Nurgaargumendi õppetunni trigonomeetrilised funktsioonid. Mis on radiaan

Tund ja ettekanne teemal: "Nurgaargumendi trigonomeetriline funktsioon, nurga astmemõõt ja radiaanid"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid. Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ehitusülesanded
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks

Mida me uurime:
1. Meenutagem geomeetriat.
2. Nurgaargumendi definitsioon.
3. Nurga astmemõõt.
4. Nurga radiaanmõõt.
5. Mis on radiaan?
6. Näited ja ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

Geomeetria kordamine

Poisid, meie funktsioonides:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Muutuja t võib võtta mitte ainult arvväärtusi, see tähendab olla arvuline argument, vaid seda võib käsitleda ka nurga mõõduna - nurgaargumendina.

Vaatame geomeetriat!
Kuidas me seal defineerisime siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi?

Nurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe

Nurga koosinus - külgneva jala ja hüpotenuusi suhe

Nurga puutuja on vastasjala ja külgneva jala suhe.

Nurga kootangens on külgneva jala ja vastassuunalise jala suhe.

Nurgaargumendi trigonomeetrilise funktsiooni definitsioon

Määratleme trigonomeetrilised funktsioonid arvuringi nurgaargumendi funktsioonidena:
Arvringi ja koordinaatsüsteemi abil saame alati hõlpsasti leida nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi:

Asetame oma nurga α tipu ringi keskpunkti, s.o. koordinaattelje keskpunkti ja asetage üks külg nii, et see langeks kokku x-telje positiivse suunaga (OA)
Seejärel lõikub teine ​​külg arvuringiga punktis M.

Ordinaat punktid M: nurga α siinus
Abstsiss punktid M: nurga α koosinus

Pange tähele, et kaare AM pikkus on sama osa ringjoonest kui meie nurk α 360 kraadist: kus t on kaare AM pikkus.

Nurga kraadimõõt

1) Poisid, saime valemi nurga astme määramiseks läbi arvringi kaare pikkuse, vaatame seda lähemalt:

Seejärel kirjutame trigonomeetrilised funktsioonid kujul:

Näiteks:

Nurkade radiaanmõõt

Nurga kraadi või radiaani mõõtmisel pidage meeles! :
Näiteks:

Muideks! Nimetus rad. võid kukkuda!

Mis on radiaan?

Kallid sõbrad, oleme kokku puutunud uue kontseptsiooniga - Radiaan. Mis see siis on?

Olemas erinevaid meetmeid pikkus, aeg, kaal näiteks: meeter, kilomeeter, sekund, tund, gramm, kilogramm ja teised. Seega on radiaan üks nurga mõõtudest. Tasub arvestada kesknurkadega, see tähendab, et need asuvad arvringi keskel.
1-kraadine nurk on kesknurk, mis põhineb kaarel, mis on võrdne 1/360 ümbermõõdust.

Nurk 1 radiaan on kesknurk, mis põhineb kaarel, mis on võrdne 1-ga ühikulises ringis, ja suvalises ringis kaarel, mis on võrdne ringi raadiusega.

Näited:

Näited nurga kraadist radiaaniks teisendamisest ja vastupidi

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

1. Leidke nurkade radiaanmõõt:
a) 55° b) 450° c) 15° d) 302°

2. Leidke:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)

3. Leidke nurkade aste:

Ükskõik milline reaalarv t võetakse, saab sellele määrata üheselt defineeritud arvu sin t. Tõsi, kirjavahetuse reegel on üsna keeruline, nagu eespool nägime, koosneb see järgmisest.

Sin t väärtuse leidmiseks arvu t järgi on vaja:

1) asetage arvring koordinaattasandil nii, et ringi keskpunkt langeks kokku koordinaatide alguspunktiga ja ringi alguspunkt A tabaks punkti (1; 0);

2) leida ringilt punkt, mis vastab arvule t;

3) leidke selle punkti ordinaat.

