Funksionet e anasjellta, vetitë dhe grafikët e tyre janë shembuj. Koncepti i një funksioni të anasjelltë. Shembull: funksionet katrore dhe rrënjësore

Objektivat e mësimit:

Edukative:

ndërtojnë njohuritë mbi temë e re në përputhje me materialin e programit;
të studiojë vetinë e kthyeshmërisë së një funksioni dhe të mësojë si të gjejë një funksion të anasjelltë me një të dhënë;

Zhvillimi:

të zhvillojë aftësitë e vetëkontrollit, të folurit lëndor;
të zotërojë konceptin e një funksioni të anasjelltë dhe të mësojë metodat e gjetjes së një funksioni të anasjelltë;

Edukative: për të formuar kompetencë komunikuese.

Pajisjet: kompjuter, projektor, ekran, tabelë interaktive SMART Board, fletushkë ( punë e pavarur) për punë në grup.

Gjatë orëve të mësimit.

1. Momenti organizativ.

Synimi – përgatitja e nxënësve për punë në klasë:

Përkufizimi i mungesës,

Qëndrimi i studentëve ndaj punës, organizimi i vëmendjes;

Mesazh për temën dhe qëllimin e mësimit.

2. Përditësimi i njohurive bazë të nxënësve. sondazhi i përparmë.

objektivi - për të vendosur korrektësinë dhe ndërgjegjësimin e materialit teorik të studiuar, përsëritjen e materialit të mbuluar.<Приложение 1 >

Për studentët në tabela e bardhë interaktive shfaqet grafiku i funksionit. Mësuesi/ja formulon detyrën - të marrë në konsideratë grafikun e funksionit dhe të listojë vetitë e studiuara të funksionit. Nxënësit rendisin vetitë e një funksioni sipas dizajnit të kërkimit. Mësuesi, në të djathtë të grafikut të funksionit, shënon vetitë e emërtuara me një shënues në tabelën e bardhë ndërvepruese.

Karakteristikat e funksionit:

Në fund të studimit, mësuesi raporton se sot në mësim do të njihen me një veçori më shumë të funksionit - kthyeshmërinë. Për një studim kuptimplotë të materialit të ri, mësuesi/ja fton fëmijët të njihen me pyetjet kryesore që nxënësit duhet t'u përgjigjen në fund të orës së mësimit. Pyetjet shkruhen në një tabelë të zakonshme dhe secili student ka një fletë pune (shpërndarë përpara mësimit)

Çfarë është një funksion i kthyeshëm?
A është çdo funksion i kthyeshëm?
Cili është funksioni i dhënë i anasjelltë?
Si lidhen domeni i përkufizimit dhe grupi i vlerave të një funksioni dhe funksioni i tij i kundërt?
Nëse funksioni jepet në mënyrë analitike, si e përcaktoni funksionin e anasjelltë me një formulë?
Nëse një funksion jepet grafikisht, si të vizatohet funksioni i tij i kundërt?

3. Shpjegimi i materialit të ri.

Synimi - të formojë njohuri për një temë të re në përputhje me materialin programor; të studiojë vetinë e kthyeshmërisë së një funksioni dhe të mësojë si të gjejë një funksion të anasjelltë me një të dhënë; zhvillojnë lëndën.

Mësuesi/ja bën një prezantim të materialit në përputhje me materialin e paragrafit. Në tabelën ndërvepruese, mësuesi krahason grafikët e dy funksioneve, domenet e përkufizimit dhe grupet e vlerave të të cilëve janë të njëjta, por njëri prej funksioneve është monoton dhe tjetri jo, duke i sjellë studentët në konceptin e një funksioni të kthyeshëm. .

Më pas mësuesi formulon përkufizimin e një funksioni të kthyeshëm dhe provon teoremën e funksionit të kthyeshëm duke përdorur grafikun e funksionit monoton në tabelën e bardhë ndërvepruese.

Përkufizimi 1: Funksioni y=f(x), x X thirret e kthyeshme, nëse merr ndonjë nga vlerat e tij vetëm në një pikë të grupit X.

Teorema: Nëse funksioni y=f(x) është monoton në bashkësinë X, atëherë ai është i kthyeshëm.

Dëshmi:

Lëreni funksionin y=f(x) rritet me X le të shkojë x 1 ≠ x 2- dy pika të grupit X.
Për definicion, le x 1< x 2.
Pastaj nga çfarë x 1< x 2 vijon se f(x 1) < f(x 2).
Kështu, vlera të ndryshme të argumentit korrespondojnë me vlera të ndryshme të funksionit, d.m.th. funksioni është i kthyeshëm.

(Gjatë vërtetimit të teoremës, mësuesi/ja bën të gjitha shpjegimet e nevojshme në vizatim me shënues)

Përpara se të formulojë përkufizimin e një funksioni të anasjelltë, mësuesi u kërkon nxënësve të përcaktojnë se cili nga funksionet e propozuara është i kthyeshëm? Tabela e bardhë interaktive tregon grafikët e funksioneve dhe janë shkruar disa funksione të përcaktuara analitikisht:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Mësuesi paraqet përkufizimin e një funksioni të anasjelltë.

