Ուզում եմ սովորել՝ չլուծված խնդիրներ. Մաթեմատիկա Ինձ դուր է գալիս Չլուծված մաթեմատիկական խնդիրներ երեք շրջանակ
Հաճախ ավագ դպրոցի աշակերտների հետ խոսելու մասին հետազոտական աշխատանքմաթեմատիկայի մեջ ես լսում եմ հետևյալը. «Ի՞նչ նոր բաներ կարելի է հայտնաբերել մաթեմատիկայի մեջ»: Բայց իրո՞ք. միգուցե բոլոր մեծ հայտնագործություններն արվել են, և թեորեմներն ապացուցվել են:
1900 թվականի օգոստոսի 8-ին Փարիզում կայացած մաթեմատիկոսների միջազգային կոնգրեսում մաթեմատիկոս Դեյվիդ Հիլբերտը ուրվագծեց խնդիրների ցանկը, որոնք, իր կարծիքով, պետք է լուծվեն քսաներորդ դարում: Ցուցակում կար 23 կետ։ Դրանցից քսանմեկը մինչ այժմ լուծվել է։ Գիլբերտի ցուցակի վերջին լուծված խնդիրը Ֆերմատի հայտնի թեորեմն էր, որը գիտնականները չէին կարողանում լուծել 358 տարի։ 1994 թվականին բրիտանացի Էնդրյու Ուայլսն առաջարկեց իր լուծումը։ Պարզվեց, որ դա ճիշտ է.Անցյալ դարավերջին Գիլբերտի օրինակով շատ մաթեմատիկոսներ փորձեցին ձևակերպել նմանատիպ ռազմավարական առաջադրանքներ 21-րդ դարի համար։ Նման ցուցակներից մեկը հայտնի է դարձել բոստոնցի միլիարդատեր Լենդոն Թ. Քլեյի կողմից։ 1998 թվականին նրա միջոցներով Քեմբրիջում (Մասաչուսեթս, ԱՄՆ) հիմնադրվել է Clay Mathematics Institute-ը և մրցանակներ սահմանվել ժամանակակից մաթեմատիկայի մի շարք կարևոր խնդիրների լուծման համար։ 2000 թվականի մայիսի 24-ին ինստիտուտի փորձագետներն ընտրեցին յոթ խնդիր՝ ըստ մրցանակների համար հատկացված միլիոնավոր դոլարների։ Ցանկը կոչվում է Հազարամյակի մրցանակի հիմնախնդիրներ.
1. Կուկի խնդիրը (ձևակերպվել է 1971 թ.)
Ենթադրենք, դուք, լինելով մեծ ընկերությունում, ցանկանում եք համոզվել, որ ձեր ընկերը նույնպես այնտեղ է։ Եթե ձեզ ասեն, որ նա նստած է անկյունում, ապա վայրկյանի մի հատվածը բավական կլինի, որպեսզի մի հայացքով համոզվեք, որ տեղեկությունը համապատասխանում է իրականությանը։ Այս տեղեկատվության բացակայության դեպքում դուք ստիպված կլինեք շրջել ամբողջ սենյակով, նայելով հյուրերին: Սա հուշում է, որ խնդրի լուծումը հաճախ ավելի շատ ժամանակ է պահանջում, քան լուծման ճիշտությունը ստուգելը։
Սթիվեն Կուկը ձևակերպեց խնդիրը. կարո՞ղ է խնդրի լուծման ճիշտության ստուգումը ավելի երկար լինել, քան ինքնին լուծում ստանալը՝ անկախ ստուգման ալգորիթմից: Այս խնդիրը նույնպես տրամաբանության և համակարգչային գիտության ոլորտում չլուծված խնդիրներից է։ Դրա լուծումը կարող է հեղափոխել գաղտնագրության հիմունքները, որոնք օգտագործվում են տվյալների փոխանցման և պահպանման համար:
2. Ռիմանի հիպոթեզը (ձևակերպվել է 1859 թ.)
Որոշ ամբողջ թվեր չեն կարող արտահայտվել որպես երկու փոքր ամբողջ թվերի արտադրյալ, օրինակ՝ 2, 3, 5, 7 և այլն։ Նման թվերը կոչվում են պարզ թվեր և կարևոր դեր են խաղում մաքուր մաթեմատիկայի և դրա կիրառության մեջ։ Պարզ թվերի բաշխումը բոլոր բնական թվերի շարքերի միջև չի հետևում որևէ օրինաչափության։ Այնուամենայնիվ, գերմանացի մաթեմատիկոս Ռիմանը ենթադրություն արեց պարզ թվերի հաջորդականության հատկությունների վերաբերյալ։ Եթե Ռիմանի վարկածն ապացուցվի, այն կհեղափոխի գաղտնագրման մասին մեր գիտելիքները և կհանգեցնի ինտերնետի անվտանգության աննախադեպ առաջընթացի:
3. Բիրչի և Սվիներթոն-Դայերի վարկածը (ձևակերպվել է 1960 թ.)
Կապված է ամբողջ թվային գործակիցներով մի քանի փոփոխականներում որոշ հանրահաշվական հավասարումների լուծումների բազմության նկարագրության հետ։ Նման հավասարման օրինակ է x2 + y2 = z2 արտահայտությունը։ Էվկլիդեսը տվեց Ամբողջական նկարագրությունայս հավասարման լուծումները, սակայն ավելի բարդ հավասարումների համար լուծումներ գտնելը չափազանց դժվար է դառնում:
4. Հոջի վարկածը (ձևակերպվել է 1941 թ.)
20-րդ դարում մաթեմատիկոսները հայտնաբերեցին բարդ առարկաների ձևն ուսումնասիրելու հզոր մեթոդ։ Հիմնական գաղափարն այն է, որ առարկայի փոխարեն օգտագործենք պարզ «աղյուսներ», որոնք սոսնձված են իրար և կազմում են դրա նմանությունը։ Հոջի վարկածը կապված է նման «աղյուսների» և առարկաների հատկությունների մասին որոշ ենթադրությունների հետ։
5. The Navier - Stokes հավասարումներ (ձևակերպված 1822 թ.)
Եթե նավով նավարկեք լճի վրայով, ապա ալիքներ կբարձրանան, իսկ եթե թռչեք ինքնաթիռով, օդում բուռն հոսանքներ կառաջանան։ Ենթադրվում է, որ այս և այլ երևույթները նկարագրվում են Նավիեր-Սթոքսի հավասարումներ անունով հայտնի հավասարումներով։ Այս հավասարումների լուծումներն անհայտ են, և նույնիսկ հայտնի չէ, թե ինչպես կարելի է դրանք լուծել։ Պետք է ցույց տալ, որ լուծումը գոյություն ունի և բավականաչափ հարթ ֆունկցիա է։ Այս խնդրի լուծումը հնարավորություն կտա էապես փոխել հիդրոդինամիկական հաշվարկների կատարման մեթոդները։
6. Պուանկերի խնդիրը (ձևակերպվել է 1904 թ.)
Եթե խնձորի վրա ռետին եք ձգում, ապա կարող եք կամաց-կամաց շարժել ժապավենը՝ առանց մակերեսը թողնելու, սեղմել այն մինչև մի կետ: Մյուս կողմից, եթե նույն ռետինե ժապավենը պատշաճ կերպով ձգվում է բլիթը, ապա ոչ մի կերպ հնարավոր չէ սեղմել ժապավենը մի կետի վրա, առանց ժապավենը պատռելու կամ կոտրելու բլիթը: Ասում են, որ խնձորի մակերեսը պարզապես միացված է, բայց բլիթը ոչ: Պարզվեց, որ այնքան դժվար է ապացուցել, որ միայն ոլորտն է ուղղակի կապված, որ մաթեմատիկոսները դեռ փնտրում են ճիշտ պատասխանը։
7. Յանգ-Միլսի հավասարումներ (ձևակերպված 1954 թ.)
