Teoria e funksioneve të një ndryshoreje. Analiza matematikore. Teoria e funksioneve të një ndryshoreje Ligjërata analizë matematikore 1 kurs 1 semestër online
Pyetje për provimin “Analiza matematike”, viti i 1-rë, semestri I.
1. Komplete. Operacionet bazë në grupe. Hapësirat metrike dhe aritmetike.
2. Komplete numerike. Komplet në vijën numerike: segmente, intervale, gjysmëboshte, lagje.
3. Përkufizimi i një grupi të kufizuar. Kufijtë e sipërm dhe të poshtëm të bashkësive numerike. Postulatet rreth kufijve të sipërm dhe të poshtëm të grupeve numerike.
4. Metoda e induksionit matematik. Pabarazitë e Bernoulli dhe Cauchy.
5. Përkufizimi i funksionit. Grafiku i funksionit. Funksionet çift dhe tek. Funksionet periodike. Mënyrat për të vendosur një funksion.
6. Kufiri i sekuencës. Vetitë e sekuencave konvergjente.
7. sekuenca të kufizuara. Një teoremë në një kusht të mjaftueshëm për divergjencën e një sekuence.
8. Përkufizimi i një sekuence monotonike. Teorema e sekuencës monotone të Weierstrass.
9. Numri e.
10. Kufiri i një funksioni në një pikë. Kufiri i një funksioni në pafundësi. Kufijtë e njëanshëm.
11. Funksione pafundësisht të vogla. Kufiri i funksioneve të shumës, produktit dhe koeficientit.
12. Teorema mbi qëndrueshmërinë e pabarazive. Kalimi në kufi në pabarazi. Teorema rreth tre funksioneve.
13. Kufijtë e parë dhe të dytë të mrekullueshëm.
14. Pafundësisht karakteristika të shkëlqyera dhe lidhjen e tyre me funksionet infiniteminale.
15. Krahasimi i funksioneve infiniteminale. Vetitë e infinitezimaleve ekuivalente. Teorema mbi zëvendësimin e infinitezimaleve me ato ekuivalente. Ekuivalencat bazë.
16. Vazhdimësia e një funksioni në një pikë. Veprimet me funksione të vazhdueshme. Vazhdimësia e funksioneve elementare bazë.
17. Klasifikimi i pikave të ndërprerjes së një funksioni. Zgjerim sipas vazhdimësisë
18. Përkufizimi i një funksioni kompleks. Kufiri i një funksioni kompleks. Vazhdimësia e një funksioni kompleks. Funksionet hiperbolike
19. Vazhdimësia e një funksioni në një segment. Teoremat e Cauchy-t mbi zhdukjen e një funksioni të vazhdueshëm në një interval dhe mbi vlerën e ndërmjetme të një funksioni.
20. Vetitë e funksioneve të vazhdueshme në një segment. Teorema e Weierstrass mbi kufirin e një funksioni të vazhdueshëm. Teorema e Weierstrass-it mbi vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni.
21. Përkufizimi i një funksioni monoton. Teorema e Weierstrass mbi kufirin e një funksioni monoton. Teorema mbi bashkësinë e vlerave të një funksioni që është monoton dhe i vazhdueshëm në një interval.
22. Funksioni i anasjelltë. Orari funksioni i anasjelltë. Teorema mbi ekzistencën dhe vazhdimësinë e funksionit të anasjelltë.
23. Funksionet e anasjellta trigonometrike dhe hiperbolike.
24. Përkufizimi i derivatit të një funksioni. Derivatet e funksioneve elementare themelore.
25. Përkufizimi i një funksioni të diferencueshëm. Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për diferencueshmërinë e një funksioni. Vazhdimësia e një funksioni të diferencueshëm.
26. Kuptimi gjeometrik i derivatit. Ekuacioni i tangjentes dhe normales me grafikun e funksionit.
27. Derivat i shumës, prodhimit dhe herësit të dy funksioneve
28. Derivat i një funksioni të përbërë dhe i një funksioni të anasjelltë.
29. Diferencimi logaritmik. Derivat i një funksioni të dhënë në mënyrë parametrike.
30. Pjesa kryesore e rritjes së funksionit. Formula e linearizimit të funksionit. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.
31. Diferenciali i një funksioni kompleks. Invarianca e formës diferenciale.
32. Teoremat e Rolle-s, Lagranzhit dhe Cauchy-së mbi vetitë e funksioneve të diferenciueshme. Formula e rritjeve të fundme.
33. Zbatimi i derivatit për zbulimin e pasigurive brenda. Rregulli i L'Hopital.
34. Përkufizimi derivativ rendi i n-të. Rregullat për gjetjen e derivatit të rendit të n-të. Formula e Leibniz-it. Diferencat e rendit më të lartë.
