ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಉದಾಹರಣೆ: ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳು:

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ:

• ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಹೊಸ ವಿಷಯಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ;
• ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಲಿಸಲು;

ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ:

• ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ, ವಿಷಯ ಭಾಷಣ;
• ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಿರಿ;

ಶೈಕ್ಷಣಿಕ: ಸಂವಹನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು.

ಉಪಕರಣ:ಕಂಪ್ಯೂಟರ್, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟರ್, ಸ್ಕ್ರೀನ್, ಸ್ಮಾರ್ಟ್ ಬೋರ್ಡ್ ಇಂಟರ್ಯಾಕ್ಟಿವ್ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್, ಹ್ಯಾಂಡ್‌ಔಟ್ ( ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ) ಗುಂಪು ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ.

ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ.

1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.

ಗುರಿ – ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವುದು:

ಗೈರುಹಾಜರಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ,

ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ವರ್ತನೆ, ಗಮನದ ಸಂಘಟನೆ;

ಪಾಠದ ವಿಷಯ ಮತ್ತು ಉದ್ದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂದೇಶ.

2. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ನವೀಕರಿಸುವುದು.ಮುಂಭಾಗದ ಸಮೀಕ್ಷೆ.

ಗುರಿ - ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಸರಿಯಾದತೆ ಮತ್ತು ಅರಿವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ಮುಚ್ಚಿದ ವಸ್ತುಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ.<Приложение 1 >

ರಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶಿಕ್ಷಕರು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ - ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಅಧ್ಯಯನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲು. ಸಂಶೋಧನಾ ವಿನ್ಯಾಸದ ಪ್ರಕಾರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಬಲಕ್ಕೆ ಶಿಕ್ಷಕರು, ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಾರ್ಕರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಕಾರ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಅಧ್ಯಯನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಇಂದು ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಅವರು ಕಾರ್ಯದ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯವಾಗುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ವರದಿ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ - ರಿವರ್ಸಿಬಿಲಿಟಿ. ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ, ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಉತ್ತರಿಸಬೇಕಾದ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಶಿಕ್ಷಕರು ಮಕ್ಕಳನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಕರಪತ್ರವಿದೆ (ಪಾಠದ ಮೊದಲು ವಿತರಿಸಲಾಗಿದೆ)

1. ರಿವರ್ಸಿಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದರೇನು?
2. ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯವು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದೇ?
3. ವಿಲೋಮ ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯ ಯಾವುದು?
4. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ?
5. ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನೀಡಿದರೆ, ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೀರಿ?
6. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ರೂಪಿಸುವುದು?

3. ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳ ವಿವರಣೆ.

ಗುರಿ - ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹೊಸ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು; ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಕಲಿಸಲು; ವಿಷಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಶಿಕ್ಷಕನು ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾನೆ. ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಅಲ್ಲ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ತರುತ್ತದೆ. .

ಶಿಕ್ಷಕರು ನಂತರ ಇನ್‌ವರ್ಟಿಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇನ್‌ವರ್ಟಿಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಥಿಯರಮ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1: ಕಾರ್ಯವನ್ನು y=f(x), x X ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ, ಸೆಟ್ X ನ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ.

ಪ್ರಮೇಯ: y=f(x) ಕಾರ್ಯವು X ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ತಿರುಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಪುರಾವೆ:

1. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ y=f(x)ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ Xಹೋಗಲಿ ಬಿಡು x 1 ≠ x 2- ಸೆಟ್ನ ಎರಡು ಅಂಕಗಳು X.
2. ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ಅವಕಾಶ x 1< x 2.
   ನಂತರ ಯಾವುದರಿಂದ x 1< x 2ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ f(x 1) < f(x 2).
3. ಹೀಗಾಗಿ, ವಾದದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಕಾರ್ಯವು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

(ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಮಾರ್ಕರ್ನೊಂದಿಗೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ)

ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, ಯಾವ ಉದ್ದೇಶಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಶಿಕ್ಷಕರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತಾರೆ? ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಬಿ)

