نطاق الوظائف في مهام الامتحان. حل مسائل نموذجية أوجد مجموعة قيم دالة 4 × 2

ذ = x 3

ص =| x|

ص =

ه ( ذ) = [- 1, 1]

ه ( ذ) = (– ∞, + ∞)

ه ( ذ) = (– ∞, + ∞)

ه ( ذ) = (– ∞, + ∞)

ه ( ذ) = (0, + ∞)

إدخال خوارزمية لحل مسائل إيجاد مجموعة قيم الدوال المثلثية.

دعونا نرى كيف يمكننا تطبيق خبرتنا على المهام المختلفة المدرجة في خيارات اختبار واحد.

1. إيجاد قيم الوظائف لقيمة معينة من الوسيطة.

مثال.أوجد قيمة الدالة y = 2 كوس(π / 2 + / 4 ) – 1, لو س = -π / 2.

حل.

= –
– 1.

2. إيجاد مدى الدوال المثلثية


حل.

1≤ الخطيئةX≤ 1

2 ≤ 2 الخطيئةX≤ 2

9 ≤ 11+2الخطيئةX≤ 13

3 ≤
+2∙ الخطيئةس ≤
، أي. ه (ص) =.

دعونا نكتب القيم الصحيحة للدالة في الفترة. هذا الرقم هو 3.

الجواب: 3.

• 
  أوجد مجموعة قيم الدالة في= الخطيئة 2 X+ 6 بوصة X + 10.

• 
  ابحث عن مجموعة قيم الوظيفة: في = الخطيئة 2 X - 6 الخطيئة x + 8 . (على المرء)

في= الخطيئة 2 X- 2 3 الخطيئةx + 3 2 - 3 2 + 8,

في= (الخطيئةX- 3) 2 -1.

ه ( الخطيئةX) = [-1;1];

ه ( الخطيئةX -3) = [-4;-2];

ه ( الخطيئةX -3) 2 = ;

ه ( في) = .

إجابة: .

• 
  أوجد أصغر قيمة للدالة في= cos 2 x+ 2sin x – 2.

هل يمكننا إيجاد مجموعة من القيم لهذه الدالة؟ (لا.)

ما الذي يجب إتمامه؟ (تم تقليله إلى وظيفة واحدة.)

كيف افعلها؟ (استخدم الصيغة cos 2 x= 1-خطيئة 2 x.)

لذا، في= 1-خطيئة 2 x+ 2sin x –2,

ذ= -sin 2 x+ 2sin x –1,

في= - (الخطيئة x –1) 2 .

حسنًا ، يمكننا الآن إيجاد مجموعة من القيم واختيار أصغرها.

1 ≤ الخطيئة x ≤ 1,

2 ≤ الخطيئة x – 1 ≤ 0,

0 ≤ (الخطيئة x – 1) 2 ≤ 4,

4 ≤ - (الخطيئة x -1) 2 ≤ 0.

إذن ، أصغر قيمة للدالة في يؤجر= -4. الجواب: -4.

• 
  أوجد حاصل ضرب أكبر وأصغر قيم للدالة

حل.

في= 1-cos 2 x+ كوس x + 1,5,

في= -cos 2 x+ 2 ∙ 0.5 cos x - 0,25 + 2,75,

في= - (كوس x- 0,5) 2 + 2,75.

E (كوس x) = [-1;1],

E (كوس x – 0,5) = [-1,5;0,5],

E (كوس x – 0,5) 2 = ,

ه (- (كوس x-0,5) 2) = [-2,25;0],

ه ( في) = .

أكبر قيمة للدالة في نيب= 2.75 ؛ أصغر قيمة في يؤجر= 0.5. لنجد حاصل ضرب أكبر وأصغر قيمة للدالة:

في نيب ∙في يؤجر = 0,5∙2,75 = 1,375.

الجواب: 1.375.

دعنا نعيد كتابة الدالة بالشكل في =,

في =
,

دعونا الآن نجد مجموعة قيم الدالة.

