Obim funkcija u zadacima ispita. Rješavanje tipičnih zadataka Pronađite skup vrijednosti funkcije 4 x 2
Mnogi zadaci nas dovode do traženja skupa vrijednosti funkcije na određenom segmentu ili na cijeloj domeni definicije. Takvi zadaci uključuju različite evaluacije izraza, rješavanje nejednačina.
U ovom članku ćemo definirati opseg funkcije, razmotriti metode za njeno pronalaženje i detaljno analizirati rješenje primjera od jednostavnih do složenijih. Sav materijal će biti opremljen grafičkim ilustracijama radi jasnoće. Dakle, ovaj članak je detaljan odgovor na pitanje kako pronaći opseg funkcije.
Definicija.
Skup vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalu X naziva skup svih vrijednosti funkcije koje preuzima kada se ponavlja preko svih .
Definicija.
Opseg funkcije y = f(x) naziva se skup svih vrijednosti funkcije koje preuzima pri iteraciji preko svih x iz domene definicije.
Opseg funkcije je označen kao E(f) .
Opseg funkcije i skup vrijednosti funkcije nisu ista stvar. Ovi koncepti će se smatrati ekvivalentnim ako se interval X pri pronalaženju skupa vrijednosti funkcije y = f(x) poklapa s domenom funkcije.
Takođe, nemojte brkati opseg funkcije sa promenljivom x za izraz na desnoj strani jednačine y=f(x) . Područje dozvoljenih vrijednosti varijable x za izraz f(x) je područje definicije funkcije y=f(x).
Na slici je prikazano nekoliko primjera.
Grafovi funkcija su prikazani podebljanim plavim linijama, tanke crvene linije su asimptote, crvene tačke i linije na osi Oy pokazuju raspon odgovarajuće funkcije.
Kao što vidite, opseg funkcije se dobija projektovanjem grafika funkcije na y-osu. To može biti jedan broj (prvi slučaj), skup brojeva (drugi slučaj), segment (treći slučaj), interval (četvrti slučaj), otvoreni zrak (peti slučaj), unija (šesti slučaj) itd. .
Dakle, šta trebate učiniti da pronađete raspon funkcije.
Počnimo s najjednostavnijim slučajem: pokazat ćemo kako odrediti skup vrijednosti neprekidne funkcije y = f(x) na intervalu.
Poznato je da funkcija kontinuirana na segmentu dostiže svoju maksimalnu i minimalnu vrijednost na njemu. Dakle, skup vrijednosti originalne funkcije na segmentu će biti segment 
. Stoga se naš zadatak svodi na pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu.
Na primjer, pronađimo raspon funkcije arcsinusa.
Primjer.
Navedite raspon funkcije y = arcsinx.
Rješenje.
Domen definicije arcsinusa je segment [-1; 1] . Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu. 
Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1), to jest, arcsinusna funkcija raste u cijeloj domeni definicije. Stoga, najmanju vrijednost uzima pri x = -1, a najveću pri x = 1. 
Dobili smo opseg funkcije arcsinusa 
.
Primjer.
Pronađite skup vrijednosti funkcije 
na segmentu.
Rješenje.
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.
Definirajmo tačke ekstrema koje pripadaju segmentu: 
Izračunavamo vrijednosti originalne funkcije na krajevima segmenta i u tačkama 
:
Dakle, skup vrijednosti funkcije na segmentu je segment 
.
Sada ćemo pokazati kako pronaći skup vrijednosti neprekidne funkcije y = f(x) u intervalima (a; b), .
Prvo određujemo tačke ekstrema, ekstreme funkcije, intervale povećanja i smanjenja funkcije na datom intervalu. Zatim izračunavamo na krajevima intervala i (ili) granice na beskonačnosti (to jest, proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala ili na beskonačnosti). Ova informacija je dovoljna za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije na takvim intervalima.
Primjer.
Odredite skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2).
Rješenje.
Nađimo tačke ekstrema funkcije koje padaju na interval (-2; 2): 
Dot x = 0 je maksimalna tačka, pošto derivacija menja predznak sa plus na minus kada prolazi kroz nju, a grafik funkcije ide od rastućeg ka opadajućem. 
je odgovarajući maksimum funkcije.
Otkrijmo ponašanje funkcije kada x teži -2 na desnoj strani i kada x teži 2 na lijevoj strani, odnosno nalazimo jednostrane granice: 
Šta smo dobili: kada se argument promijeni sa -2 na nulu, vrijednosti funkcije se povećavaju sa minus beskonačnosti na minus jednu četvrtinu (maksimum funkcije pri x = 0), kada se argument promijeni sa nule na 2, funkcija vrijednosti se smanjuju na minus beskonačnost. Dakle, skup vrijednosti funkcije na intervalu (-2; 2) je .
Primjer.
Odredite skup vrijednosti tangentne funkcije y = tgx na intervalu.
Rješenje.
Izvod tangentne funkcije na intervalu je pozitivan 
, što ukazuje na povećanje funkcije. Proučavamo ponašanje funkcije na granicama intervala: 
Dakle, kada se argument promijeni od do, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti, odnosno skup vrijednosti tangente u ovom intervalu je skup svih realnih brojeva.