Përkufizimi 2: Le të funksionojë një invertible y=f(x) të përcaktuara në set X Dhe E(f)=Y. Le të përputhemi me secilën y nga Y atëherë kuptimi i vetëm X, në të cilën f(x)=y. Pastaj marrim një funksion që është përcaktuar në Y, A Xështë diapazoni i funksionit

Ky funksion shënohet x=f -1 (y) dhe quhet inversi i funksionit y=f(x).

Nxënësit ftohen të nxjerrin një përfundim rreth marrëdhënies midis fushës së përkufizimit dhe grupit të vlerave të funksioneve të anasjellta.

Për të shqyrtuar pyetjen se si të gjendet funksioni i anasjelltë i një të dhënë, mësuesi përfshiu dy nxënës. Një ditë më parë, fëmijët morën një detyrë nga mësuesi për të analizuar në mënyrë të pavarur metodat analitike dhe grafike për gjetjen e funksionit të dhënë të anasjelltë. Mësuesi ka vepruar si konsulent në përgatitjen e nxënësve për mësimin.

Mesazh nga nxënësi i parë.

Shënim: monotonia e një funksioni është mjaftueshëm kusht për ekzistencën e një funksioni të anasjelltë. Por ajo nuk eshte kusht i nevojshëm.

Nxënësi dha shembuj të situatave të ndryshme kur funksioni nuk është monoton, por i kthyeshëm, kur funksioni nuk është monoton dhe jo i kthyeshëm, kur është monoton dhe i kthyeshëm.

Më pas nxënësi i njeh nxënësit metodën e gjetjes së funksionit të anasjelltë të dhënë në mënyrë analitike.

Gjetja e algoritmit

Sigurohuni që funksioni të jetë monoton.
Shprehni x në terma y.
Riemërtoni variablat. Në vend të x \u003d f -1 (y) ata shkruajnë y \u003d f -1 (x)

Më pas zgjidh dy shembuj për të gjetur funksionin e inversit të dhënë.

Shembulli 1: Tregoni se ka funksion të anasjelltë për funksionin y=5x-3 dhe gjeni shprehjen analitike të tij.

Zgjidhje. Funksioni linear y=5x-3 përcaktohet në R, rritet në R, dhe diapazoni i tij është R. Prandaj, funksioni i anasjelltë ekziston në R. Për të gjetur shprehjen e tij analitike, zgjidhim ekuacionin y=5x-3 në lidhje me x; marrim Ky është funksioni invers i dëshiruar. Përcaktohet dhe rritet me R.

Shembulli 2: Tregoni se ka një funksion të anasjelltë për funksionin y=x 2 , x≤0 dhe gjeni shprehjen analitike të tij.

Funksioni është i vazhdueshëm, monoton në domenin e tij të përkufizimit, prandaj është i kthyeshëm. Pas analizimit të fushave të përkufizimit dhe grupit të vlerave të funksionit, bëhet një përfundim përkatës në lidhje me shprehjen analitike për funksionin e anasjelltë.

Nxënësi i dytë bën një prezantim rreth grafike si të gjejmë funksionin e anasjelltë. Gjatë shpjegimit të tij, nxënësi përdor aftësitë e tabelës së bardhë ndërvepruese.

Për të marrë grafikun e funksionit y=f -1 (x), të anasjelltë me funksionin y=f(x), është e nevojshme që grafiku i funksionit y=f(x) të shndërrohet në mënyrë simetrike në lidhje me drejtëzën. y=x.

Gjatë shpjegimit në tabelën interaktive, kryhet detyra e mëposhtme:

Ndërtoni një grafik të një funksioni dhe një grafik të funksionit të tij të kundërt në të njëjtin sistem koordinativ. Shkruani një shprehje analitike për funksionin e anasjelltë.

4. Fiksimi parësor i materialit të ri.

objektivi - për të vendosur korrektësinë dhe ndërgjegjësimin e të kuptuarit të materialit të studiuar, për të identifikuar boshllëqet në kuptimin parësor të materialit, për t'i korrigjuar ato.

Nxënësit ndahen në dyshe. Atyre u jepen fletë me detyra në të cilat punojnë në dyshe. Koha për të përfunduar punën është e kufizuar (5-7 minuta). Një çift nxënësish punon në kompjuter, projektori është i fikur për këtë kohë dhe pjesa tjetër e fëmijëve nuk mund të shohë se si punojnë nxënësit në kompjuter.

Në fund të kohës (supozohet se shumica e nxënësve e kanë përfunduar punën), tabela e bardhë ndërvepruese (projektori ndizet sërish) tregon punën e nxënësve, ku gjatë testimit sqarohet se detyra është kryer në çifte. Nëse është e nevojshme, mësuesi kryen punë korrigjuese, shpjeguese.

