Бұрыштық аргумент сабағының тригонометриялық функциялары. Радиан дегеніміз не

«Бұрыш аргументінің тригонометриялық функциясы, бұрыш пен радианның градустық өлшемі» тақырыбына сабақ және презентация.

Қосымша материалдар
Құрметті қолданушылар, өз пікірлеріңізді, пікірлеріңізді, ұсыныстарыңызды қалдыруды ұмытпаңыздар. Барлық материалдар антивирустық бағдарлама арқылы тексеріледі.

1С-тен 10-сыныпқа арналған «Интеграл» интернет-дүкеніндегі нұсқаулықтар мен тренажерлар
Геометриядан есептер шығарамыз. Интерактивті құрылыс тапсырмалары
Геометриядан есептер шығарамыз. Кеңістікте құрылысқа арналған интерактивті тапсырмалар

Біз нені зерттейміз:
1. Геометрияны еске түсірейік.
2. Бұрыштық аргументтің анықтамасы.
3. Бұрыштың градустық өлшемі.
4. Бұрыштың радиандық өлшемі.
5. Радиан дегеніміз не?
6. Өз бетінше шешуге арналған мысалдар мен тапсырмалар.

Геометрияны қайталау

Балалар, біздің функциямызда:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

t айнымалысы тек сандық мәндерді қабылдай алмайды, яғни сандық аргумент бола алады, сонымен қатар оны бұрыштың өлшемі – бұрыштық аргумент ретінде де қарастыруға болады.

Геометрияны еске түсірейік!
Онда синус, косинус, тангенс, котангенсті қалай анықтадық?

Бұрыштың синусы – қарама-қарсы катеттің гипотенузаға қатынасы

Бұрыштың косинусы – көршілес катеттің гипотенузаға қатынасы

Бұрыштың тангенсі - қарама-қарсы катеттің көршілес катетке қатынасы.

Бұрыштың котангенсі - көршілес катеттің қарама-қарсы катетінің қатынасы.

Бұрыштық аргументтің тригонометриялық функциясының анықтамасы

Тригонометриялық функцияларды сандық шеңбердегі бұрыш аргументінің функциялары ретінде анықтайық:
Сандық шеңбер мен координаталар жүйесінің көмегімен біз әрқашан бұрыштың синусын, косинусын, тангенсін және котангенсін оңай таба аламыз:

Біз α бұрышымыздың төбесін шеңбердің ортасына қоямыз, яғни. координат осінің центріне және жақтардың бірін х осінің (OA) оң бағытымен сәйкес келетіндей етіп орналастырыңыз.
Сонда екінші жағы сандық шеңберді М нүктесінде қиып өтеді.

ОрдинациялауМ нүктелері: α бұрышының синусы
АбциссаМ нүктелері: α бұрышының косинусы

AM доғасының ұзындығы 360 градустан бастап α бұрышымен бірлік шеңбердің бірдей бөлігі екенін ескеріңіз: мұндағы t – AM доғасының ұзындығы.

Бұрыштың градустық өлшемі

1) Балалар, біз сандық шеңбер доғасының ұзындығы арқылы бұрыштың градустық өлшемін анықтайтын формуланы алдық, оны мұқият қарастырайық:

Содан кейін тригонометриялық функцияларды келесі түрде жазамыз:

Мысалы:

Бұрыштардың радиандық өлшемі

Бұрыштың градусын немесе радиандық өлшемін есептегенде, есте сақтаңыз! :
Мысалы:

Айтпақшы! Тағайындау rad. тастай аласыз!

Радиан дегеніміз не?

Құрметті достар, біз жаңа тұжырымдамаға тап болдық - Радиан. Сонда бұл не?

Бар түрлі шараларұзындық, уақыт, салмақ мысалы: метр, километр, секунд, сағат, грамм, килограмм және т.б. Сонымен, радиан бұрыштың өлшемдерінің бірі болып табылады. Орталық бұрыштарды қарастырған жөн, яғни сандық шеңбердің ортасында орналасқан.
1 градус бұрыш - шеңбердің 1/360 бөлігіне тең доғаға негізделген орталық бұрыш.

1 радиандық бұрыш деп бірлік шеңберде 1-ге тең доғаға, ал еркін шеңберде шеңбер радиусына тең доғаға негізделген орталық бұрышты айтады.