ಜಿ) y = 2x + 5

ಡಿ) y = -x 2 + 7

ಶಿಕ್ಷಕನು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾನೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2: ಒಂದು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ y=f(x)ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಇ(ಎಫ್)=ವೈ. ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ ವೈನಿಂದ ವೈನಂತರ ಒಂದೇ ಅರ್ಥ X, ಇದರಲ್ಲಿ f(x)=y.ನಂತರ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ವೈ, ಎ Xಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ x=f -1 (y)ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y=f(x).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಆಹ್ವಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು, ಶಿಕ್ಷಕರು ಇಬ್ಬರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತಾರೆ. ಹಿಂದಿನ ದಿನ, ವಿಲೋಮ ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮಕ್ಕಳು ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರು. ಪಾಠಕ್ಕಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಶಿಕ್ಷಕರು ಸಲಹೆಗಾರರಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿದರು.

ಮೊದಲ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯಿಂದ ಸಂದೇಶ.

ಗಮನಿಸಿ: ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಏಕತಾನತೆ ಸಾಕಷ್ಟುವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸ್ಥಿತಿ. ಆದರೆ ಅದು ಅಲ್ಲಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿ.

ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಆದರೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗದಿದ್ದಾಗ, ಅದು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದಾಗ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು.

ನಂತರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನೀಡಿದ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

1. ಕಾರ್ಯವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
2. y ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ x ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.
3. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮರುಹೆಸರಿಸಿ. x \u003d f -1 (y) ಬದಲಿಗೆ ಅವರು y \u003d f -1 (x) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ

ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: y=5x-3 ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯ y=5x-3 ಅನ್ನು R ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, R ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಶ್ರೇಣಿ R ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, R ನಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು y=5x-3 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ X; ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಇದು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು R ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: y=x 2, x≤0 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ತಲೆಕೆಳಗಾದದ್ದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ ನಂತರ, ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಗ್ರಾಫಿಕ್ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಅವರ ವಿವರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್‌ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾನೆ.

y=f -1 (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು, y=f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ, y=f(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. y=x.

ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿನ ವಿವರಣೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

4. ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸ್ಥಿರೀಕರಣ.

ಗುರಿ - ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಸ್ತುವಿನ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಸರಿಯಾದತೆ ಮತ್ತು ಅರಿವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಾಳೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸಮಯ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ (5-7 ನಿಮಿಷಗಳು). ಒಂದು ಜೋಡಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆಫ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಉಳಿದ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ನೋಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಮಯದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ (ಬಹುಪಾಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಕೆಲಸವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ), ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ವೈಟ್‌ಬೋರ್ಡ್ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತೆ ಆನ್ ಆಗುತ್ತದೆ) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೆಲಸವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೋಡಿಗಳು. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಶಿಕ್ಷಕರು ಸರಿಪಡಿಸುವ, ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಾರೆ.

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ<ಅನುಬಂಧ 2 >

5. ಪಾಠದ ಫಲಿತಾಂಶ.ಉಪನ್ಯಾಸದ ಮೊದಲು ಕೇಳಲಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ. ಪಾಠಕ್ಕಾಗಿ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಪ್ರಕಟಣೆ.

ಮನೆಕೆಲಸ §10. ಸಂಖ್ಯೆ 10.6(ಎ,ಸಿ) 10.8-10.9(ಬಿ) 10.12(ಬಿ)

ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭ. ಗ್ರೇಡ್ 10 ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ 2 ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ (ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟ) / A.G. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್, L.O. ಡೆನಿಶ್ಚೆವಾ, T.A. ಕೊರೆಶ್ಕೋವಾ ಮತ್ತು ಇತರರು; ಸಂ. A.G. ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್, M: Mnemosyne, 2007

ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಗುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಇದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ. ನಾವು y = cos(x) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಾವು ವಾದದಿಂದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು y ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೀವು x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆದರೆ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ ಏನು? ಇದು ವಿಷಯದ ಹೃದಯಕ್ಕೆ ಸಿಗುವುದು ಇಲ್ಲಿಯೇ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಳಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಆಗಿದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x = ಆರ್ಕೋಸ್ (y).

ಅಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದರಿಂದ ವಾದವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ನಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು).

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು: f(x) = y, g(y) = x.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

f ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು X ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ Y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಡೊಮೇನ್‌ಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ g ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ f ರಿವರ್ಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ g ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚು ಇಲ್ಲ, ಕಡಿಮೆ ಇಲ್ಲ). ನಂತರ ಅದನ್ನು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: g (x) \u003d f -1 (x).

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದು ಅಂಶವು ಒಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ರಿವರ್ಸಿಬಿಲಿಟಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ.

ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಪ್ರತಿ ಅಂಶ y є Y ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ ಒಂದು x є X ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ನಂತರ f ಅನ್ನು ಒನ್-ಟು-ಒನ್ ಅಥವಾ ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. f -1 Y ಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಕೆಲವು x ∈ X ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. Y ಒಂದು ಇಮೇಜ್ f ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ. ವಿಲೋಮವಾಗಲು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬೇಕು. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ: ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿಶಾಸ್ತ್ರದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ದೂರ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿರುವ HPE ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ 4 ಅವರಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲಾದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು: ಸಹಾಯಕ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ

ಅಧ್ಯಾಯ 1. ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ 1. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್‌ಗಳು 1 0. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಶಾಲಾ ಗಣಿತದಿಂದ ನಿಮಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ N ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು Z ಭಾಗಲಬ್ಧ Q ಮತ್ತು ನೈಜ R ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಉಪನ್ಯಾಸ 19 ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳು. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ನಾವು ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಷನ್ y=f(x) ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ನ ಪ್ರತಿ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಕಾರ್ಯ y=f(x)

ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯ 8. ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. 1. ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು y=a x ರೂಪದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು,

44 ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ = sin v cos w ಅಲ್ಲಿ v = ln + 1 w= 1 ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 ಈಗ ನಾವು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ f

ಗಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರ. 6x ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಪಾಯಿಂಟ್ M (;) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ಪರ್ಶದ x-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ವಿಷಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ X ಗೆ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ X ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡೋಣ

ಉಪನ್ಯಾಸ 23 ಇಂಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಾನ್ಕೇವ್ y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಕೆಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a; b) ಪೀನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗ್ರಾಫ್

ಮಿತಿಗಳ ವಿಷಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯಾಯಾಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಬೌಂಡೆಡ್ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮೊನೊಟೋನ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅನಂತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳು DV ಲಿಟ್ಕಿನಾ NPP, I ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ DV Lytkina (SibSUTI) NPP ಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, I ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ 1 / 35 ಪರಿವಿಡಿಗಳು 1 ಸಂಖ್ಯಾ ಕಾರ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು.

"ಡೀರಿವೇಟಿವ್" ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬ್ಯಾಂಕ್ ಗಣಿತ ವರ್ಗ (ಪ್ರೊಫೈಲ್) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು / ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು: ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳು

 ಎ. ಡಾಲಿಂಗರ್ಸ್ ಗಣಿತ: ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾರ್ಯ SPO - ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಬೋಧನಾ ನೆರವು, ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವರ ವೃತ್ತಿಪರರಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ

ಎ.ವಿ. ಜೆಮ್ಲಿಯಾಂಕೊ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭಗಳು ವೊರೊನೆಜ್ ವಿಷಯಗಳು ವಿಷಯ 1. ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು... 6 1.1. ಸಂಖ್ಯಾ ಕಾರ್ಯ... 6 1.2. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್... 9 1.3. ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ...

