Näited on pöördfunktsioonid, nende omadused ja graafikud. Pöördfunktsiooni mõiste. Näide: ruut- ja juurfunktsioonid

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

teadmisi edasi ehitada uus teema vastavalt programmi materjalile;
uurida funktsiooni inverteeritavuse omadust ja õpetada leidma antud funktsiooniga pöördfunktsiooni;

Arendamine:

arendada enesekontrollioskusi, ainekõnet;
valdama pöördfunktsiooni mõistet ja õppima pöördfunktsiooni leidmise meetodeid;

Hariduslik: kujundada suhtluspädevust.

Varustus: arvuti, projektor, ekraan, SMART Board interaktiivne tahvel, jaotusmaterjal ( iseseisev töö) rühmatöö jaoks.

Tundide ajal.

1. Organisatsioonimoment.

Sihtmärk – õpilaste ettevalmistamine tööks klassiruumis:

Puudumise määratlus,

Õpilaste suhtumine töösse, tähelepanu organiseerimine;

Sõnum tunni teema ja eesmärgi kohta.

2. Õpilaste algteadmiste uuendamine. esiküsitlus.

Sihtmärk - tuvastada uuritud teoreetilise materjali õigsust ja teadlikkust, käsitletava materjali kordamist.<Приложение 1 >

Õpilastele edasi interaktiivne tahvel kuvatakse funktsiooni graafik. Õpetaja sõnastab ülesande - vaadelda funktsiooni graafikut ja loetleda funktsiooni uuritud omadused. Õpilased loetlevad funktsiooni omadused vastavalt uurimiskavandile. Funktsiooni graafikust paremal olev õpetaja kirjutab interaktiivsele tahvlile markeriga üles nimetatud omadused.

Funktsiooni omadused:

Õppetöö lõpus teatab õpetaja, et tänases tunnis tutvutakse veel ühe funktsiooni omadusega - pöörduvusega. Uue materjali sisukaks õppimiseks kutsub õpetaja lapsi tutvuma peamiste küsimustega, millele õpilased peavad tunni lõpus vastama. Küsimused kirjutatakse tavalisele tahvlile ja igal õpilasel on jaotusmaterjal (jagatakse enne tundi)

Mis on pöörduv funktsioon?
Kas iga funktsioon on pööratav?
Mis on antud pöördfunktsioon?
Kuidas on seotud funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste hulk ning selle pöördfunktsioon?
Kui funktsioon on antud analüütiliselt, kuidas defineerida pöördfunktsioon valemiga?
Kui funktsioon on antud graafiliselt, kuidas joonistada selle pöördfunktsioon?

3. Uue materjali selgitus.

Sihtmärk - kujundada teadmisi uuel teemal vastavalt programmi materjalile; uurida funktsiooni inverteeritavuse omadust ja õpetada leidma antud funktsiooniga pöördfunktsiooni; teemat arendada.

Õpetaja viib läbi materjali esitluse vastavalt lõigu materjalile. Interaktiivsel tahvlil võrdleb õpetaja kahe funktsiooni graafikuid, mille definitsioonipiirkonnad ja väärtushulgad on samad, kuid üks funktsioonidest on monotoonne ja teine mitte, tuues sellega õpilased ümberpööratava funktsiooni mõiste alla. .

Seejärel sõnastab õpetaja inverteeritava funktsiooni definitsiooni ja tõestab interaktiivsel tahvlil monotoonse funktsiooni graafiku abil pöördfunktsiooni teoreemi.

Definitsioon 1: kutsutakse välja funktsioon y=f(x), x X pööratav, kui see võtab mõne selle väärtustest ainult komplekti X ühes punktis.

Teoreem: Kui funktsioon y=f(x) on hulgal X monotoonne, siis on see inverteeritav.

Tõestus:

Laske funktsioonil y=f(x) võrra suureneb X lase sel minna x 1 ≠ x 2- komplekti kaks punkti X.
Kindluse mõttes las x 1< x 2.
Millest siis x 1< x 2 järgib seda f(x 1) < f(x 2).
Seega vastavad argumendi erinevad väärtused funktsiooni erinevatele väärtustele, st. funktsioon on pöörduv.

(Teoreemi tõestamise käigus teeb õpetaja kõik vajalikud selgitused markeriga joonisele)

Enne pöördfunktsiooni definitsiooni sõnastamist palub õpetaja õpilastel kindlaks teha, milline pakutud funktsioonidest on pöörduv? Interaktiivne tahvel näitab funktsioonide graafikuid ja on kirjutatud mitu analüütiliselt määratletud funktsiooni:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Õpetaja tutvustab pöördfunktsiooni definitsiooni.