Punë e pavarur në dyshe<Shtojca 2 >

5. Rezultati i mësimit. Mbi pyetjet që u bënë para ligjëratës. Shpallja e notave për mësimin.

Detyrë shtëpie §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasa 10 Në 2 pjesë për institucionet arsimore (niveli i profilit) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova dhe të tjerë; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Shprehjet përkatëse që shndërrohen në njëra-tjetrën. Për të kuptuar se çfarë do të thotë kjo, ia vlen të merret parasysh shembull specifik. Le të themi se kemi y = cos(x). Nëse marrim kosinusin nga argumenti, atëherë mund të gjejmë vlerën e y. Natyrisht, për këtë ju duhet të keni x. Po sikur lojtari të jepet fillimisht? Këtu hyn në thelbin e çështjes. Për të zgjidhur problemin, kërkohet përdorimi i një funksioni invers. Në rastin tonë, kjo është arkkosina.

Pas të gjitha transformimeve, marrim: x = arccos(y).

Kjo do të thotë, për të gjetur një funksion të kundërt me një të dhënë, mjafton thjesht të shprehni një argument prej tij. Por kjo funksionon vetëm nëse rezultati do të ketë një vlerë të vetme (më shumë për këtë më vonë).

Në terma të përgjithshëm, ky fakt mund të shkruhet si më poshtë: f(x) = y, g(y) = x.

Përkufizimi

Le të jetë f një funksion domeni i të cilit është vendosur X dhe domeni i të cilit është vendosur Y. Atëherë nëse ekziston g domenet e të cilit kryejnë detyra të kundërta, atëherë f është i kthyeshëm.

Për më tepër, në këtë rast g është unik, që do të thotë se ekziston saktësisht një funksion që e plotëson këtë veti (as më shumë, as më pak). Atëherë quhet funksioni i anasjelltë, dhe me shkrim shënohet si më poshtë: g (x) \u003d f -1 (x).

Me fjalë të tjera, ato mund të shihen si një lidhje binare. Kthyeshmëria ndodh vetëm kur një element i grupit korrespondon me një vlerë nga një tjetër.

Nuk ka gjithmonë një funksion të kundërt. Për ta bërë këtë, çdo element y є Y duhet të korrespondojë më së shumti me një x є X. Atëherë f quhet një me një ose injeksion. Nëse f -1 i përket Y, atëherë çdo element i kësaj bashkësie duhet t'i korrespondojë disa x ∈ X. Funksionet me këtë veti quhen surjeksione. Vlen sipas përkufizimit nëse Y është një imazh f, por nuk është gjithmonë kështu. Për të qenë i anasjelltë, një funksion duhet të jetë njëkohësisht një injeksion dhe një surjeksion. Shprehje të tilla quhen bijeksione.

Shembull: funksionet katrore dhe rrënjësore

Funksioni është përcaktuar në. Në këtë rast, derivati i tij

Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Analiza Matematikore Kompleksi arsimor dhe metodologjik për studentët e HPE që studiojnë me përdorimin e teknologjive në distancë Moduli 4 Aplikimet e derivatit Përpiluar nga: Profesor i Asociuar

Kapitulli 1. Kufijtë dhe vazhdimësia 1. Bashkësitë numerike 1 0. Numrat real Nga matematika e shkollës ju njihni N numra të plotë natyrorë Z numra racionalë Q dhe real R Numrat natyrorë dhe numra të plotë

Leksioni 19 DERIVATI DHE ZBATIMET E TIJ. PËRKUFIZIMI I DERIVATIT. Le të kemi një funksion y=f(x) të përcaktuar në një interval. Për çdo vlerë të argumentit x nga ky interval, funksioni y=f(x)

Llogaritja diferenciale Konceptet dhe formulat themelore Përkufizimi 1 Derivati i një funksioni në një pikë quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, me kusht që rritja e argumentit.

Tema 8. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike. 1. Funksioni eksponencial, grafiku i tij dhe vetitë e formës y=a x,

44 Shembull Gjeni derivatin total të një funksioni kompleks = sin v cos w ku v = ln + 1 w= 1 Sipas formulës (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Tani gjejmë diferencialin total i funksionit kompleks f

Detyrat për zgjidhje e pavarur. Gjeni domenin e funksionit 6x. Gjeni tangjenten e këndit të prirjes me boshtin x të tangjentes që kalon në pikën M (;) të grafikut të funksionit. Gjeni tangjenten e një këndi

Tema Funksioni numerik, vetitë dhe grafiku i tij Koncepti i një funksioni numerik Fusha e përkufizimit dhe bashkësia e vlerave të një funksioni Le të jepet një bashkësi numerike X Një rregull që përputhet me çdo numër X me një unik

Leksioni 23 KONVEKS DHE KONKAVE TË GRAFIT TË FUNKSIONIT TË PIKËS SË BJESË Grafiku i funksionit y \u003d f (x) quhet konveks në intervalin (a; b) nëse ndodhet nën ndonjë tangjente të tij në këtë interval. Grafiku

Tema Teoria e kufijve Ushtrim praktik Sekuenca numerike Përkufizimi i një sekuence numerike Sekuenca të kufizuara dhe të pakufishme Sekuenca monotone Pafundësisht të vogla

Funksionet numerike dhe sekuencat numerike DV Lytkina NPP, semestri I DV Lytkina (SibSUTI) Analiza matematikore e NPP, I semestri 1 / 35 Përmbajtja 1 Funksioni numerik Koncepti i funksionit Funksionet numerike.

