Үшбұрыш – бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктені қосатын үш кесіндіден тұратын геометриялық сан. Үшбұрышты құрайтын нүктелер оның нүктелері деп аталады, ал кесінділері қатар орналасқан.

Үшбұрыштың түріне қарай (тікбұрышты, монохромды және т.б.) кіріс деректеріне және есептің шарттарына байланысты үшбұрыштың қабырғасын әртүрлі әдістермен есептеуге болады.

Мақала үшін жылдам шарлау

Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларын есептеу үшін Пифагор теоремасы қолданылады, оған сәйкес гипотенузаның квадраты катет квадраттарының қосындысына тең.

Егер біз аяқтарды «a» және «b» және гипотенузаны «c» деп белгілесек, онда беттерді келесі формулалармен табуға болады:

Егер тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштары (a және b) белгілі болса, оның қабырғаларын келесі формулалар арқылы табуға болады:

кесілген үшбұрыш

Екі қабырғасы бірдей үшбұрыш тең ​​бүйірлі үшбұрыш деп аталады.

Екі аяқтың гипотенузасын қалай табуға болады

Егер «а» әрпі сол бетке ұқсас болса, «b» - негіз, «b» - негізге қарама-қарсы бұрыш, «a» - көрші бұрыш, беттерді есептеу үшін келесі формулаларды қолдануға болады:

Екі бұрыш және бүйір

Кез келген үшбұрыштың бір беті (c) және екі бұрышы (a және b) белгілі болса, қалған беттерді есептеу үшін синус формуласы қолданылады:

Үшінші мәнді табу керек y = 180 - (a + b) себебі

үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы 180°;

Екі жағы және бұрышы

Үшбұрыштың екі қабырғасы (a және b) және олардың арасындағы бұрыш (y) белгілі болса, косинус теоремасын үшінші қабырғасын есептеу үшін қолдануға болады.

Тік бұрышты үшбұрыштың периметрін қалай анықтауға болады

Үшбұрышты үшбұрыш - бұл үшбұрыш, оның біреуі 90 градус, ал қалған екеуі сүйір. есептеу периметріосындай үшбұрышол туралы белгілі ақпарат көлеміне байланысты.

Сізге қажет болады

• Жағдайға байланысты үшбұрыштың үш жағының 2-і, сондай-ақ оның өткір бұрыштарының бірі.

нұсқаулар

бірінші 1-әдіс. Үш беттің бәрі белгілі болса үшбұрышСодан кейін перпендикуляр немесе үшбұрышты емес пе, периметр келесі түрде есептеледі: P = A + B + C, мүмкін болса, с - гипотенуза; a және b - аяқтар.

екінші 2-әдіс.

Егер тіктөртбұрыштың тек екі қабырғасы болса, онда Пифагор теоремасын қолдана отырып, үшбұрышмына формула бойынша есептеуге болады: P = v (a2 + b2) + a + b немесе P = v (c2 - b2) + b + c.

үшінші 3-әдіс.Гипотенузасы с және сүйір бұрыш болсын? Тік бұрышты үшбұрыш берілген болса, периметрін мына жолмен табуға болады: P = (1 + sin?

төртінші 4-әдіс.Тік бұрышты үшбұрышта бір катетінің ұзындығы а-ға тең және керісінше сүйір бұрышы бар дейді. Содан кейін есептеңіз периметріБұл үшбұрышформуласы бойынша орындалатын болады: P = a * (1 / тг?

1/ұлы? + 1)

бесінші 5-әдіс.

Үшбұрышты онлайн есептеу

Біздің аяғымызды басқарып, оған қосылсын, содан кейін диапазон келесідей есептеледі: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Ұқсас бейнелер

Пифагор теоремасы кез келген математиканың негізі болып табылады. Шынайы үшбұрыштың қабырғалары арасындағы қатынасты көрсетеді. Қазір бұл теореманың 367 дәлелі бар.

нұсқаулар

біріншіПифагор теоремасының классикалық мектеп тұжырымы келесідей естіледі: гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең.

Екі Катеттік тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаны табу үшін катеттердің ұзындығын квадратқа бұрып, оларды жинап, қосындының квадрат түбірін алу керек. Оның мәлімдемесінің бастапқы тұжырымында нарық Катете шығарған 2 квадраттың квадраттарының қосындысына тең гипотенузаға негізделген. Дегенмен, қазіргі заманғы алгебралық тұжырымдау доменді ұсынуды енгізуді қажет етпейді.

екіншіМысалы, катеттері 7 см және 8 см болатын тікбұрышты үшбұрыш.