Definitsioon 2: Olgu pöördfunktsioon y=f(x) komplektis määratletud X Ja E(f)=Y. Sobitagem igaüks y alates Y siis ainus tähendus X, mille juures f(x)=y. Seejärel saame funktsiooni, mis on defineeritud Y, A X on funktsiooni vahemik

See funktsioon on tähistatud x=f -1 (y) ja seda nimetatakse funktsiooni pöördväärtuseks y=f(x).

Õpilasi kutsutakse üles tegema järeldusi määratlusvaldkonna ja pöördfunktsioonide väärtuste kogumi vahelise seose kohta.

Kaaluda küsimust, kuidas leida antud pöördfunktsiooni, kaasas õpetaja kaks õpilast. Päev varem said lapsed õpetajalt ülesande iseseisvalt analüüsida analüütilisi ja graafilisi meetodeid antud pöördfunktsiooni leidmiseks. Õpetaja tegutses õpilaste tunniks ettevalmistamisel konsultandina.

Sõnum esimeselt õpilaselt.

Märkus: funktsiooni monotoonsus on piisav pöördfunktsiooni olemasolu tingimus. Kuid see ei ole vajalik tingimus.

Õpilane tõi näiteid erinevatest olukordadest, mil funktsioon ei ole monotoonne, vaid pöörduv, kui funktsioon ei ole monotoonne ega pöörduv, kui see on monotoonne ja pöörduv.

Seejärel tutvustab õpilane õpilastele analüütiliselt antud pöördfunktsiooni leidmise meetodit.

Algoritmi leidmine

Veenduge, et funktsioon oleks monotoonne.
Väljendage x y-ga.
Nimeta muutujad ümber. X \u003d f -1 (y) asemel kirjutavad nad y \u003d f -1 (x)

Seejärel lahendab kaks näidet, et leida antud pöördfunktsiooni funktsioon.

Näide 1: Näidake, et funktsioonile y=5x-3 on pöördfunktsioon ja leidke selle analüütiline avaldis.

Lahendus. Lineaarfunktsioon y=5x-3 on defineeritud R-ga, suureneb R-ga ja selle vahemik on R. Seega on pöördfunktsioon R-il. Selle analüütilise avaldise leidmiseks lahendame võrrandi y=5x-3 x; saame See on soovitud pöördfunktsioon. Seda määratleb ja suurendab R.

Näide 2: Näidake, et funktsioonile y=x 2 , x≤0 on pöördfunktsioon ja leidke selle analüütiline avaldis.

Funktsioon on pidev, oma määratluspiirkonnas monotoonne, seega on see pööratav. Olles analüüsinud funktsiooni definitsioonivaldkondi ja väärtuste kogumit, tehakse vastav järeldus pöördfunktsiooni analüütilise avaldise kohta.

Teine õpilane teeb ettekande teemal graafiline kuidas leida pöördfunktsiooni. Oma selgitustöö käigus kasutab õpilane interaktiivse tahvli võimalusi.

Funktsiooni y=f -1 (x) graafiku saamiseks, mis on pöördvõrdeline funktsiooniga y=f(x), on vaja funktsiooni y=f(x) graafik sirgjoone suhtes sümmeetriliselt teisendada y=x.

Interaktiivsel tahvlil selgitamise ajal sooritatakse järgmine ülesanne:

Koostage funktsiooni graafik ja selle pöördfunktsiooni graafik samas koordinaatsüsteemis. Kirjutage üles pöördfunktsiooni analüütiline avaldis.

4. Uue materjali esmane fikseerimine.

Sihtmärk - tuvastada õpitava materjali mõistmise õigsus ja teadlikkus, tuvastada lüngad materjali esmases arusaamises, neid parandada.

Õpilased jagatakse paaridesse. Neile antakse lehed ülesannetega, milles nad töötavad paaris. Aeg töö tegemiseks on piiratud (5-7 minutit). Üks õpilaspaar töötab arvutis, projektor on selleks ajaks välja lülitatud ja ülejäänud lapsed ei näe, kuidas õpilased arvutiga töötavad.

Aja lõpus (eeldatakse, et enamus õpilastest tegi töö ära) näitab interaktiivne tahvel (projektor lülitub uuesti sisse) õpilaste tööd, kus testi käigus selgub, et ülesanne on täidetud aastal. paarid. Vajadusel viib õpetaja läbi korrigeerivat, selgitavat tööd.