ವಿಷಯ. ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು. ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯ. ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ. ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂಶಗಳು. ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ D R ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆ x D ಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ y ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು D: y = f (x), x D ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. D ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು 11. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. FNP ಯ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆ 1. ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ DEFINITION. X = ( 1 n i X i R ) U R. ಕಾರ್ಯ

ಎಲ್ಲಾ Yu.L.Kalinovskiy ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಗಣಿತ 1 ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು. ಭಾಗ I................................... 5 1.1 ಪರಿಚಯ 5 1.1.1 ಒಂದು ಸೆಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ... ... ................................................ 5 1.1.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸ 6 ವಿಷಯ: “ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಧ್ಯಯನ. ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ ”ಕೆಲಸದ ಉದ್ದೇಶ: ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವೇಷಿಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಮತ್ತು ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಕೆಲಸದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ:

ಅಧ್ಯಾಯ 8 ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಅವಲಂಬನೆಗಳು. ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಪಾತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ = ವೇಳೆ, ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗದ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ

ಉಪನ್ಯಾಸ 2. ಉಪಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಯಾಮದ ಉಪಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ k. ಉಪನ್ಯಾಸ 2 ರ ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) F 4 2 ರಲ್ಲಿ ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು.

ಪ್ರಶ್ನೆ 5. ಕಾರ್ಯ, ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. X ಮತ್ತು Y ಎಂಬ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ನಿಯಮವಾಗಿದೆ ಅದರ ಪ್ರಕಾರ X ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಉಪನ್ಯಾಸ 4 ನಿಜವಾದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ 4 ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು D

ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ಅಧ್ಯಾಯ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿವೆ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ಹೆರಾನ್ ಸೂತ್ರವು S ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ x ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ A ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು f(x) ಕಾರ್ಯದ ಎಡ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯ ಗಣಿತ "ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್" ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ: ಎಲೆನಾ ಗುಡ್ಕೋವಾ, ಗ್ರೇಡ್ 11 "ಜಿ" MBOU ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿನಿ "ಅನ್ನಿನ್ಸ್ಕಿ ಲೈಸಿಯಮ್" p.g.t. ಅಣ್ಣಾ ಮುಖ್ಯಸ್ಥ:

ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಫೆಡರಲ್ ಏಜೆನ್ಸಿ ----- ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್‌ಬರ್ಗ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಪಾಲಿಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ AI ಸುರಿಗಿನ್ EF ಇಜೋಟೋವಾ OA ನೊವಿಕೋವಾ TA ಚೈಕಿನಾ ಗಣಿತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ

ಬಹು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಪರಿಚಯಿಸಲು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು x ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯ 4 ಉಪನ್ಯಾಸ

ಒಂದು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಭಾಗ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯನೈಜ ವಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ

ಸೆರ್ಗೆ ಎ ಬೆಲ್ಯಾವ್ ಪುಟ 1 ಗಣಿತದ ಕನಿಷ್ಠ ಭಾಗ 1 ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಾಕಾರವು ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ

ಪರಿಚ್ಛೇದ 2 ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಲಿಮಿಟ್ಸ್ ವಿಷಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ಬೌಂಡೆಡ್ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು 3 ಏಕತಾನದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು 4 ಅನಂತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು

ಒಂದು ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (,) = C (C = const) ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ () ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ = () ಈಗ ನಾವು ಮಾಡಬಹುದು

ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ವಿಭಾಗದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ "ಗಣಿತ" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ಮಾಡುವ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳು y \u003d f () ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: f A) B) f C) f f ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯ

ಮಾಪನದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಗಳು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು(ಸಮಯ, ಪ್ರದೇಶ, ಪರಿಮಾಣ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ವೇಗ, ಇತ್ಯಾದಿ) ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತವು ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ, ವಿಚಲಿತವಾಗಿದೆ

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಭಾಗ: ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಪರಿಚಯ ವಿಷಯ: ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ (ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ವರ್ಗೀಕರಣ, ನಡವಳಿಕೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು) ಉಪನ್ಯಾಸಕ ರೋಜ್ಕೋವಾ ಎಸ್.ವಿ. 2012 ಸಾಹಿತ್ಯ ಪಿಸ್ಕುನೋವ್ ಎನ್.ಎಸ್. ಭೇದಾತ್ಮಕ

ಪಾಠ 7 ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. L'Hôpital ನಿಯಮ 7. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮೂರು ಪ್ರಮೇಯಗಳಾಗಿವೆ: ರೋಲೆ, ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಉಪನ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ​​ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವು A x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y f (x) ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ S ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು; f(

