ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು 1 ಕೋರ್ಸ್ 1 ಸೆಮಿಸ್ಟರ್ ಆನ್‌ಲೈನ್

"ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ", 1 ನೇ ವರ್ಷ, 1 ನೇ ಸೆಮಿಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು.

1. ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳು.

2. ಸಂಖ್ಯಾ ಸೆಟ್‌ಗಳು. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ: ವಿಭಾಗಗಳು, ಮಧ್ಯಂತರಗಳು, ಸೆಮಿಯಾಕ್ಸ್ಗಳು, ನೆರೆಹೊರೆಗಳು.

3. ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೆಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳು. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ.

4. ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆಯ ವಿಧಾನ. ಬರ್ನೌಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು.

5. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್. ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳು.

6. ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿ. ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

7. ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳು. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಯಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯ.

8. ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್‌ನ ಏಕತಾನದ ಅನುಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯ.

9. ಸಂಖ್ಯೆ ಇ.

10. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ. ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ. ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು.

11. ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಮೊತ್ತ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿ.

12. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಅಂಗೀಕಾರ. ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯ.

13. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಗಳು.

14. ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಉತ್ತಮ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳುಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಸಂಬಂಧ.

15. ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹೋಲಿಕೆ. ಸಮಾನವಾದ ಅನಂತಾಂಶಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಮಾನವಾದವುಗಳಿಂದ ಅನಂತಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯ. ಮೂಲಭೂತ ಸಮಾನತೆಗಳು.

16. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದುವರಿಕೆ. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಗಳು. ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಿರಂತರತೆ.

17. ಕ್ರಿಯೆಯ ಬ್ರೇಕ್‌ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ. ನಿರಂತರತೆಯ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತರಣೆ

18. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು

19. ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದುವರಿಕೆ. ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಧ್ಯಂತರ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರ ಕುರಿತು ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

20. ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ವೀಯರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲೆ ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯ.

21. ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಮೊನೊಟೋನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ವೈರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯ.

22. ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ. ವೇಳಾಪಟ್ಟಿ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯ. ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ.

23. ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು.

24. ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಮೂಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

25. ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ. ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆ.

26. ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.

27. ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ, ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

28. ಸಂಯುಕ್ತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

29. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

30. ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಲೀನಿಯರೈಸೇಶನ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

31. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಅಸ್ಥಿರತೆ.

32. ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ರೋಲೆಸ್, ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು. ಸೀಮಿತ ಏರಿಕೆಗಳ ಸೂತ್ರ.

33. ಒಳಗಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್. L'Hopital ನಿಯಮ.

34. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ n ನೇ ಆದೇಶ. n ನೇ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳು. ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರ. ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

35. ಪೀನೋ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರ. ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಪದಗಳು.

36. ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು. ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳು.

37. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪೀನತೆ ಮತ್ತು ಕಾನ್ಕೇವಿಟಿ. ಇನ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು.

38. ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯ ವಿರಾಮಗಳು. ರೋಗಲಕ್ಷಣಗಳು.

39. ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಯೋಜನೆ.

40. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸರಳ ಏಕೀಕರಣ ನಿಯಮಗಳು. ಸರಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ.

41. ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಏಕೀಕರಣದ ಸೂತ್ರ.

42. ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ e ax cos bx ಮತ್ತು e ax sin bx ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.

44. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ.

45. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು.

46. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಏಕೀಕರಣ

47. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ R x , ಕೊಡಲಿ 2 bx c . ಯೂಲರ್ ಪರ್ಯಾಯಗಳು.

49. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ದ್ವಿಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಏಕೀಕರಣ.

50. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ. ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ.

51. ಪಾಪಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಬೆಸವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ x (ಅಥವಾ cos x ) ಅಥವಾ sin x ಮತ್ತು cos x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ.

52. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಏಕೀಕರಣ sin n x cos m x ಮತ್ತು sin n x cos mx.

53. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಏಕೀಕರಣ tg m x ಮತ್ತು ctg m x.

54. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಏಕೀಕರಣ R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 ಮತ್ತು R x , x 2 a 2 ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.

55. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆ.

56. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೊತ್ತಗಳು. ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಮೊತ್ತಗಳು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯ. ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗಗಳು.

57. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

58. ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಸೂತ್ರನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್.

59. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆ.

60. ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನ್ವಯ. ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣ. ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಪರಿಮಾಣ.

61. ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನ್ವಯ. ವಿಮಾನದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ. ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ವಲಯದ ಪ್ರದೇಶ. ಕರ್ವ್ ಉದ್ದ.

62. ಮೊದಲ ವಿಧದ ಅಸಮರ್ಪಕ ಸಮಗ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸೂತ್ರನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮೊದಲ ವಿಧದ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ. ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

63. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಒಮ್ಮುಖ. 1 ನೇ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಹೋಲಿಕೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

64. ಮೊದಲ ವಿಧದ ಪರ್ಯಾಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಒಮ್ಮುಖ. ಅಬೆಲ್ ಮತ್ತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್‌ಗೆ ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡ.

65. ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸೂತ್ರನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ.

66. ಅನುಚಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಪರ್ಕ 1 ನೇ ಮತ್ತು 2 ನೇ ವಿಧ. ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು.

ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಿಡಿ X ಎನ್ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ

X 1 , X 2 , ..., X ಎನ್ , ..., (1)

ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಿಯಮವು ತಿಳಿದಿದೆ X ಎನ್, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎನ್ನೀವು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು X ಎನ್. ಹೀಗಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ X ಎನ್ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎನ್:

X ಎನ್ = f(n)

ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ - ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ, ಅಥವಾ, ಅದೇ, ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮಿತಿ X ಎನ್ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಅನುಕ್ರಮ X 1 , X 2 , ..., X ಎನ್ , ... . .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿ X 1 , X 2 , ..., X ಎನ್ , ... . ಅಥವಾ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಮಿತಿ X ಎನ್, ಒಂದು ವೇಳೆ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ e ಗೆ ಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎನ್(ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್) ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು X ಎನ್, ಆರಂಭವಾಗಿ X ಎನ್, ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಇ ಗಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

| X ಎನ್ - ಎ |< (2)

ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎನ್  ಎನ್, ಅಥವಾ, ಅದೇ

ಕೌಚಿ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು a ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಬಹುಶಃ a ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ε > 0 ಗಾಗಿ δ > 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ A ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f (x) ಎಲ್ಲಾ x ತೃಪ್ತಿಕರ ಸ್ಥಿತಿಗೆ |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

ಹೈನ್ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು a ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಬಹುಶಃ a ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ A ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ f (x) ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ a ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಂಖ್ಯೆ A ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

f(x) ಕಾರ್ಯವು a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಮಿತಿಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

A 1 ಸಂಖ್ಯೆಯು f (x) ಕಾರ್ಯದ ಎಡ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ε > 0 ಗೆ δ > ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ a ಹಂತದಲ್ಲಿ

ಪ್ರತಿ ε > 0 ಕ್ಕೆ δ > 0 ಇದ್ದಲ್ಲಿ a ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ a 2 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು f (x) ಕಾರ್ಯದ ಬಲ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮಿತಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಈ ಮಿತಿಗಳು ಎ ಬಿಂದುವಿನ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕಮುಖ ಮಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. x → 0 ಎಂದು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮತ್ತು . ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ

ಪ್ರತಿ ε > 0 ಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ δ-ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ x ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, ನಂತರ ನಾವು f (x) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು x = 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. +∞ ಮತ್ತು –∞ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಪ್ರತಿ ε > 0 ಗೆ δ > 0 ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಯಾವುದೇ x > δ ಅಸಮಾನತೆ |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್‌ಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: AR mR, m - A ನ ಮೇಲಿನ (ಕೆಳಗಿನ) ಮುಖ, аAm (аm) ಆಗಿದ್ದರೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: A ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ (ಕೆಳಗಿನಿಂದ) ಮಿತಿಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂತಹ m ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ аm (аm) ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: SupA=m, 1) m - A ಯ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್

2) m': m' m' A ನ ಮೇಲಿನ ಮುಖವಲ್ಲ

InfA = n ಆಗಿದ್ದರೆ 1) n ಎಂಬುದು A ಯ ಇನ್ಫಿಮಮ್ ಆಗಿದೆ

2) n’: n’>n => n’ A ಯ ಪ್ರಮಾಣವಲ್ಲ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: SupA=m ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಂದರೆ: 1)  aA a amm

2) >0 a  A, ಅಂದರೆ  a-

InfA = n ಅನ್ನು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

2) >0 a  A, ಅಂದರೆ ಇ a+

ಪ್ರಮೇಯ:ಮೇಲಿನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ АR ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮೇಲ್ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ:

ನಾವು ನೈಜ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ m ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದು A ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A ನ ಮೇಲಿನ ಮುಖ

ವಿಭಾಗ [[m], [m]+1] - 10 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ

ಮೀ 1 =ಗರಿಷ್ಠ:aA)]

m 2 =ಗರಿಷ್ಠ,m 1:aA)]

m to =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 ಕೆ - ಟಾಪ್ ಫೇಸ್ ಎ

m=[m],m 1 ...m K ಎಂಬುದು ಕನಿಷ್ಟ ಮೇಲಿನ ಬೌಂಡ್ ಮತ್ತು ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ:

 ಗೆ: .

ಅಕ್ಕಿ. 11. ಕಾರ್ಯ ವೈ ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ x ಗ್ರಾಫ್.

ಈಗ ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ( ಪ್ರದರ್ಶನ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು) D, E, M ಎಂಬ ಮೂರು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು f: D→E, g: E→M ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಹೊಸ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ h: D→M ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್‌ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f ಮತ್ತು g ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ (Fig. 12).

ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: z =h(x)=g(f(x)) ಅಥವಾ h = f o g.

ಅಕ್ಕಿ. 12. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ವಿವರಣೆ.

ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ g (y) - ಬಾಹ್ಯ ಕಾರ್ಯ.

1. ಆಂತರಿಕ ಕಾರ್ಯ f (x) = x², ಬಾಹ್ಯ g (y) sin y. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ z= g(f(x))=sin(x²)

2. ಈಗ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಒಳಗಿನ ಕಾರ್ಯ f (x)= sinx, ಹೊರಗಿನ g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)