Мысалдар:

Бұрыштың градустық өлшемінен радианға және керісінше түрлендіру мысалдары

Өз бетінше шешуге арналған тапсырмалар

1. Бұрыштардың радиандық өлшемін табыңыз:
а) 55° ә) 450° с) 15° г) 302°

2. Табыңыз:
а) sin(150°) б) cos(45°) в) тг(120°)

3. Бұрыштардың градустық өлшемін табыңыз:

Қандай нақты t саны алынса да, оған sin t бірегей анықталған сан тағайындалуы мүмкін. Рас, сәйкестік ережесі өте күрделі, жоғарыда көргеніміздей, ол келесіден тұрады.

t саны бойынша sin t мәнін табу үшін мыналар қажет:

1) сандық шеңберді координаталық жазықтықта шеңбердің центрі координаталар бас нүктесіне сәйкес келетіндей етіп орналастырыңыз, ал шеңбердің бастапқы А нүктесі (1; 0) нүктесіне тиеді;

2) шеңберден t санына сәйкес нүктені табу;

3) осы нүктенің ординатасын табыңыз.

Бұл ордината - sin t.

Іс жүзінде біз u = sin t функциясы туралы айтып отырмыз, мұндағы t - кез келген нақты сан.

Барлық осы функциялар деп аталады t сандық аргументінің тригонометриялық функциялары.

Әртүрлі тригонометриялық функциялардың мәндерін байланыстыратын бірқатар қатынастар бар, біз осы қатынастардың кейбірін алдық:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Соңғы екі формуладан tg t және ctg t байланыстыратын қатынасты алу оңай:

Бұл формулалардың барлығы кез келген тригонометриялық функцияның мәнін біле отырып, қалған тригонометриялық функциялардың мәндерін есептеу қажет болған жағдайда қолданылады.

«Синус», «косинус», «тангенс» және «котангенс» терминдері іс жүзінде таныс болды, бірақ олар әлі де сәл басқаша түсіндірмеде қолданылды: геометрия мен физикада олар синусты, косинусты, тангенсті және котангентті қарастырды. g l a(бірақ жоқ

алдыңғы абзацтардағыдай сандар).

Сүйір бұрыштың синусы (косинусы) тікбұрышты үшбұрыштың катетінің оның гипотенузасына қатынасы, ал бұрыштың тангенсі (котангенсі) тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің қатынасы болатыны геометриядан белгілі. Алдыңғы абзацтарда синус, косинус, тангенс және котангенс ұғымдарына басқаша көзқарас жасалды. Іс жүзінде бұл тәсілдер өзара байланысты.

градус өлшемі b o болатын бұрышты алып, оны суретте көрсетілгендей «тікбұрышты координаталар жүйесіндегі сандық шеңбер» үлгісінде орналастырайық. 14

бұрыштық үстіңгі жағы орталықпен үйлесімді

шеңберлер (координаталар жүйесінің бастауымен),

және бұрыштың бір жағы үйлесімді

х осінің оң сәулесі. Нүкте

бұрыштың екінші жағының қиылысуы

шеңбер М әрпімен белгіленеді. Ордина-

14-сурет b o , ал бұл нүктенің абсциссасы b o бұрышының косинусы болып табылады.

b o бұрышының синусын немесе косинусын табу үшін бұл өте күрделі құрылыстарды әр уақытта жасаудың қажеті жоқ.

AM доғасы 360° бұрыштан b o бұрышы қандай болса, сандық шеңбердің ұзындығының бірдей бөлігі екенін ескеру жеткілікті. Егер AM доғасының ұзындығы t әрпімен белгіленсе, онда мынаны аламыз:

Осылайша,

Мысалы,

30 ° бұрыштың градустық өлшемі және бірдей бұрыштың радиандық өлшемі болып табылады деп есептеледі: 30 ° = рад. Жалпы:

Әсіресе, өз кезегінде қайдан алатынымызға қуаныштымын.

Сонымен, 1 радиан дегеніміз не? Сегмент ұзындығының әртүрлі өлшемдері бар: сантиметр, метр, ярд және т.б. Бұрыштардың шамасын көрсету үшін де әртүрлі өлшемдер бар. Бірлік шеңбердің орталық бұрыштарын қарастырамыз. 1° бұрыш - шеңбердің бөлігі болып табылатын доғаға негізделген орталық бұрыш. 1 радиандық бұрыш - ұзындығы 1 доғаға негізделген орталық бұрыш, яғни. ұзындығы шеңбердің радиусына тең доғада. Формуладан біз 1 рад \u003d 57,3 ° аламыз.

u = sin t (немесе кез келген басқа тригонометриялық функция) функциясын қарастыра отырып, біз алдыңғы параграфтардағыдай t тәуелсіз айнымалысын сандық аргумент ретінде қарастыра аламыз, бірақ бұл айнымалыны бұрыштың өлшемі ретінде де қарастыра аламыз, яғни бұрыштық аргумент. Сондықтан тригонометриялық функция туралы айтатын болсақ, оны белгілі бір мағынада сандық немесе бұрыштық аргумент функциясы деп қарау немқұрайлылық.

