ما هو مجموع زوايا المضلع المحدب؟ نظرية مجموع زوايا المثلث ما هو مجموع الزوايا

في الصف الثامن، أثناء دروس الهندسة في المدرسة، يتعرف الطلاب لأول مرة على مفهوم المضلع المحدب. وسرعان ما سيتعلمون أن هذا الرقم له خاصية مثيرة للاهتمام للغاية. بغض النظر عن مدى تعقيد الأمر، فإن مجموع جميع الزوايا الداخلية والخارجية للمضلع المحدب يأخذ قيمة محددة بدقة. في هذه المقالة، يتحدث مدرس الرياضيات والفيزياء عن مجموع زوايا المضلع المحدب.

مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدب

كيف تثبت هذه الصيغة؟

قبل الانتقال إلى إثبات هذا البيان، دعونا نتذكر أي مضلع يسمى محدب. المضلع المحدب هو مضلع يقع بالكامل على جانب واحد من الخط الذي يحتوي على أي من جوانبه. على سبيل المثال، الذي يظهر في هذا الشكل:

إذا كان المضلع لا يستوفي الشرط المحدد، فإنه يسمى غير محدب. على سبيل المثال، مثل هذا:

مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدب يساوي حيث عدد أضلاع المضلع.

ويستند إثبات هذه الحقيقة على نظرية مجموع الزوايا في المثلث، المعروفة لجميع تلاميذ المدارس. أنا متأكد من أن هذه النظرية مألوفة لك أيضًا. مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو .

الفكرة هي تقسيم المضلع المحدب إلى عدة مثلثات. يمكن القيام بذلك طرق مختلفة. اعتمادًا على الطريقة التي نختارها، ستكون الأدلة مختلفة قليلاً.

1. قسّم المضلع المحدب إلى مثلثات باستخدام جميع الأقطار الممكنة المرسومة من بعض القمم. من السهل أن نفهم أنه بعد ذلك سيتم تقسيم n-gon إلى مثلثات:

علاوة على ذلك، فإن مجموع زوايا كل المثلثات الناتجة يساوي مجموع زوايا n-gon. ففي النهاية، كل زاوية في المثلثات الناتجة هي زاوية جزئية في المضلع المحدب. أي أن المبلغ المطلوب يساوي .

2. يمكنك أيضًا تحديد نقطة داخل المضلع المحدب وربطها بجميع القمم. ثم سيتم تقسيم n-gon إلى مثلثات:

علاوة على ذلك، فإن مجموع زوايا المضلع في هذه الحالة سيكون مساويًا لمجموع كل زوايا هذه المثلثات ناقص الزاوية المركزية، التي تساوي . أي أن المبلغ المطلوب يساوي مرة أخرى .

مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب

دعونا الآن نطرح السؤال: "ما هو مجموع الزوايا الخارجية للمضلع المحدب؟" يمكن الإجابة على هذا السؤال على النحو التالي. كل زاوية خارجية مجاورة للزاوية الداخلية المقابلة لها. وبالتالي فهو يساوي:

ثم مجموع جميع الزوايا الخارجية يساوي . أي أنها متساوية.

وهذا هو، يتم الحصول على نتيجة مضحكة للغاية. إذا قمنا برسم جميع الزوايا الخارجية لأي n-gon محدب بالتتابع واحدة تلو الأخرى، فستكون النتيجة هي المستوى بأكمله بالضبط.

هذا حقيقة مثيرة للاهتماميمكن توضيحها على النحو التالي. لنقم بتقليل جميع جوانب بعض المضلعات المحدبة بشكل متناسب حتى تندمج في نقطة. بعد حدوث ذلك، سيتم وضع جميع الزوايا الخارجية جانبًا عن بعضها البعض وبالتالي ملء المستوى بأكمله.

حقيقة مثيرة للاهتمام، أليس كذلك؟ وهناك الكثير من هذه الحقائق في الهندسة. لذا تعلموا الهندسة أيها تلاميذ المدارس الأعزاء!

