موضوع درس «مجموعه مقادیر تابع در مسائل USE است. یافتن مجموعه مقادیر تابع مجموعه مقادیر تابع y 4 x

امروز در درس به یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات می پردازیم - مفهوم تابع. بیایید نگاهی دقیق‌تر به یکی از ویژگی‌های یک تابع - مجموعه مقادیر آن بیندازیم.

در طول کلاس ها

معلم. هنگام حل مسائل، متوجه می شویم که گاهی اوقات دقیقاً یافتن مجموعه مقادیر یک تابع است که ما را در موقعیت های دشوار قرار می دهد. چرا؟ به نظر می رسد که با مطالعه عملکرد از کلاس هفتم، چیزهای زیادی در مورد آن می دانیم. بنابراین، ما دلایل زیادی برای انجام یک حرکت پیشگیرانه داریم. بیایید امروز با مقادیر زیادی تابع "بازی" کنیم تا بسیاری از سوالات مربوط به این موضوع را در امتحان آینده حل کنیم.

مجموعه ای از مقادیر توابع ابتدایی

معلم. برای شروع، لازم است نمودارها، معادلات و مجموعه مقادیر توابع ابتدایی اساسی در کل دامنه تعریف تکرار شوند.

نمودارهای توابع بر روی صفحه نمایش داده می شوند: خطی، درجه دوم، کسری-گویا، مثلثاتی، نمایی و لگاریتمی، برای هر یک از آنها مجموعه ای از مقادیر به صورت شفاهی تعیین می شود. به این نکته توجه کنید که تابع خطی E(f) = آریا یک عدد، برای کسری خطی

این الفبای ماست با افزودن دانش خود در مورد تبدیل گراف: ترجمه موازی، کشش، فشرده سازی، بازتاب، می توانیم مسائل قسمت اول را حل کنیم. استفاده و حتی کمی سخت تر. بگذار چک کنیم.

کار مستقل

در کلمات وظیفه و سیستم مختصات چاپ شده برای هر دانش آموز.

1. مجموعه مقادیر تابع را در کل دامنه تعریف پیدا کنید:

آ) y= 3 گناه ایکس ;
ب) y = 7 – 2 ایکس ;
V) y= -arccos( ایکس + 5):
ز) y= | arctg ایکس |;
ه)

2. مجموعه مقادیر تابع را بیابید y = ایکس 2 در بین جی، اگر:

آ) جی = ;
ب) جی = [–1; 5).

3. یک تابع را به صورت تحلیلی (با یک معادله) تعریف کنید اگر مجموعه مقادیر آن:

1) E(f(ایکس)) = (–∞ ؛ 2] و f(ایکس) - تابع

یک مربع
ب) لگاریتمی،
ج) نمایشی؛

2) E(f(ایکس)) = آر \{7}.

هنگام بحث در مورد یک کار 2کار مستقل، توجه دانش آموزان را به این واقعیت جلب کنید که در صورت یکنواختی و تداوم تابع y=f(ایکس)در یک بازه زمانی معین[آ;ب],مجموعه معانی آن-فاصله,که انتهای آن مقادیر f است(آ)و f(ب).

گزینه های مربوط به کار را پاسخ دهید 3.

1.
آ) y = –ایکس 2 + 2 , y = –(ایکس + 18) 2 + 2,
y= آ(ایکس – ایکسج) 2 + 2 در آ < 0.

ب) y= -| ثبت 8 ایکس | + 2,

V) y = –| 3 ایکس – 7 | + 2, y = –5 | ایکس | + 3.

2.
الف) ب)

V) y = 12 – 5ایکس، جایی که ایکس ≠ 1 .

یافتن مجموعه مقادیر یک تابع با استفاده از مشتق

معلم. در کلاس دهم با الگوریتم یافتن منتهی الیه تابع پیوسته روی یک قطعه و یافتن مجموعه مقادیر آن بدون تکیه بر نمودار تابع آشنا شدیم. یادت هست چگونه این کار را انجام دادیم؟ ( با کمک مشتق.) بیایید این الگوریتم را یادآوری کنیم .

1. از عملکرد مطمئن شوید y = f(ایکس) در بازه تعریف شده و پیوسته است جی = [آ; ب]. 2. مقادیر تابع را در انتهای بخش پیدا کنید: f(a) و f(b). اظهار نظر. اگر بدانیم یک تابع پیوسته و یکنواخت است جی، سپس می توانید بلافاصله پاسخ دهید: E(f) = [f(آ); f(ب)] یا E(f) = [f(ب); f(آ)]. 3. مشتق و سپس نقاط بحرانی را بیابید x kجی. 4. مقادیر تابع را در نقاط بحرانی پیدا کنید f(x k). 5. مقادیر تابع را با هم مقایسه کنید f(آ), f(ب) و f(x k، بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع را انتخاب کرده و پاسخ دهید: E(f)= [fاستخدام؛ fنایب].

مشکلات برای کاربرد این الگوریتم در یافت می شود از گزینه های استفاده کنید. به عنوان مثال، در سال 2008 چنین کاری پیشنهاد شد. باید حلش کنی خانه ها .

وظیفه C1.بزرگترین مقدار یک تابع را بیابید

f(ایکس) = (0,5ایکس + 1) 4 – 50(0,5ایکس + 1) 2

در | ایکس + 1| ≤ 3.

شرایط تکلیف برای هر دانش آموز چاپ شده است .

یافتن مجموعه مقادیر یک تابع پیچیده

معلم. بخش اصلی درس ما وظایف غیر استاندارد حاوی توابع پیچیده است که مشتقات آنها عبارات بسیار پیچیده هستند. و نمودار این توابع برای ما ناشناخته است. بنابراین، برای حل، از تعریف تابع مختلط، یعنی وابستگی بین متغیرها به ترتیب قرار گرفتن آنها در این تابع و ارزیابی محدوده آنها (فاصله تغییر مقادیر آنها) استفاده خواهیم کرد. مشکلات از این نوع در قسمت دوم امتحان یافت می شود. بیایید به مثال ها بپردازیم.

تمرین 1.برای توابع y = f(ایکس) و y = g(ایکس) یک تابع پیچیده بنویسید y = f(g(ایکس)) و مجموعه مقادیر آن را پیدا کنید:

آ) f(ایکس) = –ایکس 2 + 2ایکس + 3, g(ایکس) = گناه ایکس;
ب) f(ایکس) = –ایکس 2 + 2ایکس + 3, g(ایکس) = log 7 ایکس;
V) g(ایکس) = ایکس 2 + 1;
ز)

راه حل.الف) یک تابع پیچیده به شکل زیر است: y= -سین 2 ایکس+2سین ایکس + 3.

معرفی یک استدلال میانی تی، می توانیم این تابع را به صورت زیر بنویسیم:

y= –تی 2 + 2تی+ 3، کجا تی= گناه ایکس.

در عملکرد درونی تی= گناه ایکسآرگومان هر مقداری را می گیرد و مجموعه مقادیر آن بخش [–1; 1].

بنابراین برای عملکرد بیرونی y = –تی 2 +2تی+ 3 فاصله تغییر مقادیر آرگومان آن را آموخته ایم تی: تی[-1; 1]. بیایید به نمودار تابع نگاه کنیم y = –تی 2 +2تی + 3.

توجه داشته باشید که تابع درجه دوم برای تی[-1; 1] کوچکترین و بزرگترین مقادیر را در انتهای خود می گیرد: yاستخدام = y(–1) = 0 و yنایب = y(1) = 4. و از آنجایی که این تابع در بازه [–1; 1]، سپس تمام مقادیر بین آنها را نیز می گیرد.

پاسخ: y .

ب) ترکیب این توابع ما را به یک تابع پیچیده هدایت می کند که پس از معرفی یک آرگومان میانی، می توان آن را به صورت زیر نمایش داد:

y= –تی 2 + 2تی+ 3، کجا تی= لاگ 7 ایکس,

تابع تی= لاگ 7 ایکس

ایکس (0; +∞ ), تی (–∞ ; +∞ ).

تابع y = –تی 2 + 2تیآرگومان + 3 (نمودار را ببینید). تیهر مقداری را می گیرد و خود تابع درجه دوم همه مقادیر را بیشتر از 4 نمی گیرد.

پاسخ: y (–∞ ; 4].

ج) تابع مختلط به شکل زیر است:

با معرفی یک استدلال میانی، دریافت می کنیم:

جایی که تی = ایکس 2 + 1.

از آنجایی که برای عملکرد درونی ایکس آر ، آ تی .

پاسخ: y (0; 3].

د) ترکیب این دو تابع یک تابع پیچیده به ما می دهد

که می تواند به صورت نوشته شود

توجه کنید که

بنابراین، در

جایی که ک ز , تی [–1; 0) (0; 1].

رسم نمودار یک تابع ما می بینیم که برای این ارزش ها تی

y(–∞ ; –4] c ;

ب) در کل دامنه تعریف.

راه حل.ابتدا این تابع را از نظر یکنواختی بررسی می کنیم. تابع تی= arcctg ایکس- پیوسته و در حال کاهش است آر و مجموعه مقادیر آن (0؛ π). تابع y= ثبت 5 تیبر روی بازه (0؛ π) تعریف می شود، پیوسته است و روی آن افزایش می یابد. این بدان معنی است که این تابع پیچیده در مجموعه در حال کاهش است آر . و به عنوان ترکیبی از دو تابع پیوسته، پیوسته خواهد بود آر .

بیایید مشکل "الف" را حل کنیم.

از آنجایی که تابع در کل خط اعداد پیوسته است، در هر قسمت از آن، به ویژه، در یک قطعه معین پیوسته است. و سپس در این بخش کوچکترین و بزرگترین مقادیر را دارد و تمام مقادیر بین آنها را می گیرد:

f(4) = log 5 arcctg 4.

کدام یک از مقادیر به دست آمده بیشتر است؟ چرا؟ و مجموعه ارزش ها چه خواهد بود؟

پاسخ:

بیایید مشکل "ب" را حل کنیم.

پاسخ: در(–∞؛ log 5 π) در سراسر حوزه تعریف

کار با پارامتر

حالا بیایید سعی کنیم یک معادله ساده را با پارامتری از فرم بسازیم و حل کنیم f(ایکس) = آ، جایی که f(ایکس) - عملکرد مشابه در وظیفه 4.

وظیفه 5.تعداد ریشه های معادله log 5 را تعیین کنید (arcctg ایکس) = آبرای هر مقدار پارامتر آ.

راه حل.همانطور که قبلاً در کار 4 نشان دادیم، تابع در= log 5 (arctg ایکس) رو به کاهش و پیوسته است آر و مقادیر کمتر از log 5 π را می گیرد. این اطلاعات برای پاسخ کافی است.

پاسخ:اگر آ < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

اگر آ≥ log 5 π، پس هیچ ریشه ای وجود ندارد.

معلم. امروز مشکلات مربوط به یافتن مجموعه مقادیر تابع را در نظر گرفته ایم. در این مسیر، ما یک روش جدید برای حل معادلات و نابرابری ها کشف کردیم - روش تخمین، بنابراین یافتن مجموعه مقادیر یک تابع به وسیله ای برای حل مسائل سطح بالاتر تبدیل شده است. در همان زمان، دیدیم که چگونه چنین مسائلی ساخته می شوند و چگونه ویژگی های یکنواختی یک تابع حل آنها را تسهیل می کند.

و من می خواهم امیدوار باشم که منطقی که وظایف مورد نظر امروز را به هم مرتبط می کند، شما را شگفت زده کرده یا حداقل شما را شگفت زده کرده است. غیر از این نمی تواند باشد: صعود به یک قله جدید هیچ کس را بی تفاوت نمی گذارد! ما متوجه نقاشی‌ها، مجسمه‌های زیبا و غیره می‌شویم. اما ریاضیات نیز زیبایی، جذاب و جادوگر خاص خود را دارد - زیبایی منطق. ریاضیدانان این را می گویند راه حل خوب- این معمولا راه حل صحیحو این فقط یک عبارت نیست. حالا شما خودتان باید چنین راه حل هایی را پیدا کنید و ما امروز یکی از راه های رسیدن به آنها را نشان داده ایم. موفق باشی! و به یاد داشته باشید: جاده توسط کسی که قدم می‌زند تسلط پیدا می‌کند!

تابع مدل است. بیایید X را به عنوان مجموعه ای از مقادیر یک متغیر مستقل تعریف کنیم // مستقل یعنی هر.

تابع قاعده ای است که به موجب آن برای هر مقدار متغیر مستقل از مجموعه X می توان تنها مقدار متغیر وابسته را پیدا کرد. // یعنی برای هر x یک y وجود دارد.

از تعریف بر می آید که دو مفهوم وجود دارد - یک متغیر مستقل (که با x نشان می دهیم و می تواند هر مقداری را بگیرد) و یک متغیر وابسته (که با y یا f (x) نشان می دهیم و وقتی x را جایگزین می کنیم از تابع محاسبه می شود.

برای مثال y=5+x

1. مستقل x است، بنابراین هر مقدار را می گیریم، اجازه دهید x = 3 باشد

2. و اکنون y را محاسبه می کنیم ، بنابراین y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y وابسته به x است، زیرا هر x را جایگزین کنیم، چنین y را دریافت می کنیم)

می گوییم که متغیر y از نظر عملکردی به متغیر x وابسته است و به صورت زیر نشان داده می شود: y = f (x).

مثلا.

1.y=1/x. (به نام هایپربولی)

2. y=x^2. (به نام سهمی)

3.y=3x+7. (به نام خط مستقیم)

4. y \u003d √ x. (به نام شاخه سهمی)

متغیر مستقل (که آن را با x نشان می دهیم) آرگومان تابع نامیده می شود.

محدوده عملکرد

مجموعه تمام مقادیری که یک آرگومان تابع می گیرد، دامنه تابع نامیده می شود و با D(f) یا D(y) نشان داده می شود.

D(y) را برای 1.،2.3.4 در نظر بگیرید.

1. D (y)= (∞; 0) و (0;+∞) //کل مجموعه اعداد حقیقی به جز صفر.

2. D (y) \u003d (∞؛ +∞) / / همه اعداد واقعی

3. D (y) \u003d (∞؛ +∞) / / همه اعداد واقعی بسیاری

4. D (y) \u003d. بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را در این بخش پیدا کنید.

مشتق برای همه مثبت است ایکساز فاصله (-1; 1) ، یعنی تابع آرکسین در کل دامنه تعریف افزایش می یابد. بنابراین، کمترین مقدار را در می گیرد x=-1، و بزرگترین در x=1.

ما محدوده تابع آرکسین را دریافت کردیم .

مجموعه مقادیر تابع را پیدا کنید در بخش .

راه حل.

بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را در بخش داده شده پیدا کنید.

اجازه دهید نقاط انتهایی متعلق به بخش را تعیین کنیم :

وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر نامیده می شود وابستگی عملکردیوابستگی متغیر yاز یک متغیر ایکستماس گرفت تابع، اگر هر مقدار ایکسبا یک مقدار منطبق است y.

تعیین:

متغیر ایکسمتغیر مستقل یا نامیده می شود بحث و جدل، و متغیر y- وابسته آنها گفتند که yتابعی از ایکس. معنی yمطابق با مقدار داده شده ایکس، تماس گرفت مقدار تابع.

تمام ارزش هایی که می گیرد ایکس، فرم محدوده عملکرد; تمام مقادیری که می گیرد y، فرم مجموعه ای از مقادیر تابع.

نامگذاری ها:

D(f)- مقادیر آرگومان E(f)- مقادیر تابع اگر تابع با فرمول داده شود، در نظر گرفته می شود که دامنه تعریف شامل تمام مقادیر متغیری است که این فرمول برای آن معنا دارد.

نمودار تابعمجموعه تمام نقاط در صفحه مختصات نامیده می شود که ابسیساهای آنها برابر با مقادیر آرگومان و مختصات برابر با مقادیر مربوط به تابع است. اگر مقداری ارزش داشته باشد x=x0تطبیق چندین مقدار (نه فقط یک) y، پس چنین مکاتباتی یک تابع نیست. برای اینکه مجموعه نقاط صفحه مختصات نموداری از یک تابع باشد، لازم و کافی است که هر خط مستقیم موازی با محور Oy در بیش از یک نقطه با نمودار قطع شود.

راه های تنظیم یک تابع

1) عملکرد را می توان تنظیم کرد به صورت تحلیلیدر قالب یک فرمول مثلا،

2) تابع را می توان با یک جدول از چندین جفت تعریف کرد (x; y).

3) تابع را می توان به صورت گرافیکی تنظیم کرد. جفت ارزش (x; y)در صفحه مختصات نمایش داده می شود.

یکنواختی عملکرد

تابع f(x)تماس گرفت افزایش می یابددر یک بازه عددی معین، اگر مقدار بزرگتری از آرگومان با مقدار بزرگتری از تابع مطابقت داشته باشد. تصور کنید که نقطه خاصی در طول نمودار از چپ به راست حرکت می کند. سپس نقطه به نوعی "صعود" به نمودار خواهد شد.

تابع f(x)تماس گرفت رو به زوالدر یک بازه عددی معین، اگر مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار کوچکتر تابع مطابقت داشته باشد. تصور کنید که نقطه خاصی در طول نمودار از چپ به راست حرکت می کند. سپس نقطه، همانطور که بود، به پایین نمودار "غلط" می کند.

تابعی که در یک بازه عددی معین فقط در حال افزایش یا کاهش باشد نامیده می شود یکنواختدر این فاصله

تابع صفر و فواصل ثبات

ارزش های ایکس، که در آن y=0، نامیده میشود تابع صفر. اینها ابسیساهای نقاط تقاطع نمودار تابع با محور x هستند.

چنین محدوده ای از ارزش ها ایکس، که بر روی آن مقادیر تابع است yیا فقط مثبت یا فقط منفی نامیده می شوند فواصل ثبات علامت تابع

توابع زوج و فرد

حتی عملکرد
1) دامنه تعریف با توجه به نقطه (0; 0) متقارن است، یعنی اگر نقطه آمتعلق به حوزه تعریف است، سپس نقطه -آهمچنین به حوزه تعریف تعلق دارد.
2) برای هر ارزش ایکس f(-x)=f(x)
3) نمودار یک تابع زوج نسبت به محور Oy متقارن است.

تابع فرددارای خواص زیر است:
1) دامنه تعریف با توجه به نقطه (0؛ 0) متقارن است.
2) برای هر مقدار ایکس، که متعلق به حوزه تعریف، برابری است f(-x)=-f(x)
3) نمودار یک تابع فرد با توجه به مبدا متقارن است (0؛ 0).

هر تابعی زوج یا فرد نیست. کارکرد نمای کلینه زوج هستند و نه فرد

توابع دوره ای

تابع fاگر عددی وجود داشته باشد که برای هر یک وجود داشته باشد دوره ای نامیده می شود ایکساز حوزه تعریف برابری f(x)=f(x-T)=f(x+T). تیدوره عملکرد است.

هر تابع تناوبی بی نهایت دوره دارد. در عمل معمولاً کوچکترین دوره مثبت در نظر گرفته می شود.

مقادیر تابع تناوبی پس از فاصله ای برابر با دوره تکرار می شوند. این در هنگام رسم نمودار استفاده می شود.

صفحه 1
درس 3

"محدوده عملکرد"
اهداف: - کاربرد مفهوم دامنه مقادیر برای حل یک مشکل خاص.

حل مشکلات معمولی

برای چندین سال، مشکلاتی به طور منظم در امتحانات ظاهر می شود که در آن لازم است از یک خانواده معین از توابع، مواردی را انتخاب کنید که مجموعه مقادیر آنها شرایط اعلام شده را برآورده می کند.

بیایید چنین وظایفی را در نظر بگیریم.

1. 
   به روز رسانی دانش.

در قالب گفتگو با دانش آموزان انجام می شود.

منظور ما از مجموعه مقادیر تابع چیست؟

مجموعه مقادیر یک تابع چیست؟

• 
  از چه داده هایی می توانیم مجموعه مقادیر تابع را پیدا کنیم؟ (با توجه به نماد تحلیلی تابع یا نمودار آن)

- با استفاده از شکل، محدوده تابع را از نمودارها پیدا کنید.

(سانتی متر از تکالیف استفاده کنیدبخش الف)

• 
  چه مقادیر تابعی را می دانیم؟ (توابع اصلی با نوشته آنها روی تخته فهرست شده است؛ برای هر یک از توابع، مجموعه مقادیر آن نوشته شده است). در نتیجه روی تخته و در دفترهای دانش آموزان

تابع	ارزش های زیادی
y = ایکس 2 y = ایکس 3 y=| ایکس| y=	E( y) = E( y) = [- 1, 1] E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (0, + ∞)

• 
  آیا می‌توانیم با استفاده از این دانش، مجموعه‌ای از مقادیر توابع نوشته شده روی تخته سیاه را بیابیم؟ (جدول 2 را ببینید).
• 
  چه چیزی می تواند به پاسخ به این سوال کمک کند؟ (نمودار این توابع).
• 
  چگونه اولین تابع را رسم کنیم؟ (پارابولا را 4 واحد پایین بیاورید).

به طور مشابه، ما در مورد هر تابع از جدول صحبت می کنیم.

تابع	ارزش های زیادی
y = ایکس 2 – 4	E( y) = [-4, + ∞)
y = + 5	E( y) =
y = - 5cos ایکس	E( y) = [- 5, 5]
y= tg( x + / 6) – 1	E( y) = (– ∞, + ∞)
y=گناه ( x + / 3) – 2	E( y) = [- 3, - 1]
y=| ایکس – 1 | + 3	E( y) =
y=| ctg ایکس|	E( y) =
y = = | cos(x + /4) |	E( y) =
y=(ایکس- 5) 2 + 3	E( y) = . مجموعه مقادیر تابع را بیابید: . معرفی الگوریتمی برای حل مسائل برای یافتن مجموعه مقادیر توابع مثلثاتی. بیایید ببینیم چگونه می‌توانیم تجربیات خود را در وظایف مختلف موجود در گزینه‌های یک امتحان به کار ببریم. 1. یافتن مقادیر توابع برای مقدار معین آرگومان. مثال.مقدار تابع y = 2 را بیابید cos(π/2+ π/4 ) – 1, اگر x = -π/2. راه حل. y(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 گناهπ/4 – 1 = - 2 – 1 = = – – 1. 2. یافتن محدوده توابع مثلثاتی راه حل. 1≤ گناهایکس≤ 1 2 ≤ 2 گناهایکس≤ 2 9 ≤ 11+2گناهایکس≤ 13 3 ≤ +2∙ گناه x ≤ ، یعنی E (y) = . اجازه دهید مقادیر صحیح تابع را در بازه بنویسیم. این عدد 3 است. پاسخ: 3. مجموعه مقادیر تابع را پیدا کنید در= گناه 2 ایکس+6sin ایکس + 10. مجموعه مقادیر تابع را بیابید: در = گناه 2 ایکس - 6 گناه x + 8 . (بدون کمک دیگری) راه حل. در= گناه 2 ایکس- 2 3 گناهx + 3 2 - 3 2 + 8, در= (گناهایکس- 3) 2 -1. E ( گناهایکس) = [-1;1]; E ( گناهایکس -3) = [-4;-2]; E ( گناهایکس -3) 2 = ; E ( در) = . پاسخ: . کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید در= cos 2 ایکس+2سین ایکس – 2. راه حل. آیا می توانیم مجموعه ای از مقادیر را برای این تابع پیدا کنیم؟ (خیر) آنچه باید انجام شود؟ (به یک تابع کاهش یافت.) چگونه انجامش بدهیم؟ (از فرمول cos 2 استفاده کنید ایکس= 1-سین 2 ایکس.) بنابراین، در= 1-سین 2 ایکس+2سین ایکس –2, y= -سین 2 ایکس+2سین ایکس –1, در= -(گناه ایکس –1) 2 . خوب، اکنون می توانیم مجموعه ای از مقادیر را پیدا کرده و کوچکترین آنها را انتخاب کنیم. 1≤ گناه ایکس ≤ 1, 2 ≤ گناه ایکس – 1 ≤ 0, 0 ≤ (گناه ایکس – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(گناه ایکس -1) 2 ≤ 0. بنابراین کوچکترین مقدار تابع در استخدام= -4. پاسخ: -4. حاصل ضرب بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را بیابید y = گناه 2 ایکس+ cos ایکس + 1,5. راه حل. در= 1-cos 2 ایکس+ cos ایکس + 1,5, در= -cos 2 ایکس+ 2∙0.5∙cos ایکس - 0,25 + 2,75, در= -(cos ایکس- 0,5) 2 + 2,75. E(cos ایکس) = [-1;1], E(cos ایکس – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos ایکس – 0,5) 2 = , E(-(cos ایکس-0,5) 2) = [-2,25;0], E( در) = . بزرگترین مقدار تابع در نایب= 2.75; کوچکترین ارزش در استخدام= 0.5. بیایید حاصل ضرب بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنیم: در نایب ∙در استخدام = 0,5∙2,75 = 1,375. جواب: 1.375. راه حل. بیایید تابع را در فرم بازنویسی کنیم در =, در = , اکنون مجموعه مقادیر تابع را پیدا می کنیم. E(گناه ایکس) = [-1, 1], E(6sin ایکس) = [-6, 6], E(6sin ایکس + 1) = [-5, 7], E((6sin ایکس + 1) 2) = , E(- (6sin ایکس + 1) 2) = [-49, 0], E(- (6sin ایکس + 1) 2 + 64) = , E( y) = [ , 8]. بیایید مجموع مقادیر صحیح تابع را پیدا کنیم: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. جواب: 30. راه حل. 1) به این معنا که ایکسمتعلق به سه ماهه اول است. 2) بنابراین، 2 ایکسمتعلق به سه ماهه دوم است. 3) در ربع دوم تابع سینوس کاهش یافته و پیوسته است. به معنای، عملکرد داده شده تمام مقادیر را از قبل از 4) این مقادیر را محاسبه کنید: پاسخ : . راه حل. 1) از آنجایی که یک سینوس مقادیری از 1- تا 1 می گیرد، پس مجموعه مقادیر تفاوت . وقتی ضرب شود این بخش به بخش خواهد رفت . 2) آرکوزین یک تابع یکنواخت کاهشی و پیوسته است. از این رو، مجموعه مقادیر عبارت یک بخش است . 3) هنگام ضرب این بخش در ما گرفتیم . پاسخ: . راه حل. از آنجایی که مماس قوس یک تابع افزایشی است، پس . 2) هنگام افزایش ایکساز جانب قبل از استدلال 2 ایکسافزایش می یابد از قبل از . از آنجایی که سینوس در چنین بازه ای افزایش می یابد، تابع ارزش ها را از تا 1. 3) هنگام افزایش از قبل از استدلال 2 ایکسافزایش می یابد از قبل از . از آنجایی که سینوس در چنین بازه ای کاهش می یابد، تابع ارزش ها را از تا 1. 4) با استفاده از فرمول بیان کننده سینوس بر حسب مماس نیم زاویه متوجه می شویم که . از این رو، مجموعه مقادیر مورد نظر، اتحاد بخش ها است و ، یعنی بخش . پاسخ: . این تکنیک (معرفی زاویه کمکی) برای یافتن مجموعه مقادیر توابع فرم استفاده می شود. در= یک گناه x + b cos xیا در= گناه (آرx) + bcos(آرایکس). مجموعه مقادیر تابع را پیدا کنید y \u003d 15 sin 2x + 20 cos 2x. راه حل. بیایید ارزش را پیدا کنیم = = 25. بیایید بیان را تغییر دهیم 15 گناه 2x + 20 cos 2x = 25 ( ) = 25 () = 25 گناه (2x + ، جایی که cos = ، گناه =. مجموعه مقادیر تابع y \u003d sin (2x + ): -1 گناه (2x + ) 1. سپس مجموعه مقادیر تابع اصلی -25 است 25 گناه (2x + ) 25. پاسخ: [-25; 25]. 3. وظایف برای یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع در بازه. بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع را پیدا کنید در= ctg ایکسدر بخش [π/4; π/2]. راه حل. تابع در= ctg ایکسدر بخش [π/4; π/2]، بنابراین، تابع کمترین مقدار را در x =π/2 یعنی در(π/2) = сtg π/2 = 0; و بزرگترین مقدار در است x=π/4، یعنی در(π/4) = сtg π/4 = 1. پاسخ: 1، 0. . راه حل. در برابری از هم جدا شوند کل قسمت: . نتیجه این است که نمودار تابع f(x) یا هذلولی (а≠ 0) یا یک خط مستقیم بدون نقطه است. علاوه بر این، اگر a; 2a) و (2a; ) و اگر a > 0 باشد، در این پرتوها به طور یکنواخت افزایش می یابد. اگر a \u003d 0، سپس f (x) \u003d -2 در کل دامنه تعریف x ≠ 0. بنابراین، بدیهی است که مقادیر مورد نظر پارامتر برابر با صفر نیست. از آنجایی که ما فقط به مقادیر تابع در بخش [-1; 1]، سپس طبقه بندی موقعیت ها با این واقعیت تعیین می شود که مجانب x = 2a هذلولی (a≠0) نسبت به این بخش قرار دارد. مورد 1. تمام نقاط بازه [-1; 1] در سمت راست مجانب عمودی x = 2a هستند، یعنی زمانی که 2a باشد حالت 2. مجانب عمودی بازه [-1; 1]، و تابع کاهش می یابد (مانند مورد 1)، یعنی زمانی که حالت 3. مجانب عمودی بازه [-1; 1] و تابع در حال افزایش است، یعنی -1 . مورد 4. تمام نقاط بازه [-1; 1] در سمت چپ مجانب عمودی هستند، یعنی 1 a > . و دوم پذیرایی 4 . بیان x بر حسب y. (یافتن دامنه تابع معکوس) پذیرایی 5.ساده سازی فرمول تعریف یک تابع گویا کسری پذیرایی 6.یافتن مجموعه مقادیر توابع درجه دوم (با یافتن راس سهمی و تعیین ماهیت رفتار شاخه های آن). پذیرایی 7.معرفی یک زاویه کمکی برای یافتن مجموعه مقادیر برخی از توابع مثلثاتی. صفحه 1 همچنین بخوانید: روی ماشین تراش کار کنید منبع تغذیه خانگی برای پیچ گوشتی شارژی Bp از ترانسفورماتور الکترونیکی برای پیچ گوشتی بالا