Քվանտային ֆիզիկայի հավասարումները նկարագրում են տարրական մասնիկների աշխարհը։ Ֆիզիկոսներ Յանգը և Միլսը, բացահայտելով երկրաչափության և տարրական մասնիկների ֆիզիկայի միջև կապը, գրեցին իրենց սեփական հավասարումները։ Այսպիսով, նրանք գտան էլեկտրամագնիսական, թույլ և ուժեղ փոխազդեցությունների տեսությունները միավորելու միջոց։ Յանգ-Միլսի հավասարումները ենթադրում էին մասնիկների գոյություն, որոնք իսկապես դիտվում էին լաբորատորիաներում ամբողջ աշխարհում, ուստի Յանգ-Միլսի տեսությունը ընդունվում է ֆիզիկոսների մեծ մասի կողմից, չնայած այն հանգամանքին, որ այս տեսությունը դեռևս չի կարողանում կանխատեսել տարրական մասնիկների զանգվածը:
Կարծում եմ, որ բլոգում հրապարակված այս նյութը հետաքրքիր է ոչ միայն ուսանողների, այլեւ մաթեմատիկայով լրջորեն զբաղվող դպրոցականների համար։ Հետազոտության թեմաներ և ոլորտներ ընտրելիս մտածելու բան կա: Ֆերմատի հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի նկատմամբ ի հայտ եկավ ինչ-որ անսպասելիորեն և բավականին հասուն տարիքում։ 1629 թ.-ին Պապուսի աշխատության լատիներեն թարգմանությունը, որը պարունակում էր Ապոլոնիուսի արդյունքների համառոտ ամփոփումը կոնի հատվածների հատկությունների վերաբերյալ, ընկավ նրա ձեռքը։ Ֆերմատը՝ պոլիգլոտ, իրավունքի և հին բանասիրության մասնագետ, հանկարծ ձեռնամուխ է լինում հայտնի գիտնականի բանականության ընթացքը ամբողջությամբ վերականգնելու։ Նույն հաջողությամբ ժամանակակից իրավաբանը կարող է փորձել ինքնուրույն վերարտադրել մենագրության բոլոր ապացույցները, ասենք, հանրահաշվական տոպոլոգիայի խնդիրներից։ Այնուամենայնիվ, աներևակայելի ձեռնարկությունը պսակվում է հաջողությամբ։ Ավելին, խորանալով հների երկրաչափական կոնստրուկցիաների մեջ, նա զարմանալի բացահայտում է անում՝ ֆիգուրների մակերեսների առավելագույնն ու նվազագույնը գտնելու համար հնարամիտ գծագրեր պետք չեն։ Միշտ հնարավոր է կազմել և լուծել ինչ-որ պարզ հանրահաշվական հավասարում, որի արմատները որոշում են էքստրեմումը։ Նա հորինեց ալգորիթմ, որը կդառնա դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմքը։
Նա արագ առաջ շարժվեց։ Նա գտավ բավարար պայմաններ մաքսիմայի գոյության համար, սովորեց որոշել թեքման կետերը, գծեց շոշափողներ երկրորդ և երրորդ կարգի բոլոր հայտնի կորերին։ Եվս մի քանի տարի, և նա գտնում է նոր զուտ հանրահաշվական մեթոդ՝ կամայական կարգի պարաբոլների և հիպերբոլաների համար քառակուսիներ գտնելու համար (այսինքն՝ ձևի ֆունկցիաների ինտեգրալներ y p = Cx qԵվ y p x q \u003d C), հաշվում է հեղափոխության մարմինների մակերեսները, ծավալները, իներցիայի պահերը։ Դա իսկական բեկում էր։ Զգալով դա՝ Ֆերմատը սկսում է հաղորդակցություն փնտրել ժամանակի մաթեմատիկական հեղինակությունների հետ։ Նա ինքնավստահ է և ձգտում է ճանաչման:
1636 թվականին նա գրեց առաջին նամակը իր մեծարգո Մարին Մերսենին. «Սուրբ Հայր! Ես անչափ երախտապարտ եմ ձեզ այն պատվի համար, որ արեցիք ինձ՝ հույս տալով, որ մենք կկարողանանք գրավոր խոսել. ...Ես շատ ուրախ կլինեմ ձեզնից լսել մաթեմատիկայի վերաբերյալ բոլոր նոր տրակտատների և գրքերի մասին, որոնք հայտնվել են վերջին հինգ-վեց տարիներին: ... Ես գտա նաեւ բազմաթիվ վերլուծական մեթոդներ տարբեր խնդիրների համար՝ թե՛ թվային, թե՛ երկրաչափական, որոնց համար Վիետայի վերլուծությունը բավարար չէ։ Այս ամենը ես կկիսվեմ քեզ հետ, երբ ուզես, և առավել եւս՝ առանց մեծամտության, որից ես ավելի ազատ և հեռու եմ, քան աշխարհի ցանկացած մարդ։
Ո՞վ է հայր Մերսենը: Սա ֆրանցիսկյան վանական է, համեստ տաղանդներով գիտնական և հիանալի կազմակերպիչ, ով 30 տարի ղեկավարել է Փարիզի մաթեմատիկական շրջանակը, որը դարձավ իսկական կենտրոն։ Ֆրանսիական գիտություն. Հետագայում Մերսենի շրջանը հրամանագրով Լյուդովիկոս XIVկվերածվի Փարիզի գիտությունների ակադեմիայի։ Մերսենն անխոնջորեն վարում էր հսկայական նամակագրություն, և թագավորական հրապարակում գտնվող Մինիմինների շքանշանի վանքում գտնվող նրա խուցը մի տեսակ «փոստատուն էր Եվրոպայի բոլոր գիտնականների համար՝ Գալիլեոյից մինչև Հոբս»։ Այնուհետև նամակագրությունը փոխարինեց գիտական ամսագրերին, որոնք հայտնվեցին շատ ավելի ուշ: Մերսենում հանդիպումները տեղի էին ունենում շաբաթական: Շրջանակի միջուկը կազմում էին այն ժամանակվա ամենափայլուն բնագետները՝ Ռոբերտվիլը, Պասկալ Հայրը, Դեզարգը, Միդորժը, Հարդին և, իհարկե, հանրահայտ և համընդհանուր ճանաչված Դեկարտը։ Ռենե դյու Պերոն Դեկարտը (Կարտեզիուս), ազնվականության թիկնոց, երկու ընտանեկան կալվածքներ, դեկարտիզմի հիմնադիրը, անալիտիկ երկրաչափության «հայրը», նոր մաթեմատիկայի հիմնադիրներից մեկը, ինչպես նաև Մերսենի ընկերն ու ընկերը ճիզվիտական քոլեջում: Այս հրաշալի տղամարդը կլինի Ֆերմայի մղձավանջը։
