در خم شدن مداوم روی آنها. حل مسائل معمولی در مورد استحکام مواد. نمونه ای از کار برای یک خم مستقیم - یک طرح طراحی

فرضیه مقاطع مسطح در خمشمی توان با یک مثال توضیح داد: بیایید یک شبکه بر روی سطح جانبی یک تیر تغییر شکل نیافته اعمال کنیم که از خطوط مستقیم طولی و عرضی (عمود بر محور) تشکیل شده است. در نتیجه خمش تیر، خطوط طولی شکل منحنی به خود می گیرند، در حالی که خطوط عرضی عملاً مستقیم و عمود بر محور خم تیر می مانند.

تدوین فرضیه مقطع مسطح: مقاطع عرضی، صاف و عمود بر محور تیر قبل از تغییر شکل آن صاف و عمود بر محور منحنی باقی می ماند.

این شرایط نشان می دهد که وقتی فرضیه مقطع مسطح، همانطور که با و

علاوه بر فرضیه مقاطع مسطح، فرضی نیز وجود دارد: الیاف طولی تیر هنگام خم شدن به یکدیگر فشار نمی آورند.

فرضیه مقاطع مسطح و فرض نامیده می شود حدس برنولی.

تیری از مقطع مستطیلی را در نظر بگیرید که خمش خالص را تجربه می کند (). بیایید یک عنصر تیر با طول را انتخاب کنیم (شکل 7.8. a). در نتیجه خم شدن، مقاطع عرضی تیر می چرخد ​​و یک زاویه تشکیل می دهد. الیاف بالایی در حالت فشرده و الیاف پایینی در حالت کشش قرار دارند. شعاع انحنای فیبر خنثی با نشان داده می شود.

ما به طور مشروط در نظر می گیریم که الیاف طول خود را تغییر می دهند، در حالی که مستقیم باقی می مانند (شکل 7.8. b). سپس ازدیاد طول مطلق و نسبی فیبر، با فاصله y از فیبر خنثی:

اجازه دهید نشان دهیم که الیاف طولی، که در طول خمش تیر، کشش یا فشاری را تجربه نمی کنند، از محور مرکزی اصلی x عبور می کنند.

از آنجایی که طول تیر در طول خمش تغییر نمی کند، نیروی طولی (N) ایجاد شده در مقطع باید صفر باشد. نیروی طولی اولیه

با توجه به بیان :

ضریب را می توان از علامت انتگرال خارج کرد (به متغیر انتگرال بستگی ندارد).

عبارت نشان دهنده سطح مقطع تیر نسبت به محور x خنثی است. هنگامی که محور خنثی از مرکز ثقل مقطع عبور می کند، صفر است. در نتیجه، محور خنثی (خط صفر) هنگامی که تیر خم می شود از مرکز ثقل مقطع عبور می کند.

بدیهی است: ممان خمشی با تنش های معمولی که در نقاط مقطع میله ایجاد می شود همراه است. گشتاور خمشی اولیه ایجاد شده توسط نیروی عنصری:

,

که در آن ممان محوری اینرسی سطح مقطع حول محور خنثی x است و نسبت انحنای محور تیر است.

سختی تیرها در خم شدن(هرچه بزرگتر باشد، شعاع انحنای کوچکتر است).

فرمول حاصل نشان می دهد قانون هوک در خم شدن میله: لنگر خمشی رخ داده در مقطع با انحنای محور تیر متناسب است.

بیان از فرمول قانون هوک برای میله در هنگام خم کردن شعاع انحنا () و جایگزینی مقدار آن در فرمول ، فرمول تنش های معمولی () را در یک نقطه دلخواه از مقطع تیر با فاصله y از محور خنثی x بدست می آوریم: .

در فرمول تنش های نرمال () در یک نقطه دلخواه از مقطع تیر، مقادیر مطلق لنگر خمشی () و فاصله از نقطه تا محور خنثی (مختصات y) باید جایگزین شوند. اینکه تنش در یک نقطه معین کششی یا فشاری خواهد بود، به راحتی می توان با توجه به ماهیت تغییر شکل تیر یا نمودار لنگرهای خمشی، که مختصات آن از سمت الیاف فشرده شده تیر رسم می شود، تعیین کرد.

از فرمول می توانید ببینید: استرس های عادی() تغییر در امتداد ارتفاع مقطع تیر طبق یک قانون خطی. روی انجیر 7.8، نمودار نشان داده شده است. بیشترین تنش ها در طول خمش تیر در نقاط دورتر از محور خنثی رخ می دهد. اگر خطی در مقطع تیر به موازات محور خنثی x رسم شود، تنش های معمولی یکسان در تمام نقاط آن ایجاد می شود.

تحلیل ساده نمودارهای استرس طبیعینشان می دهد که وقتی پرتو خم می شود، ماده واقع در نزدیکی محور خنثی عملاً کار نمی کند. بنابراین، برای کاهش وزن تیر، توصیه می شود که اشکال مقطعی را انتخاب کنید که در آنها بیشتر مواد از محور خنثی حذف شوند، مانند مثلاً یک پروفیل I.

نیروهایی که عمود بر محور پرتو وارد می شوند و در صفحه ای که از این محور می گذرد قرار دارند، باعث تغییر شکلی می شوند که به آن می گویند. خم عرضی. در صورتی که هواپیمای عمل نیروهای مذکور – صفحه اصلی، سپس یک خم عرضی مستقیم (مسطح) وجود دارد. در غیر این صورت، خم عرضی مایل نامیده می شود. تیری که عمدتاً در معرض خمش است نامیده می شود پرتو 1 .

اساساً خمش عرضی ترکیبی از خمش خالص و برش است. در ارتباط با انحنای مقاطع به دلیل توزیع ناهموار برش ها در طول ارتفاع، امکان اعمال فرمول تنش نرمال σ مطرح می شود. ایکسمشتق شده برای خم شدن خالصبر اساس فرضیه مقاطع مسطح.

1 تیر تک دهانه که در انتها به ترتیب دارای یک تکیه گاه ثابت استوانه ای و یک استوانه متحرک در جهت محور تیر می باشد، نامیده می شود. ساده. تیری با یک سر ثابت و سر دیگر آزاد نامیده می شود کنسول. تیر ساده ای که یک یا دو قسمت آن بر روی تکیه گاه آویزان است نامیده می شود کنسول.

علاوه بر این، اگر مقاطع دور از نقاط اعمال بار (در فاصله کمتر از نصف ارتفاع مقطع تیر) قرار گیرند، می توان فرض کرد که الیاف به یکدیگر فشار وارد نمی کنند، مانند خمش خالص. این بدان معنی است که هر فیبر تنش یا فشرده سازی تک محوری را تجربه می کند.

تحت عمل یک بار توزیع شده، نیروهای عرضی در دو مقطع مجاور به اندازه ای متفاوت خواهد بود. qdx. بنابراین، انحنای مقاطع نیز تا حدودی متفاوت خواهد بود. علاوه بر این، الیاف به یکدیگر فشار وارد می کنند. بررسی دقیق موضوع نشان می دهد که اگر طول تیر لنسبت به ارتفاع آن بسیار بزرگ است ساعت (ل/ ساعت> 5)، سپس حتی با یک بار توزیع شده، این عوامل تأثیر قابل توجهی بر تنش های نرمال در مقطع ندارند و بنابراین ممکن است در محاسبات عملی مورد توجه قرار نگیرند.

a B C

برنج. 10.5 شکل. 10.6

در مقاطع تحت بارهای متمرکز و نزدیک آنها، توزیع σ ایکساز قانون خطی منحرف می شود. این انحراف که ماهیتی موضعی دارد و با افزایش بیشترین تنش ها (در الیاف شدید) همراه نیست، معمولاً در عمل مورد توجه قرار نمی گیرد.

بنابراین، با خمش عرضی (در صفحه هو) تنش های نرمال با فرمول محاسبه می شوند

σ ایکس= – [Mz(ایکس)/Iz]y.