35. Formula Taylor me termin e mbetur në formën Peano. Termat e mbetur në formën e Lagranzhit dhe Cauchy.
36. Funksionet rritëse dhe pakësuese. pika ekstreme.
37. Konveksiteti dhe konkaviteti i një funksioni. Pikat e lakimit.
38. Ndërprerje të pafundme të funksionit. Asimptota.
39. Skema për vizatimin e grafikut të funksionit.
40. Përkufizimi i antiderivativit. Vetitë kryesore të antiderivativit. Rregullat më të thjeshta të integrimit. Tabela e integraleve të thjeshta.
41. Integrimi me ndryshim të ndryshores dhe formula e integrimit sipas pjesëve në integralin e pacaktuar.
42. Integrimi i shprehjeve të formës e ax cos bx dhe e ax sin bx duke përdorur marrëdhënie rekursive.
43. Integrimi i një thyese |
duke përdorur marrëdhënie rekursive. |
|||
a 2 n |
||||
44. Integrali i pacaktuar i një funksioni racional. Integrimi i thyesave të thjeshta.
45. Integrali i pacaktuar i një funksioni racional. Zbërthimi i thyesave të duhura në të thjeshta.
46. Integrali i pacaktuar i një funksioni irracional. Integrimi i shprehjes
R x, m |
|||
47. Integrali i pacaktuar i një funksioni irracional. Integrimi i shprehjeve të trajtës R x , ax 2 bx c . Zëvendësimet e Euler-it.
48. Integrimi i shprehjeve të formës |
|||||||||||||
ax2 bx c |
ax2 bx c |
2 bx c |
49. Integrali i pacaktuar i një funksioni irracional. Integrimi i diferencialeve binomiale.
50. Integrimi i shprehjeve trigonometrike. Zëvendësimi universal trigonometrik.
51. Integrimi i shprehjeve racionale trigonometrike në rastin kur integrani është tek në lidhje me mëkatin x (ose cos x) ose edhe në lidhje me sin x dhe cos x.
52. Integrimi i shprehjes sin n x cos m x dhe sin n x cos mx.
53. Integrimi i shprehjes tg m x dhe ctg m x.
54. Integrimi i shprehjes R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 dhe R x , x 2 a 2 duke përdorur zëvendësime trigonometrike.
55. Integral i caktuar. Problemi i llogaritjes së sipërfaqes së një trapezi lakor.
56. shumat integrale. Shumat Darboux. Teorema mbi kushtin për ekzistencën e një integrali të caktuar. Klasat e funksioneve të integrueshme.
57. Vetitë e një integrali të caktuar. Teorema mbi vlerën mesatare.
58. Integrali i caktuar në funksion të kufirit të sipërm. Formula Njuton-Leibniz.
59. Ndryshimi i formulës së ndryshueshme dhe formulës për integrimin sipas pjesëve në një integral të caktuar.
60. Zbatimi i llogaritjes integrale në gjeometri. Vëllimi i figurës. Vëllimi i figurave të rrotullimit.
61. Zbatimi i llogaritjes integrale në gjeometri. Sipërfaqja e një figure të rrafshët. Zona e sektorit lakor. Gjatësia e kurbës.
62. Përkufizimi i një integrali jo të duhur të llojit të parë. Formula Newton-Leibniz për integrale të pahijshme të llojit të parë. Karakteristikat më të thjeshta.
63. Konvergjenca e integraleve jo të duhura të llojit të parë për një funksion pozitiv. Teorema e krahasimit 1 dhe 2.
64. Konvergjenca absolute dhe e kushtëzuar e integraleve jo të duhura të llojit të parë të një funksioni alternativ. Kriteret e konvergjencës për Abel dhe Dirichlet.
65. Përkufizimi i një integrali të pasaktë të llojit të dytë. Formula Njuton-Leibniz për integrale të pahijshme të llojit të dytë.
66. Lidhja e integraleve jo të duhura Lloji i parë dhe i dytë. Integrale të pahijshme në kuptimin e vlerës kryesore.
Lëreni ndryshoren x n merr një sekuencë të pafund vlerash
x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)
dhe ligji i ndryshimit të ndryshores është i njohur x n, d.m.th. për çdo numër natyror n ju mund të specifikoni vlerën përkatëse x n. Kështu supozohet se ndryshorja x nështë një funksion i n:
x n = f(n)
Le të përcaktojmë një nga konceptet më të rëndësishme të analizës matematikore - kufiri i një sekuence, ose, çfarë është e njëjta, kufiri i një ndryshoreje x n sekuencë vrapimi x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .
Përkufizimi. numër konstant a thirrur kufiri i sekuencës x 1 , x 2 , ..., x n , ... . ose kufiri i një ndryshoreje x n, nëse për një numër pozitiv arbitrarisht të vogël e ekziston një numër i tillë natyror N(dmth numri N) që të gjitha vlerat e ndryshores x n, duke filluar me x N, ndryshojnë nga a më pak në vlerë absolute se e. Ky përkufizim shkruar shkurt kështu:
| x n -a |< (2)
per te gjithe n N, ose, që është e njëjta,
Përkufizimi i kufirit Cauchy. Një numër A quhet kufiri i një funksioni f (x) në një pikë a nëse ky funksion përcaktohet në një fqinjësi të pikës a, me përjashtim ndoshta të vetë pikës a, dhe për çdo ε > 0 ekziston δ > 0 e tillë që për të gjitha x kushtet e kënaqshme |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Përkufizimi i kufirit Heine. Një numër A quhet kufiri i një funksioni f (x) në një pikë a nëse ky funksion përcaktohet në një fqinjësi të pikës a, me përjashtim ndoshta të vetë pikës a dhe për çdo sekuencë të tillë që duke konverguar me numrin a, sekuenca përkatëse e vlerave të funksionit konvergon me numrin A.
Nëse funksioni f(x) ka një kufi në pikën a, atëherë ky kufi është unik.
Numri A 1 quhet kufiri i majtë i funksionit f (x) në pikën a nëse për çdo ε > 0 ekziston δ >
Numri A 2 quhet kufiri i duhur i funksionit f (x) në pikën a nëse për çdo ε > 0 ekziston δ > 0 i tillë që mosbarazimi
Kufiri në të majtë shënohet si kufi në të djathtë - Këto kufij karakterizojnë sjelljen e funksionit majtas dhe djathtas të pikës a. Ato shpesh quhen kufij me një drejtim. Në shënimin e kufijve të njëanshëm si x → 0, zeroja e parë zakonisht hiqet: dhe . Pra, për funksionin
Nëse për çdo ε > 0 ekziston një fqinjësi δ e një pike a e tillë që për të gjitha x që plotësojnë kushtin |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, atëherë themi se funksioni f (x) ka një kufi të pafund në pikën a:
Kështu, funksioni ka një kufi të pafund në pikën x = 0. Shpesh dallohen kufijtë e barabartë me +∞ dhe –∞. Kështu që,
Nëse për çdo ε > 0 ekziston δ > 0 i tillë që për çdo x > δ pabarazia |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Teorema e ekzistencës për kufirin më të vogël të sipërm
Përkufizimi: AR mR, m - faqja e sipërme (e poshtme) e A-së, nëse аА аm (аm).
Përkufizimi: Bashkësia A është e kufizuar nga lart (nga poshtë), nëse ekziston m e tillë që аА, atëherë am (аm) është e kënaqur.
Përkufizimi: SupA=m, nëse 1) m - kufiri i sipërm i A
2) m’: m’
InfA = n nëse 1) n është infimum i A
2) n’: n’>n => n’ nuk është një infimum i A
Përkufizimi: SupA=m është një numër i tillë që: 1) aA am
2) >0 a A, e tillë që a a-
InfA = n quhet një numër i tillë që:
2) >0 a A, e tillë që një E a+
Teorema:Çdo grup jo bosh АR i kufizuar nga lart ka një kufi të sipërm më të mirë, dhe një unik në atë.
Dëshmi:
Ndërtojmë një numër m në drejtëzën reale dhe vërtetojmë se kjo është kufiri më i vogël i sipërm i A.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - faqja e sipërme e A
Segmenti [[m],[m]+1] - i ndarë në 10 pjesë
m 1 =maksimumi:aA)]
m 2 =maksimumi,m 1:aA)]
m në = max,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - fytyra e sipërme A
Le të vërtetojmë se m=[m],m 1 ...m K është kufiri më i vogël i sipërm dhe se është unik:
për: .
Oriz. 11. Grafiku i funksionit y harksin x.
Le të prezantojmë tani konceptin e një funksioni kompleks ( shfaqin kompozime). Le të jepen tri bashkësi D, E, M dhe le të jenë f: D→E, g: E→M. Natyrisht, është e mundur të ndërtohet një pasqyrim i ri h: D→M, i quajtur një përbërje e pasqyrave f dhe g ose një funksion kompleks (Fig. 12).
Një funksion kompleks shënohet si më poshtë: z =h(x)=g(f(x)) ose h = f o g.
Oriz. 12. Ilustrim për konceptin e një funksioni kompleks.
Funksioni f (x) thirret funksioni i brendshëm, dhe funksioni g (y) - funksioni i jashtëm.
1. Funksioni i brendshëm f (x) = x², g i jashtëm (y) sin y. Funksioni kompleks z= g(f(x))=sin(x²)
2. Tani anasjelltas. Funksioni i brendshëm f (x)= sinx, i jashtëm g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)