Մերսենը Ֆերմայի արդյունքները բավական հետաքրքիր համարեց՝ գավառականին բերելու իր էլիտար ակումբ: Ֆերմա անմիջապես նամակագրություն է սկսում շրջանի շատ անդամների հետ և բառացիորեն քնում է հենց Մերսենի նամակներով: Բացի այդ, նա ավարտված ձեռագրեր է ուղարկում փորձագետների դատարան՝ «Ծանոթություն հարթ և ամուր վայրերին», իսկ մեկ տարի անց՝ «Մաքսիմման և նվազագույնի գտնելու մեթոդը» և «Բ. Կավալյերիի հարցերի պատասխանները»։ Այն, ինչ ներկայացրեց Ֆերմատը, բացարձակապես նոր էր, բայց սենսացիան տեղի չունեցավ: Ժամանակակիցները չէին ընկրկում։ Նրանք շատ բան չէին հասկանում, բայց միանշանակ ցուցումներ գտան, որ Ֆերմատը առել է առավելագույնի հասնող ալգորիթմի գաղափարը Յոհաննես Կեպլերի տրակտատից՝ զվարճալի վերնագրով «Նոր պինդ երկրաչափություն»: գինու տակառներ«. Իսկապես, Կեպլերի հիմնավորման մեջ կան արտահայտություններ, ինչպիսիք են «Նկարի ծավալը ամենամեծն է, եթե ամենամեծ արժեքի վայրի երկու կողմերում նվազումը սկզբում անզգայուն է»: Բայց ծայրահեղության մոտ ֆունկցիայի փոքր աճի գաղափարն ամենևին էլ օդում չէր: Այն ժամանակվա լավագույն վերլուծական ուղեղները պատրաստ չէին փոքր քանակությամբ մանիպուլյացիաների։ Փաստն այն է, որ այն ժամանակ հանրահաշիվը համարվում էր մի տեսակ թվաբանություն, այսինքն՝ երկրորդ դասարանի մաթեմատիկա, պարզունակ իմպրովիզացված գործիք, որը մշակվել էր բազային պրակտիկայի կարիքների համար («միայն վաճառականները լավ են հաշվում»): Ավանդույթը նախատեսում էր հավատարիմ մնալ ապացուցման զուտ երկրաչափական մեթոդներին, որոնք սկիզբ են առել հին մաթեմատիկայից: Ֆերմատն առաջինն էր, ով հասկացավ, որ անվերջ փոքր մեծությունները կարելի է ավելացնել և կրճատել, բայց դրանք որպես հատվածներ ներկայացնելը բավականին դժվար է։
Գրեթե մեկ դար պահանջվեց, որպեսզի Ժան դ'Ալեմբերն իր հանրահայտ հանրագիտարանում խոստովանի. Ֆերմատը նոր հաշվարկի գյուտարարն էր: Նրա հետ է, որ մենք հանդիպում ենք շոշափողներ գտնելու դիֆերենցիալների առաջին կիրառմանը»։ 18-րդ դարի վերջում Ժոզեֆ Լուի Կոմտ դը Լագրանժը ավելի հստակ արտահայտվեց. «Բայց երկրաչափերը՝ Ֆերմատի ժամանակակիցները, չէին հասկանում այս նոր տեսակի հաշվարկը: Տեսել են միայն հատուկ դեպքեր։ Եվ այս գյուտը, որը հայտնվեց Դեկարտի Երկրաչափությունից քիչ առաջ, անպտուղ մնաց քառասուն տարի։ Լագրանժը նկատի ունի 1674 թվականը, երբ լույս տեսավ Իսահակ Բարրոուի «Դասախոսությունները»՝ մանրամասնորեն անդրադառնալով Ֆերմայի մեթոդին։
Ի թիվս այլ բաների, արագ պարզ դարձավ, որ Ֆերմատն ավելի շատ հակված է նոր խնդիրներ ձևակերպելու, քան հաշվիչների առաջարկած խնդիրները խոնարհաբար լուծելու։ Դուելների դարաշրջանում փորձագետների միջև առաջադրանքների փոխանակումը ընդհանուր առմամբ ընդունված էր որպես հրամանատարության շղթայի հետ կապված հարցերի պարզաբանման ձև: Այնուամենայնիվ, Ֆերմայում ակնհայտորեն չգիտեն չափը: Նրա յուրաքանչյուր նամակ մարտահրավեր է, որը պարունակում է տասնյակ բարդ չլուծված խնդիրներ և ամենաանսպասելի թեմաներով: Ահա նրա ոճի օրինակը (ուղղված Ֆրենիկ դե Բեսիին). «Առարկա, ո՞րն է ամենափոքր քառակուսին, որը 109-ով փոքրացնելով և մեկին ավելացնելով, կտա քառակուսի: Եթե ինձ չես ուղարկում ընդհանուր լուծումը, ապա ուղարկիր ինձ այս երկու թվերի գործակիցը, որը ես ընտրել եմ փոքր, որպեսզի քեզ շատ չդժվարացնեմ։ Ձեր պատասխանը ստանալուց հետո մի քանի այլ բաներ կառաջարկեմ ձեզ։ Առանց հատուկ վերապահումների պարզ է, որ իմ առաջարկով պահանջվում է գտնել ամբողջ թվեր, քանի որ կոտորակային թվերի դեպքում ամենաաննշան թվաբանը կարող էր հասնել նպատակին։ Ֆերմատը հաճախ կրկնում էր իրեն՝ մի քանի անգամ ձևակերպելով նույն հարցերը և բացահայտ բլեֆ անում՝ պնդելով, որ առաջարկված խնդրի անսովոր էլեգանտ լուծում ունի։ Ուղղակի սխալներ չեն եղել։ Դրանցից մի քանիսը նկատել են ժամանակակիցները, իսկ որոշ ստոր հայտարարություններ դարեր շարունակ մոլորեցրել են ընթերցողներին:
Մերսենի շրջապատը համարժեք արձագանքեց. Միայն Ռոբերվիլը՝ շրջանակի միակ անդամը, ով խնդիրներ ուներ ծագման հետ, պահպանում է նամակների բարեկամական տոնը։ Լավ հովիվ Հայր Մերսենը փորձեց տրամաբանել «թուլուզյան լկտիների» հետ։ Բայց Ֆարմը մտադիր չէ արդարանալ. Դուք գրում եք ինձ, որ իմ անհնարին խնդիրների առաջադրումը զայրացրել և զովացրել է պարոնայք Սեն-Մարտենին և Ֆրենիկլին, և որ դա էր նրանց նամակների դադարեցման պատճառը։ Այնուամենայնիվ, ես ուզում եմ առարկել նրանց, որ այն, ինչ սկզբում անհնար է թվում, իրականում չկա, և որ կան բազմաթիվ խնդիրներ, որոնք, ինչպես Արքիմեդն է ասել...» և այլն:
Այնուամենայնիվ, Ֆարմը անազնիվ է: Հենց Ֆրենիկլին նա ուղարկեց ամբողջ թվով կողմերով ուղղանկյուն եռանկյունի գտնելու խնդիրը, որի մակերեսը հավասար է ամբողջ թվի քառակուսուն: Նա ուղարկեց, թեև գիտեր, որ խնդիրն ակնհայտորեն լուծում չունի։