اگر روی قسمتی از میله که بدون بار است دو مقطع مجاور بکشیم، نیروی عرضی در هر دو مقطع یکسان می شود، یعنی انحنای مقاطع یکسان خواهد بود. در این مورد، هر قطعه فیبر ab(شکل 10.5) به موقعیت جدیدی منتقل می شود الف"ب"، بدون اینکه تحت کشیدگی اضافی قرار گیرد و بنابراین بدون تغییر بزرگی تنش نرمال.

اجازه دهید تنش های برشی در مقطع را از طریق تنش های زوجی که در مقطع طولی تیر اعمال می کنند تعیین کنیم.

از نوار یک عنصر با طول انتخاب کنید dx(شکل 10.7 الف). بیایید یک بخش افقی را با فاصله ترسیم کنیم دراز محور خنثی z، عنصر را به دو قسمت تقسیم کنید (شکل 10.7) و تعادل قسمت بالایی را که دارای پایه است در نظر بگیرید.

عرض ب. مطابق قانون جفت شدن تنش های برشی، تنش های وارد بر مقطع طولی با تنش های وارده در مقطع برابر است. با در نظر گرفتن این موضوع، با این فرض که تنش های برشی در سایت وجود دارد ببا توزیع یکنواخت، از شرط ΣX = 0 استفاده می کنیم، به دست می آوریم:

N * - (N * +dN *)+

جایی که: N * - حاصل نیروهای نرمال σ در مقطع سمت چپ عنصر dx در ناحیه "برش" A * (شکل 10.7 d):

جایی که: S \u003d - لحظه ایستا قسمت "برش" مقطع (منطقه سایه دار در شکل 10.7 c). بنابراین، می توانیم بنویسیم:

سپس می توانید بنویسید:

این فرمول در قرن نوزدهم توسط دانشمند و مهندس روسی D.I. ژوراوسکی و نام او را یدک می کشد. و اگرچه این فرمول تقریبی است، اما از آنجایی که تنش را در عرض مقطع به طور میانگین نشان می دهد، نتایج محاسبه به دست آمده با استفاده از آن مطابقت خوبی با داده های تجربی دارد.

برای تعیین تنش های برشی در یک نقطه دلخواه از مقطع که در فاصله y از محور z قرار دارد، باید:

بزرگی نیروی عرضی Q را که در برش وارد می شود از نمودار تعیین کنید.

ممان اینرسی I z کل بخش را محاسبه کنید.

از این نقطه یک صفحه موازی با صفحه بکشید xzو عرض بخش را تعیین کنید ب;

ممان استاتیک ناحیه برش S را نسبت به محور مرکزی اصلی محاسبه کنید zو مقادیر یافت شده را با فرمول ژوراوسکی جایگزین کنید.

اجازه دهید به عنوان مثال تنش های برشی را در یک مقطع مستطیلی تعریف کنیم (شکل 10.6، ج). لحظه ایستا حول محور zقسمت هایی از قسمت بالای خط 1-1 که تنش روی آن تعیین می شود، به شکل زیر می نویسیم:

مطابق قانون سهمی مربع تغییر می کند. عرض بخش Vبرای یک تیر مستطیلی ثابت است، پس قانون تغییر در تنش های برشی در مقطع نیز سهمی خواهد بود (شکل 10.6، ج). برای y = و y = - تنش های مماسی برابر با صفر هستند و روی محور خنثی zآنها به بالاترین نقطه خود می رسند.

برای تیری با مقطع دایره ای در محور خنثی داریم

با خمش خالص مستقیم، تنها یک عامل نیرو در مقطع خمش میله ایجاد می شود M x(عکس. 1). زیرا Q y \u003d dM x / dz \u003d 0،که Mx=const و خمش مستقیم خالص زمانی قابل تحقق است که میله با جفت نیروی اعمال شده در بخش های انتهایی میله بارگذاری می شود. از لحظه خم شدن M xاولی برابر با مجموع استلحظات نیروهای داخلیدر مورد محور اوهبا معادله استاتیکی که از این تعریف به دست می آید، با تنش های نرمال مرتبط می شود

اجازه دهید مقدمات نظریه خمش مستقیم یک میله منشوری را فرموله کنیم. برای انجام این کار، ما تغییر شکل‌های مدلی از میله‌ای ساخته شده از مواد با مدول کم را تحلیل می‌کنیم که روی سطح جانبی آن شبکه‌ای از خراش‌های طولی و عرضی اعمال می‌شود (شکل 2). از آنجایی که خطرات عرضی، هنگامی که میله توسط جفت نیروهای اعمال شده در قسمت های انتهایی خم می شود، مستقیم و عمود بر خطرات طولی منحنی باقی می مانند، این به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که فرضیه های بخش صفحه،همانطور که حل این مشکل با روش های نظریه کشش نشان می دهد، دیگر فرضیه نیست و به یک واقعیت دقیق تبدیل می شود. قانون مقاطع صفحهبا اندازه گیری تغییر فواصل بین ریسک های طولی، به صحت فرضیه عدم فشار الیاف طولی به این نتیجه می رسیم.

متعامد بودن خراش های طولی و عرضی قبل و بعد از تغییر شکل (به عنوان بازتابی از عمل قانون مقاطع تخت) نیز نشان دهنده عدم وجود جابجایی، تنش های برشی در مقاطع عرضی و طولی میله است.

عکس. 1.رابطه تلاش درونی و استرس

شکل 2.مدل خمشی خالص

بنابراین، خمش مستقیم خالص یک میله منشوری به کشش تک محوری یا فشرده سازی الیاف طولی توسط تنش ها کاهش می یابد (شاخص جیبعدا حذف شد). در این حالت، بخشی از الیاف در ناحیه کشش (در شکل 2، این الیاف پایینی هستند)، و بخشی دیگر در ناحیه فشار (الیاف بالایی) قرار دارد. این مناطق توسط یک لایه خنثی از هم جدا می شوند (np)بدون تغییر طول آن، تنش های آن برابر با صفر است. با در نظر گرفتن پیش نیازهای فرموله شده در بالا و با فرض اینکه مواد میله به صورت خطی الاستیک است، قانون هوک در این مورد به شکل زیر است: , ما فرمول هایی را برای انحنای لایه خنثی (شعاع انحنا) و تنش های معمولی استخراج می کنیم. ابتدا به ثابت بودن سطح مقطع میله منشوری و لنگر خمشی اشاره می کنیم (M x = ثابت)،ثبات شعاع انحنای لایه خنثی را در طول میله تضمین می کند (شکل 3، آلایه خنثی (np)با قوس دایره ای توصیف می شود.

یک میله منشوری را تحت شرایط خمش خالص مستقیم در نظر بگیرید (شکل 3، a) با مقطع متقارن حول محور عمودی OU.این شرایط بر نتیجه نهایی تأثیر نمی گذارد (برای اینکه یک خم مستقیم ممکن باشد، همزمانی محور آه بامحور اصلی اینرسی مقطع، که محور تقارن است). محور گاو نرروی لایه خنثی قرار دهید، موقعیت چه کسیاز قبل شناخته شده نیست

آ) طرح محاسبه، ب) کرنش ها و تنش ها

شکل 3.قطعه خم خالص تیر

عنصری را در نظر بگیرید که از یک میله با طول بریده شده است dz، که در یک مقیاس با نسبت های تحریف شده برای وضوح در شکل نشان داده شده است. 3، ب. از آنجایی که تغییر شکل های عنصر که توسط جابجایی نسبی نقاط آن تعیین می شود، مورد توجه است، می توان یکی از بخش های انتهایی عنصر را ثابت در نظر گرفت. با توجه به کوچک بودن، ما فرض می کنیم که نقاط مقطع زمانی که از این زاویه می چرخند، نه در امتداد کمان، بلکه در امتداد مماس های مربوطه حرکت می کنند.

اجازه دهید تغییر شکل نسبی فیبر طولی را محاسبه کنیم AB،از لایه خنثی توسط در:

از تشابه مثلث ها C00 1و 0 1 BB 1به دنبال آن است

تغییر شکل طولی تابعی خطی از فاصله از لایه خنثی است که نتیجه مستقیم قانون مقاطع صفحه است.

