مجموع زوایای یک چند ضلعی محدب چقدر است؟ قضیه مجموع زوایای مثلث مجموع زوایای یک مثلث چقدر است؟

در کلاس هشتم، در درس هندسه در مدرسه، دانش آموزان برای اولین بار با مفهوم چند ضلعی محدب آشنا می شوند. خیلی زود آنها متوجه می شوند که این رقم خاصیت بسیار جالبی دارد. مهم نیست که چقدر پیچیده باشد، مجموع تمام زوایای داخلی و خارجی یک چند ضلعی محدب مقدار کاملاً مشخصی به خود می گیرد. در این مقاله یک معلم ریاضی و فیزیک در مورد مجموع زوایای یک چند ضلعی محدب صحبت می کند.

مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی محدب

چگونه این فرمول را اثبات کنیم؟

قبل از اینکه به اثبات این جمله بپردازیم، به یاد می آوریم که کدام چند ضلعی محدب نامیده می شود. یک چند ضلعی محدب نامیده می شود که به طور کامل در یک طرف خط که شامل هر یک از اضلاع آن باشد قرار گیرد. به عنوان مثال، آنچه در این تصویر نشان داده شده است:

اگر چند ضلعی شرایط مشخص شده را برآورده نکند، آن را غیر محدب می نامند. به عنوان مثال، مانند این:

مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی محدب برابر است با تعداد اضلاع چند ضلعی.

اثبات این واقعیت بر اساس قضیه مجموع زوایای یک مثلث است که برای همه دانش‌آموزان شناخته شده است. من مطمئن هستم که شما با این قضیه آشنا هستید. مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر است با .

ایده این است که یک چند ضلعی محدب را به چندین مثلث تقسیم کنیم. این میتواند انجام شود راه های مختلف. بسته به اینکه کدام روش را انتخاب کنیم، شواهد کمی متفاوت خواهند بود.

1. یک چند ضلعی محدب را با تمام مورب های ممکن که از یک راس رسم شده اند به مثلث ها تقسیم کنید. به راحتی می توان فهمید که در این صورت n-gon ما به مثلث ها تقسیم می شود:

علاوه بر این، مجموع تمام زوایای همه مثلث های حاصل با مجموع زوایای n-gon ما برابر است. از این گذشته، هر زاویه در مثلث های حاصل جزئی از زاویه ای در چند ضلعی محدب ما است. یعنی مقدار مورد نیاز برابر است با .

2. همچنین می توانید یک نقطه را در داخل چند ضلعی محدب انتخاب کنید و آن را به تمام رئوس متصل کنید. سپس n-gon ما به مثلث ها تقسیم می شود:

علاوه بر این، مجموع زوایای چند ضلعی ما در این حالت برابر با مجموع زوایای همه این مثلث ها منهای زاویه مرکزی خواهد بود که برابر است با . یعنی مقدار مورد نظر دوباره برابر است با .

مجموع زوایای بیرونی یک چندضلعی محدب

اکنون این سوال را از خود بپرسیم: "مجموع زوایای خارجی یک چند ضلعی محدب چقدر است؟" این سوال را می توان به شکل زیر پاسخ داد. هر گوشه بیرونی در مجاورت گوشه داخلی مربوطه قرار دارد. بنابراین برابر است با:

سپس مجموع تمام زوایای خارجی برابر است با . یعنی برابر است با .

این یک نتیجه بسیار خنده دار است. اگر تمام زوایای خارجی هر n-gon محدب را پشت سر هم کنار بگذاریم، در نتیجه دقیقاً کل صفحه پر می شود.

این حقیقت جالبرا می توان به صورت زیر نشان داد. بیایید همه اضلاع چند ضلعی محدب را به طور متناسب کاهش دهیم تا زمانی که در یک نقطه ادغام شود. پس از این اتفاق، تمام گوشه های بیرونی یکی از دیگری کنار گذاشته می شوند و بنابراین کل صفحه را پر می کنند.