Ֆերմայի նկատմամբ ամենաթշնամական դիրքորոշումն ընդունեց Դեկարտը։ Մերսենին ուղղված 1938թ.-ի իր նամակում կարդում ենք. «որովհետև ես իմացա, որ սա այն նույն մարդն է, ով նախկինում փորձել է հերքել իմ «Դիոպտրիկ»-ը, և քանի որ դուք ինձ տեղեկացրիք, որ նա այն ուղարկել է այն բանից հետո, երբ կարդացել է իմ «Երկրաչափությունը» և. զարմանալով, որ ես նույն բանը չգտա, այսինքն՝ (ինչպես մեկնաբանելու պատճառ ունեմ) ուղարկել եմ այն՝ նպատակ ունենալով մտնել մրցակցության մեջ և ցույց տալ, որ նա այդ մասին ավելին գիտի, քան ես, և քանի որ քո նամակներից շատերը ես. իմացա, որ նա շատ բանիմաց երկրաչափի համբավ ունի, ապա ես ինձ պարտավոր եմ համարում պատասխանել նրան։ Դեկարտը հետագայում հանդիսավոր կերպով կնշանակի իր պատասխանը որպես «Մաթեմատիկական փոքր դատավարություն պարոն Ֆերմայի դեմ»:
Հեշտ է հասկանալ, թե ինչն է վրդովեցրել ականավոր գիտնականին. Նախ, Ֆերմայի հիմնավորման մեջ անընդհատ հայտնվում են կոորդինատային առանցքները և թվերի ներկայացումը հատվածներով՝ սարք, որը Դեկարտը համակողմանիորեն զարգացնում է իր նոր հրատարակված «Երկրաչափություն»-ում։ Ֆերմատը գալիս է գծանկարը ինքնուրույն հաշվարկներով փոխարինելու գաղափարին, ինչ-որ առումով նույնիսկ ավելի հետևողական, քան Դեկարտը: Երկրորդ, Ֆերմատը փայլուն կերպով ցույց է տալիս մինիմումները գտնելու իր մեթոդի արդյունավետությունը լույսի ճառագայթի ամենակարճ ճանապարհի խնդրի օրինակով, զտելով և լրացնելով Դեկարտին իր «Դիոպտրիկով»:
Դեկարտի՝ որպես մտածողի և նորարարի արժանիքները հսկայական են, բայց եկեք բացենք ժամանակակից «Մաթեմատիկական հանրագիտարանը» և նայենք նրա անվան հետ կապված տերմինների ցանկին. օվալներ»: Նրա փաստարկներից ոչ մեկը պատմության մեջ չի մտել որպես Դեկարտի թեորեմ։ Դեկարտը հիմնականում գաղափարախոս է. նա փիլիսոփայական դպրոցի հիմնադիրն է, նա ձևավորում է հայեցակարգեր, բարելավում է տառերի նշանակումների համակարգը, բայց նրա ստեղծագործական ժառանգության մեջ քիչ են նոր հատուկ տեխնիկան: Ի հակադրություն, Պիեռ Ֆերմատը քիչ է գրում, բայց ցանկացած առիթով նա կարող է շատ սրամիտ մաթեմատիկական հնարքներ հորինել (տե՛ս նույն տեղում. «Ֆերմատի թեորեմ», «Ֆերմատի սկզբունք», «Ֆերմատի անսահման ծագման մեթոդ»)։ Նրանք, հավանաբար, միանգամայն իրավացիորեն նախանձում էին միմյանց։ Բախումն անխուսափելի էր. Մերսենի ճիզվիտական միջնորդությամբ պատերազմ սկսվեց, որը տևեց երկու տարի։ Այնուամենայնիվ, Մերսենն այստեղ ևս պատմության առաջ ճիշտ էր. երկու տիտանների միջև կատաղի պայքարը, նրանց լարված, մեղմ ասած, վեճը նպաստեցին հիմնական հասկացությունների ըմբռնմանը: մաթեմատիկական վերլուծություն.
Ֆերմատն առաջինն է, ով կորցնում է հետաքրքրությունը քննարկման նկատմամբ: Ըստ երևույթին, նա ուղղակիորեն խոսել է Դեկարտի հետ և այլևս երբեք չի վիրավորել իր հակառակորդին։ Իր վերջին աշխատություններից մեկում՝ «Սինթեզ բեկման համար», որի ձեռագիրը նա ուղարկեց դե լա Շաումբրային, Ֆերմատը բառ առ բառ նշում է «ամենաճանաչված Դեկարտին» և ամեն կերպ ընդգծում է իր առաջնահերթությունը օպտիկայի հարցերում։ Մինչդեռ հենց այս ձեռագիրն էր պարունակում հայտնի «Ֆերմատի սկզբունքի» նկարագրությունը, որը տալիս է լույսի անդրադարձման և բեկման օրենքների սպառիչ բացատրությունը։ Այս մակարդակի ստեղծագործության մեջ Դեկարտին ուղղված «քուրցին» բոլորովին ավելորդ էր:
Ինչ է պատահել? Ինչո՞ւ Ֆերմատը, մի կողմ դնելով հպարտությունը, գնաց հաշտության։ Կարդալով Ֆերմայի այդ տարիների (1638 - 1640 թթ.) նամակները՝ կարելի է ենթադրել ամենապարզը. այս ընթացքում նրա գիտական հետաքրքրությունները կտրուկ փոխվել են։ Նա հրաժարվում է մոդայիկ ցիկլոիդից, դադարում է հետաքրքրվել շոշափողներով և տարածքներով և երկար 20 տարի մոռանում է առավելագույնը գտնելու իր մեթոդի մասին։ Ունենալով մեծ արժանիքներ շարունակականի մաթեմատիկայի մեջ՝ Ֆերմատն ամբողջությամբ ընկղմվում է դիսկրետի մաթեմատիկայի մեջ՝ ատելի երկրաչափական գծագրերը թողնելով իր հակառակորդներին։ Թվերը նրա նոր կիրքն են: Փաստորեն, ամբողջ «Թվերի տեսությունը», որպես անկախ մաթեմատիկական դիսցիպլինա, իր ծնունդն ամբողջությամբ պարտական է Ֆերմայի կյանքին և գործունեությանը։
<…>Ֆերմատի մահից հետո նրա որդին՝ Սամուելը, 1670 թվականին հրատարակեց իր հորը պատկանող Թվաբանության օրինակը «Ալեքսանդրիական Դիոֆանտոսի թվաբանության վեց գիրք՝ Լ. Գ. Բաշեի մեկնաբանությամբ և Թուլուզի սենատոր Պ. դե Ֆերմատի դիտողություններով»։ Գրքում ներառված էին նաև Դեկարտի նամակներից մի քանիսը և Ժակ դը Բիգլիի «Նոր բացահայտում վերլուծության արվեստում» աշխատության ամբողջական տեքստը՝ հիմնված Ֆերմայի նամակների վրա։ Հրապարակումը անհավատալի հաջողություն ունեցավ։ Ապշած մասնագետների առաջ բացվեց աննախադեպ լուսավոր աշխարհ։ Ֆերմայի թվային տեսական արդյունքների անսպասելիությունը, և ամենակարևորը, մատչելիությունը, ժողովրդավարական լինելը բազմաթիվ նմանակումների տեղիք տվեց։ Այն ժամանակ քչերը հասկանում էին, թե ինչպես է հաշվարկվում պարաբոլայի մակերեսը, բայց յուրաքանչյուր ուսանող կարող էր հասկանալ Ֆերմայի վերջին թեորեմի ձևակերպումը: Իսկական որս սկսվեց գիտնականի անհայտ ու կորած նամակների համար։ Նախքան վերջ XVIIՎ. Նրա յուրաքանչյուր հայտնաբերված բառը տպագրվել և վերահրատարակվել է։ Բայց Ֆերմայի գաղափարների զարգացման բուռն պատմությունը դեռ նոր էր սկսվում։