ه (الخطيئة x) = [-1, 1],

E (6 بوصة x) = [-6, 6],

E (6 بوصة x + 1) = [-5, 7],

E ((6 بوصة x + 1) 2) = ,

E (- (6 بوصة x + 1) 2) = [-49, 0],

E (- (6 بوصة x + 1) 2 + 64) = ,

ه ( ذ) = [
, 8].

لنجد مجموع قيم الأعداد الصحيحة للدالة: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30.

الجواب: 30.

1)
إنه Xينتمي إلى الربع الأول.

2)

لذلك ، 2 Xتنتمي إلى الربع الثاني.

3) في الربع الثاني ، تقل دالة الجيب وتستمر. إذن هذه الوظيفة
يأخذ كل القيم من
قبل

4) احسب هذه القيم:

إجابة :
.

1) بما أن الجيب يأخذ القيم من -1 إلى 1 ، فإن مجموعة قيم الاختلاف
. عندما تضرب في
هذا الجزء سوف يذهب إلى الجزء
.

2) القوسين هو وظيفة متناقصة ومستمرة بشكل رتيب. ومن ثم ، فإن مجموعة قيم التعبير عبارة عن قطعة
.

3) عند ضرب هذه القطعة في نحن نحصل
.

إجابة:
.

بما أن الظل القوس هو دالة متزايدة ، إذن
.

2) عند الزيادة Xمن
قبل الحجة 2 Xيزيد من
قبل . نظرًا لأن الجيب في مثل هذا الفاصل الزمني يزيد ، فإن الوظيفة
يأخذ القيم من
تصل إلى 1.

3) عند الزيادة من قبل
الحجة 2 Xيزيد من قبل
. بما أن الجيب ينخفض ​​في مثل هذا الفاصل ، فإن الوظيفة
يأخذ القيم من
تصل إلى 1.

4) باستخدام الصيغة التي تعبر عن الجيب بدلالة مماس نصف الزاوية ، نجد ذلك

.

ومن ثم ، فإن مجموعة القيم المطلوبة هي اتحاد القطع
و
، هذا هو الجزء
.

إجابة:
.
تستخدم هذه التقنية (مقدمة للزاوية المساعدة) للعثور على مجموعة قيم وظائف النموذج

في= a sin x + b cos xأو في= خطيئة (صx) + bcos (صخ).

• 
  أوجد مجموعة قيم الدالة

حل.

لنجد القيمة
=
= 25.

دعونا نحول التعبير

15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 (
) = 25 () =

25 خطيئة (2x + ) ، حيث cos = الخطيئة =.

مجموعة قيم الوظيفة y \ u003d sin (2x + ): -1 الخطيئة (2x + ) 1.

ثم مجموعة قيم الوظيفة الأصلية -25 25 خطيئة (2x + ) 25.

إجابة: [-25; 25].
3. مهام لإيجاد أكبر وأصغر قيم للدالة في الفترة الزمنية.

• 
  أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة في= ctg Xعلى المقطع [/ 4 ؛ π / 2].

وظيفة في= ctg Xيتناقص على المقطع [/ 4 ؛ π / 2] ، لذلك ستأخذ الدالة أصغر قيمة عند س =π / 2 أي في(π / 2) = сtg π / 2 = 0 ؛ وأكبر قيمة عند س =π / 4 أي في(π / 4) = сtg π / 4 = 1.

الجواب: 1 ، 0.

منفصلة في المساواة
الجزء الكامل: .

ويترتب على ذلك أن الرسم البياني للدالة f (x) هو إما قطع زائد (а ≠ 0) أو خط مستقيم بدون نقطة.

علاوة على ذلك ، إذا أ ؛ 2 أ) و (2 أ ؛
) وإذا كانت a> 0 ، تزداد بشكل رتيب على هذه الأشعة.

إذا كان a \ u003d 0 ، ثم f (x) \ u003d -2 على كامل مجال التعريف x ≠ 0. لذلك ، من الواضح أن القيم المرغوبة للمعلمة لا تساوي الصفر.

نظرًا لأننا مهتمون فقط بقيم الوظيفة في المقطع [-1 ؛ 1] ، ثم يتم تحديد تصنيف المواقف من خلال حقيقة أن الخط المقارب x = 2a من القطع الزائد (a ≠ 0) يقع بالنسبة إلى هذا المقطع.

