Jaka jest suma kątów wielokąta wypukłego. Twierdzenie o sumie kątów trójkąta. Jaka jest suma kątów

W ósmej klasie na lekcjach geometrii w szkole uczniowie po raz pierwszy zapoznają się z pojęciem wielokąta wypukłego. Już wkrótce dowiedzą się, że liczba ta ma bardzo interesującą właściwość. Niezależnie od tego, jak skomplikowane może to być, suma wszystkich kątów wewnętrznych i zewnętrznych wielokąta wypukłego przyjmuje ściśle określoną wartość. W tym artykule nauczyciel matematyki i fizyki opowiada o tym, jaka jest suma kątów wielokąta wypukłego.

Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego

Jak udowodnić tę formułę?

Zanim przejdziemy do dowodu tego stwierdzenia, przypomnijmy, który wielokąt nazywa się wypukłym. Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli leży całkowicie po jednej stronie linii zawierającej którykolwiek z jego boków. Na przykład ten pokazany na tym obrazku:

Jeśli wielokąt nie spełnia wskazanego warunku, nazywa się go niewypukłym. Na przykład tak:

Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi , gdzie jest liczbą boków wielokąta.

Dowód tego faktu opiera się na twierdzeniu o sumie kątów w trójkącie, dobrze znanym wszystkim dzieciom w wieku szkolnym. Jestem pewien, że znasz to twierdzenie. Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi .

Pomysł polega na podzieleniu wypukłego wielokąta na wiele trójkątów. To może być zrobione różne sposoby. W zależności od tego, jaką metodę wybierzemy, dowody będą się nieco różnić.

1. Podziel wielokąt wypukły na trójkąty przez wszystkie możliwe przekątne wyprowadzone z jakiegoś wierzchołka. Łatwo zrozumieć, że wtedy nasz n-gon zostanie podzielony na trójkąty:

Co więcej, suma wszystkich kątów wszystkich powstałych trójkątów jest równa sumie kątów naszego n-gonu. Przecież każdy kąt w powstałych trójkątach jest kątem cząstkowym w naszym wielokącie wypukłym. Oznacza to, że wymagana kwota jest równa .

2. Możesz także wybrać punkt wewnątrz wypukłego wielokąta i połączyć go ze wszystkimi wierzchołkami. Wtedy nasz n-gon zostanie podzielony na trójkąty:

Co więcej, suma kątów naszego wielokąta w tym przypadku będzie równa sumie wszystkich kątów wszystkich tych trójkątów minus kąt środkowy, który jest równy . Oznacza to, że żądana ilość jest ponownie równa .

Suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego

Zadajmy sobie teraz pytanie: „Jaka jest suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego?” Na to pytanie można odpowiedzieć w następujący sposób. Każdy narożnik zewnętrzny sąsiaduje z odpowiednim narożnikiem wewnętrznym. Zatem jest równe:

Wtedy suma wszystkich kątów zewnętrznych wynosi . Oznacza to, że jest równy.

To bardzo zabawny wynik. Jeśli odłożymy po kolei wszystkie zewnętrzne narożniki dowolnego wypukłego n-kąta, to w rezultacie dokładnie cała płaszczyzna zostanie wypełniona.

Ten interesujący fakt można zilustrować w następujący sposób. Zmniejszmy proporcjonalnie wszystkie boki jakiegoś wypukłego wielokąta, aż połączy się on w punkt. Po tym czasie wszystkie zewnętrzne rogi zostaną odsunięte jeden od drugiego i w ten sposób wypełnią całą płaszczyznę.

Ciekawostka, prawda? A takich faktów w geometrii jest wiele. Uczcie się więc geometrii, drodzy uczniowie!

Materiał na temat sumy kątów wielokąta wypukłego przygotował Siergiej Waleriewicz

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 0 . Jest to jeden z podstawowych aksjomatów geometrii Euklidesa. To właśnie tej geometrii uczą się uczniowie. Geometrię definiuje się jako naukę badającą formy przestrzenne świata rzeczywistego.