این فرمول برای استفاده عملی مناسب نیست، زیرا حاوی دو مجهول است: انحنای لایه خنثی و موقعیت محور خنثی. اوه، که از آن مختصات شمارش می شود yبرای تعیین این مجهولات، از معادلات تعادلی استاتیک استفاده می کنیم. مورد اول این شرط را بیان می کند که نیروی طولی برابر با صفر باشد

جایگزینی عبارت (2) در این معادله

و با در نظر گرفتن آن، ما آن را دریافت می کنیم

انتگرال سمت چپ این معادله ممان استاتیک مقطع میله حول محور خنثی است. اوه،که فقط نسبت به محور مرکزی می تواند برابر با صفر باشد. بنابراین، محور خنثی اوهاز مرکز ثقل مقطع عبور می کند.

دومین معادله تعادل استاتیکی مربوط به تنش های نرمال به ممان خمشی است (که به راحتی می توان آن را بر حسب نیروهای خارجی بیان کرد و بنابراین مقدار معینی در نظر گرفته می شود). جایگزینی عبارت در معادله بسته نرم افزاری. ولتاژ، دریافت می کنیم:

و با توجه به اینکه جایی که J xگشتاور مرکزی اصلی اینرسی حول محور اوه،برای انحنای لایه خنثی، فرمول را به دست می آوریم

شکل 4.توزیع تنش نرمال

که اولین بار توسط S. Coulomb در سال 1773 بدست آمد. برای مطابقت با نشانه های لحظه خم شدن M xو تنش های معمولی، علامت منهای در سمت راست فرمول (5) قرار می گیرد، زیرا در M x > 0تنش های معمولی در y> 0 انقباضی است. با این حال، در محاسبات عملی، بدون رعایت قاعده رسمی علائم، راحت تر است که مدول تنش ها را تعیین کنید و علامت را مطابق با معنی قرار دهید. تنش های نرمال در خمش خالص یک میله منشوری تابعی خطی از مختصات است درو به بالاترین مقادیر در الیاف دورتر از محور خنثی (شکل 4)، یعنی.

در اینجا مشخصه هندسی معرفی می شود ، که دارای بعد m 3 است و نامیده می شود لحظه مقاومت در خمشاز آنجایی که برای یک معین M xولتاژ حداکثر؟هر چه کمتر بیشتر W xلحظه مقاومت است ویژگی هندسی قدرت خمش مقطع.اجازه دهید مثال‌هایی از محاسبه ممان مقاومت برای ساده‌ترین شکل‌های مقطع ارائه کنیم. برای یک مقطع مستطیلی (شکل 5، آ) ما داریم J x \u003d bh 3 / 12، y حداکثر = h/2و W x = J x / y حداکثر = bh 2/6.به طور مشابه برای یک دایره (شکل 5 یک J x =d4 /64, ymax=d/2) ما گرفتیم W x =d3/32، برای یک بخش حلقوی دایره ای (شکل 5، V)کدام یک