الحالة 1. جميع نقاط الفاصل الزمني [-1 ؛ 1] على يمين الخط المقارب العمودي x = 2a ، أي عندما 2a

الحالة 2. يتقاطع الخط المقارب العمودي مع الفاصل الزمني [-1 ؛ 1] ، وتنخفض الوظيفة (كما في الحالة 1) ، أي متى

الحالة 3. يتقاطع الخط المقارب العمودي مع الفاصل الزمني [-1 ؛ 1] والدالة تتزايد ، أي -1

.

الحالة 4. جميع نقاط الفاصل الزمني [-1 ؛ 1] على يسار الخط المقارب العمودي ، أي 1 أ>. والثانية
الاستقبال 4 . التعبير عن x بدلالة y. (إيجاد مجال الدالة العكسية)

الاستقبال 5.تبسيط الصيغة تحديد دالة كسرية كسرية

الاستقبال 6.إيجاد مجموعة قيم الدوال التربيعية (بإيجاد رأس القطع المكافئ وتحديد طبيعة سلوك فروعها).

الاستقبال 7.إدخال زاوية مساعدة لإيجاد مجموعة قيم بعض الدوال المثلثية.

صفحة 1

في كثير من الأحيان ، في إطار حل المشكلات ، يتعين علينا البحث عن مجموعة من قيم دالة في مجال التعريف أو على مقطع. على سبيل المثال ، يجب أن يتم ذلك عند الحل أنواع مختلفةعدم المساواة ، تقييمات التعبير ، إلخ.

كجزء من هذه المادة ، سنخبرك ما هو نطاق الوظيفة ، ونقدم الطرق الرئيسية التي يمكن من خلالها حسابها ، ونحلل المشكلات بدرجات متفاوتة من التعقيد. من أجل الوضوح ، يتم توضيح المواقف الفردية من خلال الرسوم البيانية. بعد قراءة هذه المقالة ، سيكون لديك فهم شامل لنطاق الوظيفة.

لنبدأ بالتعريفات الأساسية.

التعريف 1

مجموعة قيم الدالة y = f (x) في بعض الفواصل الزمنية x هي مجموعة جميع القيم التي تأخذها هذه الوظيفة عند التكرار على جميع القيم x ∈ X.

التعريف 2

نطاق الدالة y = f (x) هو مجموعة كل قيمها التي يمكن أن تأخذها عند تكرار القيم x من النطاق x ∈ (f).

عادة ما يتم الإشارة إلى نطاق بعض الوظائف بواسطة E (f).

يرجى ملاحظة أن مفهوم مجموعة قيم الدالة لا يتطابق دائمًا مع منطقة قيمها. ستكون هذه المفاهيم مكافئة فقط إذا كان نطاق قيم x عند العثور على مجموعة القيم يتطابق مع مجال الوظيفة.

من المهم أيضًا التمييز بين نطاق ومدى المتغير x للتعبير الموجود على الجانب الأيمن y = f (x). منطقة القيم المقبولة x للتعبير f (x) ستكون منطقة تعريف هذه الوظيفة.

يوجد أدناه رسم توضيحي يوضح بعض الأمثلة. الخطوط الزرقاء عبارة عن رسوم بيانية للوظائف ، والخطوط الحمراء هي خطوط مقاربة ، والنقاط الحمراء والخطوط على المحور الصادي هي نطاقات الوظيفة.

من الواضح أنه يمكن الحصول على نطاق الوظيفة بإسقاط الرسم البياني للوظيفة على المحور O y. في الوقت نفسه ، يمكن أن يكون إما رقمًا واحدًا أو مجموعة من الأرقام ، أو مقطعًا ، أو فترة زمنية ، أو شعاعًا مفتوحًا ، أو اتحادًا للفواصل الرقمية ، إلخ.

ضع في اعتبارك الطرق الرئيسية للعثور على نطاق دالة.

