Mis on kumera hulknurga nurkade summa. Teoreem kolmnurga nurkade summa kohta Mis on nurkade summa

8. klassis tutvuvad õpilased koolis geomeetriatundides esimest korda kumera hulknurga mõistega. Väga kiiresti saavad nad teada, et sellel figuuril on väga huvitav omadus. Ükskõik kui keeruline see ka poleks, omandab kumera hulknurga kõigi sise- ja välisnurkade summa rangelt määratletud väärtuse. Selles artiklis räägib matemaatika ja füüsika juhendaja, mis on kumera hulknurga nurkade summa.

Kumera hulknurga sisenurkade summa

Kuidas seda valemit tõestada?

Enne selle väite tõestamise juurde asumist tuletame meelde, millist hulknurka nimetatakse kumeraks. Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see asetseb täielikult ühel pool joont, mis sisaldab selle mõnda külge. Näiteks sellel pildil näidatud:

Kui hulknurk ei vasta näidatud tingimusele, nimetatakse seda mittekumeraks. Näiteks nii:

Kumera hulknurga sisenurkade summa on , kus on hulknurga külgede arv.

Selle fakti tõestus põhineb teoreemil kolmnurga nurkade summa kohta, mis on kõigile koolilastele hästi teada. Olen kindel, et olete selle teoreemiga tuttav. Kolmnurga sisenurkade summa on .

Idee on jagada kumer hulknurk mitmeks kolmnurgaks. Seda saab teha erinevatel viisidel. Sõltuvalt sellest, millise meetodi me valime, on tõendid veidi erinevad.

1. Jaga kumer hulknurk kolmnurkadeks kõigi võimalike mõnest tipust tõmmatud diagonaalidega. On lihtne mõista, et siis jagatakse meie n-nurk kolmnurkadeks:

Pealegi on kõigi saadud kolmnurkade kõigi nurkade summa võrdne meie n-nurga nurkade summaga. Lõppude lõpuks on iga nurk saadud kolmnurkades meie kumera hulknurga osanurk. See tähendab, et nõutav summa on võrdne .

2. Samuti saab valida punkti kumera hulknurga sees ja ühendada selle kõigi tippudega. Siis jagatakse meie n-nurk kolmnurkadeks:

Veelgi enam, meie hulknurga nurkade summa on sel juhul võrdne kõigi nende kolmnurkade kõigi nurkade summaga, millest on lahutatud kesknurk, mis on võrdne . See tähendab, et soovitud summa on jälle võrdne .

Kumera hulknurga välisnurkade summa

Küsigem nüüd endalt küsimus: "Mis on kumera hulknurga välisnurkade summa?" Sellele küsimusele saab vastata järgmisel viisil. Iga välimine nurk külgneb vastava sisenurgaga. Seetõttu on see võrdne:

Siis on kõigi välisnurkade summa . See tähendab, et see on võrdne .

See on väga naljakas tulemus. Kui jätame üksteise järel kõrvale ükskõik millise kumera n-nurga kõik välisnurgad, siis täidetakse selle tulemusel täpselt kogu tasapind.

See huvitav fakt saab illustreerida järgmiselt. Vähendame proportsionaalselt mõne kumera hulknurga kõiki külgi, kuni see sulandub punktiks. Pärast seda jäetakse kõik välimised nurgad üksteisest kõrvale ja täidavad seega kogu tasapinna.

Huvitav fakt, kas pole? Ja selliseid fakte on geomeetrias palju. Nii et õppige geomeetriat, kallid õpilased!

Materjali selle kohta, millega on võrdne kumera hulknurga nurkade summa, valmistas Sergei Valerievich

Kolmnurga sisenurkade summa on 180 0 . See on üks Eukleidese geomeetria põhiaksioome. Just seda geomeetriat õpilased uurivad. Geomeetriat määratletakse kui teadust, mis uurib reaalse maailma ruumilisi vorme.

Mis ajendas iidseid kreeklasi geomeetriat arendama? Põldude, heinamaa - maapinna pindalade mõõtmise vajadus. Samal ajal tunnistasid vanad kreeklased, et Maa pind on horisontaalne, tasane. Seda eeldust silmas pidades loodi Eukleidese aksioomid, sealhulgas kolmnurga sisenurkade summa punktis 180 0 .

