Yhden muuttujan funktioiden teoria. Matemaattinen analyysi. Yhden muuttujan funktioteoria Matemaattinen analyysi luennot 1 kurssi 1 lukukausi verkossa

Kysymyksiä kokeeseen "Matemaattinen analyysi", 1. vuosi, 1. lukukausi.

1. Sarjat. Perustoiminnot sarjassa. Metriset ja aritmeettiset avaruudet.

2. Numeeriset sarjat. Lukuviivan joukot: segmentit, intervallit, puoliakselit, lähialueet.

3. Rajallisen joukon määritelmä. Numeeristen joukkojen ylä- ja alarajat. Postulaatit numeeristen joukkojen ylä- ja alarajoista.

4. Matemaattisen induktion menetelmä. Bernoullin ja Cauchyn epätasa-arvo.

5. Toiminnon määritelmä. Funktiokaavio. Parilliset ja parittomat funktiot. Jaksottaiset toiminnot. Tapoja asettaa toiminto.

6. Sekvenssirajoitus. Konvergenttien sekvenssien ominaisuudet.

7. rajoitetut sekvenssit. Lause jonon divergenssin riittävästä ehdosta.

8. Monotonisen sekvenssin määritelmä. Weierstrassin monotoninen sekvenssilause.

9. Numero e.

10. Funktion raja pisteessä. Funktion raja äärettömässä. Yksipuoliset rajat.

11. Äärimmäisen pienet toiminnot. Summa-, tulo- ja osamääräfunktioiden raja.

12. Lauseet epäyhtälöiden stabiilisuudesta. Epätasa-arvojen rajan ylitys. Lause kolmesta funktiosta.

13. Ensimmäinen ja toinen upea raja.

14. Loputtomasti hienoja ominaisuuksia ja niiden suhde äärettömän pieniin funktioihin.

15. Infinitesimaalien funktioiden vertailu. Vastaavien infinitesimaalien ominaisuudet. Lause infinitesimaalien korvaamisesta vastaavilla. Perusvastaavuudet.

16. Funktion jatkuvuus pisteessä. Toiminnot jatkuvilla toiminnoilla. Perustoimintojen jatkuvuus.

17. Funktion rajapisteiden luokittelu. Laajennus jatkuvuuden mukaan

18. Monimutkaisen funktion määritelmä. Monimutkaisen funktion raja. Monimutkaisen funktion jatkuvuus. Hyperboliset toiminnot

19. Segmentin funktion jatkuvuus. Cauchyn lauseet funktion katoamisesta jatkuvasta intervallista ja funktion väliarvosta.

20. Segmentillä jatkuvien funktioiden ominaisuudet. Weierstrassin lause jatkuvan funktion rajallisuudesta. Weierstrassin lause funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

21. Monotonisen funktion määritelmä. Weierstrassin lause monotonisen funktion rajasta. Lause funktion arvojoukosta, joka on monotoninen ja jatkuva intervalleilla.

22. Käänteinen funktio. Ajoittaa käänteinen funktio. Lause käänteisfunktion olemassaolosta ja jatkuvuudesta.

23. Käänteiset trigonometriset ja hyperboliset funktiot.

24. Funktion derivaatan määritelmä. Alkeisfunktioiden johdannaiset.

25. Differentioituvan funktion määritelmä. Tarpeellinen ja riittävä ehto funktion differentiaatiolle. Differentioituvan funktion jatkuvuus.

26. Derivaatan geometrinen merkitys. Funktion kaavion tangentin ja normaalin yhtälö.

27. Kahden funktion summan, tulon ja osamäärän derivaatta

28. Yhdistelmäfunktion ja käänteisfunktion derivaatta.

29. Logaritminen differentiaatio. Parametrisesti annetun funktion derivaatta.

30. Pääosa funktiosta kasvaa. Funktioiden linearisointikaava. Differentiaalin geometrinen merkitys.

31. Yhdistelmäfunktion differentiaali. Differentiaalimuodon muuttumattomuus.

32. Rollen, Lagrangen ja Cauchyn lauseet differentioituvien funktioiden ominaisuuksista. Äärillisten lisäysten kaava.

33. Johdannaisen soveltaminen sisäisten epävarmuustekijöiden paljastamiseen. L'Hopitalin sääntö.

34. Johdannainen määritelmä n:s järjestys. Säännöt n:nnen kertaluvun derivaatan löytämiseksi. Leibnizin kaava. Korkeamman asteen erot.