See ordinaat on sin t.

Tegelikult räägime funktsioonist u = sin t, kus t on mis tahes reaalarv.

Kõiki neid funktsioone nimetatakse numbrilise argumendi t trigonomeetrilised funktsioonid.

Erinevate trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi ühendab mitmeid seoseid, mõned neist seostest oleme juba saanud:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Kahest viimasest valemist on lihtne saada seos, mis ühendab tg t ja ctg t:

Kõiki neid valemeid kasutatakse juhtudel, kui trigonomeetrilise funktsiooni väärtust teades on vaja arvutada ülejäänud trigonomeetriliste funktsioonide väärtused.

Mõisted "siinus", "koosinus", "puutuja" ja "kotangens" olid tegelikult tuttavad, kuid siiski kasutati neid veidi erinevas tõlgenduses: geomeetrias ja füüsikas käsitleti siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. g l a(kuid mitte

numbrid, nagu see oli eelmistes lõikudes).

Geomeetriast on teada, et teravnurga siinus (koosinus) on täisnurkse kolmnurga haru ja selle hüpotenuusi suhe ning nurga puutuja (kootangens) on täisnurkse kolmnurga jalgade suhe. Eelmistes lõikudes töötati välja teistsugune lähenemine mõistetele siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tegelikult on need lähenemisviisid omavahel seotud.

Võtame kraadimõõduga b o nurga ja paigutame selle mudelisse "arvuline ring ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis", nagu on näidatud joonisel fig. 14

nurgapealne keskosaga ühilduv

ringid (koordinaadisüsteemi alguspunktiga),

ja nurga üks külg on ühilduv

x-telje positiivne kiir. punkt

nurga teise külje ristumiskoht

ringi tähistatakse tähega M. Ordina-

Joonis 14 b o ja selle punkti abstsiss on nurga b o koosinus.

Nurga b o siinuse või koosinuse leidmiseks pole üldse vaja neid väga keerulisi konstruktsioone iga kord teha.

Piisab, kui märkida, et kaar AM on sama osa arvringi pikkusest kui nurk b o 360° nurga all. Kui kaare AM pikkust tähistatakse tähega t, siis saame:

Seega

Näiteks,

Arvatakse, et 30 ° on nurga kraad ja sama nurga radiaanmõõt: 30 ° = rad. Üleüldse:

Eelkõige on mul hea meel, kust me omakorda saame.

Mis on siis 1 radiaan? Segmendi pikkusi on erinevaid: sentimeetrid, meetrid, jardid jne. Nurkade suuruse näitamiseks on ka erinevaid meetmeid. Vaatleme ühikuringi kesknurki. Nurk 1° on kesknurk, mis põhineb kaarel, mis on ringi osa. 1 radiaani nurk on kesknurk, mis põhineb kaarel pikkusega 1, s.o. kaarel, mille pikkus võrdub ringi raadiusega. Valemist saame, et 1 rad \u003d 57,3 °.

Võttes arvesse funktsiooni u = sin t (või mõnda muud trigonomeetrilist funktsiooni), võime sõltumatut muutujat t pidada arvuliseks argumendiks, nagu eelmistes lõikudes, kuid võime seda muutujat käsitleda ka nurga mõõduna, st. nurgeline argument. Seetõttu on trigonomeetrilisest funktsioonist rääkides teatud mõttes ükskõikne pidada seda numbri- või nurkargumendi funktsiooniks.

Numbriargumendi trigonomeetrilised funktsioonid sõelusime. Võtsime ringile punkti A ja otsisime saadud nurgast β siinusi ja koosinusi.

Punkti tähistasime kui A, kuid algebras tähistatakse seda sageli t-ga ja kõik valemid/funktsioonid on antud sellega. Samuti ei kaldu me kaanonitest kõrvale. Need. t - see on teatud arv ja seetõttu numbriline funktsioon(nt sint)

On loogiline, et kuna meil on ring raadiusega üks, siis

Nurgaargumendi trigonomeetrilised funktsioonid sõelusime selle edukalt ka - vastavalt kaanonitele kirjutame selliste funktsioonide jaoks: sin α °, mis tähendab α ° järgi mis tahes nurka vajaliku kraadide arvuga.

