توابع مثلثاتی درس استدلال زاویه ای. رادیان چیست

درس و ارائه با موضوع: "تابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای، درجه اندازه گیری زاویه و رادیان"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین "Integral" برای درجه 10 از 1C
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف ساختمان تعاملی
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف تعاملی برای ساخت و ساز در فضا

چه چیزی را مطالعه خواهیم کرد:
1. بیایید هندسه را به خاطر بسپاریم.
2. تعریف آرگومان زاویه ای.
3. درجه یک زاویه.
4. اندازه گیری شعاعی یک زاویه.
5. رادیان چیست؟
6. مثال ها و وظایف برای حل مستقل.

تکرار هندسه

بچه ها، در توابع ما:

y= sin(t)، y= cos(t)، y= tg(t)، y= ctg(t)

متغیر t نه تنها می تواند مقادیر عددی را بگیرد، یعنی یک آرگومان عددی باشد، بلکه می تواند به عنوان معیار یک زاویه - یک آرگومان زاویه ای نیز در نظر گرفته شود.

بیایید هندسه را به یاد بیاوریم!
چگونه سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت را در آنجا تعریف کردیم؟

سینوس یک زاویه نسبت پای مقابل به هیپوتنوز است

کسینوس یک زاویه - نسبت پای مجاور به هیپوتنوز

مماس یک زاویه نسبت پای مقابل به مجاور است.

کتانژانت یک زاویه نسبت پایه مجاور به طرف مقابل است.

تعریف تابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای

بیایید توابع مثلثاتی را به عنوان توابع آرگومان زاویه روی یک دایره عددی تعریف کنیم:
با کمک یک دایره عددی و یک سیستم مختصات، همیشه می‌توانیم به راحتی سینوس، کسینوس، مماس و کتانژانت یک زاویه را پیدا کنیم:

راس زاویه α خود را در مرکز دایره قرار می دهیم، یعنی. به مرکز محور مختصات، و یکی از اضلاع را طوری قرار دهید که با جهت مثبت محور x (OA) منطبق باشد.
سپس ضلع دوم دایره عددی را در نقطه M قطع می کند.

ترتیب دهیدنقاط M: سینوس زاویه α
اوکیسانقاط M: کسینوس زاویه α

توجه داشته باشید که طول کمان AM همان قسمت دایره واحد با زاویه α ما از 360 درجه است: جایی که t طول قوس AM است.

اندازه گیری درجه یک زاویه

1) بچه ها، ما فرمولی برای تعیین درجه یک زاویه در طول یک قوس یک دایره عددی دریافت کردیم، بیایید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم:

سپس توابع مثلثاتی را به شکل زیر می نویسیم:

مثلا:

اندازه گیری رادیانی زاویه ها

هنگام محاسبه درجه یا اندازه گیری رادیان یک زاویه، به یاد داشته باشید! :
مثلا:

راستی! راد تعیین. می توانید رها کنید!

رادیان چیست؟

دوستان عزیز ما با مفهوم جدیدی مواجه شدیم - رادیان. پس چیست؟

وجود داشته باشد اقدامات مختلفطول، زمان، وزن به عنوان مثال: متر، کیلومتر، ثانیه، ساعت، گرم، کیلوگرم و غیره. پس رادیان یکی از معیارهای زاویه است. ارزش در نظر گرفتن زوایای مرکزی، یعنی در مرکز دایره عددی را دارد.
زاویه 1 درجه یک زاویه مرکزی است که بر اساس یک قوس برابر با 1/360 محیط است.

زاویه 1 رادیان یک زاویه مرکزی است که بر اساس یک قوس برابر با 1 در یک دایره واحد و در یک دایره دلخواه روی یک قوس برابر با شعاع دایره است.

مثال ها:

نمونه هایی از تبدیل یک درجه یک زاویه به رادیان و بالعکس

وظایف برای راه حل مستقل

1. اندازه رادیان زوایا را بیابید:
الف) 55 درجه ب) 450 درجه ج) 15 درجه د) 302 درجه

2. پیدا کنید:
الف) sin (150 درجه) ب) cos (45 درجه) ج) tg (120 درجه)

3. اندازه گیری درجه زاویه ها را بیابید:

هر عدد واقعی t گرفته شود، می توان به آن یک عدد sin t تعریف شده اختصاص داد. درست است، قانون تطابق بسیار پیچیده است؛ همانطور که در بالا دیدیم، شامل موارد زیر است.

