Mikä on kuperan monikulmion kulmien summa. Lause kolmion kulmien summasta Mikä on kulmien summa

Kahdeksannella luokalla koulun geometrian tunneilla opiskelijat tutustuvat ensimmäistä kertaa kuperan monikulmion käsitteeseen. Hyvin pian he oppivat, että tällä hahmolla on erittäin mielenkiintoinen ominaisuus. Huolimatta siitä, kuinka monimutkainen se on, kuperan monikulmion kaikkien sisä- ja ulkokulmien summa saa tiukasti määritellyn arvon. Tässä artikkelissa matematiikan ja fysiikan opettaja kertoo, mikä on kuperan monikulmion kulmien summa.

Kuperan monikulmion sisäkulmien summa

Kuinka todistaa tämä kaava?

Ennen kuin siirrymme tämän väitteen todistamiseen, muistetaan, mitä monikulmiota kutsutaan kuperaksi. Monikulmiota kutsutaan kuperaksi, jos se on kokonaan sen linjan toisella puolella, joka sisältää minkä tahansa sen sivuista. Esimerkiksi tässä kuvassa näkyvä:

Jos monikulmio ei täytä ilmoitettua ehtoa, sitä kutsutaan ei-kuperaksi. Esimerkiksi näin:

Kuperan monikulmion sisäkulmien summa on , Jossa on monikulmion sivujen lukumäärä.

Tämän tosiasian todiste perustuu lauseeseen kolmion kulmien summasta, joka on kaikkien koululaisten hyvin tiedossa. Olen varma, että tunnet tämän lauseen. Kolmion sisäkulmien summa on .

Ideana on jakaa kupera monikulmio useiksi kolmioksi. Se voi olla tehty eri tavoilla. Riippuen siitä, minkä menetelmän valitsemme, todisteet ovat hieman erilaisia.

1. Jaa kupera monikulmio kolmioksi kaikilla mahdollisilla jostain kärjestä vedetyillä lävistäjillä. On helppo ymmärtää, että silloin n-kulmiomme jaetaan kolmioihin:

Lisäksi kaikkien tuloksena olevien kolmioiden kaikkien kulmien summa on yhtä suuri kuin n-kulmiemme kulmien summa. Loppujen lopuksi jokainen tuloksena olevien kolmioiden kulma on osakulma kuperassa monikulmiossamme. Eli vaadittu määrä on yhtä suuri kuin .

2. Voit myös valita pisteen kuperan monikulmion sisältä ja yhdistää sen kaikkiin pisteisiin. Sitten n-kulmiomme jaetaan kolmioihin:

Lisäksi monikulmiomme kulmien summa on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin kaikkien näiden kolmioiden kaikkien kulmien summa miinus keskikulma, joka on yhtä suuri kuin . Eli haluttu määrä on jälleen yhtä suuri kuin .

Kuperan monikulmion ulkokulmien summa

Esitetään nyt itseltämme kysymys: "Mikä on kuperan monikulmion ulkokulmien summa?" Tähän kysymykseen voidaan vastata seuraavalla tavalla. Jokainen ulkokulma on vastaavan sisäkulman vieressä. Siksi se on yhtä suuri kuin:

Silloin kaikkien ulkoisten kulmien summa on . Eli se on yhtä suuri kuin .

Se on erittäin hauska tulos. Jos laitamme sivuun peräkkäin peräkkäin minkä tahansa kuperan n-kulman ulkokulmat, niin tuloksena täsmälleen koko taso täyttyy.

Tämä mielenkiintoinen fakta voidaan havainnollistaa seuraavasti. Pienennetään suhteellisesti jonkin kuperan monikulmion kaikkia sivuja, kunnes se sulautuu pisteeksi. Tämän jälkeen kaikki ulkokulmat asetetaan sivuun toisistaan ​​ja siten täyttävät koko tason.

Mielenkiintoinen fakta, eikö? Ja geometriassa on paljon tällaisia ​​tosiasioita. Opettele siis geometriaa, rakkaat opiskelijat!

Materiaalin siitä, mikä on kuperan monikulmion kulmien summa, valmisti Sergei Valerievich

Kolmion sisäkulmien summa on 180 0 . Tämä on yksi Eukleideen geometrian perusaksioomeista. Juuri tätä geometriaa opiskelijat tutkivat. Geometria määritellään tieteeksi, joka tutkii todellisen maailman tilamuotoja.

