توابع معکوس، خصوصیات و نمودارهای آنها نمونه هایی هستند. مفهوم تابع معکوس مثال: توابع مربع و ریشه

اهداف درس:

آموزشی:

• ایجاد دانش بر روی موضوع جدیدمطابق با مواد برنامه؛
• مطالعه خاصیت برگشت پذیری یک تابع و آموزش نحوه یافتن یک تابع معکوس نسبت به یک تابع

در حال توسعه:

• توسعه مهارت های خودکنترلی، گفتار موضوعی؛
• تسلط بر مفهوم تابع معکوس و یادگیری روش های یافتن تابع معکوس.

آموزشی: برای تشکیل شایستگی ارتباطی.

تجهیزات:کامپیوتر، پروژکتور، صفحه نمایش، تخته وایت برد تعاملی SMART، جزوه ( کار مستقل) برای کار گروهی

در طول کلاس ها.

1. لحظه سازمانی.

هدف – آماده سازی دانش آموزان برای کار در کلاس درس:

تعریف غایب،

نگرش دانش آموزان به کار، سازماندهی توجه؛

پیام در مورد موضوع و هدف درس.

2. به روز رسانی دانش پایه دانش آموزان.نظرسنجی جلو

هدف - برای ایجاد صحت و آگاهی از مطالب نظری مورد مطالعه، تکرار مطالب تحت پوشش.<Приложение 1 >

برای دانش آموزان در تخته سفید تعاملینمودار تابع نمایش داده می شود. معلم این کار را فرموله می کند - نمودار تابع را در نظر بگیرد و ویژگی های مورد مطالعه تابع را فهرست کند. دانش آموزان ویژگی های یک تابع را با توجه به طرح تحقیق فهرست می کنند. معلم در سمت راست نمودار تابع، ویژگی های نامگذاری شده را با یک نشانگر روی تخته سفید تعاملی یادداشت می کند.

ویژگی های عملکرد:

در پایان مطالعه ، معلم گزارش می دهد که امروز در درس با یکی دیگر از ویژگی های تابع - برگشت پذیری آشنا می شوند. برای مطالعه معنادار مطالب جدید، معلم از بچه ها دعوت می کند تا با سؤالات اصلی که دانش آموزان در پایان درس باید به آنها پاسخ دهند، آشنا شوند. سوالات روی یک تابلوی معمولی نوشته می شوند و هر دانش آموز یک جزوه دارد (قبل از درس توزیع می شود)

1. تابع برگشت پذیر چیست؟
2. آیا هر تابعی برگشت پذیر است؟
3. تابع معکوس داده شده چیست؟
4. دامنه تعریف و مجموعه مقادیر یک تابع و تابع معکوس آن چگونه به هم مرتبط هستند؟
5. اگر تابع به صورت تحلیلی داده شود، چگونه تابع معکوس را با یک فرمول تعریف می کنید؟
6. اگر تابعی به صورت گرافیکی داده شود، چگونه تابع معکوس آن را رسم کنیم؟

3. توضیح مطالب جدید.

هدف - ایجاد دانش در مورد یک موضوع جدید مطابق با مواد برنامه؛ مطالعه خاصیت برگشت پذیری یک تابع و آموزش نحوه یافتن یک تابع معکوس نسبت به یک تابع موضوع را توسعه دهید

معلم مطابق با مطالب پاراگراف مطالب را ارائه می دهد. در تابلوی تعاملی، معلم نمودارهای دو تابع را مقایسه می کند که دامنه تعریف و مجموعه مقادیر آنها یکسان است، اما یکی از توابع یکنواخت است و دیگری نه، بنابراین دانش آموزان را تحت مفهوم تابع معکوس قرار می دهد. .

سپس معلم تعریف تابع معکوس را فرموله می کند و قضیه تابع معکوس را با استفاده از نمودار تابع یکنواخت روی تخته سفید تعاملی اثبات می کند.

تعریف 1: تابع y=f(x)، x X فراخوانی می شود برگشت پذیر، اگر هر یک از مقادیر خود را فقط در یک نقطه از مجموعه X بگیرد.

قضیه: اگر تابع y=f(x) روی مجموعه X یکنواخت باشد، آن گاه معکوس است.

اثبات:

1. اجازه دهید تابع y=f(x)افزایش می یابد ایکسرهایش کن x 1 ≠ x 2- دو نقطه از مجموعه ایکس.
2. برای قطعیت، اجازه دهید x 1< x 2.
   بعد از چی x 1< x 2به دنبال آن است f (x 1) < f (x 2).
3. بنابراین، مقادیر مختلف آرگومان با مقادیر مختلف تابع مطابقت دارد، به عنوان مثال. عملکرد برگشت پذیر است

(در حین اثبات قضیه، معلم تمام توضیحات لازم را روی نقاشی با نشانگر انجام می دهد)

قبل از فرمول بندی تعریف تابع معکوس، معلم از دانش آموزان می خواهد که تعیین کنند کدام یک از توابع پیشنهادی برگشت پذیر است؟ تخته سفید تعاملی نمودارهایی از توابع را نشان می دهد و چندین توابع تعریف شده به صورت تحلیلی نوشته شده اند:

ب)

ز) y = 2x + 5

د) y = -x 2 + 7

معلم تعریف تابع معکوس را معرفی می کند.