Selle nurga kiir annab meile ringil teise punkti (OA - punkt A) ning numbrilise argumendi funktsiooni jaoks vastavad punktid C ja B, kui seda vajame: sin t = sin α°

Siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide read

Ärge kunagi unustage seda y-telg on siinusjoon, x-telg on koosinuste joon! Nendele telgedele on märgitud ringist saadud punktid.

A puutujate ja kotangentide sirged on nendega paralleelsed ja läbivad punkte (1; 0) ja (0; 1) vastavalt.

Videotund "Nurgaargumendi trigonomeetrilised funktsioonid" on visuaalne materjal matemaatikatunni läbiviimiseks vastaval teemal. Video on koostatud nii, et uuritav materjal esitatakse õpilastele võimalikult mugavalt arusaadavaks, on kergesti meeldejääv, näitab hästi seost kolmnurkade uurimise jaotisest trigonomeetriliste funktsioonide kohta saadaoleva teabe ja nende määratluse vahel. ühikuringi kasutades. Sellest võib saada õppetunni iseseisev osa, kuna see hõlmab täielikult see teema, mida täiendatakse punktiarvestuse käigus oluliste kommentaaridega.

Ühenduse selgeks näitamiseks erinevaid määratlusi kasutatakse trigonomeetrilisi funktsioone, animatsiooniefekte. Teksti värviline esiletõstmine, selged arusaadavad konstruktsioonid, kommentaaridega täiendamine aitab materjali kiiresti omandada, meelde jätta ja tunni eesmärke kiiremini saavutada. Seos trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonide vahel on selgelt näidatud animatsiooniefektide ja värvide esiletõstmise abil, mis aitab kaasa materjali mõistmisele ja meeldejätmisele. Juhend on suunatud koolituse tõhususe parandamisele.

Tund algab teema sissejuhatusega. Seejärel tuletatakse meelde täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid. Kastis esile tõstetud definitsioon tuletab meelde, et siinus ja koosinus moodustuvad jala ja hüpotenuusi suhtena, puutuja ja kotangens moodustavad jalgade suhte. Samuti tuletatakse õpilastele meelde hiljuti uuritud materjali, et ühikringkonda kuuluva punkti käsitlemisel on punkti abstsiss koosinus, ordinaat aga sellele punktile vastava arvu siinus. Nende mõistete seost demonstreeritakse konstruktsiooni abil. Ekraanil kuvatakse ühikring, mis asetatakse nii, et selle keskpunkt langeb kokku lähtepunktiga. Kiir konstrueeritakse koordinaatide alguspunktist, moodustades abstsissi positiivse poolteljega nurga α. See kiir lõikab ühikringi punktis O. Perpendikulaarid laskuvad punktist abstsissile ja y-teljele, näidates, et selle punkti koordinaadid määravad nurga α koosinuse ja siinuse. Märgitakse, et kaare AO pikkus ühikuringi lõikepunktist abstsisstelje positiivse suunaga punktini O on sama osa kogu kaarest kui nurk α alates 360°. See võimaldab teha proportsiooniks α/360=t/2π, mis kuvatakse sealsamas ja on meeldejätmiseks punasega esile tõstetud. Väärtus t=πα/180° tuletatakse sellest proportsioonist. Seda arvesse võttes määratakse siinuse ja koosinuse definitsioonide seos sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Näiteks on antud sin60 ° leidmine. Asendades valemis nurga astmemõõdu, saame sin π 60°/180°. Vähendades murdosa 60 võrra, saame sin π/3, mis võrdub √3/2. Tuleb märkida, et kui nurga mõõt on 60°, siis π/3 nimetatakse nurga radiaaniks. Nurga kraadimõõtmise ja radiaani suhte kohta on kaks võimalikku kirjet: 60°=π/3 ja 60°=π/3 rad.

