Inverzne funkcije, njihova svojstva i grafovi su primjeri. Koncept inverzne funkcije. Primjer: kvadratne i korijenske funkcije

Ciljevi lekcije:

edukativni:

izgraditi znanje na nova tema u skladu sa programskim materijalom;
proučavati svojstvo invertibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći funkciju inverznu datoj;

u razvoju:

razviti vještine samokontrole, predmetni govor;
savladati koncept inverzne funkcije i naučiti metode pronalaženja inverzne funkcije;

Obrazovni: formirati komunikativnu kompetenciju.

Oprema: kompjuter, projektor, platno, SMART Board interaktivna tabla, materijal ( samostalan rad) za grupni rad.

Tokom nastave.

1. Organizacioni momenat.

Target – priprema učenika za rad u učionici:

Definicija odsutnog,

Odnos učenika prema radu, organizacija pažnje;

Poruka o temi i svrsi lekcije.

2. Ažuriranje osnovnih znanja učenika. front poll.

Cilj - utvrditi ispravnost i svijest o proučavanom teorijskom gradivu, ponavljanje obrađenog gradiva.<Приложение 1 >

Za studente na interaktivna tabla prikazuje se graf funkcije. Nastavnik formuliše zadatak - razmotriti graf funkcije i navesti proučavana svojstva funkcije. Studenti navode svojstva funkcije prema projektu istraživanja. Nastavnik, desno od grafikona funkcije, zapisuje imenovana svojstva markerom na interaktivnoj tabli.

Svojstva funkcije:

Na kraju učenja, nastavnik izvještava da će se danas na času upoznati sa još jednim svojstvom funkcije - reverzibilnošću. Za sadržajno proučavanje novog gradiva, nastavnik poziva djecu da se upoznaju sa glavnim pitanjima na koja učenici moraju odgovoriti na kraju časa. Pitanja su napisana na običnoj tabli i svaki učenik ima materijal (podijeljen prije časa)

Šta je reverzibilna funkcija?
Je li svaka funkcija reverzibilna?
Koja je inverzna data funkcija?
Kako su povezani domen definicije i skup vrijednosti funkcije i njene inverzne funkcije?
Ako je funkcija data analitički, kako definirati inverznu funkciju s formulom?
Ako je funkcija data grafički, kako nacrtati njenu inverznu funkciju?

3. Objašnjenje novog materijala.

Target - formiranje znanja o novoj temi u skladu sa programskim materijalom; proučavati svojstvo invertibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći funkciju inverznu datoj; razvijati predmet.

Nastavnik izvodi prezentaciju gradiva u skladu sa materijalom iz stava. Na interaktivnoj tabli nastavnik upoređuje grafove dviju funkcija čiji su domeni definicije i skupovi vrijednosti isti, ali je jedna funkcija monotona, a druga nije, čime učenike dovodi pod koncept invertibilne funkcije. .

Nastavnik zatim formulira definiciju inverzibilne funkcije i dokazuje teoremu inverzibilne funkcije koristeći graf monotone funkcije na interaktivnoj tabli.

Definicija 1: Poziva se funkcija y=f(x), x X reverzibilan, ako uzme bilo koju od svojih vrijednosti samo u jednoj tački skupa X.

Teorema: Ako je funkcija y=f(x) monotona na skupu X, onda je inverzibilna.

dokaz:

Neka funkcija y=f(x) povećava za X pusti to x 1 ≠ x 2- dva poena seta X.
Za određenost, neka x 1< x 2.
Od čega onda x 1< x 2 sledi to f(x 1) < f(x 2).
Dakle, različite vrijednosti argumenta odgovaraju različitim vrijednostima funkcije, tj. funkcija je reverzibilna.

(Tokom dokazivanja teoreme nastavnik markerom daje sva potrebna objašnjenja na crtežu)

Prije nego što formuliše definiciju inverzne funkcije, nastavnik traži od učenika da odrede koja je od predloženih funkcija reverzibilna? Interaktivna tabla prikazuje grafikone funkcija i napisano je nekoliko analitički definisanih funkcija:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Nastavnik uvodi definiciju inverzne funkcije.