تعریف 2: اجازه دهید یک تابع معکوس باشد y=f(x)در مجموعه تعریف شده است ایکسو E(f)=Y. بیایید هر کدام را مطابقت دهیم yاز جانب Yسپس تنها معنی ایکس، که در آن f(x)=y.سپس تابعی دریافت می کنیم که در آن تعریف شده است Y، آ ایکسمحدوده تابع است

این تابع مشخص شده است x=f -1 (y)و معکوس تابع نامیده می شود y=f(x).

از دانش آموزان دعوت می شود تا در مورد رابطه بین دامنه تعریف و مجموعه مقادیر توابع معکوس نتیجه گیری کنند.

برای در نظر گرفتن این سوال که چگونه می توان تابع معکوس یک داده را پیدا کرد، معلم دو دانش آموز را درگیر کرد. روز قبل، بچه ها از معلم وظیفه ای دریافت کردند تا به طور مستقل روش های تحلیلی و گرافیکی را برای یافتن تابع معکوس تجزیه و تحلیل کنند. معلم در آماده سازی دانش آموزان برای درس به عنوان مشاور عمل می کرد.

پیام شاگرد اول

نکته: یکنواختی یک تابع است کافیشرط وجود تابع معکوس اما آن نیستشرط لازم

دانش آموز از موقعیت های مختلف مثال هایی زد که تابع یکنواخت نیست، اما برگشت پذیر است، زمانی که تابع یکنواخت نیست و برگشت پذیر نیست، زمانی که یکنواخت و برگشت پذیر است.

سپس دانش آموز دانش آموزان را با روش یافتن تابع معکوس که به صورت تحلیلی ارائه شده است آشنا می کند.

یافتن الگوریتم

1. مطمئن شوید که تابع یکنواخت است.
2. x را برحسب y بیان کنید.
3. تغییر نام متغیرها به جای x \u003d f -1 (y) می نویسند y \u003d f -1 (x)

سپس دو مثال را حل می کند تا تابع معکوس داده شده را پیدا کند.

مثال 1:نشان دهید که تابع معکوس برای تابع y=5x-3 وجود دارد و عبارت تحلیلی آن را بیابید.

راه حل. تابع خطی y=5x-3 روی R تعریف می شود، روی R افزایش می یابد و دامنه آن R است. بنابراین، تابع معکوس روی R وجود دارد. برای یافتن بیان تحلیلی آن، معادله y=5x-3 را با توجه به ایکس؛ دریافت می کنیم این تابع معکوس مورد نظر است. تعریف شده و با R افزایش می یابد.

مثال 2:نشان دهید که یک تابع معکوس برای تابع y=x 2 , x≤0 وجود دارد و عبارت تحلیلی آن را پیدا کنید.

تابع در دامنه تعریف خود پیوسته و یکنواخت است، بنابراین، معکوس است. پس از تجزیه و تحلیل حوزه های تعریف و مجموعه مقادیر تابع، نتیجه گیری مربوطه در مورد عبارت تحلیلی برای تابع معکوس انجام می شود.

دانش آموز دوم ارائه ای در مورد گرافیکینحوه پیدا کردن تابع معکوس دانش آموز در جریان توضیحات خود از قابلیت های تخته سفید تعاملی استفاده می کند.

برای بدست آوردن نمودار تابع y=f -1 (x)، معکوس تابع y=f(x)، باید نمودار تابع y=f(x) را به صورت متقارن نسبت به خط مستقیم تبدیل کرد. y=x.

در طول توضیح روی تخته سفید تعاملی، کار زیر انجام می شود:

یک نمودار از یک تابع و یک نمودار از تابع معکوس آن در یک سیستم مختصات مشابه بسازید. یک عبارت تحلیلی برای تابع معکوس بنویسید.

4. تثبیت اولیه مواد جدید.

هدف - برای ایجاد درستی و آگاهی از درک مطالب مورد مطالعه، شناسایی شکاف ها در درک اولیه مطالب، اصلاح آنها.

دانش آموزان به جفت تقسیم می شوند. به آنها برگه هایی با وظایف داده می شود که در آنها به صورت جفت کار می کنند. زمان تکمیل کار محدود است (5-7 دقیقه). یک جفت دانش آموز با کامپیوتر کار می کنند، پروژکتور برای این مدت خاموش است و بقیه بچه ها نمی توانند نحوه کار دانش آموزان با کامپیوتر را ببینند.

در پایان زمان (فرض می‌رود که اکثر دانش‌آموزان کار را به پایان رساندند)، تخته سفید تعاملی (پروژکتور دوباره روشن می‌شود) کار دانش‌آموزان را نشان می‌دهد، جایی که در طول آزمون مشخص می‌شود که این کار در جفت در صورت لزوم، معلم کار اصلاحی و توضیحی انجام می دهد.

