Chcę się uczyć - nierozwiązane problemy. Matematyka Lubię Nierozwiązane problemy matematyczne trzy koła
Często rozmawiam z uczniami szkół średnich na temat Praca badawcza na matematyce słyszę: „Co nowego można odkryć w matematyce?” Ale tak naprawdę: może już dokonano wszystkich wielkich odkryć i udowodniono twierdzenia?
8 sierpnia 1900 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu matematyk David Hilbert nakreślił listę problemów, które jego zdaniem powinny zostać rozwiązane w XX wieku. Na liście znalazły się 23 pozycje. Do tej pory rozwiązano dwadzieścia jeden z nich. Ostatnim rozwiązanym problemem na liście Gilberta było słynne twierdzenie Fermata, którego naukowcy nie potrafili rozwiązać przez 358 lat. W 1994 roku swoje rozwiązanie zaproponował Brytyjczyk Andrew Wiles. Okazało się, że to prawda.Idąc za przykładem Gilberta pod koniec ubiegłego wieku, wielu matematyków próbowało sformułować podobne zadania strategiczne na XXI wiek. Jedną z takich list rozsławił bostoński miliarder Landon T. Clay. W 1998 roku na jego koszt utworzono Clay Mathematics Institute w Cambridge (Massachusetts, USA) i ustanowiono nagrody za rozwiązanie szeregu ważnych problemów współczesnej matematyki. 24 maja 2000 r. eksperci instytutu wybrali siedem problemów – według wielomilionowej kwoty przeznaczonej na nagrody. Lista nosi tytuł Problemy Nagrody Milenijnej:
1. Problem Cooka (sformułowany w 1971 r.)
Załóżmy, że będąc w dużej firmie, chcesz mieć pewność, że Twój znajomy również tam będzie. Jeśli powiedzą Ci, że siedzi w kącie, to wystarczy ułamek sekundy, aby jednym rzutem oka upewnić się, że informacja jest prawdziwa. W przypadku braku tej informacji będziesz zmuszony obejść cały pokój, przyglądając się gościom. Sugeruje to, że rozwiązanie problemu często zajmuje więcej czasu niż sprawdzenie poprawności rozwiązania.
Stephen Cook sformułował problem: czy sprawdzenie poprawności rozwiązania problemu może trwać dłużej niż znalezienie samego rozwiązania, niezależnie od algorytmu weryfikacji? Problem ten jest także jednym z nierozwiązanych problemów w dziedzinie logiki i informatyki. Jego rozwiązanie mogłoby zrewolucjonizować podstawy kryptografii stosowanej w przesyłaniu i przechowywaniu danych.
2. Hipoteza Riemanna (sformułowana w 1859 r.)
Niektórych liczb całkowitych nie można wyrazić jako iloczynu dwóch mniejszych liczb całkowitych, na przykład 2, 3, 5, 7 itd. Liczby takie nazywane są liczbami pierwszymi i odgrywają ważną rolę w czystej matematyce i jej zastosowaniach. Rozkład liczb pierwszych w szeregu wszystkich liczb naturalnych nie wykazuje żadnej prawidłowości. Jednak niemiecki matematyk Riemann przyjął założenie dotyczące właściwości ciągu liczb pierwszych. Jeśli Hipoteza Riemanna zostanie udowodniona, zrewolucjonizuje naszą wiedzę na temat szyfrowania i doprowadzi do bezprecedensowych przełomów w bezpieczeństwie Internetu.
3. Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera (sformułowana w 1960 r.)
Związany z opisem zbioru rozwiązań niektórych równań algebraicznych w kilku zmiennych o współczynnikach całkowitych. Przykładem takiego równania jest wyrażenie x2 + y2 = z2. Euklides dał Pełny opis rozwiązań tego równania, ale w przypadku bardziej złożonych równań znalezienie rozwiązań staje się niezwykle trudne.
4. Hipoteza Hodge’a (sformułowana w 1941 r.)
W XX wieku matematycy odkryli potężną metodę badania kształtu złożonych obiektów. Główną ideą jest użycie prostych „cegieł” zamiast samego przedmiotu, które skleja się ze sobą i tworzą jego podobieństwo. Hipoteza Hodge'a wiąże się z pewnymi założeniami dotyczącymi właściwości takich „cegieł” i przedmiotów.
5. Równania Naviera-Stokesa (sformułowane w 1822 r.)
Jeśli popłyniesz łódką po jeziorze, pojawią się fale, a jeśli polecisz samolotem, w powietrzu pojawią się burzliwe prądy. Zakłada się, że te i inne zjawiska opisują równania zwane równaniami Naviera-Stokesa. Rozwiązania tych równań nie są znane i nie wiadomo nawet, jak je rozwiązać. Należy wykazać, że rozwiązanie istnieje i jest funkcją dostatecznie gładką. Rozwiązanie tego problemu umożliwi znaczącą zmianę metod prowadzenia obliczeń hydro- i aerodynamicznych.
6. Problem Poincarego (sformułowany w 1904 r.)
Jeśli naciągniesz gumkę na jabłko, możesz powoli przesuwać taśmę, nie odrywając się od powierzchni, ściśnij ją do punktu. Z drugiej strony, jeśli ta sama gumka jest odpowiednio naciągnięta wokół pączka, nie ma możliwości ściśnięcia gumki do pewnego stopnia bez rozerwania gumki lub złamania pączka. Mówi się, że powierzchnia jabłka jest po prostu połączona, ale powierzchnia pączka nie. Okazało się, że udowodnienie, że tylko kula jest po prostu połączona, było tak trudne, że matematycy wciąż szukają prawidłowej odpowiedzi.