Aksioom on väide, mis ei vaja tõestust. Kuidas seda tuleks mõista? Avaldatakse soov, mis inimesele sobib ja seejärel kinnitatakse seda illustratsioonidega. Kuid kõik, mis pole tõestatud, on väljamõeldis, miski, mida tegelikkuses pole.

Võtmine maa pind horisontaalselt võtsid vanad kreeklased Maa kuju automaatselt lamedana, kuid see on teistsugune - sfääriline. Horisontaalseid tasapindu ja sirgeid pole looduses üldse olemas, sest gravitatsioon painutab ruumi. Sirged jooned ja horisontaalsed tasapinnad asuvad ainult inimese pea ajus.

Seetõttu on Eukleidese geomeetria, mis selgitab väljamõeldud maailma ruumivorme, simulaakrum – koopia, millel pole originaali.

Üks Eukleidese aksioomidest väidab, et kolmnurga sisenurkade summa on 180 0 . Tegelikult on reaalses kõveras ruumis ehk Maa kerapinnal kolmnurga sisenurkade summa alati suurem kui 180 0 .

Me arutleme nii. Iga meridiaan maakeral lõikub ekvaatoriga 90 0 nurga all. Kolmnurga saamiseks peate teise meridiaani meridiaanist eemale nihutama. Meridiaanide ja ekvaatori külje vahelise kolmnurga nurkade summa on 180 0 . Aga poolusse jääb ikkagi nurk. Selle tulemusena on kõigi nurkade ja summa suurem kui 180 0.

Kui küljed lõikuvad poolusel nurga all 90 0, siis on sellise kolmnurga sisenurkade summa 270 0. Kaks meridiaani, mis lõikuvad ekvaatoriga selles kolmnurgas täisnurga all, on üksteisega paralleelsed ja poolusel, mis ristuvad üksteisega 90 0 nurga all, muutuvad nad risti. Selgub, et kaks paralleelset sirget samal tasapinnal mitte ainult ei lõiku, vaid võivad olla poolusel risti.

Loomulikult ei ole sellise kolmnurga küljed sirged, vaid kumerad, korrates maakera sfäärilist kuju. Aga, just nii päris maailm ruumi.

Reaalse ruumi geomeetria, võttes arvesse selle kõverust XIX sajandi keskel. välja töötanud saksa matemaatik B. Riemann (1820-1866). Aga õpilastele sellest ei räägita.

Niisiis, eukleidiline geomeetria, mis võtab horisontaalse pinnaga tasase Maa kuju, mis tegelikult nii ei ole, on simulaakrum. Nootic – Riemanni geomeetria, mis võtab arvesse ruumi kumerust. Selles oleva kolmnurga sisenurkade summa on suurem kui 180 0 .

Eilse järge:

Mängime mosaiigiga geomeetria muinasjutu jaoks:

Seal olid kolmnurgad. Nii sarnased, et need on lihtsalt üksteise koopiad.
Nad seisid sirgjooneliselt kõrvuti. Ja kuna nad olid kõik ühepikkused -
siis olid nende tipud samal tasemel, joonlaua all:

Kolmnurgad armastasid veereda ja pea peal seista. Nad ronisid ülemisse ritta ja seisid nurga peal nagu akrobaadid.
Ja me juba teame - kui nad seisavad oma topsidega täpselt reas,
siis on nende tallad ka vooderdatud - sest kui keegi on sama pikk, siis on ta sama pikkusega tagurpidi!

Kõiges olid nad samad - ja kõrgus oli sama ja tallad olid üks ühele,
ja külgedelt libiseb - üks on järsem, teine ​​on õrnem - sama pikk
ja neil on sama kalle. Noh, ainult kaksikud! (ainult erinevates riietes, igaühel on oma pusletükk).

Kus on kolmnurkadel ühesugused küljed? Kus on nurgad?

Kolmnurgad seisid peas, seisid ja otsustasid maha libiseda ja alumisse ritta pikali heita.
Libises ja libises alla nagu mäest; ja slaidid on samad!
Nii et need sobisid täpselt alumiste kolmnurkade vahele, ilma tühikuteta ja keegi ei vajutanud kedagi.