Сандық аргументтің тригонометриялық функцияларыталдадық. Шеңбердегі А нүктесін алып, алынған β бұрышынан синустар мен косинустарды іздедік.

Біз нүктені А деп белгіледік, бірақ алгебрада ол көбінесе t деп белгіленеді және онымен бірге барлық формулалар/функциялар беріледі. Біз де канондардан ауытқымаймыз. Анау. t - бұл белгілі бір сан болады, сондықтан сандық функция(мысалы, синт)

Бұл қисынды, өйткені бізде радиусы бір шеңбер бар

Бұрыштық аргументтің тригонометриялық функцияларыбіз оны сәтті талдадық - канондарға сәйкес біз осындай функциялар үшін жазамыз: sin α °, яғни α ° арқылы бізге қажет градус саны бар кез келген бұрыш.

Бұл бұрыштың сәулесі бізге шеңбердегі екінші нүктені (OA - А нүктесі) және сандық аргумент функциясы үшін сәйкес С және В нүктелерін береді, егер қажет болса: sin t = sin α°

Синустардың, косинустардың, тангенстердің және котангенстердің түзулері

Мұны ешқашан ұмытпа у осі синус сызығы болып табылады, x осі - косинустар сызығы! Бұл осьтерде шеңберден алынған нүктелер белгіленген.

А жанама және котангенс түзулері оларға параллель және (1; 0) және (0; 1) нүктелері арқылы өтеді.тиісінше.

«Бұрыштық аргументтің тригонометриялық функциялары» бейнесабағы сәйкес тақырып бойынша математика сабағын өткізуге арналған көрнекі материал болып табылады. Бейнеролик оқытылатын материал студенттерге түсінуге барынша ыңғайлы, есте сақтау оңай, үшбұрыштарды зерттеу және олардың анықтамасы бөлімінен тригонометриялық функциялар туралы қолда бар ақпараттың байланысын жақсы ашатындай етіп құрастырылған. бірлік шеңберді пайдалану. Ол сабақтың дербес бөлігі бола алады, өйткені ол толығымен қамтиды бұл тақырып, балл қою барысында маңызды пікірлермен толықтырылды.

Байланысты анық көрсету үшін әртүрлі анықтамалартригонометриялық функциялар, анимациялық әсерлер қолданылады. Мәтінді түрлі-түсті бояумен ерекшелеу, түсінікті конструкциялар, түсініктемелермен толықтыру материалды тез меңгеруге, есте сақтауға, сабақ мақсатына тезірек жетуге көмектеседі. Тригонометриялық функциялардың анықтамалары арасындағы байланыс материалды түсінуге және есте сақтауға септігін тигізетін анимациялық эффектілер мен түсті бөлектеу арқылы анық көрсетілген. Әдістемелік құрал оқытудың тиімділігін арттыруға бағытталған.

Сабақ тақырыпты таныстырудан басталады. Содан кейін тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы, косинусы, тангенсі және котангенсінің анықтамалары еске түсіріледі. Қорапта ерекшеленген анықтама синус пен косинус катеттің гипотенузаға қатынасы ретінде, ал тангенс пен котангенс катеттердің қатынасы арқылы түзілетінін еске салады. Бірлік шеңберге жататын нүктені қарастырған кезде нүктенің абсциссасы косинус, ал ордината осы нүктеге сәйкес санның синусы болатыны туралы жақында зерттелген материалды студенттерге де еске салады. Бұл ұғымдардың байланысы құрастыру арқылы көрсетіледі. Экранда бірлік шеңбері көрсетіледі, оның центрі бастапқы нүктеге сәйкес келетіндей орналастырылады. Координаталар басынан абсциссаның оң жарты осімен α бұрышын жасайтын сәуле салынған. Бұл сәуле бірлік шеңберді О нүктесінде қиып өтеді. Перпендикулярлар нүктеден абсцисса және у осіне түседі, бұл нүктенің координаталары α бұрышының косинусы мен синусын анықтайтынын көрсетеді. Бірлік шеңбердің абсцисса осінің оң бағытымен қиылысу нүктесінен О нүктесіне дейінгі AO доғасының ұзындығы 360°-тен α бұрышымен бүкіл доғаның бірдей бөлігі екені атап өтіледі. Бұл α/360=t/2π пропорциясын жасауға мүмкіндік береді, ол дәл сол жерде көрсетіледі және есте сақтау үшін қызыл түспен бөлектеледі. t=πα/180° мәні осы пропорциядан алынады. Осыны ескере отырып, синус пен косинус sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180 анықтамаларының арасындағы байланыс анықталады. Мысалы, sin60 ° табу берілген. Бұрыштың градустық өлшемін формулаға қойып, sin π 60°/180° аламыз. Бөлшекті 60-қа кемітсек, sin π/3 аламыз, ол √3/2-ге тең. Егер 60° бұрыштың градустық өлшемі болса, онда π/3 бұрыштың радиандық өлшемі деп аталады. Бұрыштың градустық өлшемінің радианға қатынасының екі мүмкін жазбасы бар: 60°=π/3 және 60°=π/3 рад.

Бір градус бұрыш ұғымы ұзындығы 1/360 шеңбердің бір бөлігін білдіретін доғаға негізделген орталық бұрыш ретінде анықталады. Келесі анықтама бір радианның бұрышы ұғымын ашады - ұзындығы бір доғаға негізделген орталық бұрыш немесе шеңбердің радиусына тең. Анықтамалар маңызды деп белгіленіп, есте сақтау үшін бөлектеледі.

Бұрыштың бір градустық өлшемін радианға және керісінше түрлендіру үшін α ° \u003d πα / 180 рад формуласы қолданылады. Бұл формула экрандағы жақтауда ерекшеленген. Бұл формуладан 1°=π/180 рад шығады. Бұл жағдайда бір радиан 180°/π≈57,3° бұрышқа сәйкес келеді. Тәуелсіз айнымалы t тригонометриялық функциялардың мәндерін табу кезінде оны сандық аргумент ретінде де, бұрыштық да деп санауға болатыны атап өтіледі.

Әрі қарай математикалық есептерді шешу барысында алған білімдерін пайдалану мысалдары көрсетіледі. 1-мысалда мәндерді градустан радианға 135° және 905° түрлендіру қажет. Экранның оң жағында градус пен радиан арасындағы қатынасты көрсететін формула бар. Мәнді формулаға ауыстырғаннан кейін (π/180) 135 аламыз. Бұл бөлшекті 45-ке азайтқаннан кейін 135°=3π/4 мәнін аламыз. 905° бұрышты радианға түрлендіру үшін бірдей формула қолданылады. Оған мәнді ауыстырғаннан кейін (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 рад болады.

Екінші мысалда кері есеп шешілді – радианмен өрнектелген бұрыштардың градустық өлшемі π/12, -21π/20, 2,4π табылды. Экранның оң жағында 1 рад \u003d 180 ° / π бұрышының градусы мен радиан өлшемі арасындағы байланыстың зерттелген формуласы еске түсіріледі. Әрбір мысал радиан өлшемін формулаға ауыстыру арқылы шешіледі. π/12 орнына қойсақ, (180°/π)·(π/12)=15° аламыз. Сол сияқты, қалған бұрыштардың мәндері -21π/20=-189° және 2,4π=432° табылды.

Оқытудың тиімділігін арттыру үшін «Бұрыштық аргументтің тригонометриялық функциялары» бейнесабағын дәстүрлі математика сабақтарында пайдалану ұсынылады. Материал осы тақырып бойынша қашықтықтан оқыту кезінде оқытудың көрнекілігін қамтамасыз етуге көмектеседі. Тақырыпты егжей-тегжейлі, түсінікті түсіндіру, ол бойынша есептер шығару студентке материалды өз бетімен меңгеруге көмектеседі.

МӘТІНДІ ТҮСІНДІРУ:

«Бұрыштық аргументтің тригонометриялық функциялары».

Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы (косинусы) катеттің гипотенузаға қатынасы, ал тангенсі (котангенсі) катеттерінің қатынасы екенін геометриядан білеміз. Ал алгебрада бірлік шеңбердегі нүктенің абсциссасын косинус, ал бұл нүктенің ординатасын синус деп атаймыз. Мұның бәрі бір-бірімен тығыз байланысты екеніне көз жеткіземіз.

1-суретте көрсетілгендей градус өлшемі α° (альфа градус) болатын бұрышты орналастырайық: бұрыштың төбесі бірлік шеңбердің центрімен (координаталар жүйесінің басымен) және бір жағымен үйлесімді. бұрышы х осінің оң сәулесімен үйлесімді. Бұрыштың екінші қабырғасы шеңберді О нүктесінде қиып өтеді. О нүктесінің ординатасы альфа бұрышының синусы, ал бұл нүктенің абсциссасы альфа косинусы болады.

AO доғасы альфа бұрышы үш жүз алпыс градус бұрыштан болатындай бірлік шеңбердің ұзындығының бірдей бөлігі екенін ескеріңіз. AO доғасының ұзындығын t(te) арқылы белгілейік, сонда = пропорциясын жасаймыз.

(alpha алпыс сенімдерін te-екі пи деп атайды).Осыдан te: t = = (te pi alpha-ны жүз сексенге бөлгенде тең) табамыз.

Осылайша, альфа градус бұрышының синусын немесе косинусын табу үшін мына формуланы қолдануға болады:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (альфа градусының синусы te синусына тең және жеке пи альфа синусына жүз сексенге тең),

cosα° \u003d құны \u003d cos (альфа градусының косинусы te косинусына тең және жеке pi alpha косинусына жүз сексенге тең).

Мысалы, sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (алпыс градус синусы пи синусына үшке тең, синустардың негізгі мәндерінің кестесіне сәйкес ол түбірге тең үштен екіден).

60 ° бұрыштың градустық өлшемі және (пи үшке) бірдей бұрыштың радиандық өлшемі болып табылады, яғни 60 ° = қуанышты(алпыс градус пи көбейтіндісі үш радианға тең). Қысқаша айтқанда, біз белгілеуді келістік қуаныштыөткізіп жіберіңіз, яғни келесі белгілерге рұқсат етіледі: 60°= (қысқартуларды көрсету радиан өлшемі = рад.)

Бір градус бұрыш - доғаның (үш жүз алпысыншы) бөлігі болып табылатын доғамен бекітілген орталық бұрыш. Бір радиандық бұрыш деп ұзындығы бір доғаға, яғни ұзындығы шеңбердің радиусына тең доғаға тірелетін орталық бұрышты айтады (бұрышты пи түрінде көрсету үшін бірлік шеңбердің орталық бұрыштарын қарастырамыз. шеңбердегі радиандар).

Дәреже өлшемін радианға түрлендірудің маңызды формуласын еске түсірейік:

α° = қуанышты. (альфа pі альфаның жүз сексен радианға бөлінгеніне тең) Атап айтқанда, 1° = қуанышты(бір градус пидың жүз сексен радианға бөлінгеніне тең).

Бұдан біз бір радианның жүз сексен градустың пиге қатынасына тең және шамамен елу жеті нүктенің оннан үш бөлігіне тең екенін таба аламыз: 1 қуанышты= ≈ 57,3°.

Жоғарыда айтылғандардан: біз кез келген тригонометриялық функция туралы айтқанда, мысалы, s \u003d sint функциясы туралы (es - sinus te тең), тәуелсіз айнымалы t (te) сандық аргумент ретінде де, бұрыштық аргумент ретінде де қарастырылуы мүмкін.

Мысалдар қарастырыңыз.

МЫСАЛ 1. градустан радианға ауыстырыңыз: а) 135°; б) 905°.

Шешім. градустарды радианға түрлендіру формуласын қолданайық:

а) 135° = 1° ∙ 135 = қуанышты ∙ 135 = қуанышты

(жүз отыз бес градус pi есе жүз сексен радианға бір жүз отыз беске тең, ал азайтқаннан кейін үш пи есе төрт радиан)

б) Дәл осылай дәреже өлшемін радианға түрлендіру формуласын қолданып аламыз

905° = қуанышты ∙ 905 = қуанышты.

(тоғыз жүз бес градус бір жүз сексен бір пи есе отыз алты радианға тең).

МЫСАЛ 2. Дәрежемен көрсетіңіз: a) ; б) -; в) 2,4π

(пи көбейтіндісі он екі; минус жиырма бір пи көбейтіндісі жиырма; екі нүкте пидің оннан төрт бөлігі).

Шешім. а) Пи градуспен он екіге өрнектеңіз, бұрыштың радиандық өлшемін 1-дегі градус өлшеміне аудару формуласын қолданыңыз. қуанышты=, аламыз

қуанышты = 1 қуанышты∙ = ∙ = 15°

Сол сияқты b) - = 1 қуанышты∙ (-) \u003d ∙ (-) \u003d - 189 ° (минус жиырма бір пи жиырмаға тең минус жүз сексен тоғыз градус),

в) 2,4π = 1 қуанышты∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (pi санының төрт төртінші нүктесі төрт жүз отыз екі градусқа тең).