Definicija 2: Neka je invertibilna funkcija y=f(x) definisano na setu X I E(f)=Y. Uparimo svaki y od Y onda jedino značenje X, pri čemu f(x)=y. Tada dobivamo funkciju koja je definirana na Y, A X je opseg funkcije

Ova funkcija je označena x=f -1 (y) i zove se inverzna funkcija y=f(x).

Studenti su pozvani da donesu zaključak o odnosu između domene definicije i skupa vrijednosti inverznih funkcija.

Da bi razmotrio pitanje kako pronaći inverznu funkciju datog, nastavnik je uključio dva učenika. Dan ranije djeca su od učitelja dobila zadatak da samostalno analiziraju analitičke i grafičke metode za pronalaženje inverzne date funkcije. Nastavnik je bio konsultant u pripremi učenika za čas.

Poruka prvog učenika.

Napomena: monotonost funkcije je dovoljno uslov za postojanje inverzne funkcije. Ali to nije neophodno stanje.

Student je naveo primjere različitih situacija kada funkcija nije monotona, već reverzibilna, kada funkcija nije monotona i nije reverzibilna, kada je monotona i reverzibilna

Zatim učenik upoznaje studente sa metodom pronalaženja inverzne funkcije date analitički.

Algoritam pronalaženja

Provjerite je li funkcija monotona.
Izrazite x u terminima y.
Preimenujte varijable. Umjesto x \u003d f -1 (y) pišu y = f -1 (x)

Zatim rješava dva primjera za pronalaženje funkcije inverzne od datog.

Primjer 1: Pokazati da postoji inverzna funkcija za funkciju y=5x-3 i pronaći njen analitički izraz.

Rješenje. Linearna funkcija y=5x-3 je definirana na R, raste na R, a njen raspon je R. Dakle, inverzna funkcija postoji na R. Da bismo pronašli njen analitički izraz, rješavamo jednačinu y=5x-3 u odnosu na x; dobijamo Ovo je željena inverzna funkcija. Definiše se i povećava za R.

Primjer 2: Pokazati da postoji inverzna funkcija za funkciju y=x 2 , x≤0 i pronaći njen analitički izraz.

Funkcija je neprekidna, monotona u svojoj domeni definicije, dakle, invertibilna. Nakon analize domena definicije i skupa vrijednosti funkcije, dolazi se do odgovarajućeg zaključka o analitičkom izrazu za inverznu funkciju.

Drugi učenik pravi prezentaciju o grafički kako pronaći inverznu funkciju. U toku svog objašnjenja učenik koristi mogućnosti interaktivne table.

Da biste dobili grafik funkcije y=f -1 (x), inverzan funkciji y=f(x), potrebno je transformirati graf funkcije y=f(x) simetrično u odnosu na pravu liniju y=x.

Tokom objašnjenja na interaktivnoj tabli izvodi se sljedeći zadatak:

Konstruirajte graf funkcije i graf njene inverzne funkcije u istom koordinatnom sistemu. Zapišite analitički izraz za inverznu funkciju.

4. Primarna fiksacija novog materijala.

Cilj - utvrditi ispravnost i svijest o razumijevanju proučavanog gradiva, uočiti nedostatke u primarnom razumijevanju gradiva, ispraviti ih.

Učenici su podijeljeni u parove. Daju im se listovi sa zadacima u kojima rade u parovima. Vrijeme za završetak radova je ograničeno (5-7 minuta). Jedan par učenika radi na računaru, projektor je za ovo vrijeme isključen, a ostala djeca ne mogu vidjeti kako učenici rade na računaru.

Na kraju vremena (pretpostavlja se da je većina učenika završila rad), interaktivna tabla (projektor se ponovo uključuje) prikazuje rad učenika, pri čemu se tokom testa pojašnjava da je zadatak obavljen u parovi. Po potrebi nastavnik vrši korektivni, objašnjavajući rad.

Samostalni rad u parovima<Dodatak 2 >

5. Rezultat lekcije. Na pitanja koja su postavljena prije predavanja. Objava ocjena za čas.

Domaći zadatak §10. №№ 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra i počeci analize. 10. razred U 2 dijela za obrazovne ustanove (nivo profila) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova i drugi; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Odgovarajući izrazi koji se pretvaraju jedan u drugi. Da biste razumjeli šta to znači, vrijedi razmisliti konkretan primjer. Recimo da imamo y = cos(x). Ako uzmemo kosinus iz argumenta, tada možemo pronaći vrijednost y. Očigledno, za ovo morate imati x. Ali šta ako je igrač na početku dat? Ovdje dolazi do srži stvari. Za rješavanje problema potrebna je upotreba inverzne funkcije. U našem slučaju, ovo je arkosinus.