13. ಹೈಯರ್ ಆರ್ಡರ್‌ಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಲೆಟ್ = ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು D O. ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಅಥವಾ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ

ಬೆಲಾರಸ್ ಗಣರಾಜ್ಯದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆ "ಗ್ರೋಡ್ನೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಯಂಕಾ ಕುಪಾಲಾ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ" Yu.Yu. ಗ್ನೆಜ್ಡೋವ್ಸ್ಕಿ, ವಿ.ಎನ್.ಗೊರ್ಬುಝೋವ್, ಪಿ.ಎಫ್. ಪ್ರೊನೆವಿಚ್ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್

ಉಪನ್ಯಾಸ ಅಧ್ಯಾಯ ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸೆಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸರಳವಾದವುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಉಪನ್ಯಾಸ 8 ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆ ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ t t t f ಅಲ್ಲಿ ϕ t t t t t t t t f t t t t t t t t

ಉಪನ್ಯಾಸ 3 ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು u = f (x, x) D ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ x (x, x) = ಈ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ u = f ( x, x) ಹೊಂದಿದೆ

ಪ್ರಶ್ನೆ. ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ :. >, - + x ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ x. 0 - ಚದರ ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಭಾಗ ಕಾಮೆಂಟ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಬಳಕೆಯ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಅರ್ಜಿದಾರರು ವಿವಿಧ ಪರಿಹರಿಸಲು ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ

2.2.7. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್. y = ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು x ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಗಿದೆ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ x ಏರಿಕೆಗಳು. ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು: dy d ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷ:

ಅಧ್ಯಾಯ 6 ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ತೊಂದರೆಗಳು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಚಲನೆಯ ವೇಗದ ಸಮಸ್ಯೆ

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಸಾಲುಗಳು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. F(x,y)=0 (1) ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು L ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಲೆನಿನ್ಗ್ರಾಡ್ ಪ್ರದೇಶದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಿಪರ ಶಿಕ್ಷಣದ ಸಮಿತಿ

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು y = f ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಿ y f 0 f 0 ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ 0 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ y ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮೇಲೆ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ ಕರೆ ಮಾಡುವವನಿಗೆ

ಮಾಸ್ಕೋ ಸ್ಟೇಟ್ ಟೆಕ್ನಿಕಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಎನ್.ಇ. ಬೌಮನ್ ಫ್ಯಾಕಲ್ಟಿ ಆಫ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ ಡಿಪಾರ್ಟ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಎ.ಎನ್. ಕನಾಟ್ನಿಕೋವ್, ಎ.ಪಿ. ಕ್ರಿಶೆಂಕೊ

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರದೇಶಗಣಿತಜ್ಞರು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ

"ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣ" ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ y f () ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ, a, b, c a) b) ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ

$X$ ಮತ್ತು $Y$ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಿ. ನಾವು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

$f:X\ನಿಂದ Y$ ಗೆ $X$ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು $Y$ ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಇನ್‌ವರ್ಟಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

ಈಗ ನಾವು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

$f:X\ನಿಂದ Y$ ಗೆ $X$ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು $Y$ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ $f^(-1):Y\ to X$ ಸೆಟ್ $Y$ ಅನ್ನು $X$ ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $f^(-1)\left(y\right)=x$ ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ $f(x)$ ಗೆ ವಿಲೋಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ:

ಪ್ರಮೇಯ 1

$y=f(x)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ, ಏಕತಾನವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $X$ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರ $Y$ ನಲ್ಲಿ, ಇದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ) ಮತ್ತು $Y$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 ರ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ, $f(x)$ ಮತ್ತು $f^(-1)\left(y\right)$ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

$y=f(x)$ ಮತ್ತು $x=g(y)$ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ

$y=f(g\left(y\right))$ ಮತ್ತು $x=g(f(x))$

$y=f(x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್ $\ x=g(y)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು $x=g(y)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್ $\ y=f(x)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

$y=f(x)$ ಮತ್ತು $x=g(y)$ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು $y=x$ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಇನ್ನೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ).