Сонда Пифагор теоремасы бойынша квадрат гипотенузасы R + S = 49 + 64 = 113 см Гипотенузасы 113-тің квадрат түбіріне тең.

Тікбұрышты үшбұрыштың бұрыштары

Нәтижесі негізсіз сан болды.

үшіншіЕгер үшбұрыштар катеттері 3 және 4 болса, онда гипотенуза = 25 = 5. Квадрат түбірді қабылдағанда, натурал сан шығады. 3, 4, 5 сандары Пигагор үштігін құрайды, өйткені олар х қатынасын қанағаттандырады? +Y? = Z, бұл табиғи.

Пифагор үштігінің басқа мысалдары: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

төртіншіБұл жағдайда, егер аяқтар бір-біріне ұқсас болса, Пифагор теоремасы анағұрлым қарапайым теңдеуге айналады. Мысалы, мұндай қол А санына тең болсын және гипотенузасы С үшін анықталсын, содан кейін с? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Бұл жағдайда сізге А қажет емес.

бесіншіПифагор теоремасы - үшбұрыштың үш қабырғасының арасындағы олардың екеуінің арасындағы кез келген бұрыш үшін байланыс орнататын жалпы косинус теоремасынан үлкенірек ерекше жағдай.

2-кеңес: Аяқтар мен бұрыштар үшін гипотенузаны қалай анықтауға болады

Гипотенузаны 90 градус бұрышқа қарама-қарсы орналасқан тікбұрышты үшбұрыштың қабырғасы деп атайды.

нұсқаулар

біріншіБелгілі катетерлерде, сондай-ақ тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышында гипотенузаның өлшемі катеттің осы бұрыштың косинусына/синусына қатынасына тең болуы мүмкін, егер бұрыш қарама-қарсы болса / e қамтиды : H \u003d C1 (немесе C2) / sin, H \u003d C1 (немесе С2 ?) / cos ?. Мысалы: АВС гипотенузасы АВ және тік бұрышы С болатын дұрыс емес үшбұрыш берілсін.

B 60 градус және А 30 градус болсын. ВС сабағының ұзындығы 8 см АВ гипотенузаның ұзындығын табу керек. Ол үшін жоғарыда аталған әдістердің бірін қолдануға болады: AB = BC / cos60 = 8 см.AB = BC / sin30 = 8 см.

Гипотенуза – тіктөртбұрыштың ең ұзын қабырғасы үшбұрыш. Ол тік бұрышта орналасқан. Тіктөртбұрыштың гипотенузасын табу әдісі үшбұрышбастапқы деректерге байланысты.

нұсқаулар

біріншіЕгер сіздің аяқтарыңыз перпендикуляр болса үшбұрыш, содан кейін тіктөртбұрыштың гипотенузасы ұзындығы үшбұрышПифагор аналогы бойынша табуға болады - гипотенузаның ұзындығының квадраты катеттердің ұзындықтарының квадраттарының қосындысына тең: c2 = a2 + b2, мұндағы a және b - оң жақтың катеттерінің ұзындығы. үшбұрыш .

екіншіЕгер ол белгілі болса және аяқтардың бірі өткір бұрышта болса, гипотенузаны табу формуласы белгілі аяққа қатысты белгілі бір бұрышта болуы немесе болмауына байланысты болады - іргелес (аяғы жақын орналасқан) немесе вице. керісінше (қарсы жағдай көрсетілген бұрыштың nego.V орналасқан. Косинус бұрышындағы гипотенузаның бөлігінің катеті тең: a = a / cos; E, екінші жағынан, гипотенуза синусоидалы бұрыштардың қатынасымен бірдей: da = a / sin.

Ұқсас бейнелер

Пайдалы кеңестер
Қабырғалары 3:4:5 ретінде қосылған бұрыштық үшбұрышты Египет атырауы деп атаған, бұл фигураларды Ежелгі Египет сәулетшілері кеңінен қолданған.

Бұл сонымен қатар беттер мен аумақ бүтін сандар ретінде берілген Джерон үшбұрыштарының ең қарапайым мысалы.

Үшбұрыш бұрышы 90° болатын тіктөртбұрыш деп аталады. Оң жақ бұрышқа қарама-қарсы жағы гипотенуза, екінші жағы аяқ деп аталады.

Егер сіз дұрыс үшбұрыштардың кейбір қасиеттері арқылы тікбұрышты үшбұрыштың қалай құрылатынын білгіңіз келсе, атап айтқанда сүйір бұрыштардың қосындысы 90 ° болатынын және қарама-қарсы катеттің ұзындығы гипотенузаның жартысына тең екенін білгіңіз келсе. 30° болады.