Co skłoniło starożytnych Greków do opracowania geometrii? Konieczność pomiaru pól, łąk - obszarów powierzchni ziemi. Jednocześnie starożytni Grecy przyjęli, że powierzchnia Ziemi jest pozioma, płaska. Mając to na uwadze, stworzono aksjomaty Euklidesa, obejmujące sumę kątów wewnętrznych trójkąta przy 180 0 .

Aksjomat to stwierdzenie, które nie wymaga dowodu. Jak należy to rozumieć? Wyrażane jest życzenie, które odpowiada danej osobie, a następnie potwierdzane jest ilustracjami. Ale wszystko, czego nie udowodniono, jest fikcją, czymś, co nie istnieje w rzeczywistości.

Nabierający powierzchnia ziemi poziomo, starożytni Grecy automatycznie przyjmowali kształt Ziemi jako płaski, jednak jest on inny – kulisty. W przyrodzie w ogóle nie ma płaszczyzn poziomych i linii prostych, ponieważ grawitacja zagina przestrzeń. Linie proste i płaszczyzny poziome znajdują się tylko w mózgu człowieka.

Dlatego geometria Euklidesa, wyjaśniająca formy przestrzenne fikcyjnego świata, jest symulakrum – kopią, która nie ma oryginału.

Jeden z aksjomatów Euklidesa stwierdza, że suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180 0 . W rzeczywistości w prawdziwie zakrzywionej przestrzeni lub na kulistej powierzchni Ziemi suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze większa niż 180 0 .

Rozumujemy w ten sposób. Każdy południk na kuli ziemskiej przecina się z równikiem pod kątem 90 0 . Aby uzyskać trójkąt, musisz odsunąć się od południka o kolejny południk. Suma kątów trójkąta między południkami a bokiem równika wyniesie 180 0 . Ale na biegunie nadal będzie kąt. W rezultacie suma wszystkich kątów i będzie większa niż 180 0.

Jeżeli boki przecinają się na biegunie pod kątem 90 0, wówczas suma kątów wewnętrznych takiego trójkąta wyniesie 270 0. Dwa południki przecinające się z równikiem pod kątem prostym w tym trójkącie będą do siebie równoległe, a na biegunie, przecinając się pod kątem 90 0, staną się prostopadłe. Okazuje się, że dwie równoległe linie na tej samej płaszczyźnie nie tylko przecinają się, ale mogą być prostopadłe na biegunie.

Oczywiście boki takiego trójkąta nie będą liniami prostymi, ale wypukłymi, powtarzającymi kulisty kształt globu. Ale tak po prostu prawdziwy świat przestrzeń.

Geometria przestrzeni rzeczywistej z uwzględnieniem jej krzywizny w połowie XIX wieku. opracowany przez niemieckiego matematyka B. Riemanna (1820-1866). Ale studentom się o tym nie mówi.

Zatem geometria euklidesowa, która przyjmuje postać płaskiej Ziemi o poziomej powierzchni, co w rzeczywistości nie ma miejsca, jest symulakrem. Nootyczny - geometria riemannowska uwzględniająca krzywiznę przestrzeni. Suma kątów wewnętrznych trójkąta w nim jest większa niż 180 0 .

Kontynuacja wczorajszego dnia:

Bawimy się mozaiką w bajkę z geometrii:

Były trójkąty. Tak podobni, że są po prostu swoimi kopiami.
Stanęli obok siebie w linii prostej. A ponieważ wszyscy byli tego samego wzrostu -
wówczas ich szczyty znajdowały się na tym samym poziomie, pod linijką:

Trójkąty uwielbiały się toczyć i stać na głowie. Wspięli się do najwyższego rzędu i stanęli w rogu jak akrobaci.
I już wiemy – kiedy staną szczytami dokładnie w jednej linii,
wtedy ich podeszwy też są wyłożone - bo jak ktoś jest tego samego wzrostu, to jest do góry nogami o tym samym wzroście!

We wszystkim były takie same - i wysokość była taka sama, a podeszwy były jeden do jednego,
i ślizga się po bokach – jedna bardziej stroma, druga łagodniejsza – tej samej długości
i mają to samo nachylenie. Cóż, tylko bliźniaki! (tylko w różnych ubraniach, każdy ma swój własny element układanki).