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

$x$ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ $y=f(x)$ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪಡೆದ ಬೇರುಗಳಿಂದ, $X$ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವುಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಕಂಡುಬಂದ $x$ ಅನ್ನು $y$ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

$X=[-1,0]$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $y=x^2$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಈ ಕಾರ್ಯವು $X$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ $Y=$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಇದು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ರಮೇಯ 1).

ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ $x$:

\ \

ಸೂಕ್ತವಾದ $x$ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ:

ಉತ್ತರ:ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ $y=-\sqrt(x)$.

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು

ಈ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

$y=x+4$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

$y=x+4$ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ $x$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

$y=x^3$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ಮೂಲಕ, ಅದರ ಮೇಲೆ ವಿಲೋಮ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

$y=x^3$ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ $x$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

$x$ ನ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯವು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ (ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ)

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 4

$$ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ $y=cosx$ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ.

$X=\left$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ $y=cosx$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $X$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $X=\left$ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು $Y=[-1,1]$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ನಿರಂತರ ಏಕತಾನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, $y=cosx$ ಸೆಟ್ $ Y$ ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $Y=[-1,1]$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $[-1,1]$ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ $\ಎಡ$ ಸೆಟ್‌ಗೆ.

$y=cosx$ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ $x$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

$x$ ನ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 5

$\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ ನಲ್ಲಿ $y=tgx$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

$X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ $y=tgx$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು $X$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು $Y ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ =R$, ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ನಿರಂತರ ಏಕತಾನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, $Y$ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ $y=tgx$ ಕಾರ್ಯವು ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $Y=R ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. $ ಮತ್ತು $R$ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\ಬಲ)$ ಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ

$y=tgx$ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ $x$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

$x$ ನ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರಿಂದ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2.ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಹಿಮ್ಮುಖ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು

ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಅದರ ಡೊಮೇನ್ X ಮತ್ತು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ Y ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಾದದ ಯಾವುದೇ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ), ನಂತರ ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಅಥವಾ ಏನು ಕಾರ್ಯf(X) ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿє ನಲ್ಲಿಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ Xє X, ಮತ್ತು y=f(x). ವಿಲೋಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರದೇಶ

ಕಾರ್ಯವು Y, ಶ್ರೇಣಿ - X ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯ. ಮಧ್ಯಂತರ I, ಸಂಖ್ಯೆ a - ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ f ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ f ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಿ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲಿ). ನಂತರ f(x)=a ಸಮೀಕರಣವು I ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ f (ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ). ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿ b ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಅಂದರೆ f(b)=a. b ಎಂಬುದು f(x)=a ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ I ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ c≠ b, ಅಂದರೆ f(c)=a. ನಂತರ ಅಥವಾ ಜೊತೆ ಬಿ. ಆದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್ f ಮಧ್ಯಂತರ I ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಮವಾಗಿ, f(c) f(b) ಇದು ಸಮಾನತೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ f(c)= f(b)=a. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಾಡಿದ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿ, b ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, f(x)=a ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.

ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ f ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ I ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ), ಅದು ತಲೆಕೆಳಗಾದದ್ದು. f ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ f ಗೆ ವಿಲೋಮವಾದ g ಕಾರ್ಯವು ಸಹ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ).

ಪುರಾವೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ f ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ ಊಹಿಸಿ. f ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಸ್ಪಷ್ಟ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, g, f ಗೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಕಾರ್ಯವು E(f) ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ.

x 1 ಮತ್ತು x 2 ಗಳು E(f) ನಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ x 2 > x 1 ಮತ್ತು y 1 = g (x 1), y 2 = g ( x 2 ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ x 1 = f (y 1) ಮತ್ತು x 2 = f (y 2).

ಎಫ್ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, y 1≥ y 2 ಎಂಬ ಊಹೆಯು f (y 1) > f (y 2), ಅಂದರೆ x 1 > x 2 ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ

ಊಹೆ x 2 > x 1 ಆದ್ದರಿಂದ, y 1 > y 2, ಅಂದರೆ x 2 > x 1 ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ g (x 2)> g (x 1) ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಮೂಲ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮ ಪರಸ್ಪರ ಹಿಮ್ಮುಖ.

ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು

ಪ್ರಮೇಯ. ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು y=x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪುರಾವೆ. f ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಹಂತದಲ್ಲಿ a ನಲ್ಲಿ f ಗೆ ವಿಲೋಮವಾದ g ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಸಮತಲ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಡಿದಂತೆ), ಆದರೆ ಲಂಬವಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ g (a) ನ ಮೌಲ್ಯವು b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ g ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲು, y \u003d x ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗ್ರಾಫ್ f ಅನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

y=f(x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ X X.

1. y=f(x) ಕಾರ್ಯವು X ನಲ್ಲಿ ತಲೆಕೆಳಗಾದಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

2. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ y \u003d f (x) x ಎಕ್ಸ್‌ಪ್ರೆಸ್ y ಮೂಲಕ, x є X ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು .

Z. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ, x ಮತ್ತು y ಅನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿ.

2.2 ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು

ಕಾರ್ಯಗಳು

ಆರ್ಕ್ಸೈನ್

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು -1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ a, ಅಂದರೆ
, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ sin x = a ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದೇ ಮೂಲವಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ a ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್, ಅಲ್ಲಿ , ವಿಭಾಗದಿಂದ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸೈನ್ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

D(y) = [ -1;1 ]

ಇ (ವೈ) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - ಬೆಸ ಕಾರ್ಯ, ಗ್ರಾಫ್ O (0; 0) ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x = 0 ನಲ್ಲಿ x = 0.

ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x > 0 ನಲ್ಲಿ x є (0; 1]

ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x ಯಾವುದೇ x є ಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.



ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್

ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು -1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ |a|1, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ cosx=a ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೂಲವಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಆರ್ಕೋಸ್ a ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ . a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್, ಅಲ್ಲಿ -1 a 1, ಕೊಸೈನ್ a ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1. ಇ(ವೈ) =

   y (-x) \u003d ಆರ್ಕೋಸ್ (-x) \u003d π - ಆರ್ಕೋಸ್ x - ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಲ್ಲ.

   x = 1 ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಕೋಸ್ x = 0

   ಆರ್ಕೋಸ್ x > 0 ನಲ್ಲಿ x є [-1; 1)

ಆರ್ಕೋಸ್ ಎಕ್ಸ್< 0 – нет решений

y \u003d ಆರ್ಕೋಸ್ x ಯಾವುದೇ x є ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x 1 ≥ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x 2 - ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ.



ಆರ್ಕ್ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ -
, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಸಮೀಕರಣ tgx \u003d a, ಅಲ್ಲಿ a ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಮೂಲ x ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ -. ಈ ಮೂಲವನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಆರ್ಕ್ಟ್ಗಾದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಆರ್ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು x ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಇದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ a.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಇ (ವೈ) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - ಕಾರ್ಯವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ, ಗ್ರಾಫ್ O (0; 0) ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ.

x = 0 ನಲ್ಲಿ arctg x = 0

ಯಾವುದೇ x є R ಗೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2



ಆರ್ಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ಮಧ್ಯಂತರ (0;) ಮೇಲಿನ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು R ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;) ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ a ಗೆ ctg x \u003d a ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದೇ ಮೂಲವಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು arcctg a ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಕ್ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು R, ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (0;) , ಇದರ ಕೋಟಾಂಜೆಂಟ್ a.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - ಕಾರ್ಯವು ಸಮ ಅಥವಾ ಬೆಸ ಅಲ್ಲ.

arcctg x = 0- ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ y = arcctg xಯಾವುದಕ್ಕೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ x є ಆರ್

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ x є R ಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.



2.3 ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ:

ಎ)
ಎಲ್ಲಿ


ಪರಿಹಾರ. ಹಾಕೋಣ
. ನಂತರ
ಮತ್ತು
ಹುಡುಕಲು
, ನಾವು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಆದರೆ . ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಕೊಸೈನ್ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ,
, ಅದು
ಎಲ್ಲಿ
.

b)


ಪರಿಹಾರ.

ವಿ)


ಪರಿಹಾರ. ಹಾಕೋಣ
. ನಂತರ
ಮತ್ತು
ನಾವು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
, ಎಲ್ಲಿ
ಕೊಸೈನ್ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ
.