Vaatasime kolmnurkade vahel ringi ja märkasime huvitavat tunnust.
Kus iganes nende nurgad kokku said, kohtusid kindlasti kõik kolm nurka:
suurim on "nurk-pea", kõige teravam nurk ja kolmas, keskmine nurk.
Nad sidusid isegi värvilisi paelu, et oleks kohe märgata, kus see asub.

Ja selgus, et kolmnurga kolm nurka, kui need ühendada -
moodustage üks suur nurk, "avatud nurk" - nagu avatud raamatu kaas,

_______________________O ___________________________

Nii seda nimetatakse: keeratud nurk.

Iga kolmnurk on nagu pass: kolm nurka koos võrdub sirge nurgaga.
Keegi koputab sulle: - kop-kop, ma olen kolmnurk, las ma veedan öö!
Ja sina talle - Näidake mulle laiendatud kujul nurkade summat!
Ja kohe on selge, kas see on tõeline kolmnurk või petis.
Kinnitamine ebaõnnestus – Pöörake sada kaheksakümmend kraadi ümber ja minge koju!

Kui nad ütlevad "pöörake 180 °", tähendab see, et pöörake tagurpidi ja
minna vastupidises suunas.

Sama tuttavamates väljendites, ilma "nad elasid":

Teeme kolmnurga ABC paralleeltõlke piki telge OX
vektori kohta AB võrdne aluse AB pikkusega.
Kolmnurkade tippe C ja C 1 läbiv sirge DF
paralleelselt OX-teljega, kuna see on risti OX-teljega
lõigud h ja h 1 (võrdsete kolmnurkade kõrgused) on võrdsed.
Seega on kolmnurga A 2 B 2 C 2 alus paralleelne alusega AB
ja pikkuselt võrdne sellega (kuna ülemine C 1 on nihutatud C suhtes summa AB võrra).
Kolmnurgad A 2 B 2 C 2 ja ABC on kolmel küljel võrdsed.
Ja seega on arenenud nurga moodustavad nurgad ∠A 1 ∠B ∠C 2 võrdsed kolmnurga ABC nurkadega.
=> Kolmnurga nurkade summa on 180°

Liikumiste - "saadete" puhul on nn tõestus lühem ja selgem,
pusletükkidest saab aru isegi imik.

Aga traditsiooniline kool:

põhineb paralleelsetel joontel ära lõigatud sisemiste ristnurkade võrdsusel

väärtuslik selle poolest, et annab aimu, miks see nii on,
Miks kolmnurga nurkade summa on võrdne nurgaga?

Sest muidu poleks paralleelsetel sirgetel meie maailmale tuttavaid omadusi.

Teoreemid töötavad mõlemat pidi. Paralleelsete sirgete aksioomist järeldub
risti asetsevate ja vertikaalsete nurkade võrdsus ning nendest - kolmnurga nurkade summa.

Kuid tõsi on ka vastupidine: seni, kuni kolmnurga nurgad on 180 °, on paralleelsed jooned
(nii et läbi punkti, mis ei asu joonel, on võimalik tõmmata kordumatu joon || antud).
Kui ühel päeval ilmub maailma kolmnurk, mille nurkade summa ei võrdu sirgnurgaga -
siis paralleelsed lakkavad olemast paralleelsed, kogu maailm on väändunud ja viltu.

Kui kolmnurga ornamendiga triibud asetatakse üksteise kohale -
saate kogu välja katta korduva mustriga, näiteks plaatidega põranda:

sellisel ruudustikul saate jälgida erinevaid kujundeid - kuusnurki, rombe,
tähtpolügoone ja hankida erinevaid parkette

Lennuki plaatimine parkettiga pole mitte ainult meelelahutuslik mäng, vaid ka tegelik matemaatiline probleem:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Kuna iga nelinurk on ristkülik, ruut, romb jne,
võib koosneda kahest kolmnurgast,
vastavalt nelinurga nurkade summa: 180° + 180°= 360°

Ühesugused võrdhaarsed kolmnurgad volditakse ruutudeks erineval viisil.
Väike ruut kahes osas. Keskmine 4. Ja suurim 8-st.
Mitu figuuri on joonisel, mis koosneb 6 kolmnurgast?