کار مستقل به صورت جفت<ضمیمه 2 >

5. نتیجه درس.در مورد سوالاتی که قبل از سخنرانی پرسیده شد. اعلام نمرات درس.

تکلیف §10. №№ 10.6 (a,c) 10.8-10.9 (b) 10.12 (b)

جبر و آغاز تحلیل. درجه 10 در 2 قسمت برای موسسات آموزشی (سطح نمایه) / A.G. Mordkovich، L.O. Denishcheva، T.A. Koreshkova و دیگران؛ ویرایش A.G. Mordkovich، M: Mnemosyne، 2007

عبارات متناظر که به یکدیگر تبدیل می شوند. برای درک این که این به چه معناست، ارزش در نظر گرفتن را دارد مثال خاص. فرض کنید y = cos(x) داریم. اگر کسینوس را از آرگومان بگیریم، می‌توانیم مقدار y را پیدا کنیم. بدیهی است که برای این کار باید x داشته باشید. اما اگر بازیکن در ابتدا داده شود چه؟ اینجاست که به اصل موضوع می رسد. برای حل مشکل، استفاده از تابع معکوس مورد نیاز است. در مورد ما، این آرکوزین است.

پس از تمام تبدیل ها، به دست می آوریم: x = arccos(y).

یعنی برای یافتن یک تابع معکوس به یک تابع، کافی است به سادگی یک آرگومان از آن بیان شود. اما این تنها در صورتی کار می کند که نتیجه یک مقدار واحد داشته باشد (در ادامه در مورد آن بیشتر توضیح خواهیم داد).

به طور کلی، این واقعیت را می توان به صورت زیر نوشت: f(x) = y، g(y) = x.

تعریف

فرض کنید f تابعی باشد که دامنه آن X و دامنه آن Y است. سپس اگر g وجود داشته باشد که دامنه‌های آن وظایف مخالف را انجام دهند، آنگاه f برگشت پذیر است.

علاوه بر این، در این مورد g منحصر به فرد است، به این معنی که دقیقا یک تابع وجود دارد که این ویژگی را برآورده می کند (نه بیشتر، نه کمتر). سپس تابع معکوس نامیده می شود و در نوشتن به صورت زیر نشان داده می شود: g (x) \u003d f -1 (x).

به عبارت دیگر، آنها را می توان به عنوان یک رابطه باینری مشاهده کرد. برگشت پذیری تنها زمانی اتفاق می افتد که یک عنصر از مجموعه با یک مقدار از دیگری مطابقت داشته باشد.

همیشه تابع معکوس وجود ندارد. برای انجام این کار، هر عنصر y є Y باید حداکثر با یک x є X مطابقت داشته باشد. سپس f یک به یک یا تزریق نامیده می شود. اگر f -1 متعلق به Y باشد، هر عنصر از این مجموعه باید با مقداری x∈ X مطابقت داشته باشد. اگر Y یک تصویر f باشد، طبق تعریف وجود دارد، اما همیشه اینطور نیست. برای معکوس بودن، یک تابع باید هم تزریقی و هم سرجکشن باشد. به این گونه عبارات بیجشن می گویند.

مثال: توابع مربع و ریشه

تابع در تعریف شده است. در این مورد، مشتق آن

گروه ریاضی و انفورماتیک تجزیه و تحلیل ریاضی مجتمع آموزشی و روش شناختی برای دانشجویان HPE در حال تحصیل با استفاده از فناوری های راه دور ماژول 4 کاربردهای مشتق گردآوری شده توسط: دانشیار

فصل 1. محدودیت ها و تداوم 1. مجموعه های عددی 1 0. اعداد واقعی از ریاضیات مدرسه می دانید N اعداد صحیح طبیعی Z اعداد Q گویا و R واقعی اعداد طبیعی و صحیح

سخنرانی 19 مشتق و کاربردهای آن. تعریف مشتق. اجازه دهید یک تابع y=f(x) را در یک بازه تعریف کنیم. برای هر مقدار آرگومان x از این بازه، تابع y=f(x)

حساب دیفرانسیل مفاهیم و فرمول های اساسی تعریف 1 مشتق تابع در یک نقطه را حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان می گویند مشروط بر اینکه افزایش آرگومان

مبحث 8. توابع نمایی و لگاریتمی. 1. تابع نمایی، نمودار آن و خصوصیات شکل y=a x،

44 مثال مشتق کل یک تابع مختلط = sin v cos w را پیدا کنید که در آن v = ln + 1 w = 1 طبق فرمول (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 اکنون دیفرانسیل کل را پیدا می کنیم. تابع مختلط f

وظایف برای راه حل مستقل. دامنه تابع 6x را پیدا کنید. مماس زاویه میل بر محور x مماس عبوری از نقطه M (;) نمودار تابع را بیابید. مماس یک زاویه را پیدا کنید

مبحث تابع عددی، خصوصیات و نمودار آن مفهوم تابع عددی حوزه تعریف و مجموعه مقادیر یک تابع اجازه دهید یک مجموعه عددی X داده شود، قاعده ای که هر عدد X را با یک عدد منحصر به فرد مطابقت دهد.