Nakon svih transformacija, dobijamo: x = arccos(y).

Odnosno, da biste pronašli funkciju inverznu datoj, dovoljno je jednostavno izraziti argument iz nje. Ali ovo funkcionira samo ako će rezultat imati jednu vrijednost (više o tome kasnije).

Općenito, ova činjenica se može napisati na sljedeći način: f(x) = y, g(y) = x.

Definicija

Neka je f funkcija čija je domena postavljena X i čija je domena postavljena Y. Tada ako postoji g čiji domeni obavljaju suprotne zadatke, onda je f reverzibilno.

Osim toga, u ovom slučaju je g jedinstven, što znači da postoji tačno jedna funkcija koja zadovoljava ovo svojstvo (ni više, ni manje). Tada se naziva inverzna funkcija, a pisano se označava na sljedeći način: g (x) = f -1 (x).

Drugim riječima, oni se mogu posmatrati kao binarni odnos. Reverzibilnost se dešava samo kada jedan element skupa odgovara jednoj vrijednosti drugoj.

Ne postoji uvijek inverzna funkcija. Da bi se to uradilo, svaki element y ê Y mora odgovarati najviše jednom x ê X. Tada se f naziva jedan prema jedan ili injekcija. Ako f -1 pripada Y, tada svaki element ovog skupa mora odgovarati nekom x ∈ X. Funkcije s ovim svojstvom nazivaju se surjekcije. Po definiciji vrijedi ako je Y slika f, ali to nije uvijek slučaj. Da bi bila inverzna, funkcija mora biti i injekcija i surjekcija. Takvi izrazi se nazivaju bijekcije.

Primjer: kvadratne i korijenske funkcije

Funkcija je definirana na . U ovom slučaju, njegov derivat

Departman za matematiku i informatiku Matematička analiza Obrazovno-metodološki kompleks za studente HPE koji studiraju uz korištenje tehnologija na daljinu Modul 4 Primjena derivata Sastavio: vanr.

Poglavlje 1. Granice i kontinuitet 1. Numerički skupovi 1 0. Realni brojevi Iz školske matematike poznajete prirodne N cijele brojeve Z racionalne Q i realne R brojeve Prirodne i cijele brojeve

Predavanje 19 DERIVAT I NJEGOVE PRIMJENE. DEFINICIJA DERIVATA. Neka imamo neku funkciju y=f(x) definiranu na nekom intervalu. Za svaku vrijednost argumenta x iz ovog intervala, funkcija y=f(x)

Diferencijalni račun Osnovni pojmovi i formule Definicija 1 Derivat funkcije u tački naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uslovom da je prirast argumenta

Tema 8. Eksponencijalne i logaritamske funkcije. 1. Eksponencijalna funkcija, njen graf i svojstva oblika y=a x,

44 Primjer Pronađite ukupni izvod kompleksne funkcije = sin v cos w gdje je v = ln + 1 w= 1 Prema formuli (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Sada nalazimo ukupni diferencijal kompleksne funkcije f

Zadaci za nezavisno rešenje. Pronađite domenu funkcije 6x. Naći tangentu ugla nagiba na x-osu tangente koja prolazi kroz tačku M (;) grafa funkcije. Pronađite tangentu ugla

Tema Numerička funkcija, njena svojstva i graf Pojam numeričke funkcije Područje definicije i skup vrijednosti funkcije Neka se zada numerički skup X Pravilo koje odgovara svakom broju X s jedinstvenim

Predavanje 23 KONVEKSNO I KONKAVNO GRAFIKA FUNKCIJE INK TAČKE Graf funkcije y = f (x) naziva se konveksan na intervalu (a; b) ako se nalazi ispod bilo koje njegove tangente na ovom intervalu Graf

Tema Teorija granica Praktična vježba Numerički nizovi Definicija numeričkog niza Ograničeni i neograničeni nizovi Monotoni nizovi Beskonačno mali

Numeričke funkcije i numerički nizovi DV Lytkina NPP, I semestar DV Lytkina (SibSUTI) Matematička analiza NPP, I semestar 1 / 35 Sadržaj 1 Numerička funkcija Pojam funkcije Numeričke funkcije.