Bankë detyrash me temën “DEERIVATIV” Ora e MATEMATIKËS (profili) Nxënësit duhet të njohin/kuptojnë: Konceptin e derivatit. Përkufizimi i një derivati. Teorema dhe rregulla për gjetjen e derivateve të shumës, ndryshimit, prodhimit

Â. A. Matematika e Dalingerit: Funksioni i trekëndëshit ZHVILLIMI I PROBLEMIT MIDHËS MËSIMOR PËR SPO - botim, korrigjoi dhe plotësoi profesionale

A.V. Zemlyanko Matematika. Algjebra dhe fillimet e analizës Voronezh PËRMBAJTJA TEMA 1. VETITË KRYESORE TË FUNKSIONIT... 6 1.1. Funksioni numerik... 6 1.2. Grafiku i funksionit... 9 1.3. Konvertimi i grafikëve të funksioneve...

Subjekti. Funksioni. Metodat e detyrave. Funksioni i nënkuptuar. Funksioni i anasjelltë. Klasifikimi i funksioneve Elemente të teorisë së bashkësive. Konceptet bazë Një nga konceptet bazë të matematikës moderne është koncepti i një grupi.

Le të jepet një bashkësi numerike D R. Nëse secilit numër x D i caktohet një numër i vetëm y, atëherë themi se në bashkësinë D është dhënë një funksion numerik: y = f (x), x D. Bashkësia D quhet

Funksionet e disa variablave 11. Përkufizimi i një funksioni të disa ndryshoreve. Kufiri dhe vazhdimësia e FNP 1. Përkufizimi i një funksioni të disa variablave PËRKUFIZIM. Le të X = ( 1 n i X i R ) U R. Funksioni

MATEMATIKA PËR TË GJITHË Yu.L.Kalinovskiy Përmbajtja 1 Grafikët e funksioneve. Pjesa I.............................. 5 1.1 Hyrje 5 1.1.1 Koncepti i një grupi... ... ................................................ 5 1.1.

Punë praktike 6 Tema: “Studim i plotë i funksioneve. Ndërtimi i grafikëve ”Qëllimi i punës: të mësoni se si të eksploroni funksionet nga skema e përgjithshme dhe ndërtoni grafikë. Si rezultat i punës, studenti duhet:

Kapitulli 8 Funksionet dhe grafikët Variablat dhe varësitë ndërmjet tyre. Dy madhësi dhe quhen drejtpërdrejt proporcionale nëse raporti i tyre është konstant, d.m.th nëse =, ku është një numër konstant që nuk ndryshon me ndryshimin

LEKTORË 2. Veprimet me nënhapësira, numri i bazave, numri i bazave dhe numri i nënhapësirave të dimensionit k. Rezultatet kryesore të Leksionit 2. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) Numërimi i numrit të aeroplanëve në F 4 2.

Pyetja 5. Funksioni, mënyrat e vendosjes. Shembuj të funksioneve elementare dhe grafika e tyre. Le të jepen dy bashkësi arbitrare X dhe Y. Një funksion është një rregull sipas të cilit çdo element nga bashkësia X mund të gjejë

Leksioni 4 FUNKSIONET NUMERIKE TË NJË VARIABLE REAL Koncepti i një funksioni Mënyrat e përcaktimit të një funksioni Vetitë themelore të funksioneve Funksioni kompleks 4 Funksioni i anasjelltë Koncepti i një funksioni Mënyrat e përcaktimit të një funksioni Le të

Leksione Kapitulli Funksionet e disa ndryshoreve Konceptet themelore Disa funksione të disa ndryshoreve janë të njohura. Le të japim disa shembuj Për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi, dihet formula S e Heronit

Vazhdimësia e funksioneve Vazhdimësia e një funksioni në një pikë Kufijtë e njëanshëm Përkufizimi Numri A quhet kufiri i majtë i funksionit f(x) pasi x priret në a nëse një numër i tillë ekziston për çdo numër

Punë kërkimore Matematika "Zbatimi i vetive ekstremale të një funksioni për zgjidhjen e ekuacioneve" Përfundoi: Elena Gudkova, nxënëse e klasës 11 "G" MBOU shkolla e mesme "Anninsky Lyceum" f.g.t. Kreu i Ana:

Agjencia Federale e Arsimit ----- UNIVERSITETI SHTETËROR POLITEKNIK I SHËN PETERSBURGUT AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATEMATIKA Funksionet elementare dhe grafikët e tyre Arsimor

FUNKSIONET E SHUMË NDRYSHOREVE Funksionet e një ndryshoreje të pavarur nuk mbulojnë të gjitha varësitë që ekzistojnë në natyrë. Prandaj, është e natyrshme të zgjerohet dhe të prezantohet koncepti i njohur i varësisë funksionale

Funksioni Përkufizimi i një funksioni Mënyrat e përcaktimit të një funksioni Karakteristikat e një funksioni Funksioni i anasjelltë Kufiri i një funksioni Kufiri i një funksioni në një pikë Kufijtë e njëanshëm Kufiri i një funksioni në x Infinit funksion i madh 4 Ligjërata

