ಎಕ್ಸೆಲ್ ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನ. ಹಿಂಜರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಎಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನ

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ ರೇಖೀಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ದಕ್ಷತೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಕೆಲವು ಎಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಗಳು ಅವುಗಳ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಣಮಟ್ಟಕ್ಕಾಗಿ ಹಲವಾರು ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸದಿರಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು "ಚೆನ್ನಾಗಿ" ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಆರ್ಥಿಕ ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (1.2):

y t = a 0 + a 1 x 1 t +...+ a n x nt + ε t .

a 0 , a 1 ,..., a n ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ವೈ= (y 1, y 2, ..., y T)" ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್, ಒಂದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮಾದರಿಯ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವು ಅದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಅಂದಾಜುಗಳು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ಮೂಲ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಹೆಸರನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ: ಮಾದರಿ ದೋಷದ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ 2.1.ಟ್ರೇಡಿಂಗ್ ಎಂಟರ್‌ಪ್ರೈಸ್ 12 ಮಳಿಗೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 2.1.

ಕಂಪನಿಯ ನಿರ್ವಹಣೆಯು ವಾರ್ಷಿಕ ಗಾತ್ರವು ಅಂಗಡಿಯ ಮಾರಾಟದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತದೆ.

ಕೋಷ್ಟಕ 2.1

ಅಂಗಡಿ ಸಂಖ್ಯೆ	ವಾರ್ಷಿಕ ವಹಿವಾಟು, ಮಿಲಿಯನ್ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು	ವ್ಯಾಪಾರ ಪ್ರದೇಶ, ಸಾವಿರ ಮೀ 2

ಕಡಿಮೆ ಚೌಕಗಳ ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸೋಣ - -th ಅಂಗಡಿಯ ವಾರ್ಷಿಕ ವಹಿವಾಟು, ಮಿಲಿಯನ್ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳು; -ನೇ ಅಂಗಡಿಯ ಮಾರಾಟ ಪ್ರದೇಶ, ಸಾವಿರ ಮೀ 2.

Fig.2.1. ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್‌ಪ್ಲಾಟ್ 2.1

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧದ ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ಪ್ಲೋಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು (Fig. 2.1).

ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ವಾರ್ಷಿಕ ವಹಿವಾಟು ಮಾರಾಟದ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, y ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ). ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಪರ್ಕದ ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ ರೂಪವೆಂದರೆ - ರೇಖೀಯ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 2.2 ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಒಂದು-ಅಂಶದ ಆರ್ಥಿಕತೆಯ ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ಕೋಷ್ಟಕ 2.2

ಹೀಗಾಗಿ,

ಆದ್ದರಿಂದ, ವ್ಯಾಪಾರ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ 1 ಸಾವಿರ ಮೀ 2 ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸರಾಸರಿ ವಾರ್ಷಿಕ ವಹಿವಾಟು 67.8871 ಮಿಲಿಯನ್ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.2.ವಾರ್ಷಿಕ ವಹಿವಾಟು ಅಂಗಡಿಯ ಮಾರಾಟ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ 2.1 ನೋಡಿ) ಆದರೆ ಸಂದರ್ಶಕರ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಉದ್ಯಮದ ನಿರ್ವಹಣೆ ಗಮನಿಸಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 2.3

ಕೋಷ್ಟಕ 2.3

ಪರಿಹಾರ.ಸೂಚಿಸಿ - ದಿನಕ್ಕೆ ಅಂಗಡಿಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುವವರ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಾವಿರ ಜನರು.

ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಂಬಂಧದ ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ಪ್ಲೋಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು (Fig. 2.2).

ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ವಾರ್ಷಿಕ ವಹಿವಾಟು ದಿನಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಸಂದರ್ಶಕರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು (ಅಂದರೆ, y ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ). ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ರೂಪವು ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2.2 ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್‌ಪ್ಲಾಟ್ 2.2

ಕೋಷ್ಟಕ 2.4

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

y t \u003d a 0 + a 1 x 1 t + a 2 x 2 t + ε t

ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 2.4

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಎರಡು-ಅಂಶದ ಇಕೊನೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮಾದರಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ.

ಹೀಗಾಗಿ,

ಗುಣಾಂಕ = 61.6583 ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವ್ಯಾಪಾರದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ 1 ಸಾವಿರ ಮೀ 2 ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ವಾರ್ಷಿಕ ವಹಿವಾಟು ಸರಾಸರಿ 61.6583 ಮಿಲಿಯನ್ ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಅವರ ಜೋಡಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ

ಬಳಸಿ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕ ವಿಧಾನ, ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿ y=ax+b(ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ) ಎರಡು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡಿ.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ (LSM) ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಡೇಟಾವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಕಂಡುಬರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ.

ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಮತ್ತು ಬಿ, ನಾವು ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಅಥವಾ ) ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು (LSM) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಕಾರ್ಯ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಅದು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ ಎಮೊತ್ತಗಳು , , ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎನ್- ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ಪ್ರಮಾಣ. ಈ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕ ಬಿಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಂತರ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಎ.

ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಡುವ ಸಮಯ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಮ್ಮ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ n=5. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 2 ನೇ ಸಾಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು 3 ನೇ ಸಾಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೋಷ್ಟಕದ ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. i.

ಕೋಷ್ಟಕದ ಐದನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ 2 ನೇ ಸಾಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ i.

ಕೋಷ್ಟಕದ ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಾಲುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಬಿ. ಟೇಬಲ್‌ನ ಕೊನೆಯ ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, y=0.165x+2.184ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಅಂದಾಜು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಯಾವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ y=0.165x+2.184ಅಥವಾ ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ದೋಷದ ಅಂದಾಜು.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಮೂಲ ಡೇಟಾದ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು , ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಸಾಲಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ರಿಂದ, ನಂತರ ಸಾಲು y=0.165x+2.184ಮೂಲ ಡೇಟಾವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆ (LSM).

ಚಾರ್ಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಕೆಂಪು ರೇಖೆಯು ಕಂಡುಬರುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ y=0.165x+2.184, ನೀಲಿ ರೇಖೆಯು , ಗುಲಾಬಿ ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮೂಲ ಡೇಟಾ.

ಇದು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂದಾಜುಗಳು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ?

ದತ್ತಾಂಶ ಸುಗಮಗೊಳಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಇಂಟರ್‌ಪೋಲೇಶನ್ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರಾಪೋಲೇಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾನು ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತೇನೆ (ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು ವೈನಲ್ಲಿ x=3ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ x=6 MNC ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ). ಆದರೆ ನಾವು ಸೈಟ್‌ನ ಇನ್ನೊಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಕಂಡುಬಂದಾಗ ಎಮತ್ತು ಬಿಕಾರ್ಯವು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಗತ್ಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಖಚಿತವಾಗಿತ್ತು. ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಆರಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ. X ಮೇಲೆ Y ಅವಲಂಬನೆಯ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಕಾರ (ಅಥವಾ X ಮೇಲೆ Y), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿ y x = a + bx, ಮಾದರಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

a ಮತ್ತು b ನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, y x =a+bx ರೂಪದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲುಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ನಮಗೆ ಅಂತಹ ಅವಲಂಬನೆ ಬೇಕು. ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಭ್ಯವಿರುವ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು a + bx ಅನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಸೂಚಿಸಿ: Y i - Y i =a+bx i ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯ. y i - ಅಳತೆ ಮೌಲ್ಯ, ε i =y i -Y i - ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ε i =y i -a-bx i .

ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ε i , ಅಳತೆ ಮಾಡಿದ y i ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ Y i ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು a ಮತ್ತು b ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವರ್ಗದ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ:

ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ತೀವ್ರತೆಗೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳು a ಮತ್ತು b ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು:

(2)

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು n ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (3)

ಪಡೆಯಿರಿ , ಇಲ್ಲಿಂದ, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಗುಣಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; a ಅನ್ನು ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮುಕ್ತ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯ ಅಂದಾಜು. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಹಿಂಜರಿತವು ನೇರ (b>0) ಮತ್ತು ವಿಲೋಮವಾಗಿರಬಹುದು (b ಉದಾಹರಣೆ 1. X ಮತ್ತು Y ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

x i	-2	0	1	2	4
ವೈ ಐ	0.5	1	1.5	2	3

X ಮತ್ತು Y y=a+bx ನಡುವೆ ರೇಖೀಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು a ಮತ್ತು b ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಇಲ್ಲಿ n=5
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0.5+0 1+1 1.5+2 2+4 3=16.5
y i =0.5+1+1.5+2+3=8

ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (2) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: b=0.425, a=1.175. ಆದ್ದರಿಂದ y=1.175+0.425x.

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಆರ್ಥಿಕ ಸೂಚಕಗಳ (X) ಮತ್ತು (Y) 10 ಅವಲೋಕನಗಳ ಮಾದರಿ ಇದೆ.

x i	180	172	173	169	175	170	179	170	167	174
ವೈ ಐ	186	180	176	171	182	166	182	172	169	177

X ನಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಸಮೀಕರಣ Y ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. X ನಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್ Y ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ. 1. x i ಮತ್ತು y i ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸೋಣ. ನಾವು ಹೊಸ ಟೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x i	167	169	170	170	172	173	174	175	179	180
ವೈ ಐ	169	171	166	172	180	176	177	182	182	186

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುತ್ತೇವೆ.

x i	ವೈ ಐ	x i 2	x i y i
167	169	27889	28223
169	171	28561	28899
170	166	28900	28220
170	172	28900	29240
172	180	29584	30960
173	176	29929	30448
174	177	30276	30798
175	182	30625	31850
179	182	32041	32578
180	186	32400	33480
∑x i =1729	∑y i =1761	∑x i 2 299105	∑x i y i =304696
x=172.9	y=176.1	x i 2 =29910.5	xy=30469.6

ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (4), ನಾವು ಹಿಂಜರಿತ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ (5)

ಹೀಗಾಗಿ, ಮಾದರಿ ರಿಗ್ರೆಶನ್ ಸಮೀಕರಣವು y=-59.34+1.3804x ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.
ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು (x i ; y i) ಮತ್ತು ಹಿಂಜರಿತ ರೇಖೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸೋಣ.