المادة التي يساوي مجموع زوايا المضلع المحدب تم إعدادها بواسطة سيرجي فاليريفيتش

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 0. هذه إحدى البديهيات الأساسية لهندسة إقليدس. هذه هي الهندسة التي يدرسها تلاميذ المدارس. تُعرَّف الهندسة بأنها العلم الذي يدرس الأشكال المكانية للعالم الحقيقي.

ما الذي دفع اليونانيين القدماء إلى تطوير الهندسة؟ الحاجة إلى قياس الحقول والمروج - مساحات من سطح الأرض. وفي الوقت نفسه، اعتقد اليونانيون القدماء أن سطح الأرض أفقي ومسطح. ومع أخذ هذا الافتراض في الاعتبار، تم إنشاء بديهيات إقليدس، بما في ذلك مجموع الزوايا الداخلية للمثلث 180 0.

البديهية هي افتراض لا يحتاج إلى دليل. كيف ينبغي أن نفهم هذا؟ يتم التعبير عن الرغبة التي تناسب الشخص، ومن ثم يتم تأكيدها من خلال الرسوم التوضيحية. لكن كل ما لم يتم إثباته هو خيال، وهو أمر غير موجود في الواقع.

مع الأخذ سطح الأرضأفقيًا، قبل الإغريق القدماء تلقائيًا شكل الأرض على أنه مسطح، لكنه مختلف - كروي. لا توجد مستويات أفقية أو خطوط مستقيمة في الطبيعة على الإطلاق، لأن الجاذبية تحني الفضاء. الخطوط المستقيمة والمستويات الأفقية توجد فقط في الدماغ البشري.

لذلك، فإن هندسة إقليدس، التي تشرح الأشكال المكانية للعالم الخيالي، هي محاكاة - نسخة ليس لها أصل.

تنص إحدى بديهيات إقليدس على أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 0. في الواقع، في الفضاء المنحني الحقيقي، أو على السطح الكروي للأرض، يكون مجموع الزوايا الداخلية للمثلث دائمًا أكبر من 180 0.

دعونا نفكر مثل هذا. أي خط زوال على الكرة الأرضية يتقاطع مع خط الاستواء بزاوية 90 درجة. للحصول على مثلث، تحتاج إلى تحريك خط زوال آخر بعيدًا عن خط الطول. مجموع زوايا المثلث بين خطوط الطول وضلع خط الاستواء سيكون 180 0. ولكن ستظل هناك زاوية عند القطب. ونتيجة لذلك، سيكون مجموع جميع الزوايا أكثر من 180 0.

إذا تقاطعت الجوانب بزاوية 90 0 عند القطب، فإن مجموع الزوايا الداخلية لهذا المثلث سيكون 270 0. سيكون خطا الطول المتقاطعان مع خط الاستواء بزوايا قائمة في هذا المثلث متوازيين مع بعضهما البعض، وعند القطب يتقاطعان مع بعضهما البعض بزاوية 90 0 سيصبحان متعامدين. اتضح أن الخطين المتوازيين على نفس المستوى لا يتقاطعان فحسب، بل يمكن أن يكونا متعامدين أيضًا على القطب.

وبطبيعة الحال، لن تكون جوانب هذا المثلث خطوطا مستقيمة، ولكنها محدبة، وتكرر الشكل الكروي للكرة الأرضية. ولكن هكذا العالم الحقيقيفضاء.

هندسة الفضاء الحقيقي مع مراعاة انحناءه في منتصف القرن التاسع عشر. طورها عالم الرياضيات الألماني ب. ريمان (1820-1866). لكن لا يتم إخبار تلاميذ المدارس بهذا.

لذا، فإن الهندسة الإقليدية، التي تأخذ شكل الأرض مسطحة ذات سطح أفقي، وهي في الواقع ليست كذلك، هي محاكاة. Nootic هي هندسة ريمانية تأخذ في الاعتبار انحناء الفضاء. مجموع الزوايا الداخلية للمثلث فيه أكبر من 1800.

