Дөңес көпбұрыштың бұрыштарының қосындысы неге тең. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема Бұрыштардың қосындысы неге тең

8-сыныпта мектептегі геометрия сабағында оқушылар алғаш рет дөңес көпбұрыш ұғымымен танысады. Көп ұзамай олар бұл фигураның өте қызықты қасиеті бар екенін біледі. Ол қаншалықты күрделі болса да, дөңес көпбұрыштың барлық ішкі және сыртқы бұрыштарының қосындысы қатаң анықталған мәнді қабылдайды. Бұл мақалада математика және физика пәндерінің оқытушысы дөңес көпбұрыштың бұрыштарының қосындысы қандай болатыны туралы айтады.

Дөңес көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы

Бұл формуланы қалай дәлелдеуге болады?

Бұл тұжырымды дәлелдеуге кіріспес бұрын, қай көпбұрыш дөңес деп аталатынын еске түсіреміз. Көпбұрыш дөңес деп аталады, егер ол толығымен оның кез келген қабырғалары бар түзудің бір жағында жатса. Мысалы, мына суретте көрсетілген:

Егер көпбұрыш көрсетілген шартты қанағаттандырмаса, онда ол дөңес емес деп аталады. Мысалы, келесідей:

Дөңес көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы , мұндағы көпбұрыштың қабырғаларының саны.

Бұл фактінің дәлелі барлық мектеп оқушыларына белгілі үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теоремаға негізделген. Сіз бұл теоремамен таныс екеніңізге сенімдімін. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы.

Идеясы дөңес көпбұрышты бірнеше үшбұрыштарға бөлу. Оны жасауға болады әртүрлі жолдар. Қай әдісті таңдағанымызға байланысты дәлелдер сәл өзгеше болады.

1. Дөңес көпбұрышты қандай да бір төбесінен жүргізілген барлық мүмкін диагональдар арқылы үшбұрыштарға бөліңіз. Біздің n-бұрыш үшбұрыштарға бөлінетінін түсіну оңай:

Оның үстіне барлық алынған үшбұрыштардың барлық бұрыштарының қосындысы біздің n-бұрыштың бұрыштарының қосындысына тең. Өйткені, алынған үшбұрыштардағы әрбір бұрыш біздің дөңес көпбұрыштағы жартылай бұрыш болып табылады. Яғни, қажетті сома -ға тең.

2. Сондай-ақ дөңес көпбұрыштың ішіндегі нүктені таңдап, оны барлық шыңдарға қосуға болады. Сонда біздің n-бұрыш үшбұрыштарға бөлінеді:

Сонымен қатар, бұл жағдайда біздің көпбұрыштың бұрыштарының қосындысы барлық осы үшбұрыштардың барлық бұрыштарының қосындысына центрлік бұрышты алып тастағанда тең болады, ол -ге тең. Яғни, қалаған сома қайтадан тең болады.

Дөңес көпбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы

Енді өзімізге сұрақ қойып көрейік: «Дөңес көпбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы неге тең?» Бұл сұраққа келесі жолмен жауап беруге болады. Әрбір сыртқы бұрыш сәйкес ішкі бұрышқа іргелес. Сондықтан ол мынаған тең:

Сонда барлық сыртқы бұрыштардың қосындысы болады. Яғни, -ге тең.

Бұл өте күлкілі нәтиже. Егер кез келген дөңес n-бұрыштың барлық сыртқы бұрыштарын бірінен соң бірін шетке шығарсақ, нәтижесінде дәл бүкіл жазықтық толтырылады.

Бұл қызықты факттөмендегідей суреттеуге болады. Кейбір дөңес көпбұрыштар нүктеге біріктірілгенше оның барлық қабырғаларын пропорционалды түрде азайтайық. Бұл орын алған соң, барлық сыртқы бұрыштар бір-бірінен бөлініп, бүкіл жазықтықты толтырады.

