w przekroju podłużnym są równe naprężeniom działającym w przekroju poprzecznym. Mając to na uwadze, przy założeniu, że na miejscu występują naprężenia ścinające B rozłożone równomiernie, stosujemy warunek ΣX = 0, otrzymujemy:

N * - (N * + dN *) +

gdzie: N * - wypadkowa sił normalnych σ w lewym przekroju elementu dx w obszarze „odcięcia” A * (rys. 10.7 d):

gdzie: S \u003d - moment statyczny „odciętej” części przekroju (zacieniony obszar na ryc. 10.7 c). Dlatego możemy napisać:

Następnie możesz napisać:

Ta formuła została uzyskana w XIX wieku przez rosyjskiego naukowca i inżyniera D.I. Żurawskiego i nosi jego imię. I chociaż ten wzór jest przybliżony, ponieważ uśrednia naprężenia po szerokości przekroju, to uzyskane za jego pomocą wyniki obliczeń są dobrze zgodne z danymi eksperymentalnymi.

W celu wyznaczenia naprężeń stycznych w dowolnym punkcie przekroju oddalonym od osi z należy:

Wyznacz z diagramu wielkość siły poprzecznej Q działającej w przekroju;

Oblicz moment bezwładności I z całego przekroju;

Poprowadź przez ten punkt płaszczyznę równoległą do płaszczyzny xz i określić szerokość przekroju B;

Oblicz moment statyczny obszaru odcięcia S względem głównej osi centralnej z i zastąp znalezione wartości formułą Żurawskiego.

Zdefiniujmy na przykład naprężenia ścinające w przekroju prostokątnym (ryc. 10.6, c). Moment statyczny wokół osi z części przekroju powyżej linii 1-1, na których określa się naprężenie, piszemy w postaci:

Zmienia się zgodnie z prawem paraboli kwadratowej. Szerokość sekcji V dla belki prostokątnej jest stała, wówczas prawo zmiany naprężeń ścinających w przekroju będzie również paraboliczne (ryc. 10.6, c). Dla y = i y = − naprężenia styczne są równe zero, a na osi neutralnej z osiągają swój najwyższy punkt.

Dla belki o okrągłym przekroju na osi neutralnej mamy

Przy bezpośrednim czystym zginaniu w przekroju poprzecznym momentu zginającego pręta powstaje tylko jeden czynnik siły M x(Rys. 1). Ponieważ Q y \u003d dM x / dz \u003d 0, To M x=const i czyste zginanie bezpośrednie można zrealizować, gdy pręt jest obciążony parami sił przyłożonych w końcowych odcinkach pręta. Od momentu zginania M x a-priorytet jest równa sumie chwile siły wewnętrzne o osi Oh jest ona połączona z naprężeniami normalnymi równaniem statyki wynikającym z tej definicji

Sformułujmy przesłanki teorii czystego bezpośredniego zginania pryzmatu. W tym celu analizujemy odkształcenia modelu pręta wykonanego z materiału o niskim module sprężystości, na którego bocznej powierzchni naniesiono siatkę podłużnych i poprzecznych rys (rys. 2). Ponieważ ryzyka poprzeczne, gdy pręt jest zginany parami sił przyłożonych w odcinkach końcowych, pozostają proste i prostopadłe do zakrzywionych ryzyk wzdłużnych, pozwala to stwierdzić, że hipotezy przekroju płaskiego, co, jak pokazuje rozwiązanie tego problemu metodami teorii sprężystości, przestaje być hipotezą, a staje się dokładnym faktem prawo przekrojów płaskich. Mierząc zmianę odległości między zagrożeniami podłużnymi, dochodzimy do wniosku o słuszności hipotezy braku nacisku włókien podłużnych.

Ortogonalność rys podłużnych i poprzecznych przed i po odkształceniu (jako odzwierciedlenie działania prawa przekrojów płaskich) wskazuje również na brak przesunięć, naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym i podłużnym pręta.

Ryc.1. Związek między wysiłkiem wewnętrznym a stresem

Ryc.2. Czysty model zginania

W ten sposób czyste bezpośrednie zginanie pręta pryzmatycznego jest redukowane do jednoosiowego rozciągania lub ściskania włókien podłużnych przez naprężenia (indeks G pominięte później). W tym przypadku część włókien znajduje się w strefie rozciągania (na ryc. 2 są to włókna dolne), a druga część w strefie ściskania (włókna górne). Strefy te są oddzielone warstwą neutralną (np.), nie zmieniając swojej długości, w której naprężenia są równe zeru. Uwzględniając przesłanki sformułowane powyżej i zakładając, że materiał pręta jest liniowo sprężysty, tj. prawo Hooke'a w tym przypadku ma postać: , wyprowadzamy wzory na krzywiznę warstwy neutralnej (promień krzywizny) i naprężenia normalne. Najpierw zauważamy, że stałość przekroju pręta pryzmatycznego i moment zginający (M x = stała), zapewnia stałość promienia krzywizny warstwy neutralnej na całej długości pręta (ryc. 3, A), warstwa neutralna (np.) opisany łukiem koła.

Rozważ pręt pryzmatyczny w warunkach bezpośredniego czystego zginania (ryc. 3, a) o przekroju poprzecznym symetrycznym względem osi pionowej jednostka organizacyjna Warunek ten nie wpłynie na efekt końcowy (aby możliwe było proste zgięcie, zbieżność osi O z główna oś bezwładności przekroju, która jest osią symetrii). Oś Wół załóż warstwę neutralną, pozycję kogo nie wiadomo z góry.

A) schemat obliczeniowy, B) odkształcenia i naprężenia

Ryc.3. Fragment czystego zagięcia belki

Rozważ element wycięty z pręta o długości dz, który jest pokazany w skali ze zniekształconymi proporcjami w celu zachowania przejrzystości na ryc. 3, B. Ponieważ interesujące są odkształcenia elementu, określone przez względne przemieszczenie jego punktów, jeden z końcowych odcinków elementu można uznać za stały. Ze względu na małość zakładamy, że punkty przekroju po obróceniu o ten kąt poruszają się nie wzdłuż łuków, ale wzdłuż odpowiednich stycznych.