Primjer.
Pronađite opseg funkcije prirodnog logaritma y = lnx .
Rješenje.
Funkcija prirodnog logaritma definirana je za pozitivne vrijednosti argumenta 
. Na ovom intervalu izvod je pozitivan 
, to ukazuje na povećanje funkcije na njemu. Nađimo jednostrano ograničenje funkcije jer argument teži nuli s desne strane, a ograničenje kao x teži plus beskonačnosti: 
Vidimo da kada se x promijeni od nule do plus beskonačnosti, vrijednosti funkcije rastu od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti. Stoga je raspon funkcije prirodnog logaritma cijeli skup realnih brojeva.
Primjer.
Rješenje.
Ova funkcija je definirana za sve realne x vrijednosti. Odredimo tačke ekstrema, kao i intervale povećanja i smanjenja funkcije. 
Dakle, funkcija opada na , raste na , x = 0 je maksimalna tačka, 
odgovarajući maksimum funkcije.
Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti: 
Dakle, u beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju nuli.
Otkrili smo da kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na nulu (maksimalna tačka), vrijednosti funkcije se povećavaju sa nule na devet (do maksimuma funkcije), a kada se x promijeni sa nule na plus beskonačnost, vrijednosti funkcije se smanjuju sa devet na nulu.
Pogledajte šematski crtež.
Sada se jasno vidi da je raspon funkcije .
Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije y = f(x) na intervalima zahtijeva slične studije. Nećemo se sada detaljnije zadržavati na ovim slučajevima. Vidjet ćemo ih u primjerima u nastavku.
Neka je domena funkcije y = f(x) unija nekoliko intervala. Prilikom pronalaženja raspona takve funkcije određuju se skupovi vrijednosti na svakom intervalu i uzima se njihova unija.
Primjer.
Pronađite opseg funkcije.
Rješenje.
Nazivnik naše funkcije ne bi trebao ići na nulu, odnosno, .
Prvo, pronađimo skup vrijednosti funkcije na otvorenom zraku.
Derivat funkcije 
je negativna na ovom intervalu, odnosno funkcija opada na njemu. 
Otkrili smo da kako argument teži minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije asimptotski se približavaju jedinici. Kada se x promijeni sa minus beskonačnosti na dva, vrijednosti funkcije se smanjuju sa jedan na minus beskonačnost, odnosno na razmatranom intervalu funkcija poprima skup vrijednosti. Jedinstvo ne uključujemo, jer vrijednosti funkcije je ne dostižu, već joj samo asimptotički teže na minus beskonačnosti.
Slično postupamo i za otvorenu gredu.
Funkcija se također smanjuje na ovom intervalu. 
Skup vrijednosti funkcije na ovom intervalu je skup .
Dakle, željeni raspon vrijednosti funkcije je unija skupova i .
Grafička ilustracija.
Odvojeno, trebalo bi da se zadržimo na periodičnim funkcijama. Raspon periodičnih funkcija poklapa se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara periodu ove funkcije.
Primjer.
Pronađite opseg sinusne funkcije y = sinx .
Rješenje.
Ova funkcija je periodična s periodom od dva pi. Uzmimo segment i definiramo skup vrijednosti na njemu. 
Segment sadrži dvije točke ekstrema i .
Izračunavamo vrijednosti funkcije u ovim točkama i na granicama segmenta biramo najmanju i najveću vrijednost: 
dakle, 
.
Primjer.
Pronađite opseg funkcije 
.
Rješenje.
Znamo da je opseg arkosinusa segment od nule do pi, tj. 
ili u drugom postu. Funkcija 
može se dobiti iz arccosx pomicanjem i rastezanjem duž x-ose. Takve transformacije ne utječu na raspon, dakle, 
. Funkcija 
dolazi od istezanje tri puta duž ose Oy, tj. 
. I posljednja faza transformacije je pomak za četiri jedinice prema dolje duž y-ose. To nas dovodi do dvostruke nejednakosti 
Dakle, željeni raspon vrijednosti je 
.
Dajemo rješenje za još jedan primjer, ali bez objašnjenja (nisu potrebna, jer su potpuno slični).
Primjer.
Definirajte raspon funkcija 
.
Rješenje.
Originalnu funkciju zapisujemo u formu 
. Raspon eksponencijalne funkcije je interval . To je, . Onda 
dakle, 
.
Da bismo upotpunili sliku, trebalo bi da govorimo o pronalaženju opsega funkcije koja nije kontinuirana u domenu definicije. U ovom slučaju, domen definicije je podijeljen tačkama prekida na intervale, a na svakom od njih nalazimo skupove vrijednosti. Kombinirajući dobivene skupove vrijednosti, dobijamo raspon vrijednosti originalne funkcije. Preporučujemo da zapamtite 3 na lijevoj strani, vrijednosti funkcije teže minus jedan, a kada x teži 3 na desnoj strani, vrijednosti funkcije teže plus beskonačnosti.
Dakle, domen definicije funkcije podijeljen je na tri intervala.
