Tema lekcije je „Skup vrijednosti funkcija u USE problemima. Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije Skup vrijednosti funkcije y 4 x

Danas ćemo se u lekciji obratiti jednom od osnovnih pojmova matematike – pojmu funkcije; Pogledajmo pobliže jedno od svojstava funkcije - skup njenih vrijednosti.

Tokom nastave

Učitelju. Prilikom rješavanja problema primjećujemo da je ponekad upravo pronalaženje skupa vrijednosti funkcije ono što nas dovodi u teške situacije. Zašto? Čini se da proučavajući funkciju od 7. razreda, znamo dosta o njoj. Stoga, imamo sve razloge da preduzmemo preventivni potez. Hajdemo danas da se "igramo" sa puno vrednosti funkcija kako bismo rešili mnoga pitanja na ovu temu na predstojećem ispitu.

Skupovi vrijednosti elementarnih funkcija

Učitelju. Za početak, potrebno je ponoviti grafove, jednadžbe i skupove vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija u cijeloj domeni definicije.

Na ekran se projektuju grafovi funkcija: linearni, kvadratni, razlomačno-racionalni, trigonometrijski, eksponencijalni i logaritamski, za svaku od njih se verbalno određuje skup vrijednosti. Obratite pažnju na činjenicu da je linearna funkcija E(f) = R ili jedan broj, za linearni razlomak

Ovo je naša abeceda. Dodajući tome naše znanje o transformacijama grafova: paralelno prevođenje, rastezanje, kompresija, refleksija, možemo riješiti probleme iz prvog dijela UPOTREBA pa čak i malo teže. Hajde da to proverimo.

Samostalan rad

At riječi zadataka i koordinatni sistemi štampani za svakog učenika.

1. Pronađite skup vrijednosti funkcije na cijeloj domeni definicije:

A) y= 3 sin X ;
b) y = 7 – 2 X ;
V) y= -arccos( x + 5):
G) y= | arctg x |;
e)

2. Pronađite skup vrijednosti funkcije y = x 2 između J, Ako:

A) J = ;
b) J = [–1; 5).

3. Definirajte funkciju analitički (jednakom) ako je skup njenih vrijednosti:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] i f(x) - funkcija

a) kvadrat
b) logaritamski,
c) demonstrativna;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Kada raspravljate o zadatku 2samostalnog rada skrenuti pažnju učenicima da, u slučaju monotonosti i kontinuiteta funkcije y=f(x)u datom intervalu[a;b],skup njegovih značenja-interval,čiji su krajevi vrijednosti f(a)i f(b).

Opcije odgovora za zadatak 3.

1.
A) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= a(x – x c) 2 + 2 at A < 0.

b) y= -| dnevnik 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
a) b)

V) y = 12 – 5x, Gdje x ≠ 1 .

Pronalaženje skupa vrijednosti funkcije pomoću izvoda

Učitelju. U 10. razredu smo se upoznali sa algoritmom za pronalaženje ekstrema funkcije kontinuirane na segmentu i pronalaženje njenog skupa vrijednosti bez oslanjanja na graf funkcije. Sjećate se kako smo to uradili? ( Uz pomoć izvedenice.) Prisjetimo se ovog algoritma .

1. Provjerite je li funkcija y = f(x) je definiran i kontinuiran na intervalu J = [a; b]. 2. Pronađite vrijednosti funkcije na krajevima segmenta: f(a) i f(b). Komentar. Ako znamo da je funkcija kontinuirana i monotona uključena J, tada možete odmah odgovoriti: E(f) = [f(a); f(b)] ili E(f) = [f(b); f(A)]. 3. Pronađite izvod, a zatim kritične tačke x kJ. 4. Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama f(x k). 5. Usporedite vrijednosti funkcije f(a), f(b) I f(x k), odaberite najveću i najmanju vrijednost funkcije i dajte odgovor: E(f)= [f najam; f naib].

Problemi za primjenu ovog algoritma nalaze se u KORISTI opcije. Na primjer, 2008. je predložen takav zadatak. Moraš to riješiti Kuće .

Zadatak C1. Pronađite najveću vrijednost funkcije

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

kod | x + 1| ≤ 3.

Uslovi domaćeg zadatka štampani za svakog učenika .