خم مستقیم. خمش عرضی مسطح نمودارهای ضریب نیروی داخلی برای تیرها رسم نمودارهای Q و M بر اساس معادلات رسم نمودارهای Q و M با استفاده از مقاطع مشخصه (نقاط) محاسبات برای مقاومت در خمش مستقیم تیرها تنش های اصلی در خمش. بررسی کامل مقاومت تیرها درک مرکز خمش تعیین جابجایی تیرها در حین خمش. مفاهیم تغییر شکل تیرها و شرایط صلبیت آنها معادله دیفرانسیل محور خمشی تیر روش انتگرال گیری مستقیم نمونه هایی از تعیین جابجایی در تیرها با روش انتگرال گیری مستقیم معنی فیزیکی ثابت های انتگرال گیری روش پارامترهای اولیه (معادله جهانی پرتوی). نمونه هایی از تعیین جابجایی ها در یک تیر با استفاده از روش پارامترهای اولیه تعیین جابجایی ها با استفاده از روش Mohr. قانون A.K ورشچاگین. محاسبه انتگرال Mohr بر اساس A.K. ورشچاگین نمونه هایی از تعیین جابجایی ها با استفاده از کتابشناسی انتگرال مور خمش مستقیم. خم عرضی صاف. 1.1. نمودارهای رسم عوامل نیروی داخلی برای تیرها خمش مستقیم نوعی تغییر شکل است که در آن دو عامل نیروی داخلی در مقاطع عرضی میله ایجاد می شود: یک لنگر خمشی و یک نیروی عرضی. در یک مورد خاص، نیروی عرضی می تواند برابر با صفر باشد، سپس خمش خالص نامیده می شود. با خمش عرضی مسطح، تمام نیروها در یکی از صفحات اصلی اینرسی میله قرار دارند و بر محور طولی آن عمود هستند، ممان ها در همان صفحه قرار می گیرند (شکل 1.1، a، b). برنج. 1.1 نیروی عرضی در یک مقطع دلخواه تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری برآمدگی ها بر روی نرمال به محور تیر تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع مورد نظر عمل می کنند. نیروی برشی در مقطع پرتوهای m-n (شکل 1.2، الف) در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که برآیند نیروهای خارجی به سمت چپ مقطع به سمت بالا، و به سمت راست - به سمت پایین، و منفی - در حالت مخالف باشد (شکل 1.2، ب). برنج. 1.2 هنگام محاسبه نیروی عرضی در یک بخش معین، نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش قرار دارند، اگر به سمت بالا باشند با علامت مثبت و اگر به سمت پایین با علامت منفی گرفته می شوند. برای سمت راست تیر - برعکس. 5 لنگر خمشی در مقطع دلخواه تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری لنگرهای حول محور مرکزی z از بخش تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع مورد نظر عمل می کنند. گشتاور خمشی در بخش m-n تیر (شکل 1.3، a) مثبت در نظر گرفته می شود اگر ممان حاصل از نیروهای خارجی در جهت عقربه های ساعت از مقطع به سمت چپ مقطع و در خلاف جهت عقربه های ساعت به سمت راست و منفی - در حالت مخالف (شکل 1.3، b) باشد. برنج. 1.3 هنگام محاسبه لنگر خمشی در یک بخش معین، گشتاورهای نیروهای خارجی که در سمت چپ مقطع قرار دارند، اگر در جهت عقربه های ساعت باشند مثبت در نظر گرفته می شوند. برای سمت راست تیر - برعکس. تعیین علامت لحظه خمشی با توجه به ماهیت تغییر شکل پرتو راحت است. لنگر خمشی در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که در قسمت مورد نظر، قسمت برش تیر با تحدب به سمت پایین خم شود، یعنی الیاف پایینی کشیده شوند. در غیر این صورت ممان خمشی در مقطع منفی است. بین گشتاور خمشی M، نیروی عرضی Q و شدت بار q، وابستگی های دیفرانسیل وجود دارد. 1. اولین مشتق نیروی عرضی در امتداد آبسیسا مقطع برابر با شدت بار توزیع شده است، یعنی. . (1.1) 2. اولین مشتق لنگر خمشی در امتداد آبسیسا مقطع برابر با نیروی عرضی است، یعنی . (1.2) 3. مشتق دوم نسبت به آبسیسا مقطع برابر با شدت بار توزیع شده است، یعنی . (1.3) بار توزیع شده به سمت بالا را مثبت در نظر می گیریم. تعدادی نتیجه گیری مهم از وابستگی های دیفرانسیل بین M, Q, q به دست می آید: 1. اگر در مقطع تیر: الف) نیروی عرضی مثبت باشد، گشتاور خمشی افزایش می یابد. ب) نیروی عرضی منفی است، سپس گشتاور خمشی کاهش می یابد. ج) نیروی عرضی صفر است، سپس ممان خمشی مقدار ثابتی دارد (خمش خالص). 6 د) نیروی عرضی از صفر عبور می کند، علامت مثبت به منفی، حداکثر M M، در غیر این صورت M Mmin تغییر می کند. 2. اگر در مقطع تیر بار توزیعی وجود نداشته باشد، نیروی عرضی ثابت است و لنگر خمشی به صورت خطی تغییر می کند. 3. اگر یک بار توزیع یکنواخت بر روی مقطع تیر وجود داشته باشد، آنگاه نیروی عرضی طبق یک قانون خطی تغییر می کند و لنگر خمشی - طبق قانون سهمی مربع، در جهت بار محدب است (در صورت ترسیم M از سمت الیاف کشیده شده). 4. در قسمت تحت نیروی متمرکز نمودار Q دارای جهش (به بزرگی نیرو) است، نمودار M دارای گسست در جهت نیرو است. 5. در قسمتی که یک گشتاور متمرکز اعمال می شود، نمودار M دارای جهشی برابر با مقدار این ممان است. این در نمودار Q منعکس نمی شود. تحت بارگذاری پیچیده، تیرها نمودار نیروهای عرضی Q و لنگرهای خمشی M را می سازند. نمودار Q (M) نموداری است که قانون تغییر نیروی عرضی (لمان خمشی) را در طول تیر نشان می دهد. بر اساس تجزیه و تحلیل نمودارهای M و Q، مقاطع خطرناک تیر ایجاد می شود. مختصات مثبت نمودار Q به سمت بالا و ارتجاعات منفی از خط پایه که به موازات محور طولی تیر کشیده شده است به سمت پایین رسم می شوند. مختصات مثبت دیاگرام M مشخص شده اند، و ارقام منفی به سمت بالا رسم می شوند، یعنی نمودار M از سمت الیاف کشیده شده ساخته شده است. ساختن نمودارهای Q و M برای تیرها باید با تعریف واکنش های پشتیبانی آغاز شود. برای یک تیر با یک سر ثابت و انتهای دیگر آزاد، رسم Q و M را می توان از انتهای آزاد بدون تعریف واکنش در جاسازی شروع کرد. 1.2. ساخت نمودارهای Q و M با توجه به معادلات Balk به بخش هایی تقسیم می شود که در آن توابع لنگر خمشی و نیروی برشی ثابت می مانند (بدون ناپیوستگی). مرزهای مقاطع، نقاط اعمال نیروهای متمرکز، جفت نیرو و محل تغییر شدت بار توزیع شده است. بر روی هر مقطع، یک مقطع دلخواه در فاصله x از مبدأ گرفته می شود و معادلات Q و M برای این مقطع ترسیم می شود، نمودارهای Q و M با استفاده از این معادلات ساخته می شوند. مثال 1.1 نمودار نیروهای عرضی Q و لنگرهای خمشی M را برای یک تیر معین بسازید (شکل 1.4، a). راه حل: 1. تعیین واکنش تکیه گاه ها. ما معادلات تعادل را می سازیم: که از آنها به دست می آوریم واکنش های تکیه گاه ها به درستی تعریف شده اند. تیر دارای چهار بخش است شکل. 1.4 بارگیری: CA، AD، DB، BE. 2. Plotting Q. Plot SA. در بخش CA 1، یک بخش دلخواه 1-1 را در فاصله x1 از انتهای چپ تیر رسم می کنیم. Q را مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش 1-1 وارد می کنند تعریف می کنیم: علامت منفی به این دلیل گرفته می شود که نیروی وارد شده به سمت چپ مقطع به سمت پایین هدایت می شود. عبارت Q به متغیر x1 بستگی ندارد. نمودار Q در این بخش به صورت یک خط مستقیم موازی با محور x نشان داده می شود. طرح AD. در سایت، یک مقطع دلخواه 2-2 در فاصله x2 از انتهای چپ تیر رسم می کنیم. ما Q2 را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش 2-2 عمل می کنند تعریف می کنیم: 8 مقدار Q در مقطع ثابت است (به متغیر x2 بستگی ندارد). نمودار Q در نمودار یک خط مستقیم موازی با محور x است. سایت دی بی. در سایت، یک مقطع دلخواه 3-3 در فاصله x3 از انتهای سمت راست تیر رسم می کنیم. ما Q3 را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت راست بخش 3-3 عمل می کنند تعریف می کنیم: عبارت حاصل معادله یک خط مستقیم مایل است. طرح B.E. در سایت یک مقطع 4-4 به فاصله x4 از انتهای سمت راست تیر می کشیم. ما Q را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت راست بخش 4-4 عمل می کنند تعریف می کنیم: 4 در اینجا، علامت مثبت گرفته می شود زیرا بار حاصل از سمت راست بخش 4-4 به سمت پایین هدایت می شود. بر اساس مقادیر به دست آمده، نمودارهای Q را می سازیم (شکل 1.4، ب). 