Banka zadataka na temu "DEERIVATIVNI" čas MATEMATIKA (profil) Učenici treba da znaju/razumeju: Pojam derivacije. Definicija derivata. Teoreme i pravila za pronalaženje izvoda zbira, razlike, proizvoda

Â. A. Dalingerova matematika: funkcija trougla Udžbenik za spor, izdanje, ispravljeno i dopunjeno i dopunjeno je u nastavku

A.V. Zemlyanko Mathematics. Algebra i počeci analize Voronjež SADRŽAJ TEMA 1. GLAVNA SVOJSTVA FUNKCIJE... 6 1.1. Numerička funkcija... 6 1.2. Grafikon funkcija... 9 1.3. Pretvaranje grafova funkcija...

Predmet. Funkcija. Metode zadatka. Implicitna funkcija. Inverzna funkcija. Klasifikacija funkcija Elementi teorije skupova. Osnovni pojmovi Jedan od osnovnih pojmova moderne matematike je koncept skupa.

Neka je zadan numerički skup D R. Ako je svakom broju x D dodijeljen jedan broj y, onda kažemo da je na skupu D data numerička funkcija: y = f (x), x D. Skup D se zove

Funkcije više varijabli 11. Definicija funkcije više varijabli. Granica i kontinuitet FNP 1. Definicija funkcije više varijabli DEFINICIJA. Neka je X = ( 1 n i X i R ) U R. Funkcija

MATEMATIKA ZA SVE Yu.L.Kalinovskiy Sadržaj 1 Grafikoni funkcija. I dio ................................. 5 1.1 Uvod 5 1.1.1 Koncept skupa ... ... ................................................. 5 1.1.

Praktičan rad 6 Tema: „Potpuno proučavanje funkcija. Konstrukcija grafova ”Svrha rada: naučiti kako istraživati funkcije pomoću opšta šema i graditi grafikone. Kao rezultat rada student mora:

Poglavlje 8 Funkcije i grafikoni Varijable i zavisnosti između njih. Dvije veličine i nazivaju se direktno proporcionalne ako je njihov omjer konstantan, tj. ako je =, gdje je konstantan broj koji se ne mijenja s promjenom

PREDAVANJE 2. Operacije sa podprostorima, brojem baza, brojem baza i brojem podprostora dimenzije k. Glavni rezultati predavanja 2. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) Brojanje aviona u F 4 2.

Pitanje 5. Funkcija, načini podešavanja. Primjeri elementarnih funkcija i njihova grafika. Neka su data dva proizvoljna skupa X i Y. Funkcija je pravilo prema kojem svaki element iz skupa X može pronaći

Predavanje 4 NUMERIČKE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Pojam funkcije Načini definiranja funkcije Osnovna svojstva funkcija Kompleksna funkcija 4 Inverzna funkcija Pojam funkcije Načini definiranja funkcije Neka D

Predavanja Poglavlje Funkcije više varijabli Osnovni pojmovi Neke funkcije više varijabli su dobro poznate Dajemo nekoliko primjera Za izračunavanje površine trougla poznata je Heronova formula S

Kontinuitet funkcija Kontinuitet funkcije u tački Jednostrane granice Definicija Broj A se naziva lijevom granicom funkcije f(x) jer x teži a ako takav broj postoji za bilo koji broj

Istraživački rad Matematika "Primjena ekstremnih svojstava funkcije za rješavanje jednačina" Izvršila: Elena Gudkova, učenica 11. razreda "G" MBOU srednje škole "Anninsky Lyceum" p.g.t. Anna Head:

Federalna agencija za obrazovanje ----- SANKT PETERBURG DRŽAVNI POLITEHNIČKI UNIVERZITET AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATEMATIKA Osnovne funkcije i njihovi grafovi Obrazovni

FUNKCIJE VIŠE Varijabli Funkcije jedne nezavisne varijable ne pokrivaju sve zavisnosti koje postoje u prirodi. Stoga je prirodno proširiti i uvesti dobro poznati koncept funkcionalne zavisnosti

Funkcija Definicija funkcije Načini definiranja funkcije Karakteristike funkcije Inverzna funkcija Granica funkcije Granica funkcije u tački Jednostrane granice Granica funkcije na x Beskonačno odlična funkcija 4 Predavanje