متابعة من الأمس:

هيا نلعب بفسيفساء مستوحاة من قصة هندسية خيالية:

ذات مرة كان هناك مثلثات. متشابهة لدرجة أنها مجرد نسخ من بعضها البعض.
لقد وقفوا بطريقة ما جنبًا إلى جنب في خط مستقيم. وبما أنهم كانوا جميعا بنفس الارتفاع -
ثم كانت قممها على نفس المستوى، تحت المسطرة:

المثلثات تحب أن تتعثر وتقف على رؤوسها. صعدوا إلى الصف العلوي ووقفوا في الزاوية كالأكروبات.
ونحن نعلم بالفعل - عندما يقفون وقممهم في خط واحد تمامًا،
ثم يتبع باطنهم أيضًا المسطرة - لأنه إذا كان شخص ما بنفس الارتفاع، فهو أيضًا بنفس الارتفاع رأسًا على عقب!

لقد كانا متماثلين في كل شيء، نفس الطول، ونفس النعال،
والشرائح الموجودة على الجانبين - واحدة أكثر انحدارًا والأخرى أكثر استواءً - هي نفسها في الطول
ولهما نفس المنحدر. حسنًا، توأمان فقط! (فقط بملابس مختلفة، ولكل منها قطعة اللغز الخاصة بها).

- أين المثلثات لها أضلاع متطابقة؟ أين هي الزوايا نفسها؟

وقف المثلثون على رؤوسهم، ووقفوا هناك، وقرروا الانزلاق والاستلقاء في الصف السفلي.
انزلقوا وانزلقوا إلى أسفل التل. لكن شرائحهم هي نفسها!
لذا فهي تتناسب تمامًا بين المثلثات السفلية، دون فجوات، ولا يدفع أحد أحدًا جانبًا.

نظرنا حول المثلثات ولاحظنا ميزة مثيرة للاهتمام.
وحيثما اجتمعت زواياهم، فلا شك أن الزوايا الثلاث ستلتقي:
الأكبر هي "زاوية الرأس"، والزاوية الأكثر حدة، والثالثة هي الزاوية المتوسطة الأكبر.
حتى أنهم ربطوا أشرطة ملونة حتى يتضح على الفور أي منها.

واتضح أن زوايا المثلث الثلاث، إذا قمت بدمجها -
تشكل زاوية واحدة كبيرة، "زاوية مفتوحة" - مثل غلاف كتاب مفتوح،

______________________يا _____

يطلق عليه زاوية تحول.

أي مثلث يشبه جواز السفر: ثلاث زوايا معًا تساوي الزاوية المفتوحة.
هناك من يطرق بابك:- نوك نوك، أنا مثلث، دعني أقضي الليل!
وأنت تقول له - أرني مجموع الزوايا في الصورة الموسعة!
ومن الواضح على الفور ما إذا كان هذا مثلثًا حقيقيًا أم محتالًا.
فشل التحقق - استدر مئة وثمانين درجة وارجع إلى المنزل!

عندما يقولون "استدر 180 درجة" فهذا يعني الاستدارة للخلف و
اذهب في الاتجاه المعاكس.

نفس الشيء في تعبيرات أكثر دراية، دون "كان ياما كان":

دعونا نجري ترجمة موازية للمثلث ABC على طول محور OX
إلى المتجه أ.بيساوي طول القاعدة AB.
خط DF يمر عبر القمم C و C 1 للمثلثات
موازيًا لمحور OX، لأنه عمودي على محور OX
القطع h و h 1 (ارتفاعات المثلثات المتساوية) متساوية.
وبالتالي فإن قاعدة المثلث A 2 B 2 C 2 موازية للقاعدة AB
ويساويها في الطول (نظرًا لأن الرأس C 1 يتم إزاحته بالنسبة إلى C بمقدار AB).
المثلثان A 2 B 2 C 2 و ABC متساويان من ثلاثة أضلاع.
وبالتالي فإن الزوايا ∠A 1 ∠B ∠C 2 التي تشكل زاوية مستقيمة تساوي زوايا المثلث ABC.
=> مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة

مع الحركات - "الترجمات"، فإن ما يسمى بالبرهان أقصر وأوضح،
حتى الطفل يمكنه فهم قطع الفسيفساء.

