Želim učiti - neriješeni problemi. Matematika Sviđa mi se Neriješeni matematički zadaci tri kruga
Često, razgovarajući sa srednjoškolcima o istraživački rad u matematici, čujem sljedeće: "Što se novo može otkriti u matematici?" Ali stvarno: možda su sva velika otkrića napravljena, a teoremi dokazani?
Dana 8. kolovoza 1900., na Međunarodnom kongresu matematičara u Parizu, matematičar David Hilbert iznio je popis problema za koje je vjerovao da će biti riješeni u dvadesetom stoljeću. Na listi su bile 23 stavke. Do sada je riješen njih dvadeset i jedan. Posljednji riješeni problem na Gilbertovoj listi bio je poznati Fermatov teorem koji znanstvenici nisu mogli riješiti 358 godina. Godine 1994. Britanac Andrew Wiles predložio je svoje rješenje. Pokazalo se točnim.Po uzoru na Gilberta krajem prošlog stoljeća mnogi su matematičari pokušali formulirati slične strateške zadatke za 21. stoljeće. Jednu takvu listu proslavio je bostonski milijarder Landon T. Clay. Godine 1998. na njegov je trošak osnovan Clay Mathematics Institute u Cambridgeu (Massachusetts, SAD) i ustanovljene su nagrade za rješavanje niza važnih problema u modernoj matematici. Stručnjaci instituta su 24. svibnja 2000. odabrali sedam problema - prema broju milijuna dolara izdvojenih za nagrade. Popis se zove Problemi milenijske nagrade:
1. Cookov problem (formuliran 1971.)
Recimo da vi, budući da ste u velikom društvu, želite biti sigurni da je i vaš prijatelj tamo. Ako vam kažu da on sjedi u kutu, tada će biti dovoljan djelić sekunde da se jednim pogledom uvjerite u istinitost informacije. U nedostatku ovih informacija, bit ćete prisiljeni obići cijelu sobu, gledajući goste. To sugerira da rješavanje problema često oduzima više vremena nego provjera točnosti rješenja.
Stephen Cook formulirao je problem: može li provjera točnosti rješenja problema biti dulja od dobivanja samog rješenja, bez obzira na algoritam provjere. Ovaj problem također je jedan od neriješenih problema u području logike i računarstva. Njegovo rješenje moglo bi revolucionirati osnove kriptografije koja se koristi u prijenosu i pohrani podataka.
2. Riemannova hipoteza (formulirana 1859.)
Neki cijeli brojevi ne mogu se izraziti kao umnožak dva manja cijela broja, poput 2, 3, 5, 7 i tako dalje. Takvi se brojevi nazivaju prostim brojevima i igraju važnu ulogu u čistoj matematici i njezinim primjenama. Raspodjela prostih brojeva među nizovima svih prirodnih brojeva ne slijedi nikakvu pravilnost. Međutim, njemački matematičar Riemann iznio je pretpostavku u vezi sa svojstvima niza prostih brojeva. Ako se Riemannova hipoteza dokaže, to će revolucionirati naše znanje o enkripciji i dovesti do neviđenih otkrića u internetskoj sigurnosti.
3. Hipoteza Bircha i Swinnerton-Dyera (formulirana 1960.)
Povezano s opisom skupa rješenja nekih algebarskih jednadžbi u nekoliko varijabli s cjelobrojnim koeficijentima. Primjer takve jednadžbe je izraz x2 + y2 = z2. Euklid je dao Potpuni opis rješenja ove jednadžbe, ali za složenije jednadžbe pronalaženje rješenja postaje iznimno teško.
4. Hodgeova hipoteza (formulirana 1941.)
U 20. stoljeću matematičari su otkrili moćnu metodu za proučavanje oblika složenih objekata. Glavna ideja je koristiti jednostavne "cigle" umjesto samog objekta, koje su zalijepljene zajedno i tvore njegovu sličnost. Hodgeova hipoteza povezana je s nekim pretpostavkama o svojstvima takvih "cigli" i predmeta.
5. Navier - Stokesove jednadžbe (formulirane 1822.)
Ako plovite u čamcu po jezeru, tada će nastati valovi, a ako letite u avionu, u zraku će se pojaviti turbulentna strujanja. Pretpostavlja se da su ti i drugi fenomeni opisani jednadžbama poznatim kao Navier-Stokesove jednadžbe. Rješenja tih jednadžbi su nepoznata, a ne zna se ni kako ih riješiti. Potrebno je pokazati da rješenje postoji i da je dovoljno glatka funkcija. Rješenje ovog problema omogućit će značajnu promjenu metoda provođenja hidro- i aerodinamičkih proračuna.
6. Poincareov problem (formuliran 1904.)
Ako rastegnete gumicu preko jabuke, tada možete polako pomicati traku bez napuštanja površine, stisnuti je do točke. S druge strane, ako je ista gumica pravilno rastegnuta oko krafne, ne postoji način da se traka stisne do točke bez poderanja trake ili lomljenja krafne. Za površinu jabuke se kaže da je jednostavno povezana, ali za površinu krafne nije. Pokazalo se toliko teško dokazati da je samo kugla jednostavno povezana da matematičari još uvijek traže točan odgovor.