Қызық факт, солай емес пе? Ал геометрияда мұндай фактілер өте көп. Ендеше геометрияны үйреніңіздер, құрметті оқушылар!

Дөңес көпбұрыштың бұрыштарының қосындысы неге тең екендігі туралы материалды Сергей Валерьевич дайындаған.

Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180 0 . Бұл Евклид геометриясының негізгі аксиомаларының бірі. Дәл осы геометрияны студенттер оқиды. Геометрия нақты дүниенің кеңістіктік формаларын зерттейтін ғылым ретінде анықталады.

Ежелгі гректердің геометрияның дамуына не түрткі болды? Егістіктерді, шабындықтарды – жер бетінің аудандарын өлшеу қажеттілігі. Сонымен бірге ежелгі гректер Жер бетін көлденең, тегіс деп қабылдаған. Осы болжамды ескере отырып, Евклид аксиомалары жасалды, оның ішінде үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180 0.

Аксиома - дәлелдеуді қажет етпейтін тұжырым. Мұны қалай түсіну керек? Адамға лайықты тілек айтылады, содан кейін ол иллюстрациялармен бекітіледі. Бірақ дәлелденбегеннің бәрі ойдан шығарылған, шындықта жоқ нәрсе.

Қабылдау жер бетікөлденең, ежелгі гректер автоматты түрде Жердің пішінін жалпақ деп қабылдаған, бірақ ол басқаша - сфералық. Табиғатта көлденең жазықтықтар мен түзу сызықтар мүлде жоқ, өйткені гравитация кеңістікті иеді. Түзу сызықтар мен көлденең жазықтықтар адамның бас миында ғана кездеседі.

Демек, фантастикалық дүниенің кеңістіктік формаларын түсіндіретін Евклид геометриясы симулятор – түпнұсқасы жоқ көшірме болып табылады.

Евклид аксиомаларының бірінде үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180 0 деп көрсетілген. Шын мәнінде, нақты қисық кеңістікте немесе Жердің сфералық бетінде үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы әрқашан 180 0 -дан үлкен болады.

Біз осылай дәлелдейміз. Жер шарындағы кез келген меридиан экватормен 90 0 бұрышпен қиылысады. Үшбұрышты алу үшін меридианнан басқа меридианды жылжыту керек. Меридиандар мен экватор қабырғасының арасындағы үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180 0 болады. Бірақ полюсте әлі де бұрыш болады. Нәтижесінде барлық бұрыштардың қосындысы және 180 0 артық болады.

Егер қабырғалар полюсте 90 0 бұрышпен қиылысатын болса, онда мұндай үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 270 0 болады. Бұл үшбұрышта экватормен тік бұрышпен қиылысатын екі меридиан бір-біріне параллель болады, ал полюсте бір-бірімен 90 0 бұрышпен қиылыса отырып, олар перпендикуляр болады. Бір жазықтықтағы екі параллель түзу тек қиылысып қана қоймай, полюсте перпендикуляр болуы мүмкін екен.

Әрине, мұндай үшбұрыштың қабырғалары түзу сызықтар емес, глобустың сфералық пішінін қайталайтын дөңес болады. Бірақ, дәл солай шынайы әлемғарыш.

ХІХ ғасырдың ортасындағы қисықтығы ескерілген нақты кеңістіктің геометриясы. неміс математигі Б.Риман (1820-1866) жасаған. Бірақ студенттерге бұл туралы айтылмайды.

Сонымен, горизонталь беті бар жазық Жер пішінін қабылдайтын евклид геометриясы іс жүзінде олай емес, симулятор. Ноотик – кеңістіктің қисықтығы ескерілетін Римандық геометрия. Ондағы үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180 0-ден үлкен.