3. Plotting M. Plot m1. ما گشتاور خمشی در مقطع 1-1 را به عنوان مجموع جبری نیروهای وارد بر سمت چپ مقطع 1-1 تعریف می کنیم. معادله یک خط مستقیم است. بخش A 3 لنگر خمشی در بخش 2-2 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارده به سمت چپ بخش 2-2 تعریف کنید. معادله یک خط مستقیم است. نمودار DB 4 ما گشتاور خمشی در مقطع 3-3 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارد بر سمت راست مقطع 3-3 تعریف می کنیم. معادله سهمی مربع است. 9 سه مقدار را در انتهای مقطع و در نقطه با مختصات xk پیدا کنید، جایی که بخش BE 1 گشتاور خمشی در بخش 4-4 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارد بر سمت راست بخش 4-4 تعریف کنید. - معادله سهمی مربع سه مقدار M4 را پیدا می کنیم: بر اساس مقادیر به دست آمده، نمودار M را می سازیم (شکل 1.4، c). در بخش‌های CA و AD، نمودار Q با خطوط مستقیم موازی با محور آبسیسا، و در بخش‌های DB و BE، با خطوط مستقیم مورب محدود می‌شود. در بخش های C، A و B روی نمودار Q، جهش هایی با بزرگی نیروهای مربوطه وجود دارد که به عنوان بررسی درستی ساخت نمودار Q عمل می کند. در بخش هایی که Q  0 است، گشتاورها از چپ به راست افزایش می یابد. در بخش هایی که Q  0 است، گشتاورها کاهش می یابد. تحت نیروهای متمرکز پیچ خوردگی هایی در جهت عمل نیروها وجود دارد. تحت لحظه متمرکز، یک جهش با مقدار لحظه وجود دارد. این نشان دهنده درستی رسم M است. مثال 1.2 نمودارهای Q و M را برای یک تیر بر روی دو تکیه گاه، بارگذاری شده با یک بار توزیع شده، که شدت آن به صورت خطی متفاوت است، بسازید (شکل 1.5، a). راه حل تعیین واکنش های حمایتی. حاصل بار توزیع شده برابر با مساحت مثلثی است که نمودار بار را نشان می دهد و در مرکز ثقل این مثلث اعمال می شود. ما مجموع گشتاورهای تمام نیروها را نسبت به نقاط A و B می‌سازیم: رسم Q. بیایید یک مقطع دلخواه در فاصله x از تکیه گاه سمت چپ رسم کنیم. ترتیب نمودار بار مربوط به مقطع از شباهت مثلث ها تعیین می شود که حاصل آن قسمت از بار است که در سمت چپ مقطع قرار دارد. 1.5، ب. لنگر خمشی در یک مقطع دلخواه برابر است با گشتاور خمشی بر اساس قانون سهمی مکعبی تغییر می کند: حداکثر مقدار لنگر خمشی در مقطعی است که 0، یعنی در. 1.5، ج. 1.3. ساختن نمودارهای Q و M توسط مقاطع مشخصه (نقاط) با استفاده از روابط دیفرانسیل بین M، Q، q و نتیجه گیری های حاصل از آنها، توصیه می شود نمودارهای Q و M را با مقاطع مشخصه (بدون فرمول بندی معادلات) بسازید. با استفاده از این روش، مقادیر Q و M در بخش های مشخصه محاسبه می شود. مقاطع مشخصه مقاطع مرزی مقاطع و همچنین بخشهایی هستند که ضریب نیروی داخلی داده شده دارای یک مقدار شدید است. در محدوده بین بخش های مشخصه، طرح کلی 12 نمودار بر اساس وابستگی های تفاضلی بین M، Q، q و نتایج حاصل از آنها ایجاد می شود. مثال 1.3 نمودارهای Q و M را برای تیر نشان داده شده در شکل بسازید. 1.6، الف. برنج. 1.6. راه حل: رسم نمودارهای Q و M را از انتهای آزاد تیر شروع می کنیم، در حالی که می توان واکنش های موجود در جاسازی را حذف کرد. تیر دارای سه ناحیه بارگیری است: AB، BC، CD. در مقاطع AB و BC هیچ بار توزیعی وجود ندارد. نیروهای عرضی ثابت هستند. نمودار Q توسط خطوط مستقیم موازی با محور x محدود می شود. لحظات خمشی به صورت خطی تغییر می کنند. نمودار M محدود به خطوط مستقیم متمایل به محور x است. در بخش CD یک بار توزیع یکنواخت وجود دارد. نیروهای عرضی به صورت خطی تغییر می کنند و لنگرهای خمشی بر اساس قانون سهمی مربع با تحدب در جهت بار توزیع شده تغییر می کنند. در مرز مقاطع AB و BC، نیروی عرضی به طور ناگهانی تغییر می کند. در مرز مقاطع BC و CD، لنگر خمشی به طور ناگهانی تغییر می کند. 1. رسم Q. ما مقادیر نیروهای عرضی Q را در مقاطع مرزی مقاطع محاسبه می کنیم: بر اساس نتایج محاسبات، نمودار Q را برای تیر می سازیم (شکل 1، ب). از نمودار Q چنین بر می آید که نیروی عرضی در مقطع CD در مقطعی که در فاصله qa a q از ابتدای این مقطع قرار دارد برابر با صفر است. در این بخش لنگر خمشی دارای حداکثر مقدار است. 2. ساخت نمودار M. مقادیر لنگرهای خمشی در مقاطع مرزی مقاطع را محاسبه می کنیم: مثال 1.4 با توجه به نمودار داده شده لنگرهای خمشی (شکل 1.7، a) برای تیر (شکل 1.7، b)، بارهای عمل کننده را تعیین کنید و Q را رسم کنید. دایره راس سهمی مربع را نشان می دهد. راه حل: بارهای وارد بر تیر را تعیین کنید. بخش AC با یک بار توزیع یکنواخت بارگذاری می شود، زیرا نمودار M در این بخش یک سهمی مربع است. در بخش مرجع B، یک گشتاور متمرکز به پرتو اعمال می‌شود که در جهت عقربه‌های ساعت عمل می‌کند، زیرا در نمودار M یک جهش به سمت بالا با بزرگی لحظه داریم. در بخش NE، تیر بارگذاری نمی شود، زیرا نمودار M در این بخش توسط یک خط مستقیم مایل محدود شده است. واکنش تکیه گاه B از این شرط تعیین می شود که لنگر خمشی در مقطع C برابر با صفر باشد، یعنی برای تعیین شدت بار توزیع شده، یک عبارت برای لنگر خمشی در مقطع A به عنوان مجموع گشتاورهای نیروهای سمت راست می سازیم و آن را با صفر برابر می کنیم. حال واکنش تکیه گاه A را تعیین می کنیم. برای این کار، ممان نیروی چپ را به عنوان یک عبارت جمع گشتاور در مقطع A می سازیم. طرح کشت تیر با بار در شکل نشان داده شده است. 1.7، ج. با شروع از انتهای سمت چپ تیر، مقادیر نیروهای عرضی در بخش های مرزی مقاطع را محاسبه می کنیم: نمودار Q در شکل نشان داده شده است. 1.7، د. مشکل در نظر گرفته شده را می توان با کامپایل وابستگی های تابعی برای M, Q در هر بخش حل کرد. بیایید مبدا مختصات را در انتهای سمت چپ پرتو انتخاب کنیم. در قسمت AC نمودار M با سهمی مربعی بیان می شود که معادله آن به صورت ثابت های a,b,c است، از شرط عبور سهمی از سه نقطه با مختصات مشخص در می یابیم: با جایگزینی مختصات نقاط به معادله سهمی، به دست می آوریم: عبارت برای گشتاور خمشی خواهد بود، که برای متمایز کردن تابع a، از شرایط متمایز بودن خط مستقیم، از شرایط a استفاده می کنیم. از دو نقطه می گذرد که مختصات آنها مشخص است دو معادله به دست می آوریم: , b که از آن یک عدد 20 داریم. معادله لنگر خمشی در مقطع CB خواهد بود پس از تمایز دو برابری M2، با توجه به مقادیر M و Q پیدا شده، نمودار لنگر خمشی و نیروهای برشی برای تیر می سازیم. علاوه بر بار توزیع شده، نیروهای متمرکز در سه بخش به تیر وارد می شود که در نمودار Q جهش وجود دارد و در قسمتی که پرش در نمودار M وجود دارد گشتاورهای متمرکز. مثال 1.5 برای یک تیر (شکل 1.8، a)، موقعیت منطقی لولا C را تعیین کنید، که در آن بزرگترین گشتاور خمشی در دهانه برابر با لنگر خمشی در تعبیه (در مقدار مطلق) است. نمودارهای Q و M را بسازید. راه حل تعیین واکنش تکیه گاه ها. با وجود این واقعیت که تعداد کل پیوندهای پشتیبانی چهار است، پرتو از نظر استاتیکی مشخص است. ممان خمشی در لولا C برابر با صفر است که به ما امکان می دهد یک معادله اضافی ایجاد کنیم: مجموع لنگرهای مربوط به لولای تمام نیروهای خارجی که در یک طرف این لولا وارد می شوند برابر با صفر است. مجموع گشتاورهای تمام نیروها را در سمت راست لولا C بنویسید. نمودار Q برای تیر با یک خط مستقیم مایل محدود شده است، زیرا q = const. ما مقادیر نیروهای عرضی را در مقاطع مرزی تیر تعیین می کنیم: آبسیسا xK مقطع، که در آن Q = 0 است، از معادله تعیین می شود که در آن نمودار M برای تیر توسط یک سهمی مربع محدود می شود. عبارات لنگرهای خمشی در مقاطع، که در آن Q = 0، و در تعبیه به ترتیب به صورت زیر نوشته می شوند: از شرط تساوی گشتاورها، یک معادله درجه دوم نسبت به پارامتر مورد نظر x بدست می آوریم: مقدار واقعی x2x 1.029 m. 1.8، c - نمودار M. مشکل در نظر گرفته شده را می توان با تقسیم تیر لولایی به عناصر تشکیل دهنده آن حل کرد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1.8، د در ابتدا، واکنش های پشتیبانی VC و VB تعیین می شود. نمودارهای Q و M برای تیر تعلیق SV از عمل بار اعمال شده به آن ساخته می شوند. سپس به سمت تیر اصلی AC حرکت می کنند و آن را با نیروی اضافی VC که نیروی فشار پرتو CB بر تیر AC است بار می کنند. پس از آن، نمودارهای Q و M برای پرتو AC ساخته می شوند. 1.4. محاسبات مقاومت برای خمش مستقیم تیرها محاسبه مقاومت برای تنش های معمولی و برشی. با خمش مستقیم تیر، تنش های نرمال و برشی در مقاطع عرضی آن ایجاد می شود (شکل 1.9). 