واقعیت جالب است، اینطور نیست؟ و از این دست حقایق در هندسه بسیار است. پس دانش آموزان عزیز هندسه را یاد بگیرید!

مطالبی در مورد اینکه مجموع زوایای یک چند ضلعی محدب برابر است توسط سرگئی والریویچ تهیه شده است.

مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 0 است. این یکی از بدیهیات اساسی هندسه اقلیدس است. این هندسه است که دانش آموزان مطالعه می کنند. هندسه به عنوان علمی است که به بررسی اشکال فضایی جهان واقعی می پردازد.

چه چیزی یونانیان باستان را به توسعه هندسه ترغیب کرد؟ نیاز به اندازه گیری مزارع، مراتع - مناطقی از سطح زمین. در همان زمان، یونانیان باستان پذیرفتند که سطح زمین افقی و صاف است. با در نظر گرفتن این فرض، بدیهیات اقلیدس از جمله مجموع زوایای داخلی یک مثلث در 180 0 ایجاد شد.

بدیهیات عبارتی است که نیازی به اثبات ندارد. این را چگونه باید فهمید؟ آرزویی بیان می شود که برای شخص مناسب است و سپس با تصاویر تأیید می شود. اما هر چیزی که ثابت نشود تخیلی است، چیزی که در واقعیت نیست.

گرفتن سطح زمینافقی، یونانیان باستان به طور خودکار شکل زمین را صاف می گرفتند، اما متفاوت است - کروی. هیچ صفحه افقی و خطوط مستقیمی در طبیعت وجود ندارد، زیرا گرانش فضا را خم می کند. خطوط مستقیم و سطوح افقی فقط در مغز سر انسان یافت می شود.

بنابراین، هندسه اقلیدس، که اشکال فضایی یک دنیای خیالی را توضیح می‌دهد، شبیه‌سازی است - نسخه‌ای که اصل ندارد.

یکی از بدیهیات اقلیدس بیان می کند که مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 0 است. در واقع، در یک فضای منحنی واقعی، یا در سطح کروی زمین، مجموع زوایای داخلی یک مثلث همیشه بیشتر از 180 0 است.

ما اینجوری استدلال میکنیم هر نصف النهار روی کره زمین با زاویه 90 0 با خط استوا تلاقی می کند. برای به دست آوردن مثلث، باید نصف النهار دیگری را از نصف النهار دور کنید. مجموع زوایای مثلث بین نصف النهارها و ضلع استوا 180 0 خواهد بود. اما همچنان یک زاویه در قطب وجود خواهد داشت. در نتیجه مجموع تمام زوایا و بیش از 180 0 خواهد بود.

اگر اضلاع در قطب با زاویه 90 0 همدیگر را قطع کنند، مجموع زوایای داخلی چنین مثلثی 270 0 خواهد بود. دو نصف النهار که در این مثلث با خط استوا متقاطع می شوند موازی یکدیگر خواهند بود و در قطب که با زاویه 90 0 با یکدیگر قطع می شوند عمود می شوند. معلوم می شود که دو خط موازی در یک صفحه نه تنها همدیگر را قطع می کنند، بلکه می توانند در قطب عمود باشند.

البته، اضلاع چنین مثلثی خطوط مستقیم نیستند، بلکه محدب هستند و شکل کروی کره را تکرار می کنند. اما، درست مثل آن دنیای واقعیفضا.

هندسه فضای واقعی با در نظر گرفتن انحنای آن در اواسط قرن نوزدهم. توسط ریاضیدان آلمانی B. Riemann (1820-1866) توسعه یافته است. اما به دانش آموزان در این مورد گفته نمی شود.

بنابراین، هندسه اقلیدسی، که به شکل یک زمین مسطح با سطح افقی است، که در واقع اینطور نیست، یک شبیه‌سازی است. نوتیک - هندسه ریمانی که انحنای فضا را در نظر می گیرد. مجموع زوایای داخلی یک مثلث در آن بزرگتر از 180 0 است.