Obliczmy względne odkształcenie włókna podłużnego AB, oddzielone od warstwy neutralnej o Na:

Z podobieństwa trójkątów C00 1 I 0 1 BB 1 wynika z tego

Deformacja podłużna okazała się liniową funkcją odległości od warstwy neutralnej, co jest bezpośrednią konsekwencją prawa przekrojów płaskich

Ta formuła nie nadaje się do praktycznego zastosowania, ponieważ zawiera dwie niewiadome: krzywiznę warstwy neutralnej i położenie osi neutralnej Oh, od którego liczona jest współrzędna y. Aby określić te niewiadome, używamy równań równowagi statyki. Pierwszy wyraża wymaganie, aby siła wzdłużna była równa zeru

Podstawiając wyrażenie (2) do tego równania

i biorąc to pod uwagę, otrzymujemy to

Całka po lewej stronie tego równania jest momentem statycznym przekroju poprzecznego pręta względem osi neutralnej Oh, która może być równa zeru tylko względem osi centralnej. Dlatego oś neutralna Oh przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Drugie równanie równowagi statycznej odnosi się do naprężeń normalnych i momentu zginającego (który można łatwo wyrazić w postaci sił zewnętrznych i dlatego uważa się go za daną wartość). Podstawiając wyrażenie do równania wiązki. napięcie, otrzymujemy:

i biorąc to pod uwagę Gdzie J x główny centralny moment bezwładności wokół osi Oh, dla krzywizny warstwy neutralnej otrzymujemy wzór

Ryc.4. Normalny rozkład naprężeń

który został po raz pierwszy uzyskany przez S. Coulomba w 1773 roku. Aby dopasować znaki momentu zginającego M x i normalnych, znak minus umieszcza się po prawej stronie wzoru (5), ponieważ o godz M x > 0 naprężenia normalne przy y>0 okazują się kurczliwe. Jednak w praktycznych obliczeniach wygodniej jest, bez przestrzegania formalnej zasady znaków, określić naprężenia modulo i umieścić znak zgodnie ze znaczeniem. Naprężenia normalne przy czystym zginaniu pryzmatu są liniową funkcją współrzędnej Na i osiągają największe wartości we włóknach najbardziej oddalonych od osi neutralnej (ryc. 4), tj.

Tutaj wprowadzono charakterystykę geometryczną , który ma wymiar m 3 i nazywa się moment oporu przy zginaniu. Ponieważ dla danego M x Napięcie maks? im mniej, tym więcej szer. x , moment oporu jest charakterystyka geometryczna wytrzymałości przekroju na zginanie. Podajmy przykłady obliczania momentów oporu dla najprostszych postaci przekrojów. Dla przekroju prostokątnego (ryc. 5, A) mamy J x \u003d bh 3/12, y maks = h/2 I szer. x = J x /y maks = bh 2 /6. Podobnie dla okręgu (ryc. 5 , a J x =d4 /64, ymaks=d/2) dostajemy szer. x =d3/32, dla okrągłego przekroju pierścieniowego (ryc. 5, V), Który