Gdzie trójkąty mają te same boki? Gdzie są rogi?

Trójkąty stanęły na głowie, wstały i postanowiły zsunąć się i położyć w dolnym rzędzie.
Poślizgnąłem się i zsunąłem w dół jak wzgórze; i zjeżdżalnie są takie same!
Pasują więc dokładnie pomiędzy dolne trójkąty, bez przerw i nikt nikogo nie naciska.

Rozejrzeliśmy się po trójkątach i zauważyliśmy interesującą cechę.
Gdziekolwiek ich rogi spotykały się, z pewnością spotykały się wszystkie trzy rogi:
największy to „głowa kątowa”, kąt najostrzejszy, a trzeci, kąt średni.
Zawiązali nawet kolorowe wstążki, żeby od razu było widać, gdzie to jest.

I okazało się, że trzy rogi trójkąta, jeśli je połączysz -
tworzą jeden wielki róg, „otwarty róg” – jak okładka otwartej książki,

________O ______

Tak to się nazywa: skręcony kąt.

Każdy trójkąt jest jak paszport: trzy kąty razem równają się kątowi prostemu.
Ktoś do ciebie zapuka: - Puk-puk, jestem trójkątem, pozwól mi przenocować!
A ty do niego - Pokaż mi sumę kątów w postaci rozwiniętej!
I od razu wiadomo, czy to prawdziwy trójkąt, czy oszust.
Nieudana weryfikacja - Obróć się o sto osiemdziesiąt stopni i idź do domu!

Kiedy mówią „obróć się o 180°”, oznacza to odwrócenie się do tyłu i
iść w przeciwnym kierunku.

To samo w bardziej znanych wyrażeniach, bez „żyli”:

Dokonajmy równoległego przesunięcia trójkąta ABC wzdłuż osi OX
na wektor AB równej długości podstawy AB.
Linia DF przechodząca przez wierzchołki C i C 1 trójkątów
równolegle do osi OX, z tego względu, że jest prostopadły do osi OX
odcinki h i h 1 (wysokości równych trójkątów) są równe.
Zatem podstawa trójkąta A 2 B 2 C 2 jest równoległa do podstawy AB
i równej jej długości (ponieważ wierzchołek C 1 jest przesunięty względem C o wielkość AB).
Trójkąty A 2 B 2 C 2 i ABC są równe z trzech stron.
I tak kąty ∠A 1 ∠B ∠C 2 , tworzące kąt rozwinięty, są równe kątom trójkąta ABC.
=> Suma kątów w trójkącie wynosi 180°

Przy ruchach – „transmisjach” tzw. dowód jest krótszy i wyraźniejszy,
na elementach układanki, nawet dziecko jest w stanie zrozumieć.

Ale tradycyjna szkoła:

w oparciu o równość wewnętrznych kątów krzyżowych odciętych na liniach równoległych

cenne, ponieważ daje wyobrażenie o tym, dlaczego tak jest,
Dlaczego suma kątów trójkąta jest równa kątowi?

Ponieważ w przeciwnym razie linie równoległe nie miałyby właściwości znanych naszemu światu.

Twierdzenia działają w obie strony. Z aksjomatu prostych równoległych wynika
równość kątów leżących poprzecznie i pionowych, a z nich - suma kątów trójkąta.

Ale jest też odwrotnie: dopóki kąty trójkąta wynoszą 180 ° - istnieją linie równoległe
(tak, że przez punkt nie leżący na prostej można poprowadzić unikalną linię || daną).
Jeśli pewnego dnia na świecie pojawi się trójkąt, w którym suma kątów nie jest równa kątowi prostemu -
wtedy równoległe przestaną być równoległe, cały świat będzie pokręcony i wypaczony.