Iseseisev töö paaristööna<2. lisa >

5. Tunni tulemus. Küsimuste kohta, mida enne loengut esitati. Tunni hinnete väljakuulutamine.

Kodutöö §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra ja analüüsi algus. 10. klass 2 osas haridusasutustele (profiilitasand) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova jt; toim. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Vastavad väljendid, mis muutuvad üksteiseks. Et mõista, mida see tähendab, tasub kaaluda konkreetne näide. Oletame, et meil on y = cos(x). Kui võtta argumendist koosinus, siis leiame y väärtuse. Ilmselgelt on selleks vaja x. Aga mis siis, kui mängijale esialgu antakse? Siin jõuabki asja tuumani. Probleemi lahendamiseks on vaja kasutada pöördfunktsiooni. Meie puhul on see arkosiin.

Pärast kõiki teisendusi saame: x = arccos(y).

See tähendab, et antud funktsiooniga pöördfunktsiooni leidmiseks piisab selle argumendi väljendamisest. Kuid see toimib ainult siis, kui tulemusel on üks väärtus (sellest lähemalt hiljem).

Üldiselt võib selle fakti kirjutada järgmiselt: f(x) = y, g(y) = x.

Definitsioon

Olgu f funktsioon, mille domeen on seatud X ja mille domeen on seatud Y. Kui siis on olemas g, mille domeenid täidavad vastandlikke ülesandeid, siis f on pöörduv.

Lisaks on antud juhul g ainulaadne, mis tähendab, et on täpselt üks funktsioon, mis seda omadust rahuldab (ei rohkem ega vähem). Siis nimetatakse seda pöördfunktsiooniks ja kirjalikult tähistatakse seda järgmiselt: g (x) \u003d f -1 (x).

Teisisõnu võib neid vaadelda binaarsete seostena. Pöörduvus toimub ainult siis, kui komplekti üks element vastab ühele teise väärtusele.

Alati ei ole pöördfunktsiooni. Selleks peab iga element y є Y vastama maksimaalselt ühele x є X. Siis nimetatakse f-i üks-ühele ehk süstimiseks. Kui f -1 kuulub Y-le, siis peab selle hulga iga element vastama mingile x ∈ X-le. Selle omadusega funktsioone nimetatakse sürjektideks. See kehtib definitsiooni järgi, kui Y on kujutis f, kuid see ei ole alati nii. Pöördvõrdeliseks muutmiseks peab funktsioon olema nii süstimine kui ka väljaütlemine. Selliseid väljendeid nimetatakse bijektideks.

Näide: ruut- ja juurfunktsioonid

Funktsioon on määratletud . Sel juhul selle tuletis

Matemaatika ja informaatika osakond Matemaatiline analüüs Haridus- ja metoodiline kompleks HPE üliõpilastele, kes õpivad kaugtehnoloogiate kasutamisega Moodul 4 Tuletise rakendused Koostanud: dotsent

Peatükk 1. Piirangud ja pidevus 1. Arvhulgad 1 0. Reaalarvud Koolimatemaatikast tead loomulikku N täisarvu Z ratsionaalsed Q ja reaalarvud Naturaal- ja täisarvud

19. loeng DERIVATIIV JA SELLE RAKENDUSED. TULETISE MÄÄRATLUS. Olgu meil mingi funktsioon y=f(x) defineeritud mingil intervallil. Selle intervalli argumendi x iga väärtuse jaoks on funktsioon y=f(x)

Diferentsiaalarvutus Põhimõisted ja valemid Definitsioon 1 Funktsiooni tuletist punktis nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks eeldusel, et argumendi juurdekasv

Teema 8. Eksponent- ja logaritmfunktsioonid. 1. Eksponentfunktsioon, selle graafik ja omadused kujul y=a x,

44 Näide Leia kompleksfunktsiooni = sin v cos w summaarne tuletis kus v = ln + 1 w= 1 Vastavalt valemile (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Nüüd leiame summaarse diferentsiaali kompleksfunktsioonist f

Ülesanded jaoks sõltumatu otsus. Leidke funktsiooni 6x domeen. Leidke funktsioonigraafiku punkti M (;) läbiva puutuja x-telje kaldenurga puutuja. Leia nurga puutuja

Teema Arvfunktsioon, selle omadused ja graafik Arvfunktsiooni mõiste Funktsiooni definitsioonipiirkond ja väärtuste hulk Olgu antud arvuline hulk X reegel, mis sobitab iga arvu X kordumatuga

23. loeng TIDIPUNKTI FUNKTSIOONI GRAAFIK KOVEKS JA NÕGUS Funktsiooni y \u003d f (x) graafikut nimetatakse kumeraks intervallil (a; b), kui see asub sellel intervalli mis tahes puutujast allpool Graafik

Teema Piiride teooria Praktiline ülesanne Arvjadad Arvjada definitsioon Piiratud ja piiramata jadad Monotoonsed jadad Lõpmatult väikesed

Arvfunktsioonid ja arvjadad DV Lytkina TEJ, I semester DV Lytkina (SibSUTI) TEJ matemaatiline analüüs, I semester 1 / 35 Sisukord 1 Numbrifunktsioon Funktsiooni mõiste Arvfunktsioonid.