35. Taylor-kaava ja lopputermi Peano-muodossa. Jäännöstermit Lagrangen ja Cauchyn muodossa.

36. Lisätään ja vähennetään toimintoja. ääripisteet.

37. Funktion kupera ja koveruus. Käännepisteet.

38. Loputtomat toimintokatkot. Asymptootit.

39. Kaavio funktiokaavion piirtämiseksi.

40. Määritelmä antiderivatiivinen. Antijohdannaisen tärkeimmät ominaisuudet. Yksinkertaisimmat integrointisäännöt. Yksinkertaisten integraalien taulukko.

41. Integrointi muuttujan muutoksella ja integroinnin kaava määrittelemättömän integraalin osien mukaan.

42. Muodon ilmaisujen integrointi e ax cos bx ja e ax sin bx käyttäen rekursiivisia suhteita.

44. Rationaalisen funktion epämääräinen integraali. Yksinkertaisten murtolukujen integrointi.

45. Rationaalisen funktion epämääräinen integraali. Oikeiden jakeiden hajottaminen yksinkertaisiksi.

46. Irrationaalisen funktion määrittelemätön integraali. Ilmaisujen integrointi

47. Irrationaalisen funktion epämääräinen integraali. Muotoa R x , ax 2 bx c olevien lausekkeiden integrointi . Eulerin vaihdot.

49. Irrationaalisen funktion määrittelemätön integraali. Binomidifferentiaalien integrointi.

50. Trigonometristen lausekkeiden integrointi. Universaali trigonometrinen substituutio.

51. Rationaalisten trigonometristen lausekkeiden integrointi siinä tapauksessa, että integrandi on pariton sinin suhteen x (tai cos x ) tai jopa sin x:n ja cos x:n suhteen.

52. Ilmaisujen integrointi sin n x cos m x ja sin n x cos mx .

53. Ilmaisujen integrointi tg m x ja ctg m x .

54. Ilmaisujen integrointi Rx, x2a2, Rx, a2x2 ja Rx, x2a2 käyttämällä trigonometrisiä substituutioita.

55. Varma integraali. Kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alan laskemisen ongelma.

56. kokonaissummat. Darboux-summat. Lause määrätyn integraalin olemassaolon ehdosta. Integroitavien funktioiden luokat.

57. Määrätyn integraalin ominaisuudet. Lauseet keskiarvosta.

58. Tarkka integraali ylärajan funktiona. Kaava Newton-Leibniz.

59. Muuttujan kaavan ja integroinnin kaavan muutos määrätyssä integraalissa.

60. Integraalilaskennan soveltaminen geometriaan. Figuurin tilavuus. Pyörimislukujen tilavuus.

61. Integraalilaskennan soveltaminen geometriaan. Tasohahmon pinta-ala. Kaareva sektorin alue. Käyrän pituus.

62. Ensimmäisen tyypin virheellisen integraalin määritelmä. Kaava Newton-Leibniz ensimmäisen tyyppisille väärille integraaleille. Yksinkertaisimmat ominaisuudet.

63. Ensimmäisen tyyppisten virheellisten integraalien konvergenssi positiiviselle funktiolle. 1. ja 2. vertailulause.

64. Vaihtelevan funktion ensimmäisen tyypin virheellisten integraalien absoluuttinen ja ehdollinen konvergenssi. Abelin ja Dirichletin lähentymiskriteerit.

65. Toisen tyyppisen virheellisen integraalin määritelmä. Kaava Newton-Leibniz toisen tyyppisille väärille integraaleille.

66. Virheellisten integraalien kytkentä 1. ja 2. laji. Virheelliset integraalit pääarvon merkityksessä.

Anna muuttujan x n ottaa äärettömän arvosarjan

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

ja muuttujan muutoslaki tunnetaan x n, eli jokaiselle luonnolliselle luvulle n voit määrittää vastaavan arvon x n. Näin ollen oletetaan, että muuttuja x n on funktio n:

x n = f(n)