Odjeljak Diferencijalni račun funkcija jedne i više varijabli Realni argument funkcija Realni brojevi Pozitivni cijeli brojevi nazivaju se prirodni brojevi Dodaj prirodnim brojevima

Sergei A Belyaev strana 1 Matematički minimum 1. dio Teorijski 1 Da li je definicija tačna Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim od datih brojeva

Odjeljak 2 Teorija granica Tema Numerički nizovi Definicija numeričkog niza 2 Ograničeni i neograničeni nizovi 3 Monotoni nizovi 4 Beskonačno mali i

Diferencijacija implicitne funkcije Razmotrimo funkciju (,) = C (C = const) Ova jednadžba definira implicitnu funkciju () Pretpostavimo da smo riješili ovu jednačinu i pronašli eksplicitni izraz = () Sada možemo

Test zadaci za pripremu za ISPIT iz discipline "Matematika" za studente dopisnog odsjeka Izvod funkcije y = f () naziva se: f A) B) f C) f f Ako je u nekoj okolini tačke funkcija

VARIJABLE I KONSTANTE Kao rezultat mjerenja fizičke veličine(vrijeme, površina, zapremina, masa, brzina itd.) određuju se njihove numeričke vrijednosti. Matematika se bavi količinama, rasejana

Matematička analiza Sekcija: Uvod u analizu Tema: Pojam funkcije (osnovne definicije, klasifikacija, glavne karakteristike ponašanja) Predavač Rozhkova S.V. 2012 Literatura Piskunov N.S. diferencijal

Lekcija 7 Teoreme srednje vrijednosti. L'Hôpitalovo pravilo 7. Teoreme srednje vrijednosti Teoreme srednje vrijednosti su tri teoreme: Rolle, Lagrange i Cauchy, od kojih svaka generalizira prethodnu. Ove teoreme se takođe nazivaju

Predavanje pripremila doc.

DIFERENCIJACIJA FUNKCIJA JEDNE VARIJABLE Pojam derivacije, njeno geometrijsko i fizičko značenje Problemi koji vode do pojma derivacije Definicija tangente S na pravu y f (x) u tački A x ; f(

13. Parcijalni derivati viših redova Neka = ima i definira se na D O. Funkcije i se također nazivaju parcijalnim izvodima funkcije prvog reda ili prvim parcijalnim izvodima funkcije. i uopšte

Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije OBRAZOVNA USTANOVA "GRODNO DRŽAVNI UNIVERZITET IME JANKA KUPALA" Yu.Yu. Gnezdovsky, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENCIJALNI I LOGARITAMSKI

Predavanje Poglavlje Skupovi i operacije nad njima Pojam skupa Pojam skupa se odnosi na najprimarnije pojmove matematike koji nisu definisani jednostavnijim.

Predavanje 8 Diferencijacija kompleksne funkcije Razmotrimo kompleksnu funkciju t t t f gdje je ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t

Predavanje 3 Ekstremum funkcije više varijabli Neka je u domeni D definirana funkcija više varijabli u = f (x, x), a tom domenu pripada tačka x (x, x) = Funkcija u = f ( x, x) ima

Pitanje. Nejednačine, sistem linearnih nejednakosti Razmotrimo izraze koji sadrže znak nejednakosti i varijablu:. >, - + x su linearne nejednakosti sa jednom varijablom x.. 0 - kvadratna nejednakost.

ODJELJAK ZADATAKA SA PARAMETRIMA Komentar Zadaci s parametrima su tradicionalno složeni zadaci u strukturi UPOTREBE, koji zahtijevaju od kandidata ne samo da ovlada svim metodama i tehnikama za rješavanje različitih

2.2.7. Primjena diferencijala za aproksimativne proračune. Diferencijal funkcije y = ovisi o x i jest glavni dio x inkrementi. Možete koristiti i formulu: dy d Tada apsolutna greška:

Poglavlje 6 Diferencijalni račun funkcije jedne varijable Problemi koji vode do koncepta derivacije Problem brzine neravnomjernog pravolinijskog kretanja

Prava na ravni Opšta jednadžba prave linije. Prije uvođenja opće jednačine prave linije u ravni, uvodimo opšta definicija linije. Definicija. Jednačina oblika F(x,y)=0 (1) naziva se jednačina prave L