Мақала үшін жылдам шарлау

кесілген үшбұрыш

Тең үшбұрыштың қасиеттерінің бірі оның екі бұрышының бірдей болуы.

Тік бұрышты үшбұрыштың бұрышын есептеу үшін мынаны білу керек:

• Бұл 90°-тан жаман емес.
• Сүйір бұрыштардың мәндері мына формула бойынша анықталады: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, яғни.

  α және β бұрыштары 45°.

Сүйір бұрыштардың біреуінің белгілі мәні белгілі болса, екіншісін мына формула арқылы табуға болады: β = 180º-90º-α немесе α = 180º-90º-β.

Бұл қатынас бұрыштардың бірі 60° немесе 30° болса, жиі пайдаланылады.

Негізгі ұғымдар

Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180°.

Өйткені бұл бір деңгей, екеуі өткір болып қалады.

Үшбұрышты онлайн есептеңіз

Егер сіз оларды тапқыңыз келсе, мынаны білуіңіз керек:

басқа әдістер

Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының мәндерін орташа мәннен - ​​үшбұрыштың қарама-қарсы жағындағы нүктеден алынған сызықпен есептеуге болады, ал биіктігі - түзу гипотенузаға тік бұрышпен жүргізілген перпендикуляр.

Медиана оң жақ бұрыштан гипотенузаның ортасына дейін созылып, h биіктігі болсын. Бұл жағдайда келесідей көрінеді:

• sinα = b / (2 * с); sin β = a / (2 * с).
• cosα = a / (2 * с); cos β = b / (2 * с).
• sinα = h / b; sin β = h / a.

Екі бет

Егер гипотенузаның және катеттерінің біреуінің ұзындықтары тікбұрышты үшбұрышта немесе екі жағынан белгілі болса, сүйір бұрыштардың мәндерін анықтау үшін тригонометриялық сәйкестіктер қолданылады:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = арктан (a / b), β = арктан (b / a).

Тікбұрышты үшбұрыштың ұзындығы

Үшбұрыштың ауданы мен ауданы

периметрі

Кез келген үшбұрыштың шеңбері үш қабырғасының ұзындықтарының қосындысына тең. Үшбұрышты үшбұрышты табудың жалпы формуласы:

мұндағы P – үшбұрыштың шеңбері, a, b және c – оның қабырғалары.

Тең үшбұрыштың периметріоның қабырғаларының ұзындықтарын ретімен біріктіру арқылы немесе бүйірлік ұзындығын 2-ге көбейтіп, негіздің ұзындығын туындыға қосу арқылы табуға болады.

Тепе-теңдік үшбұрышын табудың жалпы формуласы келесідей болады:

мұндағы P тең үшбұрыштың периметрі, бірақ b, b табаны болып табылады.

Тең қабырғалы үшбұрыштың периметріоның қабырғаларының ұзындықтарын ретімен біріктіру арқылы немесе кез келген беттің ұзындығын 3-ке көбейту арқылы табуға болады.

Тең бүйірлі үшбұрыштардың жиегін табудың жалпы формуласы келесідей болады:

Мұндағы P – теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі, а – оның кез келген қабырғасы.

аймақ

Егер сіз үшбұрыштың ауданын өлшегіңіз келсе, оны параллелограмммен салыстыруға болады. ABC үшбұрышын қарастырайық:

Егер біз бірдей үшбұрышты алып, оны параллелограмм алатындай етіп бекітсек, біз осы үшбұрыштың биіктігі мен табаны бірдей параллелограмм аламыз:

Бұл жағдайда үшбұрыштардың ортақ жағы пішінделген параллелограммның диагоналы бойымен бірге бүктеледі.

Параллелограмның қасиеттерінен. Параллелограммның диагональдары әрқашан екі тең үшбұрышқа бөлінетіні белгілі, сонда әрбір үшбұрыштың беті параллелограмм диагоналының жартысына тең болады.

Параллелограмның ауданы оның табанының биіктігінің көбейтіндісі болғандықтан, үшбұрыштың ауданы сол көбейтіндінің жартысы болады. Сондықтан ΔABC үшін аудан бірдей болады

Енді тікбұрышты үшбұрышты қарастырайық:

Екі бірдей тікбұрышты үшбұрышты тіктөртбұрышқа бүгуге болады, егер ол оларға сүйенсе, бұл кез келген басқа гипотенуза.