ಚಿತ್ರ 4

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್‌ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹೇಗೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚಿತ್ರ 4 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. Y i ನಿಂದ y i ನ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ಅಲ್ಲಿ y i ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು Y i ಮೌಲ್ಯಗಳು ಹಿಂಜರಿತದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ನಾವು ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

x i	ವೈ ಐ	ವೈ ಐ	Y i -y i
167	169	168.055	-0.945
169	171	170.778	-0.222
170	166	172.140	6.140
170	172	172.140	0.140
172	180	174.863	-5.137
173	176	176.225	0.225
174	177	177.587	0.587
175	182	178.949	-3.051
179	182	184.395	2.395
180	186	185.757	-0.243

Y i ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಂಜರಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರಕಾರ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಲೈನ್‌ನಿಂದ ಕೆಲವು ಗಮನಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗಮನಾರ್ಹ ವಿಚಲನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. X ಮೇಲೆ Y ನ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ, ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಲಂಬನೆಯ ಬಲವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್. ನಾನು ಹೇಳಲು ಕಲಿತಾಗ ನನ್ನ ವೃತ್ತಿಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾನು ದೊಡ್ಡ ಜಿಗಿತವನ್ನು ಮಾಡಿದೆ: "ನನಗೆ ಯಾವುದೂ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ!"ಈಗ ವಿಜ್ಞಾನದ ಜ್ಯೋತಿಷಿಗಳಿಗೆ ಅವರು ನನಗೆ ಉಪನ್ಯಾಸ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ನನಗೆ ನಾಚಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದು ಏನು ಎಂದು ನನಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ಜ್ಯೋತಿಷಿ, ನನ್ನೊಂದಿಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಮತ್ತು ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಹೌದು, ನಿಮಗೆ ಗೊತ್ತಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟ ಮತ್ತು ಮುಜುಗರದ ಸಂಗತಿ. ತನಗೆ ಯಾವುದೋ ಮೂಲಭೂತ ವಿಷಯಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲು ಯಾರು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತಾರೆ. ನನ್ನ ವೃತ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದ, ನಾನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಹಾಜರಾಗಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ನಾನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾನು ನಿದ್ರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನನಗೆ ಏನೂ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನನಗೆ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ದೊಡ್ಡ ಸಮಸ್ಯೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಗಣಿತದ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಅದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ). ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು (ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ) ನಾಚಿಕೆಗೇಡಿನ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ.

ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರ ಏನು ಎಂದು ನನಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಲು ನಾನು ಕಲಿತಿದ್ದೇನೆ. ಹೌದು, ಸುಳ್ಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲಿನ ಉಪಗಣಿತ ಏನು ಎಂದು ನನಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕೆ ಬೇಕು ಎಂದು ನನಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅಂದಹಾಗೆ, ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಮಾತನಾಡಲು ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ! ಗಣಿತವು ತಂತ್ರಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾರ್ವಜನಿಕರನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಬೆದರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ; ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗೊಂದಲವಿಲ್ಲ, ಖ್ಯಾತಿಯಿಲ್ಲ, ಅಧಿಕಾರವಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಅಮೂರ್ತ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತನಾಡುವುದು ಪ್ರತಿಷ್ಠಿತವಾಗಿದೆ, ಅದು ಸ್ವತಃ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ? ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನೀವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸಂಬಂಧದ ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನನಗೆ ಹೇಳುವಿರಿ. ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೊದಲ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ, ವಿಕ್ಟರ್ ಪೆಟ್ರೋವಿಚ್ ಖಾವಿನ್ ನನಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಪದದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ (ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಲ್ಲದೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಿಮ್ನಾಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಆಗಿತ್ತು). ನಾನು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಹಳ ಸಮಯದವರೆಗೆ ನಗುತ್ತಿದ್ದೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದು ಏನೆಂದು ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೇವಲ ನಾವು ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು y=x, y=x^2, y=x^3 ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಅಳತೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉಪನ್ಯಾಸ ನೀಡುವ ಗೌರವ ಈಗ ನನಗೆ ಸಿಕ್ಕಿದೆ ಹೆದರುತ್ತಾರೆಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ. ನೀವು ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಹೆದರುತ್ತಿದ್ದರೆ - ನಾವು ದಾರಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಕೆಲವು ಪಠ್ಯವನ್ನು ಓದಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಅದು ತುಂಬಾ ಜಟಿಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಿರಿ. ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ "ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ಮಾತನಾಡಲಾಗದ ಗಣಿತದ ಒಂದೇ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ವಾದಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಮುಂದಿನ ಭವಿಷ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸವಾಲು: ರೇಖೀಯ-ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ನಿಯಂತ್ರಕ ಏನೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾನು ನನ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸೂಚನೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ. ನಾಚಿಕೆಪಡಬೇಡಿ, ನಿಮ್ಮ ಜೀವನದ ಮೂರು ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡಿ, ಲಿಂಕ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ. ನಿಮಗೆ ಏನೂ ಅರ್ಥವಾಗದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ದಾರಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. ನನಗೂ (ವೃತ್ತಿಪರ ಗಣಿತಜ್ಞ-ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್) ಏನೂ ಅರ್ಥವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಭರವಸೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ, ಇದನ್ನು "ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದು ಏನೆಂದು ನನಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಭರವಸೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೀಯ-ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ನಿಯಂತ್ರಕವು ನಿಮ್ಮ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಂದಿಗೂ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳದ ಭಯಾನಕ ದೋಷವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ನನ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಭಯಭೀತರಾಗಿ ನನ್ನ ಬಳಿಗೆ ಓಡಿ ಬಂದ ನಂತರ ನಾನು ಅವರಿಗೆ ನೀಡಲಿರುವ ಮೊದಲ ಉಪನ್ಯಾಸ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನಗಳು. ನೀವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದೇ? ನೀವು ಈ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಓದುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (x0, y0), (x1, y1), ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (1,1) ಮತ್ತು (3,2), ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

ವಿವರಣೆ

ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು:

ಇಲ್ಲಿ ಆಲ್ಫಾ ಮತ್ತು ಬೀಟಾ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಈ ಸಾಲಿನ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ:

ನೀವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಭಾವಗೀತಾತ್ಮಕ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು: ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದರೇನು? ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ. ಇದು ಡೇಟಾವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಬಾರದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸುವುದು ಎಂಬುದು ನಮಗೆ ಬಿಟ್ಟದ್ದು. ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇನೆ, ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸರಳವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ. ಇದೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಂದರ್ಭೋಚಿತವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುವುದು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:

ನಂತರ (ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ) ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಡೇಟಾಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ:

ಇದು ಬಿಂದುಗಳ (1,1) ಮತ್ತು (3,2) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ:

ಸರಿ, ಇಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮೂರುಅಂಕಗಳು: (x0,y0), (x1,y1) ಮತ್ತು (x2,y2):

ಓಹ್-ಓಹ್, ಆದರೆ ನಾವು ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ! ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಮರ್ ಏನು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ? ಮತ್ತು ಅವನು ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹಿಂದಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತಾನೆ:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳು i, j, b ಮೂರು ಆಯಾಮದವು, ಆದ್ದರಿಂದ, (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ (ಆಲ್ಫಾ\*i + ಬೀಟಾ\*j) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ (i, j). b ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರದಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ (ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ). ಏನ್ ಮಾಡೋದು? ರಾಜಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನೋಡೋಣ. ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಇ(ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ)ನಾವು ಎಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಿಲ್ಲ:

ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಚೌಕ ಏಕೆ?

ನಾವು ಕೇವಲ ರೂಢಿಯ ಕನಿಷ್ಠಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ರೂಢಿಯ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಏಕೆ? ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚೌಕವು ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯ (ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ)), ಆದರೆ ಕೇವಲ ಉದ್ದವು ಕೋನ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. Brr. ಚೌಕವು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುವಾಗ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇವಾಹಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ iಮತ್ತು ಜ.

ವಿವರಣೆ

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ವರ್ಗದ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುವಂತಹ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:

ನವೀಕರಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಜಾಂಬ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ, ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಲಂಬವಾಗಿ ಅಳೆಯಬೇಕು, ಆರ್ಥೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅಲ್ಲ. ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿದವರು ಸರಿ.