Լև Վալենտինովիչ Ռուդին՝ «Պիեռ Ֆերմատը և նրա «անապացուցելի» թեորեմը» հոդվածի հեղինակը, կարդալով ժամանակակից մաթեմատիկայի 100 հանճարներից մեկի մասին հրապարակումը, ով Ֆերմայի թեորեմի լուծման շնորհիվ հանճար է կոչվել, առաջարկել է հրապարակել. իր այլընտրանքային կարծիքն այս թեմայով։ Ինչին պատրաստակամորեն արձագանքեցինք և առանց հապավումների հրապարակեցինք նրա հոդվածը։
Պիեռ դե Ֆերմատը և նրա «անապացուցելի» թեորեմը
Այս տարի լրանում է ֆրանսիացի մեծ մաթեմատիկոս Պիեռ դե Ֆերմայի ծննդյան 410-ամյակը։ Ակադեմիկոս Վ.Մ. Տիխոմիրովը Պ.Ֆերմատի մասին գրում է. «Միայն մեկ մաթեմատիկոս է պատվել այն փաստով, որ նրա անունը դարձել է հայտնի: Եթե ասում են «ֆերմատիստ», ապա խոսքն ինչ-որ անիրականանալի գաղափարով խելագարության աստիճանի տարված մարդու մասին է։ Բայց այս բառը չի կարելի վերագրել Պիեռ Ֆերմատին (1601-1665), որը Ֆրանսիայի ամենապայծառ ուղեղներից մեկն է, հենց ինքը։
Պ.Ֆերմատը զարմանալի ճակատագրի տեր մարդ է. աշխարհի մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը, նա «պրոֆեսիոնալ» մաթեմատիկոս չէր։ Ֆերմատը մասնագիտությամբ իրավաբան էր։ Նա ստացել է գերազանց կրթություն, եղել է արվեստի ու գրականության ականավոր գիտակ։ Ամբողջ կյանքում նա աշխատել է Հանրային ծառայություն, վերջին 17 տարիներին եղել է Թուլուզի խորհրդարանի խորհրդական։ Անշահախնդիր ու վեհ սերը նրան գրավեց դեպի մաթեմատիկա, և հենց այս գիտությունն էր նրան տվել այն ամենը, ինչ կարող է տալ մարդուն սերը՝ արբեցում գեղեցկությամբ, հաճույքով և երջանկությամբ:
Թղթերում և նամակագրություններում Ֆերմատը շատ գեղեցիկ հայտարարություններ է ձևակերպել, որոնց մասին գրել է, որ ունի դրանց ապացույցները։ Եվ աստիճանաբար ավելի ու ավելի քիչ էին նման չապացուցված հայտարարությունները և, վերջապես, մնաց միայն մեկը՝ նրա խորհրդավոր Մեծ թեորեմը։
Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկայով հետաքրքրվողների համար Ֆերմատի անունը շատ բան է խոսում՝ անկախ նրա Մեծ թեորեմից։ Նա իր ժամանակի ամենախորաթափանց մտքերից էր, համարվում է թվերի տեսության հիմնադիրը, նա հսկայական ներդրում է ունեցել անալիտիկ երկրաչափության, մաթեմատիկական վերլուծության զարգացման գործում։ Մենք երախտապարտ ենք Ֆերմատին՝ մեզ համար գեղեցկությամբ և առեղծվածով լի աշխարհ բացելու համար» (nature.web.ru:8001›db/msg.html…):
Տարօրինակ, սակայն, «երախտագիտություն». Մաթեմատիկական աշխարհը և լուսավոր մարդկությունը անտեսեցին Ֆերմայի 410-ամյակը: Ամեն ինչ, ինչպես միշտ, հանդարտ էր, խաղաղ, առօրյա... Չկային աղմուկ-աղաղակ, գովեստի խոսքեր, կենացներ։ Աշխարհի բոլոր մաթեմատիկոսներից միայն Ֆերմատն է «մեծարվել» այնքան բարձր պատվով, որ երբ օգտագործվում է «ֆերմատիստ» բառը, բոլորը հասկանում են, որ խոսքը կիսախոհի մասին է, որը «խելագարորեն տարված է անիրագործելի գաղափարով»։ գտնել Ֆերմայի թեորեմի կորած ապացույցը։
Դիոֆանտոսի գրքի լուսանցքում իր նկատառման մեջ Ֆերմասը գրել է. «Ես գտա իմ պնդումների իսկապես զարմանալի ապացույցը, բայց գրքի լուսանցքները չափազանց նեղ են այն տեղավորելու համար»: Ուրեմն դա «17-րդ դարի մաթեմատիկական հանճարի թուլության պահն էր»։ Այս հիմարը չի հասկացել, որ ինքը «սխալվել է», բայց, ամենայն հավանականությամբ, պարզապես «քցել է», «խորամանկ»։
Եթե Ֆերմատը պնդում էր, ուրեմն նա ապացույց ուներ։ Գիտելիքի մակարդակն ավելի բարձր չէր, քան ժամանակակից տասներորդ դասարանցին, բայց եթե ինչ-որ ինժեներ փորձում է գտնել այդ ապացույցը, ապա նրան ծաղրում են, անմեղսունակ հռչակում։ Եվ բոլորովին այլ հարց է, եթե ամերիկացի 10-ամյա տղան՝ Է. Ուայլսը, որպես նախնական վարկած ընդունի, որ Ֆերմատը չի կարող իրենից շատ ավելի շատ մաթեմատիկա իմանալ» և սկսի «ապացուցել» այս «անապացուցելի թեորեմը»։ Իհարկե, նման բանի ընդունակ է միայն «հանճարը»։
Պատահաբար հանդիպեցի մի կայքի (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), որտեղ Չիտայի պետական տեխնիկական համալսարանի ուսանող Կուշենկո Վ.Վ. գրում է Ֆերմատի մասին. «... Փոքրիկ Բոմոնտ քաղաքը և նրա բոլոր հինգ հազար բնակիչները չեն կարողանում գիտակցել, որ այստեղ է ծնվել մեծ Ֆերմատը, վերջին մաթեմատիկոս-ալքիմիկոսը, ով լուծեց գալիք դարերի պարապ խնդիրները, ամենահանգիստ դատական մանգաղը։ Խորամանկ սֆինքսը, ով խոշտանգում էր մարդկությանը իր հանելուկներով, զգուշավոր և առաքինի չինովնիկ, խարդախ, ինտրիգ, տնային մարդ, նախանձ մարդ, փայլուն կազմող, մաթեմատիկայի չորս տիտաններից մեկը… Ֆերմը գրեթե երբեք չհեռացավ Թուլուզից, որտեղ նա բնակություն հաստատեց խորհրդարանի խորհրդականի դստեր՝ Լուիզա դե Լոնգի հետ ամուսնանալուց հետո: Իր սկեսրայրի շնորհիվ նա բարձրացավ խորհրդականի աստիճանի և ձեռք բերեց բաղձալի «դե» նախածանցը։ Երրորդ կալվածքի որդին, հարուստ կաշվե աշխատողների գործնական սերունդը, լցոնված լատինական և ֆրանցիսկյան բարեպաշտությամբ, նա իր առջեւ մեծ խնդիրներ չի դրել իրական կյանքում ...