7. Równania Yang-Millsa (sformułowane w 1954 r.)
Równania fizyki kwantowej opisują świat cząstek elementarnych. Fizycy Yang i Mills, odkrywszy związek między geometrią a fizyką cząstek elementarnych, napisali własne równania. W ten sposób znaleźli sposób na ujednolicenie teorii oddziaływań elektromagnetycznych, słabych i silnych. Równania Yang-Millsa implikowały istnienie cząstek, które rzeczywiście obserwowano w laboratoriach na całym świecie, dlatego teoria Yanga-Millsa jest akceptowana przez większość fizyków, mimo że teoria ta nadal nie pozwala przewidzieć mas cząstek elementarnych.
Myślę, że ten materiał opublikowany na blogu jest interesujący nie tylko dla uczniów, ale także dla uczniów poważnie zajmujących się matematyką. Jest coś, o czym warto pomyśleć przy wyborze tematów i obszarów badań. Zainteresowanie Fermata matematyką pojawiło się jakoś niespodziewanie i w dość dojrzałym wieku. W 1629 roku w jego ręce wpadło łacińskie tłumaczenie dzieła Pappusa, zawierające krótkie podsumowanie wyników Apoloniusza na temat właściwości przekrojów stożkowych. Fermat, poliglota, znawca prawa i filologii starożytnej, nagle postanawia całkowicie przywrócić tok rozumowania słynnego naukowca. Z takim samym sukcesem współczesny prawnik może spróbować samodzielnie odtworzyć wszystkie dowody z monografii z problemów, powiedzmy, topologii algebraicznej. Jednak to nie do pomyślenia przedsięwzięcie zostało uwieńczone sukcesem. Co więcej, zagłębiając się w geometryczne konstrukcje starożytnych, dokonuje niesamowitego odkrycia: aby znaleźć maksima i minima obszarów figur, nie są potrzebne genialne rysunki. Zawsze można ułożyć i rozwiązać proste równanie algebraiczne, którego pierwiastki wyznaczają ekstremum. Wymyślił algorytm, który stał się podstawą rachunku różniczkowego.
Szybko ruszył dalej. Znalazł warunki wystarczające na istnienie maksimów, nauczył się wyznaczać punkty przegięcia, rysował styczne do wszystkich znanych krzywych drugiego i trzeciego rzędu. Jeszcze kilka lat i znajdzie nową, czysto algebraiczną metodę znajdowania kwadratur dla paraboli i hiperboli dowolnego rzędu (czyli całek funkcji postaci y p = Cx q I y p x q \u003d C), oblicza pola, objętości, momenty bezwładności ciał obrotowych. To był prawdziwy przełom. Czując to, Fermat zaczyna szukać kontaktu z ówczesnymi autorytetami matematycznymi. Jest pewny siebie i pragnie uznania.
W 1636 roku napisał pierwszy list do swego wielebnego Marina Mersenne’a: „Ojcze Święty! Jestem Ci niezmiernie wdzięczny za zaszczyt, jaki mi uczyniłeś, dając mi nadzieję, że uda nam się porozmawiać pisemnie; ...Będę bardzo szczęśliwy, gdy dowiem się od Ciebie o wszystkich nowych traktatach i książkach matematycznych, które ukazały się w ciągu ostatnich pięciu lub sześciu lat. ... Znalazłem też wiele metod analitycznych dla różnych problemów, zarówno numerycznych, jak i geometrycznych, dla których analiza Viety jest niewystarczająca. Tym wszystkim będę się z Tobą dzielić, kiedy tylko zechcesz, a w dodatku bez arogancji, od której jestem bardziej wolna i oddalona niż jakakolwiek inna osoba na świecie.
Kim jest ojciec Mersenne? To franciszkanin, naukowiec o skromnych talentach i wspaniały organizator, który przez 30 lat stał na czele paryskiego koła matematycznego, które stało się prawdziwym ośrodkiem Nauka francuska. Następnie dekretem okręg Mersenne Ludwik XIV zostanie przekształcona w Paryską Akademię Nauk. Mersenne niestrudzenie prowadził ogromną korespondencję, a jego cela w klasztorze Zakonu Minimów na Placu Królewskim była rodzajem „poczty dla wszystkich naukowców Europy, od Galileusza po Hobbesa”. Korespondencja zastąpiła wówczas czasopisma naukowe, które ukazały się znacznie później. Spotkania w Mersenne odbywały się co tydzień. Trzon koła stanowili najwybitniejsi przyrodnicy tamtych czasów: Robertville, Ojciec Pascal, Desargues, Midgege, Hardy i oczywiście słynny i powszechnie uznawany Kartezjusz. Rene du Perron Descartes (Kartezjusz), płaszcz szlachecki, dwa majątki rodzinne, twórca kartezjanizmu, „ojciec” geometrii analitycznej, jeden z twórców nowej matematyki, a także przyjaciel i towarzysz Mersenne’a w Kolegium Jezuickim. Ten wspaniały człowiek będzie koszmarem Fermata.