Zakręt prosty. Płaskie zginanie poprzeczne Wykreślanie wykresów współczynników sił wewnętrznych dla belek Wykreślanie wykresów Q i M zgodnie z równaniami Wykreślanie wykresów Q i M z wykorzystaniem charakterystycznych przekrojów (punktów) Obliczenia wytrzymałości przy bezpośrednim zginaniu belek Naprężenia główne przy zginaniu. Pełna weryfikacja wytrzymałości belek Zrozumienie środka zginania Wyznaczanie przemieszczeń w belkach podczas zginania. Pojęcia deformacji belek i warunki ich sztywności Równanie różniczkowe osi ugięcia belki Metoda bezpośredniego całkowania Przykłady wyznaczania przemieszczeń w belkach metodą bezpośredniego całkowania Fizyczne znaczenie stałych całkowania Metoda parametrów początkowych (równanie uniwersalne zagięta oś belki). Przykłady wyznaczania przemieszczeń w belce metodą parametrów początkowych Wyznaczanie przemieszczeń metodą Mohra. Zasada AK Wereszczagin. Obliczanie całki Mohra według A.K. Vereshchagin Przykłady wyznaczania przemieszczeń za pomocą całki Mohra Bibliografia Zginanie bezpośrednie. Płaskie zgięcie poprzeczne. 1.1. Wykreślanie wykresów współczynników sił wewnętrznych dla belek Zginanie bezpośrednie jest rodzajem odkształcenia, w którym w przekrojach pręta występują dwa czynniki sił wewnętrznych: moment zginający i siła poprzeczna. W szczególnym przypadku siła poprzeczna może być równa zeru, wówczas zgięcie nazywa się czystym. Przy płaskim zgięciu poprzecznym wszystkie siły znajdują się w jednej z głównych płaszczyzn bezwładności pręta i są prostopadłe do jego osi podłużnej, momenty znajdują się w tej samej płaszczyźnie (ryc. 1.1, a, b). Ryż. 1.1 Siła poprzeczna w dowolnym przekroju poprzecznym belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej rzutów na normalną do osi belki wszystkich sił zewnętrznych działających na jedną stronę rozważanego przekroju. Siła ścinająca w przekroju m-n belek (Ryc. 1.2, a) jest uważany za dodatni, jeśli wypadkowa sił zewnętrznych po lewej stronie przekroju jest skierowana do góry, a po prawej - w dół i ujemna - w przeciwnym przypadku (ryc. 1.2, b). Ryż. 1.2 Przy obliczaniu siły poprzecznej w danym przekroju siły zewnętrzne leżące na lewo od przekroju przyjmuje się ze znakiem plus, jeśli są skierowane w górę, i ze znakiem minus, jeśli są skierowane w dół. Dla prawej strony belki - odwrotnie. 5 Moment zginający w dowolnym przekroju belki jest liczbowo równy sumie algebraicznej momentów wokół osi środkowej z przekroju wszystkich sił zewnętrznych działających na jedną stronę rozpatrywanego przekroju. Moment zginający w przekroju m-n belki (ryc. 1.3, a) jest uważany za dodatni, jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych jest skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od przekroju po lewej stronie przekroju i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara po prawej stronie, a ujemny - w przypadek odwrotny (ryc. 1.3, b). Ryż. 1.3 Przy obliczaniu momentu zginającego w danym przekroju momenty sił zewnętrznych leżące na lewo od przekroju uważa się za dodatnie, jeżeli są skierowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Dla prawej strony belki - odwrotnie. Wygodnie jest określić znak momentu zginającego na podstawie charakteru odkształcenia belki. Moment zginający uznaje się za dodatni, jeżeli w rozpatrywanym przekroju odcięta część belki wygina się wypukłością w dół, tj. dolne włókna są rozciągnięte. W przeciwnym razie moment zginający w przekroju jest ujemny. Pomiędzy momentem zginającym M, siłą poprzeczną Q i intensywnością obciążenia q zachodzą zależności różniczkowe. 1. Pierwsza pochodna siły poprzecznej wzdłuż odciętej przekroju jest równa natężeniu rozłożonego obciążenia, tj. . (1.1) 2. Pierwsza pochodna momentu zginającego wzdłuż odciętej przekroju jest równa sile poprzecznej, tj. . (1.2) 3. Druga pochodna względem odciętej przekroju jest równa natężeniu obciążenia rozłożonego, tj. . (1.3) Rozłożone obciążenie skierowane do góry uważamy za dodatnie. Z różniczkowych zależności między M, Q, q wynika kilka ważnych wniosków: 1. Jeżeli na przekroju belki: a) siła poprzeczna jest dodatnia, to moment zginający wzrasta; b) siła poprzeczna jest ujemna, wtedy moment zginający maleje; c) siła poprzeczna wynosi zero, wtedy moment zginający ma stałą wartość (czyste zginanie); 6 d) siła poprzeczna przechodzi przez zero, zmieniając znak z plusa na minus, max M M, inaczej M Mmin. 2. Jeżeli na przekroju belki nie ma rozłożonego obciążenia, wówczas siła poprzeczna jest stała, a moment zginający zmienia się liniowo. 3. Jeżeli na przekroju belki jest równomiernie rozłożone obciążenie, wówczas siła poprzeczna zmienia się zgodnie z prawem liniowym, a moment zginający - zgodnie z prawem paraboli kwadratowej, wypukłej w kierunku obciążenia (w przypadku wykreślenia M od strony rozciągniętych włókien). 4. W przekroju pod działaniem siły skupionej wykres Q ma skok (o wielkość siły), wykres M ma przerwę w kierunku siły. 5. Na odcinku, w którym zastosowano moment skupiony, wykres M ma skok równy wartości tego momentu. Nie znajduje to odzwierciedlenia na wykresie Q. Pod złożonym obciążeniem belki tworzą wykresy sił poprzecznych Q i momentów zginających M. Wykres Q (M) jest wykresem przedstawiającym prawo zmiany siły poprzecznej (momentu zginającego) wzdłuż długości belki. Na podstawie analizy wykresów M i Q ustalane są niebezpieczne odcinki belki. Dodatnie rzędne diagramu Q są kreślone w górę, a rzędne ujemne są kreślone w dół od linii bazowej narysowanej równolegle do osi podłużnej belki. Dodatnie rzędne diagramu M są układane, a rzędne ujemne są kreślone w górę, tj. diagram M jest budowany od strony rozciągniętych włókien. Konstrukcję wykresów Q i M dla belek należy rozpocząć od określenia reakcji podporowych. W przypadku belki z jednym końcem stałym, a drugim końcem swobodnym, wykreślanie Q i M można rozpocząć od wolnego końca bez definiowania reakcji w osadzeniu. 