Na intervalu imamo funkciju 
. Od tada 
Dakle, skup vrijednosti originalne funkcije na intervalu je [-6;2] .
Na poluintervalu imamo konstantnu funkciju y = -1. To jest, skup vrijednosti originalne funkcije na intervalu sastoji se od jednog elementa.
Funkcija je definirana za sve važeće vrijednosti argumenta. Pronađite intervale povećanja i smanjenja funkcije.
Izvod nestaje na x=-1 i x=3. Ove tačke označavamo na realnoj osi i određujemo predznake izvoda na dobijenim intervalima. 
Funkcija se smanjuje za 
, povećava se za [-1; 3] , x=-1 minimalni bod, x=3 maksimalni bod.
Izračunavamo odgovarajuće minimalne i maksimalne funkcije: 
Provjerimo ponašanje funkcije u beskonačnosti: 
Druga granica je izračunata iz .
Napravimo šematski crtež.
Kada se argument promijeni sa minus beskonačnost na -1, vrijednosti funkcije se smanjuju sa plus beskonačnost na -2e, kada se argument promijeni sa -1 na 3, vrijednosti funkcije se povećavaju sa -2e na, kada se argument promijeni iz 3 do plus beskonačnost, vrijednosti funkcije se smanjuju od nule, ali ne dostižu nulu.
Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // nezavisna znači bilo koja.
Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedinu vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedno y.
Iz definicije proizilazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo sa x i može uzeti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo sa y ili f (x) i ona se izračunava iz funkcije kada zamjenjujemo x).
NA PRIMJER y=5+x
1. Nezavisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3
2. i sada izračunavamo y, dakle y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y zavisi od x, jer ono što x zamenimo, dobijemo takvo y)
Kažemo da je varijabla y funkcionalno zavisna od varijable x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).
NA PRIMJER.
1.y=1/x. (naziva se hiperbola)
2. y=x^2. (naziva se parabola)
3.y=3x+7. (naziva se prava linija)
4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)
Nezavisna varijabla (koju označavamo sa x) naziva se argument funkcije.
Opseg funkcije
Skup svih vrijednosti koje argument funkcije uzima naziva se domenom funkcije i označava se sa D(f) ili D(y).
Uzmimo D(y) za 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi
4. D (y) \u003d
Primjeri
Pronađite skup vrijednosti funkcije:
Korištenje derivata
Pronađite domen definicije: D(f)=[-3;3], jer $9-x^(2)\geq 0$
Pronađite izvod: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0 ako je x = 0. f"(x) ne postoji ako je $\sqrt(9-x^(2))=0$, tj. za x = ±3. Dobijamo tri kritične točke: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 = 3, od kojih se dvije poklapaju s krajevima segmenta. Izračunajte: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Dakle, najmanja vrijednost f(x) je 0, a najveća vrijednost 3.
Odgovor: E(f) = .
NE koristim derivat
Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije:
Od $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , tada:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ za sve x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ za sve x(jer $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Odgovor: $\frac(3)(4)$ i $-\frac(3)(2)$
Ako ovaj problem riješite uz pomoć derivacija, tada ćete morati prevladati prepreke povezane s činjenicom da funkcija f (x) nije definirana na segmentu, već na cijeloj realnoj liniji.
Korištenje metode granica/procjena
Iz definicije sinusa slijedi da je $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Zatim koristimo svojstva numeričkih nejednakosti.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (pomnožite sva tri dijela dvostruke nejednakosti sa -4);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (dodato na tri dijela dvostruke nejednakosti 5);
Jer datu funkciju je kontinuiran na cijeloj domeni definicije, tada se skup njegovih vrijednosti nalazi između njegove najmanje i najveće vrijednosti na cijeloj domeni definicije, ako postoji.
U ovom slučaju, skup vrijednosti funkcije $y = 5 - 4\sin(x)$ je skup .
Iz nejednačina $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ dobijamo procjenu $$\\ -6\leq y\ leq 6$ $
Za x = p i x = 0, funkcija uzima vrijednosti -6 i 6, tj. dostiže donju i gornju granicu. Kao linearna kombinacija neprekidnih funkcija cos(7x) i cos(x), funkcija y je kontinuirana duž cijele brojevne ose, pa prema svojstvu neprekidne funkcije uzima sve vrijednosti od -6 do 6 uključujući , i samo njih, pošto su zbog nejednakosti $- 6\leq y\leq 6$ druge vrijednosti za njega nemoguće.
Dakle, E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Odgovor: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Transformirajmo izraz $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \desno)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \desno) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.
Definicija kosinusa implicira $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Budući da je ova funkcija kontinuirana u cijeloj domeni definicije, tada je skup njenih vrijednosti zatvoren između njene najmanje i najveće vrijednosti, ako postoji, skupa vrijednosti funkcije $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ je skup $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Označimo $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, gdje je -∞≤t≤4. Dakle, problem se svodi na pronalaženje skupa vrijednosti funkcije $y = \log_(0,5)(t)$ na zraku (-∞;4). Budući da je funkcija $y = \log_(0,5)(t)$ definirana samo za t > 0, njen skup vrijednosti na zraku (-∞;4) poklapa se sa skupom vrijednosti funkcija na intervalu (0;4) koja predstavlja presjek zraka (-∞;4) sa domenom definicije (0;+∞) logaritamske funkcije. Na intervalu (0;4) ova funkcija je kontinuirana i opadajuća. Za t > 0 teži +∞, a za t = 4 poprima vrijednost -2, pa E(y) = (-2, +∞).