Seksioni Llogaritja e një dhe më shumë funksioneve variablat Funksioni argument real Numrat real Numrat e plotë pozitivë quhen numra natyrorë Shtoni numrat natyrorë

Sergey A Belyaev faqe 1 Minimumi matematikor Pjesa 1 Teorik 1 A është i saktë përkufizimi Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë është numri më i vogël që është i pjesëtueshëm me secilin nga numrat e dhënë

Seksioni 2 Teoria e kufijve Tema Sekuencat numerike Përkufizimi i një sekuence numerike 2 Sekuenca të kufizuara dhe të pakufizuara 3 sekuenca monotone 4 Pafundësisht të vogla dhe

Diferencimi i një funksioni të nënkuptuar Merrni parasysh funksionin (,) = C (C = konst) Ky ekuacion përcakton një funksion të nënkuptuar () Supozoni se e kemi zgjidhur këtë ekuacion dhe kemi gjetur një shprehje eksplicite = () Tani mund të

Detyrat e testit për përgatitjen për PROVIM në disiplinën "Matematikë" për studentët e departamentit të korrespondencës Derivati i funksionit y \u003d f () quhet: f A) B) f C) f f Nëse në ndonjë lagje të pikës funksionin

NDRYSHORET DHE KONSTANTAT Si rezultat i matjes sasive fizike(koha, sipërfaqja, vëllimi, masa, shpejtësia, etj.) përcaktohen vlerat numerike të tyre. Matematika merret me sasitë, e shpërqendruar

Analiza matematikore Seksioni: Hyrje në analizë Tema: Koncepti i një funksioni (përkufizimet bazë, klasifikimi, karakteristikat kryesore të sjelljes) Ligjërues Rozhkova S.V. 2012 Letërsia Piskunov N.S. diferencial

Mësimi 7 Teorema të vlerës mesatare. Rregulli i L'Hôpital 7. Teoremat e vlerës mesatare Teoremat e vlerës mesatare janë tre teorema: Rolle, Lagranzh dhe Cauchy, secila prej të cilave përgjithëson të mëparshmen. Këto teorema quhen gjithashtu

Ligjërata u përgatit nga Assoc.

DIFEENCIIMI I FUNKSIONIVE TË NJË NDRYSHORE Koncepti i një derivati, kuptimi i tij gjeometrik dhe fizik Problemet që çojnë në konceptin e një derivati Përkufizimi i tangjentes S në drejtëzën y f (x) në pikën A x ; f(

13. Derivatet e pjesshme të rendit të lartë Le = të ketë dhe të përkufizohet në D O. Funksionet dhe quhen edhe derivate të pjesshëm të rendit të parë të një funksioni ose derivate të parë të pjesshëm të një funksioni. dhe në përgjithësi

Ministria e Arsimit e Republikës së Bjellorusisë INSTITUCIONI ARSIMOR "UNIVERSITETI SHTETËROR GRODNO ME EMËRIN E JANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENCIALE DHE LOGARITMIKE

Kapitulli Leksion Kompletet dhe veprimet mbi to Koncepti i një bashkësie Koncepti i një grupi u referohet koncepteve më parësore të matematikës që nuk përcaktohen përmes atyre më të thjeshta.

Leksioni 8 Diferencimi i një funksioni kompleks Merrni parasysh një funksion kompleks t t f ku ϕ t t t t t t f t t t t t t t t t

Leksioni 3 Ekstremumi i një funksioni të disa variablave Le të përcaktohet një funksion i disa ndryshoreve u = f (x, x) në domenin D, dhe pika x (x, x) = i përket këtij domeni. Funksioni u = f ( x, x) ka

Pyetje. Pabarazitë, sistemi i pabarazive lineare Merrni parasysh shprehjet që përmbajnë një shenjë pabarazie dhe një ndryshore:. >, - + x janë pabarazi lineare me një ndryshore x.. 0 - pabarazi katrore.

SEKSIONI I DETYRAVE ME PARAMETRA Koment Detyrat me parametra janë detyra tradicionalisht komplekse në strukturën USE, që kërkojnë që aplikanti jo vetëm të zotërojë të gjitha metodat dhe teknikat për zgjidhjen e ndryshme

2.2.7. Zbatimi i diferencialit në llogaritjet e përafërta. Diferenciali i funksionit y = varet nga x dhe është Pjesa kryesore x rritje. Ju gjithashtu mund të përdorni formulën: dy d Pastaj gabimi absolut:

Kapitulli 6 Llogaritja diferenciale e një funksioni të një ndryshoreje Probleme që çojnë në konceptin e një derivati Problemi i shpejtësisë së lëvizjes drejtvizore jo uniforme

Drejtëza në rrafsh Ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës. Para se të prezantojmë ekuacionin e përgjithshëm të një vije të drejtë në aeroplan, ne prezantojmë përkufizim i përgjithshëm linjat. Përkufizimi. Një ekuacion i formës F(x,y)=0 (1) quhet ekuacion i drejtëzës L.