Jeśli paski z motywem trójkątów umieścimy jeden nad drugim -
możesz pokryć całe pole powtarzalnym wzorem, jak podłoga z płytek:

na takiej siatce można narysować różne kształty - sześciokąty, romby,
gwiazdowe wielokąty i zdobądź różnorodne parkiety

Układanie samolotu parkietem to nie tylko zabawna gra, ale także rzeczywisty problem matematyczny:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Ponieważ każdy czworokąt jest prostokątem, kwadratem, rombem itp.,
może składać się z dwóch trójkątów,
odpowiednio suma kątów czworoboku: 180° + 180°= 360°

Identyczne trójkąty równoramienne są składane w kwadraty na różne sposoby.
Mały kwadrat podzielony na 2 części. Średnio 4. I największy z 8.
Ile figur jest na rysunku składającym się z 6 trójkątów?

Trójkąt . Trójkąty ostre, rozwarte i prostokątne.

Nogi i przeciwprostokątna. Trójkąt równoramienny i równoboczny.

Suma kątów trójkąta.

Zewnętrzny róg trójkąta. Znaki równości trójkątów.

Cudowne linie i punkty w trójkącie: wysokości, środkowe,

dwusieczne, mediana mi prostopadłe, ortocentrum,

środek ciężkości, środek okręgu opisanego, środek okręgu wpisanego.

Twierdzenie Pitagorasa. Proporcje dowolnego trójkąta.

Trójkąt jest wielokątem z trzema bokami (lub trzema narożnikami). Boki trójkąta są często oznaczone małymi literami, które odpowiadają wielkie litery oznaczające przeciwne wierzchołki.

Jeśli wszystkie trzy kąty są ostre ( rys. 20), to to ostry trójkąt . Jeśli jeden z rogów jest odpowiedni(C, rys. 21), to jest trójkąt prostokątny; bokia, btworzące kąt prosty, nazywane są nogi; stronaCnazywany jest kątem prostym przeciwprostokątna. Jeśli jeden z kąty rozwarte ( B, ryc. 22), to jest rozwarty trójkąt.

Trójkąt ABC (ryc. 23) - równoramienny, Jeśli dwa jego boki są równeA= C); te równe strony nazywane są boczny, wywoływana jest osoba trzecia podstawa trójkąt. Trójkąt ABC (ryc. 24) - równoboczny, Jeśli Wszystko jego boki są równeA = B = C). Ogólnie ( A ≠ B ≠ C) mamy różnoboczny trójkąt .

Podstawowe własności trójkątów. W dowolnym trójkącie:

1. Naprzeciw większego boku znajduje się większy kąt i odwrotnie.

2. Kąty równe leżą naprzeciw równych boków i odwrotnie.

W szczególności wszystkie kąty w równoboczny trójkąt są równe.

3. Suma kątów w trójkącie wynosi 180 º .

Z dwóch ostatnich właściwości wynika, że każdy kąt jest równoboczny

trójkąt ma 60 º.

4. Kontynuując jeden z boków trójkąta (AC, rys. 25), dostajemy zewnętrzny

kąt BCD . Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie kątów wewnętrznych,

nie z tym związane :BCD=A+B.

5. Każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków i większy

ich różnice (A < B + C, A > B – C;B < A + C, B > A – C;C < A + B,C > A – B).

Znaki równości trójkątów.

Trójkąty są przystające, jeśli są odpowiednio równe:

A ) dwa boki i kąt między nimi;

B ) dwa rogi i przylegająca do nich strona;

c) trzy boki.

Znaki równości trójkątów prostokątnych.

Dwa prostokątny trójkąty są przystające, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

1) ich nogi są równe;

2) noga i przeciwprostokątna jednego trójkąta są równe nodze i przeciwprostokątnej drugiego;

3) przeciwprostokątna i kąt ostry jednego trójkąta są równe przeciwprostokątnej i kątowi ostremu drugiego;

4) noga i przyległy kąt ostry jednego trójkąta są równe nodze i przyległemu kątowi ostremu drugiego;

5) noga i przeciwny kąt ostry jednego trójkąta są równe nodze i naprzeciwko kąta ostrego drugiego.

Cudowne linie i kropki w trójkącie.

