W punktach przekrojów belki podczas wzdłużnego zginania poprzecznego, normalne naprężenia od ściskania siłami wzdłużnymi oraz od zginania pod wpływem obciążeń poprzecznych i wzdłużnych (rys. 18.10).

W zewnętrznych włóknach belki w przekroju niebezpiecznym całkowite naprężenia normalne przyjmują największe wartości:

W rozważanym powyżej przykładzie belki ściskanej z jedną siłą poprzeczną, zgodnie z (18.7), otrzymujemy następujące naprężenia we włóknach zewnętrznych:

Jeżeli niebezpieczny przekrój jest symetryczny względem swojej neutralnej osi, wówczas naprężenie w zewnętrznych sprasowanych włóknach będzie największe w wartości bezwzględnej:

W przekroju niesymetrycznym względem osi neutralnej zarówno naprężenia ściskające, jak i rozciągające we włóknach zewnętrznych mogą być największe w wartościach bezwzględnych.

Przy ustalaniu miejsca niebezpiecznego należy uwzględnić różnicę w wytrzymałości materiału na rozciąganie i ściskanie.

Biorąc pod uwagę wyrażenie (18.2), wzór (18.12) można zapisać jako:

Stosując przybliżone wyrażenie dla otrzymujemy

Niebezpieczny w belkach o stałym przekroju będzie przekrój, dla którego licznik drugiego wyrazu ma największą wartość.

Wymiary Przekrój Belki należy dobrać tak, aby nie przekraczały dopuszczalnych naprężeń

Jednakże wynikająca z tego zależność między naprężeniami a charakterystykami geometrycznymi przekroju jest trudna do obliczeń projektowych; wymiary przekroju można wybrać tylko poprzez wielokrotne próby. Przy zginaniu wzdłużno-poprzecznym z reguły przeprowadza się obliczenia weryfikacyjne, których celem jest ustalenie marginesu bezpieczeństwa części.

W przypadku zginania wzdłużnego i poprzecznego nie ma proporcjonalności między naprężeniami i siłami wzdłużnymi; naprężenia o zmiennej sile osiowej rosną szybciej niż sama siła, co widać np. ze wzoru (18.13). Zatem margines bezpieczeństwa w przypadku zginania wzdłużno-poprzecznego należy wyznaczać nie na podstawie naprężeń, czyli nie ze stosunku, ale poprzez obciążenia, rozumiejąc margines bezpieczeństwa jako liczbę pokazującą, ile razy należy zwiększyć działające obciążenia, aby maksymalne napięcie w części obliczonej osiągnął granicę plastyczności.

Określenie współczynnika bezpieczeństwa wiąże się z rozwiązaniem równań przestępnych, ponieważ siła zawarta jest we wzorach (18.12) i (18.14) pod znakiem funkcja trygonometryczna. Przykładowo dla belki ściskanej siłą i obciążanej jedną siłą poprzeczną P, współczynnik bezpieczeństwa zgodnie z (18.13) wyznacza się z równania

Aby uprościć problem, możesz użyć wzoru (18.15). Następnie, aby określić margines bezpieczeństwa, otrzymujemy równanie kwadratowe:

Należy zauważyć, że w przypadku, gdy siła wzdłużna pozostaje stała, a jedynie obciążenia poprzeczne zmieniają wielkość, zadanie określenia marginesu bezpieczeństwa jest uproszczone i możliwe jest określenie nie na podstawie obciążenia, ale naprężeń. Ze wzoru (18.15) dla tego przypadku znajdujemy

Przykład. Podwójnie podparta belka duraluminiowa o cienkościennym przekroju dwuteownika jest ściskana siłą P i poddawana działaniu równomiernie rozłożonego obciążenia poprzecznego o natężeniu i momentach przyłożonych na końcach

belki, jak pokazano na rys. 18.11. Wyznaczyć naprężenie w niebezpiecznym miejscu i maksymalne ugięcie z uwzględnieniem i bez uwzględnienia działania zginającego siły wzdłużnej P, a także znaleźć margines bezpieczeństwa belki pod względem granicy plastyczności.

W obliczeniach należy wziąć pod uwagę charakterystykę belki dwuteowej:

Rozwiązanie. Najbardziej obciążony jest środkowy odcinek belki. Maksymalne ugięcie i moment zginający od samego obciążenia ścinającego:

Maksymalne ugięcie od połączonego działania obciążenia poprzecznego i siły wzdłużnej P określa wzór (18.10). Dostawać

Podstawowe koncepcje. Siła ścinająca i moment zginający

Podczas zginania przekroje, pozostając płaskie, obracają się względem siebie wokół niektórych osi leżących w ich płaszczyznach. Belki, osie, wały i inne części maszyn oraz elementy konstrukcyjne pracują na zginanie. W praktyce istnieją poprzeczne (proste), ukośne i czyste widoki pochylenie się.

Poprzeczny (prosty) (ryc. 61, A) zwane zginaniem, gdy siły zewnętrzne prostopadłe do osi podłużnej belki działają w płaszczyźnie przechodzącej przez oś belki i jedną z głównych osi środkowych jej przekroju poprzecznego.

Zakręt ukośny (ryc. 61, b) to zakręt, gdy siły działają w płaszczyźnie przechodzącej przez oś belki, ale nie przechodzącej przez żadną z głównych osi środkowych jej przekroju.

W przekrojach belek podczas zginania powstają dwa typy siły wewnętrzne- moment zginający M i i siła ścinająca Q. W szczególnym przypadku, gdy siła poprzeczna wynosi zero i występuje tylko moment zginający, następuje czyste zgięcie (rys. 61, c). Czyste zginanie występuje podczas obciążenia rozłożonym obciążeniem lub pod niektórymi obciążeniami siłami skupionymi, na przykład belką obciążoną dwoma symetrycznymi równymi siłami.