Mikä sai muinaiset kreikkalaiset kehittämään geometrian? Tarve mitata peltoja, niittyjä - maanpinnan alueita. Samaan aikaan muinaiset kreikkalaiset hyväksyivät, että maan pinta on vaakasuora, tasainen. Tätä oletusta silmällä pitäen luotiin Eukleideen aksioomit, mukaan lukien kolmion sisäkulmien summa 180 0 :ssa.

Aksiooma on väite, joka ei vaadi todisteita. Miten tämä pitäisi ymmärtää? Ilmaistaan ​​toive, joka sopii ihmiselle, ja sitten se vahvistetaan kuvin. Mutta kaikki, mitä ei ole todistettu, on fiktiota, jotain, mikä ei ole todellisuutta.

Ottaa maanpinta vaakasuuntaisena, muinaiset kreikkalaiset ottivat automaattisesti Maan muodon litteäksi, mutta se on erilainen - pallomainen. Luonnossa ei ole lainkaan vaakasuoria tasoja ja suoria viivoja, koska painovoima taivuttaa tilaa. Suorat viivat ja vaakasuorat tasot löytyvät vain ihmisen pään aivoista.

Siksi Eukleideen geometria, joka selittää fiktiivisen maailman tilamuodot, on simulaakri - kopio, jolla ei ole alkuperäistä.

Eräs Eukleideen aksioomista väittää, että kolmion sisäkulmien summa on 180 0 . Itse asiassa todellisessa kaarevassa avaruudessa tai maan pallomaisella pinnalla kolmion sisäkulmien summa on aina suurempi kuin 180 0 .

Me perustelemme näin. Mikä tahansa maapallon meridiaani leikkaa päiväntasaajan kulmassa 90 0 . Kolmion saamiseksi sinun on siirrettävä toinen meridiaani pois pituuspiiriltä. Meridiaanien ja päiväntasaajan sivun välisen kolmion kulmien summa on 180 0 . Mutta pylväässä on silti kulma. Seurauksena on, että kaikkien kulmien summa ja on suurempi kuin 180 0.

Jos sivut leikkaavat navassa kulmassa 90 0, niin tällaisen kolmion sisäkulmien summa on 270 0. Kaksi meridiaania, jotka leikkaavat päiväntasaajaa suorassa kulmassa tässä kolmiossa, ovat yhdensuuntaisia ​​​​toistensa kanssa, ja navassa, jotka leikkaavat toisiaan 90 0 kulmassa, ne tulevat kohtisuoraksi. Osoittautuu, että kaksi samansuuntaista suoraa samassa tasossa eivät vain leikkaa, vaan voivat olla kohtisuorassa navassa.

Tällaisen kolmion sivut eivät tietenkään ole suoria viivoja, vaan kuperia, toistaen maapallon pallomaisen muodon. Mutta, juuri näin todellista maailmaa tilaa.

Todellisen tilan geometria, kun otetaan huomioon sen kaarevuus XIX vuosisadan puolivälissä. jonka on kehittänyt saksalainen matemaatikko B. Riemann (1820-1866). Mutta opiskelijoille ei kerrota siitä.

Eli euklidinen geometria, joka ottaa tasaisen maan muodon vaakasuoralla pinnalla, mikä ei todellisuudessa pidä paikkaansa, on simulaakri. Nootic - Riemannilainen geometria, joka ottaa huomioon tilan kaarevuuden. Siinä olevan kolmion sisäkulmien summa on suurempi kuin 180 0 .

Jatkoa eiliseen:

Leikimme mosaiikilla geometrian sadun kanssa:

Siellä oli kolmioita. Niin samankaltaisia, että ne ovat vain kopioita toisistaan.
He seisoivat vierekkäin suorassa linjassa. Ja koska he olivat kaikki samanpituisia -
sitten niiden yläosat olivat samalla tasolla viivaimen alla:

Kolmiot rakastivat pyörimistä ja seisomista päänsä päällä. He kiipesivät ylimpään riviin ja seisoivat nurkassa kuin akrobaatit.
Ja me tiedämme jo - kun he seisovat topit täsmälleen samassa linjassa,
sitten niiden pohjat on myös vuorattu - koska jos joku on samanpituinen, niin hän on ylösalaisin samanpituisena!

Kaikessa ne olivat samat - ja korkeus oli sama, ja pohjat olivat yksi yhteen,
ja liukuu sivuilla - toinen on jyrkempi, toinen lempeämpi - samanpituinen
ja niillä on sama kaltevuus. No, vain kaksoset! (vain eri vaatteissa, jokaisella on oma palapelinsä).

Missä kolmioilla on samat sivut? Missä kulmat ovat?