لنبدأ بتحديد مجموعة قيم الدالة المستمرة y = f (x) في مقطع معين ، محدد [a ؛ ب] . نحن نعلم أن دالة متصلة في فترة معينة تصل إلى الحد الأدنى والأقصى لها ، أي الحد الأقصى m a x x ∈ a ؛ b f (x) وأصغر قيمة m i n x ∈ a ؛ ب و (خ). إذن ، نحصل على قطعة m i n x ∈ a ؛ bf (x) ؛ م أ س س ∈ أ ؛ b f (x) ، والتي ستحتوي على مجموعات قيم الوظيفة الأصلية. ثم كل ما علينا فعله هو إيجاد الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط المحددة في هذا المقطع.

لنأخذ مشكلة حيث من الضروري تحديد نطاق قيم القوسين.

مثال 1

حالة:أوجد المدى y = a r c sin x.

حل

في الحالة العامة ، يقع مجال تعريف القوس على الفاصل الزمني [- 1 ؛ 1]. نحتاج إلى تحديد أكبر وأصغر قيمة للدالة المحددة عليها.

y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2

نعلم أن مشتق الدالة سيكون موجبًا لجميع قيم x الموجودة في الفترة [- 1 ؛ 1] ، أي في كل مجال التعريف ، ستزداد وظيفة القوسين. هذا يعني أنه سيأخذ أصغر قيمة عندما يكون x يساوي - 1 ، والأكبر - عندما يكون x يساوي 1.

م أنا ن س ∈ - 1 ؛ 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - 2 m a x ∈ - 1؛ 1 a r c sin x = a r c sin 1 = 2

وبالتالي ، فإن نطاق الدالة القوسية سيكون مساويًا لـ E (a r c sin x) = - π 2 ؛ π 2.

إجابة: E (a r c sin x) \ u003d - π 2 ؛ π 2

مثال 2

حالة:احسب النطاق y = x 4-5 x 3 + 6 x 2 على الفترة المحددة [1؛ 4].

حل

كل ما علينا فعله هو حساب أكبر وأصغر قيمة للدالة في الفترة المحددة.

لتحديد النقاط القصوى ، من الضروري إجراء الحسابات التالية:

y "= x 4-5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2-15 x + 12 y "= 0 ⇔ x (4 x 2-15 x + 12 ) = 0 × 1 = 0 1 ؛ 4 و 4 × 2-15 س + 12 = 0 د = - 15 2-4 4 12 = 33 × 2 = 15-33 8 ≈ 1. 16 1 ؛ 4 ؛ x3 = 15 + 338 2.59 1 ؛ 4

لنجد الآن قيم الدالة المعطاة في نهايات المقطع والنقاط x 2 = 15-33 8 ؛ × 3 \ u003d 15 + 33 8:

ص (1) = 1 4-5 1 3 + 6 1 2 = 2 ص 15-33 8 = 15-33 8 4-5 15-33 8 3 + 6 15-33 8 2 = = 117 + 165 33512 ≈ 2. 08 ص 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117-165 33512 ≈ - 1. 62 ص (4) = 4 4-5 4 3 + 6 4 2 = 32

هذا يعني أن مجموعة قيم الدالة سيتم تحديدها بواسطة المقطع 117-165 33512 ؛ 32.

إجابة: 117 - 165 33 512 ; 32 .

دعنا ننتقل إلى إيجاد مجموعة قيم الدالة المستمرة y = f (x) في الفواصل الزمنية (أ ؛ ب) و أ ؛ + ∞ ، - ∞ ؛ ب ،-؛ + ∞.

لنبدأ بتحديد أكبر وأصغر النقاط ، وكذلك فترات الزيادة والنقصان في فترة زمنية معينة. بعد ذلك ، سنحتاج إلى حساب الحدود من جانب واحد في نهايات الفترة و / أو الحدود عند اللانهاية. بعبارة أخرى ، نحتاج إلى تحديد سلوك الوظيفة في ظل ظروف معينة. لهذا لدينا كل البيانات اللازمة.

مثال 3

حالة:احسب نطاق الدالة y = 1 x 2-4 على الفاصل الزمني (- 2 ؛ 2).