Ryż. 61. Zakręt: a - zakręt poprzeczny (prosty); b - ukośne zagięcie; c - czysty zakręt

Badając odkształcenie zginania, mentalnie wyobraża się sobie, że wiązka składa się z nieskończonej liczby włókien równoległych do osi podłużnej. Przy czystym zginaniu obowiązuje hipoteza o przekrojach płaskich: włókna leżą po stronie wypukłej rozciągnięty leżąc na wklęsłej stronie - kurczyć się, a na granicy między nimi leży neutralna warstwa włókien (oś podłużna), które są jedyne osnowa, bez zmiany jego długości; podłużne włókna belki nie wywierają na siebie nacisku i dlatego podlegają jedynie rozciąganiu i ściskaniu.

Współczynniki sił wewnętrznych w przekrojach belek – siła poprzeczna Q i moment zginający M i(Rys. 62) zależą od sił zewnętrznych i zmieniają się na długości belki. Prawa zmiany sił poprzecznych i momentów zginających są reprezentowane przez pewne równania, w których współrzędne są argumentami z przekroje poprzeczne belek i funkcje - Q I M ja. Aby określić współczynniki siły wewnętrznej, stosujemy metodę przekrojów.

Ryż. 62.

Siła ścinająca Q jest wypadkową wewnętrznych sił stycznych w przekroju belki. Należy o tym pamiętać siła poprzeczna ma przeciwny kierunek dla lewej i prawej części belki, co wskazuje na nieprzydatność reguły znaków statycznych.

Moment zginający M i jest momentem wypadkowym względem osi neutralnej wewnętrznych sił normalnych działających w przekroju poprzecznym belki. Moment zginający, a także siła poprzeczna mają inny kierunek dla lewej i prawej części belki. Wskazuje to na nieprzydatność reguły znaków statyki do wyznaczania momentu zginającego.

Biorąc pod uwagę równowagę części belki znajdujących się po lewej i prawej stronie przekroju, można zauważyć, że w przekrojach musi działać moment zginający M i i siła ścinająca Q. Zatem w rozpatrywanym przypadku w punktach przekrojów działają nie tylko naprężenia normalne, odpowiadające momentowi zginającemu, ale także naprężenia styczne, odpowiadające sile poprzecznej.

Do wizualnego przedstawienia rozkładu wzdłuż osi belki sił poprzecznych Q i momenty zginające M i wygodnie jest przedstawić je w formie diagramów, których współrzędne dla dowolnych wartości odciętej z podaj odpowiednie wartości Q I M ja. Wykresy konstruuje się podobnie jak w przypadku sił podłużnych (patrz 4.4) i momentów obrotowych (patrz 4.6.1.).

Ryż. 63. Kierunek sił poprzecznych: a - dodatni; b - negatywny

Ponieważ zasady znaków statycznych są niedopuszczalne przy ustalaniu znaków sił poprzecznych i momentów zginających, ustalimy dla nich inne zasady znaków, a mianowicie:

• - jeśli zewnętrzne łyki (ryc.
• 63, a), leżąc po lewej stronie profilu, mają tendencję do podnoszenia lewej strony belki lub leżąc po prawej stronie profilu, obniżają prawą stronę belki, wówczas siła poprzeczna Q jest dodatnia;
• - Jeżeli siły zewnętrzne (ryc.
• 63, b), leżąc po lewej stronie profilu, mają tendencję do opuszczania lewej strony belki lub leżąc po prawej stronie sekcji, podnoszą prawą stronę belki, wówczas siła poprzeczna (Z jest ujemna;

Ryż. 64. Kierunek momentów zginających: a - dodatni; b - negatywny

• - jeżeli obciążenie zewnętrzne (siła i moment) (ryc. 64, a), umieszczone po lewej stronie przekroju, daje moment skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub umieszczony po prawej stronie przekroju, skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, wówczas moment zginający M jest uważany za dodatni ;
• - jeżeli obciążenie zewnętrzne (ryc. 64, b), znajdujące się po lewej stronie przekroju, daje moment skierowany w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara lub znajdujące się po prawej stronie przekroju, skierowane w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, wówczas moment zginający M jest uważany za ujemny.

Zasada znaku dla momentów zginających jest związana z naturą odkształcenia belki. Moment zginający uważa się za dodatni, jeśli belka jest wygięta wypukłie w dół (rozciągnięte włókna znajdują się na dole). Moment zginający uważa się za ujemny, jeśli belka jest wygięta wypukłością do góry (rozciągnięte włókna znajdują się u góry).

Stosując zasady znaków, należy sobie wyobrazić, że przekrój belki jest sztywno zaciśnięty, a wiązania odrzucone i zastąpione przez ich reakcje. Do określenia reakcji stosuje się zasady znaków statycznych.

Budowanie diagramu Q.

Zbudujmy fabułę M metoda punkty charakterystyczne. Układamy punkty na belce - są to punkty początku i końca belki ( D, A ), moment skupiony ( B ), a także zanotuj jako charakterystyczny punkt środek równomiernie rozłożonego obciążenia ( K ) jest dodatkowym punktem do konstruowania krzywej parabolicznej.

Wyznaczanie momentów zginających w punktach. Zasada znaków cm. - .

Moment w W zostaną zdefiniowane w następujący sposób. Najpierw zdefiniujmy:

Punkt DO weźmy się środek obszar z równomiernie rozłożonym obciążeniem.

Budowanie diagramu M . Działka AB – krzywa paraboliczna(zasada „parasolki”), fabuła BD – prosta, ukośna linia.

Dla belki określ reakcje podporowe i wykreśl wykresy momentów zginających ( M) i siły ścinające ( Q).

1. Wyznaczamy obsługuje listy A I W i kieruj reakcjami podporowymi RA I RB .

Kompilowanie równania równowagi.

Badanie

Zapisz wartości RA I RB NA schemat obliczeń.

2. Kreślenie siły poprzeczne metoda Sekcje. Umieszczamy sekcje charakterystyczne obszary(pomiędzy zmianami). Według wątku wymiarowego - 4 sekcje, 4 sekcje.

sek. 1-1 przenosić lewy.

Sekcja przechodzi przez sekcję z równomiernie rozłożone obciążenie, zwróć uwagę na rozmiar z 1 po lewej stronie sekcji przed początkiem sekcji. Długość działki 2 m. Zasada znaków Dla Q - cm.

