9 10 rješenje. Online kalkulator. Nepotpune kvadratne jednadžbe
Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Čovjek je koristio jednadžbe u davna vremena, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Rješavanje jednadžbi devetog razreda uključuje korištenje mnogo različitih metoda rješavanja: grafičkih, algebarskih metoda zbrajanja, uvođenje novih varijabli, korištenje funkcija i pretvaranje jednadžbi iz jedne vrste u jednostavniju i još mnogo toga. Metoda rješavanja jednadžbe odabire se na temelju početnih podataka, pa je najbolje metode jasno razumjeti pomoću primjera.
Pretpostavimo da nam je dana jednadžba sljedećeg oblika:
\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]
Da biste riješili ovu jednadžbu, podijelite lijevu i desnu stranu s \
\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]
\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]
Dobivena dva korijena su rješenje ove jednadžbe.
Riješimo jednadžbu:
\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]
Potrebno je pronaći zbroj svih korijena ove jednadžbe. Da biste to učinili, morate zamijeniti:
Korijeni ove jednadžbe bit će 2 broja: -1 i 4. Stoga:
\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmatrix)\]
Zbroj sva 3 korijena jednak je 4, što će biti odgovor za rješavanje ove jednadžbe.
Gdje mogu riješiti jednadžbe online za 9. razred?
Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje mrežnih jednadžbi bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako još uvijek imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.
Jednadžba s jednom nepoznanicom koja nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih članova poprima oblik
ax + b = 0, gdje su a i b proizvoljni brojevi, poziva se linearna jednadžba s jednom nepoznatom. Danas ćemo otkriti kako riješiti ove linearne jednadžbe.
Na primjer, sve jednadžbe:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linearno.
Naziva se vrijednost nepoznanice koja jednadžbu pretvara u pravu jednakost odluka ili korijen jednadžbe .
Na primjer, ako u jednadžbi 3x + 7 = 13 umjesto nepoznatog x zamijenimo broj 2, dobivamo ispravnu jednakost 3 2 +7 = 13. To znači da je vrijednost x = 2 rješenje ili korijen jednadžbe.
A vrijednost x = 3 ne pretvara jednadžbu 3x + 7 = 13 u pravu jednakost, budući da je 3 2 +7 ≠ 13. To znači da vrijednost x = 3 nije rješenje ili korijen jednadžbe.
Rješavanje bilo koje linearne jednadžbe svodi se na rješavanje jednadžbi oblika
ax + b = 0.
Pomaknimo slobodni član s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući znak ispred b u suprotan, dobivamo
Ako je a ≠ 0, tada je x = ‒ b/a .
Primjer 1. Riješite jednadžbu 3x + 2 =11.
Pomaknimo 2 s lijeve strane jednadžbe na desnu, mijenjajući znak ispred 2 u suprotan, dobivamo
3x = 11 – 2.
Onda napravimo oduzimanje
3x = 9.
Da biste pronašli x, trebate umnožak podijeliti s poznatim faktorom, tj
x = 9:3.
To znači da je vrijednost x = 3 rješenje ili korijen jednadžbe.
Odgovor: x = 3.
Ako je a = 0 i b = 0, tada dobivamo jednadžbu 0x = 0. Ova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, budući da kada pomnožimo bilo koji broj s 0 dobijemo 0, ali je i b jednako 0. Rješenje ove jednadžbe je bilo koji broj.
Primjer 2. Riješite jednadžbu 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Proširimo zagrade:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Evo nekoliko sličnih pojmova:
0x = 0.
Odgovor: x - bilo koji broj.
Ako je a = 0 i b ≠ 0, tada dobivamo jednadžbu 0x = - b. Ova jednadžba nema rješenja, jer kada pomnožimo bilo koji broj s 0 dobijemo 0, ali b ≠ 0.
Primjer 3. Riješite jednadžbu x + 8 = x + 5.
Grupirajmo pojmove koji sadrže nepoznanice s lijeve strane, a slobodne pojmove s desne strane:
x – x = 5 – 8.
Evo nekoliko sličnih pojmova:
0h = ‒ 3.
Odgovor: nema rješenja.
Na Slika 1 prikazuje dijagram za rješavanje linearne jednadžbe
Napravimo opću shemu za rješavanje jednadžbi s jednom varijablom. Razmotrimo rješenje primjera 4.
Primjer 4. Pretpostavimo da trebamo riješiti jednadžbu
1) Pomnožite sve članove jednadžbe s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika, jednakim 12.
2) Nakon redukcije dobivamo
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Za odvajanje pojmova koji sadrže nepoznate i slobodne pojmove otvorite zagrade:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Grupirajmo u jedan dio članove koji sadrže nepoznanice, a u drugi slobodne članove:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Predstavimo slične pojmove:
- 22x = - 154.
6) Podijelimo s – 22, Dobivamo
x = 7.
Kao što vidite, korijen jednadžbe je sedam.
Općenito takav jednadžbe se mogu riješiti pomoću sljedeće sheme:
a) dovesti jednadžbu u cjelobrojni oblik;
b) otvorite zagrade;
c) grupirati članove koji sadrže nepoznanicu u jednom dijelu jednadžbe, a slobodne članove u drugom;
d) dovesti slične članove;
e) riješiti jednadžbu oblika ah = b, koja je dobivena dovođenjem sličnih članova.
Međutim, ova shema nije potrebna za svaku jednadžbu. Kada rješavate mnogo jednostavnijih jednadžbi, morate krenuti ne od prve, već od druge ( Primjer. 2), treći ( Primjer. 1, 3) pa čak i iz pete faze, kao u primjeru 5.
Primjer 5. Riješite jednadžbu 2x = 1/4.
Pronađite nepoznato x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Pogledajmo rješavanje nekih linearnih jednadžbi koje se nalaze na glavnom državnom ispitu.
Primjer 6. Riješite jednadžbu 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Odgovor: - 0,125
Primjer 7. Riješite jednadžbu – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Odgovor: 2.3
Primjer 8. Riješite jednadžbu
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Primjer 9. Nađite f(6) ako je f (x + 2) = 3 7
Otopina
Budući da trebamo pronaći f(6), a znamo f(x + 2),
tada je x + 2 = 6.
Rješavamo linearnu jednadžbu x + 2 = 6,
dobivamo x = 6 – 2, x = 4.
Ako je x = 4 tada
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Odgovor: 27.
Ako još imate pitanja ili želite detaljnije razumjeti rješavanje jednadžbi, prijavite se na moje lekcije u RASPOREDU. Rado ću vam pomoći!
TutorOnline također preporučuje gledanje nove video lekcije naše učiteljice Olge Alexandrovne, koja će vam pomoći razumjeti i linearne jednadžbe i druge.
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplicirano. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.
Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, imajte na umu da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:
- Nemaju korijenje;
- Imati točno jedan korijen;
- Imaju dva različita korijena.
Ovo je važna razlika između kvadratnih jednadžbi i linearnih, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko jednadžba ima korijena? Postoji divna stvar za ovo - diskriminator.
Diskriminator
Neka je dana kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminant jednostavno broj D = b 2 − 4ac.
Ovu formulu morate znati napamet. Sada nije važno odakle dolazi. Još jedna stvar je važna: prema predznaku diskriminante možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. Naime:
- Ako D< 0, корней нет;
- Ako je D = 0, postoji točno jedan korijen;
- Ako je D > 0, bit će dva korijena.
Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne uopće njihove znakove, kao što iz nekog razloga mnogi vjeruju. Pogledajte primjere i sve će vam biti jasno:
Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Zapišimo koeficijente za prvu jednadžbu i pronađimo diskriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednadžba ima dva različita korijena. Drugu jednadžbu analiziramo na sličan način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Diskriminanta je negativna, nema korijena. Zadnja preostala jednadžba je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant je nula - korijen će biti jedan.
Imajte na umu da su koeficijenti zapisani za svaku jednadžbu. Da, dugo je, da, zamorno je, ali nećete miješati izglede i činiti glupe pogreške. Odaberite sami: brzina ili kvaliteta.
Usput, ako se snađete, nakon nekog vremena nećete morati zapisivati sve koeficijente. Takve ćete operacije izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - općenito, ne toliko.
Korijeni kvadratne jednadžbe
Sada prijeđimo na samo rješenje. Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:
Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe
Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobit ćete isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako je D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Prva jednadžba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađimo ih:
Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Pronađimo ih
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \lijevo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]
Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:
Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se pogreške javljaju pri zamjeni negativnih koeficijenata u formulu. I ovdje će vam pomoći gore opisana tehnika: promatrajte formulu doslovno, zapišite svaki korak - i vrlo brzo ćete se riješiti pogrešaka.
Nepotpune kvadratne jednadžbe
Događa se da se kvadratna jednadžba malo razlikuje od onoga što je navedeno u definiciji. Na primjer:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Lako je uočiti da ovim jednadžbama nedostaje jedan od članova. Takve kvadratne jednadžbe čak je lakše riješiti od standardnih: one čak ne zahtijevaju izračun diskriminante. Dakle, predstavimo novi koncept:
Jednadžba ax 2 + bx + c = 0 zove se nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.
Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U tom slučaju jednadžba ima oblik ax 2 = 0. Očito, takva jednadžba ima jedan korijen: x = 0.
Razmotrimo preostale slučajeve. Neka je b = 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0. Malo je transformirajmo:
Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo za (−c /a) ≥ 0. Zaključak:
- Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi oblika ax 2 + c = 0 zadovoljena nejednakost (−c /a) ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je navedena gore;
- Ako (−c /a)< 0, корней нет.
Kao što vidite, diskriminant nije bio potreban - u nepotpunim kvadratnim jednadžbama uopće nema složenih izračuna. Zapravo, nije ni potrebno prisjećati se nejednakosti (−c /a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti što se nalazi s druge strane znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, uopće neće biti korijena.
Pogledajmo sada jednadžbe oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će biti dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:
Izvlačenje zajedničkog faktora iz zagradaUmnožak je nula kada je barem jedan faktor jednak nuli. Odatle potječu korijeni. U zaključku, pogledajmo nekoliko od ovih jednadžbi:
Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