Тіктөртбұрыштың беті іргелес қабырғаларының бетімен сәйкес келетіндіктен, бұл үшбұрыштың ауданы бірдей:

Бұдан кез келген тікбұрышты үшбұрыштың беті катеттерінің 2-ге бөлінген көбейтіндісіне тең деген қорытынды жасауға болады.

Бұл мысалдардан біз әрбір үшбұрыштың беті ұзындығының көбейтіндісіне тең және биіктігі 2-ге бөлінген табанға дейін азаяды деген қорытынды жасауға болады.

Үшбұрыштың ауданын табудың жалпы формуласы келесідей болады:

Мұндағы S - үшбұрыштың ауданы, бірақ оның табаны, бірақ биіктігі а түбіне түседі.

Кез келген шатырды салу, көрінгендей оңай емес. Ал егер сіз оның сенімді, берік және әртүрлі жүктемелерден қорықпауын қаласаңыз, онда алдын-ала, тіпті дизайн кезеңінде де көп есептеулер жасау керек. Және олар орнату үшін қолданылатын материалдардың мөлшерін ғана емес, сонымен қатар көлбеу бұрыштарын, беткейлердің ауданын және т.б. анықтауды қамтиды. Шатырдың бұрышын қалай дұрыс есептеу керек? Дәл осы мәннен осы дизайнның қалған параметрлері негізінен тәуелді болады.

Кез келген шатырдың дизайны мен құрылысы әрқашан өте маңызды және жауапты бизнес болып табылады. Әсіресе, бұл тұрғын үйдің төбесі немесе күрделі пішіні бар шатырға қатысты. Бірақ тіпті қарапайым сарайға немесе гаражға орнатылған әдеттегі сарайдың өзі алдын ала есептеулерді қажет етеді.

Егер сіз шатырдың көлбеу бұрышын алдын ала анықтамасаңыз, жотаның қандай оңтайлы биіктігі болуы керек екенін білмесеңіз, онда бірінші қар жауғаннан кейін немесе барлық әрлеу жабынынан кейін құлап қалатын шатырды салу қаупі жоғары. оны тіпті қалыпты жел де жұлып алады.

Сондай-ақ, шатырдың көлбеу бұрышы жотаның биіктігіне, беткейлердің ауданы мен өлшемдеріне айтарлықтай әсер етеді. Осыған байланысты rafter жүйесін жасау және аяқтау үшін қажетті материалдардың көлемін дәлірек есептеу мүмкін болады.

Шатырдың әр түрлі түрлерінің бағалары

Төбе жабыны

Өлшем бірлік

Мектепте әркім үйренген геометрияны еске түсіре отырып, шатырдың бұрышы градуспен өлшенеді деп айтуға болады. Дегенмен, құрылыс туралы кітаптарда, сондай-ақ әртүрлі сызбаларда сіз басқа нұсқаны таба аласыз - бұрыш пайызбен көрсетіледі (бұл жерде біз пропорцияны айтамыз).

Жалпы, Көлбеу бұрышы - қиылысатын екі жазықтықтан пайда болатын бұрыш- қабаттасатын және тікелей шатырдың еңісі. Ол тек өткір болуы мүмкін, яғни 0-90 градус аралығында жатыр.

Ескертуде! Бұрыштары 50 градустан асатын өте тік беткейлер таза түрінде өте сирек кездеседі. Әдетте олар шатырларды безендіру үшін ғана пайдаланылады, олар шатырларда болуы мүмкін.

Шатырдың бұрыштарын градуспен өлшеуге келетін болсақ, онда бәрі қарапайым - мектепте геометрияны оқыған әрбір адам бұл білімге ие. Шатырдың сызбасын қағазға сызып, бұрышты анықтау үшін транспортирді пайдалану жеткілікті.

Пайыздарға келетін болсақ, онда сіз жотаның биіктігін және ғимараттың енін білуіңіз керек. Бірінші көрсеткіш екіншісіне бөлінеді, ал алынған мән 100% көбейтіледі. Осылайша, пайызды есептеуге болады.

Ескертуде! 1 пайызында бейімділіктің әдеттегі дәрежесі 2,22% құрайды. Яғни, 45 қарапайым градус бұрышы бар еңіс 100% тең. Ал 1 пайыз доғаның 27 минутын құрайды.

Мәндер кестесі - градус, минут, пайыз

Көлбеу бұрышына қандай факторлар әсер етеді?