ವಿವರಣೆ

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪದಗಳಲ್ಲಿ (ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ, ಕಳಪೆಯಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಆದರೆ ಅದು ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು): ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದರ ನಡುವೆ ಸರಾಸರಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

ವಿವರಣೆ

ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದು ವಿವರಣೆ: ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ (ಇಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಮೂರು ಇದೆ) ಮತ್ತು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವ ರೇಖೆ, ಮತ್ತು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯ ರೇಖೆಯು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದು ನಿಖರವಾಗಿ.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪ ಕನಿಷ್ಠ

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಬಿಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು-ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿದೆ ಎ(ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (x0,x1,x2) ಮತ್ತು (1,1,1)), ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಇಉದ್ದದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕದೊಂದಿಗೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಮಾತ್ರ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಇ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು-ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಹರಡಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ x=(ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ) ಗಾಗಿ ಹುಡುಕುತ್ತಿದ್ದೇವೆ:

ಈ ವೆಕ್ಟರ್ x=(ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ||e(ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ)||^2:

ಇಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ((1,0),(0,1)) ಅನ್ನು x^2 + y ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ^2:

ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪ

ಈ ಎಲ್ಲಾ ಜಿಮ್ನಾಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಲೀನಿಯರ್ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣ

ಈಗ ಸರಳವಾದ ನಿಜವಾದ ಸಮಸ್ಯೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನ ಮೇಲ್ಮೈ ಇದೆ, ಅದನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನನ್ನ ಮುಖದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಲೋಡ್ ಮಾಡೋಣ:

ಮೂಲ ಬದ್ಧತೆ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನನ್ನ ಸಾಫ್ಟ್‌ವೇರ್ ರೆಂಡರರ್‌ನ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಹ್ಯಾಬ್ರೆಯಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾನು OpenNL ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ಉತ್ತಮ ಪರಿಹಾರಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ: ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಫೋಲ್ಡರ್‌ಗೆ ನೀವು ಎರಡು ಫೈಲ್‌ಗಳನ್ನು (.h + .c) ನಕಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೃದುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಡ್ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಗಾಗಿ (ಇಂಟ್ ಡಿ=0; ಡಿ<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&ಮುಖ = ಮುಖಗಳು[i]; ಫಾರ್ (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

X, Y ಮತ್ತು Z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅಂದರೆ, ನಾನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂರು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನನ್ನ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಮೊದಲ n ಸಾಲುಗಳು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ b ನ ಮೊದಲ n ಸಾಲುಗಳು ಮೂಲ ಮಾದರಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ನಾನು ಹೊಸ ಶೃಂಗದ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಹಳೆಯ ಶೃಂಗದ ಸ್ಥಾನದ ನಡುವೆ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್-ಟೈ ಮಾಡುತ್ತೇನೆ - ಹೊಸವುಗಳು ಹಳೆಯವುಗಳಿಂದ ತುಂಬಾ ದೂರವಿರಬಾರದು.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನ ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಸಾಲುಗಳು (faces.size()*3 = ಗ್ರಿಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ) 1 ರ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತು -1 ರ ಒಂದು ಸಂಭವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ b ಶೂನ್ಯ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ನಾನು ನಮ್ಮ ತ್ರಿಕೋನ ಜಾಲರಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇನೆ: ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ತಮ್ಮ ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳಂತೆ ಒಂದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ: ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವು ತಮ್ಮ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ದೂರವಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಹೋಲುವಂತೆ ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಎಲ್ಲವೂ ಚೆನ್ನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮಾದರಿಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸುಗಮವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಅದರ ಮೂಲ ಅಂಚಿನಿಂದ ದೂರ ಸರಿಯಿತು. ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:

ಗಾಗಿ (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

ನಮ್ಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಲ್ಲಿ, ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ, ನಾನು v_i = verts[i][d] ವರ್ಗದಿಂದ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. ಇದು ಏನು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ? ಮತ್ತು ಇದು ದೋಷದ ನಮ್ಮ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ಒಂದು ವಿಚಲನವು ಮೊದಲಿನಂತೆ ಒಂದು ಘಟಕವಲ್ಲ, ಆದರೆ 1000 * 1000 ಘಟಕಗಳು ವೆಚ್ಚವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ತೀವ್ರವಾದ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಬಲವಾದ ವಸಂತವನ್ನು ನೇತುಹಾಕಿದ್ದೇವೆ, ಪರಿಹಾರವು ಇತರರನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಬುಗ್ಗೆಗಳ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸೋಣ:
nlCoficiency(ಮುಖ[ಜೆ], 2); nlCoficiency(ಮುಖ[(j+1)%3], -2);

ಮೇಲ್ಮೈ ಸುಗಮವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ಈಗ ನೂರು ಪಟ್ಟು ಬಲಶಾಲಿಯಾಗಿದೆ:

ಇದು ಏನು? ನಾವು ತಂತಿಯ ಉಂಗುರವನ್ನು ಸಾಬೂನು ನೀರಿನಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೋಪ್ ಫಿಲ್ಮ್ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಗಡಿಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ - ನಮ್ಮ ತಂತಿ ರಿಂಗ್. ಗಡಿಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಒಳಗೆ ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕೇಳುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡದ್ದು ಇದನ್ನೇ. ಅಭಿನಂದನೆಗಳು, ನಾವು ಈಗಷ್ಟೇ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ತಂಪಾಗಿದೆಯೇ? ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪರಿಹರಿಸಲು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೇವಲ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ವಿಷದ ಸಮೀಕರಣ

ಮತ್ತೊಂದು ತಂಪಾದ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡೋಣ.