Kolmnurk . Terav, nüri ja täisnurkne kolmnurk.

Jalad ja hüpotenuus. Võrdhaarne ja võrdkülgne kolmnurk.

Kolmnurga nurkade summa.

Kolmnurga välimine nurk. Kolmnurkade võrdsuse märgid.

Imelised jooned ja punktid kolmnurgas: kõrgused, mediaanid,

poolitajad, mediaan e perpendikulaarid, ortotsenter,

raskuskese, piiritletud ringi keskpunkt, sissekirjutatud ringi keskpunkt.

Pythagorase teoreem. Suvalise kolmnurga kuvasuhe.

Kolmnurk on kolme küljega (või kolme nurgaga) hulknurk. Kolmnurga külgi tähistatakse sageli väikeste tähtedega, mis vastavad suured tähed mis tähistavad vastandtippe.

Kui kõik kolm nurka on teravad ( joon. 20), siis see terav kolmnurk . Kui üks nurkadest on õige(C, joonis 21), see on täisnurkne kolmnurk; küljeda, btäisnurga moodustamist nimetatakse jalad; poolcvastupidist täisnurka nimetatakse hüpotenuus. Kui üks neist nürinurgad ( B, joon.22), see on nüri kolmnurk.


Kolmnurk ABC (joonis 23) - võrdhaarne, Kui kaks selle küljed on võrdseda= c); neid võrdseid külgi nimetatakse külgmine, kutsutakse kolmas osapool alus kolmnurk. Kolmnurk ABC (joonis 24) - võrdkülgsed, Kui Kõik selle küljed on võrdseda = b = c). Üldiselt ( a ≠ b ≠ c) meil on skaleen kolmnurk .

Kolmnurkade põhiomadused. Mis tahes kolmnurgas:

1. Suurema külje vastas on suurem nurk ja vastupidi.

2. Võrdsed nurgad asetsevad võrdsete külgede vastas ja vastupidi.

Eelkõige kõik nurgad sisse võrdkülgsed kolmnurgad on võrdsed.

3. Kolmnurga nurkade summa on 180 º .

Kahest viimasest omadusest järeldub, et iga nurk on võrdkülgne

kolmnurk on 60 º.

4. Jätkates ühte kolmnurga külgedest (AC, joon. 25), saame välised

nurk BCD . Kolmnurga välisnurk on võrdne sisenurkade summaga,

pole sellega seotud :BCD=A+B.

5. Ükskõik milline kolmnurga külg on väiksem kui ülejäänud kahe külje summa ja rohkem

nende erinevused (a < b + c, a > b – c;b < a + c, b > a – c;c < a + b,c > a – b).

Kolmnurkade võrdsuse märgid.

Kolmnurgad on kongruentsed, kui need on vastavalt võrdsed:

a ) kaks külge ja nendevaheline nurk;

b ) kaks nurka ja nendega külgnev külg;

c) kolm külge.

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid.

Kaks ristkülikukujuline kolmnurgad on kongruentsed, kui on tõene üks järgmistest tingimustest:

1) nende jalad on võrdsed;

2) ühe kolmnurga jalg ja hüpotenuus on võrdsed teise jala ja hüpotenuusiga;

3) ühe kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk on võrdsed teise kolmnurga hüpotenuus ja teravnurk;

4) ühe kolmnurga säär ja sellega külgnev teravnurk on võrdsed teise kolmnurga jalaga ja sellega külgnev teravnurk;

5) ühe kolmnurga jalg ja vastassuunaline teravnurk on võrdsed jalaga ja teise teravnurga vastas.

Imelised jooned ja täpid kolmnurgas.

Kõrgus kolmnurk onristi,langes mis tahes tipust vastasküljele ( või selle jätk). Seda külge nimetataksekolmnurga alus . Kolmnurga kolm kõrgust ristuvad alatiühel hetkelhelistas ortotsenter kolmnurk. Ägeda kolmnurga ortotsenter (punkt O , joon. 26) asub kolmnurga sees janüri kolmnurga ortotsenter (punkt O , joon.27) – väljaspool; Täisnurkse kolmnurga ortotsenter langeb kokku täisnurga tipuga.