Кез-келген шатырдың көлбеу бұрышы үйдің болашақ иесінің тілектерінен бастап үй орналасатын аймаққа дейінгі факторлардың өте үлкен санына әсер етеді. Есептеу кезінде барлық нәзіктіктерді, тіпті бір қарағанда елеусіз болып көрінетіндерді де ескеру қажет. Бір кездері олар өз рөлін ойнауы мүмкін. Төбенің көлбеу бұрышының сәйкестігін анықтаңыз, мынаны білу керек:

• трус жүйесінен бастап және сыртқы әрлеуге дейін шатыр пирогы салынатын материалдардың түрлері;
• аудандағы климаттық жағдайлар (жел жүктемесі, желдің басым бағыты, жауын-шашын және т.б.);
• болашақ ғимараттың пішіні, оның биіктігі, дизайны;
• ғимараттың мақсаты, шатыр кеңістігін пайдалану нұсқалары.

Күшті жел жүктемесі бар аймақтарда бір көлбеу және шағын көлбеу бұрышы бар шатырды салу ұсынылады. Содан кейін қатты желмен шатырдың төтеп беруі және жыртылмауы мүмкін. Егер аймақ жауын-шашынның көп мөлшерімен (қар немесе жаңбыр) сипатталса, онда еңісті тік етіп жасаған дұрыс - бұл жауын-шашынның шатырдан ағып кетуіне / ағып кетуіне мүмкіндік береді және қосымша жүктеме жасамайды. Желді аймақтарда шатыр шатырының оңтайлы еңісі 9-20 градус, ал жауын-шашын көп жерде - 60 градусқа дейін өзгереді. 45 градус бұрышы жалпы қар жүктемесін елемеуге мүмкіндік береді, бірақ бұл жағдайда шатырдағы желдің қысымы тек 11 градус көлбеу шатырға қарағанда 5 есе көп болады.

Ескертуде! Шатырдың көлбеу параметрлері неғұрлым үлкен болса, оны жасау үшін соғұрлым көп материалдар қажет болады. Құны кем дегенде 20%-ға артады.

Бұрыш бұрыштары және шатыр материалдары

Беткейлердің пішіні мен бұрышына тек климаттық жағдайлар ғана әсер етпейді. Құрылыс үшін қолданылатын материалдар, атап айтқанда, шатыр жабыны маңызды рөл атқарады.

Кесте. Әртүрлі материалдардың шатырлары үшін оңтайлы көлбеу бұрыштары.

Ескертуде! Төбенің еңісі неғұрлым төмен болса, қорапты жасау үшін қолданылатын қадам азырақ.

Металл плиткалардың бағасы

металл плитка

Конькидің биіктігі көлбеу бұрышына да байланысты.

Кез келген шатырды есептегенде, тікбұрышты үшбұрыш әрқашан нұсқаулық ретінде қабылданады, мұнда аяқтар үстіңгі нүктеде, яғни жотада немесе бүкіл rafter жүйесінің төменгі бөлігінен жоғарғы жағына өтуде еңістің биіктігі болып табылады. (мансард төбелері жағдайында), сондай-ақ қабаттасулармен ұсынылған көлденеңінен белгілі бір еңістің ұзындығының проекциясы. Мұнда бір ғана тұрақты мән бар - бұл екі қабырға арасындағы шатырдың ұзындығы, яғни аралықтың ұзындығы. Жота бөлігінің биіктігі көлбеу бұрышына байланысты өзгереді.

Тригонометрия формулаларын білу шатырды жобалауға көмектеседі: tgA \u003d H / L, sinA \u003d H / S, H \u003d LхtgA, S \u003d H / sinA, мұндағы A - көлбеу бұрышы, H - шатырдың жота аймағына дейінгі биіктігі, L - шатырдың бүкіл ұзындығының ½ бөлігі (төбе төбесі бар) немесе бүкіл ұзындық (сарай шатыры жағдайында), S - еңістің ұзындығы. Мысалы, егер жота бөлігінің биіктігінің нақты мәні белгілі болса, онда еңіс бұрышы бірінші формула бойынша анықталады. Бұрыштарды жанамалар кестесін пайдаланып табуға болады. Егер есептеу шатырдың бұрышына негізделген болса, онда үшінші формуланы пайдаланып жотаның биіктігі параметрін табуға болады. Көлбеу бұрышының мәні мен аяқтардың параметрлері бар рафтерлердің ұзындығын төртінші формула арқылы есептеуге болады.

Математикада үшбұрышты қарастырғанда міндетті түрде оның қабырғаларына көп көңіл бөлінеді. Өйткені бұл элементтер осы геометриялық фигураны құрайды. Үшбұрыштың қабырғалары көптеген геометриялық есептерді шешу үшін қолданылады.