7. Yang-Millsove jednadžbe (formulirane 1954.)
Jednadžbe kvantne fizike opisuju svijet elementarnih čestica. Fizičari Yang i Mills, otkrivši vezu između geometrije i fizike elementarnih čestica, napisali su svoje jednadžbe. Tako su pronašli način da objedine teorije elektromagnetskih, slabih i jakih međudjelovanja. Yang-Millsove jednadžbe implicirale su postojanje čestica koje su doista promatrane u laboratorijima diljem svijeta, pa je Yang-Millsovu teoriju prihvatila većina fizičara, unatoč tome što ova teorija još uvijek ne uspijeva predvidjeti mase elementarnih čestica.
Mislim da je ovaj materijal objavljen na blogu zanimljiv ne samo studentima, već i školarcima koji se ozbiljno bave matematikom. Ima o čemu razmišljati pri odabiru tema i područja istraživanja. Fermatovo zanimanje za matematiku javilo se nekako neočekivano iu prilično zreloj dobi. Godine 1629. latinski prijevod Pappusova djela, koji je sadržavao kratak sažetak Apolonijevih rezultata o svojstvima koničnih presjeka, pao mu je u ruke. Fermat, poliglot, stručnjak za pravo i antičku filologiju, iznenada kreće u potpunosti obnoviti tijek razmišljanja slavnog znanstvenika. S istim uspjehom moderni pravnik može pokušati samostalno reproducirati sve dokaze iz monografije iz problema, recimo, algebarske topologije. Međutim, nezamislivi pothvat okrunjen je uspjehom. Štoviše, udubljujući se u geometrijske konstrukcije starih ljudi, dolazi do nevjerojatnog otkrića: da bi se pronašli maksimumi i minimumi površina likova, nisu potrebni domišljati crteži. Uvijek je moguće sastaviti i riješiti neku jednostavnu algebarsku jednadžbu čiji korijeni određuju ekstrem. Smislio je algoritam koji će postati osnova diferencijalnog računa.
Brzo je krenuo dalje. Našao je dovoljne uvjete za postojanje maksimuma, naučio je odrediti točke infleksije, povukao tangente na sve poznate krivulje drugog i trećeg reda. Još nekoliko godina i on pronalazi novu čisto algebarsku metodu za pronalaženje kvadratura za parabole i hiperbole proizvoljnog reda (to jest, integrale funkcija oblika y p = Cx q I y p x q \u003d C), izračunava površine, volumene, momente tromosti tijela rotacije. Bio je to pravi iskorak. Osjećajući to, Fermat počinje tražiti komunikaciju s matematičkim autoritetima tog vremena. Samouvjeren je i žudi za priznanjem.
Godine 1636. napisao je prvo pismo svom velečasnom Marinu Mersenneu: “Sveti Oče! Iznimno sam vam zahvalan na časti koju ste mi ukazali dajući mi nadu da ćemo moći pismeno razgovarati; ...Bit će mi drago čuti od vas sve nove rasprave i knjige o matematici koje su se pojavile u posljednjih pet ili šest godina. ... Također sam pronašao mnoge analitičke metode za razne probleme, numeričke i geometrijske, za koje je Vietina analiza nedovoljna. Sve ću to podijeliti s vama kad god budete htjeli, i štoviše, bez ikakve oholosti, od koje sam slobodniji i udaljeniji od bilo koje druge osobe na svijetu.
Tko je otac Mersenne? Riječ je o franjevačkom redovniku, znanstveniku skromnog talenta i izvrsnom organizatoru, koji je 30 godina vodio pariški matematički krug, koji je postao pravo središte francuska znanost. Naknadno, Mersenneov krug dekretom Luj XIV bit će pretvorena u Parišku akademiju znanosti. Mersenne je neumorno vodio golemu korespondenciju, a njegova ćelija u samostanu Reda minimalaca na Kraljevskom trgu bila je svojevrsna "pošta za sve znanstvenike Europe, od Galilea do Hobbesa". Dopisivanje je tada zamijenilo znanstvene časopise, koji su se pojavili mnogo kasnije. Sastanci u Mersenneu održavali su se tjedno. Jezgru kruga činili su najbriljantniji prirodoslovci toga vremena: Robertville, Pascal Father, Desargues, Midorge, Hardy i, naravno, slavni i općepriznati Descartes. Rene du Perron Descartes (Cartesius), plemićki plašt, dva obiteljska posjeda, utemeljitelj kartezijanizma, "otac" analitičke geometrije, jedan od utemeljitelja nove matematike, kao i Mersenneov prijatelj i suborac na Jezuitskom koledžu. Ovaj divni čovjek bit će Fermatova noćna mora.