Ühekraadise nurga mõistet määratletakse kui kesknurka, mis põhineb kaarel, mille pikkus 1/360 tähistab osa ümbermõõdust. Järgmine definitsioon paljastab ühe radiaani nurga mõiste - kesknurga, mis põhineb ühe pikkusega kaarel või võrdne ringi raadiusega. Määratlused on märgitud kui olulised ja meeldejätmiseks esile tõstetud.

Nurga ühe kraadi suuruse teisendamiseks radiaaniks ja vastupidi kasutatakse valemit α ° \u003d πα / 180 rad. See valem on ekraanil raamis esile tõstetud. Sellest valemist järeldub, et 1°=π/180 rad. Sel juhul vastab üks radiaan nurgale 180°/π≈57,3°. Märgitakse, et sõltumatu muutuja t trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmisel võib seda pidada nii arvuliseks kui ka nurgaargumendiks.

Edasi tuuakse näiteid omandatud teadmiste kasutamisest matemaatikaülesannete lahendamise käigus. Näites 1 on vaja väärtused kraadidest teisendada radiaanideks 135° ja 905°. Ekraani paremal küljel on valem, mis kuvab kraadi ja radiaani suhet. Pärast väärtuse asendamist valemiga saame (π/180) 135. Pärast selle murdosa vähendamist 45 võrra saame väärtuse 135°=3π/4. Nurga 905° teisendamiseks radiaanideks kasutatakse sama valemit. Pärast väärtuse sellesse asendamist selgub (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 rad.

Teises näites on lahendatud pöördülesanne - leitakse radiaanides väljendatud nurkade astemõõt π/12, -21π/20, 2,4π. Ekraani paremal küljel tuletatakse meelde uuritud valem nurga 1 rad \u003d 180 ° / π kraadi ja radiaani vahelise seose kohta. Iga näide lahendatakse radiaani mõõtme asendamisega valemis. Asendades π/12, saame (180°/π)·(π/12)=15°. Samamoodi leitakse ülejäänud nurkade väärtused -21π/20=-189° ja 2,4π=432°.

Videotundi "Nurgaargumendi trigonomeetrilised funktsioonid" on soovitatav kasutada traditsioonilistes matemaatikatundides, et tõsta õppimise efektiivsust. Materjal aitab visualiseerida õppimist antud teema kaugõppes. Teema üksikasjalik, arusaadav seletus, probleemide lahendamine sellel võib aidata õpilasel materjali iseseisvalt omandada.

TEKSTI TÕLGENDAMINE:

"Nurgaargumendi trigonomeetrilised funktsioonid".

Geomeetriast teame juba, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus (koosinus) on jala ja hüpotenuusi suhe ning puutuja (kotangens) on jalgade suhe. Ja algebras nimetame ühikringi punkti abstsissit koosinusteks ja selle punkti ordinaati siinusteks. Me hoolitseme selle eest, et see kõik oleks omavahel tihedalt seotud.

Asetame nurga kraadimõõduga α° (alfa kraadid), nagu on näidatud joonisel 1: nurga tipp ühildub ühikringi keskpunktiga (koordinaadisüsteemi alguspunktiga) ja nurga ühe küljega. nurk ühildub x-telje positiivse kiirega. Nurga teine ​​külg lõikab ringi punktis O. Punkti O ordinaat on nurga alfa siinus ja selle punkti abstsiss on nurga alfa koosinus.

Pange tähele, et kaar AO on sama osa ühikuringi pikkusest, kui nurk alfa on kolmesaja kuuekümne kraadise nurga all. Tähistame AO kaare pikkust läbi t(te), siis moodustame proportsiooni =

(alfa viitab kuuekümnelistele usaldusfondidele kui te kahele pi-le.) Siit leiame te: t = = (te võrdub pi alfa jagatud saja kaheksakümnega).