حل

حدد أكبر وأصغر قيمة للدالة في فترة زمنية معينة

y "= 1 x 2-4" = - 2 x (x 2-4) 2 y "= 0 - 2 x (x 2-4) 2 = 0 ⇔ x = 0 (- 2؛ 2)

حصلنا على القيمة القصوى تساوي 0 ، حيث تتغير إشارة الدالة ويبدأ الرسم البياني في الانخفاض في هذه المرحلة. انظر الرسم التوضيحي:

أي ، y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ستكون القيمة القصوى للدالة.

الآن لنحدد سلوك الدالة لـ x التي تميل إلى - 2 على الجانب الأيمن و + 2 على الجانب الأيسر. بمعنى آخر ، نجد حدودًا من جانب واحد:

ليم س → - 2 + 0 1 س 2-4 = ليم س → - 2 + 0 1 (س - 2) (س + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ليم س → 2 + 0 1 × 2-4 = ليم س → 2 + 0 1 (س - 2) (س + 2) = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 =-

لقد حصلنا على أن قيم الدالة ستزداد من سالب ما لا نهاية إلى - 1 4 عندما تتغير الوسيطة من - 2 إلى 0. وعندما تتغير الوسيطة من 0 إلى 2 ، تنخفض قيم الدالة باتجاه سالب ما لا نهاية. لذلك ، فإن مجموعة قيم الوظيفة المعينة في الفترة التي نحتاجها ستكون (- ∞ ؛ - 1 4].

إجابة: (- ∞ ; - 1 4 ] .

مثال 4

حالة: أشر إلى مجموعة القيم y = t g x في الفترة المحددة - π 2 ؛ π 2.

حل

نحن نعلم ، بشكل عام ، أن مشتق المماس في - 2 ؛ ستكون π 2 موجبة ، أي ستزيد الوظيفة. الآن دعنا نحدد كيف تتصرف الوظيفة داخل الحدود المعينة:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2-0 t g x = t g π 2-0 = + ∞

لقد حصلنا على زيادة في قيم الدالة من سالب ما لا نهاية إلى زائد ما لا نهاية عندما تتغير السعة من - 2 إلى π 2 ، ويمكننا القول أن مجموعة حلول هذه الدالة ستكون مجموعة كل حقيقي أعداد.

إجابة: - ∞ ; + ∞ .

مثال 5

حالة:أوجد مدى دالة اللوغاريتم الطبيعي y = ln x.

حل

نحن نعلم أن هذه الوظيفة محددة للقيم الموجبة للوسيطة D (y) = 0 ؛ + ∞. سيكون المشتق في الفترة المحددة موجبًا: y "= ln x" = 1 x. هذا يعني أن الوظيفة تتزايد عليها. بعد ذلك ، نحتاج إلى تحديد حد من جانب واحد للحالة عندما تنتقل الوسيطة إلى 0 (على الجانب الأيمن) وعندما ينتقل x إلى ما لا نهاية:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = +

لقد وجدنا أن قيم الدالة ستزداد من سالب ما لا نهاية إلى زائد ما لا نهاية حيث تتغير قيم x من صفر إلى زائد ما لا نهاية. هذا يعني أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية هي نطاق دالة اللوغاريتم الطبيعي.

إجابة:مجموعة جميع الأعداد الحقيقية هي نطاق دالة اللوغاريتم الطبيعي.

مثال 6

حالة:أوجد مدى الدالة y = 9 x 2 + 1.

حل

يتم تعريف هذه الوظيفة بشرط أن يكون x رقمًا حقيقيًا. دعنا نحسب أكبر وأصغر قيم للدالة ، بالإضافة إلى فترات زيادتها ونقصانها:

y "= 9 x 2 + 1" = - 18 x (x 2 + 1) 2 y "= 0 ⇔ x = 0 y" ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y "≥ 0 ⇔ x ≤ 0

نتيجة لذلك ، قررنا أن هذه الوظيفة ستنخفض إذا كانت x ≥ 0 ؛ زيادة إذا س ≤ 0 ؛ لها نقطة قصوى y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 عندما يكون المتغير 0.