Mersenneu su Fermatovi rezultati bili dovoljno zanimljivi da dovede provincijalca u svoj elitni klub. Farma odmah započne korespondenciju s mnogim članovima kruga i doslovno zaspi s pismima samog Mersennea. Osim toga, šalje dovršene rukopise sudu stručnjaka: “Uvod u ravna i čvrsta mjesta”, a godinu dana kasnije - “Metoda pronalaženja maksimuma i minimuma” i “Odgovori na pitanja B. Cavalierija”. Ono što je Fermat iznio bilo je potpuno novo, ali senzacija se nije dogodila. Suvremenici nisu ustuknuli. Nisu puno razumjeli, ali su pronašli nedvosmislene indikacije da je Fermat posudio ideju algoritma maksimizacije iz traktata Johannesa Keplera sa smiješnim naslovom "Nova čvrsta geometrija". vinske bačve". Doista, u Keplerovom razmišljanju postoje fraze poput "Volumen figure je najveći ako je, s obje strane mjesta najveće vrijednosti, smanjenje isprva neosjetljivo." Ali ideja o malom povećanju funkcije u blizini ekstrema uopće nije bila u zraku. Najbolji analitičari tog vremena nisu bili spremni na manipulacije malim količinama. Činjenica je da se u to vrijeme algebra smatrala nekom vrstom aritmetike, odnosno matematikom drugog razreda, primitivnim improviziranim alatom razvijenim za potrebe osnovne prakse (“samo trgovci dobro računaju”). Tradicija je nalagala pridržavanje čisto geometrijskih metoda dokazivanja, koje datiraju još iz drevne matematike. Fermat je prvi shvatio da se beskonačno male veličine mogu zbrajati i smanjivati, ali ih je prilično teško prikazati segmentima.
Trebalo je gotovo stoljeće da Jean d'Alembert u svojoj slavnoj Enciklopediji prizna: Fermat je bio izumitelj novog računa. S njim se susrećemo s prvom primjenom diferencijala za nalaženje tangenti.” Krajem 18. stoljeća Joseph Louis Comte de Lagrange izjasnio se još jasnije: “Ali geometri - Fermatovi suvremenici - nisu razumjeli tu novu vrstu računa. Vidjeli su samo posebne slučajeve. I ovaj izum, koji se pojavio malo prije Descartesove geometrije, ostao je besplodan četrdeset godina. Lagrange se poziva na 1674., kada su objavljena "Lectures" Isaaca Barrowa, koja detaljno pokrivaju Fermatovu metodu.
Između ostalog, brzo je postalo jasno da je Fermat bio skloniji formulirati nove probleme nego ponizno rješavati probleme koje predlažu mjerači. U eri dvoboja, razmjena zadataka između stručnjaka bila je općenito prihvaćena kao oblik razjašnjavanja pitanja vezanih uz zapovjedni lanac. No, Farma očito ne zna za mjeru. Svako njegovo pismo je izazov koji sadrži desetke složenih neriješenih problema, i to na najneočekivanije teme. Evo primjera njegova stila (upućenog Frenicle de Bessy): “Stavka, koji je najmanji kvadrat koji će, kad se smanji za 109 i zbroji s jedan, dati kvadrat? Ako mi ne pošaljete opće rješenje, pošaljite mi kvocijent za ova dva broja, koje sam izabrao male da vas ne otežavam. Nakon što dobijem vaš odgovor, predložit ću vam neke druge stvari. Jasno je bez ikakvih posebnih rezervi da se u mom prijedlogu zahtijeva pronalaženje cijelih brojeva, budući da bi u slučaju razlomaka i najbeznačajniji aritmetičar mogao doći do cilja. Fermat se često ponavljao, formulirao ista pitanja nekoliko puta, i otvoreno blefirao, tvrdeći da ima neobično elegantno rješenje predloženog problema. Izravnih pogrešaka nije bilo. Neke od njih primijetili su suvremenici, a neke su podmukle izjave čitatelje stoljećima dovodile u zabludu.
Mersenneov krug je adekvatno reagirao. Samo Robertville, jedini član kruga koji je imao problema s porijeklom, održava prijateljski ton pisama. Dobri pastir otac Mersenne pokušao je urazumiti "toulouse bezobraznike". No, Farma se ne namjerava opravdavati: “Časni pater! Pišete mi da je postavljanje mojih nemogućih problema razljutilo i ohladilo gospodu Saint-Martina i Freniclea i da je to bio razlog prekida njihovih pisama. No, želim im prigovoriti da ono što se na prvi pogled čini nemogućim zapravo nije i da postoje mnogi problemi koji, kako reče Arhimed...” itd.
Međutim, Farma je neiskrena. Frenicleu je poslao problem nalaženja pravokutnog trokuta s cijelim brojem stranica čija je površina jednaka kvadratu cijelog broja. Poslao ga je, iako je znao da problem očito nema rješenja.
Najneprijateljskiju poziciju prema Fermatu zauzeo je Descartes. U njegovom pismu Mersenneu iz 1938. godine čitamo: „jer sam saznao da je to ista osoba koja je prije pokušala opovrgnuti moju dioptriju, i budući da ste me obavijestili da ju je poslao nakon što je pročitao moju geometriju i iznenađen što nisam našao istu stvar, tj. (kako imam razloga tumačiti) poslao ju je s ciljem da uđe u rivalstvo i pokaže da zna više od mene u tome, i budući da sam saznao od vaše pisma da ima reputaciju vrlo obrazovanog geometra, smatram se dužnim odgovoriti mu.” Descartes će kasnije svečano označiti svoj odgovor kao "malo suđenje matematike protiv gospodina Fermata".