Seega võite nurga alfakraadide siinuse või koosinuse leidmiseks kasutada valemit:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (alfa kraadi siinus on võrdne te siinusega ja privaatse pi alfa siinusega sada kaheksakümmend),

cosα° \u003d maksumus \u003d cos (alfakraadide koosinus võrdub te koosinusega ja on võrdne privaatse pi alfa koosinusega saja kaheksakümneni).

Näiteks sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (kuuekümne kraadi siinus võrdub pi siinuse kolmega, siinuste põhiväärtuste tabeli järgi on see võrdne juurega kolm kahega).

Arvatakse, et 60 ° on nurga mõõt ja (pi kolmega) on sama nurga radiaanmõõt, st 60 ° = rõõmus(kuuskümmend kraadi võrdub pi korda kolm radiaani). Lühiduse huvides oleme kokku leppinud tähistuses rõõmus jätke välja, st lubatud on järgmine märge: 60°= (näita lühendeid radiaanimõõt = rad.)

Ühekraadine nurk on kesknurk, mida toetab kaar, mis on (üks kolmsada kuuekümnendik) kaare osa. Ühe radiaani nurk on kesknurk, mis toetub ühe pikkusega kaarele, st kaarele, mille pikkus on võrdne ringi raadiusega (ühikringi kesknurki loeme nurga pi-des radiaanid ringil).

Meenutagem olulist valemit kraadimõõtu radiaaniks teisendamiseks:

α° = rõõmus. (alfa võrdub pi alfa jagatud saja kaheksakümne radiaaniga) Eelkõige 1° = rõõmus(üks kraad võrdub pi jagatuna saja kaheksakümne radiaaniga).

Sellest saame leida, et üks radiaan on võrdne saja kaheksakümne kraadi ja pi suhtega ja on ligikaudu võrdne viiekümne seitsme punktiga kolm kümnendikku kraadi: 1 rõõmus= ≈ 57,3°.

Ülaltoodust: kui räägime mis tahes trigonomeetrilisest funktsioonist, näiteks funktsioonist s \u003d sint (es võrdub siinus te), võib sõltumatut muutujat t (te) pidada nii arvuliseks kui ka nurgaargumendiks.

Kaaluge näiteid.

NÄIDE 1. Teisenda kraadidest radiaanideks: a) 135°; b) 905°.

Lahendus. Kasutame kraadide radiaanideks teisendamiseks valemit:

a) 135° = 1° ∙ 135 = rõõmus ∙ 135 = rõõmus

(sada kolmkümmend viis kraadi võrdub pi korda sada kaheksakümmend radiaani korda sada kolmkümmend viis ja pärast redutseerimist on kolm pi korda neli radiaani)

b) Samamoodi saame kraadimõõtu radiaaniks teisendamise valemit kasutades

905° = rõõmus ∙ 905 = rõõmus.

(üheksasada viis kraadi võrdub sada kaheksakümmend üks pi korda kolmkümmend kuus radiaani).

NÄIDE 2. Väljendage kraadides: a) ; b) -; c) 2,4π

(pi korda kaksteist; miinus kakskümmend üks pi korda kakskümmend; kaks punkti neli kümnendikku pii-st).

Lahendus. a) Väljendage pi kraadides kaheteistkümnega, kasutage nurga radiaani mõõtme teisendamiseks kraadimõõtmiseks 1 valemit rõõmus=, saame

rõõmus = 1 rõõmus∙ = ∙ = 15°

Samamoodi b) - = 1 rõõmus∙ (-) = ∙ (-)= -189° (miinus kakskümmend üks pi korda kakskümmend võrdub miinus sada kaheksakümmend üheksa kraadi),

c) 2,4π = 1 rõõmus∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (pi kaks punkti neli võrdub neljasaja kolmekümne kahe kraadiga).