Bazujemy na znalezionej wartości diagramQ.

sek. 2-2 idź w prawo.

Sekcja ponownie przechodzi przez obszar z równomiernie rozłożonym obciążeniem, zwróć uwagę na rozmiar z 2 po prawej stronie sekcji na początek sekcji. Długość działki 6 m.

Budowanie diagramu Q.

sek. 3-3 idź w prawo.

sek. 4-4 idź w prawo.

Budujemy diagramQ.

3. Budowa schematy m metoda punkty charakterystyczne.

charakterystyczny punkt- punkt, dowolny zauważalny na belce. To są kropki A, W, Z, D , a także o co chodzi DO , w której Q=0 I moment zginający ma ekstremum. także w środek konsola położyła dodatkowy punkt mi, ponieważ w tym obszarze pod równomiernie rozłożonym obciążeniem schemat M opisane krzywy linii i jest ona zbudowana przynajmniej wg 3 zwrotnica.

Tak więc punkty są umieszczone, przystępujemy do określania w nich wartości momenty zginające. Zasada znaków - patrz..

Działki NA, AD – krzywa paraboliczna(zasada „parasolowa” dla specjalności mechanicznych lub „zasada żagla” dla budownictwa), sekcje DC, SW – proste ukośne linie.

Chwila w punkcie D należy ustalić zarówno lewy, jak i prawy Z punktu D . Właśnie ten moment w tych wyrażeniach Wyłączony. W punkcie D dostajemy dwa wartości z różnica według kwoty M – skok do jego rozmiaru.

Teraz musimy określić moment w punkcie DO (Q=0). Najpierw jednak definiujemy pozycja punktowa DO , oznaczający odległość od niego do początku przekroju przez niewiadomą X .

T. DO należy drugi charakterystyczny obszar, równanie siły ścinającej(patrz wyżej)

Ale siła poprzeczna w t. DO jest równe 0 , A z 2 równa się nieznane X .

Otrzymujemy równanie:

Teraz wiedząc X, określić moment w punkcie DO po prawej stronie.

Budowanie diagramu M . Konstrukcja jest możliwa do wykonania mechaniczny specjalności, odkładając wartości pozytywne w górę od linii zerowej i stosując zasadę „parasolki”.

Dla danego schematu belki wspornikowej należy wykreślić wykresy siły poprzecznej Q i momentu zginającego M, wykonać obliczenia projektowe wybierając przekrój kołowy.

Materiał - drewno, wytrzymałość obliczeniowa materiału R=10MPa, M=14kNm, q=8kN/m

Istnieją dwa sposoby budowania diagramów w belce wspornikowej ze sztywnym osadzeniem - zwykły, po wcześniejszym określeniu reakcji podporowych i bez definiowania reakcji podporowych, jeśli weźmiemy pod uwagę przekroje, wychodząc od wolnego końca belki i odrzucając lewa strona z osadzeniem. Budujmy diagramy zwykły sposób.

1. Zdefiniuj reakcje wspierające.

Równomiernie rozłożone obciążenie Q zastąpić siłę warunkową Q= q 0,84=6,72 kN

W sztywnym osadzeniu występują trzy reakcje podporowe - pionowa, pozioma i momentowa, w naszym przypadku reakcja pozioma wynosi 0.

Znajdźmy pionowy reakcja wsparcia RA I moment odniesienia M A z równań równowagi.

W pierwszych dwóch sekcjach po prawej stronie nie ma siły poprzecznej. Na początku odcinka z równomiernie rozłożonym obciążeniem (po prawej) Q=0, z tyłu - wielkość reakcji RA
3. Aby zbudować, utworzymy wyrażenia dla ich definicji na sekcjach. Wykreślamy wykres momentów na włóknach, tj. w dół.

(skompresowane dolne włókna).

Fabuła DC: (górne włókna są ściskane).

Działka SC: (skompresowane lewe włókna)

(skompresowane lewe włókna)

Na rysunku - schematy normalny (podłużny) siły - (b), siły poprzeczne - (c) i momenty zginające - (d).

Sprawdzanie salda węzła C:

Zadanie 2 Skonstruuj wykresy sił wewnętrznych ramy (rys. a).

Dane: F=30kN, q=40kN/m, M=50kNm, a=3m, h=2m.

Zdefiniujmy reakcje wspierające ramki:

Z tych równań znajdujemy:

Ponieważ wartości reakcji R K ma znak minus, na rys. A zmiany kierunek dany wektor odwrotnie, podczas pisania R K = 83,33 kN.

Określmy wartości sił wewnętrznych N., Q I M w charakterystycznych fragmentach kadru:

Sekcja słońca:

(skompresowane włókna prawe).

Fabuła CD:

(prawe włókna są skompresowane);

(skompresowane włókna prawe).

Działka DE:

(dolne włókna są ściskane);

(skompresowane dolne włókna).

Sekcja CS

(skompresowane lewe włókna).

Zbudujmy wykresy sił normalnych (podłużnych) (b), sił poprzecznych (c) i momentów zginających (d).

Rozważ równowagę węzłów D I mi

Od rozważenia węzłów D I mi jasne jest, że są w środku równowaga.

Zadanie 3. Dla ościeżnicy z zawiasem skonstruuj wykresy sił wewnętrznych.

Dane: F=30kN, q=40kN/m, M=50kNm, a=2m, h=2m.

Rozwiązanie. Zdefiniujmy reakcje wspierające. Należy zauważyć, że w obu wspornikach zawiasowo-stałych wzdłuż dwa reakcje. Z tego powodu warto skorzystać właściwość zawiasu C — za chwilę w nim zarówno siły lewicowe, jak i prawicowe zero. Spójrzmy na lewą stronę.

Równania równowagi dla rozważanego układu można zapisać jako:

Z rozwiązania tych równań wynika:

Na schemacie ramowym kierunek siły H.B zmiany w naprzeciwko (N B = 15 kN).

Zdefiniujmy starania w charakterystycznych fragmentach kadru.