سخنرانی 23 محدب و مقعر نمودار تابع نقطه جوهر نمودار تابع y \u003d f (x) در بازه (a؛ b) محدب نامیده می شود اگر زیر هر یک از مماس های آن در این بازه قرار گیرد. نمودار

موضوع تئوری حدود تمرین عملی دنباله های عددی تعریف دنباله عددی دنباله های محدود و نامحدود دنباله های یکنواخت بی نهایت کوچک

توابع عددی و دنباله های عددی DV Lytkina NPP، ترم I DV Lytkina (SibSUTI) تجزیه و تحلیل ریاضی NPP، ترم I 1 / 35 مطالب 1 تابع عددی مفهوم تابع توابع عددی.

بانک وظایف با موضوع "DEERIVATIV" کلاس ریاضیات (نمایه) دانش آموزان باید بدانند / درک کنند: مفهوم مشتق. تعریف مشتق. قضایا و قواعد برای یافتن مشتقات حاصل جمع، تفاوت، حاصلضرب

آ. آ. ریاضیات دالینجر: تابع مثلث کمک آموزشی توسعه مشکل برای SPO - ویرایش، تصحیح و تکمیل حرفه ای خود

A.V. ریاضیات Zemlyanko. جبر و آغاز تحلیل Voronezh مطالب موضوع 1. ویژگی های اصلی تابع... 6 1.1. تابع عددی ... 6 1.2. نمودار تابع ... 9 1.3. تبدیل نمودارهای تابع ...

موضوع. تابع. روش های کار تابع ضمنی تابع معکوس. طبقه بندی توابع عناصر تئوری مجموعه ها. مفاهیم پایه یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات مدرن مفهوم مجموعه است.

بگذارید یک مجموعه عددی D R داده شود.اگر یک عدد منفرد y به هر عدد x D اختصاص داده شود، می گوییم که یک تابع عددی روی مجموعه D داده می شود: y = f (x)، x D. مجموعه D نامیده می شود.

توابع چند متغیر 11. تعریف تابعی از چند متغیر. حد و تداوم FNP 1. تعریف تابعی از چند متغیر DEFINITION. اجازه دهید X = ( 1 n i X i R ) U R. تابع

ریاضیات برای همه Yu.L.Kalinovskiy محتویات 1 نمودار توابع. قسمت اول.............................. 5 1.1 مقدمه 5 1.1.1 مفهوم مجموعه... ... ...................................... 5 1.1.

کار عملی 6 موضوع: «مطالعه کامل توابع. ساخت نمودارها "هدف کار: یادگیری نحوه کاوش توابع توسط طرح کلیو نمودار بسازید. در نتیجه کار، دانش آموز باید:

فصل 8 توابع و نمودارها متغیرها و وابستگی های بین آنها. دو کمیت و اگر نسبت آنها ثابت باشد مستقیماً متناسب نامیده می شوند، یعنی اگر =، کجا یک عدد ثابت است که با تغییر تغییر نمی کند.

سخنرانی 2. عملیات با فضاهای فرعی، تعداد پایه ها، تعداد پایه ها و تعداد زیرفضاهای بعد k. نتایج اصلی سخنرانی 2. 1) U V، U + V، dim(u + V). 2) شمارش تعداد هواپیماها در F 4 2.

سوال 5. عملکرد، راه های تنظیم. نمونه هایی از توابع ابتدایی و گرافیک آنها. اجازه دهید دو مجموعه دلخواه X و Y داده شوند. یک تابع قاعده ای است که طبق آن هر عنصر از مجموعه X می تواند پیدا کند.

سخنرانی 4 توابع عددی یک متغیر واقعی مفهوم یک تابع روش های تعریف یک تابع ویژگی های اساسی توابع تابع مختلط 4 تابع معکوس مفهوم یک تابع روش های تعریف تابع اجازه دهید D

سخنرانی ها فصل توابع چند متغیر مفاهیم اساسی برخی از توابع چندین متغیر به خوبی شناخته شده اند بیایید چند مثال بزنیم برای محاسبه مساحت یک مثلث، فرمول هرون S شناخته شده است.

تداوم توابع تداوم یک تابع در یک نقطه محدودیت های یک طرفه تعریف عدد A حد چپ تابع f(x) نامیده می شود زیرا اگر چنین عددی برای هر عددی وجود داشته باشد x به a تمایل دارد.

