9 10 الحل. آلة حاسبة على الانترنت. المعادلات التربيعية غير الكاملة
استخدام المعادلات منتشر على نطاق واسع في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية وبناء الهياكل وحتى الألعاب الرياضية. استخدم الإنسان المعادلات في العصور القديمة، ومنذ ذلك الحين زاد استخدامها. يتضمن حل معادلات الصف التاسع استخدام العديد من طرق الحل المختلفة: طرق الجمع الرسومية والجبرية وإدخال متغيرات جديدة واستخدام الدوال وتحويل المعادلات من نوع إلى نوع أبسط وغير ذلك الكثير. يتم اختيار طريقة حل المعادلة بناءً على البيانات الأولية، لذا من الأفضل فهم الطرق بوضوح باستخدام الأمثلة.
لنفترض أن لدينا معادلة بالصيغة التالية:
\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]
لحل هذه المعادلة، قم بتقسيم الطرفين الأيسر والأيمن على \
\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]
\[\فارك (6x+180)(x^2-36)=1\]
الجذران الناتجان هما الحل لهذه المعادلة.
دعونا نحل المعادلة:
\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]
من الضروري إيجاد مجموع جميع جذور هذه المعادلة. للقيام بذلك تحتاج إلى استبدال:
جذور هذه المعادلة ستكون رقمين: -1 و 4. لذلك:
\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(بمصفوفة)\]
مجموع الجذور الثلاثة يساوي 4، وهو الحل لحل هذه المعادلة.
أين يمكنني حل المعادلات عبر الإنترنت للصف التاسع؟
يمكنكم حل المعادلة على موقعنا https://site. سيسمح لك الحل المجاني عبر الإنترنت بحل المعادلات عبر الإنترنت بأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو ببساطة إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كان لا يزال لديك أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة VKontakte الخاصة بنا http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا، نحن سعداء دائمًا بمساعدتك.
معادلة ذات مجهول واحد، والتي، بعد فتح القوسين وإحضار مصطلحات مماثلة، تأخذ الشكل
الفأس + ب = 0، حيث a و b عبارة عن أرقام عشوائية، يتم استدعاؤها معادلة خطية مع واحد مجهول. اليوم سنتعرف على كيفية حل هذه المعادلات الخطية.
على سبيل المثال، جميع المعادلات:
2س + 3= 7 – 0.5س؛ 0.3x = 0; س/2 + 3 = 1/2 (س - 2) - خطي.
تسمى قيمة المجهول التي تحول المعادلة إلى مساواة حقيقية قرار أو جذر المعادلة .
على سبيل المثال، إذا قمنا في المعادلة 3x + 7 = 13 بدلاً من x المجهول بتعويض الرقم 2، نحصل على المساواة الصحيحة 3 2 +7 = 13. وهذا يعني أن القيمة x = 2 هي الحل أو الجذر من المعادلة.
والقيمة x = 3 لا تحول المعادلة 3x + 7 = 13 إلى مساواة حقيقية، حيث أن 3 2 +7 ≠ 13. وهذا يعني أن القيمة x = 3 ليست حلاً أو جذرًا للمعادلة.
يؤدي حل أي معادلات خطية إلى حل معادلات النموذج
الفأس + ب = 0.
دعنا ننقل الحد الحر من الجانب الأيسر من المعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة الموجودة أمام b إلى العكس، نحصل على
إذا كانت أ ≠ 0، فإن x = ‒ ب/أ .
مثال 1. حل المعادلة 3س + 2 =11.
دعنا ننقل 2 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة الموجودة أمام 2 إلى العكس، نحصل على
3س = 11 - 2.
دعونا نفعل الطرح، ثم
3س = 9.
للعثور على x، تحتاج إلى قسمة المنتج على عامل معروف، أي
س = 9:3.
وهذا يعني أن القيمة x = 3 هي الحل أو جذر المعادلة.
الجواب: س = 3.
إذا كان أ = 0 و ب = 0، ثم نحصل على المعادلة 0x = 0. هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول، لأننا عندما نضرب أي رقم في 0 نحصل على 0، ولكن b يساوي 0 أيضًا. حل هذه المعادلة هو أي رقم.
مثال 2.حل المعادلة 5(س – 3) + 2 = 3 (س – 4) + 2س – 1.
دعونا نوسع الأقواس:
5س – 15 + 2 = 3س – 12 + 2س – 1.
5س – 3س – 2س = – 12 – 1 + 15 – 2.
فيما يلي بعض المصطلحات المشابهة:
0س = 0.
الجواب: س - أي رقم.
إذا كانت أ = 0 و ب ≠ 0فنحصل على المعادلة 0x = - b . هذه المعادلة ليس لها حلول، لأننا عندما نضرب أي رقم في 0 نحصل على 0، لكن b ≠ 0.
مثال 3.حل المعادلة س + 8 = س + 5.
لنقم بتجميع المصطلحات التي تحتوي على مجهولات على الجانب الأيسر، والمصطلحات الحرة على الجانب الأيمن:
س – س = 5 – 8.
فيما يلي بعض المصطلحات المشابهة:
0× = - 3.
الجواب: لا توجد حلول.
على الشكل 1 يظهر رسم تخطيطي لحل المعادلة الخطية
لنرسم مخططًا عامًا لحل المعادلات بمتغير واحد. دعونا نفكر في حل المثال 4.
مثال 4. لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة
1) اضرب جميع حدود المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات، وهو 12.
2) بعد التخفيض نحصل على
4 (س – 4) + 3 2 (س + 1) ‒ 12 = 6 5 (س – 3) + 24س – 2 (11س + 43)
3) للفصل بين المصطلحات التي تحتوي على مصطلحات مجهولة ومصطلحات حرة، افتح القوسين:
4س – 16 + 6س + 6 – 12 = 30س – 90 + 24س – 22س – 86.
4) دعونا نجمع في جزء واحد المصطلحات التي تحتوي على مجهولات، وفي الآخر - المصطلحات الحرة:
4س + 6س – 30س – 24س + 22س = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) دعونا نقدم مصطلحات مماثلة:
- 22 س = - 154.
6) نقسم على – 22، نحصل على
س = 7.
كما ترون، جذر المعادلة هو سبعة.
عموما مثل هذا يمكن حل المعادلات باستخدام المخطط التالي:
أ) جلب المعادلة إلى شكلها الصحيح.
ب) فتح بين قوسين.
ج) قم بتجميع الحدود التي تحتوي على المجهول في جزء واحد من المعادلة، والحدود الحرة في الجزء الآخر؛
د) جلب أعضاء مماثلين؛
هـ) حل معادلة بالشكل ax = b، والتي تم الحصول عليها بعد إحضار مصطلحات مماثلة.
ومع ذلك، هذا المخطط ليس ضروريا لكل معادلة. عند حل العديد من المعادلات الأبسط، عليك أن تبدأ ليس من الأولى، بل من الثانية ( مثال. 2)، ثالث ( مثال. 1، 3) وحتى من المرحلة الخامسة كما في المثال 5.
مثال 5.حل المعادلة 2س = 1/4.
أوجد المجهول x = 1/4: 2،
س = 1/8 .
دعونا نلقي نظرة على حل بعض المعادلات الخطية الموجودة في امتحان الحالة الرئيسي.
مثال 6.حل المعادلة 2 (س + 3) = 5 – 6س.
2س + 6 = 5 - 6س
2س + 6س = 5 – 6
الجواب: - 0.125
مثال 7.حل المعادلة – 6 (5 – 3س) = 8س – 7.
– 30 + 18س = 8س – 7
18س – 8س = – 7 +30
الجواب: 2.3
مثال 8. حل المعادلة
3(3س – 4) = 4 7س + 24
9س – 12 = 28س + 24
9س – 28س = 24 + 12
مثال 9.أوجد f(6) إذا كانت f (x + 2) = 3 7
حل
وبما أننا بحاجة إلى إيجاد f(6)، ونعرف f(x + 2)،
ثم س + 2 = 6.
نحل المعادلة الخطية س + 2 = 6،
نحصل على س = 6 - 2، س = 4.
إذا كان س = 4
و(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
الجواب: 27.
إذا كان لا يزال لديك أسئلة أو تريد فهم حل المعادلات بشكل أكثر شمولاً، قم بالتسجيل في دروسي في الجدول الزمني. سأكون سعيدا بمساعدتك!
توصي TutorOnline أيضًا بمشاهدة درس فيديو جديد من معلمتنا أولغا ألكساندروفنا، والذي سيساعدك على فهم كل من المعادلات الخطية وغيرها.
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.
تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها ضرورية للغاية.
المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث المعاملات a وb وc هي أرقام عشوائية وa ≠ 0.
قبل دراسة طرق حل محددة، لاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:
- ليس لديهم جذور.
- لديك جذر واحد بالضبط؛
- لديهم جذور مختلفة.
وهذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والمعادلات الخطية، حيث يكون الجذر موجودًا دائمًا وفريدًا. كيفية تحديد عدد جذور المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - تمييزي.
مميز
افترض أن المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 يكون المميز ببساطة هو الرقم D = b 2 − 4ac.
عليك أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهما الآن. شيء آخر مهم: من خلال علامة المميز يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. وهي:
- إذا د< 0, корней нет;
- إذا كان D = 0، هناك جذر واحد بالضبط؛
- إذا كان D > 0، سيكون هناك جذرين.
يرجى ملاحظة: يشير المميز إلى عدد الجذور، وليس علاماتها على الإطلاق، كما يعتقد الكثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:
مهمة. ما عدد جذور المعادلات التربيعية:
- س 2 − 8س + 12 = 0;
- 5س 2 + 3س + 7 = 0؛
- س 2 − 6س + 9 = 0.
لنكتب معاملات المعادلة الأولى ونوجد المميز:
أ = 1، ب = −8، ج = 12؛
د = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
إذن يكون المميز موجبًا، وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5؛ ب = 3؛ ج = 7؛
د = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
المميز سالب، ولا توجد جذور. المعادلة الأخيرة المتبقية هي:
أ = 1؛ ب = −6؛ ج = 9؛
د = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
المميز هو صفر، وسيكون الجذر واحدًا.
يرجى ملاحظة أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم، إنها طويلة، نعم، إنها مملة، لكنك لن تخلط بين الاحتمالات وترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.
بالمناسبة، إذا تمكنت من ذلك، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. سوف تقوم بإجراء مثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الأشخاص في القيام بذلك في مكان ما بعد حل المعادلات بنسبة 50-70 - بشكل عام، ليس كثيرًا.
جذور المعادلة التربيعية
الآن دعنا ننتقل إلى الحل نفسه. إذا كان المميز D > 0، فيمكن العثور على الجذور باستخدام الصيغ:
الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية
عندما يكون D = 0، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - سوف تحصل على نفس الرقم، والذي سيكون الجواب. وأخيراً إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- س 2 − 2س − 3 = 0;
- 15 − 2س − س 2 = 0;
- × 2 + 12س + 36 = 0.
المعادلة الأولى:
س 2 − 2س − 3 = 0 ⇒ أ = 1; ب = −2؛ ج = −3;
د = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ للمعادلة جذرين. دعونا نجدهم:
المعادلة الثانية:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ أ = −1; ب = −2؛ ج = 15؛
د = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ المعادلة لها جذرين مرة أخرى. دعونا نجدهم
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]
وأخيراً المعادلة الثالثة:
س 2 + 12س + 36 = 0 ⇒ أ = 1; ب = 12؛ ج = 36؛
د = 12 2 − 4 1 36 = 0.
د = 0 ⇒ المعادلة لها جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال، الأول:
كما ترون من الأمثلة، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وتستطيع العد، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان، تحدث الأخطاء عند استبدال المعاملات السلبية في الصيغة. هنا مرة أخرى، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا، واكتب كل خطوة - وسرعان ما تتخلص من الأخطاء.
المعادلات التربيعية غير الكاملة
يحدث أن المعادلة التربيعية تختلف قليلاً عما ورد في التعريف. على سبيل المثال:
- س 2 + 9س = 0؛
- س 2 − 16 = 0.
من السهل ملاحظة أن هذه المعادلات تفتقد أحد المصطلحات. إن حل هذه المعادلات التربيعية أسهل من حل المعادلات القياسية: فهي لا تتطلب حتى حساب المميز. لذلك، دعونا نقدم مفهوما جديدا:
تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير مكتملة إذا كان b = 0 أو c = 0، أي. معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفر.
بالطبع، قد تكون هناك حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا هذين المعاملين مساويًا للصفر: b = c = 0. في هذه الحالة، تأخذ المعادلة الشكل ax 2 = 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد: x = 0.
دعونا ننظر في الحالات المتبقية. لنفترض أن b = 0، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة بالصيغة ax 2 + c = 0. فلنحولها قليلاً:
بما أن الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط لعدد غير سالب، فإن المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط بالنسبة لـ (−c /a) ≥ 0. الخلاصة:
- إذا كانت في معادلة تربيعية غير مكتملة من الصيغة ax 2 + c = 0 فإن المتباينة (−c /a) ≥ 0 قد تحققت، فسيكون هناك جذرين. الصيغة مذكورة أعلاه.
- إذا (-ج /أ)< 0, корней нет.
كما ترون، لم يكن التمييز مطلوبًا، إذ لا توجد حسابات معقدة على الإطلاق في المعادلات التربيعية غير المكتملة. في الواقع، ليس من الضروري حتى أن نتذكر المتراجحة (−c /a) ≥ 0. يكفي التعبير عن القيمة x 2 ومعرفة ما هو على الجانب الآخر من علامة المساواة. إذا كان هناك عدد موجب، فسيكون هناك جذرين. إذا كانت سلبية، فلن يكون هناك جذور على الإطلاق.
الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات ذات الصيغة ax 2 + bx = 0، حيث العنصر الحر يساوي الصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:
أخذ العامل المشترك من بين قوسينيكون الناتج صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. ومن هنا تأتي الجذور. وفي الختام، دعونا نلقي نظرة على عدد قليل من هذه المعادلات:
مهمة. حل المعادلات التربيعية:
- س 2 − 7س = 0;
- 5س 2 + 30 = 0؛
- 4س 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; س 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. لا توجد جذور، لأنه لا يمكن للمربع أن يساوي رقمًا سالبًا.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5.