Кешеден кейін:

Біз геометриядан ертегіге арналған мозайкамен ойнаймыз:

Үшбұрыштар болды. Ұқсастығы сонша, олар бір-бірінің көшірмелері ғана.
Олар түзу сызықта қатар тұрды. Олардың биіктігі бірдей болғандықтан -
Сонда олардың шыңдары бірдей деңгейде, сызғыштың астында болды:

Үшбұрыштар домалап, бастарына тұруды жақсы көретін. Олар жоғарғы қатарға шығып, акробаттар сияқты бұрышта тұрды.
Біз қазірдің өзінде білеміз - олар шыңдарымен бір сызықта тұрғанда,
онда олардың табандары да астарлы - өйткені біреудің бойы бірдей болса, ол бірдей биіктікте төңкерілген!

Барлығында олар бірдей болды - және биіктігі бірдей болды және табандары бір-бірден болды,
және бүйірлерінде сырғанайды - біреуі тік, екіншісі жұмсақ - бірдей ұзындықта
және олардың еңістері бірдей. Ал, жай ғана егіздер! (тек әртүрлі киімдерде, әрқайсысында басқатырғыштың өз бөлігі бар).

Қай үшбұрыштардың қабырғалары бірдей? Бұрыштар қайда?

Үшбұрыштар басына тұрып, тұрып, сырғып, төменгі қатарда жатуға шешім қабылдады.
Төбедей тайғанап, сырғанап; және слайдтар бірдей!
Сондықтан олар төменгі үшбұрыштардың арасына дәл сәйкес келеді, бос орындар жоқ және ешкім ешкімді баспады.

Біз үшбұрыштарды қарап шығып, бір қызық ерекшелікті байқадық.
Олардың бұрыштары қай жерде кездессе де, барлық үш бұрыш міндетті түрде кездеседі:
ең үлкені – «бұрыш-басы», ең өткір бұрыш және үшінші, орташа бұрыш.
Қай жерде екені бірден байқалатындай етіп, олар тіпті түрлі-түсті ленталарды байлап қойған.

Үшбұрыштың үш бұрышы, егер сіз оларды біріктірсеңіз -
бір үлкен бұрыш жасаңыз, «ашық бұрыш» - ашық кітаптың мұқабасы сияқты,

______________________О ___________________

Бұл былай деп аталады: бұралған бұрыш.

Кез келген үшбұрыш паспорт сияқты: үш бұрыш бірге түзу бұрышқа тең.
Біреу сені қағады: - қағып-қағып, мен үшбұрышпын, түнеуге рұқсат етіңіз!
Ал сен оған - Бұрыштардың қосындысын кеңейтілген түрде көрсетіңіз!
Ал бұл нағыз үшбұрыш па, әлде өтірікші ме екені бірден белгілі болады.
Сәтсіз растау - Жүз сексен градусқа бұрылып, үйге қайт!

Олар «180 ° бұрылу» дегенде, бұл артқа бұрылуды білдіреді және
қарсы бағытта жүріңіз.

«Олар өмір сүрді» жоқ, көбірек таныс өрнектерде де солай:

ABC үшбұрышының ОХ осі бойымен параллель аудармасын жасайық
векторға ABАВ негізінің ұзындығына тең.
Үшбұрыштардың С және С 1 төбелері арқылы өтетін DF сызығы
ОХ осіне параллель, себебі ОХ осіне перпендикуляр
h және h 1 кесінділері (тең үшбұрыштардың биіктіктері) тең.
Сонымен, A 2 B 2 C 2 үшбұрышының табаны АВ табанына параллель
және ұзындығы бойынша оған тең (өйткені жоғарғы С 1 АВ шамасына С-қа қатысты ығысқан).
A 2 B 2 C 2 және ABC үшбұрыштары үш қабырғасы тең.
Сонымен дамыған бұрышты құрайтын ∠A 1 ∠B ∠C 2 бұрыштары ABC үшбұрышының бұрыштарына тең.
=> Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°

Қозғалыстардың көмегімен - «хабарлар» деп аталатын дәлелдер қысқа және анық,
Пазлдың бөліктерінде тіпті нәресте де түсінеді.