Ülesannete pank teemal "DEERIVATIIV" MATEMAATIKA tund (profiil) Õpilased peaksid teadma/mõistma: Tuletise mõistet. Tuletise definitsioon. Teoreemid ja reeglid summa, vahe, korrutise tuletiste leidmiseks

Â. A. Dalingeri matemaatika: kolmnurga funktsioon PROBLEEMIDE REVISIOON ÕPETUSABI SPO-le - väljaanne, parandatud ja täiendatud Soovitab see osakond m keskmine professionaal

A.V. Zemljanko matemaatika. Algebra ja analüüsi algus Voronež SISUKORD TEEMA 1. FUNKTSIOONI PEAMISED OMADUSED... 6 1.1. Arvfunktsioon... 6 1.2. Funktsioonigraafik... 9 1.3. Funktsioonigraafikute teisendamine...

Teema. Funktsioon. Ülesande meetodid. Kaudne funktsioon. Pöördfunktsioon. Funktsioonide klassifikatsioon Hulgateooria elemendid. Põhimõisted Kaasaegse matemaatika üks põhimõisteid on hulga mõiste.

Olgu antud arvuline hulk D R. Kui igale arvule x D on omistatud üks arv y, siis ütleme, et hulgal D on antud arvfunktsioon: y = f (x), x D. Hulk D nimetatakse

Mitme muutuja funktsioonid 11. Mitme muutuja funktsiooni definitsioon. FNP piir ja pidevus 1. Mitme muutuja funktsiooni definitsioon DEFINITSIOON. Olgu X = ( 1 n i X i R ) U R. Funktsioon

MATEMAATIKA KÕIGILE Yu.L.Kalinovskiy Sisu 1 Funktsioonide graafikud. I osa.............................. 5 1.1 Sissejuhatus 5 1.1.1 Komplekti mõiste... ... ................................................ 5 1.1.

Praktiline töö 6 Teema: „Funktsioonide täielik uurimine. Graafikute koostamine ”Töö eesmärk: õppida uurima funktsioone, mille järgi üldine skeem ja koostada diagramme. Töö tulemusena peab õpilane:

8. peatükk Funktsioonid ja graafikud Muutujad ja nendevahelised sõltuvused. Kaks suurust ja neid nimetatakse otse võrdelisteks, kui nende suhe on konstantne, st kui =, kus on konstantne arv, mis ei muutu muutusega

LOENG 2. Tehted alamruumidega, aluste arv, aluste arv ja alamruumide arv dimensiooniga k. 2. loengu peamised tulemused. 1) U V, U + V, dim(u + V). 2) Tasapindade arvu F 4 2 loendamine.

Küsimus 5. Funktsioon, seadistusviisid. Näited elementaarfunktsioonidest ja nende graafikast. Olgu antud kaks suvalist hulka X ja Y. Funktsioon on reegel, mille järgi saab hulga X iga element leida

4. loeng REAALSE MUUTUJA ARVUFUNKTSIOONID Funktsiooni mõiste Funktsiooni defineerimise viisid Funktsioonide põhiomadused Kompleksfunktsioon 4 Pöördfunktsioon Funktsiooni mõiste Funktsiooni defineerimise viisid Olgu D

Loengud Peatükk Mitme muutuja funktsioonid Põhimõisted Mõned mitme muutuja funktsioonid on hästi teada Toome mõned näited Kolmnurga pindala arvutamiseks on teada Heroni valem S

Funktsioonide pidevus Funktsiooni pidevus punktis Ühepoolsed piirid Definitsioon Arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) vasakpoolseks piiriks, kuna x kaldub a-le, kui selline arv eksisteerib mis tahes arvu korral

Uurimistöö Matemaatika "Funktsiooni äärmuslike omaduste rakendamine võrrandite lahendamisel" Lõpetanud: Elena Gudkova, 11. klassi õpilane "G" MBOU keskkooli "Anninsky Lyceum" p.g.t. Anna pea:

Föderaalne Haridusagentuur ----- SANKTSEBURGI RIIGI POLÜTEHNILINE ÜLIKOOL AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATEMAATIKA Algfunktsioonid ja nende graafikud Haridus

MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID Ühe sõltumatu muutuja funktsioonid ei kata kõiki looduses esinevaid sõltuvusi. Seetõttu on loomulik laiendada tuntud funktsionaalse sõltuvuse mõistet ja tutvustada