1.2. Konstrukcja wykresów Q i M według równań Balka jest podzielona na odcinki, w obrębie których funkcje momentu zginającego i siły ścinającej pozostają stałe (nie mają nieciągłości). Granicami przekrojów są punkty przyłożenia sił skupionych, pary sił oraz miejsca zmiany natężenia rozłożonego obciążenia. Na każdym przekroju pobierany jest dowolny przekrój w odległości x od początku układu współrzędnych i dla tego przekroju sporządzane są równania Q i M. Za pomocą tych równań budowane są wykresy Q i M. Przykład 1.1 Konstruowanie wykresów sił ścinających Q i zginania momenty M dla danej belki (rys. 1.4a). Rozwiązanie: 1. Wyznaczanie reakcji podpór. Układamy równania równowagi: z których otrzymujemy Reakcje podpór są określone poprawnie. Belka ma cztery sekcje Rys. 1.4 ładunki: CA, AD, DB, BE. 2. Działka Q. Działka SA. Na przekroju CA 1 rysujemy dowolny przekrój 1-1 w odległości x1 od lewego końca belki. Definiujemy Q jako algebraiczną sumę wszystkich sił zewnętrznych działających na lewo od przekroju 1-1: Przyjmuje się znak minus, ponieważ siła działająca na lewo od przekroju jest skierowana w dół. Wyrażenie na Q nie zależy od zmiennej x1. Wykres Q w tej sekcji zostanie przedstawiony jako linia prosta równoległa do osi x. Działka AD. Na stronie rysujemy dowolny przekrój 2-2 w odległości x2 od lewego końca belki. Q2 definiujemy jako algebraiczną sumę wszystkich sił zewnętrznych działających na lewo od przekroju 2-2: 8 Wartość Q jest stała na przekroju (nie zależy od zmiennej x2). Działka Q na działce jest linią prostą równoległą do osi x. witryna DB. Na stronie rysujemy dowolny przekrój 3-3 w odległości x3 od prawego końca belki. Definiujemy Q3 jako algebraiczną sumę wszystkich sił zewnętrznych działających na prawo od sekcji 3-3: Wynikowe wyrażenie jest równaniem nachylonej linii prostej. Działka BE Na miejscu rysujemy przekrój 4-4 w odległości x4 od prawego końca belki. Definiujemy Q jako algebraiczną sumę wszystkich sił zewnętrznych działających na prawo od sekcji 4-4: 4 Tutaj przyjmuje się znak plus, ponieważ wypadkowe obciążenie po prawej stronie sekcji 4-4 jest skierowane w dół. Na podstawie uzyskanych wartości budujemy diagramy Q (ryc. 1.4, b). 3. Wykreślanie M. Wykreślanie m1. Definiujemy moment zginający w sekcji 1-1 jako sumę algebraiczną momentów sił działających na lewo od sekcji 1-1. jest równaniem prostej. Przekrój A 3 Zdefiniuj moment zginający w sekcji 2-2 jako sumę algebraiczną momentów sił działających na lewo od sekcji 2-2. jest równaniem prostej. Wykres DB 4 Definiujemy moment zginający w przekroju 3-3 jako algebraiczną sumę momentów sił działających na prawo od przekroju 3-3. jest równaniem paraboli kwadratowej. 9 Znajdź trzy wartości na końcach przekroju i w punkcie o współrzędnej xk , gdzie Przekrój BE 1 Zdefiniuj moment zginający w przekroju 4-4 jako sumę algebraiczną momentów sił działających na prawo od przekroju 4- 4. - równanie kwadratowej paraboli znajdujemy trzy wartości M4: Na podstawie uzyskanych wartości budujemy wykres M (ryc. 1.4, c). Na odcinkach CA i AD działka Q jest ograniczona liniami prostymi równoległymi do osi odciętych, a na odcinkach DB i BE liniami ukośnymi. W odcinkach C, A i B na wykresie Q występują skoki o wielkość odpowiednich sił, co służy sprawdzeniu poprawności konstrukcji wykresu Q. Na odcinkach gdzie Q  0 momenty rosną od od lewej do prawej. W przekrojach, gdzie Q  0, momenty maleją. Pod działaniem sił skupionych występują załamania w kierunku działania sił. Pod momentem skoncentrowanym następuje skok o wartość momentu. Wskazuje to na poprawność wykreślenia M. Przykład 1.2 Skonstruuj wykresy Q i M dla belki na dwóch podporach, obciążonej rozłożonym obciążeniem, którego intensywność zmienia się liniowo (ryc. 1.5, a). Rozwiązanie Wyznaczanie reakcji podporowych. Wypadkowa obciążenia rozłożonego jest równa polu trójkąta reprezentującego wykres obciążenia i jest przyłożona w środku ciężkości tego trójkąta. Tworzymy sumy momentów wszystkich sił względem punktów A i B: Wykreślamy Q. Narysujmy dowolny przekrój w odległości x od lewej podpory. Rzędna wykresu obciążeń odpowiadająca przekrojowi jest wyznaczana z podobieństwa trójkątów Wypadkowa tej części obciążenia, która znajduje się na lewo od przekroju Siła ścinająca w przekroju jest równa zeru: Działka Q jest pokazana w Figa. 1,5, b. Moment zginający w dowolnym przekroju jest równy Moment zginający zmienia się zgodnie z prawem paraboli sześciennej: Maksymalna wartość momentu zginającego występuje w przekroju, gdzie 0, tj. w. 1,5, ok. 1.3. Konstrukcja diagramów Q i M za pomocą przekrojów charakterystycznych (punktów) Wykorzystując zależności różniczkowe między M, Q, q i wynikające z nich wnioski, wskazane jest budowanie diagramów Q i M przekrojami charakterystycznymi (bez formułowania równań). Za pomocą tej metody wartości Q i M są obliczane w charakterystycznych przekrojach. Charakterystycznymi przekrojami są przekroje graniczne przekrojów, a także przekroje, w których dany współczynnik siły wewnętrznej ma wartość ekstremalną. W granicach między charakterystycznymi przekrojami zarys 12 diagramu ustala się na podstawie zależności różniczkowych między M, Q, q i wynikających z nich wniosków. Przykład 1.3 Skonstruuj diagramy Q i M dla belki pokazanej na rys. 1.6, za. Ryż. 1.6. Rozwiązanie: Wykreślanie wykresów Q i M zaczynamy od wolnego końca belki, podczas gdy reakcje w osadzeniu można pominąć. Belka ma trzy obszary ładowania: AB, BC, CD. Na odcinkach AB i BC nie ma obciążenia rozłożonego. Siły poprzeczne są stałe. Działka Q jest ograniczona liniami prostymi równoległymi do osi x. Momenty zginające zmieniają się liniowo. Działka M jest ograniczona do linii prostych nachylonych do osi x. Na odcinku CD znajduje się równomiernie rozłożony ciężar. Siły poprzeczne zmieniają się liniowo, a momenty zginające zmieniają się zgodnie z prawem paraboli kwadratowej z wypukłością w kierunku rozłożonego obciążenia. Na granicy odcinków AB i BC siła poprzeczna zmienia się gwałtownie. Na granicy przekrojów BC i CD moment zginający zmienia się gwałtownie. 1. Wykreślanie Q. Obliczamy wartości sił poprzecznych Q w odcinkach granicznych przekrojów: Na podstawie wyników obliczeń budujemy diagram Q dla belki (ryc. 1, b). Z wykresu Q wynika, że siła poprzeczna w przekroju CD jest równa zeru w odcinku oddalonym od początku tego przekroju o qa a q. W tej sekcji moment zginający ma wartość maksymalną. 