خم شدن عرضی میله. خم تمیز محلول خم متقاطع مستقیم

برای یک تیر کنسول بارگذاری شده با بار توزیع شده با شدت kN / m و یک گشتاور متمرکز kN m (شکل 3.12)، لازم است: برای ساختن نمودارهای نیروهای برشی و لنگرهای خمشی، یک تیر با مقطع دایره ای در حد مجاز انتخاب کنید. تنش معمولی kN/cm2 و استحکام تیر را با توجه به تنش های برشی در تنش برشی مجاز kN/cm2 بررسی کنید. ابعاد تیر m; متر متر

طرح طراحی برای مشکل خمش عرضی مستقیم

برنج. 3.12

حل مشکل "خمش عرضی مستقیم"

تعیین واکنش های حمایتی

واکنش افقی در تعبیه صفر است، زیرا بارهای خارجی در جهت محور z روی تیر اثر نمی گذارند.

ما جهت نیروهای واکنشی باقی مانده را که در جاسازی ایجاد می شود انتخاب می کنیم: بیایید واکنش عمودی را به عنوان مثال به پایین و لحظه را در جهت عقربه های ساعت هدایت کنیم. مقادیر آنها از معادلات استاتیک تعیین می شود:

هنگام جمع‌آوری این معادلات، هنگام چرخش در خلاف جهت عقربه‌های ساعت، ممان را مثبت در نظر می‌گیریم و اگر جهت آن با جهت مثبت محور y منطبق باشد، پیش‌بینی نیرو مثبت است.

از معادله اول لحظه در خاتمه را پیدا می کنیم:

از معادله دوم - واکنش عمودی:

مقادیر مثبت به دست آمده توسط ما برای لحظه و واکنش عمودی در خاتمه نشان می دهد که ما جهت آنها را حدس زده ایم.

با توجه به ماهیت بست و بارگیری تیر، طول آن را به دو قسمت تقسیم می کنیم. در امتداد مرزهای هر یک از این مقاطع، چهار مقطع را ترسیم می کنیم (شکل 3.12 را ببینید)، که در آنها مقادیر نیروهای برشی و لنگرهای خمشی را با روش مقاطع (ROZU) محاسبه می کنیم.

بخش 1. اجازه دهید به صورت ذهنی سمت راست تیر را دور بیندازیم. بیایید عمل آن را در سمت چپ باقیمانده با نیروی برش و یک لحظه خمشی جایگزین کنیم. برای راحتی محاسبه مقادیر آنها، سمت راست پرتوی که توسط ما دور ریخته شده است را با یک تکه کاغذ می بندیم و لبه سمت چپ ورق را با بخش مورد نظر تراز می کنیم.

به یاد داشته باشید که نیروی برشی که در هر مقطعی ایجاد می شود باید تمام نیروهای خارجی (فعال و راکتیو) را که در قسمتی از تیر مورد نظر ما (یعنی قابل مشاهده) عمل می کنند متعادل کند. بنابراین، نیروی برشی باید برابر با مجموع جبری تمام نیروهایی باشد که می بینیم.

همچنین قانون علائم نیروی برشی را بیان می کنیم: یک نیروی خارجی که بر قسمت در نظر گرفته شده از تیر تأثیر می گذارد و تمایل دارد این قسمت را نسبت به مقطع در جهت عقربه های ساعت "چرخش" کند، باعث ایجاد نیروی برشی مثبت در مقطع می شود. چنین نیروی خارجی در مجموع جبری برای تعریف با علامت مثبت گنجانده شده است.

در مورد ما، ما فقط واکنش تکیه گاه را می بینیم که قسمت قابل مشاهده تیر را نسبت به بخش اول (نسبت به لبه کاغذ) در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخاند. از همین رو

kN.

لنگر خمشی در هر مقطع باید لنگر ایجاد شده توسط نیروهای خارجی را که نسبت به مقطع مورد نظر می بینیم متعادل کند. بنابراین، برابر است با مجموع جبری ممان‌های تمام تلاش‌هایی که در قسمتی از تیر مورد نظر ما انجام می‌شود، نسبت به مقطع مورد نظر (به عبارت دیگر نسبت به لبه کاغذ). در این حالت یک بار خارجی که قسمت در نظر گرفته شده از تیر را خم می کند با تحدب به سمت پایین باعث ایجاد یک گشتاور خمشی مثبت در مقطع می شود. و لحظه ایجاد شده توسط چنین باری در مجموع جبری برای تعریف با علامت مثبت گنجانده شده است.

ما دو تلاش را می بینیم: واکنش و لحظه پایان. اما بازوی نیرو نسبت به بخش 1 برابر با صفر است. از همین رو

kN m

ما علامت مثبت را گرفتیم زیرا گشتاور واکنشی قسمت قابل مشاهده پرتو را با تحدب به سمت پایین خم می کند.

بخش 2. مانند قبل، تمام سمت راست تیر را با یک کاغذ می پوشانیم. اکنون بر خلاف بخش اول، نیرو دارای یک شانه است: m. بنابراین

kN; kN m

بخش 3. بستن سمت راست پرتو، پیدا می کنیم

kN;

بخش 4. بیایید سمت چپ تیر را با یک برگ ببندیم. سپس

kN m

kN m

.

بر اساس مقادیر یافت شده، نمودارهایی از نیروهای برشی (شکل 3.12، b) و لنگرهای خمشی (شکل 3.12، c) می سازیم.

در بخش های بدون بار، نمودار نیروهای برشی به موازات محور تیر و تحت بار توزیع شده q در امتداد یک خط مستقیم متمایل به سمت بالا حرکت می کند. در زیر واکنش پشتیبانی در نمودار یک جهش به پایین با مقدار این واکنش وجود دارد، یعنی 40 کیلو نیوتن.

در نمودار لنگر خمشی، شاهد شکستگی در زیر واکنش حمایت هستیم. زاویه شکست به سمت واکنش تکیه گاه هدایت می شود. تحت یک بار توزیع شده q، نمودار در امتداد یک سهمی درجه دوم تغییر می کند، که تحدب آن به سمت بار هدایت می شود. در بخش 6 در نمودار یک اکسترم وجود دارد، زیرا نمودار نیروی برشی در این مکان از مقدار صفر در اینجا عبور می کند.

قطر مورد نیاز مقطع تیر را تعیین کنید

شرایط مقاومت برای تنش های معمولی به شکل زیر است:

,

ممان مقاومت تیر در خمش کجاست. برای یک تیر با مقطع دایره ای برابر است با:

.

ممان خمشی با بیشترین مقدار مطلق در بخش سوم تیر اتفاق می افتد: kN سانتی متر

سپس قطر تیر مورد نیاز با فرمول تعیین می شود

سانتی متر.

میلی متر را قبول می کنیم. سپس

kN/cm2 kN/cm2.

"اضافه ولتاژ" است

,

آنچه مجاز است

ما مقاومت تیر را برای بیشترین تنش های مماسی بررسی می کنیم

بیشترین تنش های برشی که در مقطع تیر دایره ای ایجاد می شود با فرمول محاسبه می شود

,

سطح مقطع کجاست

با توجه به نمودار، بزرگترین مقدار جبری نیروی برشی برابر است با kN. سپس

kN/cm2 kN/cm2،

یعنی شرط استحکام و تنش‌های برشی، به علاوه، با حاشیه زیاد برآورده می‌شود.

نمونه ای از حل مسئله خمش عرضی مستقیم شماره 2

وضعیت مثال مسئله برای خمش عرضی مستقیم

برای یک تیر لولایی بارگذاری شده با بار توزیع شده با شدت kN/m، نیروی متمرکز kN و گشتاور متمرکز kN m (شکل 3.13)، باید نیروهای برشی و لنگرهای خمشی رسم شود و سطح مقطع تیر I انتخاب شود. با تنش معمولی مجاز kN/cm2 و تنش برشی مجاز kN/cm2. دهانه تیر m.

نمونه ای از کار برای یک خم مستقیم - یک طرح طراحی

برنج. 3.13

حل یک مثال از مشکل خمش مستقیم

تعیین واکنش های حمایتی

برای یک تیر تکیه گاه محوری معین، لازم است سه واکنش تکیه گاه پیدا کنیم: , و . از آنجایی که فقط بارهای عمودی بر روی تیر عمود بر محور آن وارد می شود، واکنش افقی تکیه گاه لولایی ثابت A برابر با صفر است: .