Mersenne uznał wyniki Fermata za na tyle interesujące, że przyciągnął prowincjonalistę do swojego elitarnego klubu. Farma natychmiast nawiązuje korespondencję z wieloma członkami kręgu i dosłownie zasypia listami od samego Mersenne’a. Ponadto przesyła gotowe rękopisy do dworu mędrców: „Wprowadzenie do miejsc płaskich i stałych”, a rok później – „Sposób znajdowania maksimów i minimów” oraz „Odpowiedzi na pytania B. Cavalieriego”. To, co wyjaśnił Fermat, było całkowicie nowe, ale sensacja nie miała miejsca. Współcześni nie cofnęli się. Niewiele zrozumieli, ale znaleźli jednoznaczne przesłanki, że Fermat zapożyczył ideę algorytmu maksymalizacji z traktatu Johannesa Keplera o zabawnym tytule „Nowa geometria bryłowa”. beczki na wino„. Rzeczywiście, w rozumowaniu Keplera pojawiają się sformułowania typu: „Objętość figury jest największa, jeśli po obu stronach miejsca o największej wartości zmniejszenie jest początkowo nieczułe”. Ale pomysł małego przyrostu funkcji w pobliżu ekstremum wcale nie wisiał w powietrzu. Najlepsze umysły analityczne tamtych czasów nie były gotowe na manipulacje małymi ilościami. Faktem jest, że w tamtym czasie algebra była uważana za rodzaj arytmetyki, czyli matematyki drugiej klasy, prymitywnego, improwizowanego narzędzia opracowanego na potrzeby podstawowej praktyki („tylko kupcy dobrze liczą”). Tradycja zalecała stosowanie czysto geometrycznych metod dowodowych, sięgających starożytnej matematyki. Fermat jako pierwszy zrozumiał, że nieskończenie małe ilości można dodawać i zmniejszać, ale raczej trudno jest je przedstawić w postaci odcinków.
Prawie sto lat zajęło Jeanowi d'Alembertowi przyznanie w swojej słynnej Encyklopedii: Fermat był wynalazcą nowego rachunku różniczkowego. To właśnie u niego poznaliśmy pierwsze zastosowanie różniczek do znajdowania stycznych.” Pod koniec XVIII wieku Joseph Louis Comte de Lagrange wypowiadał się jeszcze wyraźniej: „Ale geometrzy – współcześni Fermatowi – nie rozumieli tego nowego rodzaju rachunku różniczkowego. Widzieli tylko szczególne przypadki. A wynalazek ten, który pojawił się na krótko przed Geometrią Kartezjusza, pozostawał bezowocny przez czterdzieści lat. Lagrange nawiązuje do roku 1674, kiedy to ukazały się „Wykłady” Izaaka Barrowa szczegółowo omawiające metodę Fermata.
Między innymi szybko stało się jasne, że Fermat był bardziej skłonny do formułowania nowych problemów niż pokornego rozwiązywania problemów proponowanych przez mierniki. W dobie pojedynków powszechnie akceptowano wymianę zadań między ekspertami jako formę wyjaśnienia kwestii związanych ze strukturą dowodzenia. Jednakże Gospodarstwo wyraźnie nie zna miary. Każdy jego list to wyzwanie zawierające dziesiątki skomplikowanych, nierozwiązanych problemów i poruszające najbardziej nieoczekiwane tematy. Oto przykład jego stylu (adresowany do Frenicle de Bessy): „Pytanie, jaki jest najmniejszy kwadrat, który po zmniejszeniu o 109 i dodaniu do jedności da kwadrat? Jeśli nie prześlesz mi rozwiązania ogólnego, prześlij mi iloraz tych dwóch liczb, które wybrałem jako małe, aby nie sprawiać ci zbyt dużego kłopotu. Po otrzymaniu odpowiedzi zasugeruję Ci kilka innych rzeczy. Jest oczywiste bez żadnych specjalnych zastrzeżeń, że w mojej propozycji wymagane jest znalezienie liczb całkowitych, ponieważ w przypadku liczb ułamkowych nawet najmniej znaczący arytmetyk mógłby osiągnąć cel. Fermat często się powtarzał, kilkakrotnie formułując te same pytania i otwarcie blefował, twierdząc, że ma niezwykle eleganckie rozwiązanie proponowanego problemu. Nie było żadnych bezpośrednich błędów. Część z nich została zauważona przez współczesnych, a część podstępnych wypowiedzi przez wieki wprowadzała czytelników w błąd.
Krąg Mersenne’a zareagował odpowiednio. Jedynie Robertville, jedyny członek koła, który miał problemy z pochodzeniem, utrzymuje przyjazny ton listów. Dobry pasterz, ojciec Mersenne, próbował przekonać „bezczelnego Tuluzę”. Ale Farm nie ma zamiaru szukać wymówek: „Wielebny Ojcze! Piszesz do mnie, że postawienie moich niemożliwych problemów rozgniewało i ostudziło panów Saint-Martin i Frenicle i że to było przyczyną zakończenia ich listów. Chcę im jednak zaprotestować, że to, co na pierwszy rzut oka wydaje się niemożliwe, w rzeczywistości takie nie jest i że istnieje wiele problemów, które, jak powiedział Archimedes...” itd.
Jednakże Farm jest nieszczery. To właśnie Frenicle wysłał problem znalezienia trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych, którego pole jest równe kwadratowi liczby całkowitej. Wysłał, choć wiedział, że problem oczywiście nie ma rozwiązania.
Najbardziej wrogie stanowisko wobec Fermata zajął Kartezjusz. W jego liście do Mersenne’a z 1938 roku czytamy: „ponieważ dowiedziałem się, że jest to ta sama osoba, która wcześniej próbowała obalić moją „Dioptrię”, i ponieważ poinformowałeś mnie, że wysłał ją po zapoznaniu się z moją „Geometrią” i zdziwiony, że nie znalazłem tego samego, tj. (jak mam powód to zinterpretować) wysłałem to w celu wejścia w rywalizację i pokazania, że wie o tym więcej niż ja, a ponieważ więcej Twoich listów, to dowiedziałem się, że miał opinię bardzo znającego się na rzeczy geometry, to czuję się w obowiązku udzielić mu odpowiedzi. Kartezjusz uroczyście określi później swoją odpowiedź jako „mały proces matematyki przeciwko panu Fermatowi”.