دعونا نرى كيف تتصرف الدالة عند اللانهاية:

ليم س → - ∞ 9 س 2 + 1 = 9 - 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 ليم س → + ∞ 9 س 2 + 1 = 9 + 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

يمكن أن نرى من السجل أن قيم الوظيفة في هذه الحالة ستقترب من الصفر بشكل مقارب.

للتلخيص: عندما تتغير الوسيطة من سالب ما لا نهاية إلى صفر ، فإن قيم الدالة تزداد من 0 إلى 9. نظرًا لأن قيم الوسيطة تنتقل من 0 إلى زائد ما لا نهاية ، فإن قيم الدالة المقابلة ستنخفض من 9 إلى 0. لقد صورنا هذا في الشكل:

يوضح أن نطاق الوظيفة سيكون الفاصل الزمني E (y) = (0 ؛ 9]

إجابة:ه (ص) = (0 ، 9]

إذا احتجنا إلى تحديد مجموعة قيم الدالة y = f (x) على الفواصل الزمنية [a ؛ ب) ، (أ ؛ ب] ، [أ ؛ +) ، (- ∞ ؛ ب] ، ثم سنحتاج إلى إجراء نفس الدراسات بالضبط. لن نحلل هذه الحالات بعد: سنلتقي بها لاحقًا في المشكلات .

ولكن ماذا لو كان مجال وظيفة معينة هو اتحاد عدة فترات؟ ثم نحتاج إلى حساب مجموعات القيم في كل فترة من هذه الفترات ودمجها.

مثال 7

حالة:أوجد مدى y = x x - 2.

حل

نظرًا لأنه لا ينبغي تحويل مقام الوظيفة إلى 0 ، فإن D (y) = - ∞ ؛ 2 2 ؛ + ∞.

لنبدأ بتحديد مجموعة قيم الوظيفة في المقطع الأول - ∞ ؛ 2 ، وهو شعاع مفتوح. نعلم أن الدالة الموجودة عليها ستنخفض ، أي أن مشتق هذه الدالة سيكون سالبًا.

lim x → 2-0 x x - 2 = 2-0 2-0-2 = 2-0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 س - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

بعد ذلك ، في تلك الحالات التي تتغير فيها الحجة نحو ناقص ما لا نهاية ، ستقترب قيم الوظيفة بشكل مقارب من 1. إذا تغيرت قيم x من سالب ما لا نهاية إلى 2 ، فإن القيم ستنخفض من 1 إلى سالب ما لا نهاية ، أي ستأخذ الوظيفة في هذا الجزء قيمًا من الفاصل الزمني - ∞ ؛ 1. نستبعد الوحدة من تفكيرنا ، لأن قيم الوظيفة لا تصل إليها ، ولكن تقاربها فقط بشكل مقارب.

للشعاع المفتوح 2 ؛ + ∞ نقوم بتنفيذ نفس الإجراءات بالضبط. تتناقص الوظيفة الموجودة عليها أيضًا:

ليم س → 2 + 0 س س - 2 = 2 + 0 2 + 0-2 = 2 + 0 = + ∞ ليم س → + ∞ س س - 2 = ليم س → + س - 2 + 2 س - 2 = ليم س → + ∞ 1 + 2 س - 2 = 1 + 2 + - 2 = 1 + 0

يتم تحديد قيم الوظيفة في هذا الجزء بواسطة المجموعة 1 ؛ + ∞. هذا يعني أن نطاق قيم الوظيفة المحددة في الشرط الذي نحتاجه سيكون اتحاد المجموعات - ∞ ؛ 1 و 1 ؛ + ∞.

إجابة:ه (ص) = - ∞ ؛ 1 ∪ 1 ؛ + ∞.

يمكن رؤية ذلك على الرسم البياني:

حالة خاصة هي الوظائف الدورية. تتطابق منطقة قيمتها مع مجموعة القيم في الفاصل الزمني الذي يتوافق مع فترة هذه الوظيفة.

المثال 8

حالة:أوجد مدى الجيب y = sin x.