Ұғымды анықтау

Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктені қосатын кесінділер үшбұрыштың қабырғалары деп аталады. Қарастырылып отырған элементтер жазықтықтың берілген геометриялық фигураның ішкі бөлігі деп аталатын бөлігін шектейді.

Математиктер өз есептеулерінде геометриялық фигуралардың жақтарына қатысты жалпылауға мүмкіндік береді. Сонымен, бұзылған үшбұрышта оның үш сегменті бір түзуде жатыр.

Тұжырымдаманың сипаттамалары

Үшбұрыштың қабырғаларын есептеу фигураның барлық басқа параметрлерін анықтауды қамтиды. Осы сегменттердің әрқайсысының ұзындығын біле отырып, сіз үшбұрыштың периметрін, ауданын және тіпті бұрыштарын оңай есептей аласыз.

Күріш. 1. Ерікті үшбұрыш.

Бұл фигураның жақтарын жинақтау арқылы периметрді анықтауға болады.

P=a+b+c, мұндағы a, b, c үшбұрыштың қабырғалары

Ал үшбұрыштың ауданын табу үшін Герон формуласын қолдану керек.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Мұндағы p – жарты периметр.

Берілген геометриялық фигураның бұрыштары косинус теоремасы арқылы есептеледі.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Мағынасы

Үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы арқылы бұл геометриялық фигураның кейбір қасиеттері көрсетіледі:

• Үшбұрыштың ең кіші қабырғасына қарама-қарсы оның ең кіші бұрышы орналасқан.
• Қарастырылып отырған геометриялық фигураның сыртқы бұрышы жақтарының біреуін ұзарту арқылы алынады.
• Үшбұрыштың қарама-қарсы тең бұрыштары тең қабырғалары болады.
• Кез келген үшбұрышта қабырғалардың бірі әрқашан қалған екі кесіндінің айырмашылығынан үлкен болады. Және бұл санның кез келген екі жағының қосындысы үшіншіден үлкен.

Екі үшбұрыштың теңдігінің белгілерінің бірі геометриялық фигураның барлық қабырғаларының қосындысының қатынасы болып табылады. Егер бұл мәндер бірдей болса, онда үшбұрыштар тең болады.

Үшбұрыштың кейбір қасиеттері оның түріне байланысты. Сондықтан алдымен осы фигураның жақтарының немесе бұрыштарының өлшемін ескеру керек.

Үшбұрыштарды құрастыру

Қарастырылып отырған геометриялық фигураның екі қабырғасы бірдей болса, онда бұл үшбұрыш тең ​​қабырғалы деп аталады.

Күріш. 2. Тең қабырғалы үшбұрыш.

Үшбұрыштың барлық кесінділері тең болғанда, теңбүйірлі үшбұрыш шығады.

Күріш. 3. Тең қабырғалы үшбұрыш.

Кез келген есептеуді еркін үшбұрышты белгілі бір түрге жатқызуға болатын жағдайларда жүргізу ыңғайлы. Содан бері бұл геометриялық фигураның қажетті параметрін табу айтарлықтай жеңілдетіледі.

Дұрыс таңдалған тригонометриялық теңдеу ерікті үшбұрыш қарастырылатын көптеген есептерді шешуге мүмкіндік береді.

Біз не үйрендік?

Нүктелер арқылы қосылған және бір түзуге жатпайтын үш кесінді үшбұрыш құрайды. Бұл жақтары геометриялық жазықтықты құрайды, ол ауданды анықтау үшін қолданылады. Осы сегменттердің көмегімен фигураның периметрі мен бұрыштары сияқты көптеген маңызды сипаттамаларын табуға болады. Үшбұрыштың арақатынасы оның түрін табуға көмектеседі. Берілген геометриялық фигураның кейбір қасиеттерін оның әрбір қабырғасының өлшемдері белгілі болған жағдайда ғана қолдануға болады.

Тақырыптық викторина

Мақаланың рейтингі

Орташа рейтинг: 4.3. Алынған жалпы рейтингтер: 142.

Онлайн калькулятор.
Үшбұрыштарды шешу.

Үшбұрыштың шешімі - оның барлық алты элементін (яғни, үш қабырғасы мен үш бұрышы) үшбұрышты анықтайтын кез келген үш элемент арқылы табу.

Бұл математикалық бағдарлама \(c \), бұрыштарды \(\альфа \) және \(\бета \) пайдаланушы белгілеген \(a, b \) жақтарын және олардың арасындағы \(\гамма \) бұрышты табады.

Бағдарлама мәселенің жауабын беріп қана қоймай, оның шешімін табу процесін де көрсетеді.

Бұл онлайн-калькулятор жоғары сынып оқушылары үшін тесттер мен емтихандарға дайындалуда, Бірыңғай мемлекеттік емтихан алдында білімдерін тексеру кезінде және ата-аналар үшін математика мен алгебрадан көптеген есептердің шешімін бақылау үшін пайдалы болуы мүмкін. Немесе сізге репетитор жалдау немесе жаңа оқулықтар сатып алу тым қымбат болуы мүмкін бе? Немесе математика немесе алгебра бойынша үй тапсырмасын мүмкіндігінше тез орындағыңыз келе ме? Бұл жағдайда сіз біздің бағдарламаларды егжей-тегжейлі шешіммен пайдалана аласыз.

Осылайша сіз өзіңіздің оқуыңызды және/немесе іні-қарындастарыңызды оқытуды жүргізе аласыз, бұл ретте шешілетін міндеттер саласындағы білім деңгейі көтеріледі.

Егер сандарды енгізу ережелерімен таныс болмасаңыз, олармен танысуды ұсынамыз.

Сандарды енгізу ережелері

Сандарды бүтін ғана емес, бөлшекті де қоюға болады.
Ондық бөлшектердің бүтін және бөлшек бөліктерін нүктемен немесе үтірмен бөлуге болады.
Мысалы, 2,5 немесе 2,5 сияқты ондықтарды енгізуге болады

\(a, b \) жақтарын және олардың арасындағы бұрышты \(\гамма \) енгізіңіз. Үшбұрышты шеш

Бұл тапсырманы шешуге қажетті кейбір сценарийлер жүктелмегені және бағдарлама жұмыс істемеуі мүмкін екендігі анықталды.
Сізде AdBlock қосылған болуы мүмкін.
Бұл жағдайда оны өшіріп, бетті жаңартыңыз.

Браузеріңізде JavaScript өшірілген.
Шешім пайда болуы үшін JavaScript қосулы болуы керек.
Мұнда браузерде JavaScript-ті қосу туралы нұсқаулар берілген.

Өйткені Мәселені шешкісі келетіндер көп, өтінішіңіз кезекте тұр.
Бірнеше секундтан кейін шешім төменде пайда болады.
Өтінемін, күте тұрыңыз сек...

Егер сіз шешімдегі қатені байқады, содан кейін сіз бұл туралы Кері байланыс пішінінде жаза аласыз.
Ұмытпаңыз қандай тапсырманы көрсетіңізнені өзіңіз шешесіз өрістерге енгізіңіз.

Біздің ойындар, басқатырғыштар, эмуляторлар:

Біраз теория.

Синустар теоремасы

Теорема

Үшбұрыштың қабырғалары қарама-қарсы бұрыштардың синусына пропорционал:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Косинус теоремасы

Теорема
ABC үшбұрышында AB = c, BC = a, CA = b болсын. Содан кейін
Үшбұрыштың қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысынан сол қабырғалардың екі есе көбейтіндісін және олардың арасындағы бұрыштың косинусын шегергенге тең.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Үшбұрыштарды шешу

Үшбұрыштың шешімі - оның барлық алты элементін (яғни, үш қабырғасы мен үш бұрышы) үшбұрышты анықтайтын кез келген үш элемент арқылы табу.

Үшбұрышты шешуге арналған үш есепті қарастырыңыз. Бұл жағдайда ABC үшбұрышының қабырғалары үшін келесі белгілерді қолданамыз: AB = c, BC = a, CA = b.

Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш берілген үшбұрыштың шешімі

Берілген: \(a, b, \ бұрыш С \). \(c, \бұрыш A, \бұрыш В \) табыңыз.

Шешім
1. Косинустар заңы бойынша \(c\) табамыз:

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Косинустар теоремасын пайдаланып, бізде:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\бұрыш B = 180^\circ -\бұрыш A -\бұрыш C \)

Қабырғасы мен іргелес бұрыштары берілген үшбұрыштың шешімі

Берілген: \(a, \бұрыш В, \бұрыш С \). \(\бұрыш A, b, c \) табыңыз

Шешім
1. \(\бұрыш A = 180^\circ -\бұрыш B -\бұрыш C \)

2. Синустар теоремасын пайдаланып b және c есептейміз:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Үш қабырғасы бар үшбұрышты шешу

Берілген: \(a, b, c\). \(\ бұрыш A, \ бұрыш B, \ бұрыш C \) табыңыз.

Шешім
1. Косинус теоремасы бойынша мынаны аламыз:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

\(\cos A \) арқылы микрокалькулятордың көмегімен немесе кестеден \(\бұрыш A \) табамыз.

