ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು 4 x 2 ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಪರಿಹಾರ ಸೇರಿವೆ.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒದಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಲೇಖನವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ವಿವರವಾದ ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
X ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಎಲ್ಲದರ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾಗ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ y = f(x)ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ x ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾಗ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು E(f) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. y = f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ ಮಧ್ಯಂತರ X ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಲ್ಲದೆ, y=f(x) ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ವೇರಿಯಬಲ್ x ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. f(x) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರದೇಶವು y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ.
ಚಿತ್ರವು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.
ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ದಪ್ಪ ನೀಲಿ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ತೆಳುವಾದ ಕೆಂಪು ರೇಖೆಗಳು ಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ, ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮತ್ತು Oy ಅಕ್ಷದ ರೇಖೆಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು y- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ (ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣ), ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣ), ಒಂದು ವಿಭಾಗ (ಮೂರನೇ ಪ್ರಕರಣ), ಮಧ್ಯಂತರ (ನಾಲ್ಕನೇ ಪ್ರಕರಣ), ತೆರೆದ ಕಿರಣ (ಐದನೇ ಪ್ರಕರಣ), ಒಕ್ಕೂಟ (ಆರನೇ ಪ್ರಕರಣ) ಇತ್ಯಾದಿ ಆಗಿರಬಹುದು. .
ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು.
ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ: ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ y = f (x) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ y = arcsinx .
ಪರಿಹಾರ.
ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ [-1; 1] . ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (-1; 1) , ಅಂದರೆ ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು x = -1 ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x = 1 ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದು. 
ನಾವು ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ 
.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: 
ನಾವು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ 
:
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ 
.
ಈಗ ನಾವು ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ y = f (x) ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ (a; b) , .
ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಅಂದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ). ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ಮಾಹಿತಿಯು ಸಾಕು.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (-2; 2) .
ಪರಿಹಾರ.
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-2; 2) ಬೀಳುವ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 
ಡಾಟ್ x = 0 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ. 
ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ.
x ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ -2 ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಮತ್ತು x ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ 2 ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: 
ನಾವು ಏನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ -2 ರಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ (x = 0 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ), ವಾದವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ 2 ಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ (-2; 2) ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ರಿಯೆಯ y = tgx ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
, ಇದು ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 
ಹೀಗಾಗಿ, ವಾದವು ಗೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = lnx ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ವಾದದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ 
. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
, ಇದು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಾದವು ಬಲದಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಮತ್ತು x ನಂತೆ ಮಿತಿಯು ಅನಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ: 
x ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಪರಿಹಾರ.
ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ x ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ, ಜೊತೆಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. 
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, x = 0 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, 
ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಗರಿಷ್ಠ.
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: 
ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಂತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ.
ವಾದವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ (ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು) ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಒಂಬತ್ತಕ್ಕೆ (ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ವರೆಗೆ) ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂಬತ್ತರಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ.
ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಎಂದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.
ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಧ್ಯಯನಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ಈಗ ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಹಲವಾರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರಲಿ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯದ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಾರದು, ಅಂದರೆ, .
ಮೊದಲಿಗೆ, ತೆರೆದ ಕಿರಣದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ಫಂಕ್ಷನ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ 
ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. 
ವಾದವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಏಕತೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. x ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ ಎರಡಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದರಿಂದ ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ಏಕತೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದನ್ನು ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ.
ತೆರೆದ ಕಿರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. 
ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಶ್ರೇಣಿಯು ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು .
ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆ.
ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ, ನಾವು ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸಬೇಕು. ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = sinx ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಪರಿಹಾರ.
ಈ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ಪೈ ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. 
ವಿಭಾಗವು ಎರಡು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು .
ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ: 
ಆದ್ದರಿಂದ, 
.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ 
.
ಪರಿಹಾರ.
ಆರ್ಕೋಸೈನ್‌ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪೈವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ, 
ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಪೋಸ್ಟ್‌ನಲ್ಲಿ. ಕಾರ್ಯ 
X- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆರ್ಕೋಸ್ಕ್ಸ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, 
. ಕಾರ್ಯ 
ಅದರಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ Oy ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮೂರು ಬಾರಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, 
. ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕೊನೆಯ ಹಂತವು y- ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಾಲ್ಕು ಘಟಕಗಳ ಮೂಲಕ ಶಿಫ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ನಮ್ಮನ್ನು ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ 
ಹೀಗಾಗಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಶ್ರೇಣಿ 
.
ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡೋಣ, ಆದರೆ ವಿವರಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ (ಅವುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ).
ಉದಾಹರಣೆ.
ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ 
.
ಪರಿಹಾರ.
ನಾವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ 
. ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ. ಅದು, . ನಂತರ 
ಆದ್ದರಿಂದ, 
.
ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ 3 ಅನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ನಾವು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು x ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ 3 ಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ 
. ಅಂದಿನಿಂದ 
ಹೀಗಾಗಿ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ [-6;2] ಆಗಿದೆ.
ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ y = -1 . ಅಂದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ವಾದದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉತ್ಪನ್ನವು x=-1 ಮತ್ತು x=3 ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. 
ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ 
, [-1 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ; 3] , x=-1 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, x=3 ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.
ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 
ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ: 
ಎರಡನೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ.
ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ.
ವಾದವು ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ -1 ಗೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ -2e ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ -1 ರಿಂದ 3 ಗೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು -2e ನಿಂದ , ವಾದವು ಬದಲಾದಾಗ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ 3 ರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ.
ಕಾರ್ಯವು ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ. X ಅನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ // ಸ್ವತಂತ್ರ ಎಂದರೆ ಯಾವುದಾದರೂ.
ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿಯಮವಾಗಿದ್ದು, X ಸೆಟ್ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೂ, ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಏಕೈಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. // ಅಂದರೆ. ಪ್ರತಿ x ಗೆ ಒಂದು y ಇರುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಎರಡು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ನಾವು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು) ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯಬಲ್ (ನಾವು y ಅಥವಾ f (x) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಯಾವಾಗ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ನಾವು x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ).
ಉದಾಹರಣೆಗೆ y=5+x
1. ಸ್ವತಂತ್ರವು x ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, x = 3 ಆಗಿರಲಿ
2. ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು y ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y x ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಅಂತಹ y ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ)
ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಮೇಲೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: y = f (x).
ಉದಾಹರಣೆಗೆ.
1.y=1/x. (ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ)
2. y=x^2. (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ)
3.y=3x+7. (ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ)
4. y \u003d √ x. (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶಾಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ)
ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು (ನಾವು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ) ಕಾರ್ಯದ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡಿ (ಎಫ್) ಅಥವಾ ಡಿ (ವೈ) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
1.,2.,3.,4 ಗಾಗಿ D(y) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
1. D (y)= (∞; 0) ಮತ್ತು (0;+∞) //ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / ಎಲ್ಲಾ ಅನೇಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / ಎಲ್ಲಾ ಅನೇಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು
4. ಡಿ (ವೈ) \u003d
ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ: D(f)=[-3;3], ಏಕೆಂದರೆ $9-x^(2)\geq 0$
ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ x = 0. $\sqrt(9-x^(2))=0$ ಅಂದರೆ x = ±3 ಗೆ f"(x) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ನಾವು ಮೂರು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. ಹೀಗಾಗಿ, f(x) ನ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿದೆ, ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು 3 ಆಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: ಇ(ಎಫ್) = .
ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿಲ್ಲ
ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
$ ರಿಂದ
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , ನಂತರ:
ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ $f(x)\leq \frac(3)(4)$;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ ಎಲ್ಲಾ x(ಏಕೆಂದರೆ $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
ಉತ್ತರ: $\frac(3)(4)$ ಮತ್ತು $-\frac(3)(2)$
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ನೀವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರೆ, f (x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಜಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಮಿತಿಗಳು/ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು
ಇದು $-1\leq\sin(x)\leq 1$ ಎಂದು ಸೈನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು -4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆ 5 ರ ಮೂರು ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ);
ಏಕೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $y = 5 - 4\sin(x)$ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ ನಾವು ಅಂದಾಜು $$\\ -6\leq y\ leq 6$ $
x = p ಮತ್ತು x = 0 ಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು -6 ಮತ್ತು 6 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕೆಳಗಿನ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಗಡಿಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಂತೆ cos (7x) ಮತ್ತು cos (x), y ಕಾರ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ಇದು -6 ರಿಂದ 6 ರವರೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. , ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ $- 6\leq y\leq 6$ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಅಸಾಧ್ಯ.
ಆದ್ದರಿಂದ, E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ ಉತ್ತರ: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
$$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.
ಕೊಸೈನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
ಈ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಚಿಕ್ಕ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, $y =\sqrt(2)\ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ ಎಂಬುದು $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
ಸೂಚಿಸಿ $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, ಅಲ್ಲಿ -∞≤t≤4. ಹೀಗಾಗಿ, ರೇ (-∞;4) ನಲ್ಲಿ $y = \log_(0,5)(t)$ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. $y = \log_(0,5)(t)$ ಕಾರ್ಯವನ್ನು t > 0 ಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಕಿರಣದಲ್ಲಿನ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ (-∞;4) ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;4) ಕಾರ್ಯವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ (0;+∞) ಡೊಮೇನ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕಿರಣದ (-∞;4) ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0;4) ಈ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ. t > 0 ಗಾಗಿ, ಇದು +∞ ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು t = 4 ಗಾಗಿ ಅದು -2 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ E(y) = (-2, +∞).
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಾವು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.
ಕಾರ್ಯದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: y 2 + x 2 = 25, ಮತ್ತು y ≥ 0, |x| ≤ 5.
$x^(2)+y^(2)=r^(2)$ ಎಂಬುದು ಆರ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಗ್ರಾಫ್ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವು 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು E(y) = ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.
ಉತ್ತರ: ಇ(ವೈ) = .
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು
ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿ, ಮಿನ್ಯುಕ್ ಐರಿನಾ ಬೊರಿಸೊವ್ನಾ
ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಲಹೆಗಳು, ಬೆಲ್ಯೇವಾ I., ಫೆಡೋರೊವಾ ಎಸ್.
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು, I.I. ಮೆಲ್ನಿಕೋವ್, I.N. ಸೆರ್ಗೆವ್
ಪುಟ 1
ಪಾಠ 3
"ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ"
ಉದ್ದೇಶಗಳು: - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ;
ಪರಿಹಾರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು.
ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಟುಂಬ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಘೋಷಿತ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
ಜ್ಞಾನ ನವೀಕರಣ.
ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ನಿಂದ ನಾವು ಏನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ?
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯ ಸೆಟ್ ಎಂದರೇನು?
ಯಾವ ಡೇಟಾದಿಂದ ನಾವು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು? (ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಥವಾ ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತದ ಪ್ರಕಾರ)
(ಸೆಂ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಭಾಗ ಎ)
ಯಾವ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿವೆ? (ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಬರವಣಿಗೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ; ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ನೋಟ್ಬುಕ್ಗಳಲ್ಲಿ
|
ಕಾರ್ಯ |
ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು |
|
ವೈ = X 2 ವೈ = X 3 y=| X| y=
|
ಇ( ವೈ) = ಇ( ವೈ) = [- 1, 1] ಇ( ವೈ) = (– ∞, + ∞) ಇ( ವೈ) = (– ∞, + ∞) ಇ( ವೈ) = (– ∞, + ∞) ಇ( ವೈ) = (0, + ∞) |
ಈ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕಪ್ಪು ಹಲಗೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? (ಕೋಷ್ಟಕ 2 ನೋಡಿ).
ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಯಾವುದು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ? (ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು).
ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ರೂಪಿಸುವುದು? (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು 4 ಘಟಕಗಳನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿ).
|
ಕಾರ್ಯ |
ಅನೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು |
|
ವೈ = X 2 – 4 |
ಇ( ವೈ) = [-4, + ∞) |
|
ವೈ = + 5 |
ಇ( ವೈ) = |
|
ವೈ = - 5 ಕೋಸ್ X |
ಇ( ವೈ) = [- 5, 5] |
|
y=ಟಿಜಿ( x + / 6) – 1 |
ಇ( ವೈ) = (– ∞, + ∞) |
|
y=ಪಾಪ( x + / 3) – 2 |
ಇ( ವೈ) = [- 3, - 1] |
|
y=| X – 1 | + 3 |
ಇ( ವೈ) = |
|
y=| ctg X| |
ಇ( ವೈ) = |
|
ವೈ =  = | cos(x + /4) | |
ಇ( ವೈ) = |
|
y=(X- 5) 2 + 3 |
ಇ( ವೈ) = . ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:   . 
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಪರಿಚಯ. ಒಂದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮ ಅನುಭವವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ. 1. ವಾದದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಉದಾಹರಣೆ. y = 2 ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ cos(π/2+ π/4 ) – 1, ಒಂದು ವೇಳೆ x = -π/2. ಪರಿಹಾರ. ವೈ(-π/2) = 2 cos(- π/2 - π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 ಪಾಪπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
1≤ ಪಾಪX≤ 1 2 ≤ 2 ಪಾಪX≤ 2 9 ≤ 11+2ಪಾಪX≤ 13 3 ≤ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬರೆಯೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಉತ್ತರ: 3.
ನಲ್ಲಿ= ಪಾಪ 2 X- 2 3 ಪಾಪx + 3 2 - 3 2 + 8, ನಲ್ಲಿ= (ಪಾಪX- 3) 2 -1. ಇ ( ಪಾಪX) = [-1;1]; ಇ ( ಪಾಪX -3) = [-4;-2]; ಇ ( ಪಾಪX -3) 2 = ; ಇ ( ನಲ್ಲಿ) = . ಉತ್ತರ:.
ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ? (ಸಂ) ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? (ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಲಾಗಿದೆ.) ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು? (ಸೂತ್ರವನ್ನು cos 2 ಬಳಸಿ X= 1-ಪಾಪ 2 X.) ಆದ್ದರಿಂದ, ನಲ್ಲಿ= 1-ಪಾಪ 2 X+2 ಪಾಪ X –2, ವೈ=-ಪಾಪ 2 X+2 ಪಾಪ X –1, ನಲ್ಲಿ= -(ಪಾಪ X –1) 2 . ಸರಿ, ಈಗ ನಾವು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. 1 ≤ ಪಾಪ X ≤ 1, 2≤ ಪಾಪ X – 1 ≤ 0, 0 ≤ (ಪಾಪ X – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(ಪಾಪ X -1) 2 ≤ 0. ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ ನಲ್ಲಿ ಬಾಡಿಗೆಗೆ= -4. ಉತ್ತರ:-4.
ಪರಿಹಾರ. ನಲ್ಲಿ= 1-ಕಾಸ್ 2 X+ ಕಾಸ್ X + 1,5, ನಲ್ಲಿ= -ಕಾಸ್ 2 X+ 2∙ 0.5∙ ಕಾಸ್ X - 0,25 + 2,75, ನಲ್ಲಿ= -(ಕೋಸ್ X- 0,5) 2 + 2,75. ಇ(ಕಾಸ್ X) = [-1;1], ಇ(ಕಾಸ್ X – 0,5) = [-1,5;0,5], ಇ(ಕಾಸ್ X – 0,5) 2 = , ಇ(-(ಕೋಸ್ X-0,5) 2) = [-2,25;0], ಇ( ನಲ್ಲಿ) = . ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯ ನಲ್ಲಿ ನಾಯಿಬ್= 2.75; ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ ನಲ್ಲಿ ಬಾಡಿಗೆಗೆ= 0.5. ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: ನಲ್ಲಿ ನಾಯಿಬ್ ∙ನಲ್ಲಿ ಬಾಡಿಗೆಗೆ = 0,5∙2,75 = 1,375. ಉತ್ತರ: 1.375 ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ ನಲ್ಲಿ =, ನಲ್ಲಿ = ಈಗ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇ(ಪಾಪ X) = [-1, 1], ಇ(6 ಪಾಪ X) = [-6, 6], ಇ(6 ಪಾಪ X + 1) = [-5, 7], ಇ((6 ಪಾಪ X + 1) 2) = , ಇ(– (6 ಪಾಪ X + 1) 2) = [-49, 0], ಇ(– (6 ಪಾಪ X + 1) 2 + 64) = , ಇ( ವೈ) = [ ಕಾರ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. ಉತ್ತರ: 30.  ಪರಿಹಾರ. 1) 2) ಆದ್ದರಿಂದ, 2 Xಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. 3) ಎರಡನೇ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ, ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕಾರ್ಯ 4) ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:
ಉತ್ತರ :
 ಪರಿಹಾರ. 1) ಸೈನ್ -1 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ 2) ಆರ್ಕೋಸಿನ್ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ 3) ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಉತ್ತರ:  ಪರಿಹಾರ. ಆರ್ಕ್ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ 2) ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಾಗ Xನಿಂದ 3) ನಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವಾಗ 4) ಅರ್ಧ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸೈನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸೆಟ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಉತ್ತರ: ನಲ್ಲಿ= a sin x + b cos xಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ= ಒಂದು ಪಾಪ (ಆರ್x) + bcos (ಆರ್X).
ಪರಿಹಾರ. ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ 15 ಪಾಪ 2x + 20 ಕಾಸ್ 2x = 25 ( 25 ಪಾಪ (2x + ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ y \u003d sin (2x + ನಂತರ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ -25 ಉತ್ತರ:
[-25; 25].
ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿ= ಸಿಟಿಜಿ Xವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ [π/4; π/2], ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ x =π/2, ಅಂದರೆ ನಲ್ಲಿ(π/2) = сtg π/2 = 0; ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವು ನಲ್ಲಿದೆ x=π/4, ಅಂದರೆ ನಲ್ಲಿ(π/4) = сtg π/4 = 1. ಉತ್ತರ: 1, 0.  . ಪರಿಹಾರ. ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗ್ರಾಫ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ (а≠ 0) ಅಥವಾ ಬಿಂದುವಿಲ್ಲದ ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ವೇಳೆ; 2a) ಮತ್ತು (2a; ಒಂದು ವೇಳೆ \u003d 0, ನಂತರ f (x) \u003d -2 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ x ≠ 0. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಯತಾಂಕದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ [-1; 1], ನಂತರ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಈ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ (a≠0) ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ x = 2a ಇದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕರಣ 1. ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳು [-1; 1] ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ x = 2a ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ 2a ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣ 2. ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ [-1; 1], ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ರಕರಣ 1 ರಂತೆ), ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗ ಪ್ರಕರಣ 3. ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ [-1; 1] ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಅಂದರೆ -1 ಪ್ರಕರಣ 4. ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಳು [-1; 1] ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್‌ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿವೆ, ಅಂದರೆ 1 a > . ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಸ್ವಾಗತ 5.ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂತ್ರದ ಸರಳೀಕರಣ ಸ್ವಾಗತ 6.ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಶಾಖೆಗಳ ನಡವಳಿಕೆಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮೂಲಕ). ಸ್ವಾಗತ 7.ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಹಾಯಕ ಕೋನದ ಪರಿಚಯ. ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ವಸ್ತುವಿನ ಭಾಗವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಏನೆಂದು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಗ್ರ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತೀರಿ. ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = f (x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ x ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾಗ ಈ ಕಾರ್ಯವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ x ∈ X . ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2 y = f (x) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, x ∈ (f) ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ x ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾಗ ಅದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ E (f) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ x ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. y = f (x) ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಸಹ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಫ್ (x) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ x ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರದೇಶವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಒಂದು ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನೀಲಿ ರೇಖೆಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳಾಗಿವೆ, ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣಗಳು ಲಕ್ಷಣಗಳಾಗಿವೆ, ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮತ್ತು y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಗಳು ಕಾರ್ಯದ ಶ್ರೇಣಿಗಳಾಗಿವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು O y ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಇದು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಒಂದು ವಿಭಾಗ, ಮಧ್ಯಂತರ, ತೆರೆದ ಕಿರಣ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ y = f (x) ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ [a ; ಬಿ] . ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಗರಿಷ್ಠ m a x x ∈ a ; b f (x) ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ m i n x ∈ a ; b f (x) . ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ m i n x ∈ a ; bf(x) ; m a x x ∈ a ; b f (x), ಇದು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಗದಿತ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಉದಾಹರಣೆ 1 ಸ್ಥಿತಿ: y = a rc sin x ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಪರಿಹಾರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇದೆ [- 1 ; 1 ] . ಅದರ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. y "= a r c sin x" = 1 1 - x 2 ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ [- 1 ; 1 ] , ಅಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ x 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ ದೊಡ್ಡದು. m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2 ಹೀಗಾಗಿ, ಆರ್ಕ್ಸೈನ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು E (a r c sin x) = - π 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; π 2 . ಉತ್ತರ: E (a r c sin x) \u003d - π 2; π 2 ಉದಾಹರಣೆ 2 ಸ್ಥಿತಿ:ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ [ 1 ; 4 ] . ಪರಿಹಾರ ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು. ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 ಮತ್ತು l ಮತ್ತು 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2.59 ∈ 1;4 ಈಗ ನಾವು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು x 2 = 15 - 33 8 ; x 3 \u003d 15 + 33 8: y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32 ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು 117 - 165 33 512 ವಿಭಾಗದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; 32. ಉತ್ತರ: 117 - 165 33 512 ; 32 . ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯ y = f (x) ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ (a ; b) , ಮತ್ತು a ; + ∞ , - ∞ ; ಬಿ , -∞ ; +∞ . ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ, ಹಾಗೆಯೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು. ಅದರ ನಂತರ, ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3 ಸ್ಥಿತಿ:ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (- 2 ; 2) ಕಾರ್ಯ ಶ್ರೇಣಿ y = 1 x 2 - 4 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಪರಿಹಾರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2) ನಾವು 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ:
ಅಂದರೆ, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ 2 ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ + 2 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ x ಗಾಗಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಲಿಮ್ x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = ಲಿಮ್ x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ ಲಿಮ್ x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = ಲಿಮ್ x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ - 2 ರಿಂದ 0 ಗೆ ಬದಲಾದಾಗ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ - 1 4 ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತು ವಾದವು 0 ರಿಂದ 2 ಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದ ಕಡೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (-∞ ; - 1 4 ] . ಉತ್ತರ: (- ∞ ; - 1 4 ] . ಉದಾಹರಣೆ 4 ಸ್ಥಿತಿ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y = t g x ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ - π 2 ; π 2 . ಪರಿಹಾರ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ - π 2; π 2 ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞ ವಾದವು - π 2 ರಿಂದ π 2 ಗೆ ಬದಲಾದಾಗ ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜತೆಯ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಉತ್ತರ: - ∞ ; + ∞ . ಉದಾಹರಣೆ 5 ಸ್ಥಿತಿ:ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್ y = ln x ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಏನೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ ಡಿ (y) = 0 ವಾದದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ; +∞ . ನೀಡಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ: y " = ln x " = 1 x . ಇದರರ್ಥ ಅದರ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ. ಮುಂದೆ, ವಾದವು 0 ಗೆ ಹೋದಾಗ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು x ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಾಗ ನಾವು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ: lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞ x ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ. ಉತ್ತರ:ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 6 ಸ್ಥಿತಿ: y = 9 x 2 + 1 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಏನೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ x ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಿದ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಹಾಗೆಯೇ ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಇಳಿಕೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು: y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, x ≥ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ; x ≤ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ; ವೇರಿಯೇಬಲ್ 0 ಆಗಿರುವಾಗ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ: ಲಿಮ್ x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 ಲಿಮ್ x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0 ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ 0 ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ ಎಂದು ದಾಖಲೆಯಿಂದ ನೋಡಬಹುದು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: ವಾದವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾದಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 ರಿಂದ 9 ಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು 0 ರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು 9 ರಿಂದ 0 ಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇವೆ:
ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಮಧ್ಯಂತರ E (y) = (0 ; 9 ] ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಉತ್ತರ: E (y) = (0 ; 9 ] ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ y = f (x) ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದರೆ [a ; ಬಿ), (ಎ . ಆದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಹಲವಾರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ನಾವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆ 7 ಸ್ಥಿತಿ: y = x x - 2 ರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಏನೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ ಕಾರ್ಯದ ಛೇದವನ್ನು 0 ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಾರದು, ನಂತರ D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ . ಮೊದಲ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ - ∞ ; 2, ಇದು ತೆರೆದ ಕಿರಣವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = ಲಿಮ್ → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0 ನಂತರ, ವಾದವು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದ ಕಡೆಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ 1 ಅನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ. x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ 2 ಕ್ಕೆ ಬದಲಾದರೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳು 1 ರಿಂದ ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಈ ವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - ∞ ; 1 . ನಾವು ಏಕತೆಯನ್ನು ನಮ್ಮ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದನ್ನು ತಲುಪುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ. ತೆರೆದ ಕಿರಣ 2 ಗಾಗಿ; + ∞ ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯವೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ: ಲಿಮ್ x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ ಲಿಮ್ x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = ಲಿಮ್ → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0 ಈ ವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೆಟ್ 1 ರಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; +∞ . ಇದರರ್ಥ ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ∞; 1 ಮತ್ತು 1; +∞ . ಉತ್ತರ:ಇ (ವೈ) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ . ಇದನ್ನು ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು:
ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಅವರ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರದೇಶವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಅವಧಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 8 ಸ್ಥಿತಿ:ಸೈನ್ y = sin x ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ ಸೈನ್ ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಧಿಯು 2 ಪೈ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ 0 ; 2 π ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ ಏನೆಂದು ನೋಡಿ. y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z 0 ಒಳಗೆ; 2 π ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ π 2 ಮತ್ತು x = 3 π 2 . ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ, ಅದರ ನಂತರ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ ನಿಮಿಷ x ∈ 0 ; 2 π ಪಾಪ x = ಪಾಪ 3 π 2 = - 1 , ಗರಿಷ್ಠ x ∈ 0 ; 2 π sinx \u003d ಪಾಪ π 2 \u003d 1 ಉತ್ತರ:ಇ (ಸಿಂಕ್ಸ್) = - 1 ; 1 . ಘಾತೀಯ, ಘಾತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ, ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ, ಮೂಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುರಿತು ಲೇಖನವನ್ನು ಮರು-ಓದಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕದಿಂದ ಪಡೆದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ 9 ಸ್ಥಿತಿ: y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ 0 ರಿಂದ ಪೈ ವರೆಗಿನ ವಿಭಾಗವು ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, E (a r c cos x) = 0 ; π ಅಥವಾ 0 ≤ a r c cos x ≤ π . O x ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆರ್ಕ್ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ನಾವು a r c cos x 3 + 5 π 7 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳು ನಮಗೆ ಏನನ್ನೂ ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π . 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಲೋಮ ಕೊಸೈನ್ a r c cos x 3 + 5 π 7 ನಿಂದ y-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಂದರೆ. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . ಅಂತಿಮ ರೂಪಾಂತರವು O y ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ 4 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಶಿಫ್ಟ್ ಆಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 ಆರ್ಕೋಸ್ x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯು E (y) = - 4 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ; 3 ಪೈ - 4 . ಉತ್ತರ:ಇ (ವೈ) = - 4 ; 3 ಪೈ - 4 . ವಿವರಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 10 ಸ್ಥಿತಿ: y = 2 2 x - 1 + 3 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಪರಿಹಾರ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ. ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ y = x - 1 2 ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರ 0 ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; + ∞ , ಅಂದರೆ. x - 1 2 > 0 ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ: 2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3 ಆದ್ದರಿಂದ E (y) = 3 ; +∞ . ಉತ್ತರ:ಇ (ವೈ) = 3 ; +∞ . ಈಗ ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ತದನಂತರ ನಮ್ಮಲ್ಲಿರುವದನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಮುಖ್ಯ ವಿಧದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಬ್ರೇಕ್ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ನಾವು ನಿಮಗೆ ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 11 ಸ್ಥಿತಿ: y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. ಅದರ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ. ಪರಿಹಾರ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ x ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. 3 ಮತ್ತು 3 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರತೆಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ: lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x) ವಾದದ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - 3 . ನೀವು ಅದನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು - 2 ಪಾಪ 3 2 - 4 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು x ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ - 3 ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಂತೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳು - 1 ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ 3 ರಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತವೆ - 1, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಲವು ತೋರುವಾಗ - ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು 3 ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) . ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ, ನಾವು y \u003d 2 sin x 2 - 4 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ರಿಂದ - 1 ≤ ಪಾಪ x ≤ 1 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 1 ≤ ಪಾಪ x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2 ಇದರರ್ಥ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-∞; - 3] ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ [-6; 2] ಆಗಿದೆ. ಅರ್ಧ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (- 3 ; 3 ] ನಾವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ y = - 1 . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ - 1 ಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ 3 ; + ∞ ನಾವು y = 1 x - 3 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что: ಲಿಮ್ x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ ಲಿಮ್ x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0 ಆದ್ದರಿಂದ, x > 3 ಗಾಗಿ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸೆಟ್ 0 ಆಗಿದೆ; +∞ . ಈಗ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . ಉತ್ತರ:ಇ (ವೈ) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ . ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 12 ಸ್ಥಿತಿ: y = x 2 - 3 e x ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ: y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x x = - 1 ಮತ್ತು x = 3 ಆಗಿದ್ದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಆಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ನಾವು ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಕಾರ್ಯವು (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) ನಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು [ - 1 ; 3]. ಕನಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್ - 1, ಗರಿಷ್ಠ - 3 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3 ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ: lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = e + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = ∞ 1 x ಇ x = 2 1 + ∞ = + 0 ಎರಡನೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, L'Hopital ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ.
ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೈನಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ -1 ಗೆ ಬದಲಾದಾಗ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಿಂದ - 2 ಇ ವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು 3 ರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬದಲಾದರೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳು 6 ಇ - 3 ರಿಂದ 0 ಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ 0 ಅನ್ನು ತಲುಪಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, E (y) = [ - 2 e ; +∞) . ಉತ್ತರ:ಇ (ವೈ) = [ - 2 ಇ ; +∞) ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ತಪ್ಪನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ |
– 1.
, ಅಂದರೆ ಇ (ವೈ) = .
,
, 8].
ಅದು Xಮೊದಲ ತ್ರೈಮಾಸಿಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.
ಮೊದಲು 
.
. ಗುಣಿಸಿದಾಗ 
ಈ ವಿಭಾಗವು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ 
.
.
ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 
.
.
.
ಮೊದಲು 
ವಾದ 2 Xನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ 
ಮೊದಲು 
. ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯ 
1 ರವರೆಗೆ.
ವಾದ 2 Xನಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ 
. ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯ 
1 ರವರೆಗೆ.
.
ಮತ್ತು 
, ಅಂದರೆ, ವಿಭಾಗ 
= 
= 25.
) = 25 () =
), ಅಲ್ಲಿ cos 
ಪಾಪ (2x + 
) ಮತ್ತು, a > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕಿರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.
.