حل

يشير الجيب إلى وظيفة دورية ، ودورتها 2 pi. نأخذ قطعة 0 ؛ 2 π وانظر ما ستكون عليه مجموعة القيم.

y "= (sin x)" = cos x y "= 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk، k ∈ Z

ضمن 0 ؛ 2 π للدالة نقاط متطرفة π 2 و x = 3 2. دعنا نحسب ما ستكون قيم الوظيفة مساوية لها ، وكذلك على حدود المقطع ، وبعد ذلك نختار أكبر وأصغر قيمة.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ؛ 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 ، الحد الأقصى x ∈ 0 ؛ 2 π sinx \ u003d sin π 2 \ u003d 1

إجابة:ه (sinx) = - 1 ؛ 1.

إذا كنت بحاجة إلى معرفة نطاقات الوظائف مثل الأسي ، الأسي ، اللوغاريتمي ، المثلثي ، العكسي المثلثي ، فإننا ننصحك بإعادة قراءة المقالة حول الوظائف الأولية الأساسية. تتيح لنا النظرية التي نقدمها هنا اختبار القيم المحددة هناك. من المستحسن تعلمها ، لأنها غالبًا ما تكون مطلوبة في حل المشكلات. إذا كنت تعرف نطاقات الوظائف الرئيسية ، فيمكنك بسهولة العثور على نطاقات الوظائف التي تم الحصول عليها من الوظائف الأولية باستخدام التحويل الهندسي.

المثال 9

حالة:أوجد المدى y = 3 a r c cos x 3 + 5 7 - 4.

حل

نعلم أن القطعة من 0 إلى pi هي نطاق معكوس جيب التمام. بمعنى آخر ، E (a r c cos x) = 0 ؛ π أو 0 ≤ a r c cos x ≤ π. يمكننا الحصول على الدالة a r c cos x 3 + 5 π 7 من جيب التمام القوسي عن طريق إزاحتها وتمديدها على طول المحور O x ، لكن مثل هذه التحويلات لن تعطينا أي شيء. إذن ، 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7.

يمكن الحصول على الدالة 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 من جيب التمام العكسي a r c cos x 3 + 5 π 7 عن طريق التمدد على طول المحور y ، أي 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3. التحول النهائي هو تحول على طول المحور O y بمقدار 4 قيم. نتيجة لذلك ، نحصل على عدم مساواة مزدوجة:

0-4 ≤ 3 أ ص ج كوس س 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 - 4 ≤ 3 أركوس × 3 + 5 π 7 - 4 3 - 4

لقد توصلنا إلى أن النطاق الذي نحتاجه سيكون مساويًا لـ E (y) = - 4 ؛ 3 بي - 4.

إجابة:ه (ص) = - 4 ؛ 3 بي - 4.

دعنا نكتب مثالاً آخر بدون تفسيرات ، لأن إنه مشابه تمامًا للسابق.

المثال 10

حالة:احسب مدى الدالة y = 2 2 x - 1 + 3.

حل

دعنا نعيد كتابة الدالة المعطاة في الحالة كما يلي: y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3. بالنسبة لدالة الطاقة y = x - 1 2 ، سيتم تحديد النطاق في الفترة 0 ؛ + ∞ ، أي س - 1 2> 0. في هذه الحالة:

2 × - 1 - 1 2> 0 2 (2 × - 1) - 1 2> 0 2 (2 × - 1) - 1 2 + 3> 3

إذن E (y) = 3 ؛ + ∞.

إجابة:ه (ص) = 3 ؛ + ∞.

لننظر الآن في كيفية إيجاد مدى دالة غير متصلة. للقيام بذلك ، نحتاج إلى تقسيم المنطقة بأكملها إلى فترات وإيجاد مجموعات القيم في كل منها ، ثم تجميع ما لدينا. لفهم هذا الأمر بشكل أفضل ، ننصحك بمراجعة الأنواع الرئيسية لنقاط توقف الوظائف.

المثال 11

حالة:إذا كانت الدالة y = 2 sin x 2-4 ، x ≤ - 3-1 ، - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. احسب مداها.