ನಾನು ಈ ರೀತಿಯ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಎಲ್ಲರೂ ಒಳ್ಳೆಯವರು, ಆದರೆ ನನಗೆ ಕುರ್ಚಿ ಇಷ್ಟವಿಲ್ಲ.

ನಾನು ಚಿತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಮತ್ತು ನಾನು ನನ್ನ ಕೈಗಳಿಂದ ಕುರ್ಚಿಯನ್ನು ಆರಿಸುತ್ತೇನೆ:

ನಂತರ ನಾನು ಮುಖವಾಡದಲ್ಲಿ ಬಿಳಿಯಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಚಿತ್ರದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಎಳೆಯುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾನು ಇಡೀ ಚಿತ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ, ಎರಡು ನೆರೆಯ ಪಿಕ್ಸೆಲ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎರಡು ನೆರೆಯ ಪಿಕ್ಸೆಲ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಬಲ ಚಿತ್ರ:

ಗಾಗಿ (int i=0; i

ಫಲಿತಾಂಶ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆ

ನಾನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ನೆಕ್ಕಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ. ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ತೋರಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ, ಇದು ತರಬೇತಿ ಕೋಡ್ ಆಗಿದೆ. ಈಗ ನಾನು ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ:

ನಾನು ಈ ರೀತಿಯ ಬಟ್ಟೆಯ ಮಾದರಿಗಳ ಹಲವಾರು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ:

ಈ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಫೋಟೋಗಳಿಂದ ತಡೆರಹಿತ ಟೆಕಶ್ಚರ್ ಮಾಡುವುದು ನನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾನು (ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ) ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇನೆ:

ನಾನು ಈ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಯೇ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ವಿರೂಪಗಳ ಕಾರಣ, ಅಂಚುಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಗುಪ್ತ ಪಠ್ಯ

ಸೀಮ್ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುವ ಒಂದು ತುಣುಕು ಇಲ್ಲಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಇಲ್ಲಿ ಕಟ್ ಲೈನ್:

ಗುಪ್ತ ಪಠ್ಯ

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಗುಪ್ತ ಪಠ್ಯ

ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಅದರ ತುಣುಕು:

ಈಗಾಗಲೇ ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ಕಟ್ ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಹೋಗಲಿಲ್ಲ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಸುರುಳಿಗಳನ್ನು ಬೈಪಾಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲ ಫೋಟೋದಲ್ಲಿ ಅಸಮ ಬೆಳಕಿನಿಂದಾಗಿ ಸೀಮ್ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಬೆಳಕಿನ ಜೋಡಣೆಯ ನಂತರ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ವಿನ್ಯಾಸವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಡೆರಹಿತವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು, ಮತ್ತು ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣ ಗುಣಮಟ್ಟದ ಫೋಟೋದಿಂದ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ. ಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಭಯಪಡಬೇಡಿ, ಸರಳ ವಿವರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ, ಮತ್ತು ನೀವು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದೃಷ್ಟಶಾಲಿಯಾಗುತ್ತೀರಿ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಡೇಟಾವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಕಂಡುಬರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಡೇಟಾದ ವರ್ಗ ವಿಚಲನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶವಾಗಿದೆ.

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ.ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಎಮತ್ತು ಬಿ, ನಾವು ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಕ್ರೇಮರ್ ವಿಧಾನ) ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು (LSM) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಕಾರ್ಯ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಬಹುಪದಗಳ ಅನ್ವಯದ ಮುಖ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸೂತ್ರಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ). ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಪ್ರಯೋಗದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಪಡೆದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಬಹುಪದವು "ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಶಬ್ದ" ದಿಂದ ಬಲವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೇಲಾಗಿ, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಅದೇ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೂಲ-ಸರಾಸರಿ-ಚದರ ಬಹುಪದವು ಶಬ್ದವನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ- ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (ನಿಯಮದಂತೆ, ಅಂದಾಜು). ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ- ವಿವೇಚನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್.

ಏಕೀಕರಣ

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ.ಸಮಸ್ಯೆಯ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆ: ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ

ಇಲ್ಲಿ a, b ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, f(x) [а, b] ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅನನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ: ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸದಿರಬಹುದು, ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಧಾನಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ (ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ):

ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸೂತ್ರಗಳು ಏಕೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸರಳವಾದ ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ, ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ಬಹುಪದೀಯ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸರಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಧಾನಗಳ ಮೂರು ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು:

1. ಏಕೀಕರಣದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಧಾನ. ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ). ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ (ಆಯತಗಳ ವಿಧಾನಗಳು, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್, ಸಿಂಪ್ಸನ್).