Nietrudno zrozumieć, co rozwścieczyło wybitnego naukowca. Po pierwsze, w rozumowaniu Fermata stale pojawiają się osie współrzędnych i reprezentacja liczb za pomocą odcinków – urządzenie, które Kartezjusz wszechstronnie rozwija w swojej właśnie opublikowanej „Geometrii”. Fermat wpada na pomysł zastąpienia rysunku własnymi obliczeniami, w pewnym sensie nawet bardziej konsekwentnymi niż Kartezjusz. Po drugie, Fermat znakomicie demonstruje skuteczność swojej metody znajdowania minimów na przykładzie problemu najkrótszej drogi wiązki światła, udoskonalając i uzupełniając Kartezjusza swoim „Dioptrią”.
Zasługi Kartezjusza jako myśliciela i innowatora są ogromne, otwórzmy jednak współczesną „Encyklopedię Matematyczną” i przyjrzyjmy się liście terminów związanych z jego nazwiskiem: „współrzędne kartezjańskie” (Leibniz, 1692), „arkusz kartezjański”, „Kartezjusz owale”. Żaden z jego argumentów nie przeszedł do historii jako twierdzenie Kartezjusza. Kartezjusz jest przede wszystkim ideologiem: jest założycielem szkoły filozoficznej, tworzy koncepcje, udoskonala system oznaczeń literowych, ale w jego twórczym dziedzictwie jest niewiele nowych, specyficznych technik. Natomiast Pierre Fermat pisze niewiele, ale przy każdej okazji potrafi wymyślić mnóstwo dowcipnych chwytów matematycznych (patrz tamże: „Twierdzenie Fermata”, „Zasada Fermata”, „Metoda nieskończonego opadania Fermata”). Pewnie słusznie sobie zazdrościli. Zderzenie było nieuniknione. Za pośrednictwem jezuitów Mersenne wybuchła wojna, która trwała dwa lata. Jednak i tutaj Mersenne okazał się tuż przed historią: zacięta walka pomiędzy dwoma tytanami, ich napięcie, delikatnie mówiąc, polemika przyczyniły się do zrozumienia kluczowych pojęć Analiza matematyczna.
Fermat jako pierwszy traci zainteresowanie dyskusją. Najwyraźniej rozmawiał bezpośrednio z Kartezjuszem i nigdy więcej nie obraził swojego przeciwnika. W jednym ze swoich ostatnich dzieł „Synteza refrakcji”, którego rękopis przesłał de la Chaumbrze, Fermat słowo po słowie wspomina „najbardziej uczonego Kartezjusza” i w każdy możliwy sposób podkreśla jego pierwszeństwo w sprawach optyki. Tymczasem to właśnie ten rękopis zawierał opis słynnej „zasady Fermata”, która wyczerpująco wyjaśnia prawa odbicia i załamania światła. Ukłony przed Kartezjuszem w dziele tego poziomu były zupełnie niepotrzebne.
Co się stało? Dlaczego Fermat, odkładając na bok pychę, poszedł na pojednanie? Czytając listy Fermata z tamtych lat (1638 - 1640) można założyć najprostszą rzecz: w tym okresie jego zainteresowania naukowe zmieniły się radykalnie. Porzuca modną cykloidę, przestaje interesować się stycznymi i polami i na długie 20 lat zapomina o swojej metodzie znajdowania maksimum. Mając wielkie zasługi w matematyce ciągłej, Fermat całkowicie zanurza się w matematyce dyskretnej, pozostawiając swoim przeciwnikom znienawidzone rysunki geometryczne. Liczby to jego nowa pasja. W istocie cała „Teoria Liczb”, jako niezależna dyscyplina matematyczna, swoje narodziny zawdzięcza całkowicie życiu i twórczości Fermata.
<…>Po śmierci Fermata jego syn Samuel opublikował w 1670 r. egzemplarz Arytmetyki należący do jego ojca pod tytułem „Sześć ksiąg arytmetyki Aleksandryjczyka Diofantusa z komentarzami L. G. Basche’a i uwagami senatora Tuluzy P. de Fermata”. Książka zawierała także niektóre listy Kartezjusza oraz pełny tekst A New Discovery in the Art of Analysis Jacques’a de Bigly’ego, oparty na listach Fermata. Publikacja odniosła niesamowity sukces. Przed zdumionymi specjalistami otworzył się niespotykany jasny świat. Nieoczekiwanie, a co najważniejsze, przystępność i demokratyczny charakter wyników Fermata z teorii liczb, dały początek wielu naśladowcom. W tamtym czasie niewiele osób rozumiało, jak oblicza się pole paraboli, ale każdy uczeń mógł zrozumieć sformułowanie Ostatniego Twierdzenia Fermata. Rozpoczęło się prawdziwe polowanie na nieznane i zagubione listy naukowca. Zanim koniec XVII V. Każde znalezione jego słowo zostało opublikowane i ponownie opublikowane. Ale burzliwa historia rozwoju idei Fermata dopiero się zaczynała.
Lew Walentinowicz Rudi, autor artykułu „Pierre Fermat i jego „nie do udowodnienia” twierdzenie”, po przeczytaniu publikacji o jednym ze 100 geniuszy współczesnej matematyki, którego nazwano geniuszem ze względu na rozwiązanie twierdzenia Fermata, zaproponował opublikowanie jego alternatywne zdanie na ten temat. Na co chętnie odpowiedzieliśmy i opublikowaliśmy jego artykuł bez skrótów.
Pierre de Fermat i jego twierdzenie „nie do udowodnienia”.
W tym roku przypada 410. rocznica urodzin wielkiego francuskiego matematyka Pierre'a de Fermata. Akademik V.M. Tichomirow pisze o P. Fermacie: „Tylko jeden matematyk został zaszczycony faktem, że jego nazwisko stało się powszechnie znane. Jeśli mówią „fermatysta”, to mówimy o osobie mającej obsesję aż do szaleństwa na punkcie jakiegoś nierealnego pomysłu. Ale tego słowa nie można przypisać samemu Pierre'owi Fermatowi (1601-1665), jednemu z najwybitniejszych umysłów Francji.