Działka BZ:

(skompresowane lewe włókna).

Działka ZC:

(skompresowane lewe włókna);

Działka KD:

(skompresowane lewe włókna);

(skompresowane lewe włókna).

Fabuła DC:

(dolne włókna są ściskane);

Definicja Ekstremalna wartość moment zginający na przekroju PŁYTA CD:

1. Konstrukcja wykresu sił poprzecznych. W przypadku belki wspornikowej (ryc. A ) punkty charakterystyczne: A – punkt przyłożenia reakcji podporowej VA; Z jest punktem przyłożenia siły skupionej; D, B – początek i koniec obciążenia rozproszonego. W przypadku wspornika siłę poprzeczną wyznacza się podobnie jak w przypadku belki dwunośnej. Zatem poruszając się w lewo:

Aby sprawdzić poprawność wyznaczenia siły poprzecznej w przekrojach, należy przełożyć belkę w ten sam sposób, ale od prawego końca. Następnie odpowiednie części belki zostaną odcięte. Pamiętaj, że w tym przypadku zasada znaków ulegnie zmianie. Wynik powinien być taki sam. Budujemy wykres siły poprzecznej (ryc. B).

2. Wykreślanie momentów

Dla belki wspornikowej wykres momentów zginających skonstruowany jest analogicznie jak w poprzedniej konstrukcji.Punkty charakterystyczne dla tej belki (patrz rys. A) są następujące: A - wsparcie; Z - punkt przyłożenia skupionego momentu i siły F; D I W- początek i koniec działania równomiernie rozłożonego obciążenia. Od fabuły Q X w obszarze działania rozproszonego obciążenia nie przekracza linii zerowej, aby wykreślić wykres momentów w danym przekroju (krzywa paraboliczna), należy dowolnie wybrać dodatkowy punkt do wykreślenia krzywej, np. w środku przekroju.

Przesuń w lewo:

Idąc w prawo znajdujemy M B = 0.

Na podstawie znalezionych wartości budujemy wykres momentów zginających (patrz ryc. V ).

Post opublikowany autor Administrator ograniczony linia ukośna, A na odcinku, na którym nie ma rozłożonego obciążenia - linia prosta równoległa do osi zatem do skonstruowania wykresu sił poprzecznych wystarczy wyznaczyć wartości QNa na początku i na końcu każdego segmentu. W przekroju odpowiadającym punktowi przyłożenia siły skupionej siłę poprzeczną należy obliczyć nieco na lewo od tego punktu (w nieskończenie małej odległości od niego) i nieco na prawo od niego; siły poprzeczne w tych miejscach są odpowiednio oznaczone .

Budowanie diagramu QNa metodą punktów charakterystycznych, przesuwając się od lewej strony. Dla większej przejrzystości zaleca się najpierw przykryć wyrzuconą część belki kartką papieru. Punkty charakterystyczne dla belki dwunośnej (rys. A ) będą punkty C I D - początek i koniec rozłożonego obciążenia, a także A I B – punkty przyłożenia reakcji podporowych, mi jest punktem przyłożenia siły skupionej. Narysujmy w myślach oś y prostopadle do osi belki przechodzącej przez punkt Z i nie zmienimy jego położenia, dopóki nie przejdziemy całą belką C zanim mi. Biorąc pod uwagę lewe części belki odcięte w charakterystycznych punktach, rzutujemy na oś y siły działające w tej sekcji z odpowiednimi znakami. W rezultacie otrzymujemy:

Aby sprawdzić poprawność wyznaczenia siły tnącej w przekrojach, można przeprowadzić belkę w ten sam sposób, ale od prawego końca. Następnie odpowiednie części belki zostaną odcięte. Wynik powinien być taki sam. Zbieżność wyników może służyć jako wykres kontrolny QNa. Rysujemy linię zerową pod obrazem belki i od niej, w przyjętej skali, odkładamy znalezione wartości sił poprzecznych, biorąc pod uwagę znaki w odpowiednich punktach. Zdobądź fabułę QNa(Ryż. B ).

Po zbudowaniu diagramu zwróć uwagę na następujące kwestie: schemat pod rozłożonym obciążeniem jest przedstawiony jako nachylona linia prosta, pod nieobciążonymi odcinkami - segmenty równoległe do linii zerowej, pod wpływem siły skupionej na schemacie powstaje skok równy do wartości siły. Jeśli nachylona linia pod rozłożonym obciążeniem przecina linię zerową, zaznacz ten punkt, a następnie ten punkt ekstremalny, i jest to teraz dla nas charakterystyczne, zgodnie z różnicową relacją między QNa I MX, w tym momencie moment ma ekstremum i należy je określić podczas wykreślania momentów zginających. W naszym problemie właśnie o to chodzi DO . Skupiony moment na fabule QNa nie objawia się w żaden sposób, ponieważ suma rzutów sił tworzących parę jest równa zeru.

2. Wykreślanie momentów. Budujemy wykres momentów zginających, a także sił poprzecznych, stosując metodę punktów charakterystycznych, przesuwając się od lewej strony. Wiadomo, że w przekroju belki obciążonej równomiernie wykres momentów zginających zarysowany jest linią krzywą (parabolą kwadratową), do budowy której konieczne jest przynajmniej trzy punkty i dlatego należy obliczyć wartości momentów zginających na początku przekroju, na jego końcu oraz w jednym odcinku pośrednim. Najlepiej jest przyjąć taki punkt pośredni jako odcinek, w którym znajduje się diagram QNa przekracza linię zerową, tj. Gdzie QNa= 0. Na działce M ta sekcja musi zawierać wierzchołek paraboli. Jeśli schemat Q Na nie przecina linii zerowej, to zbuduj diagram M podąża dalej na tym przekroju weźmy dodatkowy punkt, np. w środku przekroju (początek i koniec rozłożonego obciążenia), pamiętając, że wypukłość paraboli jest zawsze skierowana w dół, jeśli obciążenie działa od góry do dołu (np. specjalności budowlane). Istnieje zasada „deszczu”, która jest bardzo pomocna przy konstruowaniu parabolicznej części działki M. Dla budowniczych zasada ta wygląda następująco: wyobraź sobie, że rozproszonym ładunkiem jest deszcz, podłóż pod niego parasol do góry nogami, aby deszcz nie spływał, ale się w nim gromadził. Wtedy wybrzuszenie parasola będzie skierowane w dół. Dokładnie tak będzie wyglądał zarys wykresu momentów pod obciążeniem rozłożonym. W przypadku mechaników obowiązuje tak zwana zasada „parasolowa”. Rozłożone obciążenie jest reprezentowane przez deszcz, a zarys diagramu powinien przypominać zarys parasola. W tym przykładzie działka jest zbudowana dla budowniczych.