جهت واکنش های عمودی و خودسرانه انتخاب می شوند. برای مثال، هر دو واکنش عمودی را به سمت بالا هدایت می کنیم. برای محاسبه مقادیر آنها، ما دو معادله استاتیک را ایجاد می کنیم:

به یاد بیاورید که بار خطی حاصل، که به طور یکنواخت بر روی یک مقطع به طول l توزیع شده است، برابر است، یعنی برابر با مساحت نمودار این بار و در مرکز ثقل این نمودار اعمال می شود. یعنی در وسط طول.

;

kN.

بررسی می کنیم: .

به یاد بیاورید که نیروهایی که جهت آنها با جهت مثبت محور y منطبق است با علامت مثبت بر روی این محور پیش بینی می شوند:

این صحیح است.

ما نمودارهایی از نیروهای برشی و لنگرهای خمشی می سازیم

طول پرتو را به بخش های جداگانه تقسیم می کنیم. مرزهای این مناطق نقاط اعمال نیروهای متمرکز (فعال و / یا واکنشی) و همچنین نقاط مربوط به ابتدا و انتهای بار توزیع شده است. سه حوزه از این قبیل در مشکل ما وجود دارد. در امتداد مرزهای این بخش، شش مورد را ترسیم می کنیم مقاطع عرضی، که در آن مقادیر نیروهای برشی و لنگرهای خمشی را محاسبه خواهیم کرد (شکل 3.13، a).

بخش 1. اجازه دهید به صورت ذهنی سمت راست تیر را دور بیندازیم. برای راحتی محاسبه نیروی برشی و لنگر خمشی ایجاد شده در این بخش، قسمتی از تیر که توسط خودمان دور ریخته شده است را با یک تکه کاغذ می بندیم و لبه سمت چپ کاغذ را با خود مقطع تراز می کنیم.

نیروی برشی در مقطع تیر برابر با مجموع جبری تمام نیروهای خارجی (فعال و راکتیو) است که می بینیم. در این حالت، واکنش تکیه گاه و بار خطی q را می بینیم که در طول بی نهایت کوچک توزیع شده است. بار خطی حاصل صفر است. از همین رو

kN.

علامت مثبت به این دلیل گرفته می شود که نیرو قسمت قابل مشاهده پرتو را نسبت به بخش اول (لبه کاغذ) در جهت عقربه های ساعت می چرخاند.

لنگر خمشی در مقطع تیر برابر با مجموع جبری گشتاورهای تمام نیروهایی است که می بینیم، نسبت به مقطع مورد نظر (یعنی نسبت به لبه یک تکه کاغذ). ما واکنش تکیه گاه و بار خطی q را می بینیم که در طول بی نهایت کوچک توزیع شده است. با این حال، اهرم نیرو صفر است. بار خطی حاصل نیز برابر با صفر است. از همین رو

بخش 2. مانند قبل، تمام سمت راست تیر را با یک کاغذ می پوشانیم. اکنون واکنش و بار q را می بینیم که بر یک مقطع از طول اثر می گذارد. بار خطی حاصل برابر است با . در وسط قسمتی به طول . از همین رو

به یاد بیاورید که هنگام تعیین علامت لحظه خمشی، بخشی از تیر را که می بینیم از تمام بست های تکیه گاه واقعی به طور ذهنی آزاد می کنیم و آن را به گونه ای تصور می کنیم که در قسمت مورد نظر (یعنی لبه سمت چپ قطعه) گیر کرده است. کاغذ از نظر ذهنی توسط ما به عنوان مهر و موم سفت و سخت نشان داده می شود).

بخش 3. بیایید قسمت سمت راست را ببندیم. گرفتن

قسمت 4. سمت راست پرتو را با یک برگ می بندیم. سپس

حال برای کنترل صحت محاسبات، سمت چپ تیر را با یک تکه کاغذ بپوشانیم. ما نیروی متمرکز P، واکنش تکیه گاه سمت راست و بار خطی q را می بینیم که در طول بی نهایت کوچک توزیع شده است. بار خطی حاصل صفر است. از همین رو

kN m

یعنی همه چیز درست است.

بخش 5. همچنان سمت چپ پرتو را ببندید. خواهد داشت

kN;

kN m

بخش 6. بیایید دوباره سمت چپ تیر را ببندیم. گرفتن

kN;

بر اساس مقادیر یافت شده، نمودارهایی از نیروهای برشی (شکل 3.13، b) و لنگرهای خمشی (شکل 3.13، c) می سازیم.

ما متقاعد شده ایم که در زیر بخش بدون بار، نمودار نیروهای برشی به موازات محور تیر و تحت بار توزیع شده q - در امتداد یک خط مستقیم با شیب رو به پایین اجرا می شود. سه پرش در نمودار وجود دارد: تحت واکنش - 37.5 کیلو نیوتن به بالا، تحت واکنش - 132.5 کیلو نیوتن بالا و تحت نیروی P - 50 کیلو نیوتن پایین.

در نمودار لنگرهای خمشی، شاهد شکستگی تحت نیروی متمرکز P و تحت واکنش های تکیه گاه هستیم. زوایای شکست به سمت این نیروها هدایت می شوند. تحت یک بار توزیع شده با شدت q، نمودار در امتداد یک سهمی درجه دوم تغییر می کند، که تحدب آن به سمت بار هدایت می شود. در زیر گشتاور متمرکز پرش 60 کیلونیوتن متری وجود دارد، یعنی به اندازه خود لحظه. در بخش 7 در نمودار یک اکسترم وجود دارد، زیرا نمودار نیروی برشی برای این بخش از مقدار صفر () عبور می کند. اجازه دهید فاصله قسمت 7 تا ساپورت سمت چپ را تعیین کنیم.