Lako je razumjeti što je razbjesnilo eminentnog znanstvenika. Prvo, u Fermatovom promišljanju neprestano se pojavljuju koordinatne osi i predstavljanje brojeva segmentima - sredstvo koje Descartes sveobuhvatno razvija u svojoj upravo objavljenoj "Geometriji". Fermat sam dolazi na ideju da crtež zamijeni proračunima, na neki način čak dosljedniji od Descartesa. Drugo, Fermat briljantno demonstrira učinkovitost svoje metode pronalaženja minimuma na primjeru problema najkraćeg puta svjetlosnog snopa, pročišćavajući i dopunjavajući Descartesa svojom "Dioptrikom".
Zasluge Descartesa kao mislioca i inovatora su goleme, ali otvorimo modernu "Matematičku enciklopediju" i pogledajmo popis pojmova koji se vezuju uz njegovo ime: "Kartezijeve koordinate" (Leibniz, 1692.), "Kartezijev list", "Descartesovi ovali". Nijedan njegov argument nije ušao u povijest kao Descartesov teorem. Descartes je prije svega ideolog: on je utemeljitelj filozofske škole, on oblikuje pojmove, usavršava sustav označavanja slova, ali u njegovoj stvaralačkoj baštini malo je novih specifičnih tehnika. Nasuprot tome, Pierre Fermat piše malo, ali u svakoj prilici može smisliti puno duhovitih matematičkih trikova (vidi ibid. "Fermatov teorem", "Fermatov princip", "Fermatova metoda beskonačnog pada"). Vjerojatno su s pravom zavidjeli jedno drugome. Sudar je bio neizbježan. Uz isusovačko posredovanje Mersennea izbio je rat koji je trajao dvije godine. No, pokazalo se da je Mersenne i tu bio u pravu ispred povijesti: žestoka borba dvaju titana, njihova napeta, blago rečeno, polemika pridonijeli su razumijevanju ključnih pojmova matematička analiza.
Fermat prvi gubi interes za raspravu. Očigledno je razgovarao izravno s Descartesom i nikada više nije uvrijedio svog protivnika. U jednom od svojih posljednjih djela, "Sinteza za refrakciju", čiji je rukopis poslao de la Chaumbri, Fermat riječ po riječ spominje "najučenijeg Descartesa" i na sve moguće načine naglašava njegov prioritet u pitanjima optike. U međuvremenu, upravo je taj rukopis sadržavao opis poznatog "Fermatovog principa", koji daje iscrpno objašnjenje zakona refleksije i loma svjetlosti. Rekordi Descartesu u djelu ove razine bili su posve nepotrebni.
Što se dogodilo? Zašto je Fermat, ostavivši ponos po strani, krenuo u pomirenje? Čitajući Fermatova pisma tih godina (1638. - 1640.), može se pretpostaviti najjednostavniju stvar: u tom su se razdoblju njegovi znanstveni interesi dramatično promijenili. Napušta modernu cikloidu, prestaju se zanimati za tangente i površine i na dugih 20 godina zaboravlja na svoju metodu pronalaženja maksimuma. Imajući velike zasluge u matematici kontinuiranog, Fermat potpuno uranja u matematiku diskretnog, prepuštajući svojim protivnicima mrske geometrijske crteže. Brojevi su njegova nova strast. Naime, cijela "Teorija brojeva", kao samostalna matematička disciplina, u potpunosti duguje svoje rođenje životu i radu Fermata.
<…>Nakon Fermatove smrti, njegov sin Samuel objavio je 1670. primjerak Aritmetike koji je pripadao njegovom ocu pod naslovom "Šest knjiga aritmetike aleksandrijskog Diofanta s komentarima L. G. Baschea i primjedbama P. de Fermata, senatora Toulousea." Knjiga također uključuje neka od Descartesovih pisama i cijeli tekst Jacquesa de Biglyja Novo otkriće u umjetnosti analize, temeljen na Fermatovim pismima. Publikacija je doživjela nevjerojatan uspjeh. Pred zaprepaštenim stručnjacima otvorio se neviđeno svijetli svijet. Neočekivanost, i što je najvažnije, pristupačnost, demokratičnost Fermatovih teorijskih rezultata potaknuli su mnoštvo imitacija. U to je vrijeme malo ljudi razumjelo kako se izračunava površina parabole, ali svaki je učenik mogao razumjeti formulaciju Fermatovog posljednjeg teorema. Započela je prava potraga za nepoznatim i izgubljenim pismima znanstvenika. Prije krajem XVII V. Svaka njegova riječ koja je pronađena objavljena je i ponovno objavljena. No, burna povijest razvoja Fermatovih ideja tek je počinjala.
Lev Valentinovič Rudi, autor članka “Pierre Fermat i njegov “nedokaziv” teorem”, nakon što je pročitao publikaciju o jednom od 100 genija moderne matematike, koji je zbog rješenja Fermatovog teorema prozvan genijem, ponudio se objaviti svoje alternativno mišljenje o ovoj temi. Na što smo mi spremno odgovorili i njegov članak objavljujemo bez kratica.
Pierre de Fermat i njegov "nedokaziv" teorem
Ove godine obilježava se 410. obljetnica rođenja velikog francuskog matematičara Pierrea de Fermata. Akademik V.M. Tikhomirov piše o P. Fermatu: “Samo je jedan matematičar počašćen činjenicom da je njegovo ime postalo ime za kućanstvo. Ako kažu "fermatist", onda je riječ o osobi opsjednutoj do ludila nekom neostvarivom idejom. Ali ova se riječ ne može pripisati samom Pierreu Fermatu (1601.-1665.), jednom od najbistrijih umova Francuske.