کار تحقیقی ریاضیات "کاربرد خواص اکسترومی یک تابع برای حل معادلات" تکمیل شده توسط: النا گودکووا، دانش آموز کلاس 11 "G" مدرسه متوسطه MBOU "Anninsky Lyceum" p.g.t. سر آنا:

آژانس فدرال آموزش ----- دانشگاه پلی تکنیک ایالتی سنت پترزبورگ AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina Mathematics توابع ابتدایی و نمودارهای آنها آموزشی

توابع متغیرهای چندگانه توابع یک متغیر مستقل همه وابستگی های موجود در طبیعت را پوشش نمی دهند. بنابراین، طبیعی است که مفهوم شناخته شده وابستگی عملکردی را گسترش داده و معرفی کنیم

تابع تعریف تابع روشهای تعریف تابع ویژگیهای تابع معکوس حد تابع حد تابع در نقطه محدودیتهای یک طرفه حد تابع در x بی نهایت عملکرد عالی 4 سخنرانی

بخش حساب یک یا چند توابع تابع متغیرهاآرگومان واقعی اعداد حقیقی اعداد صحیح مثبت را اعداد طبیعی می گویند

Sergey A Belyaev صفحه 1 حداقل ریاضی قسمت 1 نظری 1 آیا تعریف صحیح است کمترین مضرب مشترک دو عدد صحیح کوچکترین عددی است که بر هر یک از اعداد داده شده بخش پذیر است

بخش 2 نظریه حدود موضوع دنباله های عددی تعریف دنباله عددی 2 دنباله محدود و نامحدود 3 دنباله یکنواخت 4 بی نهایت کوچک و

تمایز یک تابع ضمنی تابع (,) = C را در نظر بگیرید (C = const) این معادله یک تابع ضمنی را تعریف می کند () فرض کنید این معادله را حل کرده ایم و یک عبارت صریح پیدا کرده ایم = () حالا می توانیم

تکالیف تستی برای آماده شدن برای امتحان در رشته "ریاضیات" برای دانش آموزان بخش مکاتبات مشتق تابع y \u003d f () نامیده می شود: f A) B) f C) f f اگر در یک محله از نقطه تابع

متغیرها و ثابت ها در نتیجه اندازه گیری مقادیر فیزیکی(زمان، مساحت، حجم، جرم، سرعت و غیره) مقادیر عددی آنها تعیین می شود. ریاضیات با کمیت ها سر و کار دارد، حواس پرتی

تجزیه و تحلیل ریاضی بخش: مقدمه ای بر تجزیه و تحلیل موضوع: مفهوم تابع (تعریف اساسی، طبقه بندی، ویژگی های اصلی رفتار) مدرس Rozhkova S.V. 2012 ادبیات Piskunov N.S. دیفرانسیل

درس 7 قضایای مقدار میانگین. قانون L'Hôpital 7. قضایای ارزش میانگین قضایای ارزش میانگین سه قضیه هستند: رول، لاگرانژ و کوشی، که هر کدام قضیه قبلی را تعمیم می‌دهند. این قضایا نیز نامیده می شوند

سخنرانی توسط Assoc تهیه شده بود.

تمایز توابع یک متغیر مفهوم مشتق، معنای هندسی و فیزیکی آن مسائلی که منجر به مفهوم مشتق می شود تعریف مماس S به خط y f (x) در نقطه A x ; f(

13. مشتقات جزئی مرتبه بالاتر اجازه دهید = داشته باشیم و روی D O تعریف کنیم. و به طور کلی

وزارت آموزش و پرورش جمهوری بلاروس مؤسسه آموزشی "دانشگاه دولتی گرودنو به نام یانکا کوپالا" Yu.Yu. گنزدوفسکی، V.N. Gorbuzov، P.F. پرونویچ نمایی و لگاریتمی

فصل سخنرانی مجموعه ها و عملیات روی آنها مفهوم مجموعه مفهوم مجموعه به ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی اشاره دارد که از طریق مفاهیم ساده تر تعریف نمی شوند.

سخنرانی 8 تمایز یک تابع مختلط یک تابع مختلط را در نظر بگیرید که در آن ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t

سخنرانی 3 مادون تابعی از چندین متغیر اجازه دهید تابعی از چندین متغیر u = f (x, x) در دامنه D تعریف شود و نقطه x (x, x) = متعلق به این دامنه باشد تابع u = f ( x، x) دارد

سوال نابرابری ها، سیستم نابرابری های خطی عباراتی را در نظر بگیرید که حاوی یک علامت نابرابری و یک متغیر:. >، - + x نابرابری های خطی با یک متغیر x هستند. 0 - نابرابری مربع.

بخش وظایف با پارامترها اظهار نظر وظایف با پارامترها به طور سنتی وظایف پیچیده ای در ساختار USE هستند که متقاضی را نه تنها به تسلط بر همه روش ها و تکنیک های حل مختلف می طلبد.

2.2.7. استفاده از دیفرانسیل در محاسبات تقریبی. دیفرانسیل تابع y = به x بستگی دارد و است بخش اصلی x افزایش همچنین می توانید از فرمول استفاده کنید: dy d سپس خطای مطلق:

فصل 6 حساب دیفرانسیل تابع یک متغیر مسائل منتهی به مفهوم مشتق مسئله سرعت حرکت غیر یکنواخت مستطیل

خط مستقیم روی صفحه معادله کلی یک خط مستقیم. قبل از معرفی معادله کلی یک خط مستقیم در صفحه به معرفی می پردازیم تعریف کلیخطوط تعریف. معادله ای به شکل F(x,y)=0 (1) معادله خط L نامیده می شود.