برای پیدا کردن مقدار sin t با عدد t، شما نیاز دارید:

1) دایره عددی را در صفحه مختصات قرار دهید تا مرکز دایره با مبدأ مختصات منطبق باشد و نقطه شروع A دایره به نقطه (1; 0) برخورد کند.

2) نقطه ای از دایره مربوط به عدد t را پیدا کنید.

3) ترتیب این نقطه را بیابید.

این دستور گناه تی است.

در واقع، ما در مورد تابع u = sin t صحبت می کنیم که t هر عدد واقعی است.

همه این توابع نامیده می شوند توابع مثلثاتی آرگومان عددی t.

تعدادی رابطه وجود دارد که مقادیر توابع مختلف مثلثاتی را به هم متصل می کند، ما قبلاً برخی از این روابط را دریافت کرده ایم:

sin 2 t + cos 2 t = 1

از دو فرمول آخر، به راحتی می توان یک رابطه اتصال tg t و ctg t به دست آورد:

همه این فرمول ها در مواردی استفاده می شوند که با دانستن مقدار هر تابع مثلثاتی، لازم است مقادیر توابع مثلثاتی باقی مانده را محاسبه کنید.

اصطلاحات "سینوس"، "کسینوس"، "مماس" و "کتانژانت" در واقع آشنا بودند، با این حال، آنها هنوز در تفسیر کمی متفاوت استفاده می شدند: در هندسه و فیزیک، آنها سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت را در نظر می گرفتند. g l a(اما نه

اعداد، همانطور که در پاراگراف های قبلی بود).

از هندسه مشخص شده است که سینوس (کسینوس) یک زاویه تند، نسبت ساق یک مثلث قائم الزاویه به هیپوتنوز آن است و مماس (کتانژانت) یک زاویه، نسبت ساق های یک مثلث قائم الزاویه است. رویکرد متفاوتی به مفاهیم سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت در پاراگراف‌های قبلی ارائه شد. در واقع این رویکردها به هم مرتبط هستند.

بیایید یک زاویه با درجه b o بگیریم و آن را در مدل "دایره عددی در یک سیستم مختصات مستطیلی" مرتب کنیم همانطور که در شکل نشان داده شده است. 14

بالای گوشه سازگار با مرکز

دایره ها (با مبدأ سیستم مختصات)،

و یک طرف گوشه با

پرتو مثبت محور x نقطه

تقاطع طرف دیگر زاویه با

دایره با حرف M نشان داده می شود. Ordina-

شکل 14 b o و آبسیسا این نقطه کسینوس زاویه b o است.

برای یافتن سینوس یا کسینوس زاویه b o به هیچ وجه لازم نیست هر بار این ساختارهای بسیار پیچیده بسازید.

توجه به این نکته کافی است که قوس AM همان قسمتی از طول دایره عددی است که زاویه b o از زاویه 360 درجه است. اگر طول کمان AM با حرف t نشان داده شود، به دست می آید:

بدین ترتیب،

مثلا،

اعتقاد بر این است که 30 درجه یک اندازه گیری درجه یک زاویه است و اندازه گیری رادیانی همان زاویه است: 30 درجه = راد. اصلا:

به ویژه، خوشحالم که به نوبه خود از کجا به دست می آوریم.

پس 1 رادیان چیست؟ اندازه گیری های مختلفی برای طول قطعه وجود دارد: سانتی متر، متر، یارد و غیره. همچنین معیارهای مختلفی برای نشان دادن بزرگی زوایا وجود دارد. زوایای مرکزی دایره واحد را در نظر می گیریم. زاویه 1 درجه یک زاویه مرکزی مبتنی بر کمانی است که بخشی از یک دایره است. زاویه 1 رادیان یک زاویه مرکزی بر اساس کمانی به طول 1 است، یعنی. روی کمانی که طول آن برابر با شعاع دایره است. از فرمول، 1 راد = 57.3 درجه را دریافت می کنیم.

با در نظر گرفتن تابع u = sin t (یا هر تابع مثلثاتی دیگری)، می‌توانیم متغیر مستقل t را به‌عنوان یک آرگومان عددی در نظر بگیریم، همانطور که در پاراگراف‌های قبل چنین بود، اما می‌توانیم این متغیر را به عنوان معیاری از زاویه نیز در نظر بگیریم. یعنی استدلال زاویه ای بنابراین، صحبت از یک تابع مثلثاتی، به نوعی بی تفاوت است که آن را تابعی از یک استدلال عددی یا زاویه ای در نظر بگیریم.

توابع مثلثاتی یک آرگومان عددیتجزیه کردیم نقطه A را روی دایره گرفتیم و سینوس ها و کسینوس ها را از زاویه β پیدا کردیم.