پیگیری دیروز:

ما با یک موزاییک برای یک افسانه در هندسه بازی می کنیم:

مثلث هایی بود. آنقدر شبیه به هم که فقط کپی از یکدیگر هستند.
آنها در یک خط مستقیم کنار هم ایستادند. و از آنجایی که همه آنها یک قد بودند -
سپس سرهای آنها در یک سطح، زیر حاکم بود:

مثلث ها عاشق غلت زدن و ایستادن روی سرشان بودند. آنها به ردیف بالا رفتند و مانند آکروبات ها در گوشه ایستادند.
و ما قبلاً می دانیم - وقتی آنها با بالاتنه های خود دقیقاً در یک ردیف ایستاده اند،
سپس کف پای آنها نیز خط کشیده است - زیرا اگر کسی هم قد باشد، پس با همان قد وارونه است!

در همه چیز یکسان بودند - و قد یکسان بود و کف پاها یک به یک،
و از طرفین می لغزد - یکی تندتر، دیگری ملایم تر - به همان طول
و شیب یکسانی دارند. خوب، فقط دوقلو! (فقط در لباس های مختلف، هر کدام تکه پازل مخصوص به خود را دارند).

کجای مثلث ها اضلاع یکسانی دارند؟ گوشه ها کجا هستند؟

مثلث ها روی سر ایستادند، ایستادند و تصمیم گرفتند از جای خود خارج شوند و در ردیف پایین دراز بکشند.
لیز خورد و مانند تپه به پایین سر خورد. و اسلایدها یکسان هستند!
بنابراین آنها دقیقاً بین مثلث های پایینی قرار می گیرند، بدون شکاف، و هیچ کس به کسی فشار نمی آورد.

ما به اطراف مثلث ها نگاه کردیم و متوجه یک ویژگی جالب شدیم.
هر جا که گوشه های آنها با هم برخورد می کردند، قطعاً هر سه گوشه به هم می رسیدند:
بزرگترین زاویه "سر زاویه"، تیزترین زاویه و سومین زاویه متوسط ​​است.
آنها حتی نوارهای رنگی هم می بستند تا بلافاصله مشخص شود که کجاست.

و معلوم شد که سه گوشه مثلث، اگر آنها را ترکیب کنید -
یک گوشه بزرگ را بسازید، "گوشه باز" - مانند جلد یک کتاب باز،

_______________________________

به این می گویند: زاویه پیچ خورده.

هر مثلثی مانند گذرنامه است: سه زاویه با هم برابر با یک زاویه مستقیم است.
یکی به شما خواهد زد: - تق - تق، من مثلثی هستم، بگذار شب را بگذرانم!
و تو به او - مجموع زاویه ها را به صورت منبسط به من نشان دهید!
و بلافاصله مشخص می شود که آیا این یک مثلث واقعی است یا یک شیاد.
تأیید ناموفق - صد و هشتاد درجه بچرخ و برو خونه!

وقتی می گویند 180 درجه بپیچید یعنی به عقب بچرخید و
در جهت مخالف بروید

همینطور در عبارات آشناتر، بدون «زندگی کردند»:

بیایید یک ترجمه موازی از مثلث ABC در امتداد محور OX انجام دهیم
در هر بردار ABبرابر طول پایه AB است.
خط DF که از رئوس C و C 1 مثلث ها می گذرد
به موازات محور OX، با توجه به این واقعیت که بر محور OX عمود است
پاره های h و h 1 (ارتفاع مثلث های مساوی) برابر هستند.
بنابراین، قاعده مثلث A 2 B 2 C 2 با قاعده AB موازی است
و از نظر طول برابر است (زیرا C 1 بالایی نسبت به C به مقدار AB جابه جا می شود).
مثلث های A 2 B 2 C 2 و ABC از سه ضلع برابر هستند.
بنابراین، زوایای ∠A 1 ∠B ∠C 2، که یک زاویه توسعه یافته را تشکیل می دهند، با زوایای مثلث ABC برابر است.
=> مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است

با حرکات - "پخش" به اصطلاح اثبات کوتاه تر و واضح تر است،
روی تکه های پازل، حتی یک نوزاد هم می تواند بفهمد.