کمیته آموزش عمومی و حرفه ای منطقه لنینگراد

قوانین مشتق و تمایز اجازه دهید تابع y = f افزایش یابد y f 0 f 0 مربوط به افزایش آرگومان 0 تعریف اگر محدودیتی در نسبت افزایش تابع y به فراخوان وجود داشته باشد.

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام N.E. باومن دانشکده علوم پایه گروه مدلسازی ریاضی A.N. کاناتنیکوف، A.P. کریشنکو

توابع معکوس مسائل مربوط به توابع معکوس در شاخه های مختلف ریاضیات و کاربردهای آن رخ می دهد. منطقه مهمریاضیدانان مسائل معکوس را در نظریه انتگرال می سازند

سیستم وظایف با موضوع "معادله مماسی" علامت شیب مماس رسم شده به نمودار تابع y f () را در نقاط با ابسیساهای a، b، c a) تعیین کنید.

اجازه دهید مجموعه های $X$ و $Y$ در مجموعه اعداد واقعی گنجانده شوند. اجازه دهید مفهوم تابع معکوس را معرفی کنیم.

تعریف 1

تابع $f:X\to Y$ که یک مجموعه $X$ را در یک مجموعه $Y$ نگاشت می کند، وارونگی نامیده می شود اگر برای هر عنصر $x_1,x_2\در X$ از این واقعیت که $x_1\ne x_2$ نتیجه می گیرد $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

اکنون می‌توانیم مفهوم تابع معکوس را معرفی کنیم.

تعریف 2

اجازه دهید تابع $f:X\to Y$ که مجموعه $X$ را در مجموعه $Y$ نگاشت می کند وارونگی باشد. سپس تابع $f^(-1):Y\to X$ مجموعه $Y$ را در مجموعه $X$ نگاشت و با شرط $f^(-1)\left(y\right)=x$ تعریف می شود. معکوس برای $f(x)$ نامیده می شود.

بیایید قضیه را فرموله کنیم:

قضیه 1

اجازه دهید تابع $y=f(x)$ تعریف شود، به طور یکنواخت افزایش (کاهش) و پیوسته در بازه ای $X$. سپس در بازه مربوطه $Y$ مقادیر این تابع، تابع معکوس دارد که در بازه $Y$ نیز بصورت یکنواخت افزایش (کاهش) و پیوسته است.

اکنون به طور مستقیم مفهوم توابع معکوس متقابل را معرفی می کنیم.

تعریف 3

در چارچوب تعریف 2، توابع $f(x)$ و $f^(-1)\left(y\right)$ توابع معکوس متقابل نامیده می شوند.

ویژگی های توابع معکوس متقابل

اجازه دهید توابع $y=f(x)$ و $x=g(y)$ متقابلا معکوس باشند، سپس

$y=f(g\چپ(y\راست))$ و $x=g(f(x))$

دامنه تابع $y=f(x)$ برابر است با دامنه مقدار تابع $\ x=g(y)$. و دامنه تابع $x=g(y)$ برابر است با دامنه مقدار تابع $\ y=f(x)$.

نمودارهای توابع $y=f(x)$ و $x=g(y)$ نسبت به خط مستقیم $y=x$ متقارن هستند.

اگر یکی از توابع افزایش (کاهش) داشته باشد، تابع دیگر نیز افزایش می یابد (کاهش).

یافتن تابع معکوس

معادله $y=f(x)$ با توجه به متغیر $x$ حل شده است.

از ریشه های به دست آمده، آنهایی که به بازه $X$ تعلق دارند پیدا می شوند.

$x$ پیدا شده به عدد $y$ اختصاص داده می شود.

مثال 1

تابع معکوس را برای تابع $y=x^2$ در بازه $X=[-1,0]$ پیدا کنید.

از آنجایی که این تابع در بازه $X$ نزولی و پیوسته است، پس در بازه $Y=$ که در این بازه نیز نزولی و پیوسته است (قضیه 1).

$x$ را محاسبه کنید:

\ \

$x$ مناسب را انتخاب کنید:

پاسخ:تابع معکوس $y=-\sqrt(x)$.

مشکلات برای یافتن توابع معکوس

در این قسمت برای برخی از توابع ابتدایی توابع معکوس در نظر می گیریم. وظایف طبق طرحی که در بالا داده شد حل می شود.

مثال 2

تابع معکوس تابع $y=x+4$ را پیدا کنید

$x$ را از معادله $y=x+4$ پیدا کنید:

مثال 3

تابع معکوس تابع $y=x^3$ را پیدا کنید

راه حل.

از آنجایی که تابع در کل دامنه تعریف افزایش و پیوسته است، پس با قضیه 1، تابع معکوس پیوسته و فزاینده روی آن دارد.