KOMITET ZA OPĆE I STRUČNO OBRAZOVANJE LENJINGRADSKOG REGIJA

Pravila izvoda i diferencijacije Neka se funkcija y = f inkrementira y f 0 f 0 što odgovara prirastu argumenta 0 Definicija Ako postoji ograničenje omjera prirasta funkcije y i pozivaoca

Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kanatnikov, A.P. Krišenko

INVERZNE FUNKCIJE Problemi koji uključuju inverzne funkcije javljaju se u različitim granama matematike i njenim primjenama. važno područje matematičari sastavljaju inverzne probleme u teoriji integrala

Sistem zadataka na temu “Tangencijalna jednačina” Odredi predznak nagiba tangente povučene na graf funkcije y f (), u tačkama sa apscisama a, b, c a) b) Navedi tačke u kojima je izvod

Neka su skupovi $X$ i $Y$ uključeni u skup realnih brojeva. Hajde da uvedemo koncept inverzibilne funkcije.

Definicija 1

Funkcija $f:X\to Y$ koja preslikava skup $X$ u skup $Y$ naziva se invertibilnom ako za bilo koji element $x_1,x_2\in X$ slijedi iz činjenice da je $x_1\ne x_2$ da $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Sada možemo uvesti pojam inverzne funkcije.

Definicija 2

Neka je funkcija $f:X\to Y$ koja preslikava skup $X$ u skup $Y$ inverzibilna. Tada funkcija $f^(-1):Y\to X$ preslikava skup $Y$ u skup $X$ i definiše uslovom $f^(-1)\left(y\right)=x$ naziva se inverzno za $f( x)$.

Formulirajmo teoremu:

Teorema 1

Neka je definirana funkcija $y=f(x)$, monotono rastuća (opadajuća) i kontinuirana u nekom intervalu $X$. Zatim, u odgovarajućem intervalu $Y$ vrijednosti ove funkcije, ona ima inverznu funkciju, koja je također monotono rastuća (opadajuća) i kontinuirana na intervalu $Y$.

Uvedimo sada direktno pojam međusobno inverznih funkcija.

Definicija 3

U okviru definicije 2, funkcije $f(x)$ i $f^(-1)\left(y\right)$ nazivaju se međusobno inverzne funkcije.

Svojstva međusobno inverznih funkcija

Neka su funkcije $y=f(x)$ i $x=g(y)$ međusobno inverzne, tada

$y=f(g\levo(y\desno))$ i $x=g(f(x))$

Domen funkcije $y=f(x)$ jednak je domenu vrijednosti funkcije $\ x=g(y)$. A domen funkcije $x=g(y)$ jednak je domenu vrijednosti funkcije $\ y=f(x)$.

Grafovi funkcija $y=f(x)$ i $x=g(y)$ su simetrični u odnosu na pravu liniju $y=x$.

Ako se jedna od funkcija povećava (smanjuje), onda se i druga funkcija povećava (smanjuje).

Pronalaženje inverzne funkcije

Jednačina $y=f(x)$ u odnosu na varijablu $x$ je riješena.

Iz dobijenih korijena nalaze se oni koji pripadaju intervalu $X$.

Pronađeni $x$ se dodeljuju broju $y$.

Primjer 1

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x^2$ na intervalu $X=[-1,0]$

Kako je ova funkcija opadajuća i kontinuirana na intervalu $X$, onda je na intervalu $Y=$, koji je također opadajući i kontinuiran na ovom intervalu (Teorema 1).

Izračunaj $x$:

\ \

Odaberite odgovarajući $x$:

odgovor: inverzna funkcija $y=-\sqrt(x)$.

Problemi za pronalaženje inverznih funkcija

U ovom dijelu razmatramo inverzne funkcije za neke elementarne funkcije. Zadaci će se rješavati prema gore navedenoj shemi.

Primjer 2

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x+4$

Pronađite $x$ iz jednačine $y=x+4$:

Primjer 3

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=x^3$

Rješenje.

Kako je funkcija rastuća i kontinuirana na cijeloj domeni definicije, onda prema teoremi 1 ona ima inverznu kontinuiranu i rastuću funkciju na sebi.

Pronađite $x$ iz jednačine $y=x^3$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Vrijednost u našem slučaju je prikladna (pošto su opseg svi brojevi)

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

Primjer 4

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=cosx$ na intervalu $$

Rješenje.