2. Budowa schematu M. Obliczamy wartości momentów zginających w odcinkach granicznych przekrojów: Przykład 1.4 Zgodnie z podanym wykresem momentów zginających (ryc. 1.7, a) dla belki (ryc. 1.7, b), określ działające obciążenia i wykreśl Q. Okrąg wskazuje wierzchołek kwadratowej paraboli. Rozwiązanie: Określ obciążenia działające na belkę. Sekcja AC jest obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem, ponieważ wykres M w tej sekcji jest kwadratową parabolą. W sekcji odniesienia B do belki przyłożony jest moment skupiony, działający w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, ponieważ na diagramie M mamy skok w górę o wielkość momentu. W sekcji NE belka nie jest obciążona, ponieważ schemat M w tej sekcji jest ograniczony nachyloną linią prostą. Reakcję podpory B wyznacza się z warunku, że moment zginający w przekroju C jest równy zeru, tj. Aby wyznaczyć intensywność obciążenia rozłożonego, tworzymy wyrażenie na moment zginający w przekroju A jako sumę momentów siły po prawej stronie i równają się zeru. Teraz wyznaczamy reakcję podpory A. W tym celu ułożymy wyrażenie na momenty zginające w przekroju jako sumę momentów sił po lewej stronie. Schemat obliczeń belki z obciążeniem pokazano na ryc. 1,7, ok. Zaczynając od lewego końca belki, obliczamy wartości sił poprzecznych w przekrojach granicznych przekrojów: Wykres Q pokazano na ryc. 1.7, d. Rozważany problem można rozwiązać, kompilując zależności funkcjonalne dla M, Q w każdej sekcji. Wybierzmy początek współrzędnych na lewym końcu belki. Na odcinku AC wykres M jest wyrażony kwadratową parabolą, której równanie ma postać Stałe a, b, c, które znajdujemy z warunku, że parabola przechodzi przez trzy punkty o znanych współrzędnych: Podstawiając współrzędne punkty do równania paraboli otrzymujemy: Wyrażenie na moment zginający będzie miało postać , otrzymujemy zależność na siłę poprzeczną Po zróżniczkowaniu funkcji Q otrzymujemy wyrażenie na natężenie obciążenia rozłożonego W przekroju NE , wyrażenie na moment zginający jest reprezentowane jako funkcja liniowa Aby wyznaczyć stałe a i b, używamy warunków, że prosta ta przechodzi przez dwa punkty o znanych współrzędnych Otrzymujemy dwa równania: ,b z których mamy 20. Równanie momentu zginającego w przekroju NE będzie Po dwukrotnym zróżnicowaniu M2, znajdziemy.Na podstawie znalezionych wartości M i Q budujemy wykresy momentów zginających i sił tnących dla belki. Oprócz obciążenia rozłożonego, na belkę przykładane są siły skupione w trzech odcinkach, gdzie występują skoki na wykresie Q, oraz momenty skupione na odcinku, w którym występuje skok na wykresie M. Przykład 1.5 W przypadku belki (ryc. 1.8, a) określ racjonalne położenie zawiasu C, przy którym największy moment zginający w przęśle jest równy momentowi zginającemu w osadzeniu (w wartości bezwzględnej). Zbuduj diagramy Q i M. Rozwiązanie Wyznaczanie reakcji podpór. Pomimo faktu, że całkowita liczba ogniw podporowych wynosi cztery, belka jest statycznie wyznaczalna. Moment zginający w zawiasie C jest równy zeru, co pozwala na dodatkowe równanie: suma momentów wokół zawiasu wszystkich sił zewnętrznych działających na jedną stronę tego zawiasu jest równa zeru. Skomponuj sumę momentów wszystkich sił na prawo od zawiasu C. Diagram Q dla belki jest ograniczony nachyloną linią prostą, ponieważ q = const. Wyznaczamy wartości sił poprzecznych w przekrojach granicznych belki: Odciętą xK przekroju, gdzie Q = 0, wyznaczamy z równania, z którego wykres M dla belki jest ograniczony kwadratową parabolą. Wyrażenia na momenty zginające w przekrojach, gdzie Q = 0, oraz w osadzeniu zapisuje się odpowiednio następująco: Z warunku równości momentów otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na żądany parametr x: Wartość rzeczywista x2x 1 0,029 m. w charakterystycznych odcinkach belki Rysunek 1.8, b pokazuje schemat Q, a na rysunku. 1.8, c - wykres M. Rozważany problem można rozwiązać, dzieląc belkę przegubową na jej elementy składowe, jak pokazano na ryc. 1.8, d. Na początku wyznaczane są reakcje podpór VC i VB. Wykresy Q i M są budowane dla belki podwieszanej SV na podstawie działania przyłożonego do niej obciążenia. Następnie przechodzą na belkę główną AC, obciążając ją dodatkową siłą VC, która jest siłą nacisku belki CB na belkę AC. Następnie budowane są diagramy Q i M dla wiązki prądu przemiennego. 1.4. Obliczenia wytrzymałościowe dla bezpośredniego zginania belek Obliczenia wytrzymałościowe dla naprężeń normalnych i ścinających. Przy bezpośrednim zginaniu belki w jej przekrojach powstają naprężenia normalne i ścinające (ryc. 1.9). 18 Ryc. 1.9 Naprężenia normalne są związane z momentem zginającym, naprężenia ścinające są związane z siłą poprzeczną. W bezpośrednim czystym zginaniu naprężenia ścinające są równe zeru. Naprężenia normalne w dowolnym punkcie przekroju poprzecznego belki określa się ze wzoru (1.4) gdzie M jest momentem zginającym w danym przekroju; Iz jest momentem bezwładności przekroju względem osi neutralnej z; y jest odległością od punktu, w którym określa się naprężenie normalne, do neutralnej osi z. Naprężenia normalne wzdłuż wysokości przekroju zmieniają się liniowo i osiągają największą wartość w punktach najbardziej oddalonych od osi neutralnej Jeżeli przekrój jest symetryczny względem osi neutralnej (rys. 1.11), następnie ryc. 1.11 największe naprężenia rozciągające i ściskające są takie same i są określone wzorem,  - osiowy moment oporu przekroju przy zginaniu. Dla przekroju prostokątnego o szerokości b i wysokości h: (1.7) Dla przekroju kołowego o średnicy d: (1.8) Dla przekroju pierścieniowego   to odpowiednio wewnętrzna i zewnętrzna średnica pierścienia. W przypadku belek wykonanych z tworzyw sztucznych najbardziej racjonalne są symetryczne kształty o 20 przekrojach (dwuteownik, skrzynkowy, pierścieniowy). W przypadku belek wykonanych z kruchych materiałów, które nie są jednakowo odporne na rozciąganie i ściskanie, przekroje asymetryczne względem neutralnej osi z (ta-br., asymetryczna belka dwuteowa w kształcie litery U) są racjonalne. Dla belek o stałym przekroju wykonanych z tworzyw sztucznych o symetrycznych kształtach przekroju warunek wytrzymałościowy zapisuje się następująco: (1.10) gdzie Mmax jest maksymalnym momentem zginającym modulo; - dopuszczalne naprężenia dla materiału. Dla belek o stałym przekroju wykonanych z materiałów ciągliwych o asymetrycznych kształtach przekroju warunek wytrzymałościowy zapisuje się w postaci: (1.11) warunki wytrzymałościowe - odległości od osi neutralnej do najbardziej odległych punktów stref rozciągania i ściskania belki sekcja niebezpieczna, odpowiednio; P - dopuszczalne naprężenia odpowiednio przy rozciąganiu i ściskaniu. Ryc.1.12. 