Temat lekcji brzmi: „Zbiór wartości funkcji w problemach USE. Znajdowanie zbioru wartości funkcji Zbiór wartości funkcji y 4 x
Dzisiaj na lekcji zajmiemy się jednym z podstawowych pojęć matematyki - pojęciem funkcji; Przyjrzyjmy się bliżej jednej z właściwości funkcji - zbiorowi jej wartości.
Podczas zajęć
Nauczyciel. Rozwiązując problemy zauważamy, że czasami to właśnie znalezienie zbioru wartości funkcji stawia nas w trudnych sytuacjach. Dlaczego? Wydawać by się mogło, że studiując funkcję z 7. klasy wiemy o niej bardzo dużo. Dlatego mamy wszelkie powody, aby podjąć posunięcie wyprzedzające. „Pobawmy się” dziś wieloma wartościami funkcji, aby rozwiązać wiele pytań na ten temat na nadchodzącym egzaminie.
Zbiory wartości funkcji elementarnych
Nauczyciel. Na początek należy powtórzyć wykresy, równania i zbiory wartości podstawowych funkcji elementarnych w całej dziedzinie definicji.
Na ekranie wyświetlane są wykresy funkcji: liniowe, kwadratowe, ułamkowo-wymierne, trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne, dla każdego z nich ustnie określany jest zbiór wartości. Zwróć uwagę na fakt, że funkcja liniowa E(f) = R lub jedna liczba w przypadku ułamka liniowego
To jest nasz alfabet. Dodając do tego naszą wiedzę na temat przekształceń grafów: translacji równoległej, rozciągania, kompresji, odbicia, możemy rozwiązać problemy pierwszej części UŻYJ, a nawet trochę trudniej. Sprawdźmy to.
Niezależna praca
Na słowa zadań i układy współrzędnych wydrukowane dla każdego ucznia.
1. Znajdź zbiór wartości funkcji w całej dziedzinie definicji:
A) y= 3 grzechy X ;
B) y = 7 – 2 X
;
V) y= -arccos( X + 5):
G) y= | arctg X |;
mi)
2. Znajdź zbiór wartości funkcji y = X 2 pomiędzy J, Jeśli:
A) J = ;
B) J = [–1; 5).
3. Zdefiniuj funkcję analitycznie (poprzez równanie), jeśli zbiór jej wartości:
1) mi(F(X)) = (–∞ ; 2] i F(X) - funkcja
plac
b) logarytmiczny,
c) demonstracyjny;
2) mi(F(X)) = R \{7}.
Podczas omawiania zadania 2samodzielnej pracy, zwróć uwagę uczniów na fakt, że w przypadku monotoniczności i ciągłości funkcji y=F(X)w danym odstępie czasu[A;B],zbiór jego znaczeń-interwał,którego końcami są wartości f(A)i f(B).
Opcje odpowiedzi na zadanie 3.
1.
A) y = –X 2 + 2 , y = –(X
+ 18) 2 + 2,
y= A(X – X c) 2 + 2 w A < 0.
B) y= -| log 8 X | + 2,
V) y = –| 3 X – 7 | + 2, y = –5 | X | + 3.
2.
a) b)
V) y = 12 – 5X, Gdzie X ≠ 1 .
Znajdowanie zbioru wartości funkcji za pomocą pochodnej
Nauczyciel. W 10. klasie zapoznaliśmy się z algorytmem znajdowania ekstremów funkcji ciągłej na segmencie i znajdowania jej zbioru wartości bez polegania na wykresie funkcji. Pamiętasz, jak to zrobiliśmy? ( Za pomocą pochodnej.) Przypomnijmy sobie ten algorytm .
1. Upewnij się, że funkcja y = F(X) jest zdefiniowana i ciągła na przedziale J = [A; B]. 2. Znajdź wartości funkcji na końcach segmentu: f(a) i f(b). Komentarz. Jeśli wiemy, że funkcja jest ciągła i monotoniczna J, możesz od razu odpowiedzieć: mi(F) = [F(A); F(B)] Lub mi(F) = [F(B); F(A)]. 3. Znajdź pochodną, a następnie punkty krytyczne x kJ. 4. Znajdź wartości funkcji w punktach krytycznych F(x k). 5. Porównaj wartości funkcji F(A), F(B) I F(x k), wybierz największą i najmniejszą wartość funkcji i podaj odpowiedź: mi(F)= [F wynajmować; F naib]. |
Problemy związane ze stosowaniem tego algorytmu można znaleźć w UŻYJ opcji. Przykładowo w 2008 roku zaproponowano takie zadanie. Musisz to rozwiązać Domy .
Zadanie C1. Znajdź największą wartość funkcji
F(X) = (0,5X + 1) 4 – 50(0,5X + 1) 2
w | X + 1| ≤ 3.
Warunki pracy domowej wydrukowane dla każdego ucznia .
Znajdowanie zbioru wartości funkcji złożonej
Nauczyciel. Główną częścią naszej lekcji będą niestandardowe zadania zawierające złożone funkcje, których pochodne są bardzo złożonymi wyrażeniami. A wykresy tych funkcji nie są nam znane. Dlatego do rozwiązania posłużymy się definicją funkcji zespolonej, czyli zależnością pomiędzy zmiennymi w kolejności ich zagnieżdżenia w tej funkcji, a oceną ich zasięgu (przedziału zmian ich wartości). Zadania tego typu pojawiają się w drugiej części egzaminu. Przejdźmy do przykładów.
Ćwiczenie 1. Dla funkcji y = F(X) I y = G(X) napisz złożoną funkcję y = F(G(X)) i znajdź jego zestaw wartości:
A) F(X) = –X 2 + 2X +
3, G(X) = grzech X;
B) F(X) = –X 2 + 2X +
3, G(X) = log 7 X;
V)
G(X) = X 2 + 1;
G)
Rozwiązanie. a) Funkcja złożona ma postać: y= -grzech 2 X+2grzech X + 3.
Wprowadzenie argumentu pośredniego T, możemy napisać tę funkcję w następujący sposób:
y= –T 2 + 2T+ 3, gdzie T= grzech X.
W funkcji wewnętrznej T= grzech X argument przyjmuje dowolną wartość, a zbiorem jego wartości jest segment [–1; 1].
A więc dla funkcji zewnętrznej y = –T 2 +2T+ 3 poznaliśmy przedział zmian wartości jego argumentu T: T[-1; 1]. Spójrzmy na wykres funkcji y = –T 2 +2T + 3.
Należy pamiętać, że funkcja kwadratowa dla T[-1; 1] przyjmuje na końcach najmniejsze i największe wartości: y zatrudnianie = y(–1) = 0 i y naib = y(1) = 4. A ponieważ funkcja ta jest ciągła na przedziale [–1; 1], wówczas przyjmuje również wszystkie wartości pomiędzy nimi.
Odpowiedź: y .
b) Złożenie tych funkcji prowadzi nas do funkcji złożonej, którą po wprowadzeniu argumentu pośredniego można przedstawić w następujący sposób:
y= –T 2 + 2T+ 3, gdzie T= log 7 X,
Funkcjonować T= log 7 X
X (0; +∞ ), T (–∞ ; +∞ ).
Funkcjonować y = –T 2 + 2T+ 3 (patrz wykres) argument T przyjmuje dowolną wartość, a sama funkcja kwadratowa przyjmuje wszystkie wartości nie większe niż 4.
Odpowiedź: y (–∞ ; 4].
c) Funkcja złożona ma następującą postać:
Wprowadzając argument pośredni, otrzymujemy:
Gdzie T = X 2 + 1.
Ponieważ dla funkcji wewnętrznej X R , A T .
Odpowiedź: y (0; 3].
d) Złożenie tych dwóch funkcji daje nam złożoną funkcję
co można zapisać jako
Zauważ, że
Zatem o godz
Gdzie k Z , T [–1; 0) (0; 1].
Rysowanie wykresu funkcji widzimy to dla tych wartości T
y(–∞; –4] do;
b) w całej dziedzinie definicji.
Rozwiązanie. Najpierw zbadamy tę funkcję pod kątem monotoniczności. Funkcjonować T= arcctg X- ciągła i malejąca R i zbiór jego wartości (0; π). Funkcjonować y= log 5 T jest określona na przedziale (0; π), jest ciągła i na nim rośnie. Oznacza to, że ta złożona funkcja jest malejąca na zbiorze R . A ona, jako złożenie dwóch funkcji ciągłych, będzie ciągła R .
Rozwiążmy problem „a”.
Ponieważ funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, to jest ciągła na dowolnej jej części, w szczególności na danym odcinku. A potem w tym segmencie ma najmniejsze i największe wartości i przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy nimi:
F(4) = log 5 arcctg 4.
Która z otrzymanych wartości jest większa? Dlaczego? A jaki będzie zbiór wartości?
Odpowiedź: 
Rozwiążmy problem „b”.
Odpowiedź: Na(–∞ ; log 5 π) w całym obszarze definicji.
Zadanie z parametrem
Spróbujmy teraz ułożyć i rozwiązać proste równanie z parametrem postaci F(X) = A, Gdzie F(X) - ta sama funkcja co w zadaniu 4.
Zadanie 5. Określ liczbę pierwiastków równania log 5 (arcctg X) = A dla każdej wartości parametru A.
Rozwiązanie. Jak już pokazaliśmy w zadaniu 4, funkcja Na= log 5 (arctg X) maleje i jest ciągły R i przyjmuje wartości mniejsze niż log 5 π. Ta informacja wystarczy, aby udzielić odpowiedzi.
Odpowiedź: Jeśli A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;
Jeśli A≥ log 5 π, to nie ma pierwiastków.
Nauczyciel. Dzisiaj rozważaliśmy problemy związane ze znalezieniem zbioru wartości funkcji. Na tej ścieżce odkryliśmy nową metodę rozwiązywania równań i nierówności - metodę estymacji, więc znalezienie zbioru wartości funkcji stało się sposobem na rozwiązywanie problemów wyższego poziomu. Jednocześnie zobaczyliśmy, jak takie problemy są zbudowane i jak właściwości monotoniczności funkcji ułatwiają ich rozwiązanie.
I mam nadzieję, że logika łącząca rozważane dzisiaj zadania zaskoczyła Cię, a przynajmniej zaskoczyła. Nie może być inaczej: zdobycie nowego szczytu nie pozostawia nikogo obojętnym! Dostrzegamy i doceniamy piękne obrazy, rzeźby itp. Ale matematyka ma też swoje piękno, atrakcyjne i urzekające – piękno logiki. Matematycy tak mówią fajne rozwiązanie- to zwykle prawidłowe rozwiązanie i to nie jest tylko fraza. Teraz sam musisz znaleźć takie rozwiązania, a my dzisiaj wskazaliśmy jeden ze sposobów na nie. Powodzenia! I pamiętaj: drogę opanuje pieszy!
Funkcja jest modelem. Zdefiniujmy X jako zbiór wartości zmiennej niezależnej //niezależne oznacza dowolne.
Funkcja to reguła, według której dla każdej wartości zmiennej niezależnej ze zbioru X można znaleźć jedyną wartość zmiennej zależnej. // tj. na każde x przypada jedno y.
Z definicji wynika, że istnieją dwa pojęcia - zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x i może przyjmować dowolną wartość) oraz zmienna zależna (którą oznaczamy y lub f(x) i jest ona wyliczana z funkcji gdy podstawiamy x).
NA PRZYKŁAD y=5+x
1. Niezależne jest x, więc przyjmujemy dowolną wartość, niech x = 3
2. a teraz obliczamy y, więc y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y jest zależne od x, bo jakie x podstawimy, otrzymamy takie y)
Mówimy, że zmienna y jest funkcjonalnie zależna od zmiennej x i oznaczamy to następująco: y = f (x).
NA PRZYKŁAD.
1.y=1/x. (tzw. hiperbola)
2. y=x^2. (zwana parabolą)
3.y=3x+7. (tzw. linia prosta)
4. y \u003d √ x. (zwana gałęzią paraboli)
Zmienna niezależna (którą oznaczamy przez x) nazywana jest argumentem funkcji.
Zakres funkcji
Zbiór wszystkich wartości, jakie przyjmuje argument funkcji, nazywany jest dziedziną funkcji i jest oznaczany przez D(f) lub D(y).
Rozważ D(y) dla 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cały zbiór liczb rzeczywistych oprócz zera.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / wszystkie liczby rzeczywiste
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / wszystkie liczby rzeczywiste
4. D (y) \u003d. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w tym segmencie.
Pochodna jest dodatnia dla wszystkich X z interwału (-1; 1)
, to znaczy funkcja arcsine rośnie w całej dziedzinie definicji. Dlatego przyjmuje najmniejszą wartość przy x=-1, a największy przy x=1.
Otrzymaliśmy zakres funkcji arcsine 
.
Znajdź zbiór wartości funkcji 
na segmencie
.
Rozwiązanie.
Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w danym segmencie.
Wyznaczmy ekstrema należące do odcinka
:
Nazywa się zależność jednej zmiennej od drugiej zależność funkcjonalna. Zmienna zależność y ze zmiennej X zwany funkcjonować, jeśli każda wartość X pasuje do jednej wartości y.
Przeznaczenie:
zmienny X nazywana zmienną niezależną lub argument i zmienna y- zależny. Mówią, że y jest funkcją X. Oznaczający y odpowiadającej podanej wartości X, zwany wartość funkcji.
Wszystkie wartości, jakie przyjmuje X, formularz zakres funkcji; wszystkie wartości, jakie przyjmuje y, formularz zbiór wartości funkcji.
Oznaczenia: 
D(f)- wartości argumentów. E(f)- wartości funkcji. Jeżeli funkcja jest podana wzorem, wówczas uważa się, że dziedzina definicji składa się ze wszystkich wartości zmiennej, dla których ta formuła ma sens.
Wykres funkcji wywoływany jest zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentu, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji. Jeśli jakaś wartość x=x0 dopasuj wiele wartości (nie tylko jedną) y, to taka korespondencja nie jest funkcją. Aby zbiór punktów płaszczyzny współrzędnych był wykresem jakiejś funkcji, konieczne i wystarczające jest, aby jakakolwiek prosta równoległa do osi Oy przecinała się z wykresem nie więcej niż w jednym punkcie.
Sposoby ustawiania funkcji
1) Można ustawić funkcję analitycznie w formie formuły. Na przykład, 
2) Funkcję można zdefiniować za pomocą tabeli wielu par (x; y).
3) Funkcję można ustawić graficznie. Pary wartości (x; y) wyświetlane na płaszczyźnie współrzędnych.
Monotoniczność funkcji
Funkcjonować k(x) zwany wzrastający na danym przedziale liczbowym, jeśli większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji. Wyobraź sobie, że pewien punkt przesuwa się wzdłuż wykresu od lewej do prawej. Następnie punkt w pewnym sensie „wspina się” w górę wykresu.
Funkcjonować k(x) zwany zanika na danym przedziale liczbowym, jeśli większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji. Wyobraź sobie, że pewien punkt przesuwa się wzdłuż wykresu od lewej do prawej. Wtedy punkt niejako „przesunie się” w dół wykresu.
Nazywa się funkcję, która rośnie lub tylko maleje w danym przedziale liczbowym monotonny w tym przedziale.
Zera funkcji i przedziały stałości
Wartości X, w którym y=0, jest nazywany zera funkcji. Są to odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji z osią x.
Takie zakresy wartości X, na którym znajdują się wartości funkcji y wywoływane są albo tylko dodatnie, albo tylko ujemne przedziały stałości znaku funkcji.
Funkcje parzyste i nieparzyste
Nawet funkcjonować
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0), to znaczy, jeśli punkt A należy do dziedziny definicji, a następnie do punktu -A również należy do domeny definicji.
2) Dla dowolnej wartości X f(-x)=f(x)
3) Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.
dziwna funkcja ma następujące właściwości:
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0).
2) dla dowolnej wartości X, co należy do dziedziny definicji, równość f(-x)=-f(x)
3) Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku (0; 0).
Nie każda funkcja jest parzysta lub nieparzysta. Funkcje ogólna perspektywa nie są ani parzyste, ani nieparzyste.
Funkcje okresowe
Funkcjonować F nazywa się okresowym, jeśli istnieje taka liczba, że dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(x)=f(x-T)=f(x+T). T jest okresem funkcji.
Każda funkcja okresowa ma nieskończoną liczbę okresów. W praktyce zwykle bierze się pod uwagę najmniejszy okres dodatni.
Wartości funkcji okresowej powtarzają się po odstępie równym okresowi. Używa się tego podczas rysowania wykresów.
Strona 1
Lekcja 3
„zakres funkcji”
Cele: - Zastosowanie koncepcji zakresu wartości do rozwiązania konkretnego problemu;
rozwiązywanie typowych problemów.
Od kilku lat na egzaminach regularnie pojawiają się problemy, w których wymagane jest wybranie z danej rodziny funkcji tych, których zbiory wartości spełniają zadeklarowane warunki.
Rozważmy takie zadania.
Aktualizacja wiedzy.
Co rozumiemy przez zbiór wartości funkcji?
Jaki jest zbiór wartości funkcji?
Z jakich danych możemy znaleźć zbiór wartości funkcji? (Zgodnie z analitycznym zapisem funkcji lub jej wykresem)
(cm WYKORZYSTAJ zadania, część A)
Jakie wartości funkcji znamy? (Główne funkcje są wymienione wraz z ich zapisem na tablicy; dla każdej funkcji zapisano jej zestaw wartości). W rezultacie na tablicy i w zeszytach uczniów
|
Funkcjonować |
Wiele wartości |
|
y = X 2 y = X 3 y=| X| y=
|
MI( y) = MI( y) = [- 1, 1] MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (0, + ∞) |
Czy korzystając z tej wiedzy możemy od razu znaleźć zbiory wartości funkcji zapisane na tablicy? (patrz tabela 2).
Co może pomóc odpowiedzieć na to pytanie? (Wykresy tych funkcji).
Jak wykreślić pierwszą funkcję? (Obniż parabolę o 4 jednostki w dół).
|
Funkcjonować |
Wiele wartości |
|
y = X 2 – 4 |
MI( y) = [-4, + ∞) |
|
y = + 5 |
MI( y) = |
|
y = – 5cos X |
MI( y) = [- 5, 5] |
|
y= tg( x + / 6) – 1 |
MI( y) = (– ∞, + ∞) |
|
y= grzech( x + / 3) – 2 |
MI( y) = [- 3, - 1] |
|
y=| X – 1 | + 3 |
MI( y) = |
|
y=| ctg X| |
MI( y) = |
|
y =  = | cos(x + /4) | |
MI( y) = |
|
y=(X- 5) 2 + 3 |
MI( y) = . Znajdź zbiór wartości funkcji:   . 
Wprowadzenie algorytmu rozwiązywania problemów znajdowania zbioru wartości funkcji trygonometrycznych. Zobaczmy jak możemy zastosować nasze doświadczenie do różnych zadań zawartych w opcjach jednego egzaminu. 1. Znajdowanie wartości funkcji dla danej wartości argumentu. Przykład. Znajdź wartość funkcji y = 2 sałata(π/2+ π/4 ) – 1, Jeśli x = -π/2. Rozwiązanie. y(-π/2) = 2 sałata(- π/2 – π/4 )- 1= 2 sałata(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 grzechπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Znajdowanie zakresu funkcji trygonometrycznych
1≤ grzechX≤ 1 2 ≤ 2 grzechX≤ 2 9 ≤ 11+2grzechX≤ 13 3 ≤ Wypiszmy wartości całkowite funkcji w przedziale . Ta liczba to 3. Odpowiedź: 3.
Na= grzech 2 X- 2 3 grzechx + 3 2 - 3 2 + 8, Na= (grzechX- 3) 2 -1. E ( grzechX) = [-1;1]; E ( grzechX -3) = [-4;-2]; E ( grzechX -3) 2 = ; E ( Na) = . Odpowiedź: .
Czy możemy znaleźć zbiór wartości dla tej funkcji? (NIE.) Co powinno być zrobione? (Zredukowane do jednej funkcji.) Jak to zrobić? (Użyj wzoru cos 2 X= 1-grzech 2 X.) Więc, Na= 1-grzech 2 X+2grzech X –2, y= -grzech 2 X+2grzech X –1, Na= -(grzech X –1) 2 . Cóż, teraz możemy znaleźć zbiór wartości i wybrać najmniejszy z nich. 1 ≤ grzech X ≤ 1, 2 ≤ grzech X – 1 ≤ 0, 0 ≤ (grzech X – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(grzech X -1) 2 ≤ 0. Zatem najmniejsza wartość funkcji Na wynajmować= -4. Odpowiedź: -4.
Rozwiązanie. Na= 1-cos 2 X+ bo X + 1,5, Na= -cos 2 X+ 2∙0,5∙cos X - 0,25 + 2,75, Na= -(bos X- 0,5) 2 + 2,75. E (kos X) = [-1;1], E (kos X – 0,5) = [-1,5;0,5], E (kos X – 0,5) 2 = , E(-(kos X-0,5) 2) = [-2,25;0], MI( Na) = . Największa wartość funkcji Na naib= 2,75; najmniejsza wartość Na wynajmować= 0,5. Znajdźmy iloczyn największej i najmniejszej wartości funkcji: Na naib ∙Na wynajmować = 0,5∙2,75 = 1,375. Odpowiedź: 1,375. Rozwiązanie. Przepiszmy funkcję w postaci Na =, Na = Znajdźmy teraz zbiór wartości funkcji. E(grzech X) = [-1, 1], E(6 grzech X) = [-6, 6], E(6 grzech X + 1) = [-5, 7], E((6 grzech X + 1) 2) = , E(– (6 grzech X + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6 grzech X + 1) 2 + 64) = , MI( y) = [ Znajdźmy sumę wartości całkowitych funkcji: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Odpowiedź: 30.  Rozwiązanie. 1) 2) Dlatego 2 X należą do drugiego kwartału. 3) W drugim kwartale funkcja sinus maleje i jest ciągła. Oznacza, dana funkcja 4) Oblicz te wartości:
Odpowiedź :
 Rozwiązanie. 1) Ponieważ sinus przyjmuje wartości od -1 do 1, to zbiór wartości różnicowych 2) Arcus cosinus jest funkcją monotonicznie malejącą i ciągłą. Zatem zbiór wartości wyrażenia jest segmentem 3) Mnożąc ten segment przez Odpowiedź:  Rozwiązanie. Zatem tangens łuku jest funkcją rosnącą 2) Podczas zwiększania X z 3) Przy zwiększaniu od 4) Korzystając ze wzoru wyrażającego sinus w postaci tangensa połówki kąta, stwierdzamy to
Zatem pożądanym zbiorem wartości jest suma segmentów Odpowiedź: Na= a grzech x + b cos x Lub Na= grzech (Rx) + bcos(RX).
Rozwiązanie. Znajdźmy wartość Przekształćmy wyrażenie 15 grzech 2x + 20 sałata 2x = 25 ( 25 grzechów (2x + Zbiór wartości funkcji y \u003d grzech (2x + Następnie zbiór wartości oryginalnej funkcji -25 Odpowiedź:
[-25; 25].
Funkcjonować Na= ctg X maleje na odcinku [π/4; π/2], dlatego funkcja przyjmie najmniejszą wartość w x =π/2, tj Na(π/2) = π/2 = 0; a największa wartość wynosi x=π/4, tj Na(π/4) = π/4 = 1. Odpowiedź: 1, 0.  . Rozwiązanie. Oddzielne w równości Wynika z tego, że wykres funkcji f(x) jest albo hiperbolą (а≠ 0), albo linią prostą bez punktu. Co więcej, jeśli; 2a) i (2a; Jeśli a \u003d 0, to f (x) \u003d -2 w całej dziedzinie definicji x ≠ 0. Dlatego oczywiste jest, że pożądane wartości parametru nie są równe zero. Ponieważ interesują nas tylko wartości funkcji w segmencie [-1; 1], to o klasyfikacji sytuacji decyduje fakt, że asymptota x = 2a hiperboli (a≠0) jest położona względem tego odcinka. Przypadek 1. Wszystkie punkty przedziału [-1; 1] znajdują się na prawo od asymptoty pionowej x = 2a, czyli gdy 2a Przypadek 2. Asymptota pionowa przecina przedział [-1; 1], a funkcja maleje (jak w przypadku 1), czyli kiedy Przypadek 3. Asymptota pionowa przecina przedział [-1; 1] i funkcja jest rosnąca, czyli -1 Przypadek 4. Wszystkie punkty przedziału [-1; 1] znajdują się na lewo od asymptoty pionowej, czyli 1 a > . i drugi Recepcja 5. Uproszczenie wzoru definiującego ułamkową funkcję wymierną Recepcja 6. Znalezienie zbioru wartości funkcji kwadratowych (poprzez znalezienie wierzchołka paraboli i ustalenie charakteru zachowania jej gałęzi). Recepcja 7. Wprowadzenie kąta pomocniczego do znajdowania zbioru wartości niektórych funkcji trygonometrycznych. |
– 1.
, tj. E (y) = .
,
, 8].
to jest X należy do pierwszego kwartału.
zanim 
.
. Po pomnożeniu przez 
ten segment trafi do segmentu 
.
.
dostajemy 
.
.
.
zanim 
argument 2 X wzrasta od 
zanim 
. Ponieważ sinus na takim przedziale rośnie, funkcja 
do 1.
argument 2 X wzrasta od 
. Ponieważ sinus maleje w takim przedziale, funkcja 
do 1.
.
I 
, czyli segment 
= 
= 25.
) = 25 () =
), gdzie cos 
grzech (2x + 
) i jeśli a > 0, rośnie monotonicznie na tych promieniach.
.