Իր բուռն տարիքում նա ապրում էր հիմնովին ու հանգիստ։ Նա չի գրել փիլիսոփայական տրակտատներ, ինչպես Դեկարտը, չի եղել ֆրանսիական թագավորների վստահությունը, ինչպես Վիետը, չի կռվել, չի ճանապարհորդել, չի ստեղծել մաթեմատիկական շրջանակներ, չի ունեցել ուսանողներ և չի տպագրվել իր կենդանության օրոք ... Պատմության մեջ որևէ տեղ գտնելու գիտակցված պահանջներ չունենալով՝ Ֆերմա մահանում է 1665 թվականի հունվարի 12-ին»։
Ես ցնցված էի, ցնցված... Իսկ ո՞վ է եղել առաջին «մաթեմատիկոս-ալքիմիկոսը»։ Որո՞նք են այս «գալիք դարերի պարապ գործերը»։ «Բյուրոկրատ, խարդախ, ինտրիգ, տնային մարդ, նախանձ մարդ» ... Ինչու՞ են այս կանաչ երիտասարդներն ու երիտասարդները այդքան արհամարհում, արհամարհում, ցինիզմ իրենցից 400 տարի առաջ ապրած մարդու նկատմամբ: Ի՞նչ հայհոյանք, բացահայտ անարդարություն։ Բայց չէ՞ որ երիտասարդներն իրենք են մտածել այս ամենի մասին։ Դրանք մտածել են մաթեմատիկոսները՝ «գիտությունների արքաները», այդ նույն «մարդկությունը», որին Ֆերմատի «խորամանկ սֆինքսը» «տանջել է իր հանելուկներով»։
Այնուամենայնիվ, Ֆերմատը չի կարող որևէ պատասխանատվություն կրել այն փաստի համար, որ ավելի քան երեք հարյուր տարի ամբարտավան, բայց միջակ հետնորդներն իրենց շչակները թակեցին նրա դպրոցական թեորեմի վրա։ Ստորացնելով, թքելով Ֆերմայի վրա՝ մաթեմատիկոսները փորձում են փրկել իրենց համազգեստի պատիվը։ Բայց վաղուց «պատիվ» չկա, նույնիսկ «համազգեստ» չկա՞։ Ֆերմայի երեխաների խնդիրը դարձել է աշխարհի մաթեմատիկոսների «ընտրյալ, քաջարի» բանակի ամենամեծ ամոթը։
«Գիտությունների արքաները» խայտառակվեցին այն փաստով, որ մաթեմատիկական «լուսավորների» յոթ սերունդ չկարողացավ ապացուցել դպրոցական թեորեմը, որն ապացուցել էին և՛ Պ.Ֆերմատը, և՛ արաբ մաթեմատիկոս ալ-Խուջանդին Ֆերմատից 700 տարի առաջ։ Նրանց խայտառակ էր նաև այն փաստը, որ նրանք իրենց սխալներն ընդունելու փոխարեն Պ.Ֆերմատին դատապարտեցին որպես խաբեբա և սկսեցին ուռճացնել նրա թեորեմի «անապացուցելիության» մասին առասպելը։ Մաթեմատիկոսներն էլ իրենց խայտառակել են նրանով, որ մի ամբողջ դար կատաղած հալածում են սիրողական մաթեմատիկոսներին՝ «փոքր եղբայրների գլխին ծեծելով»։ Այս հալածանքը դարձավ մաթեմատիկոսների ամենաամոթալի արարքը գիտական մտքի ողջ պատմության մեջ՝ Պյութագորասի կողմից Հիպասոնին խեղդելուց հետո: Նրանց խայտառակ էր նաև այն փաստը, որ Ֆերմայի թեորեմի «ապացույցի» քողի տակ նրանք լուսավոր մարդկությանը սայթաքեցին Է. Ուայլսի կասկածելի «ստեղծագործությունը», որը «չեն հասկանում» անգամ մաթեմատիկայի ամենավառ լուսատուները։
Պ.Ֆերմատի ծննդյան 410-ամյակը, անկասկած, բավականաչափ ուժեղ փաստարկ է մաթեմատիկոսների համար, որպեսզի վերջապես ուշքի գան և դադարեն ստվեր գցել պարսպի վրա և վերականգնել մեծ մաթեմատիկոսի բարի, ազնիվ անունը: Պ. Ֆերմատը «պատմության մեջ տեղ չգտավ գիտակից պահանջներ», բայց ինքն այս կամակոր և քմահաճ Լեդին գրկեց դա իր տարեգրության մեջ, բայց ծամած ծամոնի պես թքեց բազում նախանձախնդիր և նախանձախնդիր «դիմողների»։ Եվ դրա դեմ ոչինչ անել հնարավոր չէ, պարզապես նրա բազմաթիվ գեղեցիկ թեորեմներից մեկը պատմության մեջ ընդմիշտ մտավ Պ.Ֆերմատի անունը։
Բայց Ֆերմատի այս եզակի ստեղծագործությունը մի ամբողջ դար քշվել է գետնի տակ, օրենքից դուրս է հայտարարվել և դարձել է մաթեմատիկայի ողջ պատմության մեջ ամենաարհամարհելի ու ատելի առաջադրանքը: Բայց եկել է ժամանակը, որ մաթեմատիկայի այս «տգեղ բադիկը» վերածվի գեղեցիկ կարապի։ Ֆերմայի զարմանահրաշ հանելուկը վաստակել է իր իրավունքը՝ զբաղեցնելու իր արժանի տեղը մաթեմատիկական գիտելիքների գանձարանում, և աշխարհի բոլոր դպրոցներում՝ իր քրոջ՝ Պյութագորասի թեորեմի կողքին:
Նման յուրահատուկ, էլեգանտ խնդիրը պարզապես չի կարող չունենալ գեղեցիկ, էլեգանտ լուծումներ։ Եթե Պյութագորասի թեորեմն ունի 400 ապացույց, ապա թող Ֆերմայի թեորեմը սկզբում ունենա ընդամենը 4 պարզ ապացույց։ Նրանք են, կամաց-կամաց կշատանան։ Ես կարծում եմ, որ Պ.Ֆերմայի 410-ամյակը ամենահարմար առիթն է կամ առիթը, որպեսզի պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսները ուշքի գան և վերջապես դադարեցնեն սիրողականների այս անիմաստ, անհեթեթ, անհանգիստ և բացարձակապես անօգուտ «շրջափակումը»։
1 Մուրադ.
Zn = Xn + Yn հավասարությունը մենք համարեցինք Դիոֆանտոսի հավասարումը կամ Ֆերմայի մեծ թեորեմը, և սա (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn հավասարման լուծումն է։ Այնուհետև Zn =-(Xn + Yn) հավասարման լուծումն է (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn: Այս հավասարումները և լուծումները կապված են ամբողջ թվերի հատկությունների և դրանց վրա կատարվող գործողությունների հետ։ Այսպիսով, մենք չգիտենք ամբողջ թվերի հատկությունները: Նման սահմանափակ գիտելիքներով մենք չենք բացահայտի ճշմարտությունը:
Դիտարկենք Zn = +(Xn + Yn) և Zn =-(Xn + Yn) լուծումները, երբ n = 1: Ամբողջ թվերը + Z ձևավորվում են 10 թվանշաններով՝ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Նրանք բաժանվում են 2 ամբողջ թվերի +X - զույգ, վերջին աջ թվանշանները՝ 0, 2, 4, 6, 8 և +Y - կենտ, վերջին աջ թվանշանները՝ 1, 3, 5, 7, 9, t ։ ե. + X = + Y. Y = 5 - կենտ և X = 5 - զույգ թվերի թիվը Z = 10: Բավարարում է հավասարումը. (Z - X) X = (Z - Y) Y, և լուծումը + Z. = + X + Y= +(X + Y):
Ամբողջական -Z-ը բաղկացած է -X-ի միությունից զույգի և -Y կենտի համար և բավարարում է հավասարումը.
(Z + X) X = (Z + Y) Y, իսկ լուծումը -Z = - X - Y = - (X + Y):
Եթե Z/X = Y կամ Z / Y = X, ապա Z = XY; Z / -X = -Y կամ Z / -Y = -X, ապա Z = (-X) (-Y): Բաժանումը ստուգվում է բազմապատկմամբ։
Միանիշ դրական և բացասական թվերը բաղկացած են 5 կենտ և 5 կենտ թվերից։
Դիտարկենք n = 2 դեպքը: Այնուհետև Z2 = X2 + Y2 հավասարման լուծումն է (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 և Z2 = -(X2 + Y2) հավասարման լուծումն է (Z2 +): X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Մենք Z2 = X2 + Y2 համարեցինք Պյութագորասի թեորեմ, իսկ հետո Z2 = -(X2 + Y2) լուծումը նույն թեորեմն է։ Մենք գիտենք, որ քառակուսու անկյունագիծը այն բաժանում է 2 մասի, որտեղ անկյունագիծը հիպոթենուսն է։ Այնուհետև վավեր են հավասարումները՝ Z2 = X2 + Y2, և Z2 = -(X2 + Y2), որտեղ X և Y ոտքեր են: Եվ ավելի շատ լուծումներ R2 = X2 + Y2 և R2 =- (X2 + Y2) շրջանակներ են, կենտրոնները քառակուսի կոորդինատային համակարգի սկզբնաղբյուրն են և R շառավղով: Դրանք կարելի է գրել որպես (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2, որտեղ n-ը դրական և բացասական ամբողջ թվեր են և 3 հաջորդական թվեր: Լուծումներ են նաև 2-բիթանոց XY թվերը, որոնք սկսվում են 00-ից և ավարտվում 99-ով և կազմում են 102 = 10x10 և հաշվում են 1 դար = 100 տարի:
Դիտարկենք լուծումներ, երբ n = 3: Այնուհետև Z3 = X3 + Y3 հավասարման լուծումներն են (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3:
3-բիթանոց XYZ թվերը սկսվում են 000-ից և ավարտվում 999-ով և կազմում են 103 = 10x10x10 = 1000 տարի = 10 դար:
Նույն չափի ու գույնի 1000 խորանարդից կարելի է մոտ 10-ի ռուբիկ պատրաստել։Դիտարկենք +103=+1000 կարգի ռուբիկ՝ կարմիր և -103=-1000՝ կապույտ։ Դրանք բաղկացած են 103 = 1000 խորանարդից։ Եթե քայքայենք ու խորանարդները մի շարքով կամ իրար վրա դնենք, առանց բացերի, ստացվում է 2000 երկարությամբ հորիզոնական կամ ուղղահայաց հատված։ -21, և դուք չեք կարող դրան ավելացնել կամ հանել մեկ խորանարդ:
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ 1 է: Ավելացնել 1(մեկ) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21, իսկ արտադրյալները.
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321:
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210։
Այս գործողությունները կարող են իրականացվել 20-բիթանոց հաշվիչների վրա:
Հայտնի է, որ +(n3 - n) միշտ բաժանվում է +6-ի, իսկ - (n3 - n)-ը բաժանվում է -6-ի։ Մենք գիտենք, որ n3 - n = (n-1)n(n+1): Սա 3 հաջորդական թիվ է (n-1)n(n+1), որտեղ n-ը զույգ է, ապա բաժանվում է 2-ի, (n-1) և (n+1) կենտ, բաժանվում է 3-ի: Այնուհետև (n-1) n(n+1) միշտ բաժանվում է 6-ի: Եթե n=0, ապա (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, ապա (n-1) n (n+1)=(19)(20)(21):
Մենք գիտենք, որ 19 x 19 = 361: Սա նշանակում է, որ մեկ քառակուսին շրջապատված է 360 քառակուսիներով, իսկ հետո մեկ խորանարդը շրջապատված է 360 խորանարդով: Հավասարությունը կատարվում է՝ 6 n - 1 + 6n։ Եթե n=60, ապա 360 - 1 + 360, և n=61, ապա 366 - 1 + 366:
Վերոնշյալ հայտարարություններից բխում են հետևյալ ընդհանրացումները.
n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n(n) +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1):
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n) +1)2.
Եթե 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Ցանկացած ամբողջ թիվ n 10-ի ուժ է, ունի՝ – n և +n, +1/ n և -1/ n, կենտ և զույգ.
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n:
Հասկանալի է, որ եթե իրեն ավելացվի որևէ ամբողջ թիվ, ապա այն կավելանա 2 անգամ, և արտադրյալը կլինի քառակուսի. X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Սա համարվեց Վիետայի թեորեմը՝ սխալ։
Եթե տրված թվին գումարենք և հանենք b թիվը, ապա գումարը չի փոխվում, այլ արտադրյալը փոխվում է, օրինակ.
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2:
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b:
Եթե a և b տառերի փոխարեն ամբողջ թվեր դնենք, ապա կստանանք պարադոքսներ, անհեթեթություններ և անվստահություն մաթեմատիկայի նկատմամբ։
(Սոկրատես, հին հույն փիլիսոփա)
ՈՉ ՈՔԻ տրված չէ համընդհանուր մտքին տիրապետելու և ԱՄԵՆ ԻՆՉԻ իմանալու համար։ Այնուամենայնիվ, գիտնականների մեծ մասը և նույնիսկ նրանք, ովքեր պարզապես սիրում են մտածել և ուսումնասիրել, միշտ ցանկություն ունեն ավելին իմանալու, առեղծվածները լուծելու: Բայց մարդկության մեջ դեռ չլուծված թեմաներ կա՞ն։ Ի վերջո, թվում է, թե ամեն ինչ արդեն պարզ է, և պետք է պարզապես կիրառել դարերի ընթացքում ձեռք բերված գիտելիքները։
Մի հուսահատվեք! Դեռևս կան չլուծված խնդիրներ մաթեմատիկայի, տրամաբանության ոլորտից, որոնք 2000 թվականին Քեմբրիջի (Մասաչուսեթս, ԱՄՆ) Clay մաթեմատիկական ինստիտուտի փորձագետները միավորել են այսպես կոչված հազարամյակի 7 առեղծվածների ցանկում (Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներ): Այս խնդիրները հուզում են ողջ մոլորակի գիտնականներին։ Այդ պահից մինչ օրս յուրաքանչյուրը կարող է պնդել, որ գտել է խնդիրներից մեկի լուծումը, ապացուցել վարկածը և մրցանակ ստանալ բոստոնցի միլիարդատեր Լենդոն Քլեյից (որի անունով է կոչվել ինստիտուտը)։ Այդ նպատակով նա արդեն 7 միլիոն դոլար է հատկացրել։ Իմիջայլոց, Այսօր խնդիրներից մեկն արդեն լուծված է.
Այսպիսով, պատրա՞ստ եք սովորել մաթեմատիկական հանելուկներ:
Նավիեր-Սթոքսի հավասարումներ (ձևակերպված 1822 թ.)
Ոլորտ՝ հիդրոաերոդինամիկաԱնհանգիստ, օդի և հեղուկի հոսքերի հավասարումները հայտնի են որպես Նավիեր-Սթոքսի հավասարումներ։ Եթե, օրինակ, լճի վրա լողում եք ինչ-որ բանի վրա, ապա ձեր շուրջը անխուսափելիորեն ալիքներ կբարձրանան։ Սա վերաբերում է նաև օդային տարածքին. ինքնաթիռով թռչելիս օդում նույնպես տուրբուլենտ հոսքեր կառաջանան։
Այս հավասարումները պարզապես արտադրում են մածուցիկ հեղուկի շարժման գործընթացների նկարագրությունըև բոլոր հիդրոդինամիկայի հիմնական խնդիրն է: Որոշ կոնկրետ դեպքերի համար արդեն գտնվել են լուծումներ, որոնցում հավասարումների մասերը հանվում են, քանի որ չեն ազդում վերջնական արդյունքի վրա, բայց ընդհանուր առմամբ, այս հավասարումների լուծումները չեն գտնվել:
Անհրաժեշտ է գտնել հավասարումների լուծում և բացահայտել հարթ գործառույթները:
Ռիմանի վարկածը (ձևակերպվել է 1859 թ.)
Ոլորտ՝ թվերի տեսությունՀայտնի է, որ պարզ թվերի բաշխումը (որոնք բաժանվում են միայն իրենց վրա և մեկով. 2,3,5,7,11…) բոլոր բնական թվերի միջև. չի հետևում որևէ օրինաչափության.