Koristimo tehniku zasnovanu na grafičkom prikazu funkcije.
Nakon transformacije funkcije imamo: y 2 + x 2 = 25, i y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Treba podsjetiti da je $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ jednadžba kružnice polumjera r.
Pod ovim ograničenjima, graf ove jednačine je gornji polukrug sa centrom u nultu i poluprečnik jednak 5. Očigledno je da je E(y) = .
Odgovor: E(y) = .
Reference
Opseg funkcija u zadacima Jedinstvenog državnog ispita, Minyuk Irina Borisovna
Savjeti za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija, Belyaeva I., Fedorova S.
Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije
Kako rješavati zadatke iz matematike na prijemnim ispitima, I.I. Melnikov, I.N. Sergeev
Stranica 1
Lekcija 3
"opseg funkcija"
Ciljevi: - Primijeniti koncept raspona vrijednosti na rješenje određenog problema;
rješenje tipični zadaci.
Već nekoliko godina redovno se pojavljuju problemi na ispitima u kojima se iz date porodice funkcija traži da se izaberu oni čiji skupovi vrijednosti zadovoljavaju deklarirane uslove.
Razmotrimo takve zadatke.
Ažuriranje znanja.
Šta podrazumijevamo pod skupom vrijednosti funkcije?
Koji je skup vrijednosti funkcije?
Iz kojih podataka možemo pronaći skup vrijednosti funkcije? (Prema analitičkoj notaciji funkcije ili njenog grafa)
(cm USE zadatke, dio A)
Koje vrijednosti funkcije znamo? (Glavne funkcije su navedene sa njihovim ispisivanjem na ploči; za svaku od funkcija je zapisan njen skup vrijednosti). Kao rezultat, na tabli i u učeničkim sveskama
|
Funkcija |
Mnoge vrijednosti |
|
y = x 2 y = x 3 y=| x| y=
|
E( y) = E( y) = [- 1, 1] E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (0, + ∞) |
Možemo li, koristeći ovo znanje, odmah pronaći skupove vrijednosti funkcija napisanih na tabli? (vidi tabelu 2).
Šta može pomoći u odgovoru na ovo pitanje? (Grafovi ovih funkcija).
Kako nacrtati prvu funkciju? (Spustite parabolu 4 jedinice prema dolje).
|
Funkcija |
Mnoge vrijednosti |
|
y = x 2 – 4 |
E( y) = [-4, + ∞) |
|
y = + 5 |
E( y) = |
|
y = – 5cos x |
E( y) = [- 5, 5] |
|
y= tg( x + / 6) – 1 |
E( y) = (– ∞, + ∞) |
|
y= grijeh( x + / 3) – 2 |
E( y) = [- 3, - 1] |
|
y=| x – 1 | + 3 |
E( y) = |
|
y=| ctg x| |
E( y) = |
|
y =  = | cos(x + /4) | |
E( y) = |
|
y=(x- 5) 2 + 3 |
E( y) = . Pronađite skup vrijednosti funkcije:   . 
Uvođenje algoritma za rješavanje problema za pronalaženje skupa vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Pogledajmo kako možemo primijeniti naše iskustvo na različite zadatke uključene u opcije za jedan ispit. 1. Pronalaženje vrijednosti funkcija za datu vrijednost argumenta. Primjer. Pronađite vrijednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, Ako x = -π/2. Rješenje. y(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 grijehπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Pronalaženje raspona trigonometrijskih funkcija
1≤ grijehX≤ 1 2 ≤ 2 grijehX≤ 2 9 ≤ 11+2grijehX≤ 13 3 ≤ Zapišimo cjelobrojne vrijednosti funkcije na intervalu. Ovaj broj je 3. Odgovor: 3.
at= grijeh 2 X- 2 3 grijehx + 3 2 - 3 2 + 8, at= (grijehX- 3) 2 -1. E ( grijehX) = [-1;1]; E ( grijehX -3) = [-4;-2]; E ( grijehX -3) 2 = ; E ( at) = . Odgovor: .
Možemo li pronaći skup vrijednosti za ovu funkciju? (ne) Šta treba učiniti? (Svedeno na jednu funkciju.) Kako uraditi? (Koristite formulu cos 2 x= 1-greh 2 x.) dakle, at= 1-greh 2 x+2sin x –2, y= -sin 2 x+2sin x –1, at= -(grijeh x –1) 2 . Pa, sada možemo pronaći skup vrijednosti i odabrati najmanju od njih. 1 ≤ sin x ≤ 1, 2 ≤ sin x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (greh x – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0. Dakle, najmanja vrijednost funkcije at hire= -4. Odgovor: -4.
