Poprečno savijanje štapa. Očistite krivinu Rješenje za direktnu poprečnu krivinu
Za konzolnu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN/m i koncentriranim momentom kNm (slika 3.12), potrebno je: za izgradnju dijagrama posmičnih sila i momenata savijanja odabrati gredu kružnog poprečnog presjeka na dozvoljenom normalnog naprezanja kN/cm2 i provjeriti čvrstoću grede prema posmičnim naprezanjima pri dopuštenom posmičnom naprezanju kN/cm2. Dimenzije grede m; m; m.
Projektna shema za problem direktnog poprečnog savijanja
Rice. 3.12
Rješavanje problema "direktnog poprečnog savijanja"
Određivanje reakcija podrške
Horizontalna reakcija u ugradnji je nula, jer vanjska opterećenja u smjeru z-ose ne djeluju na gredu.
Odabiremo smjerove preostalih reaktivnih sila koje nastaju u ugradnji: usmjerimo vertikalnu reakciju, na primjer, prema dolje, a trenutak - u smjeru kazaljke na satu. Njihove vrijednosti se određuju iz jednačina statike:
Prilikom sastavljanja ovih jednadžbi smatramo da je trenutak pozitivan pri rotaciji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a projekcija sile je pozitivna ako se njen smjer poklapa s pozitivnim smjerom y ose.
Iz prve jednadžbe nalazimo trenutak u završetku:
Iz druge jednadžbe - vertikalna reakcija:
Pozitivne vrijednosti koje smo dobili u ovom trenutku i vertikalna reakcija u prekidu ukazuju na to da smo pogodili njihov smjer.
U skladu sa prirodom pričvršćivanja i opterećenja grede, njegovu dužinu dijelimo na dva dijela. Duž granica svakog od ovih presjeka ocrtavamo četiri poprečna presjeka (vidi sliku 3.12), u kojima ćemo metodom presjeka (ROZU) izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja.
Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desnu stranu grede. Zamijenimo njegovo djelovanje na preostaloj lijevoj strani sa silom rezanja i momentom savijanja. Radi praktičnosti izračunavanja njihovih vrijednosti, desnu stranu grede koju smo odbacili zatvaramo komadom papira, poravnavajući lijevu ivicu lista s presjekom koji se razmatra.
Podsjetimo da sila smicanja koja nastaje u bilo kojem poprečnom presjeku mora uravnotežiti sve vanjske sile (aktivne i reaktivne) koje djeluju na dio grede koji mi smatramo (to jest, vidljivim). Prema tome, sila smicanja mora biti jednaka algebarskom zbroju svih sila koje vidimo.
Dajemo i pravilo predznaka za silu smicanja: vanjska sila koja djeluje na razmatrani dio grede i teži da ovaj dio „zarotira” u odnosu na presjek u smjeru kazaljke na satu uzrokuje pozitivnu silu smicanja u presjeku. Takva vanjska sila je uključena u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.
U našem slučaju vidimo samo reakciju oslonca, koji rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (u odnosu na rub papira) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zbog toga
kN.
Moment savijanja u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti moment koji stvaraju vanjske sile koje vidimo u odnosu na presjek koji se razmatra. Dakle, jednak je algebarskom zbiru momenata svih napora koji djeluju na dio grede koji razmatramo, u odnosu na presjek koji se razmatra (drugim riječima, u odnosu na ivicu komada papira). U tom slučaju vanjsko opterećenje koje savija razmatrani dio grede konveksnošću prema dolje uzrokuje pozitivan moment savijanja u presjeku. A trenutak stvoren takvim opterećenjem uključen je u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.
Vidimo dva pokušaja: reakciju i trenutak prekida. Međutim, krak sile u odnosu na dio 1 jednak je nuli. Zbog toga
kN m
Uzeli smo znak plus jer reaktivni moment savija vidljivi dio snopa konveksnošću prema dolje.
Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada, za razliku od prvog dijela, sila ima rame: m. Dakle
kN; kN m
Odjeljak 3. Zatvarajući desnu stranu grede, nalazimo
kN;
Odjeljak 4. Zatvorimo lijevu stranu grede listom. Onda
kN m
kN m
.
Na osnovu pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (sl. 3.12, b) i momenata savijanja (sl. 3.12, c).
Pod neopterećenim presjecima dijagram posmičnih sila ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q, duž nagnute prave linije prema gore. Ispod reakcije oslonca na dijagramu je skok naniže za vrijednost ove reakcije, odnosno za 40 kN.
Na dijagramu momenta savijanja vidimo lom ispod reakcije oslonca. Ugao loma usmjeren je prema reakciji oslonca. Pod raspoređenim opterećenjem q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odeljku 6 dijagrama nalazi se ekstremum, jer dijagram sile smicanja na ovom mjestu ovdje prolazi kroz nultu vrijednost.
Odredite potrebni promjer poprečnog presjeka grede
Uvjet čvrstoće za normalna naprezanja ima oblik:
,
gdje je moment otpora grede pri savijanju. Za gredu kružnog poprečnog presjeka ona je jednaka:
.
Moment savijanja sa najvećom apsolutnom vrijednošću javlja se u trećem dijelu grede: 
kN cm
Tada se traženi promjer grede određuje formulom
cm.
Prihvatamo mm. Onda
kN/cm2 kN/cm2.
"Prenapon" je
,
šta je dozvoljeno.
Provjeravamo čvrstoću grede za najveća tangencijalna naprezanja
Najveća posmična naprezanja koja se javljaju u poprečnom presjeku kružne grede izračunavaju se po formuli
,
gdje je površina poprečnog presjeka.
Prema dijagramu, najveća algebarska vrijednost posmične sile je jednaka 
kN. Onda
kN/cm2 kN/cm2,
odnosno ispunjen je uvjet čvrstoće i posmičnog naprezanja, osim toga, sa velikom marginom.
Primjer rješavanja problema "direktno poprečno savijanje" br.2
Stanje primjera problema za direktno poprečno savijanje
Za zglobnu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN / m, koncentriranom silom kN i koncentriranim momentom kN m (slika 3.13), potrebno je nacrtati dijagrame posmične sile i momenta savijanja i odabrati poprečni presjek I-grede. sa dopuštenim normalnim naprezanjem kN/cm2 i dopuštenim posmičnim naprezanjem kN/cm2. Raspon grede m.
Primjer zadatka za pravi zavoj - shema dizajna
 |
Rice. 3.13
Rješenje primjera problema pravog savijanja
Određivanje reakcija podrške
Za datu osovinu oslonjenu gredu potrebno je pronaći tri reakcije oslonca: , i . Budući da na gredu djeluju samo vertikalna opterećenja, okomito na njenu os, horizontalna reakcija fiksnog zglobnog nosača A jednaka je nuli: .
Smjerovi vertikalnih reakcija i biraju se proizvoljno. Usmjerimo, na primjer, obje vertikalne reakcije prema gore. Da bismo izračunali njihove vrijednosti, sastavljamo dvije jednadžbe statike:
Podsjetimo da je rezultirajuće linearno opterećenje, ravnomjerno raspoređeno na dio dužine l, jednako, odnosno jednako površini dijagrama ovog opterećenja i primijenjeno je na težište ovog dijagrama, odnosno na sredini dužine.
;
kN.
Provjeravamo: .
Podsjetimo da se sile čiji se smjer poklapa s pozitivnim smjerom y-ose projiciraju (projiciraju) na ovu os sa znakom plus:
To je tačno.
Gradimo dijagrame posmičnih sila i momenata savijanja
Dužinu grede razbijamo u zasebne dijelove. Granice ovih sekcija su tačke primene koncentrisanih sila (aktivnih i/ili reaktivnih), kao i tačke koje odgovaraju početku i kraju raspoređenog opterećenja. U našem problemu postoje tri takve oblasti. Duž granica ovih odsjeka navodimo šest presjeci, u kojem ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja (slika 3.13, a).
Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desnu stranu grede. Radi praktičnosti izračunavanja posmične sile i momenta savijanja koji nastaju u ovom dijelu, dio grede koji smo odbacili zatvaramo komadom papira, poravnavajući lijevu ivicu komada papira sa samim presjekom.
Sila smicanja u presjeku grede jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) koje vidimo. U ovom slučaju vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zbog toga
kN.
Znak plus se uzima jer sila rotira vidljivi dio grede u odnosu na prvi dio (rub papira) u smjeru kazaljke na satu.
Moment savijanja u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo u odnosu na presjek koji se razmatra (odnosno u odnosu na ivicu komada papira). Vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno malu dužinu. Međutim, poluga sile je nula. Rezultirajuće linearno opterećenje je također jednako nuli. Zbog toga
Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada vidimo reakciju i opterećenje q koji djeluju na dio dužine . Rezultirajuće linearno opterećenje je jednako . Pričvršćuje se na sredini dijela dužine . Zbog toga
Podsjetimo da prilikom određivanja predznaka momenta savijanja, mi mentalno oslobađamo dio grede koji vidimo od svih stvarnih potpornih pričvršćenja i zamišljamo ga kao da je stegnut u razmatranom presjeku (tj. lijevi rub komada papir mi mentalno predstavljamo kao kruti pečat).
Odjeljak 3. Zatvorimo desni dio. Get
Odjeljak 4. Desnu stranu grede zatvaramo listom. Onda
Sada, da bismo kontrolisali ispravnost proračuna, pokrijmo lijevu stranu grede komadom papira. Vidimo koncentriranu silu P, reakciju desnog oslonca i linearno opterećenje q, raspoređenu na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zbog toga
kN m
Odnosno, sve je tačno.
Odjeljak 5. I dalje zatvorite lijevu stranu grede. Imat će
kN;
kN m
Odjeljak 6. Ponovo zatvorimo lijevu stranu grede. Get
kN;
Na osnovu pronađenih vrijednosti gradimo dijagrame posmičnih sila (sl. 3.13, b) i momenata savijanja (sl. 3.13, c).
Uvjereni smo da pod neopterećenim presjekom dijagram posmičnih sila ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q - duž prave linije sa nagibom prema dolje. Na dijagramu su tri skoka: ispod reakcije - gore za 37,5 kN, ispod reakcije - gore za 132,5 kN i pod silom P - dolje za 50 kN.
Na dijagramu momenata savijanja vidimo lomove pod koncentrisanom silom P i pod reakcijama oslonca. Uglovi loma usmjereni su prema ovim silama. Pod raspoređenim opterećenjem intenziteta q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. Ispod koncentrisanog momenta dolazi do skoka od 60 kN m, odnosno po veličini samog momenta. U sekciji 7 na dijagramu nalazi se ekstrem, jer dijagram posmične sile za ovaj presjek prolazi kroz nultu vrijednost (). Odredimo udaljenost od presjeka 7 do lijevog oslonca.
Prava krivina. Stan poprečna krivina Izrada dijagrama faktora unutrašnjih sila za grede Izrada dijagrama Q i M prema jednačinama Izrada dijagrama Q i M prema karakterističnim presjecima (tačkama) Proračuni čvrstoće pri direktnom savijanju greda Glavni naponi pri savijanju. Potpuna provjera čvrstoće greda Razumijevanje centra savijanja Određivanje pomaka u gredama tokom savijanja. Pojmovi deformacije greda i uslovi njihove krutosti Diferencijalna jednačina savijene ose grede Metoda direktne integracije Primeri određivanja pomaka u gredama metodom direktne integracije Fizičko značenje konstanti integracije Metoda početnih parametara (univerzalna jednačina savijena os grede). Primjeri određivanja pomaka u gredi metodom početnih parametara Određivanje pomaka Mohrovom metodom. A.K. pravilo Vereshchagin. Izračunavanje Mohrovog integrala prema A.K. Vereščagin Primjeri određivanja pomaka pomoću Mohrove integralne Bibliografije Direktno savijanje. Ravna poprečna krivina. 1.1. Iscrtavanje dijagrama unutarnjih faktora sile za grede Direktno savijanje je vrsta deformacije u kojoj u poprečnim presjecima šipke nastaju dva unutarnja faktora sile: moment savijanja i poprečna sila. U određenom slučaju, poprečna sila može biti jednaka nuli, tada se savijanje naziva čistim. S ravnim poprečnim savijanjem, sve sile se nalaze u jednoj od glavnih ravnina inercije štapa i okomite su na njegovu uzdužnu os, momenti se nalaze u istoj ravnini (slika 1.1, a, b). Rice. 1.1 Poprečna sila u proizvoljnom poprečnom presjeku grede numerički je jednaka algebarskom zbiru projekcija na normalu na osu grede svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani razmatranog presjeka. Posmična sila u presjeku m-n grede(slika 1.2, a) smatra se pozitivnom ako je rezultanta vanjskih sila lijevo od presjeka usmjerena prema gore, a desno - prema dolje, a negativna - u suprotnom slučaju (slika 1.2, b). Rice. 1.2 Prilikom izračunavanja poprečne sile u datom presjeku, vanjske sile koje leže lijevo od presjeka uzimaju se sa znakom plus ako su usmjerene prema gore, a sa predznakom minus ako su prema dolje. Za desnu stranu grede - obrnuto. 5 Moment savijanja u proizvoljnom poprečnom presjeku grede numerički je jednak algebarskom zbiru momenata oko središnje ose z presjeka svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani razmatranog presjeka. Moment savijanja dio m-n grede (slika 1.3, a) smatra se pozitivnim ako je rezultujući moment vanjskih sila lijevo od presjeka usmjeren u smjeru kazaljke na satu, a desno - u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativan - u suprotnom slučaju (slika 1.3, b). Rice. 1.3 Prilikom izračunavanja momenta savijanja u datom presjeku, momenti vanjskih sila koji leže lijevo od presjeka smatraju se pozitivnim ako su usmjereni u smjeru kazaljke na satu. Za desnu stranu grede - obrnuto. Pogodno je odrediti znak momenta savijanja prema prirodi deformacije grede. Moment savijanja smatra se pozitivnim ako se u razmatranom presjeku odsječeni dio grede savija s konveksnošću prema dolje, odnosno rastegnuta su donja vlakna. Inače, moment savijanja u presjeku je negativan. Između momenta savijanja M, poprečne sile Q i intenziteta opterećenja q postoje diferencijalne ovisnosti. 1. Prvi izvod poprečne sile duž apscise presjeka jednak je intenzitetu raspoređenog opterećenja, tj. . (1.1) 2. Prvi izvod momenta savijanja duž apscise presjeka jednak je poprečnoj sili, tj. (1.2) 3. Drugi izvod u odnosu na apscisu presjeka jednak je intenzitetu raspoređenog opterećenja, tj. (1.3) Raspodijeljeno opterećenje usmjereno prema gore smatramo pozitivnim. Iz diferencijalnih ovisnosti između M, Q, q slijedi niz važnih zaključaka: 1. Ako je na presjeku grede: a) poprečna sila pozitivna, tada se povećava moment savijanja; b) poprečna sila je negativna, tada se moment savijanja smanjuje; c) poprečna sila je nula, tada moment savijanja ima konstantnu vrijednost (čisto savijanje); 6 d) poprečna sila prolazi kroz nulu, menjajući predznak sa plus na minus, max M M, inače M Mmin. 2. Ako nema raspoređenog opterećenja na presjeku grede, tada je poprečna sila konstantna, a moment savijanja se mijenja linearno. 3. Ako je na presjeku grede ravnomjerno raspoređeno opterećenje, tada se poprečna sila mijenja po linearnom zakonu, a moment savijanja - prema zakonu kvadratne parabole, konveksne u smjeru opterećenja (u slučaj crtanja M sa strane rastegnutih vlakana). 4. U presjeku pod koncentrisanom silom, dijagram Q ima skok (po veličini sile), dijagram M ima prekid u smjeru sile. 5. U dijelu gdje se primjenjuje koncentrirani moment, dijagram M ima skok jednak vrijednosti ovog momenta. Ovo se ne odražava na Q dijagramu. Pod složenim opterećenjem, grede grade dijagrame poprečnih sila Q i momenata savijanja M. Dijagram Q (M) je graf koji prikazuje zakon promjene poprečne sile (momenta savijanja) duž dužine grede. Na osnovu analize dijagrama M i Q utvrđuju se opasni presjeci grede. Pozitivne ordinate Q dijagrama su iscrtane nagore, a negativne ordinate nadole od osnovne linije povučene paralelno sa uzdužnom osom grede. Pozitivne ordinate dijagrama M polažu se, a negativne ordinate se ucrtavaju prema gore, odnosno dijagram M se gradi od strane rastegnutih vlakana. Konstrukciju dijagrama Q i M za grede treba započeti definicijom reakcija potpore. Za gredu s jednim fiksnim i drugim slobodnim krajem, crtanje Q i M može se započeti od slobodnog kraja bez definiranja reakcija u ugradnji. 1.2. Konstrukcija dijagrama Q i M prema Balkovim jednadžbama podijeljena je na dijelove, unutar kojih funkcije momenta savijanja i posmične sile ostaju konstantne (nemaju diskontinuiteta). Granice presjeka su tačke primjene koncentrisanih sila, parovi sila i mjesta promjene intenziteta raspoređenog opterećenja. Na svakoj sekciji uzima se proizvoljni presek na udaljenosti x od nulte tačke, a za ovaj presek se sastavljaju jednačine za Q i M. Koristeći ove jednačine grade se dijagrami Q i M. Primer 1.1. Konstruisati dijagrame smičnih sila Q i savijanja momenti M za datu gredu (slika 1.4a). Rješenje: 1. Određivanje reakcija oslonaca. Sastavljamo jednadžbe ravnoteže: iz kojih dobijamo Reakcije nosača su tačno definisane. Greda ima četiri sekcije Sl. 1.4 opterećenja: CA, AD, DB, BE. 2. Ucrtavanje Q. Plot SA. Na sekciji CA 1 crtamo proizvoljni presek 1-1 na udaljenosti x1 od lijevog kraja grede. Definiramo Q kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju lijevo od presjeka 1-1: Znak minus se uzima jer je sila koja djeluje lijevo od presjeka usmjerena naniže. Izraz za Q ne zavisi od varijable x1. Grafikon Q u ovom odeljku biće prikazan kao prava linija paralelna sa x-osom. Parcela AD. Na mjestu crtamo proizvoljni dio 2-2 na udaljenosti x2 od lijevog kraja grede. Q2 definiramo kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju lijevo od sekcije 2-2: 8 Vrijednost Q je konstantna na presjeku (ne ovisi o varijabli x2). Dijagram Q na dijagramu je prava linija paralelna sa x-osi. DB site. Na mjestu crtamo proizvoljni dio 3-3 na udaljenosti x3 od desnog kraja grede. Definiramo Q3 kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju desno od odjeljka 3-3: Rezultirajući izraz je jednačina nagnute prave linije. Zemljište B.E. Na mjestu crtamo dio 4-4 na udaljenosti x4 od desnog kraja grede. Definiramo Q kao algebarski zbir svih vanjskih sila koje djeluju desno od odjeljka 4-4: 4 Ovdje se uzima znak plus jer je rezultantno opterećenje desno od odjeljka 4-4 usmjereno naniže. Na osnovu dobijenih vrednosti gradimo dijagrame Q (sl. 1.4, b). 3. Ucrtavanje M. Parcela m1. Moment savijanja u sekciji 1-1 definiramo kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju lijevo od presjeka 1-1. je jednačina prave linije. Odjeljak A 3 Moment savijanja u dijelu 2-2 definiramo kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju lijevo od odjeljka 2-2. je jednačina prave linije. Grafikon DB 4 Moment savijanja u dijelu 3-3 definiramo kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju desno od odjeljka 3-3. je jednadžba kvadratne parabole. 9 Pronalazimo tri vrijednosti na krajevima presjeka i u tački sa koordinatom xk , gdje sekcija BE 1 Definirajte moment savijanja u presjeku 4-4 kao algebarski zbir momenata sila koje djeluju desno od presjeka 4 -4. - jednadžbom kvadratne parabole nalazimo tri vrijednosti M4: Na osnovu dobijenih vrijednosti gradimo dijagram M (sl. 1.4, c). U presjecima CA i AD, ploha Q je ograničena pravim linijama paralelnim sa osom apscise, a u presjecima DB i BE kosim pravim linijama. U presecima C, A i B na dijagramu Q postoje skokovi za veličinu odgovarajućih sila, što služi kao provera ispravnosti konstrukcije dijagrama Q. U presecima gde je Q 0, momenti rastu od lijevo na desno. U presjecima gdje je Q 0 momenti se smanjuju. Pod koncentrisanim silama dolazi do pregiba u smjeru djelovanja sila. Pod koncentriranim momentom dolazi do skoka za vrijednost momenta. Ovo ukazuje na ispravnost konstrukcije dijagrama M. Primjer 1.2 Konstruirajte dijagrame Q i M za gredu na dva oslonca, opterećena raspoređenim opterećenjem, čiji intenzitet varira po linearnom zakonu (Sl. 1.5, a). Rješenje Određivanje reakcija podrške. Rezultanta raspoređenog opterećenja jednaka je površini trokuta koji predstavlja dijagram opterećenja i primjenjuje se na težište ovog trokuta. Sastavljamo zbir momenata svih sila u odnosu na tačke A i B: Zacrtavanje Q. Nacrtajmo proizvoljan presek na udaljenosti x od levog oslonca. Ordinata dijagrama opterećenja koji odgovara presjeku određena je iz sličnosti trouglova. Rezultanta onog dijela opterećenja koji se nalazi lijevo od nulte presjeke: Grafikon Q je prikazan na sl. 1.5, b. Moment savijanja u proizvoljnom presjeku je jednak Moment savijanja se mijenja prema zakonu kubične parabole: Maksimalna vrijednost momenta savijanja je u presjeku, gdje je 0, tj. 1.5, c. 1.3. Konstrukcija dijagrama Q i M po karakterističnim presecima (tačkama) Koristeći diferencijalne odnose između M, Q, q i zaključaka koji iz njih proizilaze, preporučljivo je graditi dijagrame Q i M po karakterističnim presecima (bez formulisanja jednačina). Pomoću ove metode izračunavaju se vrijednosti Q i M u karakterističnim presjecima. Karakteristični presjeci su granični presjeci presjeka, kao i presjeci u kojima dati faktor unutrašnje sile ima ekstremnu vrijednost. U granicama između karakterističnih presjeka, obris 12 dijagrama se uspostavlja na osnovu diferencijalnih ovisnosti između M, Q, q i zaključaka koji iz njih proizlaze. Primjer 1.3 Konstruirajte dijagrame Q i M za gredu prikazanu na sl. 1.6, a. Rice. 1.6. Rješenje: Q i M dijagrame počinjemo crtati sa slobodnog kraja grede, dok se reakcije u ugradnji mogu izostaviti. Greda ima tri područja opterećenja: AB, BC, CD. Nema raspoređenog opterećenja u sekcijama AB i BC. Poprečne sile su konstantne. Grafikon Q je ograničen pravim linijama paralelnim sa x-osi. Momenti savijanja se linearno mijenjaju. Grafikon M je ograničen na prave linije nagnute prema x-osi. Na sekciji CD je ravnomjerno raspoređeno opterećenje. Poprečne sile se mijenjaju linearno, a momenti savijanja se mijenjaju prema zakonu kvadratne parabole s konveksnošću u smjeru raspoređenog opterećenja. Na granici presjeka AB i BC poprečna sila se naglo mijenja. Na granici presjeka BC i CD, moment savijanja se naglo mijenja. 1. Iscrtavanje Q. Izračunavamo vrijednosti poprečnih sila Q u graničnim presjecima presjeka: Na osnovu rezultata proračuna gradimo dijagram Q za gredu (Sl. 1, b). Iz dijagrama Q slijedi da je poprečna sila u presjeku CD jednaka nuli u presjeku udaljenom na udaljenosti qa a q od početka ovog presjeka. U ovom dijelu, moment savijanja ima maksimalnu vrijednost. 2. Konstrukcija dijagrama M. Izračunavamo vrijednosti momenata savijanja u graničnim presjecima: Primjer 1.4 Prema datom dijagramu momenata savijanja (Sl. 1.7, a) za gredu (Sl. 1.7, b), odrediti djelujuća opterećenja i nacrtati Q. Krug označava vrh kvadratne parabole. Rješenje: Odredite opterećenja koja djeluju na gredu. Presjek AC je opterećen ravnomjerno raspoređenim opterećenjem, jer je dijagram M u ovom presjeku kvadratna parabola. U referentnoj sekciji B na gredu se primjenjuje koncentrirani moment koji djeluje u smjeru kazaljke na satu, jer na dijagramu M imamo skok naviše za veličinu momenta. U SI presjeku, greda nije opterećena, jer je dijagram M u ovom dijelu ograničen nagnutom ravnom linijom. Reakcija oslonca B određuje se iz uslova da je moment savijanja u presjeku C jednak nuli, tj. Da bismo odredili intenzitet raspoređenog opterećenja, sastavljamo izraz za moment savijanja u presjeku A kao zbir momenata sile na desnoj strani i jednake su nuli. Sada određujemo reakciju oslonca A. Da bismo to učinili, sastavljamo izraz za momente savijanja u presjeku kao zbir momenata sila na lijevoj strani Shema dizajna grede sa opterećenjem je prikazano na sl. 1.7, c. Počevši od lijevog kraja grede, izračunavamo vrijednosti poprečnih sila u graničnim presjecima presjeka: Grafikon Q je prikazan na sl. 1.7, d. Razmatrani problem se može riješiti kompajliranjem funkcionalnih ovisnosti za M, Q u svakom dijelu. Odaberimo ishodište koordinata na lijevom kraju grede. Na presjeku AC, dijagram M je izražen kvadratnom parabolom, čija je jednadžba oblika Konstante a, b, c, nalazimo iz uslova da parabola prolazi kroz tri tačke sa poznatim koordinatama: Zamjena koordinata tačke u jednadžbi parabole, dobijamo: Izraz za moment savijanja će biti , dobijamo zavisnost za poprečnu silu Nakon diferenciranja funkcije Q, dobijamo izraz za intenzitet raspoređenog opterećenja u preseku NE , izraz za moment savijanja je predstavljen kao linearna funkcija Za određivanje konstanti a i b koristimo uslove da ova prava prolazi kroz dvije tačke čije su koordinate poznate. Dobijamo dvije jednačine: ,b od kojih imamo 20. Jednadžba za moment savijanja u presjeku NE će biti Nakon dvostruke diferencijacije M2, naći ćemo.Na osnovu pronađenih vrijednosti M i Q gradimo dijagrame momenata savijanja i posmičnih sila za gredu. Osim raspoređenog opterećenja, koncentrisane sile se primjenjuju na gredu u tri presjeka, gdje na Q dijagramu postoje skokovi, a na M dijagramu koncentrirani momenti u dijelu gdje postoji skok. Primjer 1.5 Za gredu (slika 1.8, a) odrediti racionalni položaj šarke C, pri kojem je najveći moment savijanja u rasponu jednak momentu savijanja u ugradnji (u apsolutnoj vrijednosti). Izgradite dijagrame Q i M. Rješenje Određivanje reakcija oslonaca. Unatoč činjenici da je ukupan broj potpornih karika četiri, greda je statički određena. Moment savijanja u šarki C jednak je nuli, što nam omogućava da napravimo dodatnu jednačinu: zbir momenata oko šarke svih vanjskih sila koje djeluju na jednoj strani ove šarke jednak je nuli. Sastavite zbir momenata svih sila desno od šarke C. Dijagram Q za gredu je ograničen kosom ravnom linijom, pošto je q = const. Određujemo vrijednosti poprečnih sila u graničnim presjecima grede: Apscisa xK presjeka, gdje je Q = 0, određuje se iz jednadžbe odakle je Grafikon M za gredu ograničen kvadratnom parabolom. Izrazi za momente savijanja u presjecima, gdje je Q = 0, i na kraju se zapisuju na sljedeći način: Iz uvjeta jednakosti momenata dobijamo kvadratnu jednačinu za željeni parametar x: Realna vrijednost je x2x 1 ,029 m. Određujemo numeričke vrijednosti poprečnih sila i momenata savijanja u karakterističnim presjecima grede. 1.8, c - dijagram M. Razmatrani problem bi se mogao riješiti podjelom zglobne grede na njene sastavne elemente, kao što je prikazano na sl. 1.8, d. Na početku se određuju reakcije nosača VC i VB. Grafikoni Q i M konstruisani su za ovjesnu gredu SV od djelovanja na nju primijenjenog opterećenja. Zatim se kreću do glavne grede AC, opterećujući je dodatnom silom VC, koja je sila pritiska grede CB na gredu AC. Nakon toga se prave dijagrami Q i M za AC snop. 1.4. Proračun čvrstoće za direktno savijanje greda Proračun čvrstoće za normalna i posmična naprezanja. Direktnim savijanjem grede u njezinim poprečnim presjecima nastaju normalna i posmična naprezanja (slika 1.9). 18 Fig. 1.9 Normalna naprezanja povezana su s momentom savijanja, posmična naprezanja povezana su s poprečnom silom. Kod direktnog čistog savijanja, posmična naprezanja su jednaka nuli. Normalni naponi u proizvoljnoj tački poprečnog presjeka grede određeni su formulom (1.4) gdje je M moment savijanja u datom presjeku; Iz je moment inercije presjeka u odnosu na neutralnu osu z; y je udaljenost od tačke u kojoj je određen normalni napon do neutralne z ose. Normalni naponi duž visine presjeka se linearno mijenjaju i dostižu najveću vrijednost u tačkama najudaljenijim od neutralne ose.Ako je presjek simetričan u odnosu na neutralnu os (slika 1.11), tada 1.11 najveća vlačna i tlačna naprezanja su ista i određena su formulom, - aksijalni moment otpora presjeka pri savijanju. Za pravougaoni presek širine b i visine h: (1.7) Za kružni presek prečnika d: (1.8) Za prstenasti presek su unutrašnji i spoljašnji prečnik prstena, respektivno. Za grede od plastičnih materijala najracionalniji su simetrični oblici od 20 presjeka (I-greda, kutijasti, prstenasti). Za grede od krhkih materijala koji ne odolijevaju jednako napetosti i pritisku, racionalni su presjeci koji su asimetrični u odnosu na neutralnu os z (ta-br., U-oblika, asimetrična I-greda). Za grede konstantnog presjeka izrađene od plastičnih materijala sa simetričnim oblicima presjeka, uvjet čvrstoće se zapisuje na sljedeći način: (1.10) gdje je Mmax maksimalni moment savijanja po modulu; - dozvoljeno naprezanje za materijal. Za grede konstantnog presjeka od plastičnih materijala asimetričnog presjeka, uvjet čvrstoće se zapisuje u sljedećem obliku: (1. 11) Za grede od krhkih materijala sa presjecima koji su asimetrični u odnosu na neutralnu os, ako je dijagram M nedvosmislen (slika 1.12), moraju se napisati dva uslova čvrstoće - rastojanje od neutralne ose do najudaljenijih tačaka osi. rastegnute i komprimirane zone opasnog dijela; P - dozvoljena naprezanja pri zatezanju i kompresiji. Sl.1.12. 21 Ako dijagram momenta savijanja ima presjeke različitih predznaka (sl. 1.13), tada je pored provjere presjeka 1-1, gdje djeluje Mmax, potrebno izračunati maksimalna vlačna naprezanja za presjek 2-2 (sa najveći moment suprotnog predznaka). Rice. 1.13 Uz osnovni proračun za normalna naprezanja, u nekim slučajevima je potrebno provjeriti čvrstoću grede na posmična naprezanja. Posmični naponi u gredama izračunavaju se po formuli D. I. Žuravskog (1.13) gdje je Q poprečna sila u razmatranom poprečnom presjeku grede; Szots je statički moment oko neutralne ose površine dijela presjeka koji se nalazi na jednoj strani prave linije povučene kroz datu tačku i paralelne sa z osom; b je širina presjeka na nivou razmatrane tačke; Iz je moment inercije cijelog presjeka oko neutralne ose z. U mnogim slučajevima maksimalna posmična naprezanja se javljaju na razini neutralnog sloja grede (pravokutnik, I-greda, krug). U takvim slučajevima, uvjet čvrstoće za posmična naprezanja zapisuje se kao, (1.14) gdje je Qmax poprečna sila s najvećim modulom; - dozvoljeno naprezanje smicanja za materijal. Za pravokutni presjek grede uvjet čvrstoće ima oblik (1.15) A je površina poprečnog presjeka grede. Za kružni presjek, uvjet čvrstoće je predstavljen kao (1.16) Za I-presjek, uvjet čvrstoće je zapisan na sljedeći način: (1.17) d je debljina zida I-grede. Obično se dimenzije poprečnog presjeka grede određuju iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja. Provjera čvrstoće greda na posmična naprezanja obavezna je za kratke grede i grede bilo koje dužine, ako su u blizini oslonaca koncentrisane sile velike veličine, kao i za drvene, zakivane i zavarene grede. Primjer 1.6 Provjerite čvrstoću grede kutijastog presjeka (slika 1.14) za normalna i posmična naprezanja, ako je MPa. Napravite dijagrame u opasnom dijelu grede. Rice. 1.14 Odluka 23 1. Iscrtajte Q i M dijagrame iz karakterističnih presjeka. Uzimajući u obzir lijevu stranu grede, dobijamo Dijagram poprečnih sila prikazan je na sl. 1.14, c. Dijagram momenata savijanja prikazan je na sl. 5.14, g. 2. Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka 3. Najveća normalna naprezanja u presjeku C, gdje Mmax djeluje (modulo): MPa. Maksimalni normalni naponi u gredi su praktično jednaki dozvoljenim. 4. Najveća tangencijalna naprezanja u presjeku C (ili A), gdje djeluje max Q (modulo): Ovdje je statički moment površine polupresjeka u odnosu na neutralnu osu; b2 cm je širina presjeka u nivou neutralne ose. Slika 5. Tangencijalni naponi u tački (u zidu) u presjeku C: Sl. 1.15 Ovdje je Szomc 834.5 108 cm3 statički moment površine dijela presjeka koji se nalazi iznad prave koja prolazi kroz tačku K1; b2 cm je debljina zida na nivou tačke K1. Nacrti i za presjek C grede prikazani su na sl. 1.15. Primjer 1.7 Za gredu prikazanu na sl. 1.16, a, potrebno je: 1. Konstruirati dijagrame poprečnih sila i momenata savijanja duž karakterističnih presjeka (tačaka). 2. Odrediti dimenzije poprečnog presjeka u obliku kruga, pravokutnika i I-grede iz uvjeta čvrstoće za normalna naprezanja, uporediti površine poprečnog presjeka. 3. Provjerite odabrane dimenzije presjeka grede na posmična naprezanja. Zadato: Rješenje: 1. Odrediti reakcije nosača grede Provjera: 2. Nacrtati Q i M dijagrame Vrijednosti poprečnih sila u karakterističnim presjecima grede 25 Sl. 1.16 U sekcijama CA i AD, intenzitet opterećenja q = konst. Stoga je u ovim dijelovima dijagram Q ograničen na prave linije nagnute prema osi. U dijelu DB, intenzitet raspoređenog opterećenja q = 0, stoga je u ovom dijelu dijagram Q ograničen na pravu liniju paralelnu s osi x. Dijagram Q za gredu je prikazan na sl. 1.16b. Vrijednosti momenata savijanja u karakterističnim presjecima grede: U drugom presjeku određujemo apscisu x2 presjeka, u kojoj je Q = 0: Maksimalni moment u drugom presjeku Dijagram M za gredu je prikazan na sl. . 1.16, c. 2. Uslov čvrstoće za normalna naprezanja sastavljamo iz kojeg određujemo traženi modul aksijalnog presjeka iz izraza određen traženi prečnik d grede kružnog presjeka Površina kružnog presjeka Za pravokutnu gredu Potrebna visina presjeka Površina pravougaonog presjeka Odrediti potreban broj I-zraka. Prema tabelama GOST 8239-89 nalazimo najbližu veću vrijednost aksijalnog momenta otpora 597 cm3, što odgovara I-gredi br. 33 sa karakteristikama: A z 9840 cm4. Provjera tolerancije: (preopterećenje za 1% od dozvoljenih 5%) najbliža I-greda br. 30 (Š 2 cm3) dovodi do značajnog preopterećenja (više od 5%). Konačno prihvatamo I-gredu br. 33. Upoređujemo površine kružnih i pravokutnih presjeka s najmanjom površinom A I-grede: Od tri razmatrana presjeka, I-presjek je najekonomičniji. 3. Izračunavamo najveća normalna naprezanja u opasnom preseku 27 I-grede (slika 1.17, a): Normalni naponi u zidu blizu prirubnice I-preseka grede Dijagram normalna naprezanja u opasnom dijelu grede prikazan je na sl. 1.17b. 5. Određujemo najveća posmična naprezanja za odabrane presjeke grede. a) pravougaoni presjek grede: b) kružni presjek grede: c) I-presjek grede: posmični naponi u zidu u blizini prirubnice I-grede u opasnom presjeku A (desno) (u tački 2 ): Dijagram posmičnih naprezanja u opasnim presjecima I-grede prikazan je na sl. 1.17, in. Maksimalna posmična naprezanja u gredi ne prelaze dopuštena naprezanja. Primjer 1.8. Odredite dopušteno opterećenje na gredu (slika 1.18, a), ako je 60MPa, date su dimenzije poprečnog presjeka (sl. 1.19, a). Izraditi dijagram normalnih napona u opasnom presjeku grede pod dopuštenim opterećenjem. Slika 1.18 1. Određivanje reakcija nosača greda. S obzirom na simetriju sistema 2. Konstrukcija dijagrama Q i M iz karakterističnih presjeka. Posmične sile u karakterističnim presjecima grede: Dijagram Q za gredu je prikazan na sl. 5.18b. Momenti savijanja u karakterističnim presjecima grede Za drugu polovicu grede ordinate M su duž osi simetrije. Dijagram M za gredu je prikazan na sl. 1.18b. 3. Geometrijske karakteristike presjeka (sl. 1.19). Dijelimo figuru na dva jednostavna elementa: I-greda - 1 i pravougaonik - 2. Sl. 1.19 Prema asortimanu za I-gredu br. 20 imamo Za pravougaonik: Statički moment površine presjeka u odnosu na osu z1 Udaljenost od ose z1 do centra gravitacije presjeka Moment inercije presjeka relativni na glavnu centralnu osu z čitavog preseka prema formulama za prelazak na paralelne ose opasna tačka "a" (Sl. 1.19) u opasnom preseku I (Sl. 1.18): Nakon zamene numeričkih podataka 5. Sa dozvoljenim opterećenja u opasnom dijelu, normalni naponi u tačkama "a" i "b" će biti jednaki: opasna dionica 1-1 je prikazana na sl. 1.19b.
10.1. Opći koncepti i definicije
bend- ovo je vrsta opterećenja u kojoj je štap opterećen momentima u ravninama koje prolaze kroz uzdužnu os štapa.
Štap koji radi pri savijanju naziva se greda (ili šipka). U budućnosti ćemo razmotriti ravne grede, čiji poprečni presjek ima barem jednu os simetrije.
U otpornosti materijala, savijanje je ravno, koso i složeno.
ravna krivina- savijanje, u kojem sve sile koje savijaju gredu leže u jednoj od ravni simetrije grede (u jednoj od glavnih ravnina).
Glavne ravni inercije grede su ravnine koje prolaze kroz glavne ose poprečnih presjeka i geometrijsku os grede (x os).
kosi zavoj- savijanje, pri čemu opterećenja djeluju u jednoj ravni koja se ne poklapa s glavnim ravnima inercije.
Kompleksna krivina- savijanje, pri čemu opterećenja djeluju u različitim (proizvoljnim) ravnima.
10.2. Određivanje unutrašnjih sila savijanja
Razmotrimo dva karakteristična slučaja savijanja: u prvom slučaju, konzolna greda je savijena za koncentrirani moment Mo; u drugom, koncentrisanom silom F.
Metodom mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječene dijelove grede određujemo unutrašnje sile u oba slučaja:
Ostale jednačine ravnoteže su očigledno identično jednake nuli.
Dakle, u opštem slučaju ravnog savijanja u presjeku grede, od šest unutrašnjih sila nastaju dvije - moment savijanja Mz and poprečna sila Qy (ili pri savijanju oko druge glavne ose - moment savijanja My i poprečna sila Qz).
U ovom slučaju, u skladu s dva razmatrana slučaja opterećenja, ravno savijanje se može podijeliti na čisto i poprečno.
Pure bend- ravno savijanje, u kojem samo jedna od šest unutrašnjih sila nastaje u dijelovima štapa - moment savijanja (vidi prvi slučaj).
poprečna krivina- savijanje, u kojem se, osim unutrašnjeg momenta savijanja, javlja i poprečna sila u dijelovima šipke (vidi drugi slučaj).
Strogo govoreći, da jednostavne vrste otpor se odnosi samo na čisto savijanje; poprečno savijanje se uvjetno naziva jednostavnim tipovima otpora, jer se u većini slučajeva (za dovoljno dugačke grede) djelovanje poprečne sile može zanemariti u proračunima čvrstoće.
Prilikom određivanja unutrašnjih sila, pridržavat ćemo se sljedećeg pravila znakova:
1) poprečna sila Qy se smatra pozitivnom ako teži da rotira razmatrani element grede u smjeru kazaljke na satu;
2) moment savijanja Mz smatra se pozitivnim ako se pri savijanju elementa grede gornja vlakna elementa sabijaju, a donja rastežu (kišobransko pravilo).
Tako će se rješenje zadatka određivanja unutrašnjih sila pri savijanju graditi prema sljedećem planu: 1) u prvoj fazi, s obzirom na ravnotežne uslove konstrukcije u cjelini, određujemo, ako je potrebno, nepoznate reakcije oslonci (imajte na umu da za konzolnu gredu, reakcije u ugradnji mogu biti i ne pronađene ako uzmemo u obzir gredu sa slobodnog kraja); 2) u drugoj fazi odabiremo karakteristične presjeke grede, uzimajući kao granice presjeka tačke primjene sila, tačke promjene oblika ili dimenzija grede, tačke pričvršćivanja grede; 3) u trećoj fazi određujemo unutrašnje sile u presjecima grede, uzimajući u obzir uslove ravnoteže za elemente grede u svakom od presjeka.
10.3. Diferencijalne zavisnosti u savijanju
Uspostavimo neke odnose između unutrašnjih sila i vanjskih opterećenja pri savijanju, kao i karakteristike dijagrame Q i M, čije će poznavanje olakšati konstrukciju dijagrama i omogućiti vam kontrolu njihove ispravnosti. Radi lakšeg označavanja, označićemo: M≡Mz, Q≡Qy.
Dodijelimo mali element dx u presjeku grede sa proizvoljnim opterećenjem na mjestu gdje nema koncentrisanih sila i momenata. Budući da je cijela greda u ravnoteži, element dx će biti u ravnoteži i pod djelovanjem poprečnih sila koje se na njega primjenjuju, momenata savijanja i vanjskog opterećenja. Pošto Q i M generalno variraju
osi grede, tada će u presjecima elementa dx postojati poprečne sile Q i Q + dQ, kao i momenti savijanja M i M + dM. Iz uslova ravnoteže odabranog elementa dobijamo
Prva od dvije napisane jednadžbe daje uvjet
Iz druge jednačine, zanemarujući pojam q dx (dx/2) kao beskonačno malu veličinu drugog reda, nalazimo
Uzimajući u obzir izraze (10.1) i (10.2) zajedno možemo dobiti
Relacije (10.1), (10.2) i (10.3) nazivaju se diferencijalnim ovisnosti D. I. Žuravskog u savijanju.
Analiza gore navedenih diferencijalnih ovisnosti u savijanju omogućava nam da uspostavimo neke karakteristike (pravila) za konstruiranje dijagrama momenata savijanja i posmičnih sila: a - u područjima gdje nema raspoređenog opterećenja q, dijagrami Q su ograničeni na prave linije paralelne sa baza, a dijagrami M su nagnute prave linije; b - u presjecima gdje se na gredu primjenjuje raspoređeno opterećenje q, Q dijagrami su ograničeni kosim pravim linijama, a M dijagrami su ograničeni kvadratnim parabolama.
U ovom slučaju, ako gradimo dijagram M "na rastegnutom vlaknu", tada će konveksnost parabole biti usmjerena u smjeru djelovanja q, a ekstrem će se nalaziti u dijelu gdje dijagram Q siječe bazu linija; c - u odsjecima gdje je koncentrisana sila primijenjena na gredu, na Q dijagramu će biti skokova za vrijednost i u smjeru ove sile, a na M dijagramu ima pregiba, vrh usmjeren u smjeru ove sile sila; d - u dijelovima gdje se koncentrirani moment primjenjuje na gredu, neće biti promjena na Q dijagramu, a na M dijagramu će biti skokova za vrijednost ovog momenta; e - u odsjecima gdje Q>0, moment M raste, i u dijelovima gdje Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).
10.4. Normalni naponi kod čistog savijanja ravne grede
Razmotrimo slučaj čistog ravninskog savijanja grede i izvedimo formulu za određivanje normalnih napona za ovaj slučaj.
Napominjemo da je u teoriji elastičnosti moguće dobiti točnu ovisnost za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem riješi metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.
Postoje tri takve hipoteze za savijanje:
a - hipoteza ravnih presjeka (Bernoullijeva hipoteza) - presjeci su ravni prije deformacije i ostaju ravni nakon deformacije, ali samo rotiraju u odnosu na određenu liniju, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom slučaju, vlakna grede, koja leže s jedne strane neutralne ose, bit će rastegnuta, a s druge stisnuta; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju dužinu;
b - hipoteza konstantnosti normalnih napona - naponi koji djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne ose su konstantni po širini grede;
c – hipoteza o odsustvu bočnih pritisaka – susjedna uzdužna vlakna ne pritiskaju jedno na drugo.
Statička strana problema
Da bismo odredili napone u poprečnim presjecima grede, razmatramo, prije svega, statičke strane problema. Primjenom metode mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječeni dio grede, nalazimo unutrašnje sile pri savijanju. Kao što je ranije prikazano, jedina unutarnja sila koja djeluje u presjeku šipke kod čistog savijanja je unutrašnji moment savijanja, što znači da će se ovdje pojaviti normalna naprezanja povezana s njim.
Odnos između unutrašnjih sila i normalnih napona u presjeku grede nalazimo uzimajući u obzir naprezanja na elementarnoj površini dA, odabranoj u poprečnom presjeku A grede u tački s koordinatama y i z (os y je usmjerena nadolje radi lakšeg analize):
Kao što vidimo, problem je interno statički neodređen, jer je priroda raspodjele normalnih napona po poprečnom presjeku nepoznata. Da biste riješili problem, razmotrite geometrijski obrazac deformacija.
Geometrijska strana problema
Razmotrimo deformaciju elementa grede dužine dx odabranog od šipke za savijanje u proizvoljnoj tački s koordinatom x. Uzimajući u obzir prethodno prihvaćenu hipotezu o ravnim presjecima, nakon savijanja presjeka grede, zaokrenuti se u odnosu na neutralnu osu (n.r.) za ugao dϕ, dok će se vlakno ab, koje se nalazi na udaljenosti y od neutralne ose, pretvoriti u kružni luk a1b1, a njegova dužina će se promijeniti za neku veličinu. Ovdje podsjećamo da se dužina vlakana koja leže na neutralnoj osi ne mijenja, pa stoga luk a0b0 (čiji polumjer zakrivljenosti označavamo sa ρ) ima istu dužinu kao i segment a0b0 prije deformacije a0b0=dx.
Nađimo relativnu linearnu deformaciju εx vlakna ab zakrivljene grede.
ravna krivina- ovo je vrsta deformacije u kojoj u poprečnim presjecima šipke nastaju dva unutarnja faktora sile: moment savijanja i poprečna sila.
Pure bend- ovo je poseban slučaj direktnog savijanja, u kojem se u poprečnim presjecima štapa javlja samo moment savijanja, a poprečna sila je nula.
Primjer čistog zavoja - zaplet CD na štapu AB. Moment savijanja je vrijednost Pa par vanjskih sila koje uzrokuju savijanje. Od ravnoteže dijela štapa lijevo od poprečnog presjeka mn proizilazi da su unutrašnje sile raspoređene po ovoj sekciji statički ekvivalentne momentu M, jednak i suprotan momentu savijanja Pa.
Da bismo pronašli raspodjelu ovih unutrašnjih sila po poprečnom presjeku, potrebno je razmotriti deformaciju šipke.
U najjednostavnijem slučaju, štap ima uzdužnu ravninu simetrije i podvrgnut je djelovanju vanjskih parova sila koje se nalaze u ovoj ravnini. Tada će se savijanje dogoditi u istoj ravni.
osovina štapa nn 1 je linija koja prolazi kroz težišta njegovih poprečnih presjeka.
Neka poprečni presjek štapa bude pravougaonik. Nacrtajte dvije okomite linije na njegovim licima mm I str. Kada se savijaju, ove linije ostaju ravne i rotiraju se tako da ostaju okomite na uzdužna vlakna štapa.
Daljnja teorija savijanja temelji se na pretpostavci da ne samo linije mm I str, ali cijeli ravni poprečni presjek štapa ostaje ravan nakon savijanja i normalan na uzdužna vlakna štapa. Stoga, pri savijanju, poprečni presjeci mm I str rotiraju jedna u odnosu na drugu oko osi okomitih na ravan savijanja (ravnina crtanja). U ovom slučaju, uzdužna vlakna na konveksnoj strani doživljavaju napetost, a vlakna na konkavnoj strani doživljavaju kompresiju.
neutralna površina je površina koja se ne deformiše tokom savijanja. (Sada se nalazi okomito na crtež, deformisanu os štapa nn 1 pripada ovoj površini).
Neutralna osovina presjeka- ovo je sjecište neutralne površine s bilo kojim poprečnim presjekom (sada se također nalazi okomito na crtež).
Neka je proizvoljno vlakno na udaljenosti y sa neutralne površine. ρ je polumjer zakrivljenosti zakrivljene ose. Dot O je centar zakrivljenosti. Hajde da povučemo liniju n 1 s 1 paralelno mm.ss 1 je apsolutno izduženje vlakna.
Relativna ekstenzija ε x vlakna
Iz toga slijedi deformacija uzdužnih vlakana proporcionalno udaljenosti y od neutralne površine i obrnuto proporcionalno polumjeru zakrivljenosti ρ .
Uzdužno izduženje vlakana konveksne strane štapa je praćeno bočna konstrikcija, i uzdužno skraćivanje konkavne strane - bočna ekstenzija, kao u slučaju jednostavnog istezanja i kontrakcije. Zbog toga se mijenja izgled svih poprečnih presjeka, okomite stranice pravokutnika postaju koso. Bočna deformacija z:
μ - Poissonov omjer.
Kao rezultat ovog izobličenja, sve ravne linije poprečnog presjeka paralelne su s osi z, savijeni su tako da ostanu normalni na stranice presjeka. Radijus zakrivljenosti ove krive R biće više od ρ na isti način kao ε x je veće po apsolutnoj vrijednosti od ε z , i dobijamo
Ove deformacije uzdužnih vlakana odgovaraju naponima
Napon u bilo kojem vlaknu je proporcionalan njegovoj udaljenosti od neutralne ose. n 1 n 2. Položaj neutralne ose i radijus zakrivljenosti ρ su dvije nepoznanice u jednačini za σ x - može se odrediti iz uslova da sile raspoređene na bilo koji poprečni presjek formiraju par sila koje uravnotežuju vanjski moment M.
Sve navedeno vrijedi i ako štap nema uzdužnu ravan simetrije u kojoj djeluje moment savijanja, sve dok moment savijanja djeluje u aksijalnoj ravnini koja sadrži jedan od dva glavne osovine presjek. Ovi avioni se zovu glavne ravni savijanja.
Kada postoji ravan simetrije i moment savijanja djeluje u ovoj ravni, u njoj dolazi do otklona. Momenti unutrašnjih sila oko ose z uravnotežiti spoljašnji momenat M. Trenuci napora u odnosu na osu y međusobno se uništavaju.
bend naziva se deformacija, u kojoj se osovina štapa i sva njegova vlakna, tj. uzdužne linije paralelne s osi štapa, savijaju pod djelovanjem vanjskih sila. Najjednostavniji slučaj savijanja se dobiva kada vanjske sile leže u ravnini koja prolazi kroz središnju os štapa i ne projicira se na ovu os. Takav slučaj savijanja naziva se poprečno savijanje. Razlikovati ravni zavoj i kosi.
ravna krivina- takav slučaj kada se savijena os štapa nalazi u istoj ravni u kojoj djeluju vanjske sile.
Kosi (složeni) zavoj- takav slučaj savijanja, kada savijena os štapa ne leži u ravni djelovanja vanjskih sila.
Šipka za savijanje se obično naziva greda.
Kod ravnog poprečnog savijanja greda u presjeku s koordinatnim sistemom y0x mogu nastati dvije unutrašnje sile - poprečna sila Q y i moment savijanja M x; u nastavku uvodimo notaciju Q I M. Ako u presjeku ili presjeku grede nema poprečne sile (Q = 0), a moment savijanja nije jednak nuli ili je M konstantan, tada se takvo savijanje obično naziva cisto.
Poprečna sila u bilo kojem dijelu grede je numerički jednak algebarskom zbroju projekcija na os svih sila (uključujući reakcije potpore) koje se nalaze na jednoj strani (bilo koje) presjeka.
Moment savijanja u presjeku grede je numerički jednak algebarskom zbroju momenata svih sila (uključujući reakcije potpore) smještenih na jednoj strani (bilo koje) presjeka povučene u odnosu na težište ovog presjeka, tačnije, u odnosu na os prolazeći okomito na ravan crteža kroz težište nacrtanog presjeka.
Q-sila je rezultantno raspoređenih po poprečnom presjeku unutrašnjeg naponi smicanja, A momenat M– zbir trenutaka oko centralne ose unutrašnjeg preseka X normalna naprezanja.
Postoji razlika između unutrašnjih sila
koji se koristi u konstrukciji i verifikaciji dijagrama Q i M.
Budući da su neka vlakna grede rastegnuta, a neka sabijena, a prijelaz iz napetosti u kompresiju odvija se glatko, bez skokova, u srednjem dijelu grede nalazi se sloj čija se vlakna samo savijaju, ali ne doživljavaju ni jedno ni drugo. napetost ili kompresiju. Takav sloj se zove neutralni sloj. Linija duž koje se neutralni sloj siječe s poprečnim presjekom grede naziva se neutralna linija th or neutralna osa sekcije. Na osi grede nanizane su neutralne linije.
Linije povučene na bočnoj površini grede okomito na os ostaju ravne kada se savijaju. Ovi eksperimentalni podaci omogućuju zasnivanje zaključaka formula na hipotezi ravnih presjeka. Prema ovoj hipotezi, presjeci grede su ravni i okomiti na svoju os prije savijanja, ostaju ravni i postaju okomiti na savijenu os grede kada je savijena. Poprečni presjek grede je izobličen tokom savijanja. Zbog poprečne deformacije povećavaju se dimenzije poprečnog presjeka u sabijenoj zoni grede, au zoni zatezanja se sabijaju.
Pretpostavke za izvođenje formula. Normalni naponi
1) Ispunjena je hipoteza ravnih presjeka.
2) Uzdužna vlakna ne pritišću jedno na drugo i stoga pod djelovanjem normalnih naprezanja djeluju linearne napetosti ili kompresije.
3) Deformacije vlakana ne zavise od njihovog položaja duž širine presjeka. Posljedično, normalni naponi, koji se mijenjaju po visini presjeka, ostaju isti po širini.
4) Greda ima najmanje jednu ravan simetrije i sve vanjske sile leže u toj ravni.
5) Materijal grede je podložan Hookeovom zakonu, a modul elastičnosti pri zatezanju i kompresiji je isti.
6) Odnosi između dimenzija grede su takvi da radi u uslovima ravnog savijanja bez savijanja ili uvijanja.
Samo sa čistim savijanjem grede na platformama u svom presjeku normalna naprezanja, određena formulom:
gde je y koordinata proizvoljne tačke preseka, mereno od neutralne linije - glavne centralne ose x.
Normalna naprezanja savijanja po visini presjeka su raspoređena linearni zakon. Na ekstremnim vlaknima normalni naponi dostižu svoju maksimalnu vrijednost, a u centru gravitacije poprečni presjeci su jednaki nuli.
Priroda dijagrama normalnog naprezanja za simetrične presjeke u odnosu na neutralnu liniju
Priroda dijagrama normalnog naprezanja za presjeke koji nemaju simetriju u odnosu na neutralnu liniju
Opasne tačke su one koje su najudaljenije od neutralne linije.
Hajde da izaberemo neki odeljak
Za bilo koju tačku sekcije, nazovimo je tačkom TO, uslov čvrstoće grede za normalna naprezanja ima oblik:
, gdje je i.d. - Ovo neutralna osa
Ovo modul aksijalnog presjeka oko neutralne ose. Njegova dimenzija je cm 3, m 3. Moment otpora karakterizira utjecaj oblika i dimenzija poprečnog presjeka na veličinu napona.
Stanje snage za normalna naprezanja:
Normalno naprezanje je jednako omjeru maksimalnog momenta savijanja i modula aksijalnog presjeka u odnosu na neutralnu os.
Ako je materijal nejednako otporan na istezanje i kompresiju, tada se moraju koristiti dva uvjeta čvrstoće: za zonu rastezanja s dopuštenim vlačnim naprezanjem; za zonu kompresije sa dozvoljenim tlačnim naprezanjem.
Uz poprečno savijanje, grede na platformama u svom presjeku djeluju kao normalno, i tangente voltaža.