Jeżeli wymagane jest dokładniejsze wykreślenie, należy obliczyć wartości momentów zginających w kilku przekrojach pośrednich. Ustalmy, że dla każdego takiego przekroju najpierw wyznaczymy moment zginający w dowolnym przekroju, wyrażając go w postaci odległości X z dowolnego punktu. Następnie podanie dystansu X szereg wartości, otrzymujemy wartości momentów zginających w odpowiednich przekrojach przekroju. W przypadku przekrojów, na których nie występuje obciążenie rozłożone, momenty zginające wyznacza się w dwóch przekrojach odpowiadających początkowi i końcowi przekroju, ponieważ wykres M na takich obszarach ogranicza się do linii prostej. Jeżeli na belkę działa zewnętrzny moment skupiony, należy obliczyć moment zginający nieco na lewo od miejsca przyłożenia momentu skupionego i nieco na prawo od niego.

Dla belki dwupodporowej punktami charakterystycznymi są: C I D - początek i koniec rozłożonego obciążenia; A – wspornik belki; W – drugie podparcie belki i punkt przyłożenia momentu skupionego; mi – prawy koniec belki; kropka DO , odpowiadający przekrojowi belki, w którym QNa= 0.

Ruch w lewo. Mentalnie odrzucamy prawą część do rozważanej sekcji (weź kartkę papieru i przykryj nią odrzuconą część belki). Znajdujemy sumę momentów wszystkich sił działających po lewej stronie przekroju względem rozpatrywanego punktu. Więc,

Przed określeniem momentu w przekroju DO, musisz znaleźć odległość x=AK. Zróbmy wyrażenie na siłę poprzeczną w tej sekcji i przyrównajmy ją do zera (skok po lewej stronie):

Odległość tę można również wyznaczyć z podobieństwa trójkątów KLN I KIG na schemacie QNa(Ryż. B) .

Określ moment w punkcie DO :

Przejdźmy przez resztę belki po prawej stronie.

Jak widać, moment w punkcie D przy poruszaniu się w lewo i w prawo okazało się, że jest tak samo – fabuła zamknięta. Na podstawie znalezionych wartości budujemy diagram. Wartości dodatnie są odchylane w dół od linii zerowej, a wartości ujemne w górę (patrz ryc. V ).

Wzdłużnie zakręt poprzeczny nazywa się kombinacją zginania poprzecznego z ściskaniem lub rozciąganiem belki.

Przy obliczaniu zginania wzdłużno-poprzecznego momenty zginające w przekrojach belki są obliczane z uwzględnieniem ugięcia jej osi.

Rozważ belkę z końcami przegubowymi, obciążoną pewnym obciążeniem poprzecznym i siłą ściskającą 5 działającą wzdłuż osi belki (ryc. 8.13, a). Oznaczmy ugięcie osi belki w przekroju za pomocą odciętej (przyjmujemy dodatni kierunek osi y w dół, a zatem ugięcia belki uważamy za dodatnie, gdy są skierowane w dół). Moment zginający M, działający w tym przekroju,

(23.13)

tutaj jest moment zginający od działania obciążenia poprzecznego; - dodatkowy moment zginający od siły

Można przyjąć, że na całkowite ugięcie y składa się ugięcie powstałe w wyniku działania wyłącznie obciążenia poprzecznego oraz ugięcie dodatkowe równe temu wywołanemu siłą .

Całkowite ugięcie y jest większe niż suma ugięcia wynikające z oddzielnego działania obciążenia poprzecznego i siły S, gdyż w przypadku działania samej siły S na belkę jej ugięcia są równe zeru. Zatem w przypadku zginania wzdłużno-poprzecznego zasada niezależności działania sił nie ma zastosowania.

Kiedy na belkę działa siła rozciągająca S (ryc. 8.13, b), moment zginający w przekroju z odciętą

(24.13)

Siła rozciągająca S powoduje zmniejszenie ugięcia belki, czyli całkowite ugięcia y w tym przypadku są mniejsze niż ugięcia spowodowane działaniem wyłącznie obciążenia poprzecznego.

W praktyce obliczeń inżynierskich zginanie wzdłużno-poprzeczne oznacza zwykle przypadek działania siły ściskającej i obciążenia poprzecznego.

W przypadku sztywnej belki, gdy dodatkowe momenty zginające są małe w porównaniu z momentem, ugięcia y niewiele różnią się od ugięcia. W takich przypadkach można pominąć wpływ siły S na wielkość momentów zginających i ugięcia belki i obliczyć ją dla centralnego ściskania (lub rozciągania) przy zginaniu poprzecznym, jak opisano w § 2.9.

Dla belki o małej sztywności wpływ siły S na wartości momentów zginających i ugięcia belki może być bardzo znaczący i nie można go pominąć w obliczeniach. W takim przypadku belkę należy obliczać na zginanie wzdłużno-poprzeczne, czyli obliczenia łącznego działania zginania i ściskania (lub rozciągania), wykonywane z uwzględnieniem wpływu obciążenia osiowego (siła S) na zginanie odkształcenie belki.

Rozważ metodologię takich obliczeń na przykładzie belki przegubowej na końcach, obciążonej siłami poprzecznymi skierowanymi w jednym kierunku i siłą ściskającą S (rys. 9.13).