خم مستقیم. تخت خم عرضیساخت نمودار ضرایب نیروی داخلی تیرها ساخت نمودارهای Q و M طبق معادلات ساخت نمودارهای Q و M بر اساس مقاطع مشخصه (نقاط) محاسبات برای مقاومت در خمش مستقیم تیرها تنشهای اصلی در خمش. بررسی کامل مقاومت تیرها درک مرکز خمش تعیین جابجایی تیرها در حین خمش. مفاهیم تغییر شکل تیرها و شرایط صلبیت آنها معادله دیفرانسیل محور خم تیر روش ادغام مستقیم نمونه هایی از تعیین جابجایی در تیرها با روش انتگرال گیری مستقیم معنی فیزیکی ثابت های یکپارچگی روش پارامترهای اولیه (معادله جهانی محور خم شده تیر). نمونه هایی از تعیین جابجایی ها در یک تیر با استفاده از روش پارامترهای اولیه تعیین جابجایی ها با استفاده از روش Mohr. قانون A.K ورشچاگین. محاسبه انتگرال Mohr بر اساس A.K. ورشچاگین نمونه هایی از تعیین جابجایی ها با استفاده از کتابشناسی انتگرال مور خمش مستقیم. خم عرضی صاف. 1.1. نمودارهای رسم عوامل نیروی داخلی برای تیرها خمش مستقیم نوعی تغییر شکل است که در آن دو عامل نیروی داخلی در مقاطع عرضی میله ایجاد می شود: یک لنگر خمشی و یک نیروی عرضی. در یک مورد خاص، نیروی عرضی می تواند برابر با صفر باشد، سپس خمش خالص نامیده می شود. با خمش عرضی مسطح، تمام نیروها در یکی از صفحات اصلی اینرسی میله قرار دارند و بر محور طولی آن عمود هستند، ممان ها در همان صفحه قرار می گیرند (شکل 1.1، a، b). برنج. 1.1 نیروی عرضی در یک مقطع دلخواه تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری برآمدگی ها بر روی نرمال به محور تیر تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع مورد نظر عمل می کنند. نیروی برشی در مقطع پرتوهای m-n(شکل 1.2، الف) در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که برآیند نیروهای خارجی به سمت چپ مقطع به سمت بالا، و به سمت راست - به سمت پایین، و منفی - در حالت مخالف باشد (شکل 1.2، ب). برنج. 1.2 هنگام محاسبه نیروی عرضی در یک بخش معین، نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش قرار دارند، اگر به سمت بالا باشند با علامت مثبت و اگر به سمت پایین با علامت منفی گرفته می شوند. برای سمت راست تیر - برعکس. 5 لنگر خمشی در مقطع دلخواه تیر از نظر عددی برابر است با مجموع جبری لنگرهای حول محور مرکزی z از بخش تمام نیروهای خارجی که در یک طرف مقطع مورد نظر عمل می کنند. لحظه خم شدن در بخش m-n تیرها (شکل 1.3، الف) در صورتی مثبت در نظر گرفته می شوند که گشتاور حاصل از نیروهای خارجی به سمت چپ مقطع در جهت عقربه های ساعت و به سمت راست - خلاف جهت عقربه های ساعت و منفی - در حالت مخالف (شکل 1.3، b) باشد. برنج. 1.3 هنگام محاسبه لنگر خمشی در یک بخش معین، گشتاورهای نیروهای خارجی که در سمت چپ مقطع قرار دارند، اگر در جهت عقربه های ساعت باشند مثبت در نظر گرفته می شوند. برای سمت راست تیر - برعکس. تعیین علامت لحظه خمشی با توجه به ماهیت تغییر شکل پرتو راحت است. لنگر خمشی در صورتی مثبت در نظر گرفته می شود که در قسمت مورد نظر، قسمت برش تیر با تحدب به سمت پایین خم شود، یعنی الیاف پایینی کشیده شوند. در غیر این صورت ممان خمشی در مقطع منفی است. بین گشتاور خمشی M، نیروی عرضی Q و شدت بار q، وابستگی های دیفرانسیل وجود دارد. 1. اولین مشتق نیروی عرضی در امتداد آبسیسا مقطع برابر با شدت بار توزیع شده است، یعنی. . (1.1) 2. اولین مشتق لنگر خمشی در امتداد آبسیسا مقطع برابر با نیروی عرضی است، یعنی . (1.2) 3. مشتق دوم نسبت به آبسیسا مقطع برابر با شدت بار توزیع شده است، یعنی . (1.3) بار توزیع شده به سمت بالا را مثبت در نظر می گیریم. تعدادی نتیجه گیری مهم از وابستگی های دیفرانسیل بین M, Q, q به دست می آید: 1. اگر در مقطع تیر: الف) نیروی عرضی مثبت باشد، گشتاور خمشی افزایش می یابد. ب) نیروی عرضی منفی است، سپس گشتاور خمشی کاهش می یابد. ج) نیروی عرضی صفر است، سپس ممان خمشی مقدار ثابتی دارد (خمش خالص). 6 د) نیروی عرضی از صفر عبور می کند، علامت مثبت به منفی، حداکثر M M، در غیر این صورت M Mmin تغییر می کند. 2. اگر در مقطع تیر بار توزیعی وجود نداشته باشد، نیروی عرضی ثابت است و لنگر خمشی به صورت خطی تغییر می کند. 3. اگر یک بار توزیع یکنواخت بر روی مقطع تیر وجود داشته باشد، نیروی عرضی بر اساس قانون خطی تغییر می کند و لنگر خمشی - طبق قانون سهمی مربع، در جهت بار محدب است (در مورد ترسیم M از سمت الیاف کشیده شده). 4. در قسمت تحت نیروی متمرکز نمودار Q دارای جهش (به بزرگی نیرو) است، نمودار M دارای گسست در جهت نیرو است. 5. در قسمتی که یک گشتاور متمرکز اعمال می شود، نمودار M دارای جهشی برابر با مقدار این ممان است. این در نمودار Q منعکس نمی شود. تحت بارگذاری پیچیده، تیرها نمودار نیروهای عرضی Q و لنگرهای خمشی M را می سازند. نمودار Q (M) نموداری است که قانون تغییر نیروی عرضی (لمان خمشی) را در طول تیر نشان می دهد. بر اساس تجزیه و تحلیل نمودارهای M و Q، مقاطع خطرناک تیر ایجاد می شود. مختصات مثبت نمودار Q به سمت بالا و ارتجاعات منفی از خط پایه که به موازات محور طولی تیر کشیده شده است به سمت پایین رسم می شوند. مختصات مثبت دیاگرام M مشخص شده اند، و ارقام منفی به سمت بالا رسم می شوند، یعنی نمودار M از سمت الیاف کشیده شده ساخته شده است. ساختن نمودارهای Q و M برای تیرها باید با تعریف واکنش های پشتیبانی آغاز شود. برای یک تیر با یک سر ثابت و انتهای دیگر آزاد، رسم Q و M را می توان از انتهای آزاد بدون تعریف واکنش در جاسازی شروع کرد. 1.2. ساخت نمودارهای Q و M با توجه به معادلات Balk به بخش هایی تقسیم می شود که در آن توابع لنگر خمشی و نیروی برشی ثابت می مانند (بدون ناپیوستگی). مرزهای مقاطع، نقاط اعمال نیروهای متمرکز، جفت نیرو و محل تغییر شدت بار توزیع شده است. بر روی هر مقطع، یک مقطع دلخواه در فاصله x از مبدأ گرفته می شود و معادلات Q و M برای این مقطع ترسیم می شود. نمودارهای Q و M با استفاده از این معادلات ساخته می شوند. مثال 1.1 ساختن نمودارهای نیروهای برشی Q و خمشی ممان M برای یک تیر معین (شکل 1.4a). راه حل: 1. تعیین واکنش تکیه گاه ها. ما معادلات تعادل را می سازیم: که از آنها به دست می آوریم واکنش های تکیه گاه ها به درستی تعریف شده اند. تیر دارای چهار بخش است شکل. 1.4 بارگیری: CA، AD، DB، BE. 2. Plotting Q. Plot SA. در بخش CA 1، یک بخش دلخواه 1-1 را در فاصله x1 از انتهای چپ تیر رسم می کنیم. Q را مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش 1-1 وارد می کنند تعریف می کنیم: علامت منفی به این دلیل گرفته می شود که نیروی وارد شده به سمت چپ مقطع به سمت پایین هدایت می شود. عبارت Q به متغیر x1 بستگی ندارد. نمودار Q در این بخش به صورت یک خط مستقیم موازی با محور x نشان داده می شود. طرح AD. در سایت، یک مقطع دلخواه 2-2 در فاصله x2 از انتهای چپ تیر رسم می کنیم. ما Q2 را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت چپ بخش 2-2 عمل می کنند تعریف می کنیم: 8 مقدار Q در مقطع ثابت است (به متغیر x2 بستگی ندارد). نمودار Q در نمودار یک خط مستقیم موازی با محور x است. سایت دی بی. در سایت، یک مقطع دلخواه 3-3 در فاصله x3 از انتهای سمت راست تیر رسم می کنیم. ما Q3 را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت راست بخش 3-3 عمل می کنند تعریف می کنیم: عبارت حاصل معادله یک خط مستقیم مایل است. طرح B.E. در سایت یک مقطع 4-4 به فاصله x4 از انتهای سمت راست تیر می کشیم. ما Q را به عنوان مجموع جبری تمام نیروهای خارجی که در سمت راست بخش 4-4 عمل می کنند تعریف می کنیم: 4 در اینجا، علامت مثبت گرفته می شود زیرا بار حاصل از سمت راست بخش 4-4 به سمت پایین هدایت می شود. بر اساس مقادیر به دست آمده، نمودارهای Q را می سازیم (شکل 1.4، ب). 