Rješenje. at= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5, at= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75, at= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75. E(cos x) = [-1;1], E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos x – 0,5) 2 = , E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0], E( at) = . Najveća vrijednost funkcije at naib= 2,75; najmanju vrijednost at hire= 0,5. Nađimo proizvod najveće i najmanje vrijednosti funkcije: at naib ∙at hire = 0,5∙2,75 = 1,375. Odgovor: 1.375. Rješenje. Prepišimo funkciju u formu at =, at = Nađimo sada skup vrijednosti funkcije. E(greh x) = [-1, 1], E(6sin x) = [-6, 6], E(6sin x + 1) = [-5, 7], E((6sin x + 1) 2) = , E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = , E( y) = [ Nađimo zbroj cjelobrojnih vrijednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Odgovor: 30.  Rješenje. 1) 2) Stoga, 2 X pripadaju drugoj četvrtini. 3) U drugom tromjesečju, sinusna funkcija opada i kontinuirana je. Dakle, ova funkcija 4) Izračunajte ove vrijednosti:
Odgovori :
 Rješenje. 1) Pošto sinus uzima vrijednosti od -1 do 1, onda je skup vrijednosti razlike 2) Arkosinus je monotono opadajuća i kontinuirana funkcija. Dakle, skup vrijednosti izraza je segment 3) Prilikom množenja ovog segmenta sa odgovor:  Rješenje. Pošto je tangenta luka rastuća funkcija, onda 2) Prilikom povećanja X od 3) Prilikom povećanja od 4) Koristeći formulu koja izražava sinus u terminima tangenta poluugla, nalazimo da
Dakle, željeni skup vrijednosti je unija segmenata odgovor: at= a sin x + b cos x ili at= grijeh (Rx) + bcos (Rx).
Rješenje. Hajde da nađemo vrednost Hajde da transformišemo izraz 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 sin (2x + Skup vrijednosti funkcije y \u003d sin (2x + Zatim skup vrijednosti originalne funkcije -25 Odgovori:
[-25; 25].
Funkcija at= ctg X je opadajuća na segmentu [π/4; π/2], dakle, funkcija će poprimiti najmanju vrijednost na x =π/2, tj at(π/2) = stg π/2 = 0; a najveća vrijednost je na x=π/4, tj at(π/4) = stg π/4 = 1. Odgovor: 1, 0.  . Rješenje. Odvojite se u jednakosti Iz toga slijedi da je graf funkcije f(x) ili hiperbola (a≠ 0) ili prava linija bez tačke. Štaviše, ako a; 2a) i (2a; Ako je a = 0, onda je f (x) = -2 u cijelom domenu definicije x ≠ 0. Stoga je očigledno da željene vrijednosti parametra nisu jednake nuli. Pošto nas zanimaju samo vrijednosti funkcije na segmentu [-1; 1], onda je klasifikacija situacija određena činjenicom da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nalazi u odnosu na ovaj segment. Slučaj 1. Sve tačke intervala [-1; 1] su desno od vertikalne asimptote x = 2a, odnosno kada je 2a Slučaj 2. Vertikalna asimptota seče interval [-1; 1], a funkcija se smanjuje (kao u slučaju 1), odnosno kada Slučaj 3. Vertikalna asimptota seče interval [-1; 1] i funkcija raste, tj. -1 Slučaj 4. Sve tačke intervala [-1; 1] su lijevo od vertikalne asimptote, odnosno 1 a > . i drugo Prijem 5. Pojednostavljenje formule za definiranje razlomke racionalne funkcije Prijem 6. Pronalaženje skupa vrijednosti kvadratnih funkcija (nalaženjem vrha parabole i utvrđivanjem prirode ponašanja njegovih grana). Prijem 7. Uvođenje pomoćnog kuta za pronalaženje skupa vrijednosti nekih trigonometrijskih funkcija. Često, u okviru rješavanja problema, moramo tražiti skup vrijednosti funkcije u domeni definicije ili na segmentu. Na primjer, to treba učiniti prilikom rješavanja različite vrste nejednakosti, evaluacije izraza, itd. Kao dio ovog materijala, reći ćemo vam koji je raspon funkcije, dati glavne metode pomoću kojih se ona može izračunati i analizirati probleme različitog stepena složenosti. Radi jasnoće, pojedinačne pozicije su ilustrovane grafikonima. Nakon čitanja ovog članka, imat ćete sveobuhvatno razumijevanje opsega funkcije. Počnimo s osnovnim definicijama. Definicija 1 Skup vrijednosti funkcije y = f (x) na nekom intervalu x je skup svih vrijednosti koje ova funkcija preuzima pri iteraciji preko svih vrijednosti x ∈ X. Definicija 2 Opseg funkcije y = f (x) je skup svih njenih vrijednosti koje može poprimiti pri iteraciji preko vrijednosti x iz raspona x ∈ (f). Opseg neke funkcije obično se označava sa E (f) . Imajte na umu da koncept skupa vrijednosti funkcije nije uvijek identičan području njenih vrijednosti. Ovi koncepti će biti ekvivalentni samo ako se raspon x vrijednosti pri pronalaženju skupa vrijednosti poklapa s domenom funkcije. Također je važno napraviti razliku između raspona i raspona varijable x za izraz na desnoj strani y = f (x) . Područje prihvatljivih vrijednosti x za izraz f (x) bit će područje definicije ove funkcije. Ispod je ilustracija koja prikazuje neke primjere. Plave linije su grafovi funkcija, crvene su asimptote, crvene tačke i linije na y-osi su rasponi funkcije. Očigledno, opseg funkcije se može dobiti projektiranjem