Pronalaženje skupa vrijednosti složene funkcije

Učitelju. Glavni dio naše lekcije bit će nestandardni zadaci koji sadrže složene funkcije, čiji su derivati ​​vrlo složeni izrazi. A grafovi ovih funkcija su nam nepoznati. Stoga ćemo za rješenje koristiti definiciju složene funkcije, odnosno ovisnost između varijabli po redoslijedu njihovog ugniježđenja u ovoj funkciji i procjenu njihovog raspona (interval promjene njihovih vrijednosti). Problemi ovog tipa nalaze se u drugom dijelu ispita. Okrenimo se primjerima.

Vježba 1. Za funkcije y = f(x) I y = g(x) napisati složenu funkciju y = f(g(x)) i pronađite njegov skup vrijednosti:

A) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = grijeh x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Rješenje. a) Kompleksna funkcija ima oblik: y= -sin 2 x+2sin x + 3.

Uvođenje srednjeg argumenta t, ovu funkciju možemo napisati ovako:

y= –t 2 + 2t+ 3, gdje t= grijeh x.

Na unutrašnjoj funkciji t= grijeh x argument uzima bilo koju vrijednost, a skup njegovih vrijednosti je segment [–1; 1].

Dakle, za vanjsku funkciju y = –t 2 +2t+ 3 naučili smo interval promjene vrijednosti njegovog argumenta t: t[-1; 1]. Pogledajmo graf funkcije y = –t 2 +2t + 3.

Imajte na umu da je kvadratna funkcija za t[-1; 1] uzima najmanju i najveću vrijednost na svojim krajevima: y zapošljavanje = y(–1) = 0 i y naib = y(1) = 4. A pošto je ova funkcija kontinuirana na intervalu [–1; 1], tada također preuzima sve vrijednosti između njih.

Odgovori: y .

b) Kompozicija ovih funkcija nas vodi do složene funkcije koja se, nakon uvođenja međuargumenata, može predstaviti na sljedeći način:

y= –t 2 + 2t+ 3, gdje t= dnevnik 7 x,

Funkcija t= dnevnik 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

Funkcija y = –t 2 + 2t+ 3 (vidi grafikon) argument t uzima bilo koju vrijednost, a sama kvadratna funkcija uzima sve vrijednosti ne veće od 4.

Odgovori: y (–∞ ; 4].

c) Kompleksna funkcija ima sljedeći oblik:

Uvodeći međuargument, dobijamo:

Gdje t = x 2 + 1.

Pošto za unutrašnju funkciju x R , A t .

Odgovori: y (0; 3].

d) Kompozicija ove dvije funkcije daje nam složenu funkciju

koji se može napisati kao

primeti, to

Dakle, u

Gdje k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Crtanje grafa funkcije vidimo da za ove vrijednosti t

y(–∞ ; –4] c ;

b) u cijelom domenu definicije.

Rješenje. Prvo, ispitujemo monotonost ove funkcije. Funkcija t= arcctg x- kontinuirano i opadajuće na R i skup njegovih vrijednosti (0; π). Funkcija y= dnevnik 5 t je definisan na intervalu (0; π), kontinuiran je i na njemu raste. To znači da se ova složena funkcija smanjuje na skupu R . I ona će, kao sastav od dvije kontinuirane funkcije, biti kontinuirana R .

Hajde da rešimo problem "a".

Pošto je funkcija neprekidna na cijeloj brojevnoj pravoj, kontinuirana je na bilo kojem njenom dijelu, posebno na datom segmentu. I onda na ovom segmentu ima najmanju i najveću vrijednost i uzima sve vrijednosti između njih:

f(4) = log 5 arcctg 4.

Koja je od dobijenih vrijednosti veća? Zašto? A kakav će biti skup vrijednosti?

odgovor:

Hajde da rešimo problem "b".

odgovor: at(–∞ ; log 5 π) u cijelom domenu definicije.

Zadatak sa parametrom

Pokušajmo sada sastaviti i riješiti jednostavnu jednačinu s parametrom forme f(x) = a, Gdje f(x) - ista funkcija kao u zadatku 4.

Zadatak 5. Odredite broj korijena log 5 jednadžbe (arcctg x) = A za svaku vrijednost parametra A.