3. Plotting M. Plot m1. ما گشتاور خمشی در مقطع 1-1 را به عنوان مجموع جبری نیروهای وارد بر سمت چپ مقطع 1-1 تعریف می کنیم. معادله یک خط مستقیم است. بخش A 3 لنگر خمشی در بخش 2-2 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارده به سمت چپ بخش 2-2 تعریف کنید. معادله یک خط مستقیم است. نمودار DB 4 ما گشتاور خمشی در مقطع 3-3 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارد بر سمت راست مقطع 3-3 تعریف می کنیم. معادله سهمی مربع است. 9 سه مقدار را در انتهای مقطع و در نقطه ای با مختصات xk بیابید، جایی که بخش BE 1 گشتاور خمشی در مقطع 4-4 را به عنوان مجموع جبری گشتاورهای نیروهای وارد بر سمت راست بخش 4 تعریف کنید. 4. - معادله سهمی مربع سه مقدار M4 را پیدا می کنیم: بر اساس مقادیر به دست آمده، نمودار M را می سازیم (شکل 1.4، c). در بخش‌های CA و AD، نمودار Q با خطوط مستقیم موازی با محور آبسیسا، و در بخش‌های DB و BE، با خطوط مستقیم مورب محدود می‌شود. در بخش های C، A و B روی نمودار Q، جهش هایی با بزرگی نیروهای مربوطه وجود دارد که به عنوان بررسی درستی ساخت نمودار Q عمل می کند. در بخش هایی که Q  0 است، گشتاورها از افزایش می یابد. چپ به راست. در بخش هایی که Q  0 است، گشتاورها کاهش می یابد. تحت نیروهای متمرکز پیچ خوردگی هایی در جهت عمل نیروها وجود دارد. تحت لحظه متمرکز، یک جهش با مقدار لحظه وجود دارد. این نشان دهنده درستی رسم M است. مثال 1.2 نمودارهای Q و M را برای یک تیر بر روی دو تکیه گاه، بارگذاری شده با یک بار توزیع شده، که شدت آن به صورت خطی متفاوت است، بسازید (شکل 1.5، a). راه حل تعیین واکنش های حمایتی. حاصل بار توزیع شده برابر با مساحت مثلثی است که نمودار بار را نشان می دهد و در مرکز ثقل این مثلث اعمال می شود. ما مجموع گشتاورهای تمام نیروها را نسبت به نقاط A و B می‌سازیم: رسم Q. بیایید یک مقطع دلخواه در فاصله x از تکیه گاه سمت چپ رسم کنیم. ترتیب نمودار بار مربوط به مقطع از شباهت مثلث ها تعیین می شود. حاصل آن قسمت از بار که در سمت چپ مقطع قرار دارد، نیروی برشی در مقطع برابر با صفر است: نمودار Q در شکل نشان داده شده است. شکل. 1.5، ب. لنگر خمشی در یک مقطع دلخواه برابر است با گشتاور خمشی بر اساس قانون سهمی مکعبی تغییر می کند: حداکثر مقدار لنگر خمشی در مقطعی است که 0، یعنی در. 1.5، ج. 1.3. ساختن نمودارهای Q و M توسط مقاطع مشخصه (نقاط) با استفاده از روابط دیفرانسیل بین M، Q، q و نتیجه گیری های حاصل از آنها، توصیه می شود نمودارهای Q و M را با مقاطع مشخصه (بدون فرمول بندی معادلات) بسازید. با استفاده از این روش، مقادیر Q و M در بخش های مشخصه محاسبه می شود. مقاطع مشخصه مقاطع مرزی مقاطع و همچنین بخشهایی هستند که ضریب نیروی داخلی داده شده دارای یک مقدار شدید است. در محدوده بین بخش های مشخصه، طرح کلی 12 نمودار بر اساس وابستگی های تفاضلی بین M، Q، q و نتایج حاصل از آنها ایجاد می شود. مثال 1.3 نمودارهای Q و M را برای تیر نشان داده شده در شکل بسازید. 1.6، الف. برنج. 1.6. راه حل: رسم نمودارهای Q و M را از انتهای آزاد تیر شروع می کنیم، در حالی که می توان واکنش های موجود در جاسازی را حذف کرد. تیر دارای سه ناحیه بارگیری است: AB، BC، CD. در مقاطع AB و BC هیچ بار توزیعی وجود ندارد. نیروهای عرضی ثابت هستند. نمودار Q توسط خطوط مستقیم موازی با محور x محدود می شود. لحظات خمشی به صورت خطی تغییر می کنند. نمودار M محدود به خطوط مستقیم متمایل به محور x است. در بخش CD یک بار توزیع یکنواخت وجود دارد. نیروهای عرضی به صورت خطی تغییر می کنند و لنگرهای خمشی بر اساس قانون سهمی مربع با تحدب در جهت بار توزیع شده تغییر می کنند. در مرز مقاطع AB و BC، نیروی عرضی به طور ناگهانی تغییر می کند. در مرز مقاطع BC و CD، لنگر خمشی به طور ناگهانی تغییر می کند. 1. رسم Q. ما مقادیر نیروهای عرضی Q را در مقاطع مرزی مقاطع محاسبه می کنیم: بر اساس نتایج محاسبات، نمودار Q را برای تیر می سازیم (شکل 1، ب). از نمودار Q چنین بر می آید که نیروی عرضی در مقطع CD در مقطعی که در فاصله qa a q از ابتدای این مقطع قرار دارد برابر با صفر است. در این بخش لنگر خمشی دارای حداکثر مقدار است. 2. ساخت نمودار M. مقادیر لنگرهای خمشی در مقاطع مرزی مقاطع را محاسبه می کنیم: مثال 1.4 با توجه به نمودار داده شده لنگرهای خمشی (شکل 1.7، a) برای تیر (شکل 1.7، b)، بارهای عمل کننده را تعیین کنید و Q را رسم کنید. دایره راس سهمی مربع را نشان می دهد. راه حل: بارهای وارد بر تیر را تعیین کنید. بخش AC با یک بار توزیع یکنواخت بارگذاری می شود، زیرا نمودار M در این بخش یک سهمی مربع است. در بخش مرجع B، یک گشتاور متمرکز به پرتو اعمال می‌شود که در جهت عقربه‌های ساعت عمل می‌کند، زیرا در نمودار M یک جهش به سمت بالا با بزرگی لحظه داریم. در بخش NE، تیر بارگذاری نمی شود، زیرا نمودار M در این بخش توسط یک خط مستقیم مایل محدود شده است. واکنش تکیه گاه B از شرایطی تعیین می شود که لنگر خمشی در مقطع C برابر با صفر باشد، یعنی برای تعیین شدت بار توزیع شده، عبارتی را برای لنگر خمشی در مقطع A به عنوان مجموع ممان ها می سازیم. نیروهای سمت راست و برابر با صفر هستند.حالا واکنش تکیه گاه A را تعیین می کنیم.برای این کار عبارتی برای ممان های خمشی در مقطع به عنوان مجموع گشتاورهای نیروهای سمت چپ می سازیم. طرح طراحی تیرهای با بار در شکل نشان داده شده است. 1.7، ج. با شروع از انتهای سمت چپ تیر، مقادیر نیروهای عرضی در بخش های مرزی مقاطع را محاسبه می کنیم: نمودار Q در شکل نشان داده شده است. 1.7، د. مشکل در نظر گرفته شده را می توان با کامپایل وابستگی های تابعی برای M, Q در هر بخش حل کرد. بیایید مبدا مختصات را در انتهای سمت چپ پرتو انتخاب کنیم. در مقطع AC نمودار M با سهمی مربعی بیان می شود که معادله آن به شکل ثابت های a,b,c است، از شرطی که سهمی از سه نقطه با مختصات مشخص عبور می کند، متوجه می شویم: جایگزینی مختصات نقاط معادله سهمی را به دست می آوریم: عبارت گشتاور خمشی خواهد بود، وابستگی نیروی عرضی را به دست می آوریم پس از تفکیک تابع Q، عبارتی برای شدت بار توزیع شده در بخش NE به دست می آوریم. ، عبارت لنگر خمشی به صورت یک تابع خطی نشان داده می شود برای تعیین ثابت های a و b از شرایطی استفاده می کنیم که این خط از دو نقطه که مختصات آنها مشخص است بگذرد دو معادله به دست می آوریم: ,b که یک 20 داریم. معادله لنگر خمشی در مقطع NE به این صورت خواهد بود که پس از تفکیک دو برابری M2 به آن پی خواهیم برد.بر اساس مقادیر یافت شده M و Q نمودار لنگرهای خمشی و نیروهای برشی تیر را می سازیم. علاوه بر بار توزیع شده، نیروهای متمرکز در سه بخش به تیر وارد می شود که در نمودار Q جهش وجود دارد و در قسمتی که پرش در نمودار M وجود دارد گشتاورهای متمرکز. مثال 1.5 برای یک تیر (شکل 1.8، a)، موقعیت منطقی لولا C را تعیین کنید، که در آن بزرگترین گشتاور خمشی در دهانه برابر با لنگر خمشی در تعبیه (در مقدار مطلق) است. نمودارهای Q و M را بسازید. راه حل تعیین واکنش تکیه گاه ها. با وجود این واقعیت که تعداد کل پیوندهای پشتیبانی چهار است، پرتو از نظر استاتیکی مشخص است. ممان خمشی در لولا C برابر با صفر است که به ما امکان می دهد یک معادله اضافی ایجاد کنیم: مجموع لنگرهای مربوط به لولای تمام نیروهای خارجی که در یک طرف این لولا وارد می شوند برابر با صفر است. مجموع گشتاورهای تمام نیروها را در سمت راست لولا C بنویسید. نمودار Q برای تیر با یک خط مستقیم مایل محدود شده است، زیرا q = const. ما مقادیر نیروهای عرضی را در مقاطع مرزی تیر تعیین می کنیم: آبسیسا xK مقطع، که در آن Q = 0 است، از معادله تعیین می شود که در آن نمودار M برای تیر توسط یک سهمی مربع محدود می شود. عبارات لنگرهای خمشی در مقاطع که در آن Q = 0 و در انتهای آن به ترتیب به صورت زیر نوشته می شود: از شرط برابری ممان ها، معادله درجه دوم برای پارامتر مورد نظر x به دست می آید: مقدار واقعی x2x 1 است. .029 متر. مقادیر عددی نیروهای عرضی و لنگرهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر را تعیین می کنیم. 1.8، c - نمودار M. مشکل در نظر گرفته شده را می توان با تقسیم تیر لولایی به عناصر تشکیل دهنده آن حل کرد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1.8، د در ابتدا، واکنش های پشتیبانی VC و VB تعیین می شود. نمودارهای Q و M برای تیر تعلیق SV از عمل بار اعمال شده به آن ساخته می شوند. سپس به سمت تیر اصلی AC حرکت می کنند و آن را با نیروی اضافی VC که نیروی فشار پرتو CB بر تیر AC است بار می کنند. پس از آن، نمودارهای Q و M برای پرتو AC ساخته می شوند. 1.4. محاسبات مقاومت برای خمش مستقیم تیرها محاسبه مقاومت برای تنش های معمولی و برشی. با خمش مستقیم تیر، تنش های نرمال و برشی در مقاطع عرضی آن ایجاد می شود (شکل 1.9). 