P. Fermat to człowiek niesamowitego losu: jeden z najwybitniejszych matematyków na świecie, nie był matematykiem „profesjonalnym”. Fermat był z zawodu prawnikiem. Otrzymał doskonałe wykształcenie i był wybitnym koneserem sztuki i literatury. Całe życie na to pracował służba publiczna przez ostatnie 17 lat był doradcą parlamentu w Tuluzie. Bezinteresowna i wzniosła miłość przyciągnęła go do matematyki i to właśnie ta nauka dała mu wszystko, co miłość może dać człowiekowi: upojenie pięknem, przyjemnością i szczęściem.
W pismach i korespondencji Fermat formułował wiele pięknych twierdzeń, o których pisał, że ma ich dowód. Stopniowo było coraz mniej takich niepotwierdzonych twierdzeń, aż w końcu pozostało tylko jedno - jego tajemnicze Wielkie Twierdzenie!
Jednakże dla osób zainteresowanych matematyką nazwisko Fermata mówi wiele, niezależnie od jego Wielkiego Twierdzenia. Był jednym z najwybitniejszych umysłów swoich czasów, uważany jest za twórcę teorii liczb, wniósł ogromny wkład w rozwój geometrii analitycznej, analizy matematycznej. Jesteśmy wdzięczni Fermatowi za otwarcie przed nami świata pełnego piękna i tajemnicy” (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Dziwne jednak „wdzięczność”!? Świat matematyczny i oświecona ludzkość zignorowały 410. rocznicę Fermata. Wszystko było jak zawsze cicho, spokojnie, codziennie... Nie było fanfar, przemówień pochwalnych, toastów. Ze wszystkich matematyków na świecie tylko Fermata „uhonorowano” tak wielkim zaszczytem, że gdy użyte zostanie słowo „fermatysta”, wszyscy rozumieją, że mówimy o półgłówku, który ma „szaleńczą obsesję na punkcie nierealnego pomysłu” znaleźć zaginiony dowód twierdzenia Fermata!
W swojej uwadze na marginesie książki Diofantusa Fermas napisał: „Znalazłem naprawdę niesamowity dowód mojego twierdzenia, ale marginesy książki są zbyt wąskie, aby je pomieścić”. Był to więc „moment słabości geniuszu matematycznego XVII wieku”. Ten głupek nie rozumiał, że się „mylił”, ale najprawdopodobniej po prostu „kłamał”, „przebiegł”.
Jeśli Fermat twierdził, to miał dowód!? Poziom wiedzy nie był wyższy niż współczesnego dziesiątoklasisty, ale jeśli jakiś inżynier spróbuje znaleźć ten dowód, zostanie wyśmiany i uznany za szaleńca. A zupełnie inną sprawą jest, jeśli amerykański 10-letni chłopiec E. Wiles „przyjmie jako początkową hipotezę, że Fermat nie mógł znać matematyki o wiele więcej niż on” i zacznie „udowodnić” to „twierdzenie, którego nie da się udowodnić”. Oczywiście tylko „geniusz” jest zdolny do czegoś takiego.
Przez przypadek natknąłem się na stronę (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), na której student Państwowego Uniwersytetu Technicznego Chita Kushenko V.V. pisze o Fermacie: „...Małe miasteczko Beaumont i całe jego pięć tysięcy mieszkańców nie jest w stanie zdać sobie sprawy, że tu urodził się wielki Fermat, ostatni matematyk-alchemik, który rozwiązał jałowe problemy nadchodzących stuleci, najcichszy hak sądowy , przebiegły sfinks, który dręczył ludzkość swoimi zagadkami, ostrożny i cnotliwy biurokrata, oszust, intrygant, domator, zazdrosny człowiek, genialny kompilator, jeden z czterech tytanów matematyki… Farma prawie nigdy nie opuszczała Tuluzy, gdzie osiadł po ślubie z Louise de Long, córką doradcy parlamentu. Dzięki teściowi awansował na rangę doradcy i zyskał pożądany przedrostek „de”. Syn trzeciego stanu, praktyczny potomek zamożnych rzemieślników, przepełniony pobożnością łacińską i franciszkańską, w prawdziwym życiu nie stawiał sobie wielkich zadań…
W swoim burzliwym wieku żył gruntownie i spokojnie. Nie pisał traktatów filozoficznych, jak Kartezjusz, nie był powiernikiem królów francuskich, jak Wietnam, nie walczył, nie podróżował, nie tworzył kół matematycznych, nie miał uczniów i nie był publikowany za jego życia… Nie znajdując świadomych roszczeń do miejsca w historii, folwark umiera 12 stycznia 1665 roku.”
Byłem zszokowany, zszokowany... A kto był pierwszym „matematykiem-alchemikiem”!? Cóż to za „bezczynne zadania nadchodzących stuleci”!? „Biurokrata, oszust, intrygant, domator, zazdrosny człowiek”… Dlaczego ci zieloni młodzieńcy i młodzieńcy żywią tyle pogardy, pogardy i cynizmu dla osoby, która żyła 400 lat przed nimi!? Co za bluźnierstwo, rażąca niesprawiedliwość!? Ale to nie sami młodzi ludzie wymyślili to wszystko!? Wymyślili je matematycy, „królowie nauk”, ta sama „ludzkość”, którą „przebiegły sfinks” Fermata „męczył swoimi zagadkami”.