Бірақ дәстүрлі мектеп:

параллель түзулерде кесілген ішкі көлденең жатқан бұрыштардың теңдігіне негізделген

Неліктен бұлай болғаны туралы түсінік беретіндігімен құнды,
Неліктенүшбұрыштың бұрыштарының қосындысы бұрышына тең?

Өйткені, әйтпесе параллель сызықтар біздің әлемге таныс қасиеттерге ие болмас еді.

Теоремалар екі жолмен де жұмыс істейді. Параллель түзулер аксиомасынан ол шығады
көлденең жатқан және тік бұрыштардың теңдігі және олардың - үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы.

Бірақ керісінше де дұрыс: үшбұрыштың бұрыштары 180 ° болса - параллель түзулер бар.
(бір түзуде жатпайтын нүкте арқылы || берілген бірегей түзу жүргізуге болатындай).
Бір күні әлемде бұрыштарының қосындысы түзу бұрышқа тең емес үшбұрыш пайда болса -
сонда параллельдер параллель болуды тоқтатады, бүкіл әлем бұралып, қисаяды.

Егер үшбұрыштардың ою-өрнегі бар жолақтар бірінің үстіне бірі орналастырылса -
сіз бүкіл өрісті плиткалары бар еден сияқты қайталанатын үлгімен жабуға болады:

мұндай торда әртүрлі пішіндерді қадағалай аласыз - алтыбұрыштар, ромбтар,
жұлдызды көпбұрыштар және әртүрлі паркеттер алыңыз

Ұшақты паркетпен қаптау - бұл қызықты ойын ғана емес, сонымен қатар өзекті математикалық мәселе:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Әрбір төртбұрыш тіктөртбұрыш, шаршы, ромб және т.б.
екі үшбұрыштан тұруы мүмкін,
сәйкес төртбұрыштың бұрыштарының қосындысы: 180° + 180°= 360°

Бірдей тең қабырғалы үшбұрыштар әртүрлі тәсілдермен шаршыларға бүктеледі.
2 бөліктен тұратын шағын шаршы. Ортасы 4. Және 8-дің ең үлкені.
Сызбада 6 үшбұрыштан тұратын неше фигура?

Үшбұрыш . Сүйір, доғал және тікбұрышты үшбұрыштар.

Аяқтар және гипотенуза. Тең қабырғалы үшбұрыш және тең қабырғалы үшбұрыш.

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы.

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы. Үшбұрыштардың теңдік белгілері.

Үшбұрыштағы тамаша сызықтар мен нүктелер: биіктіктер, медианалар,

биссектрисалар, медиана e перпендикуляр, ортоцентр,

ауырлық центрі, сызылған шеңбердің центрі, іштей сызылған шеңбердің центрі.

Пифагор теоремасы. Ерікті үшбұрыштың арақатынасы.

Үшбұрыш үш жағы (немесе үш бұрышы) бар көпбұрыш. Үшбұрыштың қабырғалары көбінесе кіші әріптермен белгіленеді, олар сәйкес келеді бас әріптерқарама-қарсы төбелерді белгілейді.

Егер барлық үш бұрыш сүйір болса ( 20-сурет), онда бұл сүйір үшбұрыш . Егер бұрыштардың бірі дұрыс болса(C, 21-сурет), Бұл тікбұрышты үшбұрыш; жақтарыа, бтік бұрыш құру деп аталады аяқтар; жағывтік бұрышқа қарама-қарсы деп аталады гипотенузасы. Егер біреуідоғал бұрыштар (B, сурет 22), Бұл доғал үшбұрыш.


ABC үшбұрышы (23-сурет) - тең қабырғалы, Егер екіоның қабырғалары теңа= в); бұл тең жақтар деп аталады бүйірлік, үшінші тарап деп аталады негізіүшбұрыш. Үшбұрыш ABC (Cурет 24) - тең жақты, Егер Барлықоның қабырғалары теңа = б = в). Жалпы алғанда ( а ≠ б ≠ в) бізде бар масштабүшбұрыш .