18 شکل. 1.9 تنش های معمولی مربوط به ممان خمشی، تنش های برشی مربوط به نیروی عرضی است. در خمش خالص مستقیم، تنش های برشی برابر با صفر است. تنش های عادی در یک نقطه دلخواه از مقطع تیر با فرمول (1.4) تعیین می شود که در آن M گشتاور خمشی در مقطع داده شده است. Iz ممان اینرسی مقطع نسبت به محور خنثی z است. y فاصله از نقطه ای که تنش نرمال تعیین می شود تا محور z خنثی است. تنش های معمولی در امتداد ارتفاع مقطع به صورت خطی تغییر می کند و در نقاطی که از محور خنثی دورتر هستند به بیشترین مقدار می رسد.اگر مقطع نسبت به محور خنثی متقارن باشد (شکل 1.11) 1.11 بیشترین تنش های کششی و فشاری یکسان است و با فرمول  - گشتاور محوری مقاومت مقطع در خمش تعیین می شود. برای یک مقطع مستطیلی با عرض b و ارتفاع h: (1.7) برای یک مقطع دایره ای با قطر d: (1.8) برای یک بخش حلقوی   به ترتیب قطر داخلی و خارجی حلقه است. برای تیرهای ساخته شده از مواد پلاستیکی، منطقی ترین شکل متقارن 20 بخش (تیر I، جعبه شکل، حلقوی) است. برای تیرهای ساخته شده از مواد شکننده که به یک اندازه در برابر کشش و فشار مقاومت نمی کنند، مقاطع نامتقارن در مورد محور خنثی z (ta-br.، U شکل، نامتقارن I-beam) منطقی هستند. برای تیرهای مقطع ثابت ساخته شده از مواد پلاستیکی با شکل مقطع متقارن، شرایط مقاومت به صورت زیر نوشته می شود: (1.10) که در آن Mmax حداکثر مدول لنگر خمشی است. - تنش مجاز برای مواد. برای تیرهای مقطع ثابت ساخته شده از مواد پلاستیکی با شکل مقطع نامتقارن، شرط مقاومت به شکل زیر نوشته می شود: (1. 11) برای تیرهای ساخته شده از مواد شکننده با مقاطع نامتقارن در مورد محور خنثی، اگر نمودار M بدون ابهام باشد (شکل 1.12)، دو شرط مقاومت باید نوشته شود - فاصله از محور خنثی تا دورترین نقاط به ترتیب مناطق کشیده و فشرده بخش خطرناک؛ P - تنش های مجاز به ترتیب در کشش و فشار. شکل 1.12. 21 اگر نمودار لنگر خمشی دارای مقاطع با علائم مختلف باشد (شکل 1.13)، پس علاوه بر بررسی مقطع 1-1، جایی که Mmax عمل می کند، لازم است حداکثر تنش های کششی برای مقطع 2-2 (با بزرگترین لحظه علامت مخالف). برنج. 1.13 همراه با محاسبه اولیه برای تنش های معمولی، در برخی موارد لازم است مقاومت تیر برای تنش های برشی بررسی شود. تنش های برشی در تیرها با فرمول D. I. Zhuravsky (1.13) محاسبه می شود که در آن Q نیروی عرضی در مقطع در نظر گرفته شده تیر است. Szots لحظه ایستا در مورد محور خنثی ناحیه قسمتی از بخش واقع در یک طرف خط مستقیم است که از نقطه داده شده و موازی با محور z کشیده شده است. b عرض بخش در سطح نقطه در نظر گرفته شده است. Iz ممان اینرسی کل مقطع حول محور خنثی z است. در بسیاری از موارد حداکثر تنش های برشی در سطح لایه خنثی تیر (مستطیل، تیر I، دایره) رخ می دهد. در چنین مواردی، شرایط مقاومت برای تنش های برشی به صورت (1.14) نوشته می شود که در آن Qmax نیروی عرضی با بالاترین مدول است. - تنش برشی مجاز برای مواد. برای یک مقطع تیر مستطیلی، شرایط مقاومت به شکل (1.15) A سطح مقطع تیر است. برای یک بخش دایره ای، شرایط مقاومت به صورت (1.16) نشان داده می شود. برای یک مقطع I، شرایط مقاومت به صورت زیر نوشته می شود: (1.17) d ضخامت دیواره I-beam است. معمولاً ابعاد مقطع تیر از روی شرط مقاومت برای تنش های معمولی تعیین می شود. بررسی مقاومت تیرها برای تنش های برشی برای تیرهای کوتاه و تیرهای با هر طول، در صورت وجود نیروهای متمرکز با قدر زیاد در نزدیکی تکیه گاه ها، و همچنین برای تیرهای چوبی، پرچ شده و جوش داده شده الزامی است. مثال 1.6 استحکام یک تیر مقطع جعبه (شکل 1.14) را برای تنش های معمولی و برشی، اگر MPa بررسی کنید. در قسمت خطرناک تیر، نمودارها را بسازید. برنج. 1.14 تصمیم 23 1. نمودارهای Q و M را از بخشهای مشخصه رسم کنید. با در نظر گرفتن سمت چپ تیر به دست می آوریم نمودار نیروهای عرضی در شکل نشان داده شده است. 1.14، ج. نمودار لنگرهای خمشی در شکل نشان داده شده است. 5.14، g 2. مشخصات هندسی مقطع 3. بالاترین تنش های نرمال در مقطع C، جایی که Mmax عمل می کند (مدول): MPa. حداکثر تنش های نرمال در تیر عملاً برابر با تنش های مجاز است. 4. بالاترین تنش های برشی در مقطع C (یا A)، که در آن حداکثر Q عمل می کند (مدول): در اینجا گشتاور ساکن ناحیه نیم مقطع نسبت به محور خنثی است. b2 سانتی متر عرض مقطع در سطح محور خنثی است. شکل 5. تنش های مماسی در یک نقطه (در دیوار) در مقطع C: شکل. 1.15 در اینجا Szomc 834.5 108 cm3 ممان استاتیک ناحیه بخشی از بخش واقع در بالای خطی است که از نقطه K1 می گذرد. b2 cm ضخامت دیواره در سطح نقطه K1 است. نمودارهای  و  برای بخش C تیر در شکل نشان داده شده است. 1.15. مثال 1.7 برای تیر نشان داده شده در شکل. 1.16، الف، لازم است: 1. نمودار نیروهای عرضی و لنگرهای خمشی در امتداد مقاطع (نقاط) مشخصه بسازید. 2. ابعاد مقطع را به صورت دایره، مستطیل و تیر I از شرط مقاومت برای تنش های معمولی تعیین کنید، سطوح مقطع را با هم مقایسه کنید. 3. ابعاد انتخاب شده مقاطع تیر را از نظر تنش های برشی بررسی کنید. داده شده: راه حل: 1. تعیین واکنش های تکیه گاه های تیر بررسی: 2. نمودارهای Q و M را رسم کنید مقادیر نیروهای عرضی در مقاطع مشخصه تیر 25 شکل. 1.16 در بخش های CA و AD، شدت بار q = const. بنابراین در این بخشها نمودار Q به خطوط مستقیم متمایل به محور محدود می شود. در بخش DB، شدت بار توزیع شده q \u003d 0 است، بنابراین، در این بخش، نمودار Q به یک خط مستقیم موازی با محور x محدود می شود. نمودار Q برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.16b. مقادیر لنگرهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر: در قسمت دوم آبسیسا x2 مقطع را تعیین می کنیم که در آن Q = 0: حداکثر گشتاور در قسمت دوم نمودار M برای تیر در شکل نشان داده شده است. . 1.16، ج. 2. شرط مقاومت را برای تنش های معمولی که از آن مدول مقطع محوری مورد نیاز را از بیان تعیین شده تعیین می کنیم، تعیین می کنیم. یک پرتو I با توجه به جداول GOST 8239-89، نزدیکترین مقدار بیشتر گشتاور محوری مقاومت 597 سانتی متر مکعب را پیدا می کنیم که مربوط به پرتو I شماره 33 با مشخصات: A z 9840 cm4 است. بررسی تحمل: (کم باری 1% از 5% مجاز) نزدیکترین پرتو I شماره 30 (W 2 cm3) منجر به اضافه بار قابل توجه (بیش از 5%) می شود. ما نهایتاً I-beam شماره 33 را می پذیریم. ناحیه مقاطع دایره ای و مستطیلی را با کوچکترین سطح A از تیر I مقایسه می کنیم: از بین سه مقطع در نظر گرفته شده، مقطع I مقرون به صرفه ترین است. 3. بزرگترین تنش های نرمال را در قسمت خطرناک 27 تیر I محاسبه می کنیم (شکل 1.17، a): تنش های نرمال در دیوار نزدیک فلنج مقطع I تیر نمودار نمودار استرس های عادیدر قسمت خطرناک تیر در شکل نشان داده شده است. 1.17b. 5. بیشترین تنش های برشی را برای مقاطع انتخابی تیر تعیین می کنیم. الف) مقطع مستطیلی تیر: ب) مقطع دایره ای تیر: ج) مقطع I تیر: تنش های برشی در دیوار نزدیک فلنج تیر I در قسمت خطرناک A (سمت راست) (در نقطه 2) ): نمودار تنش های برشی در مقاطع خطرناک تیر I در شکل نشان داده شده است. 1.17، در. حداکثر تنش های برشی در تیر از تنش های مجاز تجاوز نمی کند. مثال 1.8 بار مجاز روی تیر را تعیین کنید (شکل 1.18، a)، اگر 60MPa باشد، ابعاد مقطع داده شده است (شکل 1.19، a). نمودار تنش های معمولی در قسمت خطرناک تیر تحت بار مجاز ایجاد کنید. شکل 1.18 1. تعیین واکنش های تکیه گاه های تیر. با توجه به تقارن سیستم 2. ساختن نمودارهای Q و M از مقاطع مشخصه. نیروهای برشی در مقاطع مشخصه تیر: نمودار Q برای تیر در شکل نشان داده شده است. 5.18b. گشتاورهای خمشی در مقاطع مشخصه تیر برای نیمه دوم تیر، مختصات M در امتداد محورهای تقارن هستند. نمودار M برای تیر در شکل نشان داده شده است. 1.18b. 3. مشخصات هندسی مقطع (شکل 1.19). شکل را به دو عنصر ساده تقسیم می کنیم: یک پرتو I - 1 و یک مستطیل - 2. شکل. 1.19 با توجه به مجموعه ای برای I-beam No. به محور مرکزی اصلی z کل بخش طبق فرمول های انتقال به محورهای موازی نقطه خطرناک "a" (شکل 1.19) در بخش خطرناک I (شکل 1.18): پس از جایگزینی داده های عددی 5. با یک مجاز بار در بخش خطرناک، تنش های معمولی در نقاط "a" و "b" برابر خواهد بود: بخش خطرناک 1-1 در شکل نشان داده شده است. 1.19b.