Fermat nie może jednak ponosić żadnej odpowiedzialności za to, że aroganccy, ale mierni potomkowie przez ponad trzysta lat dobijali się do jego szkolnego twierdzenia. Upokarzający, plujący na Fermata matematycy próbują ocalić swój honor munduru!? Ale od dawna nie ma „honoru”, nawet „munduru”!? Problem dzieci Fermata stał się największą hańbą „wybranej, walecznej” armii matematyków świata!?
„Królowie nauk” poczuli się zawstydzeni faktem, że siedem pokoleń matematycznych „luminarzy” nie było w stanie udowodnić szkolnego twierdzenia, czego dowiedli zarówno P. Fermat, jak i arabski matematyk al-Khujandi 700 lat przed Fermatem!? Skompromitowało ich także to, że zamiast przyznać się do błędów, potępili P. Fermata jako oszusta i zaczęli rozdmuchiwać mit o „niedowodliwości” jego twierdzenia!? Matematycy skompromitowali się także tym, że przez całe stulecie zawzięcie prześladowali matematyków-amatorów, „bijąc po głowie swoich mniejszych braci”. To prześladowanie stało się najbardziej haniebnym czynem matematyków w całej historii myśli naukowej po utopieniu Hippasosa przez Pitagorasa! Zawstydziło ich także to, że pod pozorem „dowodu” twierdzenia Fermata przekazali oświeconej ludzkości wątpliwe „twórstwo” E. Wilesa, którego nawet najbystrzejsi luminarze matematyki „nie rozumieją”!?
410. rocznica urodzin P. Fermata jest niewątpliwie na tyle mocnym argumentem, aby matematycy wreszcie opamiętali się i przestali rzucać cień na plecionkę i przywrócili dobre, uczciwe imię wielkiemu matematykowi. P. Fermat „nie znalazł świadomych roszczeń do miejsca w historii”, ale ta krnąbrna i kapryśna Pani sama zapisała się w swoich kronikach w ramionach, ale wypluwała wielu gorliwych i gorliwych „aplikantów” jak przeżutą gumę. I nic na to nie można poradzić, tylko jedno z wielu jego pięknych twierdzeń na zawsze zapisało się w historii P. Fermata.
Ale to wyjątkowe dzieło Fermata było przez całe stulecie zepchnięte do podziemia, zakazane i stało się najbardziej nikczemnym i znienawidzonym zadaniem w całej historii matematyki. Ale nadszedł czas, aby to „brzydkie kaczątko” matematyki zamieniło się w pięknego łabędzia! Niezwykła zagadka Fermata zyskała sobie prawo do zajęcia należnego jej miejsca w skarbnicy wiedzy matematycznej i w każdej szkole świata, obok swojego siostrzanego twierdzenia Pitagorasa.
Tak wyjątkowy, elegancki problem po prostu nie może mieć pięknych, eleganckich rozwiązań. Jeśli twierdzenie Pitagorasa ma 400 dowodów, to niech twierdzenie Fermata ma na początku tylko 4 proste dowody. Są, stopniowo będzie ich więcej!? Uważam, że 410. rocznica P. Fermata jest najodpowiedniejszą okazją lub okazją, aby zawodowi matematycy opamiętali się i wreszcie zaprzestali tej bezsensownej, absurdalnej, kłopotliwej i absolutnie bezużytecznej „blokady” amatorów!?
1 Murada:
Uznaliśmy równość Zn = Xn + Yn za równanie Diofantusa lub Wielkie Twierdzenie Fermata i to jest rozwiązanie równania (Zn-Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Wtedy Zn =-(Xn + Yn) jest rozwiązaniem równania (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Te równania i rozwiązania są powiązane z właściwościami liczb całkowitych i operacjami na nich. Więc nie znamy właściwości liczb całkowitych?! Przy tak ograniczonej wiedzy nie ujawnimy prawdy.
Rozważ rozwiązania Zn = +(Xn + Yn) i Zn =-(Xn + Yn) gdy n = 1. Liczby całkowite + Z tworzy się za pomocą 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Są podzielne przez 2 liczby całkowite +X - parzyste, ostatnie prawe cyfry: 0, 2, 4, 6, 8 i +Y - nieparzyste, ostatnie prawe cyfry: 1, 3, 5, 7, 9, t . mi. + X = + Y. Liczba Y = 5 - nieparzystych i X = 5 - parzystych wynosi: Z = 10. Spełnia równanie: (Z - X) X = (Z - Y) Y, a rozwiązanie + Z = + X + Y= +(X + Y).
Liczby całkowite -Z składają się z sumy -X dla parzystych i -Y dla nieparzystych i spełniają równanie:
(Z + X) X = (Z + Y) Y i rozwiązanie -Z = - X - Y = - (X + Y).
Jeśli Z/X = Y lub Z / Y = X, to Z = XY; Z / -X = -Y lub Z / -Y = -X, następnie Z = (-X)(-Y). Dzielenie sprawdza się przez mnożenie.
Liczby jednocyfrowe dodatnie i ujemne składają się z 5 liczb nieparzystych i 5 nieparzystych.
Rozważmy przypadek n = 2. Wtedy Z2 = X2 + Y2 jest rozwiązaniem równania (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 i Z2 = -(X2 + Y2) jest rozwiązaniem równania (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Uznaliśmy, że Z2 = X2 + Y2 jest twierdzeniem Pitagorasa, a następnie rozwiązaniem Z2 = -(X2 + Y2) jest to samo twierdzenie. Wiemy, że przekątna kwadratu dzieli go na 2 części, gdzie przekątna jest przeciwprostokątną. Wtedy obowiązują równości: Z2 = X2 + Y2 i Z2 = -(X2 + Y2) gdzie X i Y są nogami. I więcej rozwiązań R2 = X2 + Y2 i R2 =- (X2 + Y2) to okręgi, środki są początkiem kwadratowego układu współrzędnych i mają promień R. Można je zapisać jako (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , gdzie n to dodatnie i ujemne liczby całkowite oraz 3 kolejne liczby. Rozwiązaniami są także 2-bitowe liczby XY, które zaczynają się od 00, a kończą na 99 i wynoszą 102 = 10x10 i liczą 1 wiek = 100 lat.