Razmotrimo funkciju $y=cosx$ na skupu $X=\left$. Ona je kontinuirana i opadajuća na skupu $X$ i preslikava skup $X=\left$ na skup $Y=[-1,1]$, dakle, prema teoremi o postojanju inverzne kontinuirane monotone funkcije, funkcija $y=cosx$ u skupu $Y$ postoji inverzna funkcija, koja je također kontinuirana i raste u skupu $Y=[-1,1]$ i preslikava skup $[-1,1]$ na skup $\left$.

Pronađite $x$ iz jednačine $y=cosx$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

Primjer 5

Pronađite inverznu funkciju za funkciju $y=tgx$ na intervalu $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Rješenje.

Razmotrimo funkciju $y=tgx$ na skupu $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. On je kontinuiran i raste na skupu $X$ i preslikava skup $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ na skup $Y =R$, dakle, prema teoremi o postojanju inverzne kontinuirane monotone funkcije, funkcija $y=tgx$ u skupu $Y$ ima inverznu funkciju, koja je također kontinuirana i raste u skupu $Y=R $ i preslikava skup $R$ na skup $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Pronađite $x$ iz jednačine $y=tgx$:

Pronalaženje odgovarajućih vrijednosti $x$

Redefiniranjem varijabli dobijamo da inverzna funkcija ima oblik

2.Teorija inverznih funkcija

Obrnuto trigonometrijske funkcije

Definicija inverzne funkcije

Definicija. Ako funkcija f(x) specificira korespondenciju jedan-na-jedan između svoje domene X i domene Y (drugim riječima, ako bilo koja različita vrijednost argumenta odgovara različitim vrijednostima funkcije), tada kaže se da funkcija f(x) ima inverzna funkcija ili šta funkcijaf(x) je reverzibilan.

Definicija. Inverzna funkcija je pravilo da svaki broj atє At odgovara broju Xє X, i y=f(x). Područje inverzne definicije

funkcija ima skup Y, opseg - X.

Teorema o korijenu. Neka se funkcija f povećava (ili smanjuje) na intervalu I, broj a - bilo koja od vrijednosti koje f uzima na ovom intervalu. Tada jednačina f(x)=a ima jedinstveni korijen u intervalu I.

Dokaz. Razmotrimo rastuću funkciju f (u slučaju opadajuće funkcije, rezonovanje je slično). Prema pretpostavci, postoji broj b u intervalu I takav da je f(b)=a. Pokažimo da je b jedini korijen jednačine f(x)=a.

Pretpostavimo da na intervalu I postoji i broj c≠ b, tako da je f(c)=a. Onda ili sa b. Ali funkcija f raste na intervalu I, tako da je ili f(c) f(b). Ovo je u suprotnosti sa jednakošću f(c)= f(b)=a. Dakle, napravljena pretpostavka je netačna i u intervalu I, osim broja b, nema drugih korijena jednačine f(x)=a.

Teorem inverzne funkcije. Ako se funkcija f povećava (ili smanjuje) na intervalu I, tada je inverzibilna. Funkcija g inverzna prema f, definisana u opsegu od f, takođe raste (odnosno, opada).

Dokaz. Pretpostavimo radi određenosti da je funkcija f rastuća. Invertibilnost funkcije f je očigledna posljedica teoreme o korijenu. Dakle, ostaje dokazati da je funkcija g, inverzna prema f, rastuća na skupu E(f).

Neka su x 1 i x 2 proizvoljne vrijednosti iz E(f), takve da je x 2 > x 1 i neka y 1 = g (x 1), y 2 = g ( x 2 ). Po definiciji, inverzna funkcija x 1 = f (y 1) i x 2 = f (y 2).

Koristeći uslov da je f rastuća funkcija, nalazimo da pretpostavka y 1≥ y 2 dovodi do zaključka f (y 1) > f (y 2), odnosno x 1 > x 2. Ovo

protivreči pretpostavci x 2 > x 1 Dakle, y 1 > y 2, odnosno iz uslova x 2 > x 1 slijedi da je g (x 2) > g (x 1). Q.E.D.

Originalna funkcija i njena inverzna su uzajamno obrnuto.

Grafovi međusobno inverznih funkcija

Teorema. Grafovi međusobno inverznih funkcija su simetrični u odnosu na pravu liniju y=x.