P. Fermat je čovjek čudesne sudbine: jedan od najvećih matematičara svijeta, nije bio "profesionalni" matematičar. Fermat je po struci bio pravnik. Stekao je izvrsno obrazovanje i bio je izvrstan poznavatelj umjetnosti i književnosti. Cijeli život je radio za javna služba, posljednjih 17 godina bio je savjetnik parlamenta u Toulouseu. Bezinteresna i uzvišena ljubav privukla ga je matematici, a upravo mu je ta znanost dala sve što čovjeku može dati ljubav: opijenost ljepotom, zadovoljstvo i sreću.
U papirima i korespondenciji Fermat je formulirao mnoge lijepe izjave, za koje je napisao da ima njihov dokaz. Postupno je takvih nedokazanih tvrdnji bilo sve manje i na kraju je ostala samo jedna - njegov tajanstveni Veliki teorem!
Međutim, za one koje zanima matematika, Fermatovo ime dovoljno govori bez obzira na njegov Veliki teorem. Bio je jedan od najpronicljivijih umova svoga vremena, smatra se utemeljiteljem teorije brojeva, dao je ogroman doprinos razvoju analitičke geometrije, matematičke analize. Zahvalni smo Fermatu što nam je otvorio svijet pun ljepote i misterija” (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Čudna, međutim, "zahvalnost"!? Matematički svijet i prosvijećeno čovječanstvo ignorirali su Fermatovu 410. obljetnicu. Sve je bilo, kao i uvijek, tiho, mirno, svakodnevno... Nije bilo fanfara, pohvalnih govora, zdravica. Od svih matematičara na svijetu samo je Fermat “počašćen” tako visokom čašću da kad se upotrijebi riječ “fermatist” svi shvate da je riječ o poluludi koja je “ludo opsjednuta neostvarivom idejom” da pronađe izgubljeni dokaz Fermatova teorema!
U svojoj primjedbi na margini Diofantove knjige, Fermas je napisao: "Pronašao sam doista nevjerojatan dokaz svoje tvrdnje, ali su margine knjige preuske da bi ih primile." Dakle, bio je to "trenutak slabosti matematičkog genija 17. stoljeća". Ovaj glupan nije shvatio da je "pogriješio", ali je, najvjerojatnije, jednostavno "lagao", "lukao".
Ako je Fermat tvrdio, onda je imao dokaz!? Razina znanja nije bila viša od one modernog učenika desetog razreda, ali ako neki inženjer pokuša pronaći taj dokaz, onda ga ismijavaju, proglašavaju ludim. A sasvim je druga stvar ako američki 10-godišnji dječak E. Wiles "prihvati kao početnu hipotezu da Fermat ne može znati puno više matematike od njega" i počne "dokazivati" taj "nedokazivi teorem". Naravno, samo je “genije” sposoban za tako nešto.
Slučajno sam naišao na stranicu (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), gdje je student Državnog tehničkog sveučilišta Chita Kushenko V.V. piše o Fermatu: “... Mali gradić Beaumont i svih njegovih pet tisuća stanovnika ne mogu shvatiti da je ovdje rođen veliki Fermat, posljednji matematičar-alkemičar koji je riješio prazne probleme nadolazećih stoljeća, najtiša pravosudna udica, lukava sfinga, koja je mučila čovječanstvo svojim zagonetkama, oprezni i dobronamjerni birokrat, žongler, intrigant, domorodac, zavidnik, briljantan kompilator, jedan od četiri titana matematike... Farm gotovo da i nije napustio Toulouse, gdje se nastanio nakon što je oženio Louise de Long, kćer parlamentarnog vijećnika. Zahvaljujući svom tastu, dogurao je do čina savjetnika i stekao željeni prefiks "de". Sin trećeg staleža, praktični izdanak imućnih kožara, zadojen latinskom i franjevačkom pobožnošću, u stvarnom životu nije si postavljao grandiozne zadatke...
U svojoj burnoj dobi živio je temeljito i tiho. Nije pisao filozofske rasprave, poput Descartesa, nije bio pouzdanik francuskih kraljeva, poput Vieta, nije se borio, nije putovao, nije stvarao matematičke krugove, nije imao učenike i nije bio objavljen za života ... Ne nalazeći svjesne tvrdnje o mjestu u povijesti, Fermat umire 12. siječnja 1665.
Bio sam šokiran, šokiran... A tko je bio prvi "matematičar-alkemičar"!? Kakvi su to “prazni poslovi dolazećih stoljeća”!? “Birokrata, prevarant, intrigant, domorodac, zavidnik” ... Otkud ti zeleni mladići i mladeži toliko prezira, prezira, cinizma prema osobi koja je živjela 400 godina prije njih!? Kakvo svetogrđe, očita nepravda!? Ali, nisu mladi sami sve ovo smislili!? Smislili su ih matematičari, "kraljevi znanosti", to isto "čovječanstvo", koje je Fermatova "lukava sfinga" "mučila svojim zagonetkama".
