Tahan õppida – lahendamata probleemid. Matemaatika Mulle meeldivad Lahendamata matemaatikaülesanded kolm ringi
Sageli vesteldes keskkooliõpilastega teemal uurimistöö matemaatikas kuulen järgmist: "Mida uut saab matemaatikas avastada?" Aga tõesti: võib-olla on kõik suured avastused tehtud ja teoreemid tõestatud?
8. augustil 1900 Pariisis toimunud rahvusvahelisel matemaatikute kongressil visandas matemaatik David Hilbert nimekirja probleemidest, mis tema arvates pidid 20. sajandil lahendatud olema. Nimekirjas oli 23 eset. Praeguseks on neist lahendatud kakskümmend üks. Viimane lahendatud probleem Gilberti loendis oli Fermat' kuulus teoreem, mida teadlased ei suutnud lahendada 358 aastat. 1994. aastal pakkus oma lahenduse välja britt Andrew Wiles. See osutus tõeks.Möödunud sajandi lõpu Gilberti eeskujul püüdsid paljud matemaatikud sõnastada sarnaseid strateegilisi ülesandeid 21. sajandiks. Ühe sellise nimekirja tegi kuulsaks Bostoni miljardär Landon T. Clay. 1998. aastal asutati tema kulul Cambridge'is (Massachusetts, USA) Clay Matemaatika Instituut ning asutati auhindu mitmete tänapäeva matemaatika oluliste ülesannete lahendamise eest. 24. mail 2000 valisid instituudi eksperdid välja seitse probleemi – vastavalt auhindadeks eraldatud miljonite dollarite arvule. Nimekirja nimetatakse aastatuhande auhinnaprobleemideks:
1. Cooki probleem (sõnastatud 1971)
Oletame, et sina, olles suures seltskonnas, tahad veenduda, et ka su sõber on kohal. Kui teile öeldakse, et ta istub nurgas, piisab sekundi murdosast, et ühe pilguga veenduda, et teave on tõene. Selle teabe puudumisel olete sunnitud külalisi vaadates kogu toas ringi käima. See viitab sellele, et probleemi lahendamine võtab sageli rohkem aega kui lahenduse õigsuse kontrollimine.
Stephen Cook sõnastas probleemi: kas probleemi lahenduse õigsuse kontrollimine võib olla pikem kui lahenduse enda saamine, sõltumata kontrollialgoritmist. See probleem on ka üks lahendamata probleeme loogika ja arvutiteaduse valdkonnas. Selle lahendus võib muuta krüptograafia põhialuseid, mida kasutatakse andmete edastamisel ja salvestamisel.
2. Riemanni hüpotees (koostatud 1859)
Mõnda täisarvu ei saa väljendada kahe väiksema täisarvu korrutisena, näiteks 2, 3, 5, 7 jne. Selliseid arve nimetatakse algarvudeks ja neil on oluline roll puhtas matemaatikas ja selle rakendustes. Algarvude jaotus kõigi naturaalarvude jadade vahel ei järgi mingit seaduspärasust. Saksa matemaatik Riemann tegi aga oletuse algarvude jada omaduste kohta. Kui Riemanni hüpotees tõestatakse, muudab see meie krüpteerimisalased teadmised pöördeliseks ja toob kaasa enneolematuid läbimurdeid Interneti-turvalisuses.
3. Birchi ja Swinnerton-Dyeri hüpotees (sõnastatud 1960. aastal)
Seotud mõne algebralise võrrandi lahendite hulga kirjeldamisega mitmes täisarvu koefitsientidega muutujas. Sellise võrrandi näiteks on avaldis x2 + y2 = z2. Euclid andis Täielik kirjeldus selle võrrandi lahendused, kuid keerukamate võrrandite puhul muutub lahenduste leidmine äärmiselt keeruliseks.
4. Hodge’i hüpotees (sõnastatud 1941. aastal)
20. sajandil avastasid matemaatikud võimsa meetodi keerukate objektide kuju uurimiseks. Põhiidee on kasutada objekti enda asemel lihtsaid "telliseid", mis on kokku liimitud ja moodustavad selle sarnasuse. Hodge'i hüpotees on seotud mõnede eeldustega selliste "telliste" ja objektide omaduste kohta.
5. Navier-Stokesi võrrandid (koostatud 1822. aastal)
Kui sõidate järvel paadiga, siis tekivad lained ja kui lennata lennukiga, tekivad õhus turbulentsed hoovused. Eeldatakse, et neid ja teisi nähtusi kirjeldatakse võrranditega, mida tuntakse Navier-Stokesi võrranditena. Nende võrrandite lahendused on teadmata ja pole isegi teada, kuidas neid lahendada. On vaja näidata, et lahendus on olemas ja piisavalt sujuv funktsioon. Selle probleemi lahendamine võimaldab oluliselt muuta hüdro- ja aerodünaamiliste arvutuste tegemise meetodeid.
6. Poincare'i probleem (sõnastatud 1904)
Kui venitate kummipaela üle õuna, saate teipi aeglaselt pinnalt lahkumata liigutada, kokku suruda. Teisest küljest, kui seesama kummipael on sõõriku ümber korralikult venitatud, ei saa riba kuidagi kokku suruda, ilma riba rebenemata või sõõrikut purustamata. Öeldakse, et õuna pind on lihtsalt ühendatud, sõõriku pind aga mitte. Tõestada, et ainult sfäär on lihtsalt ühendatud, osutus nii keeruliseks, et matemaatikud alles otsivad õiget vastust.
7. Yang-Millsi võrrandid (sõnastatud 1954. aastal)
Kvantfüüsika võrrandid kirjeldavad elementaarosakeste maailma. Füüsikud Yang ja Mills, olles avastanud seose geomeetria ja elementaarosakeste füüsika vahel, kirjutasid oma võrrandid. Seega leidsid nad viisi elektromagnetiliste, nõrkade ja tugevate interaktsioonide teooriate ühendamiseks. Yang-Millsi võrrandid viitasid osakeste olemasolule, mida tõepoolest täheldati laborites üle kogu maailma, nii et enamik füüsikuid nõustub Yang-Millsi teooriaga, hoolimata asjaolust, et see teooria ei suuda ikkagi ennustada elementaarosakeste massi.
Arvan, et see blogis avaldatud materjal pole huvitav mitte ainult õpilastele, vaid ka matemaatikaga tõsiselt tegelevatele koolilastele. Teemade ja uurimisvaldkondade valikul on millele mõelda. Fermat’ huvi matemaatika vastu tekkis kuidagi ootamatult ja üsna küpses eas. 1629. aastal sattus tema kätte Pappuse teose ladinakeelne tõlge, mis sisaldas lühikokkuvõtet Apolloniuse tulemustest koonuslõigete omaduste kohta. Fermat, polüglott, õiguse ja antiikfiloloogia ekspert, asub ootamatult kuulsa teadlase mõttekäiku täielikult taastama. Sama eduga võib kaasaegne jurist proovida iseseisvalt reprodutseerida kõik monograafia tõendid näiteks algebralise topoloogia probleemidest. Mõeldamatut ettevõtmist kroonib aga edu. Pealegi teeb ta muistsete geomeetrilistesse konstruktsioonidesse süvenedes hämmastava avastuse: figuuride pindalade maksimumide ja miinimumide leidmiseks pole vaja geniaalseid jooniseid. Alati on võimalik koostada ja lahendada mõni lihtne algebraline võrrand, mille juured määravad ekstreemumi. Ta mõtles välja algoritmi, millest saaks diferentsiaalarvutuse alus.
Ta liikus kiiresti edasi. Ta leidis maksimumide olemasoluks piisavad tingimused, õppis määrama käändepunkte, tõmbas kõikidele teadaolevatele teist ja kolmandat järku kõveratele puutujad. Veel paar aastat ja ta leiab uue puhtalt algebralise meetodi suvalise järjestusega paraboolide ja hüperboolide (st vormi funktsioonide integraalide) kvadratuuride leidmiseks y p = Cx q Ja y p x q \u003d C), arvutab pöördekehade pindalad, ruumalad, inertsmomendid. See oli tõeline läbimurre. Seda tundes hakkab Fermat otsima sidet tolleaegsete matemaatiliste autoriteetidega. Ta on enesekindel ja ihkab tunnustust.
1636. aastal kirjutas ta esimese kirja oma austajale Marin Mersenne'ile: „Püha isa! Olen teile äärmiselt tänulik au eest, mille olete mulle teinud, andes mulle lootuse, et saame kirjalikult rääkida; ...Mul on väga hea meel kuulda teilt kõigist uutest matemaatikaalastest traktaatidest ja raamatutest, mis on ilmunud viimase viie-kuue aasta jooksul. ... Leidsin ka palju analüütilisi meetodeid erinevate probleemide, nii numbriliste kui geomeetriliste probleemide jaoks, mille jaoks Vieta analüüs ei ole piisav. Seda kõike jagan teiega millal iganes soovite ja pealegi ilma igasuguse ülbuseta, millest olen vabam ja kaugemal kui ükski teine inimene maailmas.
Kes on isa Mersenne? See on frantsiskaani munk, tagasihoidlike annetega teadlane ja suurepärane korraldaja, kes juhtis 30 aastat Pariisi matemaatikaringi, millest sai tõeline keskus. Prantsuse teadus. Järgnevalt Mersenne'i ring dekreediga Louis XIV muudetakse Pariisi Teaduste Akadeemiaks. Mersenne pidas väsimatult tohutut kirjavahetust ja tema kongi Kuninglikul väljakul asuvas Minimide Ordu kloostris oli omamoodi "postkontor kõigile Euroopa teadlastele Galileost Hobbesini". Seejärel asendas kirjavahetus teadusajakirju, mis ilmusid palju hiljem. Kohtumised Mersenne'is toimusid kord nädalas. Ringi tuumiku moodustasid tolle aja säravamad loodusteadlased: Robertville, Pascal Father, Desargues, Midorge, Hardy ja loomulikult kuulus ja üldtunnustatud Descartes. Rene du Perron Descartes (Cartesius), aadli mantel, kaks perekonna valdust, kartisianismi rajaja, analüütilise geomeetria "isa", uue matemaatika üks rajajaid, samuti Mersenne'i sõber ja seltsimees jesuiitide kolledžis. Sellest imelisest mehest saab Fermat' õudusunenägu.
Mersenne pidas Fermati tulemusi piisavalt huvitavaks, et tuua provints oma eliitklubisse. Talu alustab kohe kirjavahetust paljude ringi liikmetega ja jääb Mersenne'i enda kirjadega sõna otseses mõttes magama. Lisaks saadab ta ekspertide kohtule valminud käsikirjad: “Sissejuhatus tasasetesse ja tahketesse kohtadesse”, aasta hiljem – “Maksimi ja miinimumi leidmise meetod” ja “Vastused B. Cavalieri küsimustele”. See, mida Fermat selgitas, oli täiesti uus, kuid sensatsiooni ei toimunud. Kaasaegsed ei võpatanud. Nad ei saanud palju aru, kuid leidsid ühemõttelisi viiteid selle kohta, et Fermat laenas maksimeerimisalgoritmi idee Johannes Kepleri traktaadist naljaka pealkirjaga "Uus tahke geomeetria". veinivaate". Tõepoolest, Kepleri arutluskäikudes on selliseid lauseid nagu "Figuuri maht on suurim, kui mõlemal pool suurima väärtusega kohta on vähenemine alguses tundetu." Kuid mõte ekstreemumi lähedal oleva funktsiooni väikesest juurdekasvust ei olnud üldse õhus. Tolle aja parimad analüütilised mõistused ei olnud väikeste kogustega manipulatsioonideks valmis. Fakt on see, et tol ajal peeti algebrat omamoodi aritmeetikaks, see tähendab teise klassi matemaatikaks, algeliseks improviseeritud tööriistaks, mis töötati välja baaspraktika vajadusteks (“ainult kaupmehed loevad hästi”). Muistsest matemaatikast pärit traditsioon on ette nähtud järgima puhtalt geomeetrilisi tõestusmeetodeid. Fermat sai esimesena aru, et lõpmata väikseid suurusi saab liita ja vähendada, kuid segmentidena on neid üsna keeruline esitada.
Kulus peaaegu sajand, enne kui Jean d'Alembert tunnistas oma kuulsas entsüklopeedias: Fermat oli uue arvutuse leiutaja. Just temaga kohtume puutujate leidmiseks esmakordselt diferentsiaalide rakendamisega. 18. sajandi lõpus rääkis Joseph Louis Comte de Lagrange veelgi selgemalt: „Kuid geomeetrid – Fermat’ kaasaegsed – ei mõistnud seda uut tüüpi arvutust. Nad nägid ainult erijuhtumeid. Ja see leiutis, mis ilmus vahetult enne Descartes'i geomeetriat, jäi neljakümneks aastaks viljatuks. Lagrange peab silmas 1674. aastat, mil ilmus Isaac Barrow "Loengud", mis käsitleb üksikasjalikult Fermat' meetodit.
Muuhulgas selgus kiiresti, et Fermat kaldus pigem uusi probleeme sõnastama kui arvestite pakutud probleeme alandlikult lahendama. Duellide ajastul oli ülesannete vahetamine asjatundjate vahel üldiselt aktsepteeritud käsuliiniga seotud küsimuste selgitamise vormina. Talu aga meedet ilmselgelt ei tea. Iga tema kiri on väljakutse, mis sisaldab kümneid keerulisi lahendamata probleeme ja kõige ootamatumatel teemadel. Siin on näide tema stiilist (aadressitud Frenicle de Bessyle): „Üksus, mis on väikseim ruut, mis 109 võrra vähendamisel ja ühele lisamisel annab ruudu? Kui te mulle üldist lahendust ei saada, siis saatke mulle nende kahe arvu jagatis, mille valisin väikeseks, et teid mitte väga raskeks teha. Kui olen teie vastuse saanud, soovitan teile veel mõnda asja. Eriliste reservatsioonideta on selge, et minu ettepanekus on nõutud täisarvude leidmist, kuna murdarvude puhul võiks eesmärgini jõuda kõige ebaolulisem aritmeetik. Fermat kordas end sageli, sõnastades samu küsimusi mitu korda, ja bluffis avalikult, väites, et tal on pakutud probleemile ebatavaliselt elegantne lahendus. Otseseid vigu ei olnud. Mõnda neist märkasid kaasaegsed ja mõned salakavalad väited eksisid lugejaid sajandeid.
Mersenne'i ring reageeris adekvaatselt. Ainult Robertville, ainus ringi liige, kellel oli päritoluga probleeme, säilitab sõbraliku kirjatooni. Hea karjane isa Mersenne püüdis arutleda "Toulouse'i jultunud". Kuid Farm ei kavatse vabandusi välja tuua: “Auväärne isa! Kirjutate mulle, et minu võimatute probleemide püstitamine vihastas ja jahutas härra Saint-Martini ja Frenicle'i ning et see oli nende kirjade lõpetamise põhjus. Küll aga tahan neile vastu vaielda, et see, mis esmapilgul tundub võimatu, seda tegelikult ei ole ja et on palju probleeme, mis, nagu Archimedes ütles...” jne.
Farm on aga ebaviisakas. Just Frenicle saatis ta ülesande leida täisnurkne kolmnurk täisarvude külgedega, mille pindala on võrdne täisarvu ruuduga. Ta saatis selle, kuigi teadis, et probleemil pole ilmselgelt lahendust.
Kõige vaenulikuma positsiooni Fermat' suhtes võttis Descartes. Tema 1938. aasta kirjas Mersenne'ile loeme: "kuna ma sain teada, et see on sama isik, kes oli varem püüdnud minu "dioptriat" ümber lükata, ja kuna te teatasite mulle, et ta saatis selle pärast seda, kui oli lugenud minu "Geomeetriat" ja üllatusena, et ma sama asja ei leidnud, st (nagu mul on põhjust seda tõlgendada) saatsin selle eesmärgiga rivaalitseda ja näidata, et tema teab sellest rohkem kui mina, ja kuna rohkem teie kirju, siis ma sain teada, et tal on väga teadliku geomeetri maine, siis pean end kohustatud talle vastama. Descartes nimetab hiljem oma vastuse pidulikult "matemaatika väikeseks kohtuprotsessiks härra Fermat' vastu".
On lihtne mõista, mis väljapaistva teadlase vihale ajas. Esiteks ilmnevad Fermat’ arutluskäigus pidevalt koordinaatide teljed ja arvude kujutamine segmentide kaupa – seade, mida Descartes oma äsja ilmunud „Geomeetrias“ terviklikult edasi arendab. Fermat jõuab ideele asendada joonis iseseisvalt arvutustega, mõnes mõttes isegi järjekindlamalt kui Descartes. Teiseks demonstreerib Fermat hiilgavalt oma miinimumide leidmise meetodi efektiivsust valguskiire lühima tee probleemi näitel, täpsustades ja täiendades Descartes'i oma "Dioptriaga".
Descartes'i kui mõtleja ja uuendaja eelised on tohutud, kuid avagem nüüdisaegne "Matemaatikaentsüklopeedia" ja vaadakem tema nimega seotud terminite loendit: "Cartesiuse koordinaadid" (Leibniz, 1692), "Cartesiuse leht", "Descartes". ovaalid". Ükski tema argumentidest ei läinud ajalukku Descartes’i teoreemina. Descartes on eelkõige ideoloog: ta on filosoofilise koolkonna rajaja, ta moodustab mõisteid, täiustab tähetähistuste süsteemi, kuid uusi spetsiifilisi võtteid on tema loomingulises pärandis vähe. Seevastu Pierre Fermat kirjutab vähe, kuid igal juhul suudab ta välja mõelda palju vaimukaid matemaatilisi nippe (vt ibid. "Fermat' teoreem", "Fermat' põhimõte", "Fermat' lõpmatu laskumise meetod"). Tõenäoliselt kadestasid nad üksteist täiesti õigustatult. Kokkupõrge oli vältimatu. Mersenne’i jesuiitide vahendusel puhkes sõda, mis kestis kaks aastat. Mersenne osutus aga siingi õigeks ajaloo ees: kahe titaani äge võitlus, nende pehmelt öeldes pingeline poleemika aitas kaasa võtmemõistete mõistmisele. matemaatiline analüüs.
Fermat on esimene, kes arutelu vastu huvi kaotab. Ilmselt rääkis ta Descartesiga otse ega solvanud enam kunagi oma vastast. Ühes oma viimastest teostest “Synthesis for Refraction”, mille käsikirja ta de la Chaumbrale saatis, mainib Fermat sõna-sõnalt “kõige haritud Descartesi” ja rõhutab igal võimalikul viisil oma prioriteeti optika küsimustes. Vahepeal oli see käsikiri, mis sisaldas kuulsa "Fermat' printsiibi" kirjeldust, mis annab ammendava selgituse valguse peegelduse ja murdumise seaduste kohta. Curtseys Descartes'ile oli sellisel tasemel teoses täiesti ebavajalik.
Mis juhtus? Miks läks Fermat uhkuse kõrvale jättes leppimisele? Lugedes Fermat' nende aastate (1638–1640) kirju, võib eeldada kõige lihtsamat: sel perioodil muutusid tema teaduslikud huvid dramaatiliselt. Ta loobub moekast tsükloidist, lakkab huvi tundmast puutujate ja piirkondade vastu ning unustab pikaks 20 aastaks oma meetodi maksimumi leidmiseks. Omades suuri teeneid pideva matemaatikas, sukeldub Fermat täielikult diskreetse matemaatikaga, jättes vihkavad geomeetrilised joonised oma vastastele. Numbrid on tema uus kirg. Tegelikult võlgneb kogu "arvuteooria" iseseisva matemaatilise distsipliinina oma sünni täielikult Fermat' elule ja tööle.
<…>Pärast Fermat' surma avaldas tema poeg Samuel 1670. aastal oma isale kuuluva Aritmeetika koopia pealkirja all "Aleksandria Diophantuse kuus aritmeetikaraamatut L. G. Basche kommentaaride ja Toulouse'i senaatori P. de Fermat' märkustega". Raamat sisaldas ka mõningaid Descartes'i kirju ja Fermat' kirjade põhjal valminud Jacques de Bigly raamatu "Uus avastus analüüsikunstis" täisteksti. Väljaanne oli uskumatult edukas. Hämmastunud spetsialistide ees avanes enneolematult helge maailm. Fermat' arvuteoreetiliste tulemuste ootamatus, ja mis kõige tähtsam, ligipääsetavus, demokraatlikkus tekitas palju imitatsioone. Sel ajal mõistsid vähesed inimesed, kuidas parabooli pindala arvutatakse, kuid iga õpilane sai aru Fermat' viimase teoreemi sõnastusest. Algas tõeline jaht teadlase tundmatutele ja kadunud kirjadele. Enne XVII lõpp V. Iga tema leitud sõna avaldati ja avaldati uuesti. Kuid Fermat' ideede arenemislugu oli alles algamas.
Artikli “Pierre Fermat ja tema “tõestamatu” teoreem” autor Lev Valentinovitš Rudi pakkus pärast publikatsiooni lugemist tänapäeva matemaatika ühest 100-st geeniusest, keda nimetati geeniuseks Fermat’ teoreemi lahenduse tõttu. tema alternatiivne arvamus sellel teemal. Millele reageerisime kergesti ja avaldasime tema artikli ilma lühenditeta.
Pierre de Fermat ja tema "tõestamatu" teoreem
Tänavu möödub 410 aastat suure prantsuse matemaatiku Pierre de Fermat’ sünnist. Akadeemik V.M. Tihhomirov kirjutab P. Fermat’ kohta: „Ainult üks matemaatik on saanud au sellega, et tema nimest on saanud üldnimetus. Kui öeldakse "fermatist", siis me räägime inimesest, kes on hullumeelsuseni kinnisideeks mingist teostamatust ideest. Kuid seda sõna ei saa omistada Prantsusmaa ühele helgemale peale Pierre Fermat'le (1601-1665).
P. Fermat on hämmastava saatusega mees: üks maailma suurimaid matemaatikuid, ta ei olnud "professionaalne" matemaatik. Fermat oli elukutselt jurist. Ta sai suurepärase hariduse ning oli silmapaistev kunsti ja kirjanduse tundja. Ta töötas kogu oma elu avalik teenistus, viimased 17 aastat oli ta Toulouse'i parlamendi nõunik. Huvitu ja ülev armastus meelitas teda matemaatika poole ning just see teadus andis talle kõik, mida armastus inimesele võib anda: joovastust ilust, naudingust ja õnnest.
Paberites ja kirjavahetuses sõnastas Fermat palju ilusaid väiteid, mille kohta ta kirjutas, et tal on nende tõestus olemas. Ja järk-järgult jäi selliseid tõestamata väiteid järjest vähemaks ja lõpuks jäi ainult üks - tema salapärane Suur teoreem!
Matemaatikahuvilistele aga räägib Fermat’ nimi tema suurest teoreemist olenemata palju. Ta oli oma aja üks läbinägelikumaid mõistusi, teda peetakse arvuteooria rajajaks, ta andis tohutu panuse analüütilise geomeetria, matemaatilise analüüsi arendamisse. Oleme Fermat'le tänulikud, et ta avas meile maailma, mis on täis ilu ja salapära” (nature.web.ru:8001›db/msg.html…).
Kummaline aga "tänu"!? Matemaatiline maailm ja valgustatud inimkond eiras Fermat' 410. aastapäeva. Kõik oli, nagu ikka, vaikne, rahulik, igapäevane ... Ei olnud fanfaare, kiitvaid kõnesid, toosti. Kõigist maailma matemaatikutest pälvis ainult Fermat nii kõrge au, et kui kasutada sõna fermaat, saavad kõik aru, et jutt on poolearulisest, kes on "hullult kinnisideeks realiseerimata ideest". et leida Fermat' teoreemi kadunud tõestus!
Oma märkuses Diophantose raamatu äärele kirjutas Fermas: "Leidsin oma väitele tõeliselt hämmastava tõestuse, kuid raamatu veerised on selle mahutamiseks liiga kitsad." Nii et see oli "17. sajandi matemaatikageeniuse nõrkuse hetk". See loll ei saanud aru, et ta "eksis", kuid tõenäoliselt ta lihtsalt "vales", "kaval".
Kui Fermat väitis, siis tal oli tõestus olemas!? Teadmiste tase polnud kõrgem kui tänapäeva kümnendikul, aga kui mõni insener üritab seda tõestust leida, siis teda naeruvääristatakse, hulluks kuulutatakse. Ja hoopis teine asi on see, kui Ameerika 10-aastane poiss E. Wiles "aksepteerib esialgse hüpoteesina, et Fermat ei saanud matemaatikat palju rohkem teada kui tema" ja hakkab seda "tõestamatut teoreemi" "tõestama". Muidugi on selliseks asjaks võimeline ainult “geenius”.
Juhuslikult sattusin saidile (works.tarefer.ru›50/100086/index.html), kus Chita Riikliku Tehnikaülikooli üliõpilane Kushenko V.V. kirjutab Fermat’ kohta: “... Väike linn Beaumont ja kõik selle viis tuhat elanikku ei suuda mõista, et siin sündis suur Fermat, viimane matemaatik-alkeemik, kes lahendas tulevaste sajandite jõudeprobleeme, kõige vaiksem kohtukonks , kaval sfinks, kes piinas inimkonda oma mõistatustega, ettevaatlik ja vooruslik bürokraat, pettur, intrigant, koduinimene, kade inimene, geniaalne koostaja, üks neljast matemaatika titaanist ... Talu ei lahkunud peaaegu kunagi Toulouse'ist, kuhu ta asus elama pärast abiellumist parlamendi nõuniku tütre Louise de Longiga. Tänu äiale tõusis ta nõuniku auastmele ja omandas ihaldatud eesliite "de". Kolmanda seisuse poeg, jõukate nahatööliste praktiline järeltulija, ladina ja frantsiskaanliku vagaduse täis, ei seadnud ta endale päriselus suurejoonelisi ülesandeid ...
Oma segasel eas elas ta põhjalikult ja vaikselt. Ta ei kirjutanud filosoofilisi traktaate, nagu Descartes, ei olnud Prantsuse kuningate usaldusisik, nagu Viet, ei sõdinud, ei reisinud, ei loonud matemaatilisi ringe, tal polnud õpilasi ja teda ei avaldatud tema eluajal ... Kuna talu ajaloos ei leidnud ühtegi teadlikku kohta, suri ta 12. jaanuaril 1665.
Ma olin šokis, šokis... Ja kes oli esimene "matemaatik-alkeemik"!? Mis need "tulevate sajandite jõudeülesanded" on!? “Bürokraat, aferist, intrigant, koduinimene, kade inimene” ... Miks on neil rohelistel noortel ja noortel nii palju põlgust, põlgust, küünilisust inimese suhtes, kes elas 400 aastat enne neid!? Milline jumalateotus, räige ebaõiglus!? Aga ega noored ise ei tulnud selle kõige peale!? Neid mõtlesid välja matemaatikud, "teaduste kuningad", seesama "inimkond", keda Fermat' "kaval sfinks" "oma mõistatustega piinas".
Fermat ei saa aga kanda mingit vastutust selle eest, et üle kolmesaja aasta üleolevad, kuid keskpärased järeltulijad tema kooliteoreemile sarvi koputasid. Alandades, sülitades Fermat'le, üritavad matemaatikud oma mundri au päästa!? Aga “au” pole ammu olnud, isegi “mundrit” mitte!? Fermat' lasteprobleemist on saanud maailma "valitud, vapra" matemaatikute armee suurim häbi!?
“Teaduste kuningatele” tegi häbi tõsiasi, et seitse põlvkonda matemaatilisi “valgusteid” ei suutnud tõestada kooliteoreemi, mida tõestasid nii P. Fermat kui ka araabia matemaatik al-Khujandi 700 aastat enne Fermat!? Neid häbistas ka tõsiasi, et oma vigade tunnistamise asemel mõistsid nad P. Fermat’ petturi ja hakkasid paisutama müüti tema teoreemi “tõestamatusest”!? Matemaatikud on end häbi teinud ka sellega, et terve sajandi on nad meeletult taga kiusanud amatöörmatemaatikuid, "pekses oma väiksematele vendadele pähe". Sellest tagakiusamisest sai matemaatikute häbiväärseim tegu kogu teadusliku mõtte ajaloos pärast Hippasuse uputamist Pythagorase poolt! Neid häbistas ka tõsiasi, et Fermat' teoreemi "tõestuse" varjus libisesid nad valgustatud inimkonnale E. Wilesi kahtlase "loomingu", millest "ei mõista" isegi matemaatika säravamad valgustid!?
P. Fermat' 410. sünniaastapäev on kahtlemata piisavalt tugev argument selleks, et matemaatikud lõpuks mõistusele tuleksid ja lakkadele varju heitmise lõpetaksid ning taastaksid suure matemaatiku hea, ausa nime. P. Fermat „ei leidnud teadlikke pretensioone ajaloos olevale kohale”, kuid see veider ja kapriisne daam ise kandis selle oma aastaraamatutesse süles, kuid sülitas välja palju innukaid ja innukaid „taotlejaid” nagu närimiskummi. Ja selle vastu ei saa midagi teha, lihtsalt üks tema paljudest ilusatest teoreemidest kandis igaveseks ajalukku P. Fermat' nime.
Kuid see ainulaadne Fermat' looming on olnud terve sajandi maa all, keelatud ja muutunud kõige põlastusväärsemaks ja vihatumaks ülesandeks kogu matemaatika ajaloos. Aga kätte on jõudnud aeg, mil sellest matemaatika "koledast pardipojast" saab ilus luik! Fermat’ hämmastav mõistatus on pälvinud õiguse asuda oma õe Pythagorase teoreemi kõrval oma õiguspärasele kohale matemaatiliste teadmiste varakambris ja igas maailma koolis.
Sellisel ainulaadsel elegantsel probleemil pole lihtsalt ilusaid elegantseid lahendusi. Kui Pythagorase teoreemil on 400 tõestust, siis olgu Fermat' teoreemil esialgu vaid 4 lihtsat tõestust. Nad on, tasapisi tuleb neid juurde!? Usun, et P. Fermat' 410. sünniaastapäev on professionaalsetele matemaatikutele kõige sobivam sündmus või juhus mõistusele tulla ja lõpuks see mõttetu, absurdne, tülikas ja täiesti kasutu amatööride "blokaad" lõpetada!?
1 Murad:
Võrdsust Zn = Xn + Yn pidasime Diophantuse võrrandiks või Fermat' Suureks teoreemiks ja see on võrrandi (Zn-Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn lahend. Siis on Zn =-(Xn + Yn) võrrandi (Zn + Xn) lahendus Xn = (Zn + Yn) Yn. Need võrrandid ja lahendid on seotud täisarvude omaduste ja nendega tehtavate tehtetega. Nii et me ei tea täisarvude omadusi?! Nii piiratud teadmistega me tõde ei avalda.
Vaatleme lahendusi Zn = +(Xn + Yn) ja Zn =-(Xn + Yn), kui n = 1. Täisarvud + Z moodustatakse 10 numbri abil: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Need jaguvad 2 täisarvuga +X - paaris, viimased parempoolsed numbrid: 0, 2, 4, 6, 8 ja +Y - paaritu, viimased parempoolsed numbrid: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Y = 5 - paaritute ja X = 5 - paarisarvude arv on: Z = 10. Rahuldab võrrandi: (Z - X) X = (Z - Y) Y ja lahendus + Z = + X + Y= +(X + Y).
Täisarvud -Z koosnevad paarisarvude -X ja paaritute -Y ühendusest ning rahuldavad võrrandit:
(Z + X) X = (Z + Y) Y ja lahendus -Z = - X - Y = - (X + Y).
Kui Z/X = Y või Z/Y = X, siis Z = XY; Z/-X = -Y või Z/-Y = -X, siis Z = (-X)(-Y). Jagamist kontrollitakse korrutamisega.
Ühekohalised positiivsed ja negatiivsed arvud koosnevad 5 paaritust ja 5 paaritust arvust.
Vaatleme juhtumit n = 2. Siis on Z2 = X2 + Y2 võrrandi (Z2 – X2) lahend X2 = (Z2 – Y2) Y2 ja Z2 = -(X2 + Y2) on võrrandi (Z2 +) lahend. X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Pidasime Pythagorase teoreemiks Z2 = X2 + Y2 ja siis on lahendus Z2 = -(X2 + Y2) sama teoreem. Teame, et ruudu diagonaal jagab selle kaheks osaks, kus diagonaal on hüpotenuus. Siis kehtivad võrdsused: Z2 = X2 + Y2 ja Z2 = -(X2 + Y2), kus X ja Y on jalad. Ja veel lahendused R2 = X2 + Y2 ja R2 =- (X2 + Y2) on ringid, keskpunktid on ruudukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktid ja raadiusega R. Neid saab kirjutada kujul (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , kus n on positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning 3 järjestikust arvu. Lahendused on ka 2-kohalised XY-arvud, mis algavad 00-st ja lõpevad 99-ga ning on 102 = 10x10 ja loendavad 1 sajand = 100 aastat.
Vaatleme lahendeid, kui n = 3. Siis on Z3 = X3 + Y3 võrrandi (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3 lahendid.
3-bitised numbrid XYZ algab 000-st ja lõpeb 999-ga ning on 103 = 10x10x10 = 1000 aastat = 10 sajandit
1000 sama suuruse ja värvi kuubist saab umbes 10-se rubiku. Vaatleme rubikut suurust +103=+1000 - punane ja -103=-1000 - sinine. Need koosnevad 103 = 1000 kuubist. Kui lagundame ja asetame kuubikud ühte ritta või üksteise peale, ilma vahedeta, saame horisontaalse või vertikaalse segmendi pikkusega 2000. Rubik on suur kuubik, mis on kaetud väikeste kuubikutega, alates suurusest 1nupp = 10st. -21 ja te ei saa sellele lisada ega lahutada ühte kuubikut.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Iga täisarv on 1. Lisage 1 (ühed) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 ja korrutised:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
Neid toiminguid saab teha 20-bitiste kalkulaatoritega.
On teada, et +(n3 - n) jagub alati +6-ga ja - (n3 - n) jagub -6-ga. Teame, et n3 - n = (n-1)n(n+1). See on 3 järjestikust arvu (n-1)n(n+1), kus n on paaris, siis jagub 2-ga, (n-1) ja (n+1) paaritu, jagub 3-ga. Siis (n-1) n(n+1) jagub alati 6-ga. Kui n=0, siis (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, siis(n-1) n (n+1) = (19) (20) (21).
Teame, et 19 x 19 = 361. See tähendab, et ühte ruutu ümbritseb 360 ruutu ja siis ühte kuubikut ümbritseb 360 kuupi. Võrdsus on täidetud: 6 n - 1 + 6n. Kui n = 60, siis 360 - 1 + 360 ja n = 61, siis 366 - 1 + 366.
Ülaltoodud väidetest tulenevad järgmised üldistused:
n5-4n = (n2-4) n (n2+4); n7-9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n (n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
(n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3) )…3210
n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
Kui 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
= 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
Iga täisarv n on astme 10, millel on: – n ja +n, +1/ n ja -1/ n, paaritu ja paaris:
- (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
+ (n + n +…+ n) = + n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
On selge, et kui endale lisada mõni täisarv, siis see suureneb 2 korda ja korrutis on ruut: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Seda peeti Vieta teoreemiks – eksitus!
Kui antud arvule liita ja lahutada arv b, siis summa ei muutu, küll aga muutub korrutis, näiteks:
X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
Kui panna tähtede a ja b asemele täisarvud, siis tekivad paradoksid, absurdsused ja usaldamatus matemaatika suhtes.
(Sokrates, Vana-Kreeka filosoof)
KELLELEGI ei ole antud universaalset meelt omada ja KÕIKE teada. Sellegipoolest on enamikul teadlastel ja isegi neil, kes lihtsalt armastavad mõelda ja uurida, alati soov rohkem teada saada, mõistatusi lahendada. Kuid kas inimkonnas on veel lahendamata teemasid? Tundub ju, et kõik on juba selge ja vaja on vaid sajandite jooksul omandatud teadmisi rakendada?
ÄRGE heitke meelt! Veel on lahendamata ülesandeid matemaatika, loogika valdkonnast, mille 2000. aastal ühendasid Cambridge'i (Massachusetts, USA) Clay Matemaatika Instituudi eksperdid aastatuhande nn 7 müsteeriumi (Millennium Prize Problems) nimekirja. Need probleemid puudutavad teadlasi üle kogu planeedi. Sellest ajast kuni tänapäevani võib igaüks väita, et on leidnud ühele probleemile lahenduse, tõestada hüpoteesi ja saada Bostoni miljardärilt Landon Claylt (kelle järgi instituut on nime saanud) auhinna. Ta on selleks juba eraldanud 7 miljonit dollarit. Muideks, Tänaseks on üks probleemidest juba lahendatud.
Niisiis, kas olete valmis õppima matemaatika mõistatusi?
Navier-Stokesi võrrandid (sõnastatud 1822)
Valdkond: hüdroaerodünaamikaTurbulentsete, õhu- ja vedelikuvoolude võrrandeid tuntakse Navier-Stokesi võrranditena. Kui sa näiteks vedeled järvel millegi peal, siis paratamatult kerkivad sinu ümber lained. See kehtib ka õhuruumi kohta: lennukiga lennates tekivad õhus ka turbulentsed voolud.
Need võrrandid lihtsalt toodavad viskoosse vedeliku liikumisprotsesside kirjeldus ja on kogu hüdrodünaamika põhiprobleem. Mõnel konkreetsel juhul on juba leitud lahendusi, kus võrrandite osad jäetakse kõrvale, kuna need ei mõjuta lõpptulemust, kuid üldiselt pole nendele võrranditele lahendusi leitud.
On vaja leida võrranditele lahendus ja tuvastada sujuvfunktsioonid.
Riemanni hüpotees (sõnastatud 1859)
Valdkond: arvuteooriaOn teada, et algarvude (mis jaguvad ainult iseendaga ja ühega: 2,3,5,7,11…) jaotus kõigi naturaalarvude vahel ei järgi mingit regulaarsust.
Selle probleemi üle mõtles saksa matemaatik Riemann, kes tegi oma oletuse teoreetiliselt olemasoleva algarvude jada omaduste kohta. Ammu on tuntud nn paaritud algarvud - kaksik-algaararvud, mille vahe on 2, näiteks 11 ja 13, 29 ja 31, 59 ja 61. Mõnikord moodustavad nad terveid klastreid, näiteks 101, 103 , 107, 109 ja 113.
Kui sellised akumulatsioonid leitakse ja teatud algoritm tuletatakse, toob see kaasa revolutsioonilise muutuse meie teadmistes krüpteerimise vallas ja enneolematu läbimurdeni Interneti-turvalisuse vallas.
Poincare'i ülesanne (sõnastatud 1904. aastal. Lahendatud 2002.)
Valdkond: mitmemõõtmeliste ruumide topoloogia või geomeetriaProbleemi olemus seisneb topoloogias ja seisneb selles, et kui venitate kummipaela näiteks õunale (sfäärile), siis on teoreetiliselt võimalik seda punktini kokku suruda, liigutades linti aeglaselt ilma võttes selle pinnalt maha. Kui aga seesama teip tõmmatakse ümber sõõriku (toru), siis ei ole võimalik teipi kokku suruda ilma teipi katki tegemata või sõõrikut ennast katki tegemata. Need. kogu kera pind on lihtsalt ühendatud, torus aga mitte. Ülesandeks oli tõestada, et ainult kera on lihtsalt ühendatud.
Leningradi geomeetriakooli esindaja Grigori Jakovlevitš Perelman on Clay Instituudi matemaatika aastatuhande auhinna (2010) saaja Poincaré ülesande lahendamise eest. Ta keeldus kuulsast Fildesi auhinnast.
Hodge'i hüpotees (sõnastatud 1941)
Valdkond: algebraline geomeetriaTegelikkuses on palju lihtsaid ja palju keerulisemaid geomeetrilisi objekte. Mida keerulisem on objekt, seda keerulisem on seda uurida. Nüüd on teadlased selle objekti uurimiseks leiutanud ja kasutavad jõuliselt lähenemisviisi, mis põhineb ühe terviku osade ("telliste") kasutamisel, näiteks konstruktoril. Teades "telliste" omadusi, on võimalik läheneda objekti enda omadustele. Hodge'i hüpotees on sel juhul seotud nii "telliste" kui ka objektide mõningate omadustega.
See on algebralises geomeetrias väga tõsine probleem: leida lihtsate "telliste" abil täpseid viise ja meetodeid keerukate objektide analüüsimiseks.
Yang-Millsi võrrandid (sõnastatud 1954)
Valdkond: geomeetria ja kvantfüüsikaFüüsikud Yang ja Mills kirjeldavad elementaarosakeste maailma. Nad, olles avastanud seose geomeetria ja elementaarosakeste füüsika vahel, kirjutasid kvantfüüsika vallas oma võrrandid. Seeläbi leiti viis elektromagnetilise, nõrga ja tugeva interaktsiooni teooriate ühendamiseks.
Mikroosakeste tasandil tekib “ebameeldiv” efekt: kui osakesele mõjub korraga mitu välja, siis nende koosmõju ei saa enam laguneda igaühe tegevuseks eraldi. See on tingitud asjaolust, et selles teoorias ei tõmba üksteise poole mitte ainult aineosakesi, vaid ka iseennast. jõujooned väljad.
Kuigi Yang-Millsi võrrandeid aktsepteerivad kõik maailma füüsikud, pole elementaarosakeste massi ennustamise teooriat eksperimentaalselt tõestatud.
Birchi ja Swinnerton-Dyeri hüpotees (sõnastatud 1960. aastal)
Valdkond: algebra ja arvuteooriaHüpotees mis on seotud elliptiliste kõverate võrrandite ja nende ratsionaalsete lahendite hulgaga. Fermat' teoreemi tõestuses võtsid elliptilised kõverad ühe olulised kohad. Ja krüptograafias moodustavad nad terve osa nimest endast ja mõned Venemaa digitaalallkirja standardid põhinevad neil.
Probleem on selles, et peate kirjeldama KÕIK lahendusi algebraliste võrrandite täisarvudes x, y, z, st mitme muutuja võrrandeid täisarvu koefitsientidega.
Cooki probleem (sõnastatud 1971)
Valdkond: matemaatiline loogika ja küberneetikaSeda nimetatakse ka "klasside P ja NP võrdsuseks" ning see on üks olulisemaid probleeme algoritmide, loogika ja arvutiteaduse teoorias.
Kas ülesande lahenduse õigsuse kontrollimise protsess võib kesta kauem kui selle ülesande lahendamisele kuluv aeg(olenemata kinnitusalgoritmist)?
Sama probleemi lahendamine võtab mõnikord erineva aja, kui muudate tingimusi ja algoritme. Näiteks: suures ettevõttes otsite sõpra. Kui teate, et ta istub nurgas või laua taga, kulub teil tema nägemiseks sekundi murdosa. Aga kui te ei tea täpselt, kus objekt asub, siis kulutage rohkem aega selle otsimisele, minnes kõigist külalistest mööda.
Põhiküsimus on: kas kõiki lihtsalt ja kiiresti kontrollitavaid probleeme saab ka lihtsalt ja kiiresti lahendada või mitte?
Matemaatika, nagu paljudele võib tunduda, pole reaalsusest nii kaugel. See on mehhanism, mille abil saab kirjeldada meie maailma ja paljusid nähtusi. Matemaatika on kõikjal. Ja V.O-l oli õigus. Klyuchevsky, kes ütles: "Lilled pole süüdi, et pime neid ei näe".