اما مکتب سنتی:

بر اساس برابری زوایای داخلی متقاطع بریده شده بر روی خطوط موازی

از این جهت ارزشمند است که ایده ای از این که چرا چنین است، می دهد،
چرامجموع زوایای یک مثلث برابر با زاویه است؟

زیرا در غیر این صورت خطوط موازی ویژگی های آشنا برای دنیای ما را نخواهند داشت.

قضایا به دو صورت کار می کنند. از بدیهیات خطوط موازی به دست می آید
برابری زوایای دروغ گفتن متقاطع و زوایای عمودی، و از آنها - مجموع زوایای یک مثلث.

اما برعکس آن نیز صادق است: تا زمانی که زوایای مثلث 180 درجه باشد - خطوط موازی وجود دارد.
(به طوری که از طریق نقطه ای که روی یک خط قرار ندارد می توان یک خط منحصر به فرد رسم کرد || داده شده).
اگر روزی مثلثی در جهان ظاهر شود که مجموع زوایای آن برابر با زاویه مستقیم نباشد -
آنگاه موازی ها دیگر موازی نخواهند بود، تمام جهان پیچ خورده و کج می شود.

اگر راه راه ها با تزئین مثلث یکی بالای دیگری قرار می گیرند -
می توانید کل زمین را با یک الگوی تکرار شونده بپوشانید، مانند یک کف با کاشی:

شما می توانید اشکال مختلف را در چنین شبکه ای ردیابی کنید - شش ضلعی، لوزی،
چند ضلعی ستاره دار و انواع پارکت ها را دریافت کنید

کاشی کاری هواپیما با پارکت نه تنها یک بازی سرگرم کننده است، بلکه یک مسئله ریاضی واقعی است:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

از آنجایی که هر چهار ضلعی مستطیل، مربع، لوزی و غیره است،
می تواند از دو مثلث تشکیل شود،
به ترتیب مجموع زوایای چهارضلعی: 180 درجه + 180 درجه = 360 درجه

مثلث های متساوی الساقین یکسان به روش های مختلف به شکل مربع تا می شوند.
مربع کوچک در 2 قسمت. متوسط ​​از 4. و بزرگترین از 8.
چند شکل در نقاشی که از 6 مثلث تشکیل شده است؟

مثلث . مثلث های حاد، منفرد و قائم الزاویه.

پاها و هیپوتنوز. مثلث متساوی الساقین و متساوی الاضلاع.

مجموع زوایای یک مثلث.

گوشه بیرونی مثلث. نشانه های تساوی مثلث ها.

خطوط و نقاط شگفت انگیز در یک مثلث: ارتفاع، میانه،

نیمساز، میانهه عمود، عمود مرکز،

مرکز ثقل، مرکز دایره محصور، مرکز دایره محاطی.

قضیه فیثاغورس. نسبت ابعاد یک مثلث دلخواه.

مثلث چند ضلعی با سه ضلع (یا سه گوشه) است. اضلاع یک مثلث اغلب با حروف کوچک نشان داده می شوند که با آنها مطابقت دارد حروف بزرگنشان دهنده رئوس مخالف

اگر هر سه زاویه حاد هستند (شکل 20)، پس این مثلث حاد . اگر یکی از گوشه ها درست باشد(ج، شکل 21)، به این معنا که راست گوشه; طرفینالف، بتشکیل یک زاویه قائمه نامیده می شود پاها; سمتجمقابل زاویه راست نامیده می شود هیپوتنوئوس. اگر یکی اززوایای منفرد (B، شکل 22)، به این معنا که مثلث منفرد


مثلث ABC (شکل 23) - متساوی الساقین، اگر دواضلاع آن برابر استآ= ج) این اضلاع مساوی نامیده می شوند جانبی، شخص ثالث نامیده می شود اساسمثلث. مثلث ABC (شکل 24) - متساوی الاضلاع, اگر همهاضلاع آن برابر استآ = ب = ج). به طور کلی ( آ ≠ ب ≠ ج) ما داریم scaleneمثلث .