21 Jeżeli wykres momentu zginającego ma odcinki o różnych znakach (rys. 1.13), to oprócz sprawdzenia odcinka 1-1, w którym działa Mmax, należy obliczyć maksymalne naprężenia rozciągające dla odcinka 2-2 (z największy moment przeciwnego znaku). Ryż. 1.13 Oprócz podstawowych obliczeń naprężeń normalnych, w niektórych przypadkach konieczne jest sprawdzenie wytrzymałości belki na naprężenia ścinające. Naprężenia ścinające w belkach oblicza się według wzoru D. I. Zhuravsky'ego (1.13), gdzie Q jest siłą poprzeczną w rozważanym przekroju poprzecznym belki; Szots to moment statyczny względem osi neutralnej obszaru części przekroju znajdującej się po jednej stronie prostej poprowadzonej przez dany punkt i równoległej do osi z; b jest szerokością przekroju na poziomie rozpatrywanego punktu; Iz jest momentem bezwładności całego przekroju wokół osi obojętnej z. W wielu przypadkach maksymalne naprężenia styczne występują na poziomie neutralnej warstwy belki (prostokąt, dwuteownik, okrąg). W takich przypadkach warunek wytrzymałości na ścinanie jest zapisywany jako (1. 14) gdzie Qmax jest siłą poprzeczną o największym module sprężystości; - dopuszczalne naprężenie ścinające dla materiału. W przypadku prostokątnego przekroju belki warunek wytrzymałości ma postać (1,15) A jest polem przekroju poprzecznego belki. Dla przekroju kołowego warunek wytrzymałości jest przedstawiony jako (1.16) Dla przekroju dwuteowego warunek wytrzymałości jest przedstawiony w następujący sposób: (1.17) d jest grubością ścianki belki dwuteowej. Zwykle wymiary przekroju poprzecznego belki są określane na podstawie warunku wytrzymałości dla naprężeń normalnych. Sprawdzanie wytrzymałości belek na naprężenia ścinające jest obowiązkowe w przypadku belek krótkich i belek o dowolnej długości, jeśli w pobliżu podpór występują skupione siły o dużej wielkości, a także w przypadku belek drewnianych, nitowanych i spawanych. Przykład 1.6 Sprawdź wytrzymałość belki o przekroju skrzynkowym (rys. 1.14) na naprężenia normalne i ścinające, jeśli MPa. Zbuduj diagramy w niebezpiecznej części belki. Ryż. 1.14 Decyzja 23 1. Wykreślić wykresy Q i M z charakterystycznych przekrojów. Biorąc pod uwagę lewą stronę belki, otrzymujemy Wykres sił poprzecznych pokazano na ryc. 1.14, ok. Wykres momentów zginających pokazano na ryc. 5.14, g. 2. Charakterystyka geometryczna przekroju 3. Największe naprężenia normalne w przekroju C, gdzie działa Mmax (modulo): MPa. Maksymalne naprężenia normalne w belce są praktycznie równe naprężeniom dopuszczalnym. 4. Największe naprężenia styczne w przekroju C (lub A), gdzie działa max Q (modulo): Oto moment statyczny pola przekroju względem osi neutralnej; b2 cm to szerokość przekroju na poziomie osi neutralnej. Rys. 5. Naprężenia styczne w punkcie (w ścianie) w przekroju C: Rys. 1,15 Tutaj Szomc 834,5 108 cm3 jest momentem statycznym pola powierzchni części przekroju znajdującej się nad linią przechodzącą przez punkt K1; b2 cm to grubość ściany na poziomie punktu K1. Wykresy  i  dla przekroju C belki pokazano na ryc. 1.15. Przykład 1.7 Dla belki pokazanej na rys. 1.16, a, wymagane jest: 1. Skonstruować wykresy sił poprzecznych i momentów zginających wzdłuż charakterystycznych przekrojów (punktów). 2. Wyznaczyć wymiary przekroju poprzecznego w postaci koła, prostokąta i dwuteownika z warunku wytrzymałości dla naprężeń normalnych, porównać pola przekrojów. 3. Sprawdź wybrane wymiary przekrojów belek pod kątem naprężeń ścinających. Podano: Rozwiązanie: 1. Wyznacz reakcje podpór belki Sprawdź: 2. Sporządź wykresy Q i M. Wartości sił poprzecznych w charakterystycznych przekrojach belki 25 Ryc. 1.16 W odcinkach CA i AD intensywność obciążenia q = const. Dlatego na tych odcinkach diagram Q jest ograniczony do linii prostych nachylonych do osi. W sekcji DB intensywność obciążenia rozłożonego q \u003d 0, dlatego w tej sekcji wykres Q jest ograniczony do linii prostej równoległej do osi x. Schemat Q dla belki pokazano na ryc. 1.16b. Wartości momentów zginających w charakterystycznych przekrojach belki: W drugim przekroju wyznaczamy odciętą x2 przekroju, w której Q = 0: Maksymalny moment w drugim przekroju Diagram M dla belki pokazano na ryc. . 1.16, ok. 2. Tworzymy warunek wytrzymałości dla naprężeń normalnych, z którego wyznaczamy wymagany moduł przekroju osiowego z wyrażenia określamy wymaganą średnicę d belki o przekroju okrągłym Pole przekroju kołowego Dla belki prostokątnej Wymagana wysokość przekroju Pole przekroju prostokątnego Zgodnie z tabelami GOST 8239-89 znajdujemy najbliższą większą wartość osiowego momentu oporu 597 cm3, co odpowiada dwuteownikowi nr 33 o charakterystyce: A z 9840 cm4. Kontrola tolerancji: (niedociążenie o 1% dopuszczalnych 5%) najbliższa dwuteownik nr 30 (W 2 cm3) prowadzi do znacznego przeciążenia (ponad 5%). Ostatecznie akceptujemy belkę dwuteową nr 33. Porównujemy pola przekroju kołowego i prostokątnego z najmniejszym polem A belki dwuteowej: Z trzech rozważanych przekrojów przekrój dwuteowy jest najbardziej ekonomiczny. 3. Obliczamy największe naprężenia normalne w niebezpiecznym odcinku 27 belki dwuteowej (ryc. 1.17, a): Naprężenia normalne w ścianie w pobliżu kołnierza sekcji dwuteowej. 1.17b. 5. Wyznaczamy największe naprężenia ścinające dla wybranych przekrojów belki. a) prostokątny przekrój belki: b) sekcja okrągła belki: c) Przekrój belki dwuteowej: Naprężenia ścinające w ścianie w pobliżu półki belki dwuteowej w niebezpiecznym odcinku A (po prawej) (w punkcie 2): Wykres naprężeń ścinających w niebezpiecznych odcinkach dwuteownika -belka jest pokazana na ryc. 1.17, w. Maksymalne naprężenia ścinające w belce nie przekraczają dopuszczalnych naprężeń Przykład 1.8 Określ dopuszczalne obciążenie belki (ryc. 1.18, a), jeśli 60 MPa, podane są wymiary przekroju (ryc. 1.19, a). Skonstruować wykres naprężeń normalnych w niebezpiecznym odcinku belki pod obciążeniem dopuszczalnym. Rys. 1.18 1. Wyznaczanie reakcji podpór belek. Ze względu na symetrię układu 2. Konstrukcja diagramów Q i M z przekrojów charakterystycznych. Siły ścinające w charakterystycznych przekrojach belki: Wykres Q dla belki pokazano na rys. 5.18b. Momenty zginające w charakterystycznych przekrojach belki Dla drugiej połowy belki rzędne M leżą wzdłuż osi symetrii. Schemat M dla belki pokazano na ryc. 1.18b. 3. Charakterystyka geometryczna przekroju (ryc. 1.19). Dzielimy figurę na dwa proste elementy: dwuteownik - 1 i prostokąt - 2. Ryc. 1.19 Zgodnie z asortymentem dla belki dwuteowej nr 20 mamy Dla prostokąta: Moment statyczny przekroju względem osi z1 Odległość od osi z1 do środka ciężkości przekroju Moment bezwładności przekroju względem do głównej osi centralnej z całego odcinka zgodnie ze wzorami przejścia do równoległych osi punktu niebezpiecznego „a” (ryc. 1.19) w niebezpiecznym odcinku I (ryc. 1.18): Po podstawieniu danych liczbowych 5. Przy dopuszczalnym obciążenia w niebezpiecznym odcinku, normalne naprężenia w punktach „a” i „b” będą równe: niebezpieczny odcinek 1-1 pokazano na ryc. 1.19b.