Kolmiot seisoivat päässä, seisoivat ja päättivät luisua pois ja makaamaan alimmassa rivissä.
Liukastui ja liukui alas kuin kukkula; ja diat ovat samat!
Joten ne sopivat täsmälleen alempien kolmioiden väliin, ilman rakoja, eikä kukaan painanut ketään.

Katselimme kolmioita ja huomasimme mielenkiintoisen piirteen.
Missä heidän kulmat kohtasivatkin, kaikki kolme kulmaa kohtasivat varmasti:
suurin on "kulmapää", terävin kulma ja kolmas, keskimääräinen kulma.
He jopa sidoivat värillisiä nauhoja, jotta se olisi heti havaittavissa missä se oli.

Ja kävi ilmi, että kolmion kolme kulmaa, jos yhdistät ne -
muodosta yksi iso kulma, "avoin kulma" - kuin avoimen kirjan kansi,

____________________________ O ___________________________

Sitä kutsutaan: kierretty kulma.

Mikä tahansa kolmio on kuin passi: kolme kulmaa yhdessä ovat yhtä suuria kuin suora kulma.
Joku koputtaa sinua: - kop-kop, olen kolmio, anna minun viettää yö!
Ja sinä hänelle - Näytä minulle kulmien summa laajennetussa muodossa!
Ja on heti selvää, onko tämä todellinen kolmio vai huijari.
Vahvistus epäonnistui - Käänny satakahdeksankymmentä astetta ja mene kotiin!

Kun he sanovat "käännä 180 °", se tarkoittaa kääntymistä taaksepäin ja
mennä vastakkaiseen suuntaan.

Sama tutummilla ilmaisuilla, ilman "he elivät":

Tehdään kolmion ABC rinnakkaiskäännös akselia OX pitkin
vektoria kohti AB yhtä suuri kuin kannan AB pituus.
Kolmioiden kärkien C ja C 1 kautta kulkeva suora DF
yhdensuuntainen OX-akselin kanssa, koska se on kohtisuorassa OX-akseliin nähden
janat h ja h 1 (yhtäsuurten kolmioiden korkeudet) ovat yhtä suuret.
Siten kolmion A 2 B 2 C 2 kanta on yhdensuuntainen kannan AB kanssa
ja sen pituus on yhtä suuri (koska ylempi C 1 on siirtynyt suhteessa C:hen AB:n verran).
Kolmiot A 2 B 2 C 2 ja ABC ovat yhtä suuret kolmelta sivulta.
Ja siten kulmat ∠A 1 ∠B ∠C 2, jotka muodostavat kehittyneen kulman, ovat yhtä suuret kuin kolmion ABC kulmat.
=> Kolmion kulmien summa on 180°

Liikkeiden - "lähetysten" kanssa niin sanottu todiste on lyhyempi ja selkeämpi,
palapelin palasia, jopa vauva voi ymmärtää.

Mutta perinteinen koulu:

perustuu rinnakkaisille viivoille leikattujen sisäisten ristikkäisten kulmien yhtäläisyyteen

arvokasta, koska se antaa käsityksen siitä, miksi näin on,
Miksi kolmion kulmien summa on yhtä suuri kuin kulma?

Koska muuten rinnakkaisilla viivoilla ei olisi maailmallemme tuttuja ominaisuuksia.

Lauseet toimivat molempiin suuntiin. Yhdensuuntaisten suorien aksioomasta se seuraa
poikittain makaavien ja pystysuorien kulmien yhtäläisyys, ja niistä - kolmion kulmien summa.

Mutta myös päinvastoin: niin kauan kuin kolmion kulmat ovat 180 ° - on yhdensuuntaisia ​​viivoja
(niin, että sellaisen pisteen kautta, joka ei ole suoralla, on mahdollista piirtää ainutlaatuinen viiva || annettu).
Jos jonain päivänä maailmaan ilmestyy kolmio, jonka kulmien summa ei ole yhtä suuri kuin suora kulma -
silloin rinnakkaiset lakkaavat olemasta rinnakkaisia, koko maailma kiertyy ja vinoon.

Jos raidat, joissa on kolmiokoriste, asetetaan päällekkäin -
Voit peittää koko kentän toistuvalla kuviolla, kuten laattalattialla:

voit jäljittää erilaisia ​​muotoja tällaiselle ruudukolle - kuusikulmiot, rombukset,
tähtipolygoneja ja hanki erilaisia ​​parketteja

Lentokoneen laatoitus parketilla ei ole vain viihdyttävä peli, vaan myös todellinen matemaattinen ongelma:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Koska jokainen nelikulmio on suorakulmio, neliö, rombi jne.
voi koostua kahdesta kolmiosta,
vastaavasti nelikulmion kulmien summa: 180° + 180°= 360°

Identtiset tasakylkiset kolmiot taitetaan neliöiksi eri tavoin.
Pieni neliö kahdessa osassa. Keskikokoinen 4. Ja suurin 8:sta.
Kuinka monta hahmoa on piirustuksessa, joka koostuu 6 kolmiosta?