$x$ را از معادله $y=x^3$ پیدا کنید:

یافتن مقادیر مناسب $x$

مقدار در مورد ما مناسب است (زیرا دامنه همه اعداد است)

با تعریف مجدد متغیرها، دریافتیم که تابع معکوس شکل دارد

مثال 4

تابع معکوس تابع $y=cosx$ را در بازه $$ پیدا کنید

راه حل.

تابع $y=cosx$ را در مجموعه $X=\left$ در نظر بگیرید. در مجموعه $X$ پیوسته و در حال کاهش است و مجموعه $X=\left$ را روی مجموعه $Y=[-1,1]$ ترسیم می کند، بنابراین، با قضیه وجود تابع یکنواخت معکوس پیوسته، تابع $y=cosx$ در مجموعه $Y$ یک تابع معکوس وجود دارد که آن نیز پیوسته است و در مجموعه $Y=[-1,1]$ افزایش می‌یابد و مجموعه $[-1,1]$ را ترسیم می‌کند. به مجموعه $\left$.

$x$ را از معادله $y=cosx$ پیدا کنید:

یافتن مقادیر مناسب $x$

با تعریف مجدد متغیرها، دریافتیم که تابع معکوس شکل دارد

مثال 5

تابع معکوس تابع $y=tgx$ را در بازه $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ پیدا کنید.

راه حل.

تابع $y=tgx$ را در مجموعه $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ در نظر بگیرید. در مجموعه $X$ پیوسته و در حال افزایش است و مجموعه $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ را روی مجموعه $Y نگاشت می کند. =R$، بنابراین با قضیه وجود تابع یکنواخت معکوس پیوسته، تابع $y=tgx$ در مجموعه $Y$ تابع معکوس دارد که این تابع نیز پیوسته است و در مجموعه $Y=R افزایش می یابد. $ و مجموعه $R$ را روی مجموعه $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ ترسیم می کند.

$x$ را از معادله $y=tgx$ پیدا کنید:

یافتن مقادیر مناسب $x$

با تعریف مجدد متغیرها، دریافتیم که تابع معکوس شکل دارد

2. نظریه توابع معکوس

معکوس توابع مثلثاتی

تعریف تابع معکوس

تعریف. اگر یک تابع f(x) یک تناظر یک به یک بین دامنه X و دامنه آن Y را مشخص کند (به عبارت دیگر، اگر مقادیر مختلف آرگومان با مقادیر مختلف تابع مطابقت داشته باشد)، گفته می شود که تابع f(x) دارد تابع معکوسیا چی تابعf(ایکس) برگشت پذیر است.

تعریف. یک تابع معکوس قاعده ای است که هر عددی را نشان می دهد درє دربا یک عدد مطابقت دارد ایکسє ایکسو y=f(x). ناحیه تعریف معکوس

تابع دارای یک مجموعه Y، محدوده - X است.

قضیه ریشه. اجازه دهید تابع f در بازه I افزایش یابد (یا کاهش یابد)، عدد a - هر یک از مقادیر گرفته شده توسط f در این بازه. سپس معادله f(x)=a دارای یک ریشه منحصر به فرد در بازه I است.

اثبات یک تابع افزایشی f را در نظر بگیرید (در مورد یک تابع کاهشی، استدلال مشابه است). با فرض، یک عدد b در بازه I وجود دارد به طوری که f(b)=a. اجازه دهید نشان دهیم که b تنها ریشه معادله f(x)=a است.

فرض کنید در بازه I نیز یک عدد وجود دارد ج≠ b، طوری که f(c)=a. سپس یا با ب اما تابع f در بازه I افزایش می یابد، بنابراین، به ترتیب، یا f(c) f(b). این با برابری f(c)= f(b)=a در تضاد است. بنابراین، فرض انجام شده نادرست است و در بازه I به جز عدد b، هیچ ریشه دیگری از معادله f(x)=a وجود ندارد.

قضیه تابع معکوس اگر یک تابع f در بازه I افزایش (یا کاهش) پیدا کند، آنگاه معکوس پذیر است. تابع g معکوس به f که در محدوده f تعریف شده است نیز در حال افزایش (به ترتیب کاهش) است.

اثبات برای قطعیت فرض کنید که تابع f در حال افزایش است. وارونگی تابع f نتیجه آشکار قضیه ریشه است. بنابراین، باید ثابت کنیم که تابع g، معکوس به f، در مجموعه E(f) در حال افزایش است.

فرض کنید x 1 و x 2 مقادیر دلخواه از E(f) باشند، به طوری که x 2 > x 1 و y 1 = g (x 1)، y 2 = g ( x 2 ). طبق تعریف، تابع معکوس x 1 = f (y 1) و x 2 = f (y 2).

با استفاده از این شرط که f یک تابع افزایشی است، متوجه می‌شویم که فرض y 1≥ y 2 به نتیجه f (y 1) > f (y 2) می‌رسد، یعنی x 1 > x 2. این

با فرض x 2 > x 1 در تضاد است، بنابراین، y 1 > y 2، یعنی از شرط x 2 > x 1 نتیجه می شود که g (x 2) > g (x 1). Q.E.D.