Rozważ rozwiązania, gdy n = 3. Wtedy Z3 = X3 + Y3 są rozwiązaniami równania (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
Liczby 3-bitowe XYZ zaczynają się od 000, a kończą na 999 i wynoszą 103 = 10x10x10 = 1000 lat = 10 wieków
Z 1000 kostek tej samej wielkości i koloru można uzyskać rubika o wartości około 10. Rozważmy rubika rzędu +103=+1000 - czerwony i -103=-1000 - niebieski. Składają się ze 103 = 1000 kostek. Jeśli rozłożymy i ułożymy kostki w jednym rzędzie lub jedna na drugiej, bez przerw, otrzymamy poziomy lub pionowy odcinek o długości 2000. Rubik to duża kostka, pokryta małymi kostkami, zaczynając od rozmiaru 1butto = 10st. -21 i nie można do niej dodać ani odjąć jednej kostki.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Każda liczba całkowita to 1. Dodaj 1(jedności) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 i iloczyny:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Operacje te można wykonać na kalkulatorach 20-bitowych.
Wiadomo, że +(n3 - n) jest zawsze podzielne przez +6, a - (n3 - n) jest podzielne przez -6. Wiemy, że n3 - n = (n-1)n(n+1). To 3 kolejne liczby (n-1)n(n+1), gdzie n jest parzyste, a następnie podzielne przez 2, (n-1) i (n+1) nieparzyste, podzielne przez 3. Następnie (n-1) n(n+1) jest zawsze podzielne przez 6. Jeśli n=0, to (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, to(n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
Wiemy, że 19 x 19 = 361. Oznacza to, że jeden kwadrat jest otoczony przez 360 kwadratów, a następnie jeden sześcian jest otoczony przez 360 sześcianów. Równość jest spełniona: 6 n - 1 + 6n. Jeśli n=60, to 360 – 1 + 360, a n=61, to 366 – 1 + 366.
Z powyższych stwierdzeń wynikają następujące uogólnienia:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
N! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; N! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Jeżeli 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Dowolna liczba całkowita n jest potęgą 10, ma: – n i +n, +1/ n i -1/ n, nieparzyste i parzyste:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
Oczywiste jest, że jeśli doda się do siebie dowolną liczbę całkowitą, wówczas wzrośnie ona 2 razy, a iloczyn będzie kwadratem: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Uznano to za twierdzenie Viety – błąd!
Jeśli do podanej liczby dodamy i odejmiemy liczbę b, to suma się nie zmieni, ale zmieni się iloczyn, np.:
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Jeśli zamiast liter aib wstawimy liczby całkowite, otrzymamy paradoksy, absurdy i brak zaufania do matematyki.
(Sokrates, starożytny grecki filozof)
NIKOMU nie jest dane posiadanie uniwersalnego umysłu i poznanie WSZYSTKIEGO. Niemniej jednak większość naukowców, a nawet tych, którzy po prostu uwielbiają myśleć i odkrywać, zawsze pragnie dowiedzieć się więcej i rozwiązać tajemnice. Ale czy w ludzkości nadal istnieją nierozwiązane tematy? Przecież wydaje się, że wszystko jest już jasne i wystarczy zastosować wiedzę zdobytą na przestrzeni wieków?
Nie rozpaczaj! Wciąż pozostają nierozwiązane problemy z zakresu matematyki i logiki, które w 2000 roku eksperci Clay Mathematical Institute w Cambridge (Massachusetts, USA) połączyli w listę tzw. 7 tajemnic Tysiąclecia (Millennium Prize Problems). Problemy te niepokoją naukowców na całej planecie. Od tego czasu do dziś każdy może twierdzić, że znalazł rozwiązanie jednego z problemów, udowodnić hipotezę i otrzymać nagrodę od bostońskiego miliardera Landona Claya (od którego imienia pochodzi nazwa instytutu). Przeznaczył na ten cel już 7 mln dolarów. Przy okazji, Dziś jeden z problemów został już rozwiązany.
Czy jesteś gotowy, aby poznać zagadki matematyczne?
Równania Naviera-Stokesa (sformułowane w 1822 r.)
Dziedzina: hydroaerodynamikaRównania przepływu turbulentnego, powietrza i cieczy znane są jako równania Naviera-Stokesa. Jeśli na przykład unosisz się na czymś na jeziorze, wokół ciebie nieuchronnie pojawią się fale. Dotyczy to również przestrzeni powietrznej: podczas lotu samolotem w powietrzu będą również tworzyć się turbulentne przepływy.
Te równania po prostu produkują opis procesów ruchu lepkiego płynu i są podstawowym problemem całej hydrodynamiki. W niektórych szczególnych przypadkach znaleziono już rozwiązania, w których części równań odrzuca się jako niemające wpływu na wynik końcowy, ale ogólnie rzecz biorąc, nie znaleziono rozwiązań tych równań.
Należy znaleźć rozwiązanie równań i zidentyfikować funkcje gładkie.
Hipoteza Riemanna (sformułowana w 1859 r.)
Dziedzina: teoria liczbWiadomo, że rozkład liczb pierwszych (które dzielą się tylko przez siebie i przez jeden: 2,3,5,7,11…) wśród wszystkich liczb naturalnych nie wykazuje żadnej prawidłowości.