Funktsioon Funktsiooni definitsioon Funktsiooni defineerimise viisid Funktsiooni omadused Pöördfunktsioon Funktsiooni piirmäär Funktsiooni piirväärtus punktis Ühepoolsed piirid Funktsiooni piirväärtus punktis x Lõpmatu suurepärane funktsioon 4 Loeng

Sektsioon Ühe ja mitme funktsiooni arvutus muutujad Funktsioon tegelik argument Reaalarvud Positiivseid täisarve nimetatakse naturaalarvudeks Naturaalarvudele liitmine

Sergei A Beljajev lk 1 Matemaatiline miinimum 1. osa Teoreetiline 1 Kas definitsioon on õige Kahe täisarvu vähim ühiskordne on väikseim arv, mis jagub iga antud arvuga

2. jagu Piiride teooria Teema Numbrilised jadad Numbrilise jada definitsioon 2 Piiratud ja piiramatud jadad 3 Monotoonsed jadad 4 Lõpmatult väikesed ja

Kaudse funktsiooni diferentseerimine Vaatleme funktsiooni (,) = C (C = const) See võrrand defineerib kaudse funktsiooni () Oletame, et oleme selle võrrandi lahendanud ja leidnud eksplitsiitse avaldise = () Nüüd saame

Testiülesanded eksamiks valmistumisel erialal "Matemaatika" korrespondentosakonna üliõpilastele Funktsiooni y \u003d f () tuletist nimetatakse: f A) B) f C) f f Kui punkti mõnes naabruses funktsiooni

MUUTUJAD JA KONSTAndid Mõõtmise tulemusena füüsikalised kogused(aeg, pindala, maht, mass, kiirus jne) määratakse nende arvväärtused. Matemaatika tegeleb suurustega, hajameelne

Matemaatiline analüüs Sektsioon: Sissejuhatus analüüsi Teema: Funktsiooni mõiste (põhidefinitsioonid, klassifikatsioon, käitumise põhiomadused) Lektor Rožkova S.V. 2012 Kirjandus Piskunov N.S. diferentsiaal

7. tund Keskmiste väärtuste teoreemid. L'Hôpitali reegel 7. Keskmise väärtuse teoreemid Keskmise väärtuse teoreemid on kolm teoreemi: Rolle, Lagrange ja Cauchy, millest igaüks üldistab eelmist. Neid teoreeme nimetatakse ka

Loengu koostas Dot.

ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOONIDE DIFERENTSUMINE Tuletise mõiste, selle geomeetriline ja füüsikaline tähendus Tuletise mõisteni viivad ülesanded Puutuja S definitsioon sirgele y f (x) punktis A x ; f(

13. Kõrgema järgu osatuletised Olgu = omavad ja defineeritud D O-ga. Funktsioone ja nimetatakse ka funktsiooni esimest järku osatuletisteks või funktsiooni esimesteks osatuletisteks. ja üldiselt

Valgevene Vabariigi Haridusministeerium HARIDUSASUTUS "GRODNO RIIKÜLIKOOLI NIME JANKA KUPALA JÄRGI" Yu.Yu. Gnezdovski, V.N. Gorbuzov, P.F. Pronevich EKSPONENTSIALNE JA LOGARITMILINE

Loeng Peatükk Hulgad ja tehted nendega Hulga mõiste Hulga mõiste viitab matemaatika kõige primaarsematele mõistetele, mida ei defineerita lihtsamate kaudu.

8. loeng Kompleksfunktsiooni eristamine Vaatleme kompleksfunktsiooni t t t f kus ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t

3. loeng Mitme muutuja funktsiooni ekstreemum Olgu domeenis D defineeritud mitme muutuja funktsioon u = f (x, x) ja punkt x (x, x) = kuulub sellesse piirkonda Funktsioon u = f ( x, x) on

küsimus. Võrratused, lineaarsete võrratuste süsteem Vaatleme avaldisi, mis sisaldavad ebavõrdsusmärki ja muutujat:. >, - + x on lineaarsed võrratused ühe muutujaga x.. 0 - ruutvõrratus.

PARAMEETRITEGA ÜLESANDE OSA Kommentaar Parameetritega ülesanded on USE struktuuris traditsiooniliselt keerulised ülesanded, mis nõuavad taotlejalt mitte ainult kõigi erinevate meetodite ja tehnikate valdamist.