Այս խնդրի մասին մտածեց գերմանացի մաթեմատիկոս Ռիմանը, ով արեց իր ենթադրությունը՝ տեսականորեն պարզ թվերի գոյություն ունեցող հաջորդականության հատկությունների վերաբերյալ։ Այսպես կոչված զույգ պարզ թվերը վաղուց հայտնի են՝ զույգ պարզ թվեր, որոնց միջև տարբերությունը 2-ն է, օրինակ՝ 11-ը և 13-ը, 29-ը և 31-ը, 59-ը և 61-ը: Երբեմն դրանք կազմում են ամբողջ կլաստերներ, օրինակ՝ 101, 103: , 107, 109 և 113։
Եթե հայտնաբերվեն նման կուտակումներ և ստացվի որոշակի ալգորիթմ, դա կհանգեցնի գաղտնագրման ոլորտում մեր գիտելիքների հեղափոխական փոփոխության և ինտերնետի անվտանգության ոլորտում աննախադեպ բեկման։
Poincare-ի խնդիրը (ձևակերպվել է 1904 թ., Լուծվել է 2002 թ.)
Ոլորտ՝ բազմաչափ տարածությունների տոպոլոգիա կամ երկրաչափությունԽնդիրի էությունը տոպոլոգիայի մեջ է և կայանում է նրանում, որ եթե ռետինե ժապավենը ձգեք, օրինակ, խնձորի (գնդիկի) վրա, ապա տեսականորեն հնարավոր կլինի այն սեղմել մինչև մի կետ, կամաց-կամաց շարժելով ժապավենը առանց հեռացնելով այն մակերեսից: Այնուամենայնիվ, եթե նույն ժապավենը քաշվում է բլիթի (տորուսի) շուրջը, ապա հնարավոր չէ սեղմել ժապավենը առանց ժապավենը կոտրելու կամ բուն բլիթը կոտրելու: Նրանք. Գնդի ամբողջ մակերեսը պարզապես միացված է, մինչդեռ տորուսինը` ոչ. Խնդիրն էր ապացուցել, որ միայն ոլորտն է ուղղակի կապված։
Լենինգրադի երկրաչափական դպրոցի ներկայացուցիչ Գրիգորի Յակովլևիչ ՊերելմանՊուանկարեի խնդրի լուծման համար Clay Institute of Mathematics Millennium Prize (2010 թ.) ստացած է։ Նա հրաժարվեց հայտնի Ֆիլդսի մրցանակից։
Հոջի վարկածը (ձևակերպվել է 1941 թ.)
Ոլորտ՝ հանրահաշվական երկրաչափությունԻրականում կան շատ պարզ և շատ ավելի բարդ երկրաչափական առարկաներ: Որքան բարդ է օբյեկտը, այնքան ավելի դժվար է այն ուսումնասիրելը: Այժմ գիտնականները հորինել և օգտագործում են հզոր և հիմնական մոտեցում, որը հիմնված է մեկ ամբողջության մասերի («աղյուսների») օգտագործման վրա՝ այս օբյեկտն ուսումնասիրելու համար, որպես օրինակ՝ կոնստրուկտոր: Իմանալով «աղյուսների» հատկությունները՝ հնարավոր է դառնում մոտենալ հենց օբյեկտի հատկություններին։Հոջի վարկածն այս դեպքում կապված է ինչպես «աղյուսների», այնպես էլ առարկաների որոշ հատկությունների հետ։
Սա շատ լուրջ խնդիր է հանրահաշվական երկրաչափության մեջ՝ պարզ «աղյուսների» օգնությամբ բարդ առարկաները վերլուծելու ճշգրիտ ուղիներ և մեթոդներ գտնել։
Յանգ-Միլսի հավասարումներ (ձևակերպված 1954 թ.)
Ոլորտ՝ երկրաչափություն և քվանտային ֆիզիկաՖիզիկոսներ Յանգը և Միլսը նկարագրում են տարրական մասնիկների աշխարհը։ Նրանք, բացահայտելով երկրաչափության և տարրական մասնիկների ֆիզիկայի կապը, գրեցին իրենց սեփական հավասարումները քվանտային ֆիզիկայի ոլորտում։ Դրանով իսկ գտնվել է էլեկտրամագնիսական, թույլ և ուժեղ փոխազդեցությունների տեսությունները միավորելու միջոց։
Միկրոմասնիկների մակարդակում առաջանում է «տհաճ» էֆեկտ. եթե մի մասնիկի վրա միանգամից գործում են մի քանի դաշտեր, դրանց համակցված ազդեցությունն այլևս չի կարող քայքայվել դրանցից յուրաքանչյուրի գործողության առանձին։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ այս տեսության մեջ ոչ միայն նյութի մասնիկները ձգվում են միմյանց, այլև իրենք իրենց. ուժային գծերդաշտերը.
Թեև Յանգ-Միլսի հավասարումները ընդունված են աշխարհի բոլոր ֆիզիկոսների կողմից, սակայն տարրական մասնիկների զանգվածի կանխատեսման տեսությունը փորձարարականորեն ապացուցված չէ։
Բիրչի և Սվիներթոն-Դայերի վարկածը (ձևակերպվել է 1960 թ.)
Ոլորտ՝ հանրահաշիվ և թվերի տեսությունՎարկած կապված էլիպսային կորերի հավասարումների և դրանց ռացիոնալ լուծումների բազմության հետ. Ֆերմատի թեորեմի ապացույցում էլիպսային կորերը վերցրել են մեկը կարևոր վայրեր. Իսկ գաղտնագրության մեջ դրանք ինքնին կազմում են անվանման մի ամբողջ հատված, և դրանց վրա հիմնված են ռուսական թվային ստորագրության որոշ ստանդարտներ։
Խնդիրն այն է, որ դուք պետք է նկարագրեք ԲՈԼՈՐ լուծումները հանրահաշվական հավասարումների x, y, z ամբողջ թվերով, այսինքն՝ մի քանի փոփոխականների հավասարումներ՝ ամբողջ թվային գործակիցներով։
Կուկի խնդիրը (ձևակերպվել է 1971 թ.)
Ոլորտ՝ մաթեմատիկական տրամաբանություն և կիբեռնետիկաԱյն նաև կոչվում է «P և NP դասերի հավասարություն», և դա ալգորիթմների տեսության, տրամաբանության և համակարգչային գիտության ամենակարևոր խնդիրներից է։
Կարո՞ղ է խնդրի լուծման ճիշտությունը ստուգելու գործընթացը տևել ավելի երկար, քան այդ խնդրի լուծման վրա ծախսված ժամանակը:(անկախ ստուգման ալգորիթմից):
Նույն խնդրի լուծումը երբեմն տարբեր ժամանակ է պահանջում, եթե փոխեք պայմաններն ու ալգորիթմները։ Օրինակ՝ մեծ ընկերությունում դուք ընկեր եք փնտրում։ Եթե գիտեք, որ նա նստած է մի անկյունում կամ սեղանի մոտ, ապա նրան տեսնելու համար ձեզնից մի վայրկյան կպահանջվի։ Բայց եթե չգիտեք, թե կոնկրետ որտեղ է գտնվում առարկան, ապա ավելի շատ ժամանակ հատկացրեք այն փնտրելուն՝ շրջանցելով բոլոր հյուրերին։
Հիմնական հարցն այն է, թե արդյոք բոլոր խնդիրները, որոնք կարելի է հեշտությամբ և արագ ստուգել, կարելի՞ է հեշտությամբ և արագ լուծել:
Մաթեմատիկան, ինչպես շատերին կարող է թվալ, այնքան էլ հեռու չէ իրականությունից։ Դա այն մեխանիզմն է, որով կարելի է նկարագրել մեր աշխարհը և բազմաթիվ երևույթներ։ Մաթեմատիկան ամենուր է։ Իսկ Վ.Օ.-ն ճիշտ էր. Կլյուչևսկին, ով ասաց. «Ծաղիկները մեղավոր չեն, որ կույրերը չեն տեսնում դրանք».