KOMITETI I ARSIMIT TË PËRGJITHSHËM DHE PROFESIONAL TË RAJONIT TË LENINGRADIT

Rregullat e derivatit dhe të diferencimit Le të rritet funksioni y = f y f 0 f 0 që korrespondon me rritjen e argumentit 0 Përkufizim Nëse ka një kufi në raportin e rritjes së funksionit y me thirrësin

Universiteti Teknik Shtetëror i Moskës me emrin N.E. Bauman Fakulteti i Shkencave Themelore Departamenti i Modelimit Matematik A.N. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

FUNKSIONET INVERSE Problemet që përfshijnë funksionet e anasjellta ndodhin në degë të ndryshme të matematikës dhe zbatimet e saj. zonë e rëndësishme matematikanët hartojnë probleme të anasjellta në teorinë e integralit

Sistemi i detyrave me temën “Ekuacioni tangjencial” Përcaktoni shenjën e pjerrësisë së tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit y f (), në pikat me abshisa a, b, c a) b) Tregoni pikat në të cilat derivati

Le të përfshihen grupet $X$ dhe $Y$ në grupin e numrave realë. Le të prezantojmë konceptin e një funksioni të kthyeshëm.

Përkufizimi 1

Një funksion $f:X\në Y$ që paraqet një grup $X$ në një grup $Y$ quhet i kthyeshëm nëse për çdo element $x_1,x_2\në X$ rrjedh nga fakti se $x_1\ne x_2$ $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Tani mund të prezantojmë nocionin e një funksioni të anasjelltë.

Përkufizimi 2

Le të jetë i kthyeshëm funksioni $f:X\në Y$ që paraqet bashkësinë $X$ në grupin $Y$. Më pas, funksioni $f^(-1):Y\në X$ duke hartuar grupin $Y$ në grupin $X$ dhe të përcaktuar nga kushti $f^(-1)\left(y\djathtas)=x$ quhet anasjelltas për $f( x)$.

Le të formulojmë teoremën:

Teorema 1

Le të jetë i përcaktuar funksioni $y=f(x)$, monotonikisht në rritje (zvogëlim) dhe i vazhdueshëm në një interval $X$. Pastaj, në intervalin përkatës $Y$ të vlerave të këtij funksioni, ai ka një funksion të anasjelltë, i cili gjithashtu është monoton në rritje (zvogëlim) dhe i vazhdueshëm në intervalin $Y$.

Tani le të prezantojmë drejtpërdrejt konceptin e funksioneve reciproke të anasjellta.

Përkufizimi 3

Brenda kornizës së Përkufizimit 2, funksionet $f(x)$ dhe $f^(-1)\left(y\djathtas)$ quhen funksione reciprokisht të anasjellta.

Vetitë e funksioneve reciproke të anasjellta

Le të jenë funksionet $y=f(x)$ dhe $x=g(y)$ reciprokisht të anasjellta, atëherë

$y=f(g\majtas(y\djathtas))$ dhe $x=g(f(x))$

Domeni i funksionit $y=f(x)$ është i barabartë me domenin e vlerës së funksionit $\ x=g(y)$. Dhe domeni i funksionit $x=g(y)$ është i barabartë me domenin e vlerës së funksionit $\ y=f(x)$.

Grafikët e funksioneve $y=f(x)$ dhe $x=g(y)$ janë simetrik në lidhje me drejtëzën $y=x$.

Nëse njëri prej funksioneve rritet (zvogëlohet), atëherë rritet (zvogëlohet) edhe funksioni tjetër.

Gjetja e funksionit të anasjelltë

Zgjidhet ekuacioni $y=f(x)$ në lidhje me variablin $x$.

Nga rrënjët e fituara gjenden ato që i përkasin intervalit $X$.

$x$-të e gjetur i caktohen numrit $y$.

Shembulli 1

Gjeni funksionin e anasjelltë, për funksionin $y=x^2$ në intervalin $X=[-1,0]$

Meqenëse ky funksion është në rënie dhe i vazhdueshëm në intervalin $X$, atëherë në intervalin $Y=$, i cili gjithashtu është në rënie dhe i vazhdueshëm në këtë interval (Teorema 1).

Llogarit $x$:

\ \

Zgjidhni $x$-in e duhur:

Përgjigje: funksioni i anasjelltë $y=-\sqrt(x)$.

Probleme për gjetjen e funksioneve të anasjellta

Në këtë pjesë, ne konsiderojmë funksione të anasjellta për disa funksione elementare. Detyrat do të zgjidhen sipas skemës së dhënë më sipër.

Shembulli 2

Gjeni funksionin e anasjelltë për funksionin $y=x+4$

Gjeni $x$ nga ekuacioni $y=x+4$:

Shembulli 3

Gjeni funksionin e anasjelltë për funksionin $y=x^3$

Zgjidhje.

Meqenëse funksioni është në rritje dhe i vazhdueshëm në të gjithë domenin e përkufizimit, atëherë, nga teorema 1, ai ka një funksion të kundërt të vazhdueshëm dhe rritës mbi të.