2.2.7. Diferentsiaali rakendamine ligikaudsete arvutuste tegemiseks. Funktsiooni y = diferentsiaal sõltub x-ist ja on põhiosa x sammuga. Võite kasutada ka valemit: dy d Siis absoluutne viga:

6. peatükk Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus Tuletise mõisteni viivad ülesanded Ebaühtlase sirgjoonelise liikumise kiiruse probleem

Sirge tasapinnal Sirge üldvõrrand. Enne tasapinna sirgjoone üldvõrrandi tutvustamist tutvustame üldine määratlus read. Definitsioon. Võrrandit kujul F(x,y)=0 (1) nimetatakse sirge L võrrandiks

LENINGRADI PIIRKONNA ÜLD- JA KUTSEHARIDUSE KOMITEE

Tuletise ja diferentseerimise reeglid Olgu funktsiooni y = f suurendamine y f 0 f 0, mis vastab argumendi 0 juurdekasvule Definitsioon Kui funktsiooni y ja kutsuja juurdekasvu suhtel on piirang

Moskva Riiklik Tehnikaülikool sai nime N.E. Bauman Fundamentaalteaduste teaduskond Matemaatilise modelleerimise osakond А.Н. Kanatnikov, A.P. Krõšenko

PÖÖRDFUNKTSIOONID Pöördfunktsioonidega seotud probleeme esineb matemaatika erinevates harudes ja selle rakendustes. oluline valdkond matemaatikud koostavad integraaliteoorias pöördülesandeid

Ülesannete süsteem teemal “Tangentsiaalvõrrand” Määrake funktsiooni y f () graafikule tõmmatud puutuja kalde märk punktides abstsissidega a, b, c a) b) Märkige punktid, kus tuletis

Olgu hulgad $X$ ja $Y$ kaasatud reaalarvude hulka. Tutvustame inverteeritava funktsiooni mõistet.

Definitsioon 1

Funktsiooni $f:X\ne x_2$, mis seostab hulga $X$ hulka $Y$, nimetatakse inverteeritavaks, kui mis tahes elemendi $x_1,x_2\X$ puhul tuleneb asjaolust, et $x_1\ne x_2$ $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

Nüüd saame kasutusele võtta pöördfunktsiooni mõiste.

2. definitsioon

Olgu funktsioon $f:X\to Y$, mis vastendab hulga $X$ hulka $Y$, on pööratav. Seejärel funktsioon $f^(-1):Y\to X$, mis vastendab hulga $Y$ hulgaga $X$ ja defineeritakse tingimusega $f^(-1)\left(y\right)=x$ nimetatakse pöördväärtuseks $f( x)$ jaoks.

Sõnastame teoreemi:

1. teoreem

Olgu funktsioon $y=f(x)$ defineeritud, monotoonselt kasvav (kahanev) ja pidev mingis intervallis $X$. Seejärel on selle funktsiooni väärtuste vastavas intervallis $Y$ pöördfunktsioon, mis on samuti monotoonselt kasvav (kahanev) ja pidev intervallil $Y$.

Tutvustame nüüd vahetult vastastikku pöördfunktsioonide mõistet.

3. definitsioon

Definitsiooni 2 raames nimetatakse funktsioone $f(x)$ ja $f^(-1)\left(y\right)$ vastastikku pöördfunktsioonideks.

Vastastikku pöördfunktsioonide omadused

Olgu funktsioonid $y=f(x)$ ja $x=g(y)$ vastastikku pöördvõrdelised, siis

$y=f(g\left(y\right))$ ja $x=g(f(x))$

Funktsiooni $y=f(x)$ domeen on võrdne funktsiooni $\ x=g(y)$ väärtuse domeeniga. Ja funktsiooni $x=g(y)$ domeen on võrdne funktsiooni $\ y=f(x)$ väärtuse domeeniga.

Funktsioonide $y=f(x)$ ja $x=g(y)$ graafikud on sirge $y=x$ suhtes sümmeetrilised.

Kui üks funktsioonidest suureneb (väheneb), siis teine funktsioon samuti suureneb (väheneb).

Pöördfunktsiooni leidmine

Lahendatud on võrrand $y=f(x)$ muutuja $x$ suhtes.

Saadud juurtest leitakse need, mis kuuluvad intervalli $X$.

Leitud $x$ on määratud numbrile $y$.

Näide 1

Leidke pöördfunktsioon funktsiooni $y=x^2$ jaoks vahemikus $X=[-1,0]$

Kuna see funktsioon on kahanev ja pidev intervallil $X$, siis intervallil $Y=$, mis on ka sellel intervallil kahanev ja pidev (teoreem 1).

Arvutage $x$:

\ \

Valige sobiv $x$:

Vastus: pöördfunktsioon $y=-\sqrt(x)$.

Probleemid pöördfunktsioonide leidmisel

Selles osas käsitleme mõnede elementaarfunktsioonide pöördfunktsioone. Ülesanded lahendatakse vastavalt ülaltoodud skeemile.

Näide 2

Leia pöördfunktsioon funktsioonile $y=x+4$

Leia $x$ võrrandist $y=x+4$:

Näide 3

Leia pöördfunktsioon funktsioonile $y=x^3$

Lahendus.