لكن المدرسة التقليدية:

على أساس تساوي الزوايا الداخلية المتقاطعة المقطوعة على خطوط متوازية

قيمة لأنها تعطي فكرة عن سبب حدوث ذلك،
لماذامجموع زوايا المثلث يساوي الزاوية العكسية؟

لأنه بخلاف ذلك لن يكون للخطوط المتوازية الخصائص المألوفة في عالمنا.

النظريات تعمل في كلا الاتجاهين. من بديهية الخطوط المتوازية يتبع
المساواة بين الزوايا المستقيمة والعمودية ومنهم - مجموع زوايا المثلث.

لكن العكس هو الصحيح أيضًا: طالما أن زوايا المثلث تساوي 180 درجة، فهناك خطوط متوازية
(بحيث يمكن من خلال نقطة لا تقع على خط رسم خط فريد || من الخط المعطى).
إذا ظهر في العالم في يوم من الأيام مثلث لا يساوي مجموع زواياه الزاوية المفتوحة -
عندها ستتوقف المتوازيات عن أن تكون متوازية، وسوف ينحني العالم كله وينحرف.

إذا تم وضع خطوط ذات أنماط مثلثية واحدة فوق الأخرى -
يمكنك تغطية الحقل بأكمله بنمط متكرر، مثل الأرضية بالبلاط:

يمكنك رسم أشكال مختلفة على مثل هذه الشبكة - الأشكال السداسية والمعينات،
المضلعات النجمية والحصول على مجموعة متنوعة من الباركيه

إن تبليط الطائرة بالباركيه ليس مجرد لعبة مسلية فحسب، بل هو أيضًا مسألة رياضية ذات صلة:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

وبما أن كل شكل رباعي هو مستطيل أو مربع أو معين الخ.
يمكن أن تتكون من مثلثين
على التوالي، مجموع زوايا الشكل الرباعي: 180° + 180° = 360°

يتم طي المثلثات المتساوية الساقين إلى مربعات بطرق مختلفة.
مربع صغير من جزأين. متوسط ​​4. والأكبر من 8.
ما عدد الأشكال الموجودة في الرسم والتي تتكون من 6 مثلثات؟

مثلث . المثلث الحاد والمنفرج والقائم.

الساقين والوتر. متساوي الساقين ومثلث متساوي الأضلاع.

مجموع زوايا المثلث.

الزاوية الخارجية للمثلث. علامات المساواة في المثلثات.

خطوط ونقاط ملحوظة في المثلث: الارتفاعات، والمتوسطات،

منصفات، متوسطه متعامدين,

مركز الثقل، مركز الدائرة المقيدة، مركز الدائرة المقيدة.

نظرية فيثاغورس. نسبة الارتفاع في مثلث تعسفي.

مثلث هو مضلع ذو ثلاثة جوانب (أو ثلاث زوايا). غالبًا ما تتم الإشارة إلى جوانب المثلث بأحرف صغيرة تتوافق مع الحروف الكبيرة، مما يدل على القمم المعاكسة.

إذا كانت الزوايا الثلاث حادة (الشكل 20)، فهذا هو مثلث حاد الزوايا . إذا كانت إحدى الزوايا قائمة(ج، الشكل 21)، إنه مثلث قائم; الجانبينأ، بتسمى تشكيل الزاوية اليمنى الساقين; جانبجمقابل الزاوية اليمنى تسمى الوتر. إذا كان أحدزوايا منفرجة (ب، الشكل 22)، إنه مثلث منفرج الزاوية.