ما نقطه را با A نشان دادیم، اما در جبر اغلب با t نشان داده می شود و همه فرمول ها / توابع با آن آورده می شوند. ما همچنین از قوانین منحرف نخواهیم شد. آن ها t - یک عدد مشخص خواهد بود و بنابراین تابع عددی(مثلا سینت)

منطقی است که چون دایره ای با شعاع یک داریم، پس

توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ایما همچنین آن را با موفقیت تجزیه کردیم - طبق قوانین، ما برای چنین توابعی خواهیم نوشت: sin α °، به معنی α ° هر زاویه با تعداد درجه هایی که نیاز داریم.

پرتو این زاویه نقطه دوم دایره (OA - نقطه A) و نقاط مربوطه C و B را برای تابع آرگومان عددی به ما می دهد، اگر به آن نیاز داشته باشیم: sin t = گناه α°

خطوط سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت

هیچ وقت آن را فراموش نکن محور y خط سینوسی است, محور x خط کسینوس است! نقاط به دست آمده از دایره روی این محورها مشخص شده اند.

آ خطوط مماس و کتانژانت موازی آنها هستند و از نقاط (1; 0) و (0;1) عبور می کنند.به ترتیب.

درس تصویری "توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای" یک مطلب تصویری برای اجرای درس ریاضی با موضوع مربوطه است. این ویدئو به گونه ای تنظیم شده است که مطالب مورد مطالعه تا حد امکان برای دانش آموزان قابل درک باشد، به خاطر سپردن آسان باشد، به خوبی ارتباط بین اطلاعات موجود در مورد توابع مثلثاتی از بخش مطالعه مثلث ها و تعریف آنها را نشان می دهد. با استفاده از دایره واحد این می تواند به بخشی مستقل از درس تبدیل شود، زیرا به طور کامل پوشش می دهد این موضوع، با نظرات مهم در دوره امتیازدهی تکمیل شد.

برای نشان دادن واضح ارتباط تعاریف مختلفاز توابع مثلثاتی، جلوه های انیمیشن استفاده می شود. برجسته کردن متن به صورت رنگی، ساختارهای قابل فهم واضح، تکمیل نظرات به تسلط سریع، یادآوری مطالب و دستیابی سریعتر به اهداف درس کمک می کند. ارتباط بین تعاریف توابع مثلثاتی با استفاده از جلوه های انیمیشن و برجسته سازی رنگ به وضوح نشان داده می شود که به درک و به خاطر سپردن مطالب کمک می کند. این راهنما با هدف بهبود اثربخشی آموزش است.

درس با معرفی موضوع شروع می شود. سپس تعاریف سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه یادآوری می شود. تعریف برجسته شده در کادر یادآوری می کند که سینوس و کسینوس به عنوان نسبت ساق به هیپوتنوز تشکیل می شوند، مماس و کتانژانت از نسبت پاها تشکیل می شوند. همچنین مطالبی که اخیراً مطالعه شده است به دانش آموزان یادآوری می شود که هنگام در نظر گرفتن یک نقطه متعلق به دایره واحد، آبسیسا نقطه کسینوس و مختصات سینوس عدد مربوط به این نقطه است. ارتباط این مفاهیم با استفاده از ساخت و ساز نشان داده شده است. یک دایره واحد روی صفحه نمایش داده می شود، طوری قرار می گیرد که مرکز آن با مبدا منطبق باشد. یک پرتو از مبدأ مختصات ساخته می شود و با نیم محور مثبت آبسیسا زاویه α ایجاد می کند. این پرتو دایره واحد را در نقطه O قطع می کند. عمودها از نقطه به سمت ابسیسا و محور y فرود می آیند و نشان می دهند که مختصات این نقطه کسینوس و سینوس زاویه α را تعیین می کند. لازم به ذکر است که طول قوس AO از نقطه تلاقی دایره واحد با جهت مثبت محور آبسیسا تا نقطه O همان قسمتی از کل قوس است که زاویه α از 360 درجه است. این به شما امکان می دهد نسبت α/360=t/2π را ایجاد کنید، که در همان جا نمایش داده می شود و برای به خاطر سپردن با رنگ قرمز برجسته می شود. مقدار t=πα/180° از این نسبت به دست می آید. با در نظر گرفتن این موضوع، رابطه بین تعاریف سینوس و کسینوس sinα°= sint= sinπα/180، cosα°=cost=cosπα/180 مشخص می شود. به عنوان مثال، پیدا کردن sin60 درجه داده شده است. با جایگزینی درجه اندازه گیری زاویه به فرمول، sin π 60°/180° را بدست می آوریم. با کاهش 60 کسر، sin π/3 را بدست می آوریم که برابر با √3/2 است. توجه داشته باشید که اگر 60 درجه اندازه گیری درجه یک زاویه باشد، π/3 را اندازه گیری رادیانی زاویه می نامند. دو رکورد ممکن از نسبت درجه اندازه گیری زاویه به رادیان وجود دارد: 60°=π/3 و 60°=π/3 راد.