Kuna funktsioon on kasvav ja pidev kogu definitsioonipiirkonnas, siis on teoreemi 1 kohaselt sellel pöördpidev ja kasvav funktsioon.

Leia $x$ võrrandist $y=x^3$:

$x$ sobivate väärtuste leidmine

Meie puhul on väärtus sobiv (kuna ulatus on kõik numbrid)

Muutujaid uuesti defineerides saame, et pöördfunktsioonil on vorm

Näide 4

Leidke intervallil $$ funktsiooni $y=cosx$ pöördfunktsioon

Lahendus.

Vaatleme funktsiooni $y=cosx$ hulgal $X=\left$. See on pidev ja kahanev hulgal $X$ ning vastendab hulga $X=\left$ hulgaga $Y=[-1,1]$, seega teoreemiga pöördpideva monotoonfunktsiooni olemasolu kohta, funktsioon $y=cosx$ komplektis $ Y$ on pöördfunktsioon, mis on samuti pidev ja suureneb hulgas $Y=[-1,1]$ ning kaardistab hulga $[-1,1]$ komplekti $\left$.

Leidke $x$ võrrandist $y=cosx$:

$x$ sobivate väärtuste leidmine

Muutujaid uuesti defineerides saame, et pöördfunktsioonil on vorm

Näide 5

Leidke funktsiooni $y=tgx$ pöördfunktsioon vahemikus $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.

Lahendus.

Vaatleme funktsiooni $y=tgx$ hulgal $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. See on pidev ja kasvav hulgal $X$ ning seostab hulga $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ hulgaga $Y =R$, seega on pideva pöördfunktsiooni monotoonfunktsiooni olemasolu teoreemi järgi funktsioonil $y=tgx$ hulgas $Y$ pöördfunktsioon, mis on samuti pidev ja suureneb hulgas $Y=R $ ja vastendab hulga $R$ hulgaga $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

Leidke $x$ võrrandist $y=tgx$:

$x$ sobivate väärtuste leidmine

Muutujaid uuesti defineerides saame, et pöördfunktsioonil on vorm

2. Pöördfunktsioonide teooria

Tagurpidi trigonomeetrilised funktsioonid

Pöördfunktsiooni definitsioon

Definitsioon. Kui funktsioon f(x) määrab üks-ühele vastavuse oma domeeni X ja domeeni Y vahel (teisisõnu, kui argumendi mis tahes erinevad väärtused vastavad funktsiooni erinevatele väärtustele), siis funktsioon f(x) on väidetavalt olemas pöördfunktsioon või mis funktsioonif(x) on pöörduv.

Definitsioon. Pöördfunktsioon on reegel, et iga arv juuresє Kell vastab numbrile Xє X ja y=f(x). Pöördmääratlusala

funktsioonil on komplekt Y, vahemik - X.

Juureteoreem. Las funktsioon f suureneb (või väheneb) intervallil I, arv a - mis tahes väärtus, mille f sellel intervallil võtab. Siis on võrrandil f(x)=a intervallis I kordumatu juur.

Tõestus. Vaatleme kasvavat funktsiooni f (kahaneva funktsiooni puhul on põhjendus sarnane). Eeldusel on intervallis I selline arv b, et f(b)=a. Näitame, et b on võrrandi f(x)=a ainus juur.

Oletame, et intervallil I on ka arv c≠ b, nii et f(c)=a. Siis või koos b. Kuid funktsioon f suureneb intervallil I, seega vastavalt kas f(c) f(b). See on vastuolus võrdsusega f(c)= f(b)=a. Seetõttu on tehtud eeldus vale ja intervallis I, välja arvatud arv b, võrrandi f(x)=a muid juuri ei ole.

Pöördfunktsiooni teoreem. Kui funktsioon f suureneb (või väheneb) intervallil I, siis on see inverteeritav. F-i vahemikus defineeritud funktsioon g pöördvõrdeline f-ga on samuti kasvav (vastavalt kahanev).

Tõestus. Kindluse huvides oletame, et funktsioon f on kasvav. Funktsiooni f pööratavus on juurteoreemi ilmne tagajärg. Seetõttu jääb üle tõestada, et funktsioon g, pöördvõrdeline f-ga, kasvab hulgal E(f).

Olgu x 1 ja x 2 suvalised väärtused E(f-st), nii et x 2 > x 1 ja olgu y 1 = g (x 1), y 2 = g ( x 2 ). Definitsiooni järgi pöördfunktsioon x 1 = f (y 1) ja x 2 = f (y 2).

Kasutades tingimust, et f on kasvav funktsioon, leiame, et eeldus y 1≥ y 2 viib järeldusele f (y 1) > f (y 2), st x 1 > x 2. See

on vastuolus eeldusega x 2 > x 1 Seetõttu y 1 > y 2, st tingimusest x 2 > x 1 järeldub, et g (x 2)> g (x 1). Q.E.D.