المثلث ABC (الشكل 23) - متساوي الساقين، لو اثنينأضلاعها متساوية (أ= ج); تسمى هذه الجوانب المتساوية جانبي، يتم استدعاء الطرف الثالث أساسمثلث. مثلث ABC (الشكل 24) – متساوي الاضلاع, لو الجميعأضلاعها متساوية (أ = ب = ج). على العموم ( أ ≠ ب ≠ ج) لدينا مختلف الأضلاعمثلث .

الخصائص الأساسية للمثلثات. في أي مثلث:

1. وفي مقابل الجانب الأكبر تقع الزاوية الأكبر، والعكس صحيح.

2. الزوايا المتساوية تقع مقابل جوانب متساوية، والعكس صحيح.

وعلى وجه الخصوص، جميع الزوايا في متساوي الاضلاعالمثلثان متساويان.

3. مجموع زوايا المثلث هو 180 º .

ويترتب على الخاصيتين الأخيرتين أن كل زاوية متساوية الأضلاع

المثلث هو 60 º.

4. استمرار أحد أضلاع المثلث (AC، الشكل 25)، نحن نحصل خارجي

زاوية بى سى دى . الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخلية،

لا مجاورة لها : بسد = أ + ب.

5. أي ضلع المثلث أقل من مجموع الضلعين الآخرين وأكبر

خلافاتهم (أ < ب + ج, أ > ب – ج;ب < أ + ج, ب > أ – ج;ج < أ + ب,ج > أ – ب).

علامات المساواة في المثلثات.

يتطابق المثلثان إذا كانا متساويين على الترتيب:

أ ) الضلعان والزاوية بينهما؛

ب ) الزاويتان والجانب المجاور لهما؛

ج) ثلاثة جوانب.

علامات المساواة في المثلثات القائمة.

اثنين مستطيلييكون المثلثان متساويين إذا تحقق أحد الشروط التالية:

1) أرجلهم متساوية؛

2) الساق والوتر في أحد المثلثات يساويان الساق والوتر في المثلث الآخر؛

3) الوتر والزاوية الحادة لمثلث واحد يساوي الوتر والزاوية الحادة للآخر؛

4) الساق والزاوية الحادة المجاورة لمثلث واحد تساوي الساق والزاوية الحادة المجاورة للمثلث الآخر؛

5) الساق والزاوية الحادة المقابلة لمثلث واحد متساويان مع الساق و الزاوية الحادة المقابلة للأخرى.

خطوط ونقاط رائعة في المثلث.

ارتفاع المثلث هوعمودي،خفضت من أي قمة إلى الجانب الآخر ( أو استمراره). ويسمى هذا الجانبقاعدة المثلث . الارتفاعات الثلاثة للمثلث تتقاطع دائمًافي نقطة واحدة، مُسَمًّى مركز تقويم العظاممثلث. مركز تقويم المثلث الحاد (النقطةيا ، الشكل 26) يقع داخل المثلث، ومركز تقويم المثلث المنفرج (النقطةيا ، الشكل 27) – الخارج؛ يتطابق مركز تقويم المثلث الأيمن مع قمة الزاوية القائمة.

الوسيط - هذا القطعة المستقيمة ، يربط أي رأس للمثلث بمنتصف الضلع المقابل. ثلاثة متوسطات للمثلث (AD، BE، CF، الشكل 28) تتقاطع عند نقطة واحدة يا ، يقع دائمًا داخل المثلثويكون له مركز الجاذبية. تقسم هذه النقطة كل وسيط بنسبة 2:1، بدءًا من الرأس.

منصف - هذا قطعة منصفةالزاوية من الرأس إلى النقطة تقاطعات مع الجانب الآخر. ثلاثة منصفات المثلث (AD، BE، CF، الشكل 29) تتقاطع عند نقطة واحدة أوه، الكذب دائما داخل المثلثو كون مركز الدائرة المنقوشة(انظر قسم "مدرجوالمضلعات المقيدة").