تابع اصلی و معکوس آن متقابل هستند معکوس.

نمودارهای توابع معکوس متقابل

قضیه. نمودارهای توابع معکوس متقارن با توجه به خط مستقیم y=x هستند.

اثبات توجه داشته باشید که از نمودار تابع f می توان مقدار عددی تابع g را معکوس به f در یک نقطه دلخواه a پیدا کرد. برای انجام این کار، شما باید یک نقطه با مختصات را نه در محور افقی (همانطور که معمولا انجام می شود)، بلکه در محور عمودی بگیرید. از تعریف تابع معکوس چنین بر می آید که مقدار g(a) برابر b است.

برای به تصویر کشیدن نمودار g در سیستم مختصات معمول، لازم است نمودار f را با توجه به خط مستقیم y \u003d x منعکس کنید.

الگوریتم کامپایل تابع معکوس برای تابع y=f(x)، ایکس ایکس.

1. مطمئن شوید که تابع y=f(x) روی X معکوس است.

2. از معادله y \u003d f (x) x از طریق y بیان می شود، با در نظر گرفتن اینکه x є X .

Z. در برابری حاصل، x و y را مبادله کنید.

2.2 تعریف، خواص و نمودارهای مثلثات معکوس

کارکرد

آرکسین

تابع سینوس در بازه افزایش می یابد و همه مقادیر را از -1 تا 1 می گیرد. بنابراین، با قضیه ریشه برای هر عدد a، به طوری که
، یک ریشه از معادله sin x = a در بازه وجود دارد. این عدد را آرکسین عدد a می نامند و آرکسین a نشان می دهند.

تعریف. کمان عدد a، که در آن، عددی از پاره ای است که سینوس آن برابر با a است.

خواص.

D(y) = [-1;1]

E (y) \u003d [-π / 2؛ π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - تابع فرد است، نمودار در مورد نقطه O متقارن است (0؛ 0).

arcsin x = 0 در x = 0.

arcsin x > 0 در x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x برای هر x є افزایش می‌یابد [-1؛ 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.



کسینوس قوسی

تابع کسینوس روی قطعه کاهش می یابد و همه مقادیر از -1 تا 1 را به خود می گیرد. بنابراین برای هر عدد a که |a|1 باشد، یک ریشه در معادله cosx=a روی قطعه وجود دارد. این عدد در آرکوزین عدد a نامیده می شود و آرکوس a نشان داده می شود.

تعریف . کسینوس قوس عدد a، که در آن -1 a 1، عددی از قطعه ای است که کسینوس آن برابر با a است.

خواص.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - تابع نه زوج است و نه فرد.

   arccos x = 0 در x = 1

   arccos x > 0 در x є [-1؛ 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x برای هر x є کاهش می یابد [-1؛ 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - کاهش می یابد.



Arctangent

تابع مماس در بخش افزایش می یابد -
، بنابراین، با توجه به قضیه ریشه، معادله tgx \u003d a، که در آن a هر عدد واقعی است، یک ریشه منحصر به فرد x در بازه - دارد. این ریشه را مماس قوس عدد a می نامند و با arctga نشان داده می شود.

تعریف. مماس قوسی یک عدد آآر به این عدد x می گویند , که مماس آن a است.

خواص.

E (y) \u003d (-π / 2؛ π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - تابع فرد است، نمودار در مورد نقطه O متقارن است (0؛ 0).

arctg x = 0 در x = 0

تابع برای هر x є R افزایش می یابد

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2



مماس قوس

تابع کوتانژانت در بازه (0;) کاهش می یابد و همه مقادیر را از R می گیرد. بنابراین، برای هر عدد a در بازه (0;) یک ریشه از معادله ctg x \u003d a وجود دارد. این عدد a را مماس قوس عدد a می نامند و با arcctg a نشان داده می شود.

تعریف. مماس قوس عدد a، که در آن R، عددی از بازه (0;) است. , که کوتانژانت آن a است.

خواص.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - تابع نه زوج است و نه فرد.

arcctg x = 0- وجود ندارد.

تابع y = arcctg xبرای هر کدام کاهش می یابد х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

تابع برای هر x є R پیوسته است.



2.3 تبدیل هویت عبارات حاوی توابع مثلثاتی معکوس

مثال 1. عبارت را ساده کنید:

آ)
جایی که


راه حل. بگذاریم
. سپس
و
برای پیدا کردن
، از رابطه استفاده می کنیم
ما گرفتیم
ولی . در این بخش، کسینوس فقط مقادیر مثبت می گیرد. بدین ترتیب،
، به این معنا که
جایی که
.

ب)


راه حل.

V)


راه حل. بگذاریم
. سپس
و
اجازه دهید ابتدا پیدا کنیم که برای آن از فرمول استفاده می کنیم
، جایی که
از آنجایی که کسینوس در این بازه فقط مقادیر مثبت می گیرد، پس
.