حل

يتم تحديد هذه الوظيفة لجميع قيم x. دعنا نحللها من أجل الاستمرارية مع قيم الوسيطة التي تساوي - 3 و 3:

lim x → - 3-0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2-4 = 2 sin - 3 2-4 = - 2 sin 3 2-4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

لدينا انقطاع غير قابل للاسترداد من النوع الأول بقيمة الحجة - 3. عندما تقترب منها ، تميل قيم الدالة إلى - 2 sin 3 2-4 ، وعندما تميل x إلى - 3 على الجانب الأيمن ، تميل القيم إلى - 1.

lim x → 3-0 f (x) = lim x → 3-0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

لدينا انقطاع غير قابل للإزالة من النوع الثاني عند النقطة 3. عندما تميل الوظيفة إليها ، تقترب قيمها - 1 ، بينما تميل إلى نفس النقطة على اليمين - إلى سالب اللانهاية.

هذا يعني أن المجال الكامل لتعريف هذه الوظيفة مقسم إلى 3 فترات (- ∞ ؛ - 3] ، (- 3 ؛ 3] ، (3 ؛ + ∞).

في البداية ، حصلنا على الدالة y \ u003d 2 sin x 2-4. منذ - 1 ≤ sin x ≤ 1 ، نحصل على:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

هذا يعني أنه في هذه الفترة (- ∞ ؛ - 3] مجموعة قيم الوظيفة هي [- 6 ؛ 2].

في نصف الفترة (- 3 ؛ 3] نحصل على دالة ثابتة y = - 1. وبالتالي ، سيتم تقليل مجموعة قيمها بالكامل في هذه الحالة إلى رقم واحد - 1.

في الفترة الثانية 3 ؛ + ∞ لدينا دالة y = 1 x - 3. إنه يتناقص لأن y "= - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

ليم س → 3 + 0 1 س - 3 = 1 3 + 0-3 = 1 + 0 = + ∞ ليم س → + ∞ 1 س - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + + 0

ومن ثم ، فإن مجموعة قيم الوظيفة الأصلية لـ x> 3 هي المجموعة 0 ؛ + ∞. الآن دعنا نجمع النتائج: E (y) = - 6 ؛ - 2 - 1 0 ؛ + ∞.

إجابة:ه (ص) = - 6 ؛ - 2 - 1 0 ؛ + ∞.

الحل موضح في الرسم البياني:

المثال 12

الشرط: هناك دالة y = x 2-3 e x. حدد مجموعة قيمها.

حل

يتم تعريفه لجميع قيم الوسيطة التي هي أرقام حقيقية. دعونا نحدد الفترات التي ستزيد فيها هذه الوظيفة ، والتي ستنخفض فيها:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2-3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

نعلم أن المشتقة ستصبح 0 إذا كانت x = - 1 و x = 3. نضع هاتين النقطتين على المحور ونكتشف علامات المشتق على الفترات الناتجة.

ستنخفض الوظيفة بمقدار (- ∞ ؛ - 1] ∪ [3 ؛ + ∞) وتزيد بمقدار [- 1 ؛ 3]. الحد الأدنى للنقطة سيكون - 1 ، كحد أقصى - 3.

الآن دعنا نجد قيم الدالة المقابلة:

ص (- 1) = - 1 2 - 3 هـ - 1 = - 2 ص ص (3) = 3 2-3 هـ 3 = 6 هـ - 3

لنلقِ نظرة على سلوك الدالة عند اللانهاية:

lim x → - x 2 - 3 e x = - 2 - 3 e - ∞ = + + 0 = + lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 ه س = 2 1 + ∞ = + 0

لحساب الحد الثاني ، تم استخدام قاعدة L'Hopital. دعنا نرسم الحل على رسم بياني.

يوضح أن قيم الدالة ستنخفض من زائد ما لا نهاية إلى - 2 e عندما تتغير الوسيطة من سالب ما لا نهاية إلى - 1. إذا تغير من 3 إلى زائد ما لا نهاية ، فإن القيم ستنخفض من 6 e - 3 إلى 0 ، ولكن لن يتم الوصول إلى 0.

وبالتالي ، E (y) = [- 2 e ؛ + ∞).

إجابة:ه (ص) = [- 2 هـ ؛ + ∞)

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

اقرأ أيضا:

سلطة بالحبار والأعشاب البحرية - البساطة والرقي

بيتزا مارجريتا وصفة خطوة بخطوة