مفهوم زاویه یک درجه به عنوان یک زاویه مرکزی بر اساس کمانی که طول آن 1/360 نشان دهنده بخشی از محیط است تعریف می شود. تعریف زیر مفهوم زاویه یک رادیان را نشان می دهد - یک زاویه مرکزی بر اساس کمانی به طول یک یا برابر با شعاع یک دایره. تعاریف به عنوان مهم علامت گذاری شده و برای به خاطر سپردن برجسته می شوند.

برای تبدیل یک درجه یک زاویه به رادیان و بالعکس، از فرمول α ° \u003d pa / 180 راد استفاده می شود. این فرمول در یک قاب روی صفحه برجسته شده است. از این فرمول نتیجه می شود که 1°=π/180 راد. در این حالت، یک رادیان مربوط به زاویه 180°/π≈57.3 درجه است. خاطرنشان می شود که هنگام یافتن مقادیر توابع مثلثاتی متغیر مستقل t، می توان آن را هم یک آرگومان عددی و هم یک آرگومان زاویه ای در نظر گرفت.

در ادامه، نمونه هایی از استفاده از دانش به دست آمده در مسیر حل مسائل ریاضی نشان داده شده است. در مثال 1، لازم است مقادیر را از درجه به رادیان 135 درجه و 905 درجه تبدیل کنید. در سمت راست صفحه، فرمولی وجود دارد که رابطه بین درجه و رادیان را نشان می دهد. پس از جایگزینی مقدار در فرمول، (π/180) 135 را دریافت می کنیم. پس از کاهش 45 این کسر، مقدار 135°=3π/4 را بدست می آوریم. برای تبدیل زاویه 905 درجه به رادیان از همین فرمول استفاده می شود. پس از جایگزینی مقدار در آن، معلوم می شود (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 راد.

در مثال دوم، مسئله معکوس حل شده است - اندازه گیری درجه زاویه بیان شده در رادیان π/12، -21π/20، 2.4π پیدا شده است. در سمت راست صفحه، فرمول مورد مطالعه برای رابطه بین درجه و اندازه گیری رادیان زاویه 1 راد \u003d 180 درجه / π یادآوری می شود. هر مثال با جایگزین کردن اندازه گیری رادیان در فرمول حل می شود. با جایگزینی π/12، (180°/π)·(π/12)=15° دریافت می کنیم. به طور مشابه، مقادیر زوایای باقیمانده -21π/20=-189 درجه و 2.4π=432 درجه یافت می شود.

درس تصویری "توابع مثلثاتی استدلال زاویه ای" برای افزایش اثربخشی یادگیری در درس ریاضیات سنتی توصیه می شود. این مطالب به ارائه تجسم یادگیری در طول آموزش از راه دور در این موضوع کمک می کند. توضیح دقیق و قابل فهم موضوع، حل مسائل مربوط به آن می تواند به دانش آموز کمک کند تا به تنهایی بر مطالب تسلط یابد.

تفسیر متن:

"توابع مثلثاتی آرگومان زاویه ای".

ما قبلاً از هندسه می دانیم که سینوس (کسینوس) زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق به هیپوتنوز و مماس (کتانژانت) نسبت پاها است. و در جبر ابسیسا یک نقطه روی دایره واحد را کسینوس و مختص این نقطه را سینوس می نامیم. ما مطمئن خواهیم شد که همه اینها ارتباط نزدیکی با هم دارند.

بیایید یک زاویه با اندازه درجه α° (درجه آلفا) قرار دهیم، همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است: راس زاویه با مرکز دایره واحد (با مبدأ سیستم مختصات) و یک طرف زاویه با پرتو مثبت محور x سازگار است. ضلع دوم زاویه دایره را در نقطه O قطع می کند. مختص نقطه O سینوس زاویه آلفا و آبسیسا این نقطه کسینوس آلفا است.