Dokaz. Imajte na umu da se iz grafa funkcije f može naći numerička vrijednost funkcije g inverzne prema f u proizvoljnoj tački a. Da biste to učinili, morate uzeti tačku s koordinatom ne na horizontalnoj osi (kao što se obično radi), već na okomitoj. Iz definicije inverzne funkcije slijedi da je vrijednost g(a) jednaka b.

Da bi se graf g prikazao u uobičajenom koordinatnom sistemu, potrebno je prikazati graf f u odnosu na pravu liniju y = x.

Algoritam za kompajliranje inverzne funkcije za funkciju y=f(x), x x.

1. Uvjerite se da je funkcija y=f(x) invertibilna na X.

2. Iz jednačine y = f (x) x izraziti kroz y, uzimajući u obzir da je x ê X .

Z. U rezultirajućoj jednakosti zamijenite x i y.

2.2 Definicija, svojstva i grafovi inverzne trigonometrije

funkcije

Arcsine

Sinusna funkcija raste na intervalu i uzima sve vrijednosti od -1 do 1. Prema tome, prema teoremi korijena za bilo koji broj a, tako da
, postoji jedan korijen jednačine sin x = a u intervalu. Ovaj broj se naziva arcsin broja a i označava se arcsin a.

Definicija. Arksinus broja a, gdje , je takav broj iz segmenta, čiji je sinus jednak a.

Svojstva.

D(y) = [ -1;1 ]

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) = arcsin (-x) = - arcsin x - neparna funkcija, graf je simetričan u odnosu na tačku O (0; 0).

arcsin x = 0 na x = 0.

arcsin x > 0 na x ê (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y = arcsin x se povećava za bilo koji x ê [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Arc kosinus

Kosinusna funkcija opada na segmentu i poprima sve vrijednosti od -1 do 1. Dakle, za bilo koji broj a takav da je |a|1, postoji jedan korijen u jednadžbi cosx=a na segmentu. Ovaj broj u naziva se arkosinus broja a i označava se arcos a.

Definicija . Lučni kosinus broja a, gdje je -1 a 1, je broj iz segmenta čiji je kosinus jednak a.

Svojstva.

E(y) =
y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funkcija nije ni parna ni neparna.
arccos x = 0 na x = 1
arccos x > 0 na x ê [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y = arccos x se smanjuje za bilo koji x ê [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - opadajući.

Arktangent

Tangentna funkcija raste na segmentu -
, dakle, prema teoremi o korijenu, jednadžba tgx \u003d a, gdje je a bilo koji realan broj, ima jedinstveni korijen x na intervalu -. Ovaj korijen naziva se arc tangent broja a i označava se sa arctga.

Definicija. Arc tangent broja aR ovaj broj se zove x , čija je tangenta a.

Svojstva.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) = y = arctg (-x) = - arctg x - funkcija je neparna, graf je simetričan u odnosu na tačku O (0; 0).

arctg x = 0 na x = 0

Funkcija raste za bilo koje x ê R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Arc tangent

Kotangentna funkcija na intervalu (0;) opada i poprima sve vrijednosti iz R. Dakle, za bilo koji broj a u intervalu (0;) postoji jedan korijen jednadžbe ctg x \u003d a. Ovaj broj a naziva se arc tangent broja a i označava se sa arcctg a.

Definicija. Tangens luka broja a, gdje je a R, je takav broj iz intervala (0;) , čiji je kotangens a.

Svojstva.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funkcija nije ni parna ni neparna.

arcctg x = 0- ne postoji.

Funkcija y = arcctg x smanjuje se za bilo koje hê R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funkcija je neprekidna za bilo koje x ê R.

2.3 Transformacije identiteta izraza koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije

Primjer 1. Pojednostavite izraz:

A)
Gdje

Rješenje. Hajde da stavimo
. Onda
I
Naći
, koristimo relaciju
Dobijamo
Ali . Na ovom segmentu kosinus uzima samo pozitivne vrijednosti. dakle,
, to je
Gdje
.

Rješenje.

Rješenje. Hajde da stavimo
. Onda
I
Hajde da prvo pronađemo, za šta koristimo formulu
, gdje
Pošto kosinus na ovom intervalu uzima samo pozitivne vrijednosti
.