Rješenje. Kao što smo već pokazali u zadatku 4, funkcija at= log 5 (arctg x) se smanjuje i nastavlja R i uzima vrijednosti manje od log 5 π. Ova informacija je dovoljna da se da odgovor.

odgovor: Ako A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Ako A≥ log 5 π, tada nema korijena.

Učitelju. Danas smo razmatrali probleme vezane za pronalaženje skupa vrijednosti funkcije. Na tom putu smo otkrili novu metodu za rješavanje jednadžbi i nejednačina - metodu procjene, pa je pronalaženje skupa vrijednosti funkcije postalo sredstvo rješavanja problema višeg nivoa. Istovremeno smo vidjeli kako se takvi problemi konstruiraju i kako svojstva monotonosti funkcije olakšavaju njihovo rješavanje.

I nadam se da vas je logika koja povezuje zadatke koji se danas razmatraju iznenadila, ili barem iznenadila. Ne može drugačije: penjanje na novi vrh nikoga ne ostavlja ravnodušnim! Primjećujemo i cijenimo lijepe slike, skulpture itd. Ali matematika ima i svoju ljepotu, privlačnu i očaravajuću - ljepotu logike. Matematičari to kažu lijepo rješenje- Ovo je obično ispravno rješenje i to nije samo fraza. Sada i sami morate pronaći takva rješenja, a mi smo danas naznačili jedan od načina do njih. Sretno ti! I zapamtite: put će savladati onaj koji hoda!

Funkcija je model. Definirajmo X kao skup vrijednosti nezavisne varijable // nezavisna znači bilo koja.

Funkcija je pravilo po kojem se za svaku vrijednost nezavisne varijable iz skupa X može pronaći jedinu vrijednost zavisne varijable. // tj. za svaki x postoji jedno y.

Iz definicije proizilazi da postoje dva pojma - nezavisna varijabla (koju označavamo sa x i može uzeti bilo koju vrijednost) i zavisna varijabla (koju označavamo sa y ili f (x) i ona se izračunava iz funkcije kada zamjenjujemo x).

NA PRIMJER y=5+x

1. Nezavisno je x, pa uzimamo bilo koju vrijednost, neka je x = 3

2. i sada izračunavamo y, dakle y = 5 + x = 5 + 3 = 8. (y zavisi od x, jer ono što x zamenimo, dobijemo takvo y)

Kažemo da je varijabla y funkcionalno zavisna od varijable x i to se označava na sljedeći način: y = f (x).

NA PRIMJER.

1.y=1/x. (naziva se hiperbola)

2. y=x^2. (naziva se parabola)

3.y=3x+7. (naziva se prava linija)

4. y \u003d √ x. (naziva se grana parabole)

Nezavisna varijabla (koju označavamo sa x) naziva se argument funkcije.

Opseg funkcije

Skup svih vrijednosti koje argument funkcije uzima naziva se domenom funkcije i označava se sa D(f) ili D(y).

Uzmimo D(y) za 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) i (0;+∞) //cijeli skup realnih brojeva osim nule.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / svi mnogi realni brojevi

4. D (y) \u003d. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na ovom segmentu.

Izvod je pozitivan za sve x iz intervala (-1; 1) , odnosno, arcsinusna funkcija raste u cijelom domenu definicije. Stoga, uzima najmanju vrijednost pri x=-1, a najveći at x=1.

Dobili smo opseg funkcije arcsinusa .

Pronađite skup vrijednosti funkcije na segmentu .

Rješenje.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu.

Odredimo tačke ekstrema koje pripadaju segmentu :

Zavisnost jedne varijable od druge se naziva funkcionalna zavisnost. Zavisnost od varijable y iz varijable x pozvao funkcija, ako je svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y.

Oznaka:

varijabla x naziva se nezavisna varijabla ili argument, i varijabla y- zavisna. Kažu to y je funkcija od x. Značenje y odgovara datoj vrijednosti x, zvao vrijednost funkcije.

Sve vrednosti koje su potrebne x, obrazac opseg funkcije; sve vrednosti koje uzima y, obrazac skup vrijednosti funkcije.

Oznake:

D(f)- vrijednosti argumenata. E(f)- vrijednosti funkcije. Ako je funkcija data formulom, onda se smatra da se domen definicije sastoji od svih vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.