2. ವಿಶೇಷ ಅಂಕಗಳನ್ನು (ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕೀಕರಣದ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಧಾನಗಳು.

3. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೋ ವಿಧಾನ).

ಆಯತ ವಿಧಾನ.ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ರೇಖಾಚಿತ್ರ) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಿ . ನಾವು ವಿಭಾಗವನ್ನು N ಸಮಾನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು N ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಒಂದು ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು.

ಎಲ್ಲಾ ಆಯತಗಳ ಅಗಲವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಆಯತಗಳ ಎತ್ತರದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿ, ನೀವು ಎಡ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಆಯತದ ಎತ್ತರವು f(a), ಎರಡನೆಯದು f(x 1),..., N-f(N-1) ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಯತದ ಎತ್ತರದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿ ನಾವು ಬಲ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಆಯತದ ಎತ್ತರವು f (x 1), ಎರಡನೆಯದು - f (x 2), . .., N - f (x N).

ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂತ್ರವು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯೊಂದಿಗೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಕೊರತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ - ಅಂದಾಜಿಗಾಗಿ ಏಕೀಕರಣ ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಲು:

ಆಯತಗಳ ವಿಧಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷದ ಅಂದಾಜು (ಮಧ್ಯ)

ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಆಯತಗಳ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷದ ಅಂದಾಜು.

ಉದಾಹರಣೆ.ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ.ಈ ಸಮಗ್ರತೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು I=arctg(1)–arctg(0)=0.7853981634 ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

1) h = 1; xo = 0; x1 = 1;

2) h = 0.25 (1/4); x0 = 0; x1 = 0.25; x2 = 0.5; x3 = 0.75; x4 = 1;

ಎಡ ಆಯತಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಬಲ ಆಯತಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಸರಾಸರಿ ಆಯತಗಳ ವಿಧಾನದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ವಿಧಾನ.ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ಗಾಗಿ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆ) ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೀಕರಣ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ನೋಡ್ಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಬೇಸ್ಗಳ ಅರ್ಧ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್‌ಗಳಿಗೆ ಏಕೀಕರಣದ N ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೆರೆಯ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ)

ವಿಭಾಗದ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆಯತ ಸೂತ್ರಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಪರಿಹಾರದ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.ನಿಯಮದಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಉದ್ದವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಜ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ϭ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ದೋಷವು ಏಕೀಕರಣ ಹಂತದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ (ϭ ~ h 2) ಸರಿಸುಮಾರು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು a, b, ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು N 0 ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಮತ್ತು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ನಂತರ ನೀವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು N 1 ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ. ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆ (ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡ) ತಲುಪುವವರೆಗೆ (N i) ವರೆಗೆ ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಆಯತ ಮತ್ತು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 2 ಅಂಶದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (N i +1 =2N i).

ಒಮ್ಮುಖ ಮಾನದಂಡ:

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ನಿಯಮದ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದರ ಸರಳತೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಬೇಕಾಗಬಹುದು.

ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ವಿಧಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷಎಂದು ರೇಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ.ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಿಸುಮಾರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಎ) ಏಕೀಕರಣ ವಿಭಾಗವನ್ನು 3 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು.
ಬಿ) ಏಕೀಕರಣದ ವಿಭಾಗವನ್ನು 5 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು.

ಪರಿಹಾರ:
ಎ) ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಏಕೀಕರಣ ವಿಭಾಗವನ್ನು 3 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ.
ವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: .

ಹೀಗಾಗಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಹ್ಲಾದಕರ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂತಿಮವಾಗಿ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಪ್ರದೇಶದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಬಿ) ನಾವು ಏಕೀಕರಣ ವಿಭಾಗವನ್ನು 5 ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, . ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ವಿಭಜನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು 0.6 ಆಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕೋಷ್ಟಕದೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಾವು "ಕೌಂಟರ್" ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ:

ಸರಿ, ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣವಿದೆ ಮತ್ತು ಗಂಭೀರವಾಗಿದೆ!
ವಿಭಜನೆಯ 3 ಭಾಗಗಳಿಗೆ, ನಂತರ 5 ಭಾಗಗಳಿಗೆ. ನೀವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ => ಇನ್ನಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಸೂತ್ರ.ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಸೂತ್ರವು ಹಂತದ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬಲವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ h, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ನಿಖರತೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ. ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಕರ್ವಿಲಿನಿಯರ್ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಭಾಗಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಬಳಸಿದರೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಿಖರತೆಯ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಮೂರು ನೆರೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳ ತುಣುಕುಗಳು . ಇದೇ ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವಿವರಣೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಿಂಪ್ಸನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕೀಕರಣ ಮಧ್ಯಂತರ a,b ಅನ್ನು N ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು h=(b-a)/N ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಅವರ ಸೂತ್ರವು:

ಉಳಿದ ಅವಧಿ

ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದದ ಹೆಚ್ಚಳದೊಂದಿಗೆ, ಸೂತ್ರದ ನಿಖರತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು, ಸಂಯೋಜಿತ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕೀಕರಣ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ N, ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು h=(b-a)/N ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜಿತ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಸೂತ್ರವು:

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬೆಸ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಭಾಗಗಳ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಿಂಪ್ಸನ್ನ ಸೂತ್ರದ ಉಳಿದ ಭಾಗವು ಈಗಾಗಲೇ ಹಂತದ ನಾಲ್ಕನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ:ಸಿಂಪ್ಸನ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. (ನಿಖರ ಪರಿಹಾರ - 0.2)

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ

ಗೌಸ್ನ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸೂತ್ರ. ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲ ತತ್ವವು ಚಿತ್ರ 1.12 ರಿಂದ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ: ಅಂಕಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ X 0 ಮತ್ತು X 1 ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ [ ಎ;ಬಿ] ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು "ತ್ರಿಕೋನಗಳ" ಪ್ರದೇಶಗಳು "ವಿಭಾಗ"ದ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಆರಂಭಿಕ ವಿಭಾಗ [ ಎ;ಬಿವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ [-1;1] ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ Xಮೇಲೆ

0.5∙(ಬಿ– ಎ)∙ಟಿ+ 0.5∙(ಬಿ + ಎ).

ನಂತರ , ಎಲ್ಲಿ .

ಈ ಪರ್ಯಾಯವು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ f(X) ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ [ ಎ;ಬಿ]. ಫಾರ್ ಗಾಸ್ ಸೂತ್ರ ಎನ್ಅಂಕಗಳು x i, i=0,1,..,ಎನ್-1 ವಿಭಾಗದ ಒಳಗೆ [ ಎ;ಬಿ]:

, (1.27)

ಎಲ್ಲಿ ಟಿ ಐಮತ್ತು ಎ ಐವಿವಿಧ ಎನ್ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ ಎನ್=2 ಎ 0 =ಎ 1=1; ನಲ್ಲಿ ಎನ್=3: ಟಿ 0 =ಟಿ 2" 0.775, ಟಿ 1 =0, ಎ 0 =ಎ 2" 0.555, ಎ 1" 0.889.

ಗೌಸ್ನ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸೂತ್ರ

ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ p(x)= 1 ಮತ್ತು ನೋಡ್‌ಗಳು x i, ಇವು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ

ಆಡ್ಸ್ ಎ ಐಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

i=0,1,2,...ಎನ್.

n=2,3,4,5 ಗಾಗಿ ನೋಡ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಆದೇಶ	ಗಂಟುಗಳು	ಆಡ್ಸ್
ಎನ್=2	x 1=0 x 0 =-x2=0.7745966692	ಎ 1=8/9 ಎ 0 = ಎ 2=5/9
ಎನ್=3	x 2 =-x 1=0.3399810436 x 3 =-x0=0.8611363116	ಎ 1 = ಎ 2=0.6521451549 ಎ 0 = ಎ 3=0.6521451549
n=4	X 2 = 0 X 3 = -X 1 = 0.5384693101 X 4 =-X 0 =0.9061798459	ಎ 0 =0.568888899 ಎ 3 =ಎ 1 =0.4786286705 ಎ 0 =ಎ 4 =0.2869268851
ಎನ್=5	X 5 = -X 0 =0.9324695142 X 4 = -X 1 =0.6612093865 X 3 = -X 2 =0.2386191861	ಎ 5 =ಎ 0 =0.1713244924 ಎ 4 =ಎ 1 =0.3607615730 ಎ 3 =ಎ 2 =0.4679139346

ಉದಾಹರಣೆ.ಗೌಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಎನ್=2:

ಸರಿಯಾದ ಬೆಲೆ: .

ಗೌಸ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮೈಕ್ರೋಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಲು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 1 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆ. ಅನಾನುಕೂಲಗಳು: ಹಸ್ತಚಾಲಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಅನಾನುಕೂಲ; ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೆಮೊರಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಬೇಕು ಟಿ ಐ, ಎ ಐವಿವಿಧ ಎನ್.

ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಗಾಸ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಸೂತ್ರದ ದೋಷವು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಉಳಿದ ಪದದ ಸೂತ್ರವು ಗುಣಾಂಕ α ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್ಬೆಳವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ವೇಗವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್. ಇಲ್ಲಿ

ಗಾಸ್ ಸೂತ್ರಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೋಡ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ (4 ರಿಂದ 10 ರವರೆಗೆ) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ, ನೋಡ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹಲವಾರು ನೂರರಿಂದ ಹಲವಾರು ಸಾವಿರಗಳವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್‌ಗಳ ತೂಕವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಖಾತ್ರಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