No, Fermat ne može snositi nikakvu odgovornost što su bahati, ali osrednji potomci više od tri stotine godina kucali u rogove o njegovom školskom teoremu. Ponižavajuće, pljujući po Fermatu, matematičari pokušavaju spasiti svoju čast uniforme!? Ali “časti” odavno nema, pa ni “uniforme”!? Problem Fermatove djece postao je najveća sramota "odabrane, vrijedne" vojske matematičara svijeta!?
Osramotili su se “kraljevi znanosti” što sedam generacija matematičkih “svetila” nije moglo dokazati školski teorem, koji su dokazali i P. Fermat i arapski matematičar al-Khujandi 700 godina prije Fermata!? Osramotili su se i time što su, umjesto da priznaju svoje pogreške, P. Fermata proglasili prevarantom i počeli napuhavati mit o “nedokazivosti” njegovog teorema!? Matematičari su se osramotili i time što već cijelo stoljeće bjesomučno progone matematičare amatere, "lupajući po glavi njihovu manju braću". Ovaj progon postao je najsramotniji čin matematičara u cjelokupnoj povijesti znanstvene misli nakon što je Pitagora potopio Hipasa! Osramotili su se i time što su prosvijećenom čovječanstvu pod krinkom "dokaza" Fermatovog teorema gurnuli sumnjivu "kreaciju" E. Wilesa koju "ne razumiju" ni najsjajniji svjetovnjaci matematike!?
410. obljetnica rođenja P. Fermata nedvojbeno je dovoljno jak argument da se matematičari konačno dozovu pameti i prestanu bacati sjenu na pleter te vrate dobro, pošteno ime velikom matematičaru. P. Fermat “nije pronašao svjesne pretenzije na mjesto u povijesti”, nego ju je ova svojeglava i prevrtljiva Dama sama upisala u svoje anale u naručju, ali je mnoge revne i revne “pretendente” ispljunula kao žvakaću gumu. I tu se ne može ništa, samo je jedan od njegovih brojnih lijepih teorema zauvijek upisao ime P. Fermata u povijest.
Ali ova jedinstvena Fermatova tvorevina čitavo je stoljeće protjerana u podzemlje, stavljena izvan zakona i postala je najprezirniji i najomraženiji zadatak u čitavoj povijesti matematike. Ali došlo je vrijeme da se ovo "ružno pače" matematike pretvori u prekrasnog labuda! Nevjerojatna Fermatova zagonetka stekla je pravo da zauzme mjesto koje joj pripada u riznici matematičkog znanja iu svakoj školi svijeta, uz svoju sestru, Pitagorin teorem.
Tako jedinstven, elegantan problem jednostavno ne može a da nema lijepa, elegantna rješenja. Ako Pitagorin teorem ima 400 dokaza, onda neka Fermatov teorem isprva ima samo 4 jednostavna dokaza. Jesu, postupno će ih biti sve više!? Vjerujem da je 410. obljetnica P. Fermata najprikladniji povod ili povod da se profesionalni matematičari dozovu pameti i konačno prestanu s ovom besmislenom, apsurdnom, mučnom i apsolutno beskorisnom „blokadom“ amatera!?
1 Murad:
Jednakost Zn = Xn + Yn smatrali smo Diofantovom jednadžbom ili Fermatovim velikim teoremom, a to je rješenje jednadžbe (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Tada je Zn =-(Xn + Yn) rješenje jednadžbe (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Ove jednadžbe i rješenja odnose se na svojstva cijelih brojeva i operacija nad njima. Dakle, ne znamo svojstva cijelih brojeva?! S tako ograničenim znanjem, nećemo otkriti istinu.
Razmotrimo rješenja Zn = +(Xn + Yn) i Zn =-(Xn + Yn) kada je n = 1. Cijeli brojevi + Z formiraju se pomoću 10 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Djeljivi su s 2 cijela broja + X su parni, zadnje desne znamenke: 0, 2, 4, 6, 8 i +Y su neparni, posljednji desni brojevi: 1, 3, 5, 7, 9, tj. + X = + Y. Broj Y = 5 - neparnih i X = 5 - parnih brojeva je: Z = 10. Zadovoljava jednadžbu: (Z - X) X = (Z - Y) Y, i rješenje + Z = + X + Y = + (X + Y).
Cijeli brojevi -Z sastoje se od unije -X za parne i -Y za neparne i zadovoljavaju jednadžbu:
(Z + X) X = (Z + Y) Y, a rješenje -Z = - X - Y = - (X + Y).
Ako je Z/X = Y ili Z / Y = X, tada je Z = XY; Z / -X = -Y ili Z / -Y = -X, tada je Z = (-X)(-Y). Dijeljenje se provjerava množenjem.
Jednoznamenkasti pozitivni i negativni brojevi sastoje se od 5 neparnih i 5 neparnih brojeva.
Razmotrimo slučaj n = 2. Tada je Z2 = X2 + Y2 rješenje jednadžbe (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 i Z2 = -(X2 + Y2) rješenje jednadžbe (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Smatrali smo da je Z2 = X2 + Y2 Pitagorin teorem, a onda je rješenje Z2 = -(X2 + Y2) isti teorem. Znamo da dijagonala kvadrata dijeli na 2 dijela, gdje je dijagonala hipotenuza. Tada vrijede jednakosti: Z2 = X2 + Y2, i Z2 = -(X2 + Y2) gdje su X i Y noge. I više rješenja R2 = X2 + Y2 i R2 =- (X2 + Y2) su kružnice, središta su ishodište kvadratnog koordinatnog sustava i s radijusom R. Mogu se napisati kao (5n)2 = (3n)2 + (4n)2 , gdje su n pozitivni i negativni cijeli brojevi, a 3 su uzastopna broja. Rješenja su i 2-bitni XY brojevi koji počinju na 00 i završavaju na 99 i iznose 102 = 10x10 i broje 1 stoljeće = 100 godina.