Gjeni $x$ nga ekuacioni $y=x^3$:

Gjetja e vlerave të përshtatshme prej $x$

Vlera në rastin tonë është e përshtatshme (pasi qëllimi është të gjithë numrat)

Duke ripërcaktuar variablat, marrim se funksioni i anasjelltë ka formën

Shembulli 4

Gjeni funksionin e anasjelltë për funksionin $y=cosx$ në intervalin $$

Zgjidhje.

Merrni parasysh funksionin $y=cosx$ në grupin $X=\left$. Ai është i vazhdueshëm dhe në rënie në bashkësinë $X$ dhe e harton bashkësinë $X=\left$ në bashkësinë $Y=[-1,1]$, pra, me teoremën mbi ekzistencën e një funksioni monoton të vazhdueshëm të anasjelltë, funksioni $y=cosx$ në grupin $ Y$ ka një funksion të anasjelltë, i cili gjithashtu është i vazhdueshëm dhe rritet në grupin $Y=[-1,1]$ dhe paraqet njësinë $[-1,1]$ në grupin $\left$.

Gjeni $x$ nga ekuacioni $y=cosx$:

Gjetja e vlerave të përshtatshme prej $x$

Duke ripërcaktuar variablat, marrim se funksioni i anasjelltë ka formën

Shembulli 5

Gjeni funksionin e anasjelltë për funksionin $y=tgx$ në intervalin $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\djathtas)$.

Zgjidhje.

Konsideroni funksionin $y=tgx$ në grupin $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Ai është i vazhdueshëm dhe në rritje në grupin $X$ dhe harton grupin $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\djathtas)$ në grupin $Y =R$, pra, nga teorema mbi ekzistencën e një funksioni monoton të vazhdueshëm inversi, funksioni $y=tgx$ në bashkësinë $Y$ ka një funksion të anasjelltë, i cili gjithashtu është i vazhdueshëm dhe rritet në bashkësinë $Y=R. $ dhe harton grupin $R$ në grupin $\left(- \frac(\pi)(2),\frac(\pi)(2)\djathtas)$

Gjeni $x$ nga ekuacioni $y=tgx$:

Gjetja e vlerave të përshtatshme prej $x$

Duke ripërcaktuar variablat, marrim se funksioni i anasjelltë ka formën

2.Teoria e funksioneve të anasjellta

E kundërta funksionet trigonometrike

Përkufizimi i funksionit të anasjelltë

Përkufizimi. Nëse një funksion f(x) specifikon një korrespondencë një-për-një midis domenit të tij X dhe domenit të tij Y (me fjalë të tjera, nëse ndonjë vlerë e ndryshme e argumentit korrespondon me vlera të ndryshme të funksionit), atëherë Funksioni f(x) thuhet se ka funksioni i anasjelltë apo çfarë funksioninf(x) është i kthyeshëm.

Përkufizimi. Një funksion i anasjelltë është një rregull që çdo numër nëє Në përputhet me një numër Xє X, dhe y=f(x). Zona e përkufizimit të kundërt

funksioni ka një grup Y, diapazoni - X.

Teorema e rrënjës. Le të rritet (ose ulet) funksioni f në intervalin I, numri a - ndonjë nga vlerat e marra nga f në këtë interval. Atëherë ekuacioni f(x)=a ka një rrënjë unike në intervalin I.

Dëshmi. Konsideroni një funksion rritës f (në rastin e një funksioni në rënie, arsyetimi është i ngjashëm). Sipas supozimit, ekziston një numër b në intervalin I i tillë që f(b)=a. Le të tregojmë se b është rrënja e vetme e ekuacionit f(x)=a.

Supozoni se në intervalin I ka edhe një numër c≠ b, të tillë që f(c)=a. Pastaj ose me b. Por funksioni f rritet në intervalin I, pra, përkatësisht, ose f(c) f(b). Kjo bie ndesh me barazinë f(c)= f(b)=a. Prandaj, supozimi i bërë është i pasaktë dhe në intervalin I, përveç numrit b, nuk ka rrënjë të tjera të ekuacionit f(x)=a.

Teorema e funksionit të anasjelltë. Nëse një funksion f rritet (ose zvogëlohet) në një interval I, atëherë ai është i kthyeshëm. Funksioni g i kundërt me f, i përcaktuar në diapazonin e f, është gjithashtu në rritje (përkatësisht në rënie).

Dëshmi. Supozojmë për definicion se funksioni f është në rritje. Kthyeshmëria e funksionit f është një pasojë e dukshme e teoremës së rrënjës. Prandaj, mbetet të vërtetohet se funksioni g, i anasjelltë me f, po rritet në bashkësinë E(f).

Le të jenë x 1 dhe x 2 vlera arbitrare nga E(f), të tilla që x 2 > x 1 dhe le të jenë y 1 = g (x 1), y 2 = g ( x 2 ). Sipas përkufizimit, funksioni i anasjelltë x 1 = f (y 1) dhe x 2 = f (y 2).

Duke përdorur kushtin që f është një funksion rritës, gjejmë se supozimi y 1≥ y 2 çon në përfundimin f (y 1) > f (y 2), domethënë x 1 > x 2. Kjo

bie ndesh me supozimin x 2 > x 1 Prandaj, y 1 > y 2, pra nga kushti x 2 > x 1 del se g (x 2)> g (x 1). Q.E.D.