توجه داشته باشید که قوس AO همان قسمتی از طول دایره واحد است که زاویه آلفا از زاویه سیصد و شصت درجه است. اجازه دهید طول قوس AO را از طریق t(te) نشان دهیم، سپس نسبت = را ایجاد می کنیم

(آلفا به تراست های شصت به صورت te به دو پی اطلاق می شود).

بنابراین، برای پیدا کردن سینوس یا کسینوس زاویه آلفا درجه، می توانید از فرمول استفاده کنید:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (سینوس درجه آلفا برابر با سینوس te و برابر با سینوس پی آلفا خصوصی تا صد و هشتاد است)

cosα° \u003d هزینه \u003d cos (کسینوس درجه آلفا برابر کسینوس te و برابر است با کسینوس پی آلفا خصوصی تا صد و هشتاد).

به عنوان مثال، sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (سینوس شصت درجه برابر با سینوس پی در سه است، طبق جدول مقادیر پایه سینوس ها برابر با ریشه است. از سه در دو).

اعتقاد بر این است که 60 درجه یک اندازه گیری درجه یک زاویه است و (pi در سه) اندازه گیری رادیانی همان زاویه است، یعنی 60 درجه = خوشحالم(شصت درجه برابر است با پی ضربدر سه رادیان). برای اختصار، ما با نمادگذاری موافقت کردیم خوشحالمحذف کنید، یعنی نماد زیر مجاز است: 60 درجه = (نمایش اختصارات رادیان اندازه = راد.)

زاویه یک درجه یک زاویه مرکزی است که توسط قوسی که (یک سیصد و شصت) قسمت از قوس است حمایت می شود. زاویه یک رادیان، زاویه مرکزی است که بر روی کمانی به طول یک قرار دارد، یعنی روی کمانی که طول آن برابر با شعاع یک دایره است (زوایای مرکزی یک دایره را برای نشان دادن یک زاویه در پی در نظر می گیریم. رادیان روی دایره).

بیایید فرمول مهم برای تبدیل یک درجه به رادیان را به خاطر بسپاریم:

α° = خوشحالم. (آلفا برابر است با پی آلفا تقسیم بر صد و هشتاد رادیان) به ویژه 1 درجه = خوشحالم(یک درجه برابر است با پی تقسیم بر صد و هشتاد رادیان).

از اینجا می توان دریافت که یک رادیان برابر است با نسبت صد و هشتاد درجه به پی و تقریباً برابر با پنجاه و هفت نقطه سه دهم درجه است: 1 خوشحالم= ≈ 57.3 درجه.

از موارد فوق: وقتی در مورد هر تابع مثلثاتی صحبت می کنیم، به عنوان مثال، در مورد تابع s \u003d sint (es برابر با sinus te است)، متغیر مستقل t (te) را می توان هم یک آرگومان عددی و هم یک آرگومان زاویه ای در نظر گرفت.

نمونه هایی را در نظر بگیرید.

مثال 1. از درجه به رادیان تبدیل کنید: الف) 135 درجه. ب) 905 درجه.

راه حل. بیایید از فرمول تبدیل درجه به رادیان استفاده کنیم:

الف) 135 درجه = 1 درجه ∙ 135 = خوشحالم ∙ 135 = خوشحالم

(صد و سی و پنج درجه برابر است با پی ضربدر صد و هشتاد رادیان ضربدر صد و سی و پنج و بعد از کاهش سه پی ضربدر چهار رادیان است)

ب) به همین ترتیب با استفاده از فرمول تبدیل اندازه گیری درجه به رادیان به دست می آوریم

905 درجه = خوشحالم ∙ 905 = خوشحالم

(نهصد و پنج درجه برابر است با صد و هشتاد و یک پی سی و شش رادیان).

مثال 2. بیان بر حسب درجه: الف) ; ب) -؛ ج) 2.4π

(پی ضربدر دوازده؛ منهای بیست و یک پی ضربدر بیست؛ دو نقطه چهار دهم پی).

راه حل. الف) بر حسب درجه پی در دوازده بیان کنید، از فرمول برای تبدیل اندازه گیری رادیان زاویه به اندازه درجه در 1 استفاده کنید. خوشحالم=، دریافت می کنیم

خوشحالم = 1 خوشحالم∙ = ∙ = 15 درجه

به طور مشابه b) - = 1 خوشحالم∙ (-) \u003d ∙ (-) \u003d - 189 درجه (منهای بیست و یک پی در بیست برابر منهای یکصد و هشتاد و نه درجه)

ج) 2.4π = 1 خوشحالم∙ 2.4π = ∙ 2.4π = 432 درجه (دو نقطه چهار پی برابر با چهارصد و سی و دو درجه است).