18 شکل. 1.9 تنش های معمولی مربوط به ممان خمشی، تنش های برشی مربوط به نیروی عرضی است. در خمش خالص مستقیم، تنش های برشی برابر با صفر است. تنش های عادی در یک نقطه دلخواه از مقطع تیر با فرمول (1.4) تعیین می شود که در آن M گشتاور خمشی در مقطع داده شده است. Iz ممان اینرسی مقطع نسبت به محور خنثی z است. y فاصله از نقطه ای که تنش نرمال تعیین می شود تا محور z خنثی است. تنش‌های معمولی در امتداد ارتفاع مقطع به‌صورت خطی تغییر می‌کنند و در دورترین نقاط از محور خنثی به بیشترین مقدار می‌رسند، اگر مقطع نسبت به محور خنثی متقارن باشد. 1.11)، سپس شکل. 1.11 بیشترین تنش های کششی و فشاری یکسان است و با فرمول  - گشتاور محوری مقاومت مقطع در خمش تعیین می شود. برای یک مقطع مستطیلی با عرض b و ارتفاع h: (1.7) برای یک مقطع دایره ای با قطر d: (1.8) برای یک بخش حلقوی   به ترتیب قطر داخلی و خارجی حلقه است. برای تیرهای ساخته شده از مواد پلاستیکی، منطقی ترین شکل متقارن 20 بخش (تیر I، جعبه شکل، حلقوی) است. برای تیرهای ساخته شده از مواد شکننده که به یک اندازه در برابر کشش و فشار مقاومت نمی کنند، مقاطع نامتقارن در مورد محور خنثی z (ta-br.، U شکل، نامتقارن I-beam) منطقی هستند. برای تیرهای مقطع ثابت ساخته شده از مواد پلاستیکی با شکل مقطع متقارن، شرایط مقاومت به صورت زیر نوشته می شود: (1.10) که در آن Mmax حداکثر مدول لنگر خمشی است. - تنش مجاز برای مواد. برای تیرهای مقطع ثابت ساخته شده از مواد شکل پذیر با شکل مقطع نامتقارن، شرط مقاومت به شکل زیر نوشته می شود: (1.11) برای تیرهای ساخته شده از مواد شکننده با مقاطع نامتقارن در مورد محور خنثی، اگر نمودار M بدون ابهام باشد (شکل 1.12)، باید دو شرط مقاومتی نوشته شود - فاصله محور تا نقطه خنثی بیشترین فشار را رعایت می کند. s از بخش خطرناک؛ P - تنش های مجاز به ترتیب در کشش و فشار. شکل 1.12. 21 اگر نمودار لنگر خمشی دارای مقاطع با علائم مختلف باشد (شکل 1.13)، پس علاوه بر بررسی مقطع 1-1 که Mmax در آن عمل می کند، لازم است حداکثر تنش های کششی برای مقطع 2-2 (با بزرگترین ممان علامت مخالف) محاسبه شود. برنج. 1.13 همراه با محاسبه اولیه برای تنش های معمولی، در برخی موارد لازم است مقاومت تیر برای تنش های برشی بررسی شود. تنش های برشی در تیرها با فرمول D. I. Zhuravsky (1.13) محاسبه می شود که در آن Q نیروی عرضی در مقطع در نظر گرفته شده تیر است. Szots لحظه ایستا در مورد محور خنثی ناحیه قسمتی از بخش واقع در یک طرف خط مستقیم است که از نقطه داده شده و موازی با محور z کشیده شده است. b عرض بخش در سطح نقطه در نظر گرفته شده است. Iz ممان اینرسی کل مقطع حول محور خنثی z است. در بسیاری از موارد حداکثر تنش های برشی در سطح لایه خنثی تیر (مستطیل، تیر I، دایره) رخ می دهد. در چنین مواردی، شرط مقاومت تنش برشی به صورت (1. 14) که در آن Qmax نیروی عرضی با بالاترین مدول است. - تنش برشی مجاز برای مواد. برای یک مقطع تیر مستطیلی، شرایط مقاومت به شکل (1.15) A سطح مقطع تیر است. برای یک بخش دایره ای، شرایط مقاومت به صورت (1.16) نشان داده می شود. برای یک مقطع I، شرایط مقاومت به صورت زیر نوشته می شود: (1.17) d ضخامت دیواره I-beam است. معمولاً ابعاد مقطع تیر از روی شرط مقاومت برای تنش های معمولی تعیین می شود. بررسی مقاومت تیرها برای تنش های برشی برای تیرهای کوتاه و تیرهای با هر طول، در صورت وجود نیروهای متمرکز با قدر زیاد در نزدیکی تکیه گاه ها، و همچنین برای تیرهای چوبی، پرچ شده و جوش داده شده الزامی است. مثال 1.6 استحکام یک تیر مقطع جعبه (شکل 1.14) را برای تنش های معمولی و برشی، اگر MPa بررسی کنید. در قسمت خطرناک تیر، نمودارها را بسازید. برنج. 1.14 تصمیم 23 1. نمودارهای Q و M را از بخشهای مشخصه رسم کنید. با در نظر گرفتن سمت چپ تیر به دست می آوریم نمودار نیروهای عرضی در شکل نشان داده شده است. 1.14، ج. نمودار لنگرهای خمشی در شکل نشان داده شده است. 5.14، g 2. مشخصات هندسی مقطع 3. بالاترین تنش های نرمال در مقطع C، جایی که Mmax عمل می کند (مدول): MPa. حداکثر تنش های نرمال در تیر عملاً برابر با تنش های مجاز است. 4. بیشترین تنش های مماسی در مقطع C (یا A)، که در آن حداکثر Q عمل می کند (مدول): در اینجا گشتاور ساکن ناحیه نیم مقطع نسبت به محور خنثی است. b2 سانتی متر عرض مقطع در سطح محور خنثی است. شکل 5. تنش های مماسی در یک نقطه (در دیوار) در مقطع C: شکل. 1.15 در اینجا Szomc 834.5 108 cm3 ممان استاتیک ناحیه بخشی از بخش واقع در بالای خطی است که از نقطه K1 می گذرد. b2 cm ضخامت دیواره در سطح نقطه K1 است. نمودارهای  و  برای بخش C تیر در شکل نشان داده شده است. 1.15. مثال 1.7 برای تیر نشان داده شده در شکل. 1.16، الف، لازم است: 1. نمودار نیروهای عرضی و لنگرهای خمشی در امتداد مقاطع (نقاط) مشخصه بسازید. 2. ابعاد مقطع را به صورت دایره، مستطیل و تیر I از شرط مقاومت برای تنش های معمولی تعیین کنید، سطوح مقطع را با هم مقایسه کنید. 3. ابعاد انتخاب شده مقاطع تیر را از نظر تنش های برشی بررسی کنید. داده شده: راه حل: 1. تعیین واکنش های تکیه گاه های تیر بررسی: 2. نمودارهای Q و M را رسم کنید مقادیر نیروهای عرضی در مقاطع مشخصه تیر 25 شکل. 1.16 در بخش های CA و AD، شدت بار q = const. بنابراین در این بخشها نمودار Q به خطوط مستقیم متمایل به محور محدود می شود. در بخش DB، شدت بار توزیع شده q \u003d 0 است، بنابراین، در این بخش، نمودار Q به یک خط مستقیم موازی با محور x محدود می شود. نمودار Q برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.16b. مقادیر لنگرهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر: در قسمت دوم آبسیسا x2 مقطع را تعیین می کنیم که در آن Q = 0: حداکثر گشتاور در قسمت دوم نمودار M برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.16، ج. 2. شرط استحکام را برای تنش های معمولی که از آن مدول مقطع محوری مورد نیاز را از عبارت تعیین شده تعیین می کنیم، تعیین می کنیم. با توجه به جداول GOST 8239-89، نزدیکترین مقدار بیشتر گشتاور محوری مقاومت 597 سانتی متر مکعب را پیدا می کنیم که مربوط به پرتو I شماره 33 با مشخصات: A z 9840 cm4 است. بررسی تحمل: (کم باری 1% از 5% مجاز) نزدیکترین پرتو I شماره 30 (W 2 cm3) منجر به اضافه بار قابل توجه (بیش از 5%) می شود. ما نهایتاً I-beam شماره 33 را می پذیریم. ناحیه مقاطع دایره ای و مستطیلی را با کوچکترین سطح A از تیر I مقایسه می کنیم: از بین سه مقطع در نظر گرفته شده، مقطع I مقرون به صرفه ترین است. 3. ما بزرگترین تنش های نرمال را در قسمت خطرناک 27 تیر I محاسبه می کنیم (شکل 1.17، a): تنش های معمولی در دیوار نزدیک فلنج مقطع I-beam. 1.17b. 5. بیشترین تنش های برشی را برای مقاطع انتخابی تیر تعیین می کنیم. الف) مقطع مستطیلی تیر: ب) بخش گردتیرها: ج) مقطع I-beam: تنش های برشی در دیوار نزدیک فلنج تیر I در قسمت خطرناک A (سمت راست) (در نقطه 2): نمودار تنش های برشی در مقاطع خطرناک تیر I در شکل نشان داده شده است. 1.17، در. حداکثر تنش های برشی در تیر از تنش های مجاز تجاوز نمی کند. مثال 1.8 بار مجاز روی تیر را تعیین کنید (شکل 1.18، a)، اگر 60MPa باشد، ابعاد مقطع داده شده است (شکل 1.19، a). نمودار تنش های معمولی در قسمت خطرناک تیر تحت بار مجاز ایجاد کنید. شکل 1.18 1. تعیین واکنش های تکیه گاه های تیر. با توجه به تقارن سیستم 2. ساختن نمودارهای Q و M از مقاطع مشخصه. نیروهای برشی در مقاطع مشخصه تیر: نمودار Q برای تیر در شکل نشان داده شده است. 5.18b. گشتاورهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر برای نیمه دوم تیر، مختصات M در امتداد محورهای تقارن هستند. نمودار M برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.18b. 3. مشخصات هندسی مقطع (شکل 1.19). شکل را به دو عنصر ساده تقسیم می کنیم: یک پرتو I - 1 و یک مستطیل - 2. شکل. 1.19 با توجه به مجموعه ای برای پرتو I شماره 20، برای یک مستطیل داریم: گشتاور ایستا سطح مقطع نسبت به محور z1 فاصله از محور z1 تا مرکز ثقل مقطع، گشتاور اینرسی مقطع نسبت به محور مرکزی اصلی z، تنش در نقاط متعارف در محورهای مخاطره آمیز کل مقطع با توجه به فرمول "a" و "b" برابر خواهند بود: نمودار تنش های نرمال برای بخش خطرناک 1-1 در شکل نشان داده شده است. 1.19b.