Mediaan - See joonelõik , mis ühendab kolmnurga mis tahes tipu vastaskülje keskpunktiga. Kolmnurga kolm mediaani (AD , BE , CF , joonis 28) ristuvad ühes punktis O , mis asub alati kolmnurga sees ja olla tema raskuskese. See punkt jagab iga mediaani ülevalt 2:1.

Poolitaja - See poolitaja segment nurgast ülevalt punktini ristmik vastasküljega. Kolmnurga kolm poolitajat (AD , BE , CF , joonis 29) ristuvad ühes punktis Oh, lamades alati kolmnurga sees Ja olemine sisse kirjutatud ringi keskpunkt(vt jaotist "Sissekirjutatudja piiritletud hulknurgad).

Poolitaja jagab vastaskülje osadeks, mis on proportsionaalsed külgnevate külgedega ; näiteks joonisel 29 AE: CE = AB: BC.

Keskmine risti on risti, mis on tõmmatud keskmisest segmendi punktid (küljed). Kolmnurga ABC kolm risti poolitajat(KO , MO , NO , joon.30 ) lõikuvad ühes punktis O, mis on Keskus piiritletud ring (punktid K, M, N kolmnurga külgede keskpunktid ABC).

Ägeda kolmnurga puhul asub see punkt kolmnurga sees; nüris - väljaspool; ristkülikukujulisena - hüpotenuusi keskel. Ortotsenter, raskuskese, piirijoone keskpunkt ja sissekirjutatud ringi keskpunkt langevad kokku ainult võrdkülgses kolmnurgas.

Pythagorase teoreem. Täisnurkses kolmnurgas pikkuse ruutHüpotenuus on võrdne jalgade pikkuste ruutude summaga.

Pythagorase teoreemi tõestus tuleneb ilmselgelt jooniselt 31. Mõelge täisnurksele kolmnurgale ABC jalgadega a, b ja hüpotenuus c.

Ehitame väljaku AKMB hüpotenuusi kasutades AB küljena. Siispikendada täisnurkse kolmnurga külgi ABC nii et saada ruut CDEF , mille külg on võrdnea + b.Nüüd on selge, et ruudu pindala CDEF on ( a+b) 2 . Teisest küljest see pindala on võrdne summaga alad neli täisnurkset kolmnurka ja ruudukujuline AKMB, see tähendab

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

siit,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

ja lõpuks on meil:

c 2 =a 2 +b 2 .

Suvalise kolmnurga kuvasuhe.

Üldjuhul (suvalise kolmnurga jaoks) on meil:

c 2 =a 2 +b 2 – 2ab· cos c,

kus C - nurk külgede vahela Ja b .

Tõestus:

• Kolmnurk ABC on antud.
• Joone DK läbi tipu B paralleelselt alusega AC.
• \angle CBK= \nurk C kui sisemine risti asetsemine paralleelselt DK ja AC ning sekant BC.
• \angle DBA = \angle Sisemine risti asetseb punktis DK \paralleel AC ja sekant AB. Nurk DBK on sirge ja võrdne
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Kuna sirge nurk on 180 ^\circ ja \angle CBK = \angle C ja \angle DBA = \angle A , saame 180 ^\circ = \nurk A + \nurk B + \nurk C.

Teoreem tõestatud

Kolmnurga nurkade summa teoreemi tagajärjed:

1. Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on 90°.
2. Võrdhaarses täisnurkses kolmnurgas on iga teravnurk 45°.
3. Võrdkülgse kolmnurga iga nurk on 60°.
4. Igas kolmnurgas on kõik teravnurgad või kaks teravnurka ja kolmas on nüri või täisnurk.
5. Kolmnurga välisnurk on võrdne kahe sellega mitte külgneva sisenurga summaga.

Kolmnurga välisnurga teoreem

Kolmnurga välisnurk on võrdne selle kolmnurga kahe ülejäänud nurga summaga, mis ei külgne selle välisnurgaga.

Tõestus:

• Kolmnurk ABC on antud, kus BCD on välisnurk.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Võrdsustest nurk \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Saame \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.