10.1. مفاهیم و تعاریف کلی

خم شدن- این یک نوع بارگذاری است که در آن میله در صفحاتی که از محور طولی میله عبور می کنند بارگذاری می شود.

میله ای که در خمش کار می کند تیر (یا میله) نامیده می شود. در آینده تیرهای مستقیمی را در نظر خواهیم گرفت که سطح مقطع آنها حداقل یک محور تقارن دارد.

در مقاومت مصالح خمش مسطح، مایل و پیچیده است.

خم صاف- خم شدن، که در آن تمام نیروهای خم کننده تیر در یکی از صفحات تقارن تیر (در یکی از صفحات اصلی) قرار دارند.

صفحات اصلی اینرسی تیر، صفحاتی هستند که از محورهای اصلی مقاطع عرضی و از محور هندسی تیر (محور x) عبور می کنند.

خم شدن مورب- خمش، که در آن بارها در یک صفحه عمل می کنند که با صفحات اصلی اینرسی منطبق نیست.

خم پیچیده- خمش، که در آن بارها در سطوح مختلف (خودسرانه) عمل می کنند.

10.2. تعیین نیروهای خمشی داخلی

اجازه دهید دو مورد مشخصه خمش را در نظر بگیریم: در حالت اول، تیر کنسول توسط ممان متمرکز Mo خم می شود. در دوم، توسط نیروی متمرکز F.

با استفاده از روش مقاطع ذهنی و تدوین معادلات تعادل برای قسمت های برش تیر، نیروهای داخلی را در هر دو حالت تعیین می کنیم:

بقیه معادلات تعادل به طور واضح برابر با صفر هستند.

بنابراین، در حالت کلی خمش مسطح در مقطع تیر، از شش نیروی داخلی، دو نیروی ایجاد می شود - لحظه خم شدن Mz و نیروی برشی Qy (یا هنگام خم شدن حول محور اصلی دیگر - گشتاور خمشی My و نیروی عرضی Qz).

در این حالت، مطابق با دو مورد در نظر گرفته شده بارگذاری، خمش صاف را می توان به خالص و عرضی تقسیم کرد.

خم خالص- خمش مسطح، که در آن تنها یکی از شش نیروی داخلی در بخش های میله ایجاد می شود - یک لحظه خمشی (نگاه کنید به حالت اول).

خم عرضی- خمشی که در آن علاوه بر ممان خمشی داخلی، نیروی عرضی نیز در مقاطع میله ایجاد می شود (مورد دوم را ببینید).

به طور دقیق، به گونه های سادهمقاومت فقط برای خمش خالص اعمال می شود. خمش عرضی به طور مشروط به عنوان انواع ساده مقاومت نامیده می شود، زیرا در بیشتر موارد (برای تیرهای به اندازه کافی طولانی) می توان از عمل یک نیروی عرضی در محاسبات قدرت نادیده گرفت.

هنگام تعیین نیروهای داخلی، ما به قانون علائم زیر پایبند هستیم:

1) نیروی عرضی Qy اگر تمایل داشته باشد عنصر تیر مورد نظر را در جهت عقربه های ساعت بچرخاند مثبت در نظر گرفته می شود.

2) ممان خمشی Mz مثبت در نظر گرفته می شود اگر در هنگام خم شدن المان تیر، الیاف بالایی عنصر فشرده شده و الیاف پایین کشیده شوند (قاعده چتر).

بنابراین، حل مسئله تعیین نیروهای داخلی در حین خمش طبق نقشه زیر ساخته می شود: 1) در مرحله اول با در نظر گرفتن شرایط تعادل سازه به عنوان یک کل، در صورت لزوم، واکنش های ناشناخته را تعیین می کنیم. تکیه گاه ها (توجه داشته باشید که برای تیرهای کنسولی، اگر تیر را از انتهای آزاد در نظر بگیریم، واکنش های موجود در جاسازی را می توان یافت و یافت نمی شود). 2) در مرحله دوم، مقاطع مشخصه تیر را انتخاب می کنیم و نقاط اعمال نیرو، نقاط تغییر شکل یا ابعاد تیر، نقاط چفت شدن تیر را به عنوان مرزهای مقاطع در نظر می گیریم. 3) در مرحله سوم با در نظر گرفتن شرایط تعادل برای عناصر تیر در هر یک از مقاطع، نیروهای داخلی در مقاطع تیر را تعیین می کنیم.

10.3. وابستگی های دیفرانسیل در خمش

اجازه دهید برخی از روابط بین نیروهای داخلی و بارهای خارجی در خمش و همچنین ایجاد کنیم مشخصاتنمودارهای Q و M که دانش آنها ساخت نمودارها را تسهیل می کند و به شما امکان می دهد صحت آنها را کنترل کنید. برای سهولت در نمادگذاری، به موارد زیر اشاره می کنیم: M≡Mz، Q≡Qy.