ویژگی های اساسی مثلث ها در هر مثلث:

1. یک زاویه بزرگتر در مقابل ضلع بزرگتر وجود دارد و بالعکس.

2. زوایای مساوی در مقابل اضلاع مساوی قرار دارند و بالعکس.

به طور خاص، تمام زوایای در متساوی الاضلاعمثلث برابر هستند

3. مجموع زوایای یک مثلث 180 است º .

از دو ویژگی آخر چنین بر می آید که هر زاویه در یک ضلعی متساوی الاضلاع است

مثلث 60 است º.

4. ادامه یکی از اضلاع مثلث (AC، شکل 25)، ما گرفتیم خارجی

زاویه BCD . زاویه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع زوایای داخلی

مربوط به آن نیست :BCD=A+B.

5. هر ضلع مثلث کمتر از مجموع دو ضلع دیگر و بیشتر است

تفاوت های آنها (آ < ب + ج, آ > ب – ج;ب < آ + ج, ب > آ – ج;ج < آ + ب,ج > آ – ب).

نشانه های تساوی مثلث ها.

مثلث ها همسان هستند اگر به ترتیب برابر باشند:

آ ) دو ضلع و زاویه بین آنها.

ب ) دو گوشه و ضلع مجاور آنها.

ج) سه طرف

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه.

دو مستطیل شکلاگر یکی از شرایط زیر درست باشد مثلث ها همسو هستند:

1) پاهای آنها برابر است.

2) ساق و هیپوتنوز یک مثلث با ساق و هیپوتنوز دیگری برابر است.

3) هيپوتنوز و زاويه حاد يك مثلث با هيپوتنوز و زاويه حاد ديگري برابر است.

4) ساق و زاویه حاد مجاور یک مثلث با ساق و زاویه حاد مجاور دیگری برابر است.

5) ساق و زاویه حاد مقابل یک مثلث برابر با ساق و در مقابل زاویه حاد دیگری.

خطوط و نقاط شگفت انگیز در یک مثلث.

ارتفاع مثلث استعمود،از هر رأسی به طرف مقابل افتاد ( یا ادامه آن). این طرف نامیده می شودپایه مثلث . سه ارتفاع یک مثلث همیشه همدیگر را قطع می کننددر یک نقطهتماس گرفت اورتوسنترمثلث. مرکز متعامد یک مثلث حاد (نقطه O ، شکل 26) در داخل مثلث قرار دارد ومرکز متعامد یک مثلث منفرد (نقطه O ، شکل 27) – خارج از؛ مرکز قائم مثلث قائم الزاویه با راس زاویه قائم الزاویه منطبق است.

میانه - این بخش خط ، هر راس مثلث را به نقطه وسط ضلع مقابل متصل می کند. سه وسط یک مثلث (AD , BE , CF , Fig.28) در یک نقطه تلاقی می کنند O ، که همیشه در داخل مثلث قرار داردو او بودن مرکز گرانش. این نقطه هر میانه را 2:1 از بالا تقسیم می کند.

نیمساز - این بخش نیمسازگوشه از بالا به نقطه تقاطع با طرف مقابل سه نیمساز یک مثلث (AD , BE , CF , Fig.29) در یک نقطه تلاقی می کنند اوه، همیشه در یک مثلث دراز کشیدهو بودن مرکز دایره حکاکی شده(به بخش "درج شده مراجعه کنیدو چند ضلعی های محدود شده).