Funkcija Graf poziva se skup svih točaka na koordinatnoj ravni, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako neka vrijednost x=x0 odgovara više vrijednosti (ne samo jednoj) y, onda takva korespondencija nije funkcija. Da bi skup tačaka koordinatne ravni bio graf neke funkcije, potrebno je i dovoljno da se svaka prava linija paralelna sa Oy osi siječe sa grafikom u najviše jednoj tački.

Načini postavljanja funkcije

1) Funkcija se može podesiti analitički u obliku formule. Na primjer,

2) Funkcija se može definirati tablicom sa više parova (x; y).

3) Funkcija se može podesiti grafički. Parovi vrijednosti (x; y) prikazano na koordinatnoj ravni.

Monotonost funkcije

Funkcija f(x) pozvao povećanje na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se tačka nekako "popeti" na grafikonu.

Funkcija f(x) pozvao opadanje na datom numeričkom intervalu, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije. Zamislite da se određena tačka kreće duž grafika s lijeva na desno. Tada će se tačka, takoreći, "skotrljati" niz grafikon.

Poziva se funkcija koja samo raste ili opada u datom numeričkom intervalu monotono na ovom intervalu.

Nule funkcije i intervali konstantnosti

Vrijednosti X, pri čemu y=0, zove se nule funkcije. Ovo su apscise tačaka preseka grafika funkcije sa x-osom.

Takvi rasponi vrijednosti x, na kojem su vrijednosti funkcije y nazivaju se samo pozitivni ili samo negativni intervali konstantnosti predznaka funkcije.

Parne i neparne funkcije

Ravnomjerna funkcija
1) Domen definicije je simetričan u odnosu na tačku (0; 0), odnosno ako je tačka a pripada domenu definicije, zatim tačka -a takođe pripada domenu definicije.
2) Za bilo koju vrijednost x f(-x)=f(x)
3) Grafikon parne funkcije je simetričan oko ose Oy.

neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Područje definicije je simetrično u odnosu na tačku (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost x, koji pripada domenu definicije, jednakosti f(-x)=-f(x)
3) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište (0; 0).

Nije svaka funkcija parna ili neparna. Funkcije opšti pogled nisu ni parni ni neparni.

Periodične funkcije

Funkcija f se naziva periodičnim ako postoji broj takav da za bilo koji x iz domena definicije jednakost f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je period funkcije.

Svaka periodična funkcija ima beskonačan broj perioda. U praksi se obično uzima u obzir najmanji pozitivni period.

Vrijednosti periodične funkcije se ponavljaju nakon perioda koji je jednak periodu. Ovo se koristi prilikom crtanja grafikona.

Stranica 1
Lekcija 3

"opseg funkcija"
Ciljevi: - Primijeniti koncept raspona vrijednosti na rješenje određenog problema;

rješavanje tipičnih problema.

Već nekoliko godina redovno se pojavljuju problemi na ispitima u kojima se iz date porodice funkcija traži da se izaberu oni čiji skupovi vrijednosti zadovoljavaju deklarirane uslove.

Razmotrimo takve zadatke.

1. 
   Ažuriranje znanja.

Izvodi se u obliku dijaloga sa učenicima.

Šta podrazumijevamo pod skupom vrijednosti funkcije?

Koji je skup vrijednosti funkcije?

• 
  Iz kojih podataka možemo pronaći skup vrijednosti funkcije? (Prema analitičkoj notaciji funkcije ili njenog grafa)

- Pomoću slike pronađite područje vrijednosti funkcije iz grafikona.

(cm USE zadatke, dio A)

• 
  Koje vrijednosti funkcije znamo? (Glavne funkcije su navedene sa njihovim ispisivanjem na ploči; za svaku od funkcija je zapisan njen skup vrijednosti). Kao rezultat, na tabli i u učeničkim sveskama

Funkcija	Mnoge vrijednosti
y = x 2 y = x 3 y=| x| y=	E( y) = E( y) = [- 1, 1] E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (– ∞, + ∞) E( y) = (0, + ∞)

• 
  Možemo li, koristeći ovo znanje, odmah pronaći skupove vrijednosti funkcija napisanih na tabli? (vidi tabelu 2).
• 
  Šta može pomoći u odgovoru na ovo pitanje? (Grafovi ovih funkcija).
• 
  Kako nacrtati prvu funkciju? (Spustite parabolu 4 jedinice prema dolje).