بیایید یک عنصر کوچک dx را در مقطعی از یک تیر با بار دلخواه در مکانی که نیروها و گشتاورهای متمرکزی وجود ندارد، اختصاص دهیم. از آنجایی که کل تیر در حالت تعادل قرار دارد، عنصر dx نیز تحت تأثیر نیروهای عرضی اعمال شده به آن، گشتاورهای خمشی و بار خارجی در حالت تعادل خواهد بود. از آنجایی که Q و M به طور کلی با هم متفاوت هستند

محور تیر، سپس در مقاطع عنصر dx نیروهای عرضی Q و Q + dQ و همچنین گشتاورهای خمشی M و M + dM وجود خواهد داشت. از شرایط تعادل عنصر انتخاب شده، به دست می آوریم

اولین مورد از دو معادله نوشته شده شرط را می دهد

از معادله دوم، با غفلت از عبارت q dx (dx/2) به عنوان کمیت بینهایت کوچک مرتبه دوم، متوجه می شویم

با در نظر گرفتن عبارات (10.1) و (10.2) با هم می توانیم به دست آوریم

روابط (10.1)، (10.2) و (10.3) دیفرانسیل نامیده می شوند وابستگی D. I. Zhuravsky در خم شدن.

تجزیه و تحلیل وابستگی های دیفرانسیل فوق در خمش به ما اجازه می دهد تا برخی از ویژگی ها (قوانین) را برای ساخت نمودارهای لنگرهای خمشی و نیروهای برشی ایجاد کنیم: الف - در مناطقی که بار توزیع شده وجود ندارد q، نمودارهای Q محدود به خطوط مستقیم موازی با پایه، و نمودارهای M خطوط مستقیم متمایل هستند. ب - در مقاطعی که بار توزیعی q به تیر وارد می شود، نمودارهای Q با خطوط مستقیم مایل و نمودارهای M با سهمی های درجه دوم محدود می شوند.

در این حالت ، اگر نمودار M را "روی یک فیبر کشیده" بسازیم ، تحدب سهمی در جهت عمل q هدایت می شود و انتها در قسمتی قرار می گیرد که نمودار Q پایه را قطع می کند. خط ج - در مقاطعی که نیروی متمرکزی به تیر وارد می شود، در نمودار Q به مقدار و در جهت این نیرو جهش هایی وجود دارد و در نمودار M پیچ خوردگی هایی وجود دارد که نوک در جهت این نیرو است. زور؛ د - در مقاطعی که یک ممان متمرکز به تیر اعمال می شود، در نمودار Q تغییری ایجاد نمی شود و در نمودار M جهش هایی به مقدار این ممان وجود دارد. e - در مقاطعی که Q>0 لحظه M افزایش می یابد و در بخشهایی که Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. تنش های معمولی در خمش خالص تیر مستقیم

اجازه دهید حالت خمش مسطح خالص تیر را در نظر بگیریم و فرمولی برای تعیین تنش های نرمال برای این مورد استخراج کنیم.

توجه داشته باشید که در تئوری الاستیسیته می‌توان وابستگی دقیقی برای تنش‌های معمولی در خمش خالص به دست آورد، اما برای حل این مشکل با روش‌های مقاومت مصالح، لازم است چند فرض مطرح شود.

سه فرضیه برای خم شدن وجود دارد:

الف - فرضیه مقاطع مسطح (فرضیه برنولی) - مقاطع قبل از تغییر شکل صاف هستند و پس از تغییر شکل صاف می مانند، اما فقط نسبت به یک خط مشخص می چرخند که به آن محور خنثی مقطع تیر می گویند. در این حالت ، الیاف تیر که در یک طرف محور خنثی قرار دارند ، کشیده می شوند و از طرف دیگر فشرده می شوند. الیافی که روی محور خنثی قرار دارند طول خود را تغییر نمی دهند.

ب - فرضیه پایداری تنش های نرمال - تنش هایی که در همان فاصله y از محور خنثی عمل می کنند در عرض تیر ثابت هستند.

ج – فرضیه عدم وجود فشارهای جانبی – الیاف طولی مجاور به یکدیگر فشار نمی آورند.

سمت استاتیک مشکل

برای تعیین تنش ها در مقاطع تیر ابتدا اضلاع استاتیکی مسئله را در نظر می گیریم. با اعمال روش مقاطع ذهنی و تدوین معادلات تعادل برای قسمت برش تیر، نیروهای داخلی در حین خمش را پیدا می کنیم. همانطور که قبلا نشان داده شد، تنها نیروی داخلی وارد بر بخش میله در خمش خالص، ممان خمشی داخلی است، به این معنی که تنش های نرمال مرتبط با آن در اینجا ایجاد می شود.

ما رابطه بین نیروهای داخلی و تنش‌های عادی در مقطع تیر را با در نظر گرفتن تنش‌های سطح ابتدایی dA، انتخاب شده در مقطع A تیر در نقطه‌ای با مختصات y و z پیدا می‌کنیم (محور y برای سهولت به سمت پایین هدایت می‌شود. تحلیل):

همانطور که می بینیم، مشکل از نظر استاتیکی داخلی نامشخص است، زیرا ماهیت توزیع تنش های نرمال بر سطح مقطع ناشناخته است. برای حل مسئله، الگوی هندسی تغییر شکل ها را در نظر بگیرید.

جنبه هندسی مسئله

تغییر شکل یک عنصر تیر به طول dx را در نظر بگیرید که از یک میله خمشی در یک نقطه دلخواه با مختصات x انتخاب شده است. با در نظر گرفتن فرضیه قبلی پذیرفته شده مقاطع مسطح، پس از خم کردن مقطع تیر، نسبت به محور خنثی (n.r.) با زاویه dϕ بچرخید، در حالی که الیاف ab که در فاصله y از محور خنثی قرار دارد، به یک قوس دایره ای a1b1، و طول آن تا اندازه ای تغییر می کند. در اینجا به یاد می آوریم که طول الیافی که روی محور خنثی قرار دارند تغییر نمی کند و بنابراین قوس a0b0 (شعاع انحنای آن را با ρ نشان می دهیم) طولی برابر با قطعه a0b0 قبل از تغییر شکل a0b0 = dx دارد.

اجازه دهید تغییر شکل خطی نسبی εx فیبر ab تیر منحنی را پیدا کنیم.

خم مستقیم- این نوعی تغییر شکل است که در آن دو عامل نیروی داخلی در مقاطع عرضی میله ایجاد می شود: یک لنگر خمشی و یک نیروی عرضی.

خم خالص- این یک مورد خاص از خمش مستقیم است که در آن فقط یک لنگر خمشی در مقاطع عرضی میله رخ می دهد و نیروی عرضی صفر است.

مثال خم خالص - طرح سی دیروی میله AB. لحظه خم شدنارزش است پایک جفت نیروی خارجی باعث خمش می شود. از تعادل قسمت میله به سمت چپ مقطع دقیقهنتیجه می شود که نیروهای داخلی توزیع شده بر روی این بخش از نظر استاتیکی معادل لحظه ای هستند م، برابر و مخالف ممان خمشی پا.

برای یافتن توزیع این نیروهای داخلی بر روی سطح مقطع، باید تغییر شکل میله را در نظر گرفت.

در ساده ترین حالت، میله دارای یک صفحه طولی از تقارن است و تحت تأثیر نیروهای خمشی خارجی قرار گرفته در این صفحه قرار می گیرد. سپس خمیدگی در همان صفحه رخ می دهد.

محور میله nn 1خطی است که از مرکز ثقل مقاطع آن می گذرد.

اجازه دهید سطح مقطع میله مستطیل باشد. دو خط عمودی روی صورت آن بکشید میلی مترو pp. هنگام خم شدن، این خطوط صاف می مانند و می چرخند به طوری که عمود بر الیاف طولی میله باقی می مانند.

تئوری دیگر خمش بر این فرض استوار است که نه تنها خطوط میلی مترو pp، اما تمام سطح مقطع صاف میله پس از خم شدن صاف و نرمال به الیاف طولی میله باقی می ماند. بنابراین، هنگام خم شدن، مقاطع عرضی میلی مترو ppنسبت به یکدیگر حول محورهای عمود بر صفحه خمشی (صفحه رسم) بچرخند. در این حالت، الیاف طولی در سمت محدب، کشش را تجربه می‌کنند، و الیاف در سمت مقعر، فشار را تجربه می‌کنند.

سطح خنثیسطحی است که در حین خم شدن دچار تغییر شکل نمی شود. (اکنون عمود بر نقشه، محور تغییر شکل میله قرار دارد nn 1متعلق به این سطح است).

محور مقطع خنثی- این محل تقاطع یک سطح خنثی با هر سطح مقطعی است (اکنون نیز عمود بر نقشه قرار دارد).

بگذارید یک فیبر دلخواه در یک فاصله باشد yاز یک سطح خنثی ρ شعاع انحنای محور منحنی است. نقطه Oمرکز انحنا است. بیایید یک خط بکشیم n 1 s 1موازی میلی متر.ss 1ازدیاد طول مطلق فیبر است.