Funksioni origjinal dhe anasjellta e tij janë reciproke e kundërta.

Grafikët e funksioneve reciprokisht të anasjellta

Teorema. Grafikët e funksioneve reciprokisht të anasjellta janë simetrike në lidhje me drejtëzën y=x.

Dëshmi. Vini re se nga grafiku i funksionit f, mund të gjendet vlera numerike e funksionit g të kundërt me f në një pikë arbitrare a. Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni një pikë me një koordinatë jo në boshtin horizontal (siç bëhet zakonisht), por në atë vertikal. Nga përkufizimi i funksionit të anasjelltë rezulton se vlera e g(a) është e barabartë me b.

Për të përshkruar grafikun g në sistemin e zakonshëm të koordinatave, është e nevojshme të pasqyrohet grafiku f në lidhje me vijën e drejtë y \u003d x.

Algoritmi për përpilimin e funksionit të anasjelltë për funksionin y=f(x), x x.

1. Sigurohuni që funksioni y=f(x) të jetë i kthyeshëm në X.

2. Nga ekuacioni y \u003d f (x) x shprehni përmes y, duke marrë parasysh se x є X .

Z. Në barazinë që rezulton, ndërroni x dhe y.

2.2 Përkufizimi, vetitë dhe grafikët e trigonometrisë së anasjelltë

funksione

Arksina

Funksioni i sinusit rritet në interval dhe merr të gjitha vlerat nga -1 në 1. Prandaj, nga teorema e rrënjës për çdo numër a, i tillë që
, ekziston një rrënjë e vetme e ekuacionit sin x = a në interval. Ky numër quhet arksinus i numrit a dhe shënohet harksin a.

Përkufizimi. Harku i numrit a, ku , është një numër i tillë nga segmenti, sinusi i të cilit është i barabartë me a.

Vetitë.

D(y) = [ -1;1]

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d harksin (-x) \u003d - harkun x - funksion tek, grafiku është simetrik në lidhje me pikën O (0; 0).

harku x = 0 në x = 0.

harku x > 0 në x є (0; 1]

harku x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d harku x rritet për çdo x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>hark x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Kosinusi i harkut

Funksioni kosinus zvogëlohet në segment dhe merr të gjitha vlerat nga -1 në 1. Prandaj, për çdo numër a të tillë që |a|1, ka një rrënjë të vetme në ekuacionin cosx=a në segment. Ky numër në quhet arkozina e numrit a dhe shënohet arcos a.

Përkufizimi . Kosinusi i harkut të numrit a, ku -1 a 1, është një numër nga segmenti kosinusi i të cilit është i barabartë me a.

Vetitë.

E(y) =
y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funksioni nuk është as çift dhe as tek.
arccos x = 0 në x = 1
arccos x > 0 në x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x zvogëlohet për çdo x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>harku x 1 ≥ harksin x 2 - në rënie.

Arktangjent

Funksioni tangjent rritet në segment -
, prandaj, sipas teoremës së rrënjës, ekuacioni tgx \u003d a, ku a është çdo numër real, ka një rrënjë unike x në intervalin -. Kjo rrënjë quhet tangjente e harkut të numrit a dhe shënohet me arctga.

Përkufizimi. Tangjentja e harkut të një numri aR ky numër quhet x , tangjentja e së cilës është a.

Vetitë.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - funksioni është tek, grafiku është simetrik në lidhje me pikën O (0; 0).

arctg x = 0 në x = 0

Funksioni rritet për çdo x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Tangjent hark

Funksioni kotangjent në intervalin (0;) zvogëlohet dhe merr të gjitha vlerat nga R. Prandaj, për çdo numër a në intervalin (0;) ekziston një rrënjë e vetme e ekuacionit ctg x \u003d a. Ky numër a quhet tangjenta e harkut të numrit a dhe shënohet me arcctg a.

Përkufizimi. Tangjentja e harkut të një numri a, ku një R, është një numër i tillë nga intervali (0;) , kotangjentja e të cilit është a.

Vetitë.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funksioni nuk është as çift dhe as tek.

arcctg x = 0- nuk ekziston.

Funksioni y = arcctg x zvogëlohet për çdo х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funksioni është i vazhdueshëm për çdo x є R.

2.3 Shndërrimet e identitetit të shprehjeve që përmbajnë funksione të anasjellta trigonometrike

Shembulli 1. Thjeshtoni shprehjen:

A)
Ku

Zgjidhje. Le të vendosim
. Pastaj
Dhe
Per te gjetur
, ne përdorim relacionin
marrim
Por . Në këtë segment, kosinusi merr vetëm vlera pozitive. Kështu,
, kjo eshte
Ku
.

Zgjidhje.

Zgjidhje. Le të vendosim
. Pastaj
Dhe
Le të gjejmë fillimisht, për të cilën përdorim formulën
, ku
Meqenëse kosinusi merr vetëm vlera pozitive në këtë interval, atëherë
.