Podstawiamy do przybliżonego równania różniczkowego linii sprężystej (1.13) wyrażenie momentu zginającego M według wzoru (23.13):

[przyjmuje się znak minus przed prawą stroną równania, ponieważ w przeciwieństwie do wzoru (1.13) tutaj kierunek w dół jest uważany za dodatni w przypadku ugięcia], lub

Stąd,

Dla uproszczenia rozwiązania załóżmy, że dodatkowe ugięcie zmienia się sinusoidalnie na długości belki, tzn.

Założenie to pozwala uzyskać wystarczająco dokładne wyniki, gdy na belkę zostanie przyłożone obciążenie poprzeczne skierowane w jednym kierunku (na przykład z góry na dół). Zastąpmy ugięcie we wzorze (25.13) wyrażeniem

Wyrażenie pokrywa się ze wzorem Eulera na siłę krytyczną ściskanego pręta z końcami przegubowymi. Dlatego jest oznaczana i nazywana siłą Eulera.

Stąd,

Siłę Eulera należy odróżnić od siły krytycznej obliczanej ze wzoru Eulera. Wartość można obliczyć za pomocą wzoru Eulera tylko wtedy, gdy elastyczność pręta jest większa niż granica; wartość ta jest podstawiona do wzoru (26.13) niezależnie od podatności belki. Wzór na siłę krytyczną z reguły uwzględnia minimalny moment bezwładności przekroju pręta, a wyrażenie na siłę Eulera uwzględnia moment bezwładności względem głównych osi bezwładności przekroju, który jest prostopadła do płaszczyzny działania obciążenia poprzecznego.

Z wzoru (26.13) wynika, że ​​stosunek całkowitych ugięć belki y do ugięć spowodowanych działaniem samego obciążenia poprzecznego zależy od stosunku (wielkości siły ściskającej 5 do wielkości siły Eulera) .

Zatem stosunek jest kryterium sztywności belki przy zginaniu wzdłużno-poprzecznym; jeśli stosunek ten jest bliski zeru, to sztywność belki jest duża, a jeśli jest bliska jedności, to sztywność belki jest mała, czyli belka jest elastyczna.

W przypadku, gdy ugięcie, czyli przy braku siły S, ugięcie spowodowane jest jedynie działaniem obciążenia poprzecznego.

Gdy wartość siły ściskającej S zbliża się do wartości siły Eulera, całkowite ugięcia belki gwałtownie rosną i mogą być wielokrotnie większe niż ugięcia spowodowane działaniem samego obciążenia poprzecznego. W skrajnym przypadku w ugięcia y, obliczone według wzoru (26.13), stają się równe nieskończoności.

Należy zauważyć, że wzór (26.13) nie ma zastosowania do bardzo dużych ugięcia belki, gdyż opiera się na przybliżonym wyrażeniu na krzywiznę.Wyrażenie to ma zastosowanie tylko dla małych ugięcia, a przy dużych ugięciach należy je zastąpić to samo wyrażenie krzywizny (65,7). W tym przypadku ugięcie y w at nie byłoby równe nieskończoności, ale byłoby, choć bardzo duże, ale skończone.

Kiedy na belkę działa siła rozciągająca, wzór (26.13) przyjmuje postać.

Z tego wzoru wynika, że ​​ugięcia całkowite są mniejsze od ugięć wywołanych działaniem samego obciążenia poprzecznego. Przy sile rozciągającej S równej liczbowo wartości siły Eulera (tj. w ), ugięcia y stanowią połowę ugięć

Największe i najmniejsze naprężenia normalne w przekroju poprzecznym belki z końcami przegubowymi przy zginaniu wzdłużno-poprzecznym i sile ściskającej S są równe

Rozważmy belkę dwunośną o przekroju I o przęśle, belkę obciążaną w środku siłą pionową P i ściskaną siłą osiową S = 600 (rys. 10.13). Pole przekroju poprzecznego momentu bezwładności belki, momentu oporu i modułu sprężystości

Stężenia poprzeczne łączące tę belkę z sąsiednimi belkami konstrukcji wykluczają możliwość wystąpienia niestabilności belki w płaszczyźnie poziomej (tj. w płaszczyźnie najmniejszej sztywności).

Moment zginający i ugięcie w środku belki, obliczone bez uwzględnienia wpływu siły S, są równe:

Siłę Eulera określa się na podstawie wyrażenia

Ugięcie w środku belki, obliczone z uwzględnieniem wpływu siły S na podstawie wzoru (26.13),

Wyznaczmy największe naprężenia normalne (ściskające) w średnim przekroju belki według wzoru (28.13):

skąd po transformacji

Podstawiając do wyrażenia (29.13) różne wartości P (in), otrzymujemy odpowiednie wartości naprężeń. Graficznie zależność między określoną wyrażeniem (29.13) charakteryzuje krzywa pokazana na ryc. 11.13.

Określmy dopuszczalne obciążenie P, jeśli dla materiału belki i wymagany współczynnik bezpieczeństwa, a zatem dopuszczalne naprężenie materiału

Z rys. Z 11.23 wynika, że ​​w belce naprężenie występuje pod obciążeniem, a naprężenie – pod obciążeniem

Jeśli przyjmiemy obciążenie jako obciążenie dopuszczalne, wówczas współczynnik bezpieczeństwa naprężeń będzie równy określonej wartości.Jednak w tym przypadku belka będzie miała nieistotny współczynnik bezpieczeństwa obciążenia, ponieważ naprężenia równe od pojawią się w niej już przy Gnić

W związku z tym współczynnik bezpieczeństwa obciążenia w tym przypadku będzie równy 1,06 (ponieważ e. jest wyraźnie niewystarczające.

Aby belka miała współczynnik bezpieczeństwa równy 1,5 pod względem obciążenia, wartość tę należy przyjąć jako wartość dopuszczalną, natomiast naprężenia w belce będą wynosić jak wynika z rys. 11.13, w przybliżeniu równe

Powyżej obliczenia wytrzymałości przeprowadzono zgodnie z dopuszczalnymi naprężeniami. Zapewniło to niezbędny margines bezpieczeństwa nie tylko pod względem naprężeń, ale także pod względem obciążeń, ponieważ w prawie wszystkich przypadkach omówionych w poprzednich rozdziałach naprężenia są wprost proporcjonalne do wielkości obciążeń.