Үшбұрыштардың негізгі қасиеттері. Кез келген үшбұрышта:

1. Үлкен жағына қарама-қарсы үлкенірек бұрыш бар және керісінше.

2. Тең бұрыштар тең қабырғаларға қарама-қарсы жатады және керісінше.

Атап айтқанда, барлық бұрыштар тең жақтыүшбұрыштары тең.

3. Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180-ге тең º .

Соңғы екі қасиеттен әрбір бұрыштың тең бүйірлі болатыны шығады

үшбұрыш 60 º.

4. Үшбұрыштың бір қабырғасын жалғастыра отырып (АС, 25-сурет), Біз алып жатырмыз сыртқы

BCD бұрышы . Үшбұрыштың сыртқы бұрышы ішкі бұрыштарының қосындысына тең,

оған қатысы жоқ :BCD=A+B.

5. Кез келген үшбұрыштың қабырғасы қалған екі қабырғасының қосындысынан кіші және одан көп

олардың айырмашылықтары (а < б + в, а > б – в;б < а + в, б > а – в;в < а + б,в > а – б).

Үшбұрыштардың теңдік белгілері.

Үшбұрыштар сәйкес болады, егер олар сәйкесінше тең болса:

а ) екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш;

б ) екі бұрыш және оларға іргелес жатқан жағы;

в) үш жағы.

Тікбұрышты үшбұрыштардың теңдік белгілері.

Екі тікбұрыштыТөмендегі шарттардың бірі дұрыс болса, үшбұрыштар тең болады:

1) аяқтары тең;

2) бір үшбұрыштың катеті мен гипотенузасы екіншісінің катеті мен гипотенузасына тең;

3) бір үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы екіншісінің гипотенузасы мен сүйір бұрышына тең;

4) бір үшбұрыштың катеті мен іргелес сүйір бұрышы екіншісінің катеті мен іргелес сүйір бұрышына тең;

5) бір үшбұрыштың катеті мен оған қарама-қарсы сүйір бұрышы катет пен тең екіншісінің сүйір бұрышына қарама-қарсы.

Үшбұрыштағы тамаша сызықтар мен нүктелер.

Биіктігі үшбұрыш болып табыладыперпендикуляр,кез келген шыңнан қарама-қарсы жаққа құлады ( немесе оның жалғасы). Бұл жағы деп аталадыүшбұрыштың негізі . Үшбұрыштың үш биіктігі әрқашан қиылысадыбір сәттешақырды ортоцентрүшбұрыш. Сүйір үшбұрыштың ортоцентрі (нүктеО , 26-сурет) үшбұрыштың ішінде орналасқан жәнедоғал үшбұрыштың ортоцентрі (нүктеО , 27-сурет) – сыртында; Тік бұрышты үшбұрыштың ортоцентрі тік бұрыштың төбесімен сәйкес келеді.

Медиана - Бұл сызық сегменті , үшбұрыштың кез келген төбесін қарама-қарсы қабырғасының ортасымен байланыстыру. Үшбұрыштың үш медианасы (AD , BE , CF , сурет 28) бір нүктеде қиылысады О , ол әрқашан үшбұрыштың ішінде жатадыжәне оның болуы ауырлық орталығы. Бұл нүкте әрбір медиананы жоғарыдан 2:1 бөледі.

биссектриса - Бұл биссектриса сегментібұрыштан жоғарыдан нүктеге дейін қарама-қарсы жақпен қиылысу. Үшбұрыштың үш биссектрисасы (AD , BE , CF , сурет 29) бір нүктеде қиылысады О, әрқашан үшбұрыштың ішінде жатырмынЖәне болу сызылған шеңбер ортасы(«Жазылғанжәне шектелген көпбұрыштар).

Биссектриса қарама-қарсы жағын көрші қабырғаларына пропорционал бөліктерге бөледі ; мысалы, 29-суретте AE: CE = AB: BC.