Määritellään yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä - sekvenssin raja, tai mikä on sama, muuttujan raja x n juokseva sekvenssi x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Määritelmä. vakio numero a nimeltään järjestysrajoitus x 1 , x 2 , ..., x n , ... . tai muuttujan raja x n, jos mielivaltaisen pienelle positiiviselle luvulle e on olemassa sellainen luonnollinen luku N(eli numero N), että kaikki muuttujan arvot x n, Alkaen x N, erota a itseisarvoltaan pienempi kuin e. Tämä määritelmä lyhyesti kirjoitettuna näin:

| x n - a |< (2)

kaikille n  N, tai mikä on sama,

Cauchyn rajan määritelmä. Lukua A kutsutaan funktion f (x) rajaksi pisteessä a, jos tämä funktio on määritelty jossain pisteen a läheisyydessä, paitsi ehkä itse piste a, ja jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että kaikille x:lle ehdon |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Heinen rajan määritelmä. Lukua A kutsutaan funktion f (x) rajaksi pisteessä a, jos tämä funktio on määritelty jossain pisteen a läheisyydessä, paitsi ehkä itse piste a ja mikä tahansa sellainen sekvenssi, konvergoimalla numeroon a, funktion vastaava arvosarja konvergoi numeroon A.

Jos funktiolla f(x) on raja pisteessä a, tämä raja on yksikäsitteinen.

Lukua A 1 kutsutaan funktion f (x) vasemmaksi rajaksi pisteessä a, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa δ >

Lukua A 2 kutsutaan funktion f (x) oikeaksi rajaksi pisteessä a, jos jokaisella ε > 0:lla on δ > 0 siten, että epäyhtälö

Vasemmanpuoleinen raja on merkitty oikeanpuoleiseksi rajaksi - Nämä rajat kuvaavat funktion käyttäytymistä pisteen a vasemmalla ja oikealla puolella. Niitä kutsutaan usein yksisuuntaisiksi rajoituksiksi. Yksipuolisten rajojen merkitsemisessä x → 0 ensimmäinen nolla yleensä jätetään pois: ja . Toiminnon puolesta siis

Jos jokaiselle ε > 0:lle on olemassa pisteen a δ-naapuruus niin, että kaikille ehdon |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, niin sanomme, että funktiolla f (x) on ääretön raja pisteessä a:

Siten funktiolla on ääretön raja pisteessä x = 0. Usein erotetaan rajat, jotka ovat +∞ ja –∞. Niin,

Jos jokaiselle ε > 0:lle on olemassa δ > 0, jolloin mille tahansa x > δ:lle epäyhtälö |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Vähimmän ylärajan olemassaololause

Määritelmä: AR mR, m - A:n ylempi (alempi) pinta, jos аА аm (аm).

Määritelmä: Joukko A on rajoitettu ylhäältä (alhaalta), jos on olemassa m sellainen, että аА, niin аm (аm) täyttyy.

Määritelmä: SupA=m, jos 1) m - A:n yläraja

2) m': m' m' ei ole A:n yläpinta

InfA = n, jos 1) n on A:n infimumi

2) n': n'>n => n' ei ole A:n infimmi

Määritelmä: SupA=m on luku, joka: 1)  aA am

2) >0 a  A siten, että a  a-

InfA = n kutsutaan numeroksi, jollainen:

2) >0 a  A siten, että a E a+

Lause: Jokaisella ylhäältä rajatulla ei-tyhjällä joukolla АR on paras yläraja, ja siinä on ainutlaatuinen.

Todiste:

Rakennamme luvun m todelliselle suoralle ja todistamme, että tämä on A:n pienin yläraja.

[m]=max([a]:aA) [[m], [m]+1]A=>[m]+1 - A:n yläpinta

Segmentti [[m], [m]+1] - jaettu 10 osaan

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m to =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - yläpinta A

Osoitetaan, että m=[m],m 1 ...m K on pienin yläraja ja että se on yksikäsitteinen:

vastaanottaja: .

Riisi. 11. Kuvaaja funktiosta y arcsin x.

Otetaan nyt käyttöön monimutkaisen funktion käsite ( näyttää koostumuksia). Olkoon kolme joukkoa D, E, M ja olkoon f: D→E, g: E→M. On selvää, että on mahdollista rakentaa uusi kuvaus h: D→M, jota kutsutaan kuvausten f ja g koostumukseksi tai kompleksifunktioksi (kuva 12).

Kompleksifunktio merkitään seuraavasti: z =h(x)=g(f(x)) tai h = f o g.

Riisi. 12. Kuva kompleksisen funktion käsitteelle.

Funktiota f (x) kutsutaan sisäinen toiminto ja funktio g ( y ) - ulkoinen toiminto.

1. Sisäinen funktio f (x) = x², ulkoinen g (y) sin y. Kompleksifunktio z= g(f(x))=sin(x²)

2. Nyt päinvastoin. Sisäfunktio f (x)= sinx, ulompi g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)