Przy zginaniu wzdłużno-poprzecznym naprężenia, jak wynika z ryc. 11.13 nie są wprost proporcjonalne do obciążenia, ale zmieniają się szybciej niż obciążenie (w przypadku siły ściskającej S). W związku z tym nawet niewielki przypadkowy wzrost obciążenia powyżej obliczonego może spowodować bardzo duży wzrost naprężeń i zniszczenie konstrukcji. Dlatego obliczenia prętów ściskanych do zginania wzdłużnego i poprzecznego należy przeprowadzać nie według dopuszczalnych naprężeń, ale według dopuszczalnego obciążenia.

Analogicznie do wzoru (28.13) skomponujmy warunek wytrzymałościowy przy obliczaniu zginania wzdłużno-poprzecznego zgodnie z dopuszczalnym obciążeniem.

Pręty zakrzywione ściskane, oprócz obliczenia zginania wzdłużnego i poprzecznego, należy również obliczyć pod kątem stabilności.

UKD 539,52

OBCIĄŻENIE OGRANICZAJĄCE DLA ZACISKANEJ BELKI OBCIĄŻONEJ SIŁĄ WZDŁUŻNĄ, NIESYMETRYCZNIE ROZŁOŻONYM OBCIĄŻENIEM I MOMENTAMI PODPOROWYMI

I.A. Monachow1, Yu.K. Bas2

wydział produkcji budowlanej Wydział Budownictwa Moskiewski Państwowy Uniwersytet Budowy Maszyn ul. Paweł Korczagin, 22, Moskwa, Rosja, 129626

2Katedra Konstrukcji i Konstrukcji Wydział Inżynierii Uniwersytet Przyjaźni Narodów Rosji ul. Ordzhonikidze, 3, Moskwa, Rosja, 115419

W artykule opracowano technikę rozwiązywania problemów małych ugięć belek wykonanych z idealnego materiału sztywno-plastycznego pod działaniem asymetrycznie rozłożonych obciążeń, z uwzględnieniem wstępnego rozciągania-ściskania. Opracowana technika służy do badania stanu naprężenia-odkształcenia belek jednoprzęsłowych, a także do obliczania obciążenia granicznego belek.

Słowa kluczowe: belka, nieliniowość, analityczna.

W nowoczesna konstrukcja, stoczniowym, budowy maszyn, przemyśle chemicznym i innych gałęziach techniki, najczęściej spotykanymi rodzajami konstrukcji są pręty, w szczególności belki. Naturalnie, aby określić rzeczywiste zachowanie układów prętowych (w szczególności belek) i ich zasoby wytrzymałościowe, należy uwzględnić odkształcenia plastyczne.

Obliczanie układów konstrukcyjnych z uwzględnieniem odkształceń plastycznych z wykorzystaniem modelu idealnego korpusu sztywno-plastycznego jest z jednej strony najprostsze, a z drugiej całkiem akceptowalne z punktu widzenia wymagań praktyki projektowej. Jeśli mamy na uwadze obszar małych przemieszczeń układów konstrukcyjnych, to wynika to z faktu, że nośność („obciążenie maksymalne”) idealnych układów sztywno-plastycznych i sprężysto-plastycznych okazuje się taka sama.

Dodatkowe rezerwy i bardziej rygorystyczna ocena nośności konstrukcji ujawniają się w wyniku uwzględnienia nieliniowości geometrycznej podczas ich odkształcania. Obecnie uwzględnienie nieliniowości geometrycznej w obliczeniach układów konstrukcyjnych jest priorytetem nie tylko z punktu widzenia rozwoju teorii obliczeń, ale także z punktu widzenia praktyki projektowania konstrukcji. Dopuszczalność rozwiązań problemów analizy strukturalnej w warunkach małości

przemieszczenia są dość niepewne, natomiast dane praktyczne i właściwości układów odkształcalnych pozwalają przypuszczać, że duże przemieszczenia są realnie osiągalne. Wystarczy wskazać struktury obiektów budowlanych, chemicznych, stoczniowych i maszynowych. Dodatkowo model ciała sztywno-plastycznego powoduje pominięcie odkształceń sprężystych, tj. odkształcenia plastyczne są znacznie większe niż sprężyste. Ponieważ przemieszczenia odpowiadają odkształceniom, należy uwzględnić duże przemieszczenia układów sztywno-plastycznych.

Jednak geometrycznie nieliniowe odkształcenie konstrukcji w większości przypadków nieuchronnie prowadzi do wystąpienia odkształceń plastycznych. Dlatego też szczególne znaczenie ma jednoczesne uwzględnienie odkształceń plastycznych i nieliniowości geometrycznej w obliczeniach układów konstrukcyjnych i oczywiście prętowych.

Artykuł ten dotyczy małych ugięcia. Podobne problemy zostały rozwiązane w pracach.

Rozważamy belkę z podporami ściskanymi, pod działaniem obciążenia schodkowego, momentów krawędziowych i wstępnie przyłożonej siły wzdłużnej (rys. 1).

Ryż. 1. Belka pod rozłożonym obciążeniem

Równanie równowagi belki dla dużych ugięć w postaci bezwymiarowej ma postać

d2 t / , h d2 w dn

-- + (n ± w)-- + p \u003d ^ - \u003d 0, dx topór topór

x 2w p12 M N,g,

gdzie x==, w=-, p=--, t=--, n=-, n i m są normalnymi wewnętrznymi

I do 5хЪк b!!bk 25!!k

siła i moment zginający, p - obciążenie poprzeczne równomiernie rozłożone, W - ugięcie, x - współrzędna podłużna (początek na lewym wsporniku), 2k - wysokość przekroju, b - szerokość przekroju, 21 - rozpiętość belki, 5^ - materiał o granicy plastyczności. Jeśli dane jest N, to siła N jest konsekwencją działania p w

dostępne ugięcia, 11 = = , linia nad literami oznacza wymiar wartości.