Zaczynamy od najprostszego przypadku, tzw. czystego zginania.

Jest czysty zakręt szczególny przypadek zginanie, przy którym siła poprzeczna w odcinkach belki wynosi zero. Czyste zginanie może mieć miejsce tylko wtedy, gdy ciężar własny belki jest tak mały, że jego wpływ można pominąć. Dla belek na dwóch podporach przykłady obciążeń, które powodują netto

zagięcie, pokazane na rys. 88. Na odcinkach tych belek, gdzie Q \u003d 0, a zatem M \u003d const; jest czysty zakręt.

Siły w dowolnym odcinku belki z czystym zginaniem są redukowane do pary sił, których płaszczyzna działania przechodzi przez oś belki, a moment jest stały.

Naprężenia można określić na podstawie następujących rozważań.

1. Składowych stycznych sił działających na elementarne pola przekroju poprzecznego belki nie można sprowadzić do pary sił, których płaszczyzna działania jest prostopadła do płaszczyzny przekroju. Wynika z tego, że siła zginająca w przekroju jest wynikiem działania na powierzchnie elementarne

tylko siły normalne, a zatem przy czystym zginaniu naprężenia są redukowane tylko do normalnych.

2. Aby wysiłki na elementarnych platformach zostały zredukowane do zaledwie kilku sił, muszą być wśród nich zarówno pozytywne, jak i negatywne. Dlatego muszą istnieć zarówno naprężone, jak i ściśnięte włókna belki.

3. Ponieważ siły w różnych przekrojach są takie same, naprężenia w odpowiednich punktach przekrojów są takie same.

Rozważ dowolny element w pobliżu powierzchni (ryc. 89, a). Ponieważ na jej dolną powierzchnię, która pokrywa się z powierzchnią belki, nie działają żadne siły, nie występują na niej również naprężenia. Dlatego nie ma naprężeń na górnej powierzchni elementu, ponieważ w przeciwnym razie element nie byłby w równowadze.Biorąc pod uwagę wysokość elementu sąsiadującego z nim (ryc. 89, b), dochodzimy do

Ten sam wniosek itp. Wynika z tego, że wzdłuż poziomych powierzchni żadnego elementu nie występują naprężenia. Rozważając elementy tworzące warstwę poziomą, zaczynając od elementu przy powierzchni belki (rys. 90), dochodzimy do wniosku, że wzdłuż bocznych ścian pionowych żadnego elementu nie występują naprężenia. Zatem stan naprężenia dowolnego elementu (ryc. 91, a) oraz na granicy włókna musi być przedstawiony tak, jak pokazano na ryc. 91b, tj. może to być rozciąganie osiowe lub ściskanie osiowe.

4. Ze względu na symetrię przyłożenia sił zewnętrznych odcinek wzdłuż środka długości belki po odkształceniu powinien pozostać płaski i prostopadły do osi belki (ryc. 92, a). Z tego samego powodu odcinki w ćwiartkach długości belki również pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki (ryc. 92, b), jeśli tylko skrajne sekcje belki pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki podczas deformacji. Podobny wniosek dotyczy również odcinków w ósmych długości belki (ryc. 92, c) itp. Dlatego jeśli skrajne sekcje belki pozostają płaskie podczas zginania, to dla dowolnego odcinka pozostaje

można śmiało powiedzieć, że po odkształceniu pozostaje płaska i normalna do osi zakrzywionej belki. Ale w tym przypadku oczywiste jest, że zmiana wydłużenia włókien belki wzdłuż jej wysokości powinna zachodzić nie tylko w sposób ciągły, ale także monotonny. Jeżeli warstwą nazywamy zbiór włókien o jednakowych wydłużeniach, to z tego, co zostało powiedziane, wynika, że rozciągnięte i ściśnięte włókna belki powinny znajdować się po przeciwnych stronach warstwy, w której wydłużenia włókien są równe zeru. Włókna, których wydłużenia są równe zeru, będziemy nazywać neutralnymi; warstwa złożona z włókien neutralnych - warstwa neutralna; linia przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju poprzecznego belki - linia neutralna tego przekroju. Następnie, opierając się na wcześniejszych rozważaniach, można stwierdzić, że przy czystym zginaniu belki w każdym jej przekroju istnieje linia neutralna, która dzieli ten przekrój na dwie części (strefy): strefę rozciągniętych włókien (strefę naprężoną) oraz strefa sprasowanych włókien (strefa sprasowana). Odpowiednio, normalne naprężenia rozciągające powinny działać w punktach strefy rozciągania przekroju poprzecznego, naprężenia ściskające w punktach strefy ściskanej, aw punktach linii neutralnej naprężenia są równe zeru.

Zatem przy czystym zginaniu belki o stałym przekroju:

1) w przekrojach działają tylko naprężenia normalne;

2) cały odcinek można podzielić na dwie części (strefy) - rozciągniętą i ściśniętą; granicą stref jest neutralna linia przekroju, w punktach której naprężenia normalne są równe zeru;

3) dowolny podłużny element belki (w granicy dowolne włókno) jest poddawany osiowemu rozciąganiu lub ściskaniu, tak aby sąsiednie włókna nie oddziaływały ze sobą;

4) jeżeli skrajne odcinki belki podczas odkształcenia pozostają płaskie i prostopadłe do osi, to wszystkie jej przekroje pozostają płaskie i prostopadłe do osi zakrzywionej belki.

Stan naprężenia belki przy czystym zginaniu

Rozważ element belki podlegający czystemu zginaniu, podsumowując mierzone między odcinkami m-m i n-n, które są oddalone od siebie w nieskończenie małej odległości dx (ryc. 93). W związku z przepisem (4) poprzedniego akapitu odcinki m-m i n-n, które przed odkształceniem były równoległe, po zgięciu pozostając płaskimi utworzą kąt dQ i przetną się wzdłuż prostej przechodzącej przez punkt C, będący środkiem włókna neutralnego pod względem krzywizny NN. Następnie część włókna AB zamknięta między nimi, znajdująca się w odległości z od włókna neutralnego (dodatni kierunek osi z jest przyjmowany w kierunku wypukłości wiązki podczas zginania), zamieni się w łuk A „B” po odkształcenie Odcinek włókna neutralnego O1O2, zamieniając się w łuk O1O2, nie zmieni swojej długości, podczas gdy włókno AB otrzyma wydłużenie:

przed deformacją

po odkształceniu

gdzie p jest promieniem krzywizny włókna neutralnego.