ما با ساده ترین حالت، به اصطلاح خمش خالص شروع می کنیم.

یک خم تمیز وجود دارد مورد خاصخمشی که در آن نیروی عرضی در مقاطع تیر صفر است. خمش خالص تنها زمانی می تواند اتفاق بیفتد که وزن خود تیر به حدی کم باشد که بتوان از تأثیر آن چشم پوشی کرد. برای تیرهای روی دو تکیه گاه، نمونه هایی از بارهایی که باعث توری می شوند

خم شدن، نشان داده شده در شکل. 88. در بخش هایی از این تیرها، جایی که Q \u003d 0 و بنابراین، M \u003d ثابت است. یک خم خالص وجود دارد.

نیروها در هر بخش از تیر با خمش خالص به یک جفت نیرو کاهش می یابد که صفحه عمل آنها از محور تیر می گذرد و ممان ثابت است.

تنش ها را می توان بر اساس ملاحظات زیر تعیین کرد.

1. مولفه های مماسی نیروهای وارد بر نواحی ابتدایی در مقطع تیر را نمی توان به یک جفت نیرو که صفحه عمل آنها عمود بر صفحه مقطع است تقلیل داد. نتیجه این است که نیروی خمشی در مقطع حاصل عمل روی نواحی ابتدایی است

فقط نیروهای عادی، و بنابراین، با خمش خالص، تنش ها فقط به حالت عادی کاهش می یابد.

2. برای اینکه تلاش ها در سکوهای ابتدایی فقط به چند نیرو تقلیل یابد، باید در بین آنها هم نیروهای مثبت و هم منفی وجود داشته باشد. بنابراین، هر دو الیاف پرتو کششی و فشرده باید وجود داشته باشند.

3. با توجه به یکسان بودن نیروها در مقاطع مختلف، تنش ها در نقاط متناظر مقاطع یکسان است.

هر عنصر نزدیک به سطح را در نظر بگیرید (شکل 89، a). از آنجایی که هیچ نیرویی در امتداد سطح زیرین آن که با سطح تیر منطبق است اعمال نمی شود، هیچ تنشی نیز بر روی آن وارد نمی شود. بنابراین هیچ تنشی در وجه بالایی عنصر وجود ندارد، زیرا در غیر این صورت عنصر در حالت تعادل قرار نمی‌گیرد.

نتیجه‌گیری مشابه و غیره. نتیجه این است که هیچ تنشی در امتداد سطوح افقی هیچ عنصری وجود ندارد. با توجه به عناصر تشکیل دهنده لایه افقی، با شروع از عنصر نزدیک سطح تیر (شکل 90)، به این نتیجه می رسیم که هیچ تنشی در امتداد وجوه عمودی جانبی هیچ عنصری وجود ندارد. بنابراین، وضعیت تنش هر عنصر (شکل 91، a)، و در حد فیبر، باید همانطور که در شکل نشان داده شده است نشان داده شود. 91b، یعنی می تواند کشش محوری یا فشار محوری باشد.

4. به دلیل تقارن اعمال نیروهای خارجی، مقطع در امتداد وسط طول تیر پس از تغییر شکل باید صاف و نرمال با محور تیر باقی بماند (شکل 92، الف). به همین دلیل، مقاطع در یک چهارم طول تیر نیز صاف و نرمال با محور تیر باقی می‌مانند (شکل 92، ب)، اگر فقط بخش‌های انتهایی تیر در هنگام تغییر شکل صاف و نرمال با محور تیر باقی بمانند. نتیجه مشابهی نیز برای مقاطع هشتم طول تیر (شکل 92، ج) و غیره معتبر است. بنابراین، اگر مقاطع انتهایی تیر در طول خمش صاف بمانند، برای هر مقطعی باقی می ماند.

منصفانه است که بگوییم پس از تغییر شکل، نسبت به محور تیر منحنی صاف و نرمال باقی می‌ماند. اما در این حالت بدیهی است که تغییر کشیدگی الیاف تیر در امتداد ارتفاع آن نه تنها باید پیوسته، بلکه به صورت یکنواخت نیز رخ دهد. اگر یک لایه را مجموعه‌ای از الیاف با کشیدگی‌های یکسان بنامیم، از آنچه گفته شد چنین استنباط می‌شود که الیاف کشیده و فشرده تیر باید در طرف‌های مخالف لایه قرار گیرند که در آن کشیدگی الیاف برابر با صفر است. الیافی که طول آنها برابر با صفر است را خنثی می نامیم. یک لایه متشکل از الیاف خنثی - یک لایه خنثی؛ خط تقاطع لایه خنثی با صفحه مقطع تیر - خط خنثی این بخش. سپس با توجه به ملاحظات قبلی می توان ادعا کرد که با خمش خالص تیر در هر یک از مقاطع آن خط خنثی وجود دارد که این مقطع را به دو قسمت (منطقه) تقسیم می کند: ناحیه الیاف کشیده (منطقه کشش) و ناحیه الیاف فشرده (منطقه فشرده). بر این اساس، تنش های کششی معمولی باید در نقاط ناحیه کشیده مقطع، تنش های فشاری در نقاط ناحیه فشرده و در نقاط خط خنثی تنش ها برابر با صفر باشد.

بنابراین، با خمش خالص یک تیر با مقطع ثابت:

1) فقط تنش های معمولی در بخش ها عمل می کنند.

2) کل بخش را می توان به دو بخش (منطقه) تقسیم کرد - کشیده و فشرده. مرز مناطق خط خنثی مقطع است که در نقاط آن تنش های نرمال برابر با صفر است.