Медиандық перпендикуляр орташадан алынған перпендикуляр болып табыладысегмент нүктелері (жақтар). АВС үшбұрышының үш перпендикуляр биссектрисасы(KO , MO , NO , сурет 30 ) бір O нүктесінде қиылысады, ол орталық шектелген шеңбер (K , M , N нүктелері үшбұрыш қабырғаларының ортаңғы нүктелері ABC).

Сүйір үшбұрышта бұл нүкте үшбұрыштың ішінде жатыр; доғалда - сыртында; төртбұрыш түрінде - гипотенузаның ортасында. Ортоцентр, ауырлық центрі, сызылған шеңбердің центрі және сызылған шеңбердің центрі тең қабырғалы үшбұрышта ғана сәйкес келеді.

Пифагор теоремасы. Тікбұрышты үшбұрышта ұзындығының квадратыГипотенуза катеттердің ұзындықтарының квадраттарының қосындысына тең.

Пифагор теоремасының дәлелі 31-суреттен анық көрінеді. Тік бұрышты үшбұрышты қарастырайықАяқтары бар ABC а, бжәне гипотенуза в.

Шаршы салайық AKMB гипотенузаны қолдану AB жағы ретінде. Содан кейінтікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларын ұзарту ABC сондықтан шаршы алу үшін CDEF , оның жағы теңa + b .Енді шаршының ауданы екені анық CDEF – ( a+b) 2 . Екінші жағынан, бұл ауданы сомасына теңаймақтар төрт тікбұрышты үшбұрышжәне шаршы AKMB , яғни

в 2 + 4 (аб / 2) = в 2 + 2 ab,

осы жерден,

в 2 + 2 аб= (a+b) 2 ,

және ақырында бізде:

в 2 =а 2 +б 2 .

Ерікті үшбұрыштың арақатынасы.

Жалпы жағдайда (еркін үшбұрыш үшін) бізде:

в 2 =а 2 +б 2 – 2аб· cos в,

қайда C - қабырғалар арасындағы бұрышаЖәне б .

Дәлелдеу:

• ABC үшбұрышы берілген.
• В шыңы арқылы АС негізіне параллель DK түзуін сызыңыз.
• \angle CBK= \бұрыш C ішкі көлденең жатқан DK және AC параллель, ал BC секанты.
• \angle DBA = \angle DK \параллель айнымалы ток пен АВ секантында көлденең жатқан ішкі. DBK бұрышы түзу және тең
• \бұрыш DBK = \бұрыш DBA + \бұрыш B + \бұрыш CBK
• Түзу бұрыш 180 ^\circ , және \бұрыш CBK = \бұрыш C және \бұрыш DBA = \бұрыш A болғандықтан, аламыз. 180 ^\circ = \бұрыш A + \бұрыш B + \бұрыш С.

Теорема дәлелденген

Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теореманың салдары:

1. Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы тең 90°.
2. Тең қабырғалы тікбұрышты үшбұрышта әрбір сүйір бұрыш тең 45°.
3. Тең бүйірлі үшбұрышта әрбір бұрыш 60°.
4. Кез келген үшбұрышта не барлық бұрыштар сүйір, не екі бұрыш сүйір, ал үшіншісі доғал немесе тік.
5. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы оған іргелес емес екі ішкі бұрыштарының қосындысына тең.

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы теоремасы

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы үшбұрыштың сол сыртқы бұрышына іргелес емес қалған екі бұрыштарының қосындысына тең.

Дәлелдеу:

• ABC үшбұрышы берілген, мұндағы BCD – сыртқы бұрыш.
• \ бұрыш BAC + \ бұрыш ABC +\ бұрыш BCA = 180^0
• Теңдіктерден, бұрыштан \бұрыш BCD + \бұрыш BCA = 180^0
• Біз алып жатырмыз \бұрыш BCD = \бұрыш BAC+\бұрыш ABC.