Promotrimo rješenja kada je n = 3. Tada su Z3 = X3 + Y3 rješenja jednadžbe (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
3-bitni brojevi XYZ počinju na 000 i završavaju na 999 i iznose 103 = 10x10x10 = 1000 godina = 10 stoljeća
Od 1000 kockica iste veličine i boje možete napraviti rubik od oko 10. Uzmite u obzir rubik reda +103=+1000 - crvena i -103=-1000 - plava. Sastoje se od 103 = 1000 kockica. Ako rastavimo i stavimo kockice u jedan red ili jednu na drugu, bez razmaka, dobivamo vodoravni ili okomiti segment duljine 2000. Rubik je velika kocka, prekrivena malim kockicama, počevši od veličine 1butto = 10st.-21, i ne možete joj dodati niti oduzeti jednu kockicu.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Svaki cijeli broj je 1. Zbrojite 1(jedinice) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21, i umnoške:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Ove se operacije mogu izvesti na 20-bitnim kalkulatorima.
Poznato je da je +(n3 - n) uvijek djeljivo sa +6, a - (n3 - n) je djeljivo sa -6. Znamo da je n3 - n = (n-1)n(n+1). Ovo su 3 uzastopna broja (n-1)n(n+1), gdje je n paran, zatim djeljiv s 2, (n-1) i (n+1) neparan, djeljiv s 3. Tada je (n-1)n(n+1) uvijek djeljiv sa 6. Ako je n=0, tada je (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, tada (n-1)n(n+1) )=(19)( 20)(21).
Znamo da je 19 x 19 = 361. To znači da je jedan kvadrat okružen s 360 kvadrata, a onda je jedna kocka okružena s 360 kockica. Jednakost je ispunjena: 6 n - 1 + 6n. Ako je n=60, onda je 360 - 1 + 360, a n=61, tada je 366 - 1 + 366.
Iz gornjih izjava proizlaze sljedeće generalizacije:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n+1)2.
Ako je 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Svaki cijeli broj n je potencija broja 10, ima: – n i +n, +1/ n i -1/ n, neparan i paran:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
Jasno je da ako se bilo koji cijeli broj doda sebi, tada će se povećati 2 puta, a proizvod će biti kvadrat: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Ovo se smatralo Vietinim teoremom - pogreškom!
Ako zadanom broju dodamo i oduzmemo broj b, tada se zbroj ne mijenja, ali se mijenja umnožak, npr.
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Ako umjesto slova a i b stavimo cijele brojeve, dobivamo paradokse, apsurde i nepovjerenje u matematiku.
(Sokrat, starogrčki filozof)
NIKOM nije dano posjedovati univerzalni um i znati SVE. Ipak, većina znanstvenika, pa čak i onih koji jednostavno vole razmišljati i istraživati, uvijek ima želju naučiti više, riješiti misterije. Ali ima li još neriješenih tema u čovječanstvu? Uostalom, čini se da je sve već jasno i samo trebate primijeniti znanje stečeno stoljećima?
Ne očajavaj! Još uvijek postoje neriješeni problemi iz područja matematike, logike, koje su 2000. godine stručnjaci Clay Mathematical Institute iz Cambridgea (Massachusetts, SAD) objedinili u popis od takozvanih 7 misterija tisućljeća (Millennium Prize Problems). Ovi problemi zabrinjavaju znanstvenike diljem svijeta. Od tada do danas svatko može tvrditi da je pronašao rješenje za jedan od problema, dokazati hipotezu i primiti nagradu od bostonskog milijardera Landona Claya (po kojem je institut dobio ime). U tu svrhu već je izdvojio 7 milijuna dolara. Usput, Danas je jedan od problema već riješen.
Dakle, jeste li spremni učiti o matematičkim zagonetkama?
Navier-Stokesove jednadžbe (formulirane 1822.)
Područje: hidroaerodinamikaJednadžbe za turbulentna strujanja, strujanja zraka i fluida poznate su kao Navier-Stokesove jednadžbe. Ako, na primjer, plutate na jezeru na nečemu, onda će valovi neizbježno nastati oko vas. To se također odnosi i na zračni prostor: kada letite u zrakoplovu, u zraku će se također formirati turbulentna strujanja.
Ove jednadžbe samo proizvode opis procesa gibanja viskoznog fluida i ključni su problem cijele hidrodinamike. Za neke pojedine slučajeve već su pronađena rješenja u kojima su dijelovi jednadžbi odbačeni jer ne utječu na konačni rezultat, ali općenito, rješenja tih jednadžbi nisu pronađena.
Potrebno je pronaći rješenje jednadžbi i identificirati glatke funkcije.
Riemannova hipoteza (formulirana 1859.)