grafa funkcije na osu O y . Istovremeno, to može biti ili jedan broj ili skup brojeva, segment, interval, otvoreni zrak, unija numeričkih intervala, itd. Razmotrite glavne načine za pronalaženje opsega funkcije. Počnimo od definiranja skupa vrijednosti neprekidne funkcije y = f (x) na određenom segmentu, označenom [ a ; b] . Znamo da funkcija koja je kontinuirana na određenom intervalu dostiže svoj minimum i maksimum na njemu, odnosno maksimum m a x x ∈ a ; b f (x) i najmanju vrijednost m i n x ∈ a ; b f (x) . Dakle, dobijamo segment m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , koji će sadržavati skupove vrijednosti originalne funkcije. Tada sve što treba da uradimo je da pronađemo navedene minimalne i maksimalne tačke na ovom segmentu. Uzmimo problem u kojem je potrebno odrediti raspon vrijednosti arcsinusa. Primjer 1 Stanje: naći opseg y = a r c sin x . Rješenje U opštem slučaju, domen definicije arksinusa nalazi se na intervalu [ - 1 ; 1 ] . Moramo odrediti najveću i najmanju vrijednost navedene funkcije na njoj. y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2 Znamo da će izvod funkcije biti pozitivan za sve x vrijednosti koje se nalaze u intervalu [ - 1 ; 1 ] , to jest, u cijelom domenu definicije, arcsinusna funkcija će se povećavati. To znači da će imati najmanju vrijednost kada je x jednako - 1, a najveću - kada je x jednako 1. m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2 Dakle, opseg arcsinusne funkcije će biti jednak E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 . odgovor: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2 Primjer 2 Stanje: izračunajte raspon y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na datom segmentu [ 1 ; 4 ] . Rješenje Sve što treba da uradimo je da izračunamo najveću i najmanju vrednost funkcije u datom intervalu. Da biste odredili tačke ekstrema, potrebno je izvršiti sljedeće proračune: y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 i l i 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4 Sada pronađimo vrijednosti date funkcije na krajevima segmenta i tačkama x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8: y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈ 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32 To znači da će skup vrijednosti funkcije biti određen segmentom 117 - 165 33 512 ; 32 . odgovor: 117 - 165 33 512 ; 32 . Pređimo na pronalaženje skupa vrijednosti kontinuirane funkcije y = f (x) u intervalima (a ; b) i a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ . Počnimo određivanjem najveće i najmanje tačke, kao i intervala povećanja i smanjenja u datom intervalu. Nakon toga, morat ćemo izračunati jednostrane granice na krajevima intervala i/ili granice na beskonačnosti. Drugim riječima, potrebno je odrediti ponašanje funkcije pod datim uvjetima. Za to imamo sve potrebne podatke. Primjer 3 Stanje: izračunati opseg funkcije y = 1 x 2 - 4 na intervalu (- 2 ; 2) . Rješenje Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom intervalu y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2) Dobili smo maksimalnu vrijednost jednaku 0, jer se u tom trenutku mijenja predznak funkcije i graf počinje opadati. Pogledajte ilustraciju:
To jest, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 će biti maksimalna vrijednost funkcije. Sada definirajmo ponašanje funkcije za x koji teži - 2 na desnoj strani i + 2 na lijevoj strani. Drugim riječima, nalazimo jednostrane granice: lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞ Dobili smo da će se vrijednosti funkcije povećati sa minus beskonačnosti na -14 kada se argument promijeni sa -2 na 0. A kada se argument promijeni sa 0 na 2, vrijednosti funkcije se smanjuju prema minus beskonačnosti. Dakle, skup vrijednosti date funkcije na intervalu koji nam je potreban bit će (- ∞ ; - 1 4 ] . odgovor: (- ∞ ; - 1 4 ] . Primjer 4 Stanje: označi skup vrijednosti y = t g x na datom intervalu - π 2 ; π 2 . Rješenje Znamo da je, generalno, derivacija tangente u - π 2; π 2 će biti pozitivan, odnosno funkcija će se povećati. Sada definirajmo kako se funkcija ponaša unutar datih granica: lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞ Dobili smo povećanje vrijednosti funkcije od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti kada se argument promijeni sa - π 2 na π 2, i možemo reći da će skup rješenja ove funkcije biti skup svih realnih brojevi. odgovor: - ∞ ; + ∞ . Primjer 5 Stanje: odrediti koji je raspon funkcije prirodnog logaritma y = ln x . Rješenje Znamo da je ova funkcija definirana za pozitivne vrijednosti argumenta D (y) = 0 ; +∞ . Izvod na datom intervalu će biti pozitivan: y " = ln x " = 1 x . To znači da se funkcija na njemu povećava. Zatim moramo definirati jednostrano ograničenje za slučaj kada argument ide na 0 (na desnoj strani) i kada x ide u beskonačnost: lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞ Otkrili smo da će se vrijednosti funkcije povećati od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti kako se x vrijednosti mijenjaju od nule do plus beskonačnosti. To znači da je skup svih realnih brojeva opseg funkcije prirodnog logaritma. odgovor: skup svih realnih brojeva je opseg funkcije prirodnog logaritma. Primjer 6 Stanje: odrediti koji je raspon funkcije y = 9 x 2 + 1 . Rješenje Ova funkcija je definirana pod uvjetom da je x realan broj. Izračunajmo najveću i najmanju vrijednost funkcije, kao i intervale njenog povećanja i smanjenja: y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 Kao rezultat toga, utvrdili smo da će se ova funkcija smanjiti ako je x ≥ 0; povećati ako je x ≤ 0 ; ima maksimalnu tačku y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 kada je varijabla 0 . Pogledajmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti: lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0 Iz zapisa se može vidjeti da će se vrijednosti funkcije u ovom slučaju asimptotski približiti 0. Da rezimiramo: kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na nulu, tada se vrijednosti funkcije povećavaju od 0 do 9. Kako vrijednosti argumenata idu od 0 do plus beskonačno, odgovarajuće vrijednosti funkcije će se smanjiti sa 9 na 0. Ovo smo prikazali na slici:
Pokazuje da će raspon funkcije biti interval E (y) = (0 ; 9 ] odgovor: E (y) = (0 ; 9 ] Ako trebamo odrediti skup vrijednosti funkcije y = f (x) na intervalima [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , onda ćemo morati da sprovedemo potpuno iste studije. Nećemo još analizirati ove slučajeve: srešćemo ih kasnije u problemima . Ali što ako je domena određene funkcije unija nekoliko intervala? Zatim moramo izračunati skupove vrijednosti na svakom od ovih intervala i kombinirati ih. Primjer 7 Stanje: odrediti koji će biti raspon y = x x - 2 . Rješenje Pošto nazivnik funkcije ne treba pretvarati u 0, onda je D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; +∞ . Počnimo s definiranjem skupa vrijednosti funkcije na prvom segmentu - ∞ ; 2, koja je otvorena greda. Znamo da će se funkcija na njemu smanjiti, odnosno da će derivacija ove funkcije biti negativna. lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0 Zatim, u onim slučajevima kada se argument mijenja prema minus beskonačnosti, vrijednosti funkcije će se asimptotski približiti 1. Ako se vrijednosti x promijene sa minus beskonačnost na 2, tada će se vrijednosti smanjiti sa 1 na minus beskonačnost, tj. funkcija na ovom segmentu će uzeti vrijednosti iz intervala - ∞ ; 1 . Jedinstvo isključujemo iz našeg rasuđivanja, jer mu vrijednosti funkcije ne dosežu, već mu se samo asimptotski približavaju. Za otvorenu gredu 2 ; + ∞ izvodimo potpuno iste radnje. Funkcija na njemu se također smanjuje: lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0 Vrijednosti funkcije na ovom segmentu određene su skupom 1; +∞ . To znači da će raspon vrijednosti funkcije navedene u uvjetu koji nam je potreban biti unija skupova - ∞; 1 i 1 ; +∞ . odgovor: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ . Ovo se može videti na grafikonu:
Poseban slučaj su periodične funkcije. Njihovo područje vrijednosti poklapa se sa skupom vrijednosti na intervalu koji odgovara periodu ove funkcije. Primjer 8 Stanje: odrediti opseg sinusa y = sin x . Rješenje Sinus se odnosi na periodičnu funkciju, a njen period je 2 pi. Uzimamo segment 0; 2 π i pogledajte kakav će biti skup vrijednosti na njemu. y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z Unutar 0 ; 2 π funkcija će imati ekstremne tačke π 2 i x = 3 π 2 . Izračunajmo koliko će biti jednake vrijednosti funkcije u njima, kao i na granicama segmenta, nakon čega biramo najveću i najmanju vrijednost. y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d sin π 2 = 1 odgovor: E (sinx) = - 1 ; 1 . Ako trebate znati opsege funkcija kao što su eksponencijalna, eksponencijalna, logaritamska, trigonometrijska, inverzna trigonometrijska, savjetujemo vam da ponovo pročitate članak o osnovnim elementarnim funkcijama. Teorija koju ovdje predstavljamo omogućava nam da testiramo vrijednosti koje su tamo navedene. Poželjno ih je naučiti, jer su često potrebni u rješavanju problema. Ako znate opsege glavnih funkcija, onda možete lako pronaći opsege funkcija koje se dobivaju iz elementarnih pomoću geometrijske transformacije. Primjer 9 Stanje: odrediti raspon y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 . Rješenje Znamo da je segment od 0 do pi opseg inverznog kosinusa. Drugim riječima, E (a r c cos x) = 0; π ili 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Funkciju a r c cos x 3 + 5 π 7 možemo dobiti iz arc kosinusa pomicanjem i rastezanjem duž ose O x, ali takve transformacije nam neće dati ništa. Dakle, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π . Funkcija 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 može se dobiti iz inverznog kosinusa a r c cos x 3 + 5 π 7 rastezanjem duž y-ose, tj. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Konačna transformacija je pomak duž ose O y za 4 vrijednosti. Kao rezultat, dobijamo dvostruku nejednakost: 0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 Dobili smo da će opseg koji nam treba biti jednak E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 . odgovor: E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 . Napišimo još jedan primjer bez objašnjenja, jer potpuno je sličan prethodnom. Primjer 10 Stanje: izračunaj koliki će biti opseg funkcije y = 2 2 x - 1 + 3 . Rješenje Prepišimo funkciju datu u uvjetu kao y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 . Za funkciju stepena y = x - 1 2 opseg će biti definiran na intervalu 0 ; + ∞ , tj. x - 1 2 > 0 . U ovom slučaju: 2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3 Dakle, E (y) = 3; +∞ . odgovor: E (y) = 3; +∞ . Pogledajmo sada kako pronaći opseg funkcije koja nije kontinuirana. Da bismo to učinili, moramo podijeliti cijelo područje na intervale i pronaći skupove vrijednosti na svakom od njih, a zatim kombinirati ono što imamo. Da biste ovo bolje razumjeli, savjetujemo vam da pregledate glavne tipove prijelomnih tačaka funkcija. Primjer 11 Stanje: zadana funkcija y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Izračunajte njegov domet. Rješenje Ova funkcija je definirana za sve x vrijednosti. Analizirajmo ga radi kontinuiteta sa vrijednostima argumenta jednakim - 3 i 3: lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x) Imamo nepopravljiv diskontinuitet prve vrste sa vrijednošću argumenta - 3 . Kako joj se približite, vrijednosti funkcije teže - 2 sin 3 2 - 4, a kako x teži - 3 na desnoj strani, vrijednosti će težiti - 1. lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞ Imamo neuklonjivi diskontinuitet druge vrste u tački 3. Kada funkcija teži njoj, njene vrijednosti se približavaju - 1, dok teže istoj tački desno - minus beskonačnosti. To znači da je cijeli domen definicije ove funkcije podijeljen na 3 intervala (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) ). Na prvom od njih dobili smo funkciju y = 2 sin x 2 - 4. Kako je - 1 ≤ sin x ≤ 1, dobijamo: 1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2 To znači da je na ovom intervalu (- ∞ ; - 3 ] skup vrijednosti funkcije [- 6 ; 2 ] . Na poluintervalu (- 3 ; 3 ] dobijamo konstantnu funkciju y = - 1. Posljedično, cijeli skup njenih vrijednosti u ovom slučaju će se svesti na jedan broj - 1. Na drugom intervalu 3 ; + ∞ imamo funkciju y = 1 x - 3 . Opada jer je y" = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что: lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0 Dakle, skup vrijednosti originalne funkcije za x > 3 je skup 0; +∞ . Sada kombinujmo rezultate: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . odgovor: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . Rješenje je prikazano na grafikonu:
Primjer 12 Uslov: postoji funkcija y = x 2 - 3 e x . Odredite skup njegovih vrijednosti. Rješenje Definiran je za sve vrijednosti argumenata koji su realni brojevi. Odredimo u kojim intervalima će se ova funkcija povećati, a u kojima će se smanjiti: y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x Znamo da će derivacija postati 0 ako je x = - 1 i x = 3. Postavljamo ove dvije tačke na osu i saznajemo koje će predznake derivacija imati na rezultujućim intervalima.
Funkcija će se smanjiti za (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) i povećati za [ - 1 ; 3]. Minimalni bod će biti - 1 , maksimalni - 3 . Sada pronađimo odgovarajuće vrijednosti funkcije: y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3 Pogledajmo ponašanje funkcije u beskonačnosti: lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0 Za izračunavanje druge granice korišteno je L'Hopitalovo pravilo. Nacrtajmo naše rješenje na graf.
Pokazuje da će se vrijednosti funkcije smanjiti sa plus beskonačnosti na -2e kada se argument promijeni sa minus beskonačnosti na -1. Ako se promijeni sa 3 na plus beskonačno, tada će se vrijednosti smanjiti sa 6 e - 3 na 0, ali 0 neće biti dostignuta. Dakle, E (y) = [ - 2 e ; +∞) . odgovor: E (y) = [ - 2 e ; +∞) Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter |
– 1.
, tj. E (y) = .
,
, 8].
to je X pripada prvom kvartalu.
prije 
.
. Kada se pomnoži sa 
ovaj segment će ići u segment 
.
.
dobijamo 
.
.
.
prije 
argument 2 X povećava od 
prije 
. Budući da se sinus na takvom intervalu povećava, funkcija 
do 1.
argument 2 X povećava od 
. Budući da se sinus smanjuje na takvom intervalu, funkcija 
do 1.
.
I 
, odnosno segment 
= 
= 25.
) = 25 () =
), gdje je cos 
sin (2x + 
) i, ako je a > 0, monotono raste na ovim zracima.
.