Kolmio . Terävät, tylpät ja suorakulmaiset kolmiot.

Jalat ja hypotenuusa. Tasakylkinen ja tasakylkinen kolmio.

Kolmion kulmien summa.

Kolmion ulkokulma. Kolmioiden tasa-arvon merkit.

Upeita viivoja ja pisteitä kolmiossa: korkeudet, mediaanit,

puolittajat, mediaani e kohtisuorat, ortosentti,

painopiste, rajatun ympyrän keskipiste, piirretyn ympyrän keskipiste.

Pythagoraan lause. Mielivaltaisen kolmion kuvasuhde.

Kolmio on monikulmio, jossa on kolme sivua (tai kolme kulmaa). Kolmion sivut on usein merkitty pienillä kirjaimilla, jotka vastaavat isot kirjaimet tarkoittaa vastakkaisia ​​pisteitä.

Jos kaikki kolme kulmaa ovat teräviä ( kuva 20), niin tämä terävä kolmio . Jos yksi kulmista on oikea(C, kuva 21), tuo on suorakulmainen kolmio; sivuta, bsuoran kulman muodostavia kutsutaan jalat; puolellacpäinvastaista oikeaa kulmaa kutsutaan hypotenuusa. Jos yksi tylpät kulmat ( B, kuva 22), tuo on tylppä kolmio.


Kolmio ABC (kuva 23) - tasakylkinen, Jos kaksi sen sivut ovat yhtä suureta= c); näitä yhtäläisiä puolia kutsutaan lateraalinen, kolmatta osapuolta kutsutaan perusta kolmio. Kolmio ABC (kuva 24) - tasasivuinen, Jos Kaikki sen sivut ovat yhtä suureta = b = c). Yleisesti ( a ≠ b ≠ c) meillä on scalene kolmio .

Kolmioiden perusominaisuudet. Missä tahansa kolmiossa:

1. Isompaa puolta vastapäätä on suurempi kulma ja päinvastoin.

2. Samat kulmat ovat vastakkain yhtäläisiä puolia ja päinvastoin.

Erityisesti kaikki kulmat sisään tasasivuinen kolmio ovat yhtä suuret.

3. Kolmion kulmien summa on 180 º .

Kahdesta viimeisestä ominaisuudesta seuraa, että jokainen kulma on tasasivuisessa

kolmio on 60 º.

4. Jatkamalla yhtä kolmion sivuista (AC, kuva 25), saamme ulkoinen

kulma BCD . Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin sisäkulmien summa,

ei liity siihen :BCD=A+B.

5. Minkä tahansa kolmion sivu on pienempi kuin kahden muun sivun summa ja enemmän

heidän erojaan (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Kolmioiden tasa-arvon merkit.

Kolmiot ovat yhteneväisiä, jos ne ovat vastaavasti yhtä suuret:

a ) kaksi sivua ja niiden välinen kulma;

b ) kaksi kulmaa ja niiden vieressä oleva sivu;

c) kolme puolta.

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit.

Kaksi suorakulmainen kolmiot ovat yhteneväisiä, jos jokin seuraavista ehdoista toteutuu:

1) heidän jalkansa ovat yhtä suuret;

2) yhden kolmion jalka ja hypotenuusa ovat yhtä suuret kuin toisen jalka ja hypotenuusa;

3) yhden kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat yhtä suuria kuin toisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma;

4) toisen kolmion jalka ja viereinen terävä kulma ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion jalka ja viereinen terävä kulma;

5) yhden kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma ovat yhtä suuria kuin jalka ja vastapäätä toisen terävää kulmaa.

Upeita viivoja ja pisteitä kolmiossa.

Korkeus kolmio onkohtisuorassa,pudonnut mistä tahansa kärjestä vastakkaiselle puolelle ( tai sen jatkoa). Tätä puolta kutsutaankolmion pohja . Kolmion kolme korkeutta leikkaavat ainajossain vaiheessanimeltään ortokeskus kolmio. Akuutin kolmion ortosentti (piste O , Kuva 26) sijaitsee kolmion sisällä, jatylpän kolmion ortokeskiö (piste O , kuva 27) – ulkopuolella; Suorakulmaisen kolmion ortosentti osuu yhteen oikean kulman kärjen kanssa.