نیمساز طرف مقابل را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کند ; برای مثال، در شکل 29 AE : CE = AB : BC .

عمود بر میانه یک عمود برگرفته از میانگین استنقاط قطعه (اضلاع). سه عمود بر مثلث ABC(KO , MO , NO , Fig.30 ) در یک نقطه O تقاطع می کنند که این است مرکز دایره محدود شده (نقاط K، M، N وسط اضلاع مثلث ABC).

در یک مثلث حاد، این نقطه در داخل مثلث قرار دارد. در مبهم - خارج؛ در یک مستطیل - در وسط هیپوتانوز. مرکز ثقل، مرکز ثقل، مرکز محصور و مرکز دایره محاطی فقط در یک مثلث متساوی الاضلاع منطبق هستند.

قضیه فیثاغورس. در مثلث قائم الزاویه، مربع طولهیپوتانوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.

اثبات قضیه فیثاغورث به وضوح از شکل 31 نتیجه می گیرد. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید ABC با پاها الف، بو هیپوتانوز ج.

بیایید یک مربع بسازیم AKMB با استفاده از هیپوتانوز AB به عنوان یک طرف سپساضلاع یک مثلث قائم الزاویه را گسترش دهید ABC بنابراین برای بدست آوردن یک مربع CDEF ، که ضلع آن برابر است باa + b .اکنون مشخص است که مساحت یک مربع است CDEF است ( a+b) 2 . از طرفی این مساحت برابر با مجموع استمناطق چهار مثلث قائم الزاویهو مربع AKMB، یعنی

ج 2 + 4 (ab / 2) = ج 2 + 2 اب،

از اینجا،

ج 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

و در نهایت داریم:

ج 2 =آ 2 +b 2 .

نسبت ابعاد یک مثلث دلخواه.

در حالت کلی (برای یک مثلث دلخواه) داریم:

ج 2 =آ 2 +b 2 – 2ab· cos ج

جایی که سی - زاویه بین اضلاعآو ب .

اثبات:

• مثلث ABC داده شده است.
• یک خط DK از راس B موازی با پایه AC رسم کنید.
• \ زاویه CBK= \زاویه C به صورت متقاطع داخلی با موازی DK و AC و مقطع BC.
• \ زاویه DBA = \ زاویه یک داخلی متقاطع که در DK \ موازی AC و مقطع AB قرار دارد. زاویه DBK مستقیم و برابر است
• \ زاویه DBK = \ زاویه DBA + \ زاویه B + \ زاویه CBK
• از آنجایی که زاویه مستقیم 180 ^\circ است، و \ زاویه CBK = \ زاویه C و \ زاویه DBA = \ زاویه A است، به دست می‌آییم 180 ^\circ = \ زاویه A + \ زاویه B + \ زاویه C.

قضیه ثابت شد

پیامدهای قضیه مجموع زوایای مثلث:

1. مجموع زوایای تند یک مثلث قائم الزاویه برابر است با 90 درجه.
2. در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، هر زاویه تند است 45 درجه.
3. در مثلث متساوی الاضلاع هر زاویه است 60 درجه.
4. در هر مثلثی یا تمام زوایا تند هستند یا دو زاویه تند و سومی منفرد یا قائم است.
5. زاویه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی که مجاور آن نیستند.

قضیه زاویه بیرونی مثلث

زاویه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه باقیمانده از مثلث که مجاور آن زاویه خارجی نیستند.

اثبات:

• مثلث ABC داده شده است، جایی که BCD زاویه بیرونی است.
• \ زاویه BAC + \ زاویه ABC +\ زاویه BCA = 180^0
• از برابری ها، زاویه \ زاویه BCD + \ زاویه BCA = 180^0
• ما گرفتیم \ زاویه BCD = \ زاویه BAC +\ زاویه ABC.