Wysokość trójkąt jestprostopadły,spadł z dowolnego wierzchołka na przeciwną stronę ( lub jego kontynuacja). Ta strona nazywa siępodstawa trójkąta . Trzy wysokości trójkąta zawsze przecinają sięw jednym punkciezwany ortocentrum trójkąt. Ortocentrum ostrego trójkąta (pkt O , ryc. 26) znajduje się wewnątrz trójkąta, iortocentrum trójkąta rozwartego (pkt O , rys. 27) – poza; Ortocentrum trójkąta prostokątnego pokrywa się z wierzchołkiem kąta prostego.

Mediana - Ten odcinek , łącząc dowolny wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trzy środkowe trójkąta (AD, BE, CF, rys. 28) przecinają się w jednym punkcie O , która zawsze leży wewnątrz trójkąta i bycie jego Środek ciężkości. Ten punkt dzieli każdą środkową od góry w stosunku 2:1.

Dwusieczna - Ten odcinek dwusieczny narożnik od góry do punktu skrzyżowanie z przeciwną stroną. Trzy dwusieczne trójkąta (AD, BE, CF, rys. 29) przecinają się w jednym punkcie Och, zawsze leżąc w trójkącie I istnienie wpisany środek okręgu(patrz rozdział „Wpisanyi opisane wielokąty).

Dwusieczna dzieli przeciwną stronę na części proporcjonalne do sąsiednich boków ; na przykład na ryc. 29 AE: CE = AB: BC.

Mediana prostopadła jest prostopadłą narysowaną od średniej punkty segmentu (boki). Trzy prostopadłe dwusieczne trójkąta ABC(KO , MO , NO , rys.30 ) przecinają się w jednym punkcie O, tj Centrum opisany okrąg (punkty K, M, N środki boków trójkąta ABC).

W ostrym trójkącie punkt ten leży wewnątrz trójkąta; w rozwartym - na zewnątrz; w prostokącie - w środku przeciwprostokątnej. Ortocentrum, środek ciężkości, środek opisanego i środek okręgu wpisanego pokrywają się tylko w trójkącie równobocznym.

Twierdzenie Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym kwadrat długościPrzeciwprostokątna jest równa sumie kwadratów długości nóg.

Dowód twierdzenia Pitagorasa wynika oczywiście z rys.31. Rozważmy trójkąt prostokątny ABC z nogami a, b i przeciwprostokątna C.

Zbudujmy kwadrat AKMB za pomocą przeciwprostokątnej AB jako strona. Następnieprzedłużyć boki trójkąta prostokątnego ABC aby uzyskać kwadrat CDEF , którego bok jest równya + b .Teraz jest jasne, że powierzchnia kwadratu CDEF wynosi ( a+b) 2 . Z drugiej strony to pole jest równe sumie obszary cztery trójkąty prostokątne i kwadrat AKMB , czyli

C 2 + 4 (ok / 2) = C 2 + 2 Ab,

stąd,

C 2 + 2 ok= (a+b) 2 ,

i ostatecznie mamy:

C 2 =A 2 +b 2 .

Proporcje dowolnego trójkąta.

W ogólnym przypadku (dla dowolnego trójkąta) mamy:

C 2 =A 2 +b 2 – 2ok· sałata C,

gdzie C - kąt między bokamiA I B .

Dowód:

Dany jest trójkąt ABC.
Narysuj linię DK przez wierzchołek B, równolegle do podstawy AC.
\angle CBK= \angle C jako wewnętrzne leżące poprzecznie z równoległymi DK i AC oraz sieczną BC.
\angle DBA = \angle A wewnętrzny poprzecznie leżący w DK \parallel AC i siecznej AB. Kąt DBK jest prosty i równy
\angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
Ponieważ kąt prosty wynosi 180 ^\circ , a \angle CBK = \angle C i \angle DBA = \angle A , otrzymujemy 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Twierdzenie udowodnione

Konsekwencje twierdzenia o sumie kątów trójkąta:

Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90°.
W trójkącie równoramiennym każdy kąt ostry wynosi 45°.
W trójkącie równobocznym każdy kąt ma miarę 60°.
W każdym trójkącie albo wszystkie kąty są ostre, albo dwa kąty są ostre, a trzeci jest rozwarty lub prosty.
Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają.