Poprečno savijanje šipke. Čisto savijanje Rješenje za izravno poprečno savijanje
Za konzolnu gredu opterećenu raspodijeljenim opterećenjem intenziteta kN / m i koncentriranog momenta kN m (slika 3.12), potrebno je: za izradu dijagrama posmičnih sila i momenata savijanja odabrati gredu kružnog presjeka na dopuštenom normalno naprezanje kN / cm2 i provjeriti čvrstoću grede prema posmičnom naprezanju pri dopuštenom smičnom naprezanju kN/cm2. Dimenzije grede m; m; m.
Shema proračuna za problem izravnog poprečnog savijanja
Riža. 3.12
Rješavanje problema "izravnog poprečnog savijanja"
Određivanje reakcija podrške
Horizontalna reakcija u ugradnji je nula, jer vanjska opterećenja u smjeru z-osi ne djeluju na gredu.
Odabiremo smjerove preostalih reaktivnih sila koje nastaju u ugradnji: usmjerimo okomitu reakciju, na primjer, prema dolje, a trenutak - u smjeru kazaljke na satu. Njihove vrijednosti se određuju iz jednadžbi statike:
Pri sastavljanju ovih jednadžbi moment smatramo pozitivnim pri rotaciji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a projekcija sile je pozitivna ako se njezin smjer podudara s pozitivnim smjerom osi y.
Iz prve jednadžbe nalazimo trenutak u završetku:
Iz druge jednadžbe - vertikalna reakcija:
Pozitivne vrijednosti koje smo dobili za trenutak i okomitu reakciju u završetku pokazuju da smo pogodili njihove smjerove.
U skladu s prirodom pričvršćivanja i opterećenja grede, njezinu duljinu dijelimo na dva dijela. Uz granice svakog od ovih presjeka ocrtavamo četiri poprečna presjeka (vidi sl. 3.12), u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja metodom presjeka (ROZU).
Odjeljak 1. Mentalno odbacimo desnu stranu grede. Zamijenimo njegovo djelovanje na preostaloj lijevoj strani sa silom rezanja i momentom savijanja. Radi praktičnosti izračunavanja njihovih vrijednosti, desnu stranu grede koju smo odbacili zatvaramo komadom papira, poravnavajući lijevi rub lista s razmatranim dijelom.
Podsjetimo se da sila smicanja koja nastaje u bilo kojem poprečnom presjeku mora uravnotežiti sve vanjske sile (aktivne i reaktivne) koje djeluju na dio grede koji razmatramo (tj. vidljivi). Stoga sila smicanja mora biti jednaka algebarskom zbroju svih sila koje vidimo.
Također dajemo pravilo predznaka za silu smicanja: vanjska sila koja djeluje na razmatrani dio grede i nastoji "zakrenuti" ovaj dio u odnosu na presjek u smjeru kazaljke na satu uzrokuje pozitivnu silu smicanja u presjeku. Takva vanjska sila uključena je u algebarski zbroj za definiciju s predznakom plus.
U našem slučaju vidimo samo reakciju nosača, koji rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (u odnosu na rub papira) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zato
kN.
Moment savijanja u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti moment stvoren vanjskim silama koje vidimo u odnosu na presjek koji razmatramo. Stoga je jednak algebarskom zbroju momenata svih napora koji djeluju na dio grede koji razmatramo, u odnosu na presjek koji razmatramo (drugim riječima, u odnosu na rub komada papira). U tom slučaju vanjsko opterećenje koje savija razmatrani dio grede s konveksnošću prema dolje uzrokuje pozitivan moment savijanja u presjeku. A moment stvoren takvim opterećenjem uključen je u algebarski zbroj za definiciju s predznakom plus.
Vidimo dva napora: reakciju i trenutak prekida. Međutim, krak sile u odnosu na presjek 1 jednak je nuli. Zato
kN m
Uzeli smo znak plus jer reaktivni moment savija vidljivi dio grede s konveksitetom prema dolje.
Odjeljak 2. Kao i prije, pokrit ćemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada za razliku od prvog odjeljka sila ima rame: m. Prema tome
kN; kN m
Odjeljak 3. Zatvaranje desne strane grede, nalazimo
kN;
Odjeljak 4. Zatvorimo lijevu stranu grede s listom. Zatim
kN m
kN m
.
Na temelju pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (Sl. 3.12, b) i momenata savijanja (Sl. 3.12, c).
Pod neopterećenim presjecima dijagram posmičnih sila teče paralelno s osi grede, a pod raspodijeljenim opterećenjem q po nagnutoj ravnoj liniji prema gore. Ispod reakcije oslonca na dijagramu nalazi se skok prema dolje za vrijednost ove reakcije, odnosno za 40 kN.
Na dijagramu momenata savijanja vidimo lom ispod reakcije oslonca. Lomni kut je usmjeren prema reakciji oslonca. Pod raspodijeljenim opterećenjem q dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odsječku 6 na dijagramu postoji ekstrem, budući da dijagram sile smicanja na ovom mjestu prolazi kroz nultu vrijednost.
Odredite potrebni promjer presjeka grede
Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja ima oblik:
,
gdje je moment otpora grede pri savijanju. Za gredu kružnog presjeka jednaka je:
.
Moment savijanja najveće apsolutne vrijednosti javlja se u trećem presjeku grede: 
kN cm
Tada se potrebni promjer grede određuje formulom
cm.
Prihvaćamo mm. Zatim
kN/cm2 kN/cm2.
"Prenapon" je
,
što je dozvoljeno.
Čvrstoću grede provjeravamo za najveća tangencijalna naprezanja
Najveća posmična naprezanja koja se javljaju u presjeku kružne grede izračunavaju se formulom
,
gdje je površina presjeka.
Prema dijagramu, najveća algebarska vrijednost posmične sile jednaka je 
kN. Zatim
kN/cm2 kN/cm2,
odnosno uvjet čvrstoće i posmičnih naprezanja ispunjen je, štoviše, s velikom rezervom.
Primjer rješavanja problema "izravno poprečno savijanje" br. 2
Uvjeti primjera zadatka za izravno poprečno savijanje
Za zglobnu gredu opterećenu raspodijeljenim opterećenjem intenziteta kN / m, koncentriranom silom kN i koncentriranim momentom kN m (slika 3.13), potrebno je iscrtati sile smicanja i momente savijanja i odabrati presjek I-grede. s dopuštenim normalnim naprezanjem kN / cm2 i dopuštenim posmičnim naprezanjem kN/cm2. Raspon grede m.
Primjer zadatka za ravni zavoj - shema dizajna
 |
Riža. 3.13
Rješenje primjera problema ravnog zavoja
Određivanje reakcija podrške
Za zadanu stožerno oslonjenu gredu potrebno je pronaći tri reakcije oslonca: , i . Budući da na gredu djeluju samo vertikalna opterećenja, okomito na njezinu os, horizontalna reakcija nepomične zglobne potpore A jednaka je nuli: .
Smjerovi vertikalnih reakcija i odabiru se proizvoljno. Usmjerimo, na primjer, obje okomite reakcije prema gore. Da bismo izračunali njihove vrijednosti, sastavljamo dvije jednadžbe statike:
Podsjetimo se da je rezultantno linearno opterećenje, ravnomjerno raspoređeno po dionici duljine l, jednako, odnosno jednako površini dijagrama ovog opterećenja i primjenjuje se u težištu ovog dijagrama, odnosno na sredini dužine.
;
kN.
Provjeravamo: .
Podsjetimo se da se sile čiji se smjer podudara s pozitivnim smjerom y-osi projiciraju (projiciraju) na ovu os s predznakom plus:
to je točno.
Gradimo dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja
Razbijamo duljinu grede u zasebne dijelove. Granice ovih područja su točke primjene koncentriranih sila (aktivnih i/ili reaktivnih), kao i točke koje odgovaraju početku i kraju raspodijeljenog opterećenja. U našem problemu postoje tri takva područja. Uz granice ovih odjeljaka navodimo ih šest presjeci, u kojem ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja (Sl. 3.13, a).
Odjeljak 1. Mentalno odbacimo desnu stranu grede. Za praktičnost izračunavanja sile smicanja i momenta savijanja koji nastaju u ovom odjeljku, zatvaramo dio grede koji smo odbacili komadom papira, poravnavajući lijevi rub komada papira sa samim presjekom.
Sila smicanja u presjeku grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) koje vidimo. U ovom slučaju vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno maloj duljini. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zato
kN.
Znak plus je uzet jer sila rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (rub papira) u smjeru kazaljke na satu.
Moment savijanja u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo, u odnosu na presjek koji se razmatra (to jest, u odnosu na rub komada papira). Vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno maloj duljini. Međutim, poluga sile je nula. Rezultirajuće linearno opterećenje također je jednako nuli. Zato
Odjeljak 2. Kao i prije, pokrit ćemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada vidimo reakciju i opterećenje q koje djeluje na dionicu duljine. Rezultantno linearno opterećenje je jednako. Pričvršćen je u sredini dijela duljine . Zato
Podsjetimo se da pri određivanju predznaka momenta savijanja mentalno oslobađamo dio grede koji vidimo od svih stvarnih nosača i zamislimo ga kao da je priklješten u dijelu koji razmatramo (to jest, lijevi rub komada papir mentalno predstavljamo kao kruti pečat).
Odjeljak 3. Zatvorimo desni dio. Dobiti
Odjeljak 4. Zatvaramo desnu stranu grede s listom. Zatim
Sada, da bismo kontrolirali ispravnost izračuna, pokrijmo lijevu stranu grede komadom papira. Vidimo koncentriranu silu P, reakciju desnog oslonca i linearno opterećenje q, raspoređeno na beskonačno maloj duljini. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zato
kN m
Odnosno, sve je točno.
Odjeljak 5. I dalje zatvorite lijevu stranu grede. Hoće li imati
kN;
kN m
Odjeljak 6. Ponovno zatvorimo lijevu stranu grede. Dobiti
kN;
Na temelju pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (Sl. 3.13, b) i momenata savijanja (Sl. 3.13, c).
Uvjereni smo da pod neopterećenim dijelom dijagram posmičnih sila teče paralelno s osi grede, a pod raspodijeljenim opterećenjem q - duž ravne linije s nagibom prema dolje. Na dijagramu su tri skoka: pod reakcijom - gore za 37,5 kN, pod reakcijom - gore za 132,5 kN i pod silom P - dolje za 50 kN.
Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentriranom silom P i pod reakcijom oslonca. Kutovi loma su usmjereni prema tim silama. Pod raspodijeljenim opterećenjem intenziteta q dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. Ispod koncentriranog momenta nalazi se skok od 60 kN m, odnosno po veličini samog momenta. U odjeljku 7 na dijagramu postoji ekstrem, budući da dijagram posmične sile za ovaj odjeljak prolazi kroz nultu vrijednost (). Odredimo udaljenost od odjeljka 7 do lijevog nosača.
Ravni zavoj. Ravan poprečni zavoj Iscrtavanje dijagrama unutarnjih faktora sile za grede Iscrtavanje Q i M dijagrama korištenjem jednadžbi Iscrtavanje Q i M dijagrama korištenjem karakterističnih presjeka (točaka) Proračuni čvrstoće na ravni zavoj grede Glavni naponi pri savijanju. Kompletna provjera čvrstoće greda. Razumijevanje središta savijanja. Određivanje pomaka u gredama tijekom savijanja. Pojmovi deformacije greda i uvjeti njihove krutosti Diferencijalna jednadžba savijene osi grede Metoda izravne integracije Primjeri određivanja pomaka u gredama metodom izravne integracije Fizikalni smisao konstanti integracije Metoda početnih parametara (univerzalna jednadžba savijena os grede). Primjeri određivanja pomaka u gredi metodom početnih parametara Određivanje pomaka Mohrovom metodom. A.K.-ovo pravilo Vereščagina. Izračun Mohrovog integrala prema A.K. Vereščagin Primjeri određivanja pomaka pomoću Mohrovog integrala Bibliografija Izravno savijanje. Ravni poprečni zavoj. 1.1. Crtanje dijagrama unutarnjih faktora sile za grede Izravno savijanje je vrsta deformacije kod koje u poprečnim presjecima šipke nastaju dva faktora unutarnje sile: moment savijanja i poprečna sila. U određenom slučaju, poprečna sila može biti jednaka nuli, tada se zavoj naziva čistim. S ravnim poprečnim savijanjem, sve sile se nalaze u jednoj od glavnih ravnina tromosti štapa i okomite su na njegovu uzdužnu os, momenti se nalaze u istoj ravnini (slika 1.1, a, b). Riža. 1.1 Poprečna sila u proizvoljnom poprečnom presjeku grede numerički je jednaka algebarskom zbroju projekcija na normalu na os grede svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani presjeka koji se razmatra. Smična sila u presjeku m-n grede (Sl. 1.2, a) smatra se pozitivnim ako je rezultanta vanjskih sila s lijeve strane presjeka usmjerena prema gore, a desno - prema dolje, a negativna - u suprotnom slučaju (Sl. 1.2, b). Riža. 1.2 Pri proračunu poprečne sile u određenom presjeku, vanjske sile koje leže lijevo od presjeka uzimaju se s predznakom plus ako su usmjerene prema gore, a s predznakom minus ako su usmjerene prema dolje. Za desnu stranu grede - obrnuto. 5 Moment savijanja u proizvoljnom presjeku grede brojčano je jednak algebarskom zbroju momenata oko središnje osi z presjeka svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane presjeka koji se razmatra. Moment savijanja u m-n presjeku grede (slika 1.3, a) smatra se pozitivnim ako je rezultantni moment vanjskih sila usmjeren u smjeru kazaljke na satu od presjeka lijevo od presjeka, a suprotno od kazaljke na satu udesno, a negativan - u suprotan slučaj (slika 1.3, b). Riža. 1.3 Pri izračunavanju momenta savijanja u određenom presjeku, momenti vanjskih sila koji leže lijevo od presjeka smatraju se pozitivnim ako su usmjereni u smjeru kazaljke na satu. Za desnu stranu grede - obrnuto. Prikladno je odrediti znak momenta savijanja prirodom deformacije grede. Moment savijanja smatra se pozitivnim ako se u presjeku koji se razmatra odrezani dio grede savija konveksnošću prema dolje, tj. donja vlakna su rastegnuta. Inače je moment savijanja u presjeku negativan. Između momenta savijanja M, poprečne sile Q i intenziteta opterećenja q postoje diferencijalne ovisnosti. 1. Prva derivacija transverzalne sile po apscisi presjeka jednaka je intenzitetu raspodijeljenog opterećenja, tj. . (1.1) 2. Prva derivacija momenta savijanja po apscisi presjeka jednaka je transverzalnoj sili, tj. (1.2) 3. Druga derivacija u odnosu na apscisu presjeka jednaka je intenzitetu raspodijeljenog opterećenja, tj. (1.3) Distribuirano opterećenje usmjereno prema gore smatramo pozitivnim. Iz diferencijalnih ovisnosti između M, Q, q proizlazi niz važnih zaključaka: 1. Ako je na presjeku grede: a) poprečna sila pozitivna, tada raste moment savijanja; b) poprečna sila je negativna, tada se moment savijanja smanjuje; c) poprečna sila je nula, tada moment savijanja ima konstantnu vrijednost (čisto savijanje); 6 d) transverzalna sila prolazi kroz nulu, mijenja predznak s plusa na minus, max M M, inače M Mmin. 2. Ako na presjeku grede nema raspodijeljenog opterećenja, tada je poprečna sila konstantna, a moment savijanja se mijenja linearno. 3. Ako postoji jednoliko raspoređeno opterećenje na presjeku grede, tada se poprečna sila mijenja prema linearnom zakonu, a moment savijanja - prema zakonu kvadratne parabole, konveksne u smjeru opterećenja (u slučaj crtanja M sa strane rastegnutih vlakana). 4. U presjeku pod koncentriranom silom dijagram Q ima skok (za veličinu sile), dijagram M ima prekid u smjeru sile. 5. U presjeku gdje je primijenjen koncentrirani moment, dijagram M ima skok jednak vrijednosti tog momenta. To se ne odražava na Q dijagramu. Pri složenom opterećenju grede grade dijagrame poprečnih sila Q i momenata savijanja M. Grafički prikaz Q (M) je graf koji prikazuje zakon promjene poprečne sile (momenta savijanja) po duljini grede. Na temelju analize dijagrama M i Q utvrđuju se opasni presjeci grede. Pozitivne ordinate Q dijagrama ucrtane su prema gore, a negativne ordinate prema dolje od osnovne crte povučene paralelno s uzdužnom osi grede. Pozitivne ordinate dijagrama M su položene, a negativne ordinate ucrtane prema gore, tj. dijagram M je građen sa strane rastegnutih vlakana. Konstrukciju dijagrama Q i M za grede treba započeti definiranjem reakcija oslonca. Za gredu s jednim fiksnim krajem i drugim slobodnim krajem, iscrtavanje Q i M može se započeti od slobodnog kraja bez definiranja reakcija u ugradnji. 1.2. Konstrukcija dijagrama Q i M prema Balkovim jednadžbama podijeljena je na dijelove unutar kojih funkcije momenta savijanja i posmične sile ostaju konstantne (nemaju diskontinuiteta). Granice presjeka su točke primjene koncentriranih sila, parova sila i mjesta promjene intenziteta raspodijeljenog opterećenja. Na svakom presjeku uzet je proizvoljan presjek na udaljenosti x od ishodišta i za taj presjek sastavljene su jednadžbe za Q i M. Pomoću ovih jednadžbi izgrađeni su dijagrami Q i M. Primjer 1.1 Konstruirajte dijagrame posmičnih sila Q i savijanja momenti M za zadanu gredu (sl. 1.4a). Rješenje: 1. Određivanje reakcija oslonaca. Sastavljamo jednadžbe ravnoteže: iz kojih dobivamo Reakcije oslonaca točno su definirane. Greda ima četiri dijela Sl. 1.4 opterećenja: CA, AD, DB, BE. 2. Crtanje Q. Plot SA. Na presjeku CA 1 nacrtamo proizvoljan presjek 1-1 na udaljenosti x1 od lijevog kraja grede. Q definiramo kao algebarski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju lijevo od presjeka 1-1: znak minus je uzet jer je sila koja djeluje lijevo od presjeka usmjerena prema dolje. Izraz za Q ne ovisi o varijabli x1. Dijagram Q u ovom odjeljku bit će prikazan kao ravna linija paralelna s x-osi. Zemljište AD. Na mjestu crtamo proizvoljni presjek 2-2 na udaljenosti x2 od lijevog kraja grede. Q2 definiramo kao algebarski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju lijevo od presjeka 2-2: 8 Vrijednost Q je konstantna na presjeku (ne ovisi o varijabli x2). Dijagram Q na dijagramu je ravna linija paralelna s x-osi. DB mjesto. Na mjestu crtamo proizvoljni presjek 3-3 na udaljenosti x3 od desnog kraja grede. Q3 definiramo kao algebarski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju desno od odjeljka 3-3: Rezultirajući izraz je jednadžba nagnute ravne crte. Zemljište B.E. Na mjestu crtamo dionicu 4-4 na udaljenosti x4 od desnog kraja grede. Definiramo Q kao algebarski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju desno od presjeka 4-4: 4 Ovdje se uzima znak plus jer je rezultantno opterećenje desno od odjeljka 4-4 usmjereno prema dolje. Na temelju dobivenih vrijednosti gradimo dijagrame Q (slika 1.4, b). 3. Ucrtavanje M. Parcela m1. Moment savijanja u presjeku 1-1 definiramo kao algebarski zbroj momenata sila koje djeluju lijevo od presjeka 1-1. je jednadžba ravne linije. Odsjek A 3 Definirajte moment savijanja u odsječku 2-2 kao algebarski zbroj momenata sila koje djeluju lijevo od odsječka 2-2. je jednadžba ravne linije. Grafički prikaz DB 4 Moment savijanja u presjeku 3-3 definiramo kao algebarski zbroj momenata sila koje djeluju s desne strane presjeka 3-3. je jednadžba kvadratne parabole. 9 Pronađite tri vrijednosti na krajevima odsječka i u točki s koordinatom xk, gdje Odsjek BE 1 Definirajte moment savijanja u odsječku 4-4 kao algebarski zbroj momenata sila koje djeluju s desne strane odsječka 4- 4. - jednadžba kvadratne parabole nalazimo tri vrijednosti M4: Na temelju dobivenih vrijednosti gradimo ploču M (Sl. 1.4, c). U presjecima CA i AD ploha Q ograničena je ravnim crtama paralelnim s apscisnom osi, a u presjecima DB i BE kosim ravnim crtama. U presjecima C, A i B na dijagramu Q postoje skokovi za veličinu odgovarajućih sila, što služi kao provjera ispravnosti konstrukcije dijagrama Q. U presjecima gdje je Q 0 momenti rastu od s lijeva nadesno. U presjecima gdje je Q 0 momenti se smanjuju. Pod koncentriranim silama postoje pregibi u smjeru djelovanja sila. Ispod koncentriranog momenta nalazi se skok za vrijednost momenta. Ovo ukazuje na ispravnost crtanja M. Primjer 1.2 Konstruirajte dijagrame Q i M za gredu na dva nosača, opterećenu raspodijeljenim opterećenjem, čiji intenzitet linearno varira (slika 1.5, a). Rješenje Određivanje reakcija potpore. Rezultanta raspodijeljenog opterećenja jednaka je površini trokuta koji predstavlja dijagram opterećenja i primjenjuje se u težištu tog trokuta. Sastavljamo zbrojeve momenata svih sila u odnosu na točke A i B: Crtanje Q. Nacrtajmo proizvoljan presjek na udaljenosti x od lijevog oslonca. Ordinata dijagrama opterećenja koja odgovara presjeku određena je iz sličnosti trokuta. Rezultanta onog dijela opterećenja koji se nalazi lijevo od presjeka Posmična sila u presjeku jednaka je nuli: Dijagram Q prikazan je na smokva 1.5, b. Moment savijanja u proizvoljnom presjeku jednak je Moment savijanja mijenja se po zakonu kubne parabole: Najveća vrijednost momenta savijanja je u presjeku, gdje je 0, tj. at. 1.5, c. 1.3. Konstrukcija dijagrama Q i M po karakterističnim presjecima (točkama) Koristeći diferencijalne odnose između M, Q, q i zaključke koji iz njih proizlaze, preporučljivo je dijagrame Q i M graditi po karakterističnim presjecima (bez formuliranja jednadžbi). Koristeći ovu metodu, vrijednosti Q i M izračunavaju se u karakterističnim dijelovima. Karakteristični presjeci su granični presjeci presjeka, kao i presjeci u kojima zadani faktor unutarnje sile ima ekstremnu vrijednost. Unutar granica između karakterističnih dijelova, obris 12 dijagrama je uspostavljen na temelju diferencijalnih ovisnosti između M, Q, q i zaključaka koji iz njih proizlaze. Primjer 1.3 Konstruirajte dijagrame Q i M za gredu prikazanu na sl. 1.6, a. Riža. 1.6. Rješenje: Q i M dijagrame počinjemo crtati od slobodnog kraja grede, dok reakcije u uležnju možemo izostaviti. Greda ima tri područja opterećenja: AB, BC, CD. Na dionicama AB i BC nema raspodijeljenog opterećenja. Transverzalne sile su konstantne. Dijagram Q je ograničen ravnim linijama paralelnim s x-osi. Momenti savijanja mijenjaju se linearno. Dijagram M je ograničen na ravne linije nagnute prema x-osi. Na presjeku CD jednoliko je raspoređeno opterećenje. Transverzalne sile se mijenjaju linearno, a momenti savijanja po zakonu kvadratne parabole s konveksitetom u smjeru raspodijeljenog opterećenja. Na granici presjeka AB i BC naglo se mijenja poprečna sila. Na granici presjeka BC i CD moment savijanja se naglo mijenja. 1. Iscrtavanje Q. Izračunavamo vrijednosti poprečnih sila Q u graničnim dijelovima sekcija: Na temelju rezultata proračuna gradimo dijagram Q za gredu (slika 1, b). Iz dijagrama Q proizlazi da je poprečna sila u presjeku CD jednaka nuli u presjeku udaljenom qa a q od početka tog presjeka. U ovom dijelu moment savijanja ima najveću vrijednost. 2. Konstrukcija dijagrama M. Izračunavamo vrijednosti momenata savijanja u graničnim dijelovima odjeljaka: Primjer 1.4 Prema zadanom dijagramu momenata savijanja (sl. 1.7, a) za gredu (sl. 1.7, b), odredite djelujuća opterećenja i nacrtajte Q. Kružnica označava vrh kvadratne parabole. Rješenje: Odredite opterećenja koja djeluju na gredu. Odsječak AC je opterećen jednoliko raspodijeljenim opterećenjem, jer je dijagram M u ovom presjeku kvadratna parabola. U referentnom presjeku B na gredu je primijenjen koncentrirani moment koji djeluje u smjeru kazaljke na satu, jer na dijagramu M imamo skok prema gore za veličinu momenta. U presjeku NE greda nije opterećena, jer je dijagram M u ovom presjeku ograničen nagnutom ravnom linijom. Reakcija nosača B određena je iz uvjeta da je moment savijanja u presjeku C jednak nuli, tj. Da bismo odredili intenzitet raspodijeljenog opterećenja, sastavljamo izraz za moment savijanja u presjeku A kao zbroj momenata sile na desnoj strani i izjednačiti s nulom. Sada odredimo reakciju oslonca A. Za to ćemo sastaviti izraz za momente savijanja u presjeku kao zbroj momenata sila na lijevoj strani. Shema proračuna grede s opterećenjem prikazan je na sl. 1.7, c. Počevši od lijevog kraja grede, izračunavamo vrijednosti poprečnih sila u rubnim presjecima sekcija: Dijagram Q prikazan je na sl. 1.7, d. Razmatrani problem može se riješiti sastavljanjem funkcionalnih ovisnosti za M, Q u svakom odjeljku. Izaberimo ishodište koordinata na lijevom kraju grede. Na presjeku AC ploha M izražena je kvadratnom parabolom čija je jednadžba oblika. Konstante a, b, c nalazimo iz uvjeta da parabola prolazi kroz tri točke s poznatim koordinatama: Zamjenom koordinata točaka u jednadžbu parabole dobivamo: Izraz za moment savijanja bit će , dobivamo ovisnost za poprečnu silu Diferenciranjem funkcije Q dobivamo izraz za intenzitet raspodijeljenog opterećenja U presjeku NE , izraz za moment savijanja predstavlja se kao linearna funkcija. Za određivanje konstanti a i b koristimo uvjete da ovaj pravac prolazi kroz dvije točke čije su koordinate poznate Dobivamo dvije jednadžbe: ,b od kojih imamo 20. Jednadžba za moment savijanja u presjeku NE bit će Nakon dvostrukog diferenciranja M2, naći ćemo. Na temelju pronađenih vrijednosti M i Q gradimo dijagrame momenata savijanja i posmičnih sila za gredu. Osim raspodijeljenog opterećenja, na gredu djeluju koncentrirane sile u tri presjeka, gdje su skokovi na Q dijagramu, te koncentrirani momenti u presjeku gdje je skok na M dijagramu. Primjer 1.5 Za gredu (slika 1.8, a) odredite racionalni položaj zgloba C, pri kojem je najveći moment savijanja u rasponu jednak momentu savijanja u ugradnji (u apsolutnoj vrijednosti). Izgraditi dijagrame Q i M. Rješenje Određivanje reakcija oslonaca. Unatoč činjenici da je ukupan broj nosivih karika četiri, greda je statički determinirana. Moment savijanja u zglobu C jednak je nuli, što nam omogućuje da napravimo dodatnu jednadžbu: zbroj momenata oko zgloba svih vanjskih sila koje djeluju s jedne strane ovog zgloba jednak je nuli. Sastavite zbroj momenata svih sila desno od zgloba C. Dijagram Q za gredu ograničen je nagnutom ravnom crtom, jer je q = const. Određujemo vrijednosti poprečnih sila u rubnim presjecima grede: Apscisa xK presjeka, gdje je Q = 0, određena je iz jednadžbe odakle je Plot M za gredu ograničen kvadratnom parabolom. Izrazi za momente savijanja u presjecima, gdje je Q = 0, i u umetku zapisuju se redom na sljedeći način: Iz uvjeta jednakosti momenata dobivamo kvadratnu jednadžbu u odnosu na željeni parametar x: Realna vrijednost x2x 1 .029 m. u karakterističnim presjecima grede Slika 1.8, b prikazuje dijagram Q, a na slici. 1.8, c - dijagram M. Razmatrani problem mogao bi se riješiti dijeljenjem zglobne grede na sastavne elemente, kao što je prikazano na sl. 1.8, d. Na početku se određuju reakcije oslonaca VC i VB. Dijagrami Q i M konstruirani su za ovjesnu gredu SV iz djelovanja opterećenja koje je na nju primijenjeno. Zatim prelaze na glavnu gredu AC, opterećujući je dodatnom silom VC, koja je sila pritiska grede CB na gredu AC. Nakon toga se grade dijagrami Q i M za AC gredu. 1.4. Proračun čvrstoće za izravno savijanje greda Proračun čvrstoće za normalna i posmična naprezanja. S izravnim savijanjem grede u njegovim presjecima nastaju normalni i posmični naponi (slika 1.9). 18 sl. 1.9 Normalna naprezanja povezana su s momentom savijanja, posmična naprezanja povezana su s poprečnom silom. Kod izravnog čistog savijanja posmična naprezanja jednaka su nuli. Normalna naprezanja u proizvoljnoj točki poprečnog presjeka grede određena su formulom (1.4) gdje je M moment savijanja u zadanom presjeku; Iz je moment tromosti presjeka u odnosu na neutralnu os z; y je udaljenost od točke u kojoj je određeno normalno naprezanje do neutralne osi z. Normalna naprezanja duž visine presjeka mijenjaju se linearno i postižu najveću vrijednost u točkama koje su najudaljenije od neutralne osi Ako je presjek simetričan u odnosu na neutralnu os (sl. 1.11), zatim sl. 1.11 najveća vlačna i tlačna naprezanja su ista i određena su formulom, - aksijalni moment otpora presjeka pri savijanju. Za pravokutni presjek širine b i visine h: (1.7) Za kružni presjek promjera d: (1.8) Za prstenasti presjek su unutarnji i vanjski promjer prstena. Za grede izrađene od plastičnih materijala najracionalniji su simetrični oblici od 20 presjeka (I-greda, kutijasti, prstenasti). Za grede izrađene od krhkih materijala koji se ne odupiru jednako napetosti i pritisku, racionalni su presjeci koji su asimetrični oko neutralne osi z (ta-br., U-oblik, asimetrični I-nos). Za grede stalnog presjeka izrađene od plastičnih materijala sa simetričnim oblicima presjeka, uvjet čvrstoće se piše na sljedeći način: (1.10) gdje je Mmax najveći moment savijanja modulo; - dopušteno naprezanje za materijal. Za grede stalnog presjeka izrađene od duktilnih materijala asimetričnih oblika poprečnog presjeka uvjet čvrstoće zapisuje se u sljedećem obliku: (1.11) uvjeti čvrstoće - udaljenosti od neutralne osi do najudaljenijih točaka rastegnute i stisnute zone opasni dio, odnosno; P - dopuštena naprezanja, odnosno napetosti i kompresije. sl.1.12. 21 Ako dijagram momenta savijanja ima presjeke različitih predznaka (sl. 1.13), tada je uz provjeru odjeljka 1-1, gdje djeluje Mmax, potrebno izračunati najveća vlačna naprezanja za odjeljak 2-2 (s najveći moment suprotnog predznaka). Riža. 1.13 Uz osnovni proračun za normalna naprezanja, u nekim slučajevima potrebno je provjeriti čvrstoću grede na posmična naprezanja. Posmična naprezanja u gredama izračunavaju se formulom D. I. Zhuravskog (1.13) gdje je Q poprečna sila u razmatranom presjeku grede; Szots je statički moment oko neutralne osi područja dijela presjeka koji se nalazi s jedne strane ravne crte povučene kroz danu točku i paralelne s osi z; b je širina presjeka na razini razmatrane točke; Iz je moment tromosti cijelog presjeka oko neutralne osi z. U mnogim slučajevima najveća posmična naprezanja javljaju se na razini neutralnog sloja grede (pravokutnik, I-greda, kružnica). U takvim slučajevima, uvjet čvrstoće posmičnih naprezanja zapisan je kao, (1. 14) gdje je Qmax poprečna sila s najvećim modulom; - dopušteni smični napon za materijal. Za pravokutni presjek grede uvjet čvrstoće ima oblik (1.15) A je površina poprečnog presjeka grede. Za kružni presjek, uvjet čvrstoće je predstavljen kao (1.16) Za I-presjek, uvjet čvrstoće je zapisan na sljedeći način: (1.17) d je debljina stijenke I-grede. Obično se dimenzije presjeka grede određuju iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja. Provjera čvrstoće greda na posmična naprezanja obavezna je za kratke grede i grede bilo koje duljine, ako postoje koncentrirane sile velike veličine u blizini oslonaca, kao i za drvene, zakovane i zavarene grede. Primjer 1.6 Provjerite čvrstoću grede kutijastog presjeka (slika 1.14) za normalna i posmična naprezanja, ako je MPa. Izgradite dijagrame u opasnom dijelu grede. Riža. 1.14 Odluka 23 1. Nacrtajte Q i M plohe iz karakterističnih presjeka. Uzimajući u obzir lijevu stranu grede, dobivamo Dijagram poprečnih sila prikazan je na sl. 1.14, c. Grafički prikaz momenata savijanja prikazan je na sl. 5.14, g. 2. Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka 3. Najveća normalna naprezanja u presjeku C, gdje djeluje Mmax (modulo): MPa. Najveća normalna naprezanja u gredi praktički su jednaka dopuštenima. 4. Najveća tangencijalna naprezanja u presjeku C (ili A), gdje djeluje max Q (modulo): Ovdje je statički moment površine polupresjeka u odnosu na neutralnu os; b2 cm je širina presjeka u visini neutralne osi. Slika 5. Tangencijalni naponi u točki (u zidu) u presjeku C: Sl. 1.15 Ovdje je Szomc 834.5 108 cm3 statički moment površine dijela presjeka koji se nalazi iznad pravca koji prolazi kroz točku K1; b2 cm je debljina stijenke u koti točke K1. Dijagrami i za presjek C grede prikazani su na sl. 1.15. Primjer 1.7 Za gredu prikazanu na sl. 1.16, a, potrebno je: 1. Konstruirati dijagrame poprečnih sila i momenata savijanja duž karakterističnih presjeka (točaka). 2. Odredite dimenzije presjeka u obliku kruga, pravokutnika i I-nosača iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja, usporedite površine presjeka. 3. Provjerite odabrane dimenzije presjeka grede na posmična naprezanja. Zadano: Rješenje: 1. Odrediti reakcije oslonaca grede Provjera: 2. Nacrtati Q i M dijagrame Vrijednosti poprečnih sila u karakterističnim presjecima grede 25 Sl. 1.16 U presjecima CA i AD intenzitet opterećenja q = const. Stoga je u ovim dijelovima dijagram Q ograničen na ravne linije nagnute prema osi. U odjeljku DB, intenzitet raspodijeljenog opterećenja q \u003d 0, stoga je u ovom odjeljku dijagram Q ograničen na ravnu liniju paralelnu s osi x. Dijagram Q za gredu prikazan je na sl. 1.16b. Vrijednosti momenata savijanja u karakterističnim presjecima grede: U drugom presjeku određujemo apscisu x2 presjeka, u kojoj je Q = 0: Maksimalni moment u drugom presjeku Dijagram M za gredu prikazan je na sl. . 1.16, c. 2. Sastavljamo uvjet čvrstoće za normalna naprezanja iz kojeg određujemo potrebni modul aksijalnog presjeka iz izraza koji određuje potrebni promjer d grede kružnog presjeka Površina kružnog presjeka Za pravokutnu gredu Potrebna visina presjeka Površina pravokutnog presjeka Prema tablicama GOST 8239-89 nalazimo najbližu veću vrijednost aksijalnog momenta otpora 597 cm3, što odgovara I-gredi br. 33 s karakteristikama: A z 9840 cm4. Provjera tolerancije: (podopterećenje za 1% od dopuštenih 5%) najbliža I-greda br. 30 (W 2 cm3) dovodi do značajnog preopterećenja (više od 5%). Konačno prihvaćamo I-gredu br. 33. Uspoređujemo površine kružnih i pravokutnih presjeka s najmanjom površinom A I-grede: Od tri razmatrana presjeka, I-presjek je najekonomičniji. 3. Izračunavamo najveća normalna naprezanja u opasnom dijelu 27 I-grede (Sl. 1.17, a): Normalna naprezanja u zidu u blizini prirubnice I-presjeka grede Dijagram normalna naprezanja u opasnom dijelu grede prikazan je na sl. 1.17b. 5. Određujemo najveća posmična naprezanja za odabrane presjeke grede. a) pravokutni presjek grede: b) okruglog presjeka grede: c) presjek I-nosača: Posmična naprezanja u zidu u blizini prirubnice I-nosača u opasnom presjeku A (desno) (u točki 2): Dijagram posmičnih naprezanja u opasnim presjecima I-nosača. -greda je prikazana na sl. 1.17, in. Maksimalna posmična naprezanja u gredi ne prelaze dopuštena naprezanja. Primjer 1.8 Odredite dopušteno opterećenje grede (slika 1.18, a), ako je 60MPa, date su dimenzije presjeka (slika 1.19, a). Konstruirajte dijagram normalnih naprezanja u opasnom presjeku grede pod dopuštenim opterećenjem. Slika 1.18 1. Određivanje reakcija nosača grede. S obzirom na simetričnost sustava 2. Konstrukcija dijagrama Q i M iz karakterističnih presjeka. Smične sile u karakterističnim presjecima grede: Dijagram Q za gredu prikazan je na sl. 5.18b. Momenti savijanja u karakterističnim presjecima grede Za drugu polovicu grede ordinate M su duž osi simetrije. Dijagram M za gredu prikazan je na sl. 1.18b. 3. Geometrijske karakteristike presjeka (sl. 1.19). Dijelimo sliku na dva jednostavna elementa: I-zraku - 1 i pravokutnik - 2. Sl. 1.19 Prema asortimanu za I-nosač br. 20 imamo Za pravokutnik: Statički moment površine presjeka u odnosu na os z1 Udaljenost od osi z1 do težišta presjeka Moment tromosti presjeka relativan na glavnu središnju os z cijelog presjeka prema formulama za prijelaz na paralelne osi opasne točke "a" (Sl. 1.19) u opasnom presjeku I (Sl. 1.18): Nakon zamjene brojčanih podataka 5. S dopuštenim opterećenja u opasnom presjeku, normalna naprezanja u točkama "a" i "b" bit će jednaka: opasni presjek 1-1 prikazan je na sl. 1.19b.
10.1. Opći pojmovi i definicije
saviti se- ovo je vrsta opterećenja u kojoj je šipka opterećena momentima u ravninama koje prolaze kroz uzdužnu os šipke.
Šipka koja radi na savijanje naziva se greda (ili šipka). Ubuduće ćemo razmatrati ravne grede čiji presjek ima barem jednu os simetrije.
Kod otpora materijala savijanje je ravno, koso i složeno.
ravni zavoj- savijanje, kod kojeg sve sile koje savijaju gredu leže u jednoj od ravnina simetrije grede (u jednoj od glavnih ravnina).
Glavne ravnine tromosti grede su ravnine koje prolaze kroz glavne osi poprečnih presjeka i geometrijsku os grede (x os).
kosi zavoj- savijanje, u kojem opterećenja djeluju u jednoj ravnini koja se ne podudara s glavnim ravninama tromosti.
Složeni zavoj- savijanje, u kojem opterećenja djeluju u različitim (proizvoljnim) ravninama.
10.2. Određivanje unutarnjih sila savijanja
Razmotrimo dva karakteristična slučaja savijanja: u prvom slučaju, konzolna greda je savijena koncentriranim momentom Mo; u drugom, koncentriranom silom F.
Metodom mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za presječene dijelove grede određujemo unutarnje sile u oba slučaja:
Ostale jednadžbe ravnoteže očito su identički jednake nuli.
Dakle, u općem slučaju ravnog savijanja u presjeku grede, od šest unutarnjih sila nastaju dvije - moment savijanja Mz i sila smicanja Qy (ili kod savijanja oko druge glavne osi - moment savijanja My i transverzalna sila Qz).
U ovom slučaju, u skladu s dva razmatrana slučaja opterećenja, ravno savijanje se može podijeliti na čisto i poprečno.
Čisti zavoj- ravno savijanje, kod kojeg samo jedna od šest unutarnjih sila nastaje u presjecima štapa - moment savijanja (vidi prvi slučaj).
poprečni zavoj- savijanje, u kojem se, osim unutarnjeg momenta savijanja, pojavljuje i poprečna sila u presjecima štapa (vidi drugi slučaj).
Strogo govoreći, do jednostavne vrste otpor se odnosi samo na čisto savijanje; poprečno savijanje se uvjetno naziva jednostavnim vrstama otpora, jer se u većini slučajeva (za dovoljno duge grede) djelovanje poprečne sile može zanemariti u proračunima čvrstoće.
Pri određivanju unutarnjih sila pridržavat ćemo se sljedećeg pravila znakova:
1) poprečna sila Qy smatra se pozitivnom ako nastoji rotirati razmatrani element grede u smjeru kazaljke na satu;
2) moment savijanja Mz smatra se pozitivnim ako su, kada je element grede savijen, gornja vlakna elementa komprimirana, a donja vlakna rastegnuta (pravilo kišobrana).
Dakle, rješenje problema određivanja unutarnjih sila tijekom savijanja bit će izgrađeno prema sljedećem planu: 1) u prvoj fazi, uzimajući u obzir uvjete ravnoteže konstrukcije kao cjeline, određujemo, ako je potrebno, nepoznate reakcije oslonaca (imajte na umu da za konzolnu gredu reakcije u ugradnji mogu biti i ne mogu se naći ako gredu promatramo sa slobodnog kraja); 2) u drugoj fazi odabiremo karakteristične dijelove grede, uzimajući kao granice presjeka točke primjene sila, točke promjene oblika ili dimenzija grede, točke pričvršćivanja grede; 3) u trećoj fazi određujemo unutarnje sile u presjecima grede, uzimajući u obzir uvjete ravnoteže za elemente grede u svakom od presjeka.
10.3. Diferencijalne ovisnosti kod savijanja
Ustanovimo neke odnose između unutarnjih sila i vanjskih opterećenja pri savijanju, kao i karakteristike dijagrami Q i M, čije će poznavanje olakšati konstrukciju dijagrama i omogućiti vam kontrolu njihove ispravnosti. Radi lakšeg označavanja, označit ćemo: M≡Mz, Q≡Qy.
Dodijelimo mali element dx u presjeku grede s proizvoljnim opterećenjem na mjestu gdje nema koncentriranih sila i momenata. Kako je cijela greda u ravnoteži, tako će i element dx biti u ravnoteži pod djelovanjem na njega primijenjenih poprečnih sila, momenata savijanja i vanjskog opterećenja. Budući da Q i M općenito variraju
osi grede, tada će u presjecima elementa dx postojati poprečne sile Q i Q + dQ, kao i momenti savijanja M i M + dM. Iz uvjeta ravnoteže odabranog elementa dobivamo
Prva od dvije napisane jednadžbe daje uvjet
Iz druge jednadžbe, zanemarujući član q dx (dx/2) kao infinitezimalnu veličinu drugog reda, nalazimo
Razmatrajući izraze (10.1) i (10.2) zajedno možemo dobiti
Relacije (10.1), (10.2) i (10.3) nazivamo diferencijalnim ovisnosti D. I. Zhuravskog u savijanju.
Analiza gornjih diferencijalnih ovisnosti pri savijanju omogućuje nam da utvrdimo neke značajke (pravila) za konstruiranje dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila: a - u područjima gdje nema raspodijeljenog opterećenja q, dijagrami Q ograničeni su na ravne linije paralelne s baza, a dijagrami M su nagnute ravne linije; b - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje raspodijeljeno opterećenje q, Q dijagrami su ograničeni nagnutim ravnim linijama, a M dijagrami su ograničeni kvadratnim parabolama.
U ovom slučaju, ako dijagram M gradimo "na rastegnutom vlaknu", tada će konveksnost parabole biti usmjerena u smjeru djelovanja q, a ekstrem će se nalaziti u dijelu gdje dijagram Q siječe bazu crta; c - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje koncentrirana sila, na Q dijagramu će biti skokovi za vrijednost iu smjeru ove sile, a na M dijagramu postoje pregibi, vrh usmjeren u tom smjeru sila; d - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje koncentrirani moment, na Q dijagramu neće biti promjena, a na M dijagramu će biti skokova za vrijednost ovog momenta; e - u presjecima gdje je Q>0, moment M raste, a u presjecima gdje je Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Normalna naprezanja pri čistom savijanju ravne grede
Razmotrimo slučaj čistog planarnog savijanja grede i izvedimo formulu za određivanje normalnih naprezanja za taj slučaj.
Imajte na umu da je u teoriji elastičnosti moguće dobiti točnu ovisnost za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem rješava metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.
Postoje tri takve hipoteze za savijanje:
a - hipoteza ravnih presjeka (Bernoullijeva hipoteza) - presjeci su ravni prije deformacije i ostaju ravni nakon deformacije, ali se samo okreću oko određene linije, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom će slučaju vlakna grede, koja leže s jedne strane neutralne osi, biti rastegnuta, a s druge strane komprimirana; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju duljinu;
b - hipoteza o postojanosti normalnih naprezanja - naprezanja koja djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne osi konstantna su po širini grede;
c – hipoteza o nepostojanju bočnih pritisaka – susjedna uzdužna vlakna ne pritišću jedno drugo.
Statička strana problema
Za određivanje naprezanja u presjecima grede razmatramo prije svega statičke strane problema. Primjenom metode mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječeni dio grede nalazimo unutrašnje sile pri savijanju. Kao što je ranije pokazano, jedina unutarnja sila koja djeluje u presjeku šipke pri čistom savijanju je unutarnji moment savijanja, što znači da će se ovdje pojaviti normalna naprezanja povezana s njim.
Odnos između unutarnjih sila i normalnih naprezanja u presjeku grede nalazimo uzimajući u obzir naprezanja na elementarnom području dA, odabranom u presjeku A grede u točki s koordinatama y i z (os y je usmjerena prema dolje radi lakšeg analize):
Kao što vidimo, problem je interno statički neodređen, budući da je nepoznata priroda raspodjele normalnih naprezanja po presjeku. Da biste riješili problem, razmotrite geometrijski uzorak deformacija.
Geometrijska strana problema
Razmotrimo deformaciju grednog elementa duljine dx odabranog iz šipke za savijanje u proizvoljnoj točki s koordinatom x. Uzimajući u obzir prethodno prihvaćenu hipotezu o ravnim presjecima, nakon savijanja presjeka grede zakrenuti će se u odnosu na neutralnu os (n.r.) za kut dϕ, dok će se vlakno ab, koje je udaljeno y od neutralne osi, okrenuti u kružni luk a1b1, a njegova duljina će se promijeniti za neku veličinu. Ovdje se prisjećamo da se duljina vlakana koja leže na neutralnoj osi ne mijenja, pa stoga luk a0b0 (čiji polumjer zakrivljenosti označavamo s ρ) ima istu duljinu kao segment a0b0 prije deformacije a0b0=dx.
Nađimo relativnu linearnu deformaciju εx vlakna ab zakrivljene grede.
ravni zavoj- ovo je vrsta deformacije u kojoj se u poprečnim presjecima štapa pojavljuju dva faktora unutarnje sile: moment savijanja i poprečna sila.
Čisti zavoj- ovo je poseban slučaj izravnog savijanja, u kojem se u poprečnim presjecima štapa javlja samo moment savijanja, a poprečna sila je nula.
Primjer čistog savijanja - zaplet CD na šipku AB. Moment savijanja je vrijednost Godišnje par vanjskih sila koje uzrokuju savijanje. Iz ravnoteže dijela štapa lijevo od presjeka mn slijedi da su unutarnje sile raspoređene po ovom presjeku statički ekvivalentne momentu M, jednak i suprotan momentu savijanja Godišnje.
Da bismo pronašli raspodjelu ovih unutarnjih sila po presjeku, potrebno je uzeti u obzir deformaciju šipke.
U najjednostavnijem slučaju, štap ima uzdužnu ravninu simetrije i podvrgnut je djelovanju vanjskih parova sila savijanja koji se nalaze u ovoj ravnini. Tada će se savijanje dogoditi u istoj ravnini.
osovina šipke nn 1 je pravac koji prolazi kroz težišta njegovih presjeka.
Neka je poprečni presjek štapa pravokutnik. Na njegovim stranama nacrtajte dvije okomite crte mm I str. Kada su savijene, ove linije ostaju ravne i okreću se tako da ostaju okomite na uzdužna vlakna štapa.
Daljnja teorija savijanja temelji se na pretpostavci da ne samo linije mm I str, ali cijeli ravni presjek štapa ostaje ravan nakon savijanja i normalan na uzdužna vlakna štapa. Stoga se kod savijanja presjeci mm I str međusobno rotirati oko osi okomitih na ravninu savijanja (ravninu crtanja). U tom slučaju, uzdužna vlakna na konveksnoj strani doživljavaju napetost, a vlakna na konkavnoj strani doživljavaju kompresiju.
neutralna površina je površina koja ne doživljava deformacije tijekom savijanja. (Sada se nalazi okomito na crtež, deformiranu os šipke nn 1 pripada ovoj površini).
Neutralna presječna os- ovo je sjecište neutralne površine s bilo kojom s bilo kojim poprečnim presjekom (sada se također nalazi okomito na crtež).
Neka je proizvoljno vlakno udaljeno g s neutralne površine. ρ je radijus zakrivljenosti zakrivljene osi. Točka O je centar zakrivljenosti. Povucimo crtu n 1 s 1 paralelno mm.ss 1 je apsolutno izduženje vlakna.
Relativno proširenje ε x vlakna
Iz toga slijedi da deformacija uzdužnih vlakana proporcionalno udaljenosti g od neutralne površine i obrnuto proporcionalan polumjeru zakrivljenosti ρ .
Uzdužno izduživanje vlakana konveksne strane štapa prati bočno suženje, a uzdužno skraćivanje konkavne strane - bočno proširenje, kao u slučaju jednostavnog istezanja i skupljanja. Zbog toga se mijenja izgled svih presjeka, okomite stranice pravokutnika postaju zakošene. Bočna deformacija z:
μ - Poissonov omjer.
Kao rezultat ove distorzije, sve ravne linije presjeka paralelne su s osi z, savijeni su tako da ostanu normalni na strane presjeka. Polumjer zakrivljenosti ove krivulje R bit će više od ρ na isti način kao ε x je veći u apsolutnoj vrijednosti od ε z , i dobivamo
Ove deformacije uzdužnih vlakana odgovaraju naprezanjima
Napon u bilo kojem vlaknu proporcionalan je njegovoj udaljenosti od neutralne osi. n 1 n 2. Položaj neutralne osi i radijus zakrivljenosti ρ su dvije nepoznanice u jednadžbi za σ x - može se odrediti iz uvjeta da sile raspoređene po bilo kojem presjeku tvore par sila koji uravnotežuje vanjski moment M.
Sve navedeno vrijedi i ako štap nema uzdužnu ravninu simetrije u kojoj djeluje moment savijanja, sve dok moment savijanja djeluje u aksijalnoj ravnini, koja sadrži jedan od dva glavne osi poprečni presjek. Ovi avioni se zovu glavne ravnine savijanja.
Kada postoji ravnina simetrije i moment savijanja djeluje u toj ravnini, u njoj dolazi do otklona. Momenti unutarnjih sila oko osi z uravnotežiti vanjski moment M. Momenti napora u odnosu na os g međusobno se uništavaju.
saviti se zove se deformacija, kod koje se os štapa i sva njegova vlakna, tj. uzdužne linije paralelne s osi štapa, savijaju pod djelovanjem vanjskih sila. Najjednostavniji slučaj savijanja je kada vanjske sile leže u ravnini koja prolazi kroz središnju os štapa i ne projiciraju se na tu os. Takav slučaj savijanja nazivamo poprečnim savijanjem. Razlikovati ravni zavoj i kosi.
ravni zavoj- takav slučaj kada se savijena os štapa nalazi u istoj ravnini u kojoj djeluju vanjske sile.
Kosi (složeni) zavoj- takav slučaj savijanja, kada savijena os štapa ne leži u ravnini djelovanja vanjskih sila.
Šipka za savijanje obično se naziva greda.
Kod ravnog poprečnog savijanja greda u presjeku s koordinatnim sustavom y0x mogu se pojaviti dvije unutarnje sile - poprečna sila Q y i moment savijanja M x; u nastavku uvodimo oznaku Q I M. Ako u presjeku ili presjeku grede nema poprečne sile (Q = 0), a moment savijanja nije jednak nuli ili je M konst, tada se takav zavoj obično naziva čist.
Smična sila u bilo kojem presjeku grede numerički je jednak algebarskom zbroju projekcija na os svih sila (uključujući reakcije potpore) koje se nalaze na jednoj (bilo kojoj) strani presjeka.
Moment savijanja u presjeku grede brojčano je jednak algebarskom zbroju momenata svih sila (uključujući reakcije potpore) smještenih na jednoj strani (bilo kojoj) presjeka nacrtanog u odnosu na težište ovog presjeka, točnije, u odnosu na os prolazeći okomito na ravninu crteža kroz težište nacrtanog presjeka.
Q-sila je rezultanta raspoređeni po presjeku unutarnjeg smična naprezanja, A trenutak M– zbroj trenutaka oko središnje osi presjeka X unutarnji normalna naprezanja.
Između unutarnjih sila postoji različit odnos
koji se koristi u konstrukciji i provjeri dijagrama Q i M.
Budući da su neka vlakna grede rastegnuta, a neka stisnuta, a prijelaz iz napetosti u kompresiju odvija se glatko, bez skokova, u srednjem dijelu grede nalazi se sloj čija se vlakna samo savijaju, ali ne doživljavaju ni jedno ni drugo. napetost ili kompresija. Takav se sloj naziva neutralni sloj. Linija po kojoj se neutralni sloj siječe s presjekom grede naziva se neutralna linija th ili neutralna os odjeljci. Na osi grede nanizane su neutralne linije.
Linije nacrtane na bočnoj površini grede okomito na os ostaju ravne kada su savijene. Ovi eksperimentalni podaci omogućuju zasnivanje zaključaka formula na hipotezi ravnih presjeka. Prema ovoj hipotezi, presjeci grede su ravni i okomiti na svoju os prije savijanja, ostaju ravni i postaju okomiti na savijenu os grede kada se savija. Presjek grede je iskrivljen tijekom savijanja. Uslijed poprečne deformacije povećavaju se dimenzije poprečnog presjeka u stlačenoj zoni grede, a u vlačnoj su stlačene.
Pretpostavke za izvođenje formula. Normalna naprezanja
1) Hipoteza ravnih presjeka je ispunjena.
2) Uzdužna vlakna ne pritišću jedno drugo i stoga pod djelovanjem normalnih naprezanja djeluju linearne napetosti ili kompresije.
3) Deformacije vlakana ne ovise o njihovom položaju po širini presjeka. Posljedično, normalna naprezanja, koja se mijenjaju po visini presjeka, ostaju ista po širini.
4) Greda ima najmanje jednu ravninu simetrije i sve vanjske sile leže u toj ravnini.
5) Materijal grede pokorava se Hookeovom zakonu, a modul elastičnosti na napetost i pritisak je isti.
6) Omjeri između dimenzija grede su takvi da radi u uvjetima ravnog savijanja bez savijanja ili uvijanja.
Čistim savijanjem grede na platformama samo u svom presjeku normalna naprezanja, određeno formulom:
gdje je y koordinata proizvoljne točke presjeka, mjerena od neutralne linije - glavne središnje osi x.
Normalna naprezanja savijanja po visini presjeka raspoređena su preko linearni zakon. Na ekstremnim vlaknima normalna naprezanja postižu najveću vrijednost, au težištu su presjeci jednaki nuli.
Priroda dijagrama normalnog naprezanja za simetrične presjeke u odnosu na neutralnu liniju
Priroda dijagrama normalnog naprezanja za presjeke koji nemaju simetriju u odnosu na neutralnu liniju
Opasne točke su one koje su najudaljenije od neutralne crte.
Izaberimo neki odjeljak
Za bilo koju točku presjeka, nazovimo je točkom DO, uvjet čvrstoće grede za normalna naprezanja ima oblik:
, gdje je i.d. - Ovo neutralna os
Ovaj modul aksijalnog presjeka oko neutralne osi. Njegova dimenzija je cm 3, m 3. Moment otpora karakterizira utjecaj oblika i dimenzija poprečnog presjeka na veličinu naprezanja.
Uvjeti čvrstoće za normalna naprezanja:
Normalno naprezanje jednako je omjeru maksimalnog momenta savijanja i modula aksijalnog presjeka u odnosu na neutralnu os.
Ako se materijal nejednako odupire rastezanju i sabijanju, tada se moraju koristiti dva uvjeta čvrstoće: za zonu istezanja s dopuštenim vlačnim naprezanjem; za kompresijsku zonu s dopuštenim tlačnim naprezanjem.
Uz poprečno savijanje, grede na platformama u njegovom dijelu djeluju kao normalan, i tangente napon.