Rozważ pierwszy etap deformacji - „małe” ugięcia. Sekcja plastyczna powstaje przy x = x2, w tym m = 1 - n2.

Wyrażenia na współczynniki ugięcia mają postać - ugięcie przy x = x2):

(2-x), (x > X2),

Rozwiązanie problemu dzielimy na dwa przypadki: x2< 11 и х2 > 11.

Rozważmy przypadek x2< 11.

Dla strefy 0< х2 < 11 из (1) получаем:

Px 111 1 P11 k1p/1 m = + k1 p + p/1 -k1 p/1 -±4- + -^41

x - (1 - p2) ± a,

(, 1 , p/2 k1 p12L

Px2 + k1 p + p11 - k1 p11 --+ 1 ^

X2 = k1 +11 - k111 - + ^

Uwzględniając wystąpienie przegubu plastycznego przy x = x2 otrzymujemy:

tx \u003d x \u003d 1 - n2 \u003d - p

(12 k12 L k +/ - k1 - ^ + k "A

k, + /, - k, /, -L +

(/ 2 k/ 2 A k1 + /1 - k1/1 - ^ + M

Rozważając przypadek x2 > /1, otrzymujemy:

dla strefy 0< х < /1 выражение для изгибающих моментов имеет вид

k p-p2 + samochód/1+p/1 -k1 p/1 ^ x-(1-P12)±

oraz dla strefy 11< х < 2 -

^ p-rC + 1^ L

x - (1 - p-) ± a +

(. rg-k1 p1-L

Kx px2 + kx p+

0, a potem

I2 12 1 godz. x2 = 1 -- + -.

Równość wynika z warunku plastyczności

gdzie otrzymujemy wyrażenie na obciążenie:

k1 - 12 + M L2

K1/12 - k2 ¡1

Tabela 1

k1 = 0 11 = 0,66

Tabela 2

k1 = 0 11 = 1,33

0 6,48 9,72 12,96 16,2 19,44

0,5 3,24 6,48 9,72 12,96 16,2

Tabela 3

k1 = 0,5 11 = 1,61

0 2,98 4,47 5,96 7,45 8,94

0,5 1,49 2,98 4,47 5,96 7,45

Tabela 5 k1 = 0,8 11 = 0,94

0 2,24 3,56 4,49 5,61 6,73

0,5 1,12 2,24 3,36 4,49 5,61

0 2,53 3,80 5,06 6,33 7,59

0,5 1,27 2,53 3,80 5,06 6,33

Tabela 3

k1 = 0,5 11 = 2,0

0 3,56 5,33 7,11 8,89 10,7

0,5 1,78 3,56 5,33 7,11 8,89

Tabela 6 k1 \u003d 1 11 \u003d 1,33

0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Tabela 7 Tabela 8

k, = 0,8 /, = 1,65 k, = 0,2 /, = 0,42

0 2,55 3,83 5,15 6,38 7,66

0,5 1,28 2,55 3,83 5,15 6,38

0 7,31 10,9 14,6 18,3 21,9

0,5 3,65 7,31 10,9 14,6 18,3

Ustawiając współczynnik obciążenia k1 od 0 do 1, moment zginający a od -1 do 1, wartość siły wzdłużnej n1 od 0 do 1, odległość /1 od 0 do 2, otrzymujemy położenie przegubu plastycznego według wzorów (3) i (5), a następnie wartość obciążenia granicznego otrzymujemy według wzorów (4) lub (6). Liczbowe wyniki obliczeń zestawiono w tabelach 1-8.

LITERATURA

Basov Yu.K., Monakhov I.A. Analityczne rozwiązanie problemu dużych ugięcia belki ściskanej sztywno-plastikowej pod działaniem lokalnego obciążenia rozłożonego, momentów podporowych i siły wzdłużnej // Uniwersytet Vestnik RUDN. Seria „Badania Inżynierskie”. - 2012. - nr 3. - S. 120-125.

Savchenko L.V., Monakhov I.A. Duże ugięcie fizycznie nieliniowych płyt okrągłych Biuletyn INGECON. Seria „Nauki techniczne”. - Wydanie. 8(35). - St. Petersburg, 2009. - S. 132-134.

Galileev S.M., Salikhova E.A. Badania częstotliwości drgań własnych elementów konstrukcyjnych wykonanych z włókna szklanego, włókna węglowego i grafenu // Biuletyn INGECON. Seria „Nauki techniczne”. - Wydanie. 8. - Petersburg, 2011. - s. 102.

Erkhov M.I., Monakhov A.I. Duże ugięcia sprężonej belki ze sztywnego tworzywa sztucznego z podporami przegubowymi pod równomiernie rozłożonym obciążeniem i momentami krawędziowymi // Biuletyn Wydziału Nauk Budowlanych Rosyjskiej Akademii Architektury i Nauk Budowlanych. - 1999. - Wydanie. 2. - S. 151-154. .

NIEWIELKIE UGIĘCIE WCZEŚNIEJ INTENSYWNYCH IDEALNYCH PLASTIKOWYCH BELEK Z REGIONALNYMI MOMENTAMI

I.A. Monachow1, Wielka Brytania Basow2

„Katedra Produkcji Budowlanej Wydział Budowlany Moskiewski Państwowy Uniwersytet Budowy Maszyn Pavla Korchagina str., 22, Moskwa, Rosja, 129626

Katedra Konstrukcji i Obiektów Budowlanych Wydział Inżynierii Narodów Uniwersytet Przyjaźni Rosji Ordzonikidze str., 3, Moskwa, Rosja, 115419

W opracowaniu opracowano technikę rozwiązywania problemów małych ugięć belek z idealnego twardego tworzywa sztucznego, z różnymi rodzajami mocowania, na brak działania asymetrycznie rozłożonych obciążeń z uwzględnieniem wstępnego rozciągania-ściskania. Opracowaną technikę stosuje się do badań stanu odkształceniowo-odkształceniowego belek, a także do obliczeń ugięcia belek z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej.

Słowa kluczowe: belka, analityczność, nieliniowość.