Područje: teorija brojevaPoznato je da raspodjela prostih brojeva (koji su djeljivi samo sami sa sobom i s jedinicom: 2,3,5,7,11…) među svim prirodnim brojevima ne prati nikakvu pravilnost.
Njemački matematičar Riemann razmišljao je o ovom problemu, koji je iznio svoju pretpostavku, teorijski o svojstvima postojećeg niza prostih brojeva. Odavno su poznati takozvani upareni prosti brojevi - prosti brojevi blizanci, čija je razlika 2, na primjer, 11 i 13, 29 i 31, 59 i 61. Ponekad tvore cijele skupine, na primjer, 101, 103, 107, 109 i 113.
Pronađu li se takve nakupine i izvede određeni algoritam, to će dovesti do revolucionarne promjene u našem znanju u području enkripcije i do neviđenog proboja u području internetske sigurnosti.
Poincareov problem (formuliran 1904., riješen 2002.)
Područje: topologija ili geometrija višedimenzionalnih prostoraBit problema leži u topologiji i leži u činjenici da ako rastegnete gumenu traku, na primjer, na jabuku (sferu), tada će je teoretski moguće stisnuti do točke, polako pomičući traku bez skidanja s površine. Međutim, ako se ista traka povuče oko krafne (torusa), tada nije moguće sabiti traku bez prekida trake ili lomljenja same krafne. Oni. cijela površina sfere je jednostavno povezana, dok ona torusa nije. Zadatak je bio dokazati da je samo sfera jednostavno povezana.
Predstavnik Lenjingradske geometrijske škole Grigorij Jakovljevič Perelman dobitnik je milenijske nagrade Clay Institute of Mathematics (2010.) za rješavanje Poincaréovog problema. Odbio je poznatu Fildesovu nagradu.
Hodgeova hipoteza (formulirana 1941.)
Područje: algebarska geometrijaU stvarnosti postoji mnogo jednostavnih i mnogo složenijih geometrijskih objekata. Što je objekt složeniji, to ga je teže proučavati. Sada su znanstvenici izmislili i snažno koriste pristup koji se temelji na korištenju dijelova jedne cjeline ("cigle") za proučavanje ovog objekta, kao primjer - konstruktor. Poznavajući svojstva "cigli", postaje moguće pristupiti svojstvima samog objekta. Hodgeova hipoteza u ovom je slučaju povezana s nekim svojstvima i "cigli" i predmeta.
Ovo je vrlo ozbiljan problem u algebarskoj geometriji: pronaći točne načine i metode za analizu složenih objekata uz pomoć jednostavnih "cigli".
Yang-Millsove jednadžbe (formulirane 1954.)
Područje: geometrija i kvantna fizikaFizičari Yang i Mills opisuju svijet elementarnih čestica. Oni su, otkrivši vezu između geometrije i fizike elementarnih čestica, napisali vlastite jednadžbe u području kvantne fizike. Time pronađen je način da se ujedine teorije elektromagnetskih, slabih i jakih međudjelovanja.
Na razini mikročestica javlja se “neugodan” učinak: ako na česticu djeluje više polja odjednom, njihov zajednički učinak više se ne može razložiti na djelovanje svakog od njih pojedinačno. To je zbog činjenice da se u ovoj teoriji ne privlače samo čestice materije, već i same linije sile polja.
Iako Yang-Millsove jednadžbe prihvaćaju svi fizičari svijeta, teorija o predviđanju mase elementarnih čestica nije eksperimentalno dokazana.
Hipoteza Bircha i Swinnerton-Dyera (formulirana 1960.)
Područje: algebra i teorija brojevaHipoteza vezane uz jednadžbe eliptičkih krivulja i skup njihovih racionalnih rješenja. U dokazu Fermatova teorema eliptičke krivulje uzele su jedan od važna mjesta. A u kriptografiji oni čine cijeli odjeljak samog imena, a na njima se temelje i neki ruski standardi digitalnog potpisa.
Problem je što treba opisati SVA rješenja u cijelim brojevima x, y, z algebarskih jednadžbi, odnosno jednadžbi u više varijabli s cijelim koeficijentima.
Cookov problem (formuliran 1971.)
Područje: matematička logika i kibernetikaNaziva se još i "Jednakost klasa P i NP", a jedan je od najvažnijih problema u teoriji algoritama, logici i informatici.
Može li postupak provjere ispravnosti rješenja zadatka trajati duže od vremena utrošenog na samo rješenje zadatka(bez obzira na algoritam provjere)?
Rješenje istog problema, ponekad, traje različito vrijeme, ako promijenite uvjete i algoritme. Na primjer: u velikoj tvrtki tražite prijatelja. Ako znate da on sjedi u kutu ili za stolom, trebat će vam djelić sekunde da ga vidite. Ali ako ne znate točno gdje je objekt, provedite više vremena tražeći ga, zaobilazeći sve goste.
Glavno pitanje je: mogu li se svi ili ne svi problemi koji se mogu jednostavno i brzo provjeriti također lako i brzo riješiti?
Matematika, kako se mnogima može činiti, nije tako daleko od stvarnosti. To je mehanizam kojim se naš svijet i mnoge pojave mogu opisati. Matematika je posvuda. I V.O. je bio u pravu. Klyuchevsky, koji je rekao: "Nije cvijeće krivo što ga slijepi ne vide".