پسوند نسبی ε xالیاف

نتیجه می شود که تغییر شکل الیاف طولیمتناسب با فاصله yاز سطح خنثی و نسبت معکوس با شعاع انحنا ρ .

ازدیاد طولی الیاف سمت محدب میله همراه است انقباض جانبیو کوتاه شدن طولی سمت مقعر - گسترش جانبیمانند کشش و انقباض ساده. به همین دلیل، ظاهر تمام مقاطع تغییر می کند، اضلاع عمودی مستطیل مایل می شود. تغییر شکل جانبی z:

μ - نسبت پواسون.

در نتیجه این اعوجاج، تمام خطوط مقطع مستقیم موازی با محور هستند z، خم می شوند تا در کناره های مقطع نرمال باقی بمانند. شعاع انحنای این منحنی آربیشتر خواهد بود ρ به همان روشی که ε x از نظر مقدار مطلق بزرگتر از ε z و دریافت می کنیم

این تغییر شکل های الیاف طولی با تنش ها مطابقت دارد

ولتاژ در هر فیبر متناسب با فاصله آن از محور خنثی است. n 1 n 2. موقعیت محور خنثی و شعاع انحنا ρ دو مجهول در معادله برای σ x - از این شرایط می توان تعیین کرد که نیروهای توزیع شده بر روی هر مقطعی یک جفت نیرو تشکیل دهند که گشتاور خارجی را متعادل می کند. م.

تمام موارد فوق نیز در صورتی صادق است که میله دارای یک صفحه طولی از تقارن نباشد که در آن لنگر خمشی عمل کند، تا زمانی که لنگر خمشی در صفحه محوری که شامل یکی از این دو است، عمل کند. محورهای اصلیسطح مقطع. این هواپیماها نامیده می شوند هواپیماهای خمشی اصلی.

هنگامی که صفحه تقارن وجود داشته باشد و گشتاور خمشی در این صفحه عمل کند، انحراف در آن رخ می دهد. لحظه های نیروهای داخلی حول محور zلحظه بیرونی را متعادل کنید م. لحظات تلاش نسبت به محور yمتقابل نابود می شوند.

خم شدنتغییر شکل نامیده می شود که در آن محور میله و تمام الیاف آن، یعنی خطوط طولی موازی با محور میله، تحت تأثیر نیروهای خارجی خم می شوند. ساده‌ترین حالت خمش زمانی به دست می‌آید که نیروهای خارجی در صفحه‌ای که از محور مرکزی میله عبور می‌کند قرار می‌گیرند و روی این محور بیرون نمی‌آیند. به چنین حالتی از خمش، خمش عرضی می گویند. خم صاف و مایل را تشخیص دهید.

خم صاف- چنین حالتی هنگامی که محور خم شده میله در همان صفحه ای قرار دارد که نیروهای خارجی در آن عمل می کنند.

مایل (پیچیده) خمیدگی- چنین حالتی از خم شدن، زمانی که محور خم شده میله در سطح عمل نیروهای خارجی قرار ندارد.

میله خمشی معمولاً به عنوان نامیده می شود پرتو.

با خمش عرضی مسطح تیرها در مقطعی با سیستم مختصات y0x، دو نیروی داخلی می تواند رخ دهد - یک نیروی عرضی Q y و یک گشتاور خمشی M x. در ادامه، نماد را معرفی می کنیم سو م.اگر نیروی عرضی در مقطع یا مقطع تیر وجود نداشته باشد (Q = 0) و ممان خمشی برابر با صفر یا M ثابت نباشد، معمولاً چنین خمشی نامیده می شود. تمیز.

نیروی برشیدر هر بخش از پرتو از نظر عددی برابر است با مجموع جبری پیش بینی ها بر محور تمام نیروها (از جمله واکنش های پشتیبانی) واقع در یک طرف (هر کدام) از مقطع.

لحظه خم شدندر مقطع پرتو عددی برابر است با مجموع جبری تمام نیروهای (از جمله واکنش های پشتیبانی) واقع در یک طرف (هر کدام) از مقطع ترسیم شده نسبت به مرکز ثقل این بخش، به طور دقیق تر، نسبت به محور. عبور عمود بر صفحه نقشه از مرکز ثقل مقطع ترسیم شده.

نیروی کیواست حاصلدر سطح مقطع داخلی توزیع شده است تنش های برشی، آ لحظه م– مجموع لحظاتحول محور مرکزی بخش X داخلی استرس های عادی

بین نیروهای داخلی رابطه متفاوتی وجود دارد

که در ساخت و تایید نمودارهای Q و M استفاده می شود.

از آنجایی که برخی از الیاف تیر کشیده می شوند و برخی فشرده می شوند و انتقال از کشش به فشار به آرامی و بدون جهش انجام می شود، در قسمت میانی تیر لایه ای وجود دارد که الیاف آن فقط خم می شوند، اما هیچ کدام را تجربه نمی کنند. کشش یا فشرده سازی چنین لایه ای نامیده می شود لایه خنثی. خطی که در امتداد آن لایه خنثی با مقطع تیر تلاقی می کند نامیده می شود خط خنثیهفتم یا محور خنثیبخش ها خطوط خنثی بر روی محور پرتو رشته می شوند.

خطوطی که بر روی سطح جانبی تیر عمود بر محور کشیده شده اند، هنگام خم شدن صاف می مانند. این داده های تجربی این امکان را فراهم می کند که نتیجه گیری فرمول ها بر اساس فرضیه مقاطع مسطح است. بر اساس این فرضیه، مقاطع تیر قبل از خم شدن، مسطح و عمود بر محور خود هستند، صاف می مانند و در هنگام خم شدن بر محور خم شده تیر عمود می شوند. مقطع تیر در حین خمش دچار اعوجاج می شود. در اثر تغییر شکل عرضی، ابعاد مقطع در ناحیه فشرده تیر افزایش می یابد و در ناحیه کشش فشرده می شوند.

مفروضات استخراج فرمول ها استرس های معمولی

1) فرضیه مقاطع مسطح محقق می شود.

2) الیاف طولی به یکدیگر فشار نمی آورند و بنابراین تحت اثر تنش های معمولی کشش یا فشار خطی عمل می کنند.

3) تغییر شکل الیاف به موقعیت آنها در امتداد عرض مقطع بستگی ندارد. در نتیجه، تنش های معمولی که در طول ارتفاع مقطع تغییر می کنند، در عرض یکسان باقی می مانند.

4) پرتو حداقل یک صفحه تقارن دارد و تمام نیروهای خارجی در این صفحه قرار دارند.

5) جنس تیر از قانون هوک پیروی می کند و مدول الاستیسیته در کشش و فشار یکسان است.

6) نسبت های بین ابعاد تیر به گونه ای است که در شرایط خمشی مسطح بدون تاب و پیچش کار می کند.

فقط با خمش خالص یک تیر بر روی سکوها در مقطع آن استرس های عادی، با فرمول تعیین می شود:

که در آن y مختصات یک نقطه دلخواه از بخش است که از خط خنثی اندازه گیری می شود - محور مرکزی اصلی x.

تنش های خمشی معمولی در امتداد ارتفاع مقطع بر روی آن توزیع می شود قانون خطی. در الیاف شدید تنش های نرمال به حداکثر مقدار خود می رسد و در مرکز ثقل سطح مقطع برابر با صفر است.

ماهیت نمودارهای تنش نرمال برای مقاطع متقارن با توجه به خط خنثی

ماهیت نمودارهای تنش نرمال برای مقاطعی که در مورد خط خنثی تقارن ندارند

نقاط خطرناک دورترین نقاط از خط خنثی هستند.

بیایید یک بخش را انتخاب کنیم

برای هر نقطه از بخش، بیایید آن را یک نقطه بنامیم به، شرایط مقاومت تیر برای تنش های معمولی به شکل زیر است:

، جایی که i.d. - این محور خنثی

این مدول مقطع محوریدر مورد محور خنثی ابعاد آن cm 3, m 3 است. ممان مقاومت، تأثیر شکل و ابعاد مقطع را بر روی بزرگی تنش ها مشخص می کند.

شرایط استحکام برای تنش های معمولی:

تنش نرمال برابر است با نسبت حداکثر گشتاور خمشی به مدول مقطع محوری نسبت به محور خنثی.

اگر ماده به طور نابرابر در برابر کشش و فشار مقاومت کند، باید از دو شرط استحکام استفاده شود: برای یک منطقه کششی با تنش کششی مجاز. برای ناحیه فشاری با تنش فشاری مجاز.

با خمش عرضی، تیرهای روی سکوها در بخش آن به عنوان عمل می کنند طبیعی، و مماس هاولتاژ.