2. Сол сияқты В бұрышын табамыз.
3. \(\бұрыш C = 180^\circ -\бұрыш A -\бұрыш B \)

Екі қабырғасы және белгілі қабырғасына қарама-қарсы бұрышы берілген үшбұрышты шешу

Берілген: \(a, b, \бұрыш A\). \(c, \бұрыш В, \бұрыш С \) табыңыз.

Шешім
1. Синустар теоремасы бойынша \(\sin B \) табамыз:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Оң жақ көрсеткі \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Белгілеуді енгізейік: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). D санына байланысты келесі жағдайлар мүмкін:
Егер D > 1 болса, мұндай үшбұрыш болмайды, өйткені \(\sin B \) 1-ден үлкен болмауы керек
Егер D = 1 болса, бірегей \(\бұрыш В: \төрт \sin B = 1 \Оң жақ бұрыш \бұрыш B = 90^\цирк \)
Егер D Егер D болса 2. \(\бұрыш C = 180^\circ -\бұрыш A -\бұрыш B \)

3. Синустар теоремасын пайдаланып, c жағын есептейміз:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Кітаптар (оқулықтар) Бірыңғай мемлекеттік емтиханның тезистері және OGE тесттері онлайн Ойындар, басқатырғыштар Функциялар графигін құру Орфографиялық сөздік Орыс тілінің жастар сленгінің сөздігі Орыс мектептерінің анықтамалығы Ресейдегі орта мектептердің каталогы Ресей университеттерінің каталогы Тапсырмалар тізімі

Геометрияда үшбұрыштардың қабырғаларына байланысты есептер жиі кездеседі. Мысалы, егер қалған екеуі белгілі болса, үшбұрыштың қабырғасын табу қажет.

Үшбұрыштар тең қабырғалы, тең қабырғалы және тең қабырғалы. Барлық әртүрліліктен бірінші мысал үшін біз тікбұрышты таңдаймыз (мұндай үшбұрышта бұрыштардың бірі 90 °, оған іргелес жатқан қабырғалар катет деп аталады, ал үшінші гипотенуза).

Мақаланы жылдам шарлау

Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы

Есептің шешімі ұлы математик Пифагордың теоремасынан шығады. Онда тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің квадраттарының қосындысы оның гипотенузасы квадратына тең деп айтылады: a²+b²=c²

• катет ұзындығының квадратын табыңыз a;
• b катетінің квадратын табыңыз;
• Біз оларды біріктіреміз;
• Алынған нәтижеден біз екінші дәрежелі тамырды шығарамыз.

Мысалы: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Яғни, бұл үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығы 5-ке тең.

Егер үшбұрыштың тік бұрышы болмаса, онда екі қабырғасының ұзындығы жеткіліксіз. Бұл үшінші параметрді қажет етеді: бұл бұрыш, биіктік, үшбұрыштың ауданы, оған жазылған шеңбердің радиусы және т.б.

Егер периметрі белгілі болса

Бұл жағдайда тапсырма тіпті оңайырақ. Периметр (Р) үшбұрыштың барлық қабырғаларының қосындысы: P=a+b+c. Осылайша, қарапайым математикалық теңдеуді шешу арқылы біз нәтиже аламыз.

Мысалы: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Барлық белгілі параметрлерді теңдік белгісінің бір жағына көшіре отырып, теңдеуді шешеміз:

2) Олардың орнына мәндерді қойып, үшінші жағын есептеңіз:

c=18-7-6=5, барлығы: үшбұрыштың үшінші қабырғасы 5-ке тең.

Бұрыш белгілі болса

Бұрыш пен қалған екі қабырғасы берілген үшбұрыштың үшінші қабырғасын есептеу үшін шешім тригонометриялық теңдеуді есептеуге келтіріледі. Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштың синусының қатынасын біле отырып, үшінші қабырғасын есептеу оңай. Ол үшін екі жағын төртбұрыштап, олардың нәтижелерін бірге қосу керек. Содан кейін қабырғалардың алынған көбейтіндісінен бұрыштың косинусына көбейтіндіні алып тастаңыз: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Егер аймақ белгілі болса

Бұл жағдайда бір формула жеткіліксіз.

1) Алдымен, sin γ мәнін үшбұрыштың ауданы формуласынан өрнектеп есептейміз:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Мына формуланы пайдаланып, сол бұрыштың косинусын есептейміз:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) Тағы да синус теоремасын қолданамыз:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Осы теңдеудегі айнымалылардың мәндерін алмастыра отырып, біз есептің жауабын аламыз.