يقسم المنصف الجانب المقابل إلى أجزاء تتناسب مع الجوانب المجاورة ; على سبيل المثال، في الشكل 29 AE: CE = AB: قبل الميلاد.

متوسط ​​عمودي هو عمودي مرسوم من الوسطنقاط القطع (الجوانب). ثلاثة منصفات متعامدة للمثلث ABC(كو، مو، نو، الشكل 30 ) يتقاطعان عند نقطة واحدة O، وهي مركز دائرة مقيدة (النقاط K، M، N – منتصف أضلاع المثلثاي بي سي).

في المثلث حاد الزوايا، تقع هذه النقطة داخل المثلث؛ في منفرجة - في الخارج؛ في مستطيل - في منتصف الوتر. المركز المتعامد، مركز الثقل، المركز المحيطي والدائرة المنقوشة تتطابق فقط في مثلث متساوي الأضلاع.

نظرية فيثاغورس. في المثلث القائم مربع الطولالوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الساقين.

إن إثبات نظرية فيثاغورس يأتي بوضوح من الشكل 31. فكر في مثلث قائم الزاوية ABC مع الساقين أ، بوالوتر ج.

دعونا نبني مربعاأكمب باستخدام الوترأ.ب كجانب. ثممواصلة جوانب المثلث الأيمناي بي سي حتى تحصل على مربع CDEF ، الذي جانبه متساويأ + ب .والآن أصبح من الواضح أن مساحة الساحة CDEF يساوي ( أ + ب) 2 . ومن ناحية أخرى هذا المنطقة تساوي المجموعالمناطق أربعة مثلثات قائمةوالمربع AKMB، أي

ج 2 + 4 (أب / 2) = ج 2 + 2 أب,

من هنا،

ج 2 + 2 أب= (أ + ب) 2 ,

وأخيرا لدينا:

ج 2 =أ 2 + ب 2 .

نسبة الارتفاع في مثلث تعسفي.

في الحالة العامة (للمثلث التعسفي) لدينا:

ج 2 =أ 2 + ب 2 – 2أب· كوس ج،

أين سي - الزاوية بين الجانبينأو ب .

دليل:

• نظرا للمثلث ABC.
• من خلال الرأس B نرسم خطًا مستقيمًا DK موازيًا للقاعدة AC.
• \angle CBK = \angle C كوضع عرضي داخلي مع التوازي DK وAC، والقاطع BC.
• \angle DBA = \angle A داخلي متقاطع مع DK \parallel AC وsecant AB. الزاوية DBK معكوسة وتساوي
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• بما أن الزاوية غير المطوية تساوي 180 ^\circ و \angle CBK = \angle C و\angle DBA = \angle A ، نحصل على 180 ^\circ = \الزاوية A + \الزاوية B + \الزاوية C.

تم إثبات النظرية

النتائج الطبيعية من نظرية مجموع زوايا المثلث:

1. مجموع الزوايا الحادة للمثلث القائم يساوي 90 درجة.
2. في المثلث القائم متساوي الساقين، كل زاوية حادة تساوي 45 درجة.
3. في المثلث متساوي الأضلاع، كل زاوية متساوية 60 درجة.
4. في أي مثلث تكون الزوايا جميعها حادة، أو زاويتان حادتان، والثالثة منفرجة أو قائمة.
5. الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع زاويتين داخليتين غير مجاورتين له.

نظرية الزاوية الخارجية للمثلث

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين المتبقيتين في المثلث غير المجاورتين لهذه الزاوية الخارجية

دليل:

• بالنظر إلى المثلث ABC، حيث BCD هي الزاوية الخارجية.
• \زاوية BAC + \زاوية ABC +\زاوية BCA = 180^0
• من المساواة الزاوية \زاوية BCD + \زاوية BCA = 180^0
• نحن نحصل \زاوية BCD = \زاوية BAC+\زاوية ABC.