Nad problemem tym zastanawiał się niemiecki matematyk Riemann, który poczynił swoje założenia, teoretycznie dotyczące własności istniejącego ciągu liczb pierwszych. Od dawna znane są tak zwane sparowane liczby pierwsze - bliźniacze liczby pierwsze, których różnica wynosi 2, na przykład 11 i 13, 29 i 31, 59 i 61. Czasami tworzą całe skupiska, na przykład 101, 103 , 107, 109 i 113 .
Jeśli uda się znaleźć takie kumulacje i wyprowadzić określony algorytm, doprowadzi to do rewolucyjnej zmiany naszej wiedzy w dziedzinie szyfrowania i do bezprecedensowego przełomu w dziedzinie bezpieczeństwa Internetu.
Problem Poincarego (sformułowany w 1904 r. Rozwiązany w 2002 r.)
Dziedzina: topologia lub geometria przestrzeni wielowymiarowychIstota problemu leży w topologii i polega na tym, że jeśli naciągniemy gumkę np. na jabłko (kulę), to teoretycznie będzie możliwe ściśnięcie jej do pewnego punktu, powoli przesuwając taśmę bez zdejmując go z powierzchni. Jeżeli jednak wokół pączka (torusa) naciągnie się tę samą taśmę, to nie da się zacisnąć taśmy bez zerwania taśmy lub rozerwania samego pączka. Te. cała powierzchnia kuli jest po prostu połączona, podczas gdy powierzchnia torusa nie. Zadanie polegało na udowodnieniu, że tylko kula jest po prostu spójna.
Przedstawiciel Leningradzkiej Szkoły Geometrycznej Grigorij Jakowlewicz Perelman jest laureatem nagrody milenijnej Clay Institute of Mathematics Prize (2010) za rozwiązanie problemu Poincarégo. Odmówił przyjęcia słynnej Nagrody Fildesa.
Hipoteza Hodge'a (sformułowana w 1941 r.)
Dziedzina: geometria algebraicznaW rzeczywistości istnieje wiele prostych i znacznie bardziej złożonych obiektów geometrycznych. Im bardziej złożony obiekt, tym trudniej go zbadać. Obecnie naukowcy wymyślili i z całą mocą stosują podejście polegające na wykorzystaniu części jednej całości („cegieł”) do badania tego obiektu, na przykład konstruktora. Znając właściwości „cegieł”, możliwe staje się zbliżenie do właściwości samego obiektu. Hipoteza Hodge'a jest w tym przypadku związana z pewnymi właściwościami zarówno „cegieł”, jak i przedmiotów.
Jest to bardzo poważny problem w geometrii algebraicznej: znaleźć dokładne sposoby i metody analizy złożonych obiektów za pomocą prostych „cegieł”.
Równania Yang-Millsa (sformułowane w 1954 r.)
Dziedzina: geometria i fizyka kwantowaFizycy Yang i Mills opisują świat cząstek elementarnych. Odkrywszy związek geometrii z fizyką cząstek elementarnych, napisali własne równania z zakresu fizyki kwantowej. A tym samym Znaleziono sposób na ujednolicenie teorii oddziaływań elektromagnetycznych, słabych i silnych.
Na poziomie mikrocząstek powstaje „nieprzyjemny” efekt: jeśli na cząstkę oddziałuje kilka pól jednocześnie, ich łącznego efektu nie da się już rozłożyć na działanie każdego z nich z osobna. Wynika to z faktu, że w tej teorii przyciągają się nie tylko cząstki materii, ale także same siebie linie siły pola.
Choć równania Yang-Millsa są akceptowane przez wszystkich fizyków na świecie, teoria dotycząca przewidywania masy cząstek elementarnych nie została udowodniona eksperymentalnie.
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera (sformułowana w 1960 r.)
Dziedzina: algebra i teoria liczbHipoteza związane z równaniami krzywych eliptycznych i zbiorem ich wymiernych rozwiązań. W dowodzie twierdzenia Fermata krzywe eliptyczne przyjęły jedną z nich ważne miejsca. A w kryptografii stanowią całą sekcję samej nazwy i na nich opierają się niektóre rosyjskie standardy podpisów cyfrowych.
Problem polega na tym, że WSZYSTKIE rozwiązania trzeba opisywać liczbami całkowitymi x, y, z równań algebraicznych, czyli równań kilku zmiennych o współczynnikach całkowitych.
Problem Cooka (sformułowany w 1971 r.)
Dziedzina: logika matematyczna i cybernetykaNazywa się to także „równością klas P i NP” i jest jednym z najważniejszych problemów teorii algorytmów, logiki i informatyki.
Czy proces sprawdzania poprawności rozwiązania problemu może trwać dłużej niż czas poświęcony na samo rozwiązanie tego problemu?(niezależnie od algorytmu weryfikacji)?
Rozwiązanie tego samego problemu czasami zajmuje inną ilość czasu, jeśli zmienisz warunki i algorytmy. Przykładowo: w dużej firmie szukasz przyjaciela. Jeśli wiesz, że siedzi w kącie lub przy stole, dostrzeżenie go zajmie ci ułamek sekundy. Ale jeśli nie wiesz dokładnie, gdzie znajduje się obiekt, poświęć więcej czasu na jego szukanie, omijając wszystkich gości.
Podstawowe pytanie brzmi: czy wszystkie lub nie wszystkie problemy, które można łatwo i szybko sprawdzić, można również łatwo i szybko rozwiązać?
Matematyka, jak wielu może się wydawać, nie jest tak odległa od rzeczywistości. Jest to mechanizm, za pomocą którego można opisać nasz świat i wiele zjawisk. Matematyka jest wszędzie. I V.O. miał rację. Klyuchevsky, który powiedział: „To nie wina kwiatów, że ślepi ich nie widzą”.