Zatem bezwzględne wydłużenie odcinka AB wynosi

i wydłużenie

Ponieważ zgodnie z pozycją (3) włókno AB podlega rozciąganiu osiowemu, a następnie odkształceniu sprężystemu

Z tego widać, że normalne naprężenia wzdłuż wysokości belki rozkładają się zgodnie z prawem liniowym (ryc. 94). Ponieważ jednakowa siła wszystkich wysiłków na wszystkich elementarnych odcinkach przekroju musi być równa zero, to znaczy

skąd, podstawiając wartość z (5.8), znajdujemy

Ale ostatnia całka to moment statyczny wokół osi Oy, która jest prostopadła do płaszczyzny działania sił zginających.

Ze względu na swoją równość do zera oś ta musi przechodzić przez środek ciężkości O przekroju. Zatem linią neutralną przekroju belki jest linia prosta yy, prostopadła do płaszczyzny działania sił zginających. Nazywa się to neutralną osią przekroju belki. Następnie z (5.8) wynika, że naprężenia w punktach leżących w tej samej odległości od osi neutralnej są takie same.

Przypadek czystego zginania, w którym siły zginające działają tylko w jednej płaszczyźnie, powodując zginanie tylko w tej płaszczyźnie, jest płaskim zginaniem czystym. Jeżeli wymieniona płaszczyzna przechodzi przez oś Oz, to moment elementarnych wysiłków względem tej osi musi być równy zeru, tj.

Podstawiając tutaj wartość σ z (5.8), znajdujemy

Całka po lewej stronie tej równości, jak wiadomo, jest odśrodkowym momentem bezwładności przekroju względem osi y i z, tak że

Osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności przekroju jest równy zero, nazywane są głównymi osiami bezwładności tego przekroju. Jeżeli dodatkowo przechodzą przez środek ciężkości przekroju, wówczas można je nazwać głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju. Tak więc, przy płaskim czystym zginaniu, kierunek płaszczyzny działania sił zginających i neutralna oś przekroju są głównymi centralnymi osiami bezwładności tego ostatniego. Innymi słowy, aby uzyskać płaskie, czyste zgięcie belki, nie można przyłożyć do niej obciążenia w sposób dowolny: należy je sprowadzić do sił działających w płaszczyźnie przechodzącej przez jedną z głównych centralnych osi bezwładności sekcji belki; w tym przypadku druga główna środkowa oś bezwładności będzie neutralną osią przekroju.

Jak wiadomo, w przypadku przekroju symetrycznego względem dowolnej osi, oś symetrii jest jedną z jego głównych centralnych osi bezwładności. Zatem w tym konkretnym przypadku z pewnością uzyskamy czyste ugięcie, przykładając odpowiednie obciążenia w płaszczyźnie przechodzącej przez oś podłużną belki i oś symetrii jej przekroju. Linia prosta prostopadła do osi symetrii i przechodząca przez środek ciężkości przekroju jest osią neutralną tego przekroju.

Po ustaleniu położenia osi neutralnej nietrudno jest znaleźć wielkość naprężenia w dowolnym punkcie przekroju. Rzeczywiście, ponieważ suma momentów sił elementarnych względem osi neutralnej yy musi być równa momentowi zginającemu, to

skąd, podstawiając wartość σ z (5.8), znajdujemy

Od całki Jest. wtedy moment bezwładności przekroju wokół osi y

iz wyrażenia (5.8) otrzymujemy

Iloczyn EI Y nazywany jest sztywnością belki na zginanie.

Największe wartości bezwzględne naprężenia rozciągające i ściskające działają w punktach przekroju, dla których wartość bezwzględna z jest największa, tj. w punktach najbardziej oddalonych od osi neutralnej. Z oznaczeniami, rys. 95 mieć

Wartość Jy/h1 nazywana jest momentem oporu przekroju na rozciąganie i oznaczana jest przez Wyr; podobnie Jy/h2 nazywany jest momentem oporu przekroju na ściskanie

i oznacz Wyc, tak

i dlatego

Jeżeli oś obojętna jest osią symetrii przekroju, to h1 = h2 = h/2 i w konsekwencji Wyp = Wyc, więc nie ma potrzeby ich rozróżniania i używają tego samego oznaczenia:

nazywając W y po prostu modułem przekroju, dlatego w przypadku przekroju symetrycznego względem osi neutralnej,

Wszystkie powyższe wnioski wynikają z założenia, że przekroje poprzeczne belki po zgięciu pozostają płaskie i prostopadłe do jej osi (hipoteza płaskich przekrojów). Jak pokazano, założenie to jest ważne tylko wtedy, gdy skrajne (końcowe) sekcje belki pozostają płaskie podczas zginania. Z drugiej strony z hipotezy przekrojów płaskich wynika, że siły elementarne w takich przekrojach powinny rozkładać się zgodnie z prawem liniowości. Dlatego dla ważności uzyskanej teorii płaskiego czystego zginania konieczne jest przyłożenie momentów zginających na końcach belki w postaci sił elementarnych rozłożonych wzdłuż wysokości przekroju zgodnie z prawem liniowym (rys. 96), co pokrywa się z prawem rozkładu naprężeń wzdłuż wysokości belek przekroju. Jednak opierając się na zasadzie Saint-Venanta można stwierdzić, że zmiana sposobu przyłożenia momentów zginających na końcach belki spowoduje jedynie lokalne odkształcenia, których efekt będzie dotyczył tylko w pewnej odległości od tych kończy (w przybliżeniu równa wysokości sekcji). Sekcje znajdujące się na pozostałej długości belki pozostaną płaskie. W związku z tym podawana teoria płaskiego czystego zginania, przy dowolnej metodzie przyłożenia momentów zginających, obowiązuje tylko w środkowej części długości belki, znajdującej się w odległościach od jej końców w przybliżeniu równych wysokości przekroju. Z tego jasno wynika, że teoria ta nie ma oczywiście zastosowania, jeśli wysokość przekroju przekracza połowę długości lub rozpiętości belki.