3) هر عنصر طولی تیر (در حد، هر فیبر) تحت کشش یا فشار محوری قرار می گیرد، به طوری که الیاف مجاور با یکدیگر تعامل ندارند.

4) اگر مقاطع انتهایی تیر در هنگام تغییر شکل صاف و نرمال با محور باقی بمانند، تمام مقاطع آن نسبت به محور تیر منحنی صاف و نرمال می‌مانند.

وضعیت تنش تیر در خمش خالص

یک عنصر از یک تیر را در نظر بگیرید که در معرض خمش خالص قرار دارد، نتیجه گیری بین بخش‌های m-m و n-n اندازه‌گیری می‌شود که از یکدیگر در فاصله بی‌نهایت کوچک dx فاصله دارند (شکل 93). با توجه به مفاد (4) بند قبل، مقاطع m-m و n-n که قبل از تغییر شکل موازی بودند، پس از خم شدن، صاف باقی ماندند، یک زاویه dQ تشکیل می دهند و در امتداد خط مستقیمی که از نقطه C می گذرد که مرکز انحنای فیبر خنثی NN است، قطع می شود. سپس قسمتی از فیبر AB که بین آنها محصور شده است و در فاصله z از فیبر خنثی قرار دارد (در هنگام خمش جهت مثبت محور z را به سمت تحدب پرتو می گیریم) پس از تغییر شکل به یک قوس AB تبدیل می شود.

قبل از تغییر شکل

پس از تغییر شکل

که در آن p شعاع انحنای فیبر خنثی است.

بنابراین، ازدیاد طول مطلق قطعه AB است

و ازدیاد طول

از آنجایی که طبق موقعیت (3)، فیبر AB تحت کشش محوری قرار می گیرد، سپس با تغییر شکل الاستیک

از اینجا می توان دریافت که تنش های نرمال در طول ارتفاع تیر بر اساس یک قانون خطی توزیع می شود (شکل 94). از آنجایی که نیروی مساوی تمام تلاش ها روی تمام بخش های ابتدایی بخش باید برابر با صفر باشد، پس

از آنجا، با جایگزینی مقدار (5.8)، پیدا می کنیم

اما آخرین انتگرال یک لحظه ایستا در مورد محور Oy است که بر صفحه عمل نیروهای خمشی عمود است.

این محور به دلیل برابری با صفر باید از مرکز ثقل O مقطع عبور کند. بنابراین، خط خنثی مقطع تیر یک خط مستقیم yy، عمود بر صفحه عمل نیروهای خمشی است. به آن محور خنثی مقطع تیر می گویند. سپس از (5.8) نتیجه می شود که تنش ها در نقاطی که در فاصله یکسان از محور خنثی قرار دارند یکسان است.

حالت خمش خالص که در آن نیروهای خمشی فقط در یک صفحه عمل می کنند و فقط در آن صفحه خم می شوند، خمش خالص مسطح است. اگر صفحه نامبرده از محور Oz عبور کند، لحظه تلاش اولیه نسبت به این محور باید برابر با صفر باشد، یعنی.

در اینجا با جایگزینی مقدار σ از (5.8)، پیدا می کنیم

همانطور که مشخص است انتگرال سمت چپ این تساوی، گشتاور گریز از مرکز اینرسی مقطع حول محورهای y و z است، به طوری که

محورهایی که لنگر گریز از مرکز اینرسی مقطع نسبت به آنها برابر با صفر است، محورهای اصلی اینرسی این مقطع نامیده می شوند. اگر علاوه بر این، از مرکز ثقل مقطع عبور کنند، می توان آنها را محورهای مرکزی اصلی اینرسی مقطع نامید. بنابراین، با یک خمش خالص صاف، جهت صفحه عمل نیروهای خمشی و محور خنثی مقطع، محورهای مرکزی اصلی اینرسی دومی هستند. به عبارت دیگر، برای به دست آوردن یک خمش خالص صاف یک تیر، نمی توان به طور دلخواه باری روی آن اعمال کرد: باید آن را به نیروهای وارده در صفحه ای کاهش داد که از یکی از محورهای مرکزی اصلی اینرسی بخش های تیر عبور می کند. در این حالت، دیگر محور مرکزی اصلی اینرسی، محور خنثی مقطع خواهد بود.

همانطور که مشخص است، در مورد مقطعی که نسبت به هر محوری متقارن است، محور تقارن یکی از محورهای اصلی اینرسی مرکزی آن است. بنابراین، در این مورد خاص، با اعمال آنالیزهای مناسب در صفحه عبوری از محور طولی تیر و محور تقارن مقطع آن، مطمئناً خمشی خالص به دست خواهیم آورد. خط مستقیم، عمود بر محور تقارن و عبور از مرکز ثقل مقطع، محور خنثی این مقطع است.

با تعیین موقعیت محور خنثی، یافتن بزرگی تنش در هر نقطه از مقطع کار دشواری نیست. در واقع، از آنجایی که مجموع گشتاورهای نیروهای اولیه نسبت به محور خنثی yy باید برابر با ممان خمشی باشد، پس

از آنجا، با جایگزینی مقدار σ از (5.8)، پیدا می کنیم

از آنجایی که انتگرال است است. ممان اینرسی بخش در مورد محور y، سپس

و از عبارت (5.8) بدست می آوریم

محصول EI Y را سختی خمشی تیر می نامند.

بزرگترین تنش های کششی و فشاری در قدر مطلق در نقاطی از مقطعی که قدر مطلق z برای آنها بزرگترین است، یعنی در دورترین نقاط از محور خنثی، اعمال می شود. با نامگذاری ها، شکل. 95 دارند

مقدار Jy / h1 لحظه مقاومت مقطع در برابر کشش نامیده می شود و با Wyr نشان داده می شود. به همین ترتیب Jy/h2 ممان مقاومت مقطع در برابر فشار نامیده می شود

و Wyc را نشان دهید، بنابراین

و بنابراین

اگر محور خنثی، محور تقارن مقطع باشد، h1 = h2 = h/2 و در نتیجه Wyp = Wyc، بنابراین نیازی به تمایز بین آنها نیست و آنها از یک نام استفاده می کنند:

W y را صرفاً مدول مقطع می نامیم. بنابراین، در مورد مقطع متقارن حول محور خنثی،

تمام نتایج فوق بر اساس این فرض به دست می آیند که مقاطع تیر در هنگام خم شدن، صاف و نرمال با محور خود باقی می مانند (فرضیه مقاطع صاف). همانطور که نشان داده شده است، این فرض تنها در صورتی معتبر است که بخش های انتهایی تیر در طول خمش صاف بمانند. از سوی دیگر، از فرضیه مقاطع مسطح چنین برمی‌آید که نیروهای اولیه در چنین مقاطعی باید بر اساس یک قانون خطی توزیع شوند. بنابراین برای اعتبار نظریه خمشی خالص مسطح به دست آمده، لازم است که لنگرهای خمشی در انتهای تیر به صورت نیروهای اولیه توزیع شده بر ارتفاع مقطع طبق قانون خطی اعمال شود (شکل 96) که با قانون توزیع تنش ها در طول ارتفاع مقطع تیر منطبق است. با این حال، بر اساس اصل Saint-Venant، می توان ادعا کرد که تغییر در روش اعمال لنگرهای خمشی در انتهای تیر فقط باعث تغییر شکل های موضعی می شود که تأثیر آنها فقط در فاصله معینی از این انتهای (تقریباً برابر با ارتفاع مقطع) تأثیر می گذارد. بخش هایی که در بقیه طول تیر قرار دارند صاف می مانند. در نتیجه، تئوری بیان شده در مورد خمش خالص صاف، با هر روشی برای اعمال لنگرهای خمشی، تنها در قسمت میانی طول تیر که در فواصل از انتهای آن تقریباً برابر با ارتفاع مقطع قرار دارد معتبر است. از اینجا مشخص می شود که اگر ارتفاع مقطع از نصف طول یا دهانه تیر بیشتر شود، این نظریه بدیهی است که قابل اجرا نیست.