Algfunktsioon ja selle pöördfunktsioon on vastastikku tagurpidi.

Üksteise pöördfunktsioonide graafikud

Teoreem. Vastastikuselt pöördfunktsioonide graafikud on sümmeetrilised sirge y=x suhtes.

Tõestus. Pange tähele, et funktsiooni f graafikult võib leida suvalises punktis a funktsiooni g arvväärtuse f-ga pöördväärtusena. Selleks peate võtma punkti koordinaadiga mitte horisontaalteljel (nagu tavaliselt tehakse), vaid vertikaalteljel. Pöördfunktsiooni definitsioonist järeldub, et g(a) väärtus on võrdne b-ga.

Graafi g kujutamiseks tavalises koordinaatsüsteemis on vaja graafikut f kajastada sirge y \u003d x suhtes.

Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooni koostamise algoritm, x x.

1. Veenduge, et funktsioon y=f(x) on X-is inverteeritav.

2. Võrrandist y \u003d f (x) x väljendage y kaudu, võttes arvesse, et x є X .

Z. Saadud võrdsuses vahetage x ja y.

2.2 Pöördtrigonomeetria definitsioon, omadused ja graafikud

funktsioonid

Arcsine

Siinusfunktsioon suureneb intervalliga ja võtab kõik väärtused vahemikus -1 kuni 1. Seega, mis tahes arvu a juurteoreemi järgi, nii et
, on intervallis üks juur võrrandist sin x = a. Seda arvu nimetatakse arvu a arkosiiniks ja tähistatakse arcsin a.

Definitsioon. Arvu a arcsinus, kus , on selline arv lõigust, mille siinus on võrdne a-ga.

Omadused.

D(y) = [ -1;1 ]

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - paaritu funktsioon, graafik on punkti O (0; 0) suhtes sümmeetriline.

arcsin x = 0 at x = 0.

arcsin x > 0 at x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x suureneb mis tahes x є korral [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Kaarkoosinus

Koosinusfunktsioon lõigul väheneb ja omandab kõik väärtused vahemikus -1 kuni 1. Seetõttu on iga arvu a puhul, mille puhul |a|1, lõigu võrrandis cosx=a üks juur. Seda arvu in nimetatakse arvu a arkosiiniks ja tähistatakse arcos a.

Definitsioon . Arvu a kaarekoosinus, kus -1 a 1, on arv lõigust, mille koosinus on võrdne a-ga.

Omadused.

E(y) =
y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funktsioon pole paaris ega paaritu.
arccos x = 0 at x = 1
arccos x > 0 at x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x väheneb mis tahes x є korral [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - kahanev.

Arktangent

Tangensi funktsioon suureneb segmendil -
Seetõttu on juurteoreemi kohaselt võrrandil tgx \u003d a, kus a on mis tahes reaalarv, intervallil - kordumatu juur x. Seda juurt nimetatakse arvu a kaartangensiks ja seda tähistatakse tähisega arctga.

Definitsioon. Arvu kaare puutuja aR seda arvu nimetatakse x , mille puutuja on a.

Omadused.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - funktsioon on paaritu, graafik on sümmeetriline punkti O (0; 0) suhtes.

arctg x = 0, kui x = 0

Funktsioon suureneb mis tahes x є R korral

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Kaare puutuja

Intervalli (0;) kotangensfunktsioon väheneb ja võtab kõik väärtused R-st. Seetõttu on mis tahes arvu a korral vahemikus (0;) võrrandis ctg x \u003d a üks juur. Seda arvu a nimetatakse arvu a kaartangensiks ja seda tähistatakse arcctg a-ga.

Definitsioon. Arvu a kaartangens, kus a R, on selline arv vahemikust (0;) , mille kotangent on a.

Omadused.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funktsioon pole paaris ega paaritu.

arcctg x = 0- ei eksisteeri.

Funktsioon y = arcctg x väheneb mis tahes х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funktsioon on pidev mis tahes x є R korral.

2.3 Trigonomeetrilisi pöördfunktsioone sisaldavate avaldiste identiteedi teisendused

Näide 1. Lihtsusta väljendit:

A)
Kus

Lahendus. Paneme
. Siis
Ja
Leidma
, kasutame seost
Saame
Aga . Selles segmendis võtab koosinus ainult positiivseid väärtusi. Seega
, see on
Kus
.

Lahendus.

Lahendus. Paneme
. Siis
Ja
Esmalt leiame, mille jaoks kasutame valemit
, kus
Kuna koosinus võtab sellel intervallil ainult positiivseid väärtusi, siis
.