Mediaani - Tämä Jana , joka yhdistää minkä tahansa kolmion kärjen vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Kolmion kolme mediaania (AD , BE , CF , kuva 28) leikkaavat yhdessä pisteessä O , joka on aina kolmion sisällä ja olla hänen Painovoiman keskipiste. Tämä piste jakaa jokaisen mediaanin 2:1 ylhäältä.

Bisector - Tämä puolittajan segmentti kulmasta ylhäältä pisteeseen risteys vastakkaisen puolen kanssa. Kolmion kolme puolittajaa (AD , BE , CF , kuva 29) leikkaavat yhdessä pisteessä Voi, makaa aina kolmion sisällä Ja oleminen kirjoitettu ympyrän keskipiste(katso kohta "Kiinnitettyja rajatut monikulmiot).

Puolittaja jakaa vastakkaisen puolen viereisiin sivuihin verrannollisiin osiin ; esimerkiksi kuvassa 29 AE : CE = AB : BC .

Mediaani kohtisuorassa on kohtisuora, joka on vedetty keskiarvosta segmenttipisteet (sivut). Kolmion ABC kolme kohtisuoraa puolittajaa(KO , MO , NO , kuva 30 ) leikkaa yhdessä pisteessä O, joka on keskusta rajattu ympyrä (pisteet K, M, N kolmion sivujen keskipisteet ABC).

Terävässä kolmiossa tämä piste sijaitsee kolmion sisällä; tylppänä - ulkopuolella; suorakaiteen muotoisena - hypotenuusan keskellä. Ortosentti, painopiste, rajatun ja piirretyn ympyrän keskipiste kohtaavat vain tasasivuisessa kolmiossa.

Pythagoraan lause. Suorakulmaisessa kolmiossa pituuden neliöHypotenuusa on yhtä suuri kuin jalkojen pituuksien neliöiden summa.

Pythagoraan lauseen todistus ilmenee ilmeisesti kuvasta 31. Harkitse suorakulmaista kolmiota ABC jaloilla a, b ja hypotenuusa c.

Rakennetaan neliö AKMB käyttämällä hypotenuusaa AB sivuna. Sittenlaajentaa suorakulmaisen kolmion sivuja ABC jotta saadaan neliö CDEF , jonka sivu on yhtä suuria + b.Nyt on selvää, että neliön pinta-ala CDEF on ( a+b) 2 . Toisaalta tämä pinta-ala on yhtä suuri kuin summa alueilla neljä suorakulmaista kolmiota ja neliö AKMB , eli

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

täältä,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

ja lopuksi meillä on:

c 2 =a 2 +b 2 .

Mielivaltaisen kolmion kuvasuhde.

Yleisessä tapauksessa (mielivaltaiselle kolmiolle) meillä on:

c 2 =a 2 +b 2 – 2ab· cos c,

missä C - sivujen välinen kulmaa Ja b .

Todiste:

• Kolmio ABC on annettu.
• Piirrä viiva DK kärjen B läpi kannan AC suuntaisesti.
• \kulma CBK= \kulma C sisäisenä poikittain makaavana yhdensuuntaisena DK:n ja AC:n kanssa ja sekantti BC.
• \angle DBA = \angle Sisäinen poikittainen DK \rinnakkaissuuntainen AC ja sekantti AB. Kulma DBK on suora ja yhtä suuri kuin
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Koska suorakulma on 180 ^\circ , ja \angle CBK = \angle C ja \angle DBA = \angle A , saamme 180 ^\circ = \kulma A + \kulma B + \kulma C.

Lause todistettu

Kolmion kulmien summan lauseen seuraukset:

1. Suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa on 90°.
2. Tasakylkisessä suorakulmaisessa kolmiossa jokainen terävä kulma on 45°.
3. Tasasivuisessa kolmiossa jokainen kulma on 60°.
4. Missä tahansa kolmiossa joko kaikki kulmat ovat teräviä tai kaksi kulmaa ovat teräviä ja kolmas on tylpä tai suora.
5. Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin niiden kahden sisäkulman summa, jotka eivät ole sen vieressä.

Kolmion ulkokulman lause

Kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kolmion kahden jäljellä olevan kulman summa, jotka eivät ole kyseisen ulkokulman vieressä.

Todiste:

• Kolmio ABC on annettu, jossa BCD on ulkokulma.
• \kulma BAC + \kulma ABC +\kulma BCA = 180^0
• Tasa-arvoista kulma \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Saamme \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.