Slično, govorimo o svakoj funkciji iz tabele.

Funkcija	Mnoge vrijednosti
y = x 2 – 4	E( y) = [-4, + ∞)
y = + 5	E( y) =
y = – 5cos x	E( y) = [- 5, 5]
y= tg( x + / 6) – 1	E( y) = (– ∞, + ∞)
y= grijeh( x + / 3) – 2	E( y) = [- 3, - 1]
y=| x – 1 | + 3	E( y) =
y=| ctg x|	E( y) =
y = = | cos(x + /4) |	E( y) =
y=(x- 5) 2 + 3	E( y) = . Pronađite skup vrijednosti funkcije: . Uvođenje algoritma za rješavanje problema za pronalaženje skupa vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Pogledajmo kako možemo primijeniti naše iskustvo na različite zadatke uključene u opcije za jedan ispit. 1. Pronalaženje vrijednosti funkcija za datu vrijednost argumenta. Primjer. Pronađite vrijednost funkcije y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, Ako x = -π/2. Rješenje. y(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 grijehπ/4 – 1 = - 2 – 1 = = – – 1. 2. Pronalaženje raspona trigonometrijskih funkcija Rješenje. 1≤ grijehX≤ 1 2 ≤ 2 grijehX≤ 2 9 ≤ 11+2grijehX≤ 13 3 ≤ +2∙ grijeh x ≤ , tj. E (y) = . Zapišimo cjelobrojne vrijednosti funkcije na intervalu. Ovaj broj je 3. Odgovor: 3. Pronađite skup vrijednosti funkcije at= greh 2 X+6sin X + 10. Pronađite skup vrijednosti funkcije: at = grijeh 2 X - 6 grijeh x + 8 . (na svoju ruku) Rješenje. at= grijeh 2 X- 2 3 grijehx + 3 2 - 3 2 + 8, at= (grijehX- 3) 2 -1. E ( grijehX) = [-1;1]; E ( grijehX -3) = [-4;-2]; E ( grijehX -3) 2 = ; E ( at) = . Odgovor: . Pronađite najmanju vrijednost funkcije at= cos 2 x+2sin x – 2. Rješenje. Možemo li pronaći skup vrijednosti za ovu funkciju? (ne) Šta treba učiniti? (Svedeno na jednu funkciju.) Kako uraditi? (Koristite formulu cos 2 x= 1-greh 2 x.) dakle, at= 1-greh 2 x+2sin x –2, y= -sin 2 x+2sin x –1, at= -(grijeh x –1) 2 . Pa, sada možemo pronaći skup vrijednosti i odabrati najmanju od njih. 1 ≤ sin x ≤ 1, 2 ≤ sin x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (greh x – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(sin x -1) 2 ≤ 0. Dakle, najmanja vrijednost funkcije at hire= -4. Odgovor: -4. Pronađite proizvod najveće i najmanje vrijednosti funkcije y = sin 2 x+ cos x + 1,5. Rješenje. at= 1-cos 2 x+ cos x + 1,5, at= -cos 2 x+ 2∙0,5∙cos x - 0,25 + 2,75, at= -(cos x- 0,5) 2 + 2,75. E(cos x) = [-1;1], E(cos x – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos x – 0,5) 2 = , E(-(cos x-0,5) 2) = [-2,25;0], E( at) = . Najveća vrijednost funkcije at naib= 2,75; najmanju vrijednost at hire= 0,5. Nađimo proizvod najveće i najmanje vrijednosti funkcije: at naib ∙at hire = 0,5∙2,75 = 1,375. Odgovor: 1.375. Rješenje. Prepišimo funkciju u formu at =, at = , Nađimo sada skup vrijednosti funkcije. E(greh x) = [-1, 1], E(6sin x) = [-6, 6], E(6sin x + 1) = [-5, 7], E((6sin x + 1) 2) = , E(– (6sin x + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin x + 1) 2 + 64) = , E( y) = [ , 8]. Nađimo zbroj cjelobrojnih vrijednosti funkcije: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Odgovor: 30. Rješenje. 1) to je X pripada prvom kvartalu. 2) Stoga, 2 X pripadaju drugoj četvrtini. 3) U drugom tromjesečju, sinusna funkcija opada i kontinuirana je. znači, datu funkciju preuzima sve vrijednosti iz prije 4) Izračunajte ove vrijednosti: Odgovori : . Rješenje. 1) Pošto sinus uzima vrijednosti od -1 do 1, onda je skup vrijednosti razlike . Kada se pomnoži sa ovaj segment će ići u segment . 2) Arkosinus je monotono opadajuća i kontinuirana funkcija. Dakle, skup vrijednosti izraza je segment . 3) Prilikom množenja ovog segmenta sa dobijamo . odgovor: . Rješenje. Pošto je tangenta luka rastuća funkcija, onda . 2) Prilikom povećanja X od prije argument 2 X povećava od prije . Budući da se sinus na takvom intervalu povećava, funkcija preuzima vrijednosti iz do 1. 3) Prilikom povećanja od prije argument 2 X povećava od prije . Budući da se sinus smanjuje na takvom intervalu, funkcija preuzima vrijednosti iz do 1. 4) Koristeći formulu koja izražava sinus u terminima tangenta poluugla, nalazimo da . Dakle, željeni skup vrijednosti je unija segmenata I , odnosno segment . odgovor: . Ova tehnika (Uvođenje pomoćnog ugla) koristi se za pronalaženje skupa vrijednosti funkcija oblika at= a sin x + b cos x ili at= grijeh (Rx) + bcos(Rx). Pronađite skup vrijednosti funkcije y \u003d 15 sin 2x + 20 cos 2x. Rješenje. Hajde da nađemo vrednost = = 25. Hajde da transformišemo izraz 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( ) = 25 () = 25 sin (2x + ), gdje je cos = , sin =. Skup vrijednosti funkcije y \u003d sin (2x + ): -1 sin (2x + ) 1. Zatim skup vrijednosti originalne funkcije -25 25 sin (2x + ) 25. Odgovori: [-25; 25]. 3. Zadaci za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na intervalu. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije at= ctg X na segmentu [π/4; π/2]. Rješenje. Funkcija at= ctg X je opadajuća na segmentu [π/4; π/2], dakle, funkcija će poprimiti najmanju vrijednost na x =π/2, tj at(π/2) = stg π/2 = 0; a najveća vrijednost je na x=π/4, tj at(π/4) = stg π/4 = 1. Odgovor: 1, 0. . Rješenje. Odvojite se u jednakosti cijeli dio: . Iz toga slijedi da je graf funkcije f(x) ili hiperbola (a≠ 0) ili prava linija bez tačke. Štaviše, ako a; 2a) i (2a; ) i, ako je a > 0, monotono raste na ovim zracima. Ako je a = 0, onda je f (x) = -2 u cijelom domenu definicije x ≠ 0. Stoga je očigledno da željene vrijednosti parametra nisu jednake nuli. Pošto nas zanimaju samo vrijednosti funkcije na segmentu [-1; 1], onda je klasifikacija situacija određena činjenicom da se asimptota x = 2a hiperbole (a≠0) nalazi u odnosu na ovaj segment. Slučaj 1. Sve tačke intervala [-1; 1] su desno od vertikalne asimptote x = 2a, odnosno kada je 2a Slučaj 2. Vertikalna asimptota seče interval [-1; 1], a funkcija se smanjuje (kao u slučaju 1), odnosno kada Slučaj 3. Vertikalna asimptota seče interval [-1; 1] i funkcija raste, tj. -1 . Slučaj 4. Sve tačke intervala [-1; 1] su lijevo od vertikalne asimptote, odnosno 1 a > . i drugo Prijem 4 . Izražavanje x u terminima y. (Pronalaženje domene inverzne funkcije) Prijem 5. Pojednostavljenje formule za definiranje razlomke racionalne funkcije Prijem 6. Pronalaženje skupa vrijednosti kvadratnih funkcija (nalaženjem vrha parabole i utvrđivanjem prirode ponašanja njegovih grana). Prijem 7. Uvođenje pomoćnog kuta za pronalaženje skupa vrijednosti nekih trigonometrijskih funkcija. Stranica 1 Pročitajte također: Koje su karakteristike strukture i fiziologije kaktusa